Контрольная работа № 3 - urfu.ru · 2018-05-07 · записывать...
TRANSCRIPT
1
Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина
Физика
Колебания и волны. Волновая оптика
Методические указания и задания к контрольной работе № 3
по трех- и четырехсеместровому курсам физики
для студентов технических специальностей заочной формы обучения
Екатеринбург
УрФУ
2010
2
УДК 530(075.8)
Составитель Г. В. Сакун
Научный редактор проф., д-р хим. наук Е. С. Левин
ФИЗИКА. Колебания и волны. Волновая оптика: метод. указания и задания к
контрольной работе №3 /сост. Г. В. Сакун. Екатеринбург: УрФУ, 2010. 54 с.
Приведены методические указания к решению задач, примеры решения
типичных задач, задания и таблица вариантов контрольной работы № 3.
Предназначены студентам заочной формы обучения технических
специальностей.
Задания составлены в соответствии с действующей рабочей программой
по физике (трех- и четырехсеместровый курсы), могут быть использованы
также в качестве домашних заданий для студентов очной формы обучения.
Библиогр. : 10 назв.
Подготовлено кафедрой физики.
© УрФУ, 2010
3
ВВЕДЕНИЕ
Целью настоящих методических указаний является оказание помощи
студентам-заочникам инженерно-технических специальностей высших
учебных заведений в изучении курса физики.
Учебный материал программы курса разделен на четыре раздела.
Каждому разделу соответствует определенная контрольная работа.
По каждой теме заданий контрольной работы приведены основные
формулы и законы, необходимые для решения задач, а также подробные
решения типичных задач и примеры их оформления.
Даны таблицы вариантов и тексты задач контрольных работ.
Кроме того, здесь же приведены общие методические указания, которые
необходимо учитывать при выполнении и оформлении контрольных заданий.
Обязательно внимательно прочитайте указания, приведенные ниже, и
учтите все рекомендации по оформлению и срокам выполнения работ!
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная
работа над учебным материалом. Для облегчения этой работы в периоды
экзаменационных сессий читаются лекции и проводятся лабораторные работы.
Процесс изучения физики состоит из следующих этапов:
I. Самостоятельная работа над учебниками и учебными пособиями
[1 – 10]. О правилах самостоятельной работы студентов над учебными
пособиями подробно говорится на установочных лекциях, которые обычно
читаются в УрФУ перед началом изучения каждой части курса физики;
время проведения этих лекций сообщаются студентам-заочникам деканатом
заочного факультета.
II. Выполнение контрольных работ.
4
III. Прохождение лабораторного практикума.
IV. Сдача зачетов и экзаменов.
Самостоятельная работа
При самостоятельной работе над учебным материалом необходимо:
1. Изучать курс физики систематически в течение всего семестра.
Ознакомление с материалом курса только лишь перед экзаменом не позволит
получить глубокие и прочные знания.
2. В качестве основного учебного пособия использовать один из
рекомендованных учебников. В конце методического пособия приведен список
литературы для самостоятельной работы над материалом курса.
3. Составлять конспект при работе над учебным материалом, в котором
записывать законы и формулы, выражающие эти законы, определения
основных физических величин и сущность физических явлений и методов
исследования.
4. Решить контрольные работы, которые призваны закрепить
теоретический материал и позволить более глубоко разобраться в материале
при решении конкретных задач.
5. Прослушать курс обзорных лекций по физике для студентов-
заочников, организуемый в начале каждой сессии. Пользоваться очными
консультациями преподавателей.
Выполнение контрольных работ
При выполнении контрольных работ студенту необходимо
руководствоваться следующим:
1. Номер варианта контрольной работы определяется последней цифрой
его номера зачетной книжки. Номера задач каждого варианта определяются
таблицей вариантов, приведенной в указаниях на с. 38.
5
2. Контрольные работы выполняются в обычной школьной тетради, на
обложке которой приводятся сведения по следующему образцу:
Студент заочного факультета УрФУ
специальность
Андреев И. В.
Шифр 253720
Адрес: 620460, г. Верхняя Салда,
ул. Восточная, д. 16, кв. 54
Контрольная работа № 3 по физике
3. Условия задач в контрольной работе переписываются полностью без
сокращений. На страницах тетради оставляются поля для замечаний
преподавателя. После каждой решенной задачи необходимо оставлять место
для замечаний преподавателя и для ответа на эти замечания. Каждая
следующая задача должна начинаться с новой страницы.
4. В конце контрольной работы указывается, каким основным учебником
или учебным пособием пользовался студент при изучении курса физики
(название, автор, год издания).
5. На рецензию следует высылать одновременно не более одной работы
во избежание однотипных ошибок в работах. Очередную работу нужно
высылать только после получения рецензии на предыдущую работу.
6. Если контрольная работа при первой проверке не зачтена, то студент
обязан представить ее исправленный вариант на повторную проверку не
позднее чем за две недели до начала сессии, включив те задачи, решение
которых оказалось неверным. Зачтенные задачи заново переписывать не надо.
Если работа для повторной проверки переписана заново, то ее надо
представлять вместе с уже проверенной работой.
7. Защита выполненных, но незачтенных работ производится во время
экзаменационной сессии в форме собеседования с преподавателем (дни и часы
защиты работ указываются в расписании).
6
8. В том случае, когда работа зачтена, студенту отсылается только
обложка работы с отметкой преподавателя и его подписью.
Обложка зачтенной контрольной работы предъявляется экзаменатору
перед началом экзамена.
Указания к решению и оформлению задач
1. Записать условие задачи полностью.
2. Выписать численные данные и перевести их в Международную систему
измерения физических величин (СИ).
3. Выполнить чертеж или рисунок, поясняющий содержание задачи, показав
на нем соответствующие обозначения физических величин, используемых при
решении именно этой задачи.
4. Проанализировать условия задачи и указать основные законы, которые
нужно применить для решения, указать, почему их можно применить, и
записать их аналитическую форму. Пояснить буквенные обозначения
физических величин, входящих в эти формулы. Если величины векторные, то
на рисунке показать их направления и пояснить, как определяются эти
направления.
Если при решении задач применяется частная формула, не выражающая
какой-нибудь закон или не являющаяся определением какой-либо физической
величины, то ее следует вывести самостоятельно.
5. Необходимо сопровождать весь ход решения задачи краткими, но исчер-
пывающими пояснениями. Результатом анализа и решения задачи является
составление системы уравнений, которая включает в себя все искомые
величины.
6. Получить решение задачи в аналитическом виде, т. е. выразить искомые
величины через заданные величины в буквенном виде и стандартные
физические постоянные.
7
7. Подставить в полученную формулу численные значения всех величин,
выраженных в системе СИ. Произвести вычисления и получить искомый
результат. Записать ответ, указав единицы измерения искомой величины.
Проанализировать полученный результат.
Для того чтобы разобраться в предложенных задачах и выполнить
контрольную работу правильно, следует после изучения теории очередного
раздела учебника внимательно изучить помещенные в настоящих указаниях
примеры решения типовых задач, близких по уровню сложности к задачам
контрольной работы.
Выполнение лабораторных работ
Лабораторные работы выполняются студентами-заочниками в
лабораториях кафедры физики УрФУ в периоды экзаменационных сессий, часы
и даты этих занятий указываются в сессионном расписании.
Сдача зачетов и экзаменов
После выполнения всех видов работ, предусмотренных учебным планом,
студенты сдают экзамен или зачет. Расписание контрольных мероприятий
составляется деканатом заочного факультета.
На экзамен или зачет студент должен явиться, имея при себе зачетную
книжку, в которой должна быть запись преподавателя о том, что лабораторные
работы студент выполнил. Кроме этого, на руках у него должна быть обложка
зачтенной контрольной работы (одной или двух согласно учебному плану).
Расписание пересдач в межсессионный период вывешивается около
деканата заочного факультета и на доске объявлений на кафедре физики.
8
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
(для специальностей, учебным планом которых предусмотрено
четыре контрольные работы в течение трёх семестров)
Основные формулы для решения задач
Для освоения по теме «Колебания. Волны. Волновая оптика» материала и
решения задач, необходимо ознакомиться со следующими понятиями и
законами.
Механические колебания
Механические гармонические колебания – это колебания, которые
описываются законами синуса или косинуса.
Уравнение гармонических колебаний материальной точки имеет вид
х = А cos (ω0t + φ0),
где х – смещение колеблющейся точки от положения равновесия в момент
времени t; А – амплитуда колебаний, т.е. максимальное отклонение
материальной точки от положения равновесия; ω0 – круговая (циклическая)
частота, которая показывает, какое количество колебаний совершит точка за
время, равное 2π секунд; φ0 – начальная фаза колебаний; (ω0t + φ0) – фаза
колебаний в момент времени t.
Круговая частота колебаний
ω0 =
22
Т ,
где Т – период; ν – частота колебаний.
Скорость точки, совершающей гармонические колебания, определяется
как первая производная координаты по времени:
= х′ – Аω0∙sin (ω0t +φ0) = – m ∙sin (ω0t +φ0).
Ускорение точки при гармонических колебаниях определяется как первая
производная скорости по времени (или вторая производная от координаты по
времени):
9
а = ′ = х′′ = – Aω02∙cos (ω0t + φ0) = – am cos (ω0t + φ0).
Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении
двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой,
определяется по формуле
А = 2 2
1 2 1 2 2 12 cosА А А А ,
где А1 и А2 – амплитуды складываемых колебаний; φ1 и φ2 – их начальные фазы.
Начальная фаза результирующего колебания определяется из формулы
tg φ = 2211
2211
coscos
sinsin
AA
AА.
Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно
перпендикулярных колебаниях с амплитудами А1 и А2 и начальными фазами φ1
и φ2, имеет вид
12
2
12
21
2
2
2
2
1
2
sincos2 AA
xy
A
y
A
х.
Если начальные фазы φ1 и φ2 складываемых колебаний одинаковы, т.е.
2 1 0 , то уравнение траектории приобретает вид
y = 2
1
Ах
А
т.е. траектория результирующего движения представляет собой прямую линию,
лежащую в первой и третьей четвертях.
Если разность фаз 2 1 складываемых колебаний равна π, т.е.
, то уравнение траектории принимает вид
у = – 2
1
Ах
А,
это означает, что траектория результирующего движения – прямая линия,
располагающаяся во второй и четвертой четвертях.
В том случае, если разность фаз ∆φ = φ2 – φ1 = π/2 , уравнение
принимает вид
10
12
2
2
2
1
2
А
у
А
х ,
т.е. точка движется по эллипсу.
Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические
колебания, описывается уравнением
W =22
2
0
22
mAkA,
где m – ее масса; k – коэффициент упругости (или коэффициент квазиупругой
силы),
k = m ω20 .
Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),
Т = 2π k
m ,
где m – масса тела; k – жесткость пружины.
Период колебаний математического маятника
Т = 2πg
l ,
где l – длина нити маятника; g – ускорение свободного падения.
Уравнение затухающих колебаний
x = А(t) ∙ cos (ωt + φ ) ,
где А (t) – амплитуда затухающих колебаний в момент t; ω – циклическая
частота затухающих колебаний.
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени по следующему
закону:
А ( t ) = А0 е-βt
,
где А0 – амплитуда колебаний в момент времени t = 0; β – коэффициент
затухания.
Циклическая частота затухающих колебаний
2 2
0 .
Логарифмический декремент затуханий
11
λ = ln)(
)(
TtA
tА
,
где А (t), A( t + T ) – амплитуды двух последовательных колебаний, отстоящих
по времени друг от друга на период.
Электромагнитные колебания
Уравнение гармонических колебаний заряда на обкладках конденсатора
имеет вид
q = q0 ∙ cos (ω0t + φ0),
где q0 – амплитудное значение заряда; ω0 – собственная циклическая частота,
ω0 = Т
2 , Т = 2π LC (формула Томсона),
где Т – период колебаний; L – индуктивность катушки; C – электроемкость
конденсатора.
Уравнения изменения со временем силы тока (i) в колебательном контуре
и напряжения (u) на обкладках конденсатора:
i = q′ = – q0ω0 ∙ sin(ω0t + φ) = – I0 ∙ sin(ω0t + φ) ,
u = tUtC
q
C
q000
0 coscos ,
где I0 и U0 – амплитудные значения силы тока и напряжения.
Энергия магнитного (Wм) и электрического (Wэл) поля в момент времени t:
Wм = tLILi
0
2
2
0
2
sin22
,
Wэл = tC
q
C
q0
2
2
0
2
cos22
.
Полная энергия колебательного контура
W = Wэл+Wм = Wэл max = Wм max = C
qLI
22
2
0
2
0 .
Уравнение затухающих колебаний заряда:
ttqq cos ,
12
где q(t) – амплитуда затухающих колебаний в момент времени t; ω –
циклическая частота затухающих колебаний:
q( t ) = q0 e-βt
, ω = 22
0 ,
где q0 – амплитуда заряда в момент времени t = 0; β – коэффициент затухания:
β =L
R
2 .
Если R (активное сопротивление контура) равно нулю, то β = 0 и,
следовательно, колебания будут незатухающими.
Волны в упругой среде
Уравнение плоской бегущей волны
ξ ( l, t ) = A ∙ cos ω (t – l/) ,
где ξ (l, t) – смещение точек среды с координатой l в момент времени t; ω –
циклическая частота; – скорость распространения волны.
Длина волны λ связана с периодом T колебаний и циклической частотой
соотношениями
λ = T , T =
2 .
Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми
равно ∆х:
∆φ = 2 х
.
Волновая оптика. Интерференция света
Оптическая разность хода ∆ двух световых волн
∆ = L2 – L1 ,
где L – оптическая длина пути световой волны; L = nl. Здесь l – геометрическая
длина пути световой волны в среде с показателем преломления n.
Оптическая разность хода ∆ световых волн, отраженных от верхней и
нижней поверхностей тонкой плоскопараллельной пластинки, находящейся в
воздухе:
13
∆ = 2 d 22 sinn + 2
,
где d – толщина пластинки; α – угол падения лучей. Слагаемое λ/2
обусловлено изменением фазы световой волны при отражении волны от среды
с бóльшим показателем преломления (оптически более плотной среды). В
проходящем свете отражение световой волны происходит от оптически менее
плотной среды и дополнительной разности фаз не возникает, поэтому для
проходящих лучей слагаемое λ/2 в выражении для ∆ будет отсутствовать.
Условие максимумов интенсивности света при интерференции
∆ = m ,
где m = 1,2,3, . . .
Условие минимумов интенсивности света при интерференции
∆ = 2 12
m
,
где m = 0,1,2, . . .
Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете ( или темных в
проходящем)
rm =
Rm
2
12 ,
где m = 1, 2, 3, . . .; R – радиус кривизны линзы.
Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете (или светлых в
проходящем)
rm = mR .
Дифракция света
Положение минимумов освещенности при дифракции от щели, на которую
нормально падает пучок параллельных лучей, определяется условием
a · sin φ = k λ ,
где а – ширина щели; φ – угол дифракции; λ – длина волны падающего света.
Условие главных максимумов интенсивности при дифракции света на
дифракционной решетке (свет падает на решетку нормально)
14
d · sin φ = mλ ,
где d – период решетки (постоянная решетка); φ – угол дифракции (угол между
направлением падающих на решетку лучей и дифрагированных лучей); m –
номер максимума.
Радиус зоны Френеля с номером m (для плоского фронта волны)
rm = bm ,
где b – расстояние от фронта волны до точки наблюдения; m – номер зоны.
Поляризация света
Закон Брюстера
tg iБ = n21 ,
где iБ – угол Брюстера, т.е. угол падения, при котором отраженная от
диэлектрика световая волна является полностью плоскополяризованной; n21 –
относительный показатель преломления. Относительный показатель
преломления n21 равен отношению абсолютного показателя преломления
второй среды к абсолютному показателю преломления первой среды:
n21 = 1
2
n
n .
Скорость света в среде
с
n ,
где с – скорость света в вакууме; n – абсолютный показатель преломления
среды.
Закон Малюса
I = I0 cos2φ ,
где I0 – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор,
I – интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через
анализатор, φ – угол между направлением колебания светового вектора волны,
падающей на анализатор, и плоскостью пропускания анализатора.
15
Если неполяризованный свет интенсивностью I0 проходит через
поляризатор, то прошедший свет становится плоскополяризованным,
интенсивность которого I связана с I0 следующим соотношением:
I = 2
1I0 .
Примеры решения задач
П р и м е р 3.1
Материальная точка массой m = 10 г совершает гармонические колебания
по закону синуса с периодом Т = 2 с и начальной фазой, равной нулю. Полная
энергия колеблющейся точки W = 0,1 МДж. Найти: 1) амплитуду колебаний;
2) уравнение данных колебаний; 3) наибольшее значение силы Fmax,
действующей на точку.
Дано: m = 10 г = 0,01 кг, Т = 2 с, W = 0,1 МДж = 0,1 ∙106 Дж.
Найти: А =? Fmax = ? Уравнение – ?
Решение:
1. Уравнение гармонических колебаний имеет вид
х = А sin (ω0 t + φ0).
По условию задачи начальная фаза равна нулю, следовательно, уравнение
гармонических колебаний принимает вид
х = А sin ω0 t.
Взяв первую производную смещения по времени, найдем скорость
колеблющейся точки
V = х′ = dt
dx = A ω ∙ cos ω0 t.
Кинетическая энергия колеблющейся точки
Wk =
2
2
m =
2 2 2
0 0cos
2
mA t .
16
Полная энергия колеблющейся точки равна максимальному значению ее
кинетической энергии:
W = Wk max = 0
2 2
2
mA .
Отсюда находим следующее выражение для амплитуды колебаний:
А = 0
1 2W
m.
Циклическая частота связана с периодом колебаний соотношением
ω0 = Т
2 .
Подставляя его в выражение для амплитуды, получаем
А = m
WT 2
2.
Вычислим величину амплитуды:
А = 01,0
101,02
14,32
2 6
= 0,045 м.
Найдем численное значение циклической частоты:
ω0 = ,2
Т
ω0 =
2
2 = π с
-1 .
2. Зная амплитуду колебаний и значение циклической частоты, можно записать
уравнение гармонических колебаний для данной точки, м:
х = 0,045 ∙ sin πt .
3. Согласно второму закону Ньютона
F = m a. (1)
Уравнение колеблющейся точки найдем, взяв вторую производную
смещения по времени (или, что то же самое, первую производную от скорости
по времени):
22
0 02sin
d d xa A t
dt dt
.
Отсюда максимальное ускорение
17
2
max 0a A .
Подставив это выражение максимального ускорения в соотношение (1),
найдем максимальную силу, действующую на точку:
Fmax = maω02.
Произведем вычисления:
Fmax = 0,01 ∙ 0,045 ∙ 3,142 = 4,44 ∙ 10
-3 Н.
Ответ: А= 0,045 м, Fmax = 4,44 ∙ 10-3
Н.
П р и м е р 3.2
Складываются два колебания одинакового направления, выраженные
уравнениями х1 = А1 ∙ cos ω(t + τ1) и x2 = A2 ∙cos ω(t + τ2), где А1 = 1 см ,
А2 = 2 см , τ 1 = 1/6 с, τ2 = ½ с, ω = π с-1
. Определить: 1) начальные фазы φ 1 и
φ2 составляющих колебаний; 2) амплитуду А и начальную фазу φ0
результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.
Дано: х1 = А1 ∙ cos ω(t + τ1) , x2 = A2 ∙cos ω(t + τ2), А1 = 1 см , А2 = 2 см ,
τ1 = 1/6 с, τ2 = ½ с, ω = π с-1
.
Определить: φ 1 = ? φ2 = ? А = ? φ0 = ? Записать уравнение результирующего
колебания.
Решение:
Уравнение гармонических колебаний имеет вид
х = А cos(ωt + φ). (1)
Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:
х1 = А1 ∙ cos ω(t + τ1) = А1 ∙ cos(ωt + ωτ1) ,
x2 = A2 ∙ cos ω(t + τ2) = A2 ∙ cos (ωt + ωτ2) . (2)
Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы
первого и второго колебаний:
φ1 = ωτ1 = π/6 рад, φ2 = ωτ2 = π/2 рад.
Для определения амплитуды А результирующего колебания удобно
воспользоваться методом векторных диаграмм. Суть его в том, что амплитуду А
18
и начальную фазу φ0 результирующего колебания находят путем сложения
векторов. Длина каждого вектора берется равной амплитуде соответствующего
колебания, а угол, образованный вектором с осью ОХ, – начальной фазе.
Величины А и φ0 определяются длиной результирующего вектора и углом его
наклона к оси ОХ.
На рисунке построена векторная диаграмма по условию данной задачи:
Согласно теореме косинусов амплитуда результирующего колебания
определяется соотношением
А = 2 2
1 2 1 2 2 12 cosА А А А . (3)
Подставляя значения А1, А2 и (φ2 – φ1) в соотношение (3), произведем
вычисления
А =
62cos21221 22 = 2,65 см.
Тангенс начальной фазы φ0 результирующего колебания определим по
соотношению
tg φ0 = 2211
2211
coscos
sinsin
AA
AА ,
откуда начальная фаза
φ0 = arctg 2211
2211
coscos
sinsin
AA
AА.
Подставим значения А1, А2, φ1, φ2 и произведем вычисления:
19
φ0 = arctg
2cos2
6cos1
2sin2
6sin1
= arctg
3
5 = 70,9
0 = 0,394 π .
Так как циклические частоты складываемых колебаний одинаковы, то
результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω. Это позволяет
написать уравнение результирующего колебания в виде
х = А cos (ωt + φ0 ) , (4)
где А = 2,65 см; ω = π с-1
; φ = 0,394 рад.
Подставляя значения А, ω и φ0 в (4), получаем уравнение
результирующего колебания, см:
х = 2,65 ∙cos (πt + 0,394 π ).
Ответ: φ1 = π/6 рад, φ2 = π/2 рад, А = 2,65 см, φ0 = arctg
3
5 = 70,9
0 =
= 0,394π .
П р и м е р 3. 3
Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно
перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями х = А1 · cos t и
y = А2 ∙cos t , где А1 = 1 см; А2 = 2 см; = π с-1
. Найти уравнение траектории
точки и построить траекторию с соблюдением масштаба, указать направление
движения точки.
Дано: А1 = 1 см, А2 = 2 см.
Определить: уравнение движения – ?
Решение:
Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно
перпендикулярных колебаниях с амплитудами А1 и А2 и начальными фазами φ1
и φ2, имеет вид
2 2
2
2 1 2 12 2
1 2 1 2
2 cos sinх y xy
A A A A .
20
Из условия задачи следует, что начальные фазы колебаний равны нулю,
следовательно, разность начальных фаз (12
) также равна нулю, т.е.
12 = 0.
С учетом этого уравнение траектории точки приобретает вид
0221
2
2
2
2
1
2
AA
xy
A
y
A
х.
Это уравнение можно записать следующим образом:
02
2
21
2
2
2
21
2
1
2
А
у
А
х
A
y
АА
ху
A
х.
Отсюда следует, что
021
А
у
А
х , х
А
Ау
1
2 .
Подставим значения амплитуд А1 и А2 в полученное уравнение и
получаем уравнение траектории точки:
ху 2 . (1)
Полученное уравнение у(х) представляет собой уравнение прямой,
проходящей через начало координат. Следовательно, в результате сложения
двух указанных взаимно перпендикулярных колебаний точка движется по
прямой.
Из вида заданных уравнений следует, что смещение точки по осям
координат ограничено и заключено в пределах от -1 до +1 см по оси Ох и от
-2 до + 2 см по оси Оу.
Для построения траектории найдем по уравнению (1) значения у,
соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию х 1 см, и
запишем:
х, см –1 0 +1
у, см –2 0 +2
21
Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на плоскость хОу
найденные точки и получим траекторию точки, совершающей колебания в
соответствии с уравнениями движения, заданными по условию.
Для того чтобы указать направление движения точки, последим за тем,
как изменяется ее положение с течением времени.
В начальный момент t = 0 координаты точки равны
х(0) = 1 см и у (0) = 2 см.
В последующий момент времени, например при t = Т/4, координаты точек
изменятся и станут равными
х(Т/4) = 1 · cos ( 4
Т ) = 1 · cos (
2
4
Т
Т
) = 1 · cos (
2
) = 0 см,
у(Т/4) = 2 · cos ( 4
Т ) = 1 · cos (
2
4
Т
Т
) = 1 · cos (
2
) = 0 см .
При t = Т/2 координаты будут равны
х(Т/2) = 1· cos ( 2
Т ) = 1 · cos (
2
2
Т
Т
) =
= 1 · cos( π) = –1 см,
у(Т/2) = 2 · cos ( 2
Т ) = 2 · cos (
2
2
Т
Т
) =
= 2 · cos( π) = –2 см.
Зная положения точек в начальный и
последующий моменты времени, можно
указать направление движения точки по
траектории. На рисунке эти направления указаны стрелками.
П р и м е р 3.4
Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время
t1 = 1 мин уменьшилась в два раза. Во сколько раз уменьшится амплитуда за
время t2 = 3 мин?
22
Дано: t1 = 1 мин, )(
)(
1ttA
tA
= 2, t2 = 3 мин.
Определить: )(
)(
2ttA
tA
= ?
Решение:
Амплитуда затухающих колебаний уменьшается с течением времени по
следующему закону:
А (t) = А0 е-βt
,
где А(t) – амплитуда колебаний в момент времени t; А0 – амплитуда колебаний в
начальный момент времени t = 0; β – коэффициент затухания. Тогда
)(
)(
1ttA
tA
=
1
0
0
tt
t
еА
еА1tе
= 2.
Прологарифмировав это уравнение, получаем
ln 1tе
= βt1 = ln 2 ,
отсюда выразим коэффициент затухания β :
β = 1
2ln
t.
Запишем искомое отношение:
)(
)(
2ttA
tA
=
2
0
0
tt
t
еА
еА2tе
.
Подставим выражение для коэффициента β в показатель экспоненты и
получаем
)(
)(
2ttA
tA
= 2tе
= е 1
2ln2
t
t
= 23/1
= 23 = 8.
Ответ: )(
)(
2ttA
tA
= 8, т.е. амплитуда уменьшится в 8 раз.
23
П р и м е р 3.5
Гиря массой m = 0,50 кг подвешена к пружине, жесткость которой
k = 32,0 Н/м, и совершает затухающие колебания. Определить их период Т в
двух случаях: 1) за время, в течение которого произошло n1 = 88 колебаний,
амплитуда уменьшилась в N1 = 2,00 раза; 2) за время двух колебаний
(n2 = 2) амплитуда колебаний уменьшилась в N 2=20 раз.
Дано: m = 0,50 кг, k = 32,0 H/м, n1 = 88, N 1 =2,0, n2 = 2, N2 = 20 .
Определить: Т1 = ? Т2 =?
Решение:
Сопротивление среды уменьшает частоту свободных колебаний и,
соответственно, увеличивает период колебаний. Период затухающих колебаний
определяется по соотношению
Т = 22
0
22
.
Циклическую частоту собственных колебаний ω0 определим по
соотношению
ω0 =m
k.
Коэффициент затухания равен
β = Т
,
где λ – логарифмический декремент затухания. Для того чтобы найти величину
λ, обратимся к уравнению затухающих колебаний
х = А0 е-βt
∙cos (ω t + φ ) .
Уменьшающуюся со временем амплитуду выразим так:
0 0
t
t TA A e A e
.
24
Пользуясь введенными в условие задачи обозначениями, можно записать
следующее:
,0 NА
А n
T
t .
Тогда
NeeA
A nT
t
0.
Отсюда, логарифмируя, определяем λ:
λ = n
Nln.
Подставив численные значения N и n для двух случаев, получим
λ1 = 0079,088
2ln , λ2 = 5,1
2
2ln ,
ω0 = 0,85,0
32 c
-1 .
Теперь запишем формулу для периода колебаний Т с учетом выражения
для β:
T =
2
22
0
2
Т
.
Получилось квадратное уравнение относительно Т. Решая его, находим
(отбросив отрицательный корень)
T = 0
224
.
Приступая к вычислениям периода, заметим, что в первом случае
λ12 << 4π
2, поэтому, сохраняя достаточную точность вычислений, можно
пренебречь слагаемым λ1 2, тогда
Т1 = 0
2
.
Во втором случае величину λ2 2
отбросить нельзя. Производим вычисления:
25
0,8
21
Т 0,78 с;
0,8
5,14 2
2
Т = 0,81 с .
Ответ: Т1 =0,78 с, Т2 = 0,81 с.
П р и м е р 3.6
Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 0,25 мкФ
и катушки индуктивностью L =1,015 Гн. Омическим сопротивлением цепи
пренебречь. В начальный момент времени заряд на обкладках конденсатора
максимален и равен q0 = 2,5∙10-6
Кл. Написать для данного контура уравнения
(с числовыми коэффициентами) изменения разности потенциалов на обкладках
конденсатора и силы тока в цепи от времени. Найти значения разности
потенциалов на обкладках конденсатора и силы тока в цепи в моменты времени
t1 = T/4 и t2 = T/2.
Дано: С = 0,025∙10-6
Ф, L = 1,015 Гн, R = 0, q0 =2,5∙1-10-6
Кл.
Определить: u(t) =? i(t) =?
Решение:
Уравнение изменения заряда на обкладках конденсатора со временем
имеет вид
q = q0 ∙ cos (ω0t + φ ).
Начальная фаза колебаний равна нулю, следовательно,
q = q0 ∙ cos ω0t .
Изменение напряжения на обкладках конденсатора задается уравнением
u(t) = tUtC
q
C
q000
0 coscos ,
где ω0 – циклическая частота собственных колебаний в контуре,
Т
20
,
26
где Т – период собственных колебаний:
LCТ 2 .
Следовательно,
LCLC
1
2
20
.
Для того чтобы записать с числовыми коэффициентами уравнение
изменения разности потенциалов, произведем вычисления:
60
10025,0015,1
1
= 6277,65 с = 2000 π с;
U0 = 6
6
10025,0
105,2
= 100 В.
Таким образом, получаем уравнение в виде
U(t) = 100 · cos 2000πt, В .
Изменение силы тока со временем задается уравнением
i(t) = titqtqdt
d
dt
dq0000000
sinsin)cos( ,
где i0 – амплитудное значение силы тока. Рассчитаем эту величину:
i0 = 2,5 · 10-6
·6277 = 15,7 · 10-3
А.
Окончательно получаем уравнение
i(t) = – 15,7 · 10-3
· sin 2000πt, A.
Получим значения разности потенциалов и силы тока в цепи в момент
времени t1 =T/4:
U1 = U0 · cos 0
t1 = U0 · cos (4
2 Т
Т
) = U0 · cos
2
= 0; U1 = 0 .
i1 = – i0 · sin t0
1 = – i0 · sin (4
2 Т
Т
) = – i0 ·sin
2
= – i0 ; i1 = – 15,7·10
-3
A.
Аналогично для момента времени t2 = Т/2:
U2 = U0 · cos 0
t2 = U0 · cos (2
2 Т
Т
) = U0 · cos π = – U0; U2 = – 100 B.
27
i 2 = – i0 · sin t0
2 = – i0 · sin (2
2 Т
Т
) = – i0 ·sin π = 0 ; i2 = 0.
П р и м е р 3.7
Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью
= 15 м/с. Период Т колебаний точек шнура равен 1,2 с , амплитуда А = 2 м.
Определить: 1) длину волны λ ; 2) фазу φ колебаний , смещение ξ, скорость ξ′
и ускорение ξ′′ точки, отстоящей на расстоянии l = 45 м от источника волн в
момент времени t = 4 с ; 3) разность фаз ∆φ колебаний двух точек, лежащих на
луче и отстоящих от источника волны на расстояниях х1 = 20 м и х2 = 30 м.
Дано: =15м/с, T = 1,2 с, A = 2 м, l =45 м, t =4 с, x1 =20 м, x2 =30 м.
Определить: 1) λ = ? 2) φ = ? ξ = ? ξ′ = ? ξ′′ = ? 3) ∆φ =?
Решение:
1. Длина волны равна расстоянию, на которое фронт волны перемешается
за один период, поэтому
λ = T , λ = 15∙ 1,2 = 18 м.
2. Запишем уравнение волны
ξ = А ∙cos ω( t – l / ) .
Фаза колебаний
φ = ω( t – l/ ) = Т
2( t – l / ) ,
φ = 2 45 2 5
41,2 15 1,2 0,6 3
(рад).
Подставляя в уравнение (1) найденное значение фазы, находим величину
смещения частицы в заданный момент времени:
ξ = 2 ∙ сos 5
3
= 0,01 м.
Скорость и ускорение точки находим, взяв соответственно первую и
вторую производные смещения по времени.
Скорость:
ξ′ = – ωА sin ω ( t – l / ),
28
ξ′ = – 2 ∙ 2 5
sin1,2 3
= 9 ∙ 10
-2 м/с .
Ускорение:
ξ′′ = – ω2 А cos ω ( t – l / ),
ξ′′ = – 2 ∙
2
2
4 5cos
1,2 3
= 0,274 м/с
2.
3. Разность фаз ∆φ колебаний двух точек волны связана с расстоянием ∆х
между этими точками соотношением
∆φ = 2
х
= 2 1
2х х
,
∆φ = 2 10
30 201,2 15 9
рад.
Ответ: λ = 18 м, φ =5
3
рад, ξ = 1 ∙10
-2 м, ξ′ = 9 ∙10
-2 м/с ,
ξ′′ = 2,74 ∙10-1
м/с2 , ∆φ =
10
9
рад .
П р и м е р 3.8
На стеклянный клин (абсолютный показатель преломления стекла n = 1,5)
нормально к его грани падает монохроматический свет с длиной волны
λ = 0,6 мкм. В возникающей при этом интерференционной картине на отрезке
длиной а = 1 см наблюдается N = 10 полос. Определить преломляющий угол φ
клина.
Дано: λ = 6 ∙10-7
м, а =1 ∙ 10-2
м, N = 10, n = 1,5.
Определить: φ =?
Решение:
Параллельный пучок
света, падая нормально к
грани клина, отражается как
от верхней, так и от нижней
29
грани. Эти пучки когерентны, и поэтому наблюдается устойчивая картина
интерференции. Так как интерференционные полосы наблюдаются при малых
углах клина, то отраженные лучи 1 и 2 (см. рисунок) практически
параллельны.
Темные полосы видны на тех участках клина, для которых оптическая
разность хода кратна нечетному числу половины длины волны:
∆ = ( 2m + 1 ) 2
,
где m = 0,1,2 . . .
Для лучей 1 и 2 оптическая разность хода
∆ = 2 dm n + 2
,
где n – показатель преломления стекла, по условию равный 1,5, а слагаемое
λ/2 обусловлено изменением фазы луча 1 при отражении от оптически более
плотной среды. Приравнивая правые части этих выражений, получаем
2 dmn + 2
= (2m + 1)
2
,
отсюда
dm = n
m
2
.
Темной полосе с номером m соответствует толщина клина dm, а темной
полосе с номером (m + N ) – толщина клина
dm+N =
n
Nm
2 .
Искомый угол φ равен (см. рисунок на с. 28)
φ = a
ddmNm
,
так как из-за малости угла φ ≈ sin φ.
Отсюда
φ =
na
N
na
mNm
22
; φ = 2 ∙ 10
-4 рад .
30
В соответствии с общим правилом перевода из радиан в градусы
φград = рад
180
; φград = 4102
14,3
180 = 1,15 ∙ 10-2
град = 41,2′′ .
Ответ: φград = 1,15 ∙ 10-2
град = 41,2′′ .
П р и м е р 3.9
Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плосковыпуклой
стеклянной линзой налита жидкость, показатель преломления которой меньше
показателя преломления стекла. Радиус r8 восьмого темного кольца Ньютона
при наблюдении в отраженном свете (λ = 700 нм) равен 2 мм. Радиус кривизны
выпуклой поверхности линзы равен 1 м. Найти показатель преломления n
жидкости.
Дано: r8 = 2 мм, m = 8 (min), R = 1 м, λ = 7∙ 1-7
м.
Определить: n = ?
Решение:
В отраженном свете кольца Ньютона образуются при наложении лучей,
отраженных от нижней поверхности линзы и верхней поверхности
плоскопараллельной пластины. Так как радиус кривизны линзы велик, то лучи
1 и 2 (см. рисунок) практически параллельны.
31
Темные кольца видны при таких толщинах зазора между линзой и
пластиной, для которых оптическая разность хода кратна нечетному числу
половины длины волны:
∆ = ( 2m + 1)λ/2 ,
где m = 0, 1, 2, …
Для лучей 1 и 2 оптическая разность хода равна
∆ = 2dm n + λ/2,
где слагаемое λ/2 обусловлено изменением фазы луча 2 при отражении от
оптически более плотной среды. Приравнивая правые части этих выражений,
получаем
2dm n + λ/2 = ( 2m + 1) λ/2 ,
отсюда
dm = n
m
2
.
Выразим радиус темного кольца rm с толщиной зазора dm в том месте, где
это кольцо наблюдается. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора
(см. рисунок на с. 30):
R2 = (R – dm)
2 + rm
2 ;
R2 = R
2 – 2R∙dm + dm
2 + rm
2 .
Слагаемым dm2 в этом выражении можно пренебречь из-за малости его
по сравнению с другими слагаемыми. Отсюда
dm = R
rm
2
2
.
Приравнивая правые части выражений для dm , получаем
;22
2
n
m
R
rm
2
mr
Rmn
.
Отсюда
6
7
104
11078
n = 1,4 .
Ответ: n = 1,4 .
32
П р и м е р 3.10
На диафрагму с круглым отверстием радиусом r = 1 мм падает нормально
параллельный пучок света длиной волны λ = 0,05 мкм. На пути лучей,
прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное
расстояние bmax от центра отверстия до экрана, при котором в центре
дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно.
Дано: r = 1 мм, λ = 0,05 мкм.
Определить: bmax = ?
Решение:
Расстояние, при котором будет видно темное пятно, определяется
количеством зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Если число зон
четное, то в центре дифракционной картины будет темное пятно.
Число зон Френеля, помещающихся в отверстии, убывает по мере
удаления от отверстия. Наименьшее четное число зон равно двум.
Следовательно, максимальное расстояние, при котором еще будет наблюдаться
темное пятно в центре экрана, определяется условием, согласно которому в
отверстии должны поместиться две зоны Френеля.
Как следует из рисунка, расстояние от точки наблюдения О на экране до
края отверстия на 2(λ/2) больше, чем расстояние R0 = bmax.
Используя теорему Пифагора, получим
r2 = (bmax + 2
2
) – b
2max = 2λbmax + λ
2.
33
Учтя, что λ << bmax и что членом, содержащим λ2, можно пренебречь,
последнее равенство можно записать следующим образом:
r2 = 2λbmax,
отсюда
bmax = 2
2r .
Подставим численные значения в последнюю формулу и определим
величину bmax:
bmax =
6
23
1005,02
101
= 1 м.
Ответ: bmax = 1 м.
П р и м е р 3.11
На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает пучок
света с длиной волны λ = 0,5 мкм. Помещенная вблизи решетки линза
проецирует дифракционную картину на плоский экран, удаленный от линзы на
расстоянии L = 1 м. Расстояние l между двумя максимумами интенсивности
первого порядка на экране равно 20,2 см. Определить: 1) постоянную
дифракционной решетки d ; 2) число n штрихов на 1 см; 3) число максимумов
N, которое дает дифракционная решетка; 4) максимальный угол φmax
отклонения лучей, соответствующих последнему максимуму.
Дано: λ = 5∙10-7
м , L =1 м, l = 20,2 см .
Определить: 1) d = ? 2) n = ? 3) N = ? 4) φmax = ?
Решение:
1. Постоянная дифракционной решетки d, длина волны λ и угол φ отклонения
лучей, соответствующий максимуму с номером m, связаны соотношением
d ∙ sin φ = mλ .
По условию задачи m = 1.
34
Из рисунка следует, что tg φ = L
l
L
l
2
)2/( .
Так как 2
l << L , то можно считать, что угол φ мал, а в случае малости
угла sin φ ≈ tg φ , поэтому
,2
ld
L
l
Ld
2 ;
d = 202,0
10512 7 = 4,95 мкм .
2. Число штрихов на единице длины связано с периодом d соотношением
n = d
1 ; n =
6
2
1095,4
101
= 2,02 ∙ 10
3 см
-1 .
3. Максимальный угол отклонения лучей решеткой не может превышать 90,
поэтому из условия главных максимумов при φ = π /2 получаем
m = d
; m = 9,9 .
Число m должно быть целым, так как порядок максимума не может быть
дробным. В то же время оно не может принять значение, равное 10 , так как
при этом значение sin φ будет больше единицы, что невозможно.
Следовательно,
mmax = 9 .
Определим общее число максимумов дифракционной картины,
полученной с помощью дифракционной решетки. Влево и вправо от
центрального максимума будет наблюдаться по одинаковому числу
35
максимумов, равному mmax, т.е. всего 2mmax. Если учесть также центральный
нулевой максимум, получим общее число максимумов
N = 2 mmax + 1.
Подставляя значение mmax, найдем
N = 2· 9 + 1 = 19.
4. Для определения максимального угла отклонения лучей, соответствующего
последнему дифракционному максимуму, выразим из условия главных
максимумов для дифракционной решетки синус этого угла:
sin φmax = kmax λ / d.
Отсюда
φmax = arcsin (mmaxλ/d) .
Подставив сюда значения величин λ, d, mmax и произведя вычисления,
получим
φmax = 65,4 0.
Ответ: d = 4,95 мкм, n =2,02∙ 103
см-1
, N = 19, φmax = 65,40.
П р и м е р 3.12
Естественный свет падает на полированную поверхность стеклянной
пластины (абсолютный показатель преломления стекла n2 = 1,5), погруженной в
жидкость. Отраженный от пластины луч образует угол φ = 97 с падающим
лучом. Определить показатель преломления n1 жидкости, если отраженный
свет максимально поляризован.
Дано: φ = 970 , n2 = 1,5 .
Определить: n1 = ?
Решение:
Согласно закону Брюстера луч света,
отраженный от диэлектрика, максимально
поляризован в том случае, если
выполняется условие
36
tg iБ = n2,1,
где iБ – угол падения; n2,1 – относительный показатель преломления второй
среды (стекла) относительно первой (жидкости):
n21 = 1
2
n
n ,
где n2 и n1 – абсолютные показатели преломления соответственно второй и
первой сред.
В соответствии с условием задачи отраженный луч образует угол φ с
падающим лучом. Так как угол падения равен углу отражения, то
iБ = 2
,
следовательно,
tg 2
=
1
2
n
n .
Выразим из этого соотношения n1:
n1 = 2
tg2
n
.
Подставляем числовые значения и получаем:
n1 = 0
1,5
97tg
2
= 0
1,5
tg 48,5 =
13,1
5,1 = 1,33 .
Ответ: n1 = 1,33 .
П р и м е р 3.13
Естественный свет интенсивностью I0 проходит через два поляроида, угол
между осями пропускания которых равен . Поглощение и отражение
пропускаемого света не учитывать. Интенсивность естественного света, ,
прошедшего через поляризатор и анализатор, уменьшается в четыре раза, т. е.
I0 / I2 = 4. Определить угол φ между осями пропускания поляризатора и
анализатора.
37
Дано: I0 / I2 = 4.
Определить: φ = ?
Решение:
Изобразим на рисунке поляризатор
(П) и анализатор (А). Штриховыми
линиями покажем оси пропускания
поляризатора и анализатора. По условию ось пропускания анализатора
составляет с осью пропускания поляризатора угол φ.
После прохождения через поляризатор свет преобразуется в линейно
поляризованный, при этом интенсивность естественного света уменьшается в
два раза:
I1 = 2
1I0 .
После прохождения через анализатор интенсивность света I2
определяется законом Малюса:
I2 = I1 cos2φ =
2
1 I0 cos
2φ.
Из этого соотношения выразим cos2φ:
cos2φ =
0
22
I
I.
Учтем, что по условию I0 / I2 = 4, отсюда I0 = 4 I2 , и тогда
cos2φ =
2
2
4
2
I
I = 0,5 , отсюда cosφ φ =
2
1 =
2
2, φ = 45
0.
Ответ: φ = 450.
38
Таблицы вариантов к контрольной работе № 3
Для технических специальностей трехсеместрового курса физики
Вариант Номера задач
1 301 311 331 341 351 371
2 302 312 332 342 352 372
3 303 313 333 343 353 373
4 304 314 334 344 354 374
5 305 315 335 345 355 375
6 306 316 336 346 356 376
7 307 317 337 347 357 377
8 308 318 338 348 358 378
9 309 319 339 349 359 379
10 310 320 340 350 360 380
Для технических специальностей четырехсеместрового курса физики
Вариант Номера задач
1 301 311 321 331 341 351 361 371 381
2 302 312 322 332 342 352 362 372 382
3 303 313 323 333 343 353 363 373 383
4 304 314 324 334 344 354 364 374 384
5 305 315 325 335 345 355 365 375 385
6 306 316 326 336 346 356 366 376 386
7 307 317 327 337 347 357 367 377 387
8 308 318 328 338 348 358 368 378 388
9 309 319 329 339 349 359 369 379 389
10 310 320 330 340 350 360 370 380 390
Задачи для контрольной работы № 3
301. Тело массой 10 г совершает гармонические колебания по закону
х = 0,1cos(4πt+π/4)м. Определить максимальные значения возвращающей
силы Fmax и кинетической энергии Wкmax .
302. Уравнение движения точки дано в виде х = 2 sin (42
t ), см. Определить
период колебаний, максимальную скорость max и максимальное
ускорение amax точки.
39
303. Колебания материальной точки массой m = 0,1 г происходят согласно
закону х = Аcosω0t, где А = 5 см; ω = 20 с-1
. Определить период колебаний
и максимальное значение возвращающей силы Fmax .
304. Материальная точка совершает гармонические колебания. Наибольшее
смещение точки равно хmax = 10 см, а наибольшая скорость max = 20 см/с.
Определить циклическую частоту колебаний ω и максимальное ускорение
аmax точки.
305. Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические колебания
по закону х = 0,2 cos (2πt + π/6) м. Определить максимальное значение
скорости частицы max и полную энергию W этой точки.
306. Колебания точки происходят по закону х = Аcos(ωt + φ0). В некоторый
момент времени смещение х точки равно 5 см, ее скорость = 20 см/с и
ускорение а = -80 см/с2. Найти амплитуду А и период колебаний Т.
307. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. При смещении
точки от положения равновесия х1 = 2,4 см скорость точки равна
x1 = 3 см/с, а при смещении х2 = 2,8 см скорость равна х2 = 2 см/с. Найти
амплитуду А и период этого колебания Т.
308. Материальная точка совершает гармонические колебания, уравнение
которых имеет вид х = 0,05 sin (2t + π/4) м. Определить период колебаний,
а также момент времени (ближайший к началу отсчета), в который
потенциальная энергия точки равна Wр = 1· 10-4
Дж, а возвращающая сила
F = 5 · 10-3
Н.
309. Материальная точка массой m = 50 г совершает гармонические колебания
согласно уравнению х = 0,1cos t2
3, м. Определить величину силы F, дейст-
вующей на материальную точку, для момента времени t = 0,5 с и полную
энергию W точки.
310. Груз массой m = 500 г, подвешенный на пружине жесткостью k = 100 Н/м,
совершает гармонические колебания с энергией W = 1 Дж. Найти период
колебаний, их амплитуду и максимальную скорость колебаний груза.
40
311. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных
колебаниях, выражаемых уравнениями х =А1 sin t и у = А2 cos t , где
А1 = 2 см, А2 = 1 см. Определить уравнение траектории точки, построить
траекторию с соблюдением масштаба. Указать направление движения
точки и пояснить свой ответ.
312. Точка совершает одновременно два гармонических колебания одинаковой
частоты, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и
выражаемых уравнениями х = Аcos t , у = В cos t , где А = 2 см; В = 3 см.
Найти уравнение траектории точки и построить траекторию с
соблюдением масштаба. Указать направление движения точки и пояснить
свой ответ.
313. Найти амплитуду А и начальную фазу φ гармонического колебания,
полученного от сложения двух одинаково направленных колебаний,
заданных уравнениями х1 = 0,02 sin (5πt + π/2) м, х2 = 0,03 sin (5πt + π/4) м.
Построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения
амплитуд. Определить амплитуду и начальную фазу φ0 результирующего
колебания. Написать уравнение результирующего колебания.
314. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходя-
щих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых
уравнениями х = А1 cos ωt и у = А2 cos ω(t + τ), где А1 = 4 см; А2 = 8 см;
ω = π с-1
; τ = 1 с. Найти уравнение траектории точки и построить
траекторию с соблюдением масштаба, указав направление движения
точки. Пояснить свой ответ.
315. Точка совершает одновременно два гармонических колебания, происходя-
щих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравне-
ниями х = А1sin ωt и у = А2 sin ωt, где А1 = 1,5 см; А2 = 2,5 см. Записать
уравнение траектории точки, построить траекторию с соблюдением
масштаба, указав направление движения точки. Пояснить свой ответ.
316. Складываются два гармонических колебания одного направления с
одинаковыми периодами Т1 = Т2 = 1,5 с и амплитудами А1 = А2 = 2 см.
41
Начальные фазы колебаний φ1 = π /2 и φ2= π /3. Определить амплитуду А
и начальную фазу φ0 результирующего колебания, записать его уравнение
и построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения
амплитуд.
317. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинако-
вой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и
описываемых уравнениями х = А sin (ωt + π/2) и у = В sin ωt, где А = 3 см;
В = 4 см. Определить уравнение траектории точки, построить траекторию
с соблюдением масштаба, указав направление движения точки по этой
траектории. Пояснить свой ответ.
318. Точка участвует в двух одинаково направленных гармонических колеба-
ниях: х1 = А1 sin ωt, х2 = А2 cos ωt, где А1 = 1 см; А2 = 2 см; ω = 1 с-1
.
Определить амплитуду А и начальную фазу φ0 результирующего
колебания. Написать уравнение результирующего колебания. Построить с
соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд.
319. Складываются два гармонических колебания одинаковой частоты и одина-
кового направления: х1 = 1· cos (ωt + π /3) см и х2 = 2· cos(ωt + 5 π /6) см.
Построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения
амплитуд. Определить амплитуду А и начальную фазу φ0
результирующего колебания. Написать уравнение результирующего
колебания.
320. Определить амплитуду А и начальную фазу φ0 результирующего
колебания, которое возникает при сложении двух колебаний одинакового
направления с одинаковыми периодами: х1 = А1sin ωt , х2 = А2sin ω(t+τ),
где А1 = А2 = 1 см; ω = π с-1
; τ = 0,5 с. Написать уравнение
результирующего движения. Построить с соблюдением масштаба
векторную диаграмму сложения амплитуд.
321. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 0,1 мкФ и
катушки индуктивности L. За время t = 1 мс разность потенциалов на
обкладках конденсатора уменьшается в четыре раза. Логарифмический
42
декремент затухания λ = 0,22. Чему равны индуктивность L и
сопротивление контура R ?
322. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время
∆t1= 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за
время ∆t2 = 4 мин?
323. Логарифмический декремент затухания равен λ = 0,01. Определить число
N полных колебаний маятника до уменьшения его амплитуды в 3 раза.
324. Определить логарифмический декремент затухания λ, при котором энергия
колебательного контура за N = 5 полных колебаний уменьшается в
n = 8 раз.
325. Математический маятник длиной l = 0,5 м, выведенный из положения
равновесия, отклонился при первом колебании на х1 = 5 см, а при втором
(в ту же сторону) – на х2 = 4 см. Найти время релаксации τ, т.е. время, в
течение которого амплитуда колебаний уменьшится в е раз (е – основание
натурального логарифма).
326. Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника А0 = 3 см. По
истечении t1 = 10 с амплитуда стала равна А2 = 1 см. Определить, через
сколько времени t2 амплитуда колебаний станет равной А2 = 0,3 см.
327. Амплитуда колебаний маятника длиной l = 1 м за время t = 10 мин
уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент
затухания колебаний λ. Считать колебания слабозатухающими.
328. Тело, совершая затухающие колебания, за время t = 50 с потеряло 60%
своей энергии. Определить коэффициент затухания β.
329. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t1 = 5 мин уменьши-
лась в два раза. За какое время t2, считая от начального момента,
амплитуда уменьшится в восемь раз?
330. Логарифмический декремент затухания колебаний в контуре равен
λ = 0,003. Определить число полных колебаний N, за которое амплитуда
заряда на обкладках конденсатора уменьшилась в 2 раза.
43
331. Какую индуктивность L надо включить в колебательный контур, чтобы
при емкости С = 2 мкФ получить частоту ν = 1000 Гц?
332. Катушка с индуктивностью L = 30 мкГн присоединена к плоскому
конденсатору с площадью пластин S = 0,01 м2 и расстоянием между ними
d = 0,1 мм. Найти период колебаний Т и диэлектрическую проницаемость
ε среды, заполняющей пространство между пластинами конденсатора, если
контур настроен на частоту ν = 4·104 Гц.
333. Сила тока в колебательном контуре, содержащем катушку индуктивностью
L = 0,1Гн и конденсатор, со временем изменяется согласно уравнению
I = – 0,1· sin 200 πt, A. Определить максимальное значение энергии
магнитного поля Wмmax и максимальное напряжение на обкладках
конденсатора Umax .
334. В идеальном колебательном контуре, индуктивность которого
L = 2·10-7
Гн, происходят незатухающие электромагнитные колебания.
Амплитуда заряда на обкладках конденсатора и силы тока в контуре
соответственно равны qm =2· 10-8
Кл и Im =1 А. Определить период Т
колебаний и момент времени, когда энергия Wэл электростатического
поля в конденсаторе составляет n = 0,75 полной энергии W контура:
Wэл/W = n = 0,75.
335. Найти отношение энергии магнитного поля Wм колебательного контура к
энергии его электрического поля Wэл (Wм/Wэл) для момента t = T/8.
336. Уравнение изменения со временем разности потенциалов на обкладках
конденсатора в колебательном контуре имеет вид U = 50 ·cos 104πt, В.
Емкость конденсатора С = 0,1 мкФ. Определить максимальную энергию
электрического поля Wэл и индуктивность контура L .
337. В идеальном колебательном контуре происходят незатухающие колебания
с угловой частотой ω = 0,5 ·108 рад/с. Электроемкость конденсатора
С = 2 нФ, амплитуда напряжения на нем равна Um = 10 В. Определить
амплитуду заряда на обкладках конденсатора qm и силу тока I в контуре в
44
момент, когда энергия Wэл электростатического поля конденсатора
составляет n = 0,75 полной энергии W контура: Wэл / W = n = 0,75.
338. Колебательный контур содержит конденсатор электроемкостью С = 8 пФ
и катушку индуктивностью L=0,5 мГн. Каково максимальное напряжение
Umax на обкладках конденсатора, если максимальное значение силы тока в
контуре Imax = 2 мА.
339. В идеальном колебательном контуре происходят электромагнитные
колебания с линейной частотой ν0 = 1,0 МГц. В некоторый момент времени
мгновенная сила тока в контуре равна i = 3,14 ·10-2
А, мгновенная энергия
электрического поля конденсатора Wэл = 0,375 мкДж, напряжение на
конденсаторе U = 86,6 В. Определить электроемкость конденсатора С и
энергию магнитного поля Wм в этот момент времени.
340. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкости
С = 2,5 ·10-2
мкФ и катушки с индуктивностью L = 1,02 Гн. В момент
времени t = 0 конденсатору сообщают заряд qm = 2,5 мкКл. Найти полную
энергию контура W и силу тока i в контуре в момент времени, когда
напряжение на обкладках конденсатора впервые после начала колебаний
равно U = 70,7 В.
341. Найти смещение от положения равновесия точки ξ, отстоящей от
источника колебаний на расстоянии l = λ/12, для момента времени t = Т/6.
Амплитуда колебаний А = 0,05 м .
342. Звуковые колебания, имеющие частоту ν = 0,5 кГц и амплитуду А=0,25 мм,
распространяются в упругой среде. Длина волны λ= 70 см. Определить
скорость распространения волны и максимальную скорость колебаний
частиц.
343. От источника колебаний распространяется волна вдоль прямой линии.
Амплитуда колебаний равна А = 10 см. Каково смещение точки, удаленной
от источника на расстояние l = 0,75λ , в момент, когда от начала колебаний
прошло время t = 0,9 Т ?
45
344. Звуковая волна возбуждается источником колебаний частоты ν = 200 Гц.
Амплитуда колебаний источника равна А = 4 мм. Найти смещение ξ(l,t)
точек среды, находящихся на расстоянии l = 100 см от источника, в
момент времени t = 0,1 с. Скорость звуковой волны принять равной
= 300 м/с.
345. Звуковые колебания, имеющие частоту ν = 500 Гц и амплитуду
А = 0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны λ = 70 см. Найти:
1) скорость распространения колебаний; 2) максимальную скорость ξ′max
частиц воздуха.
346. Найти смещение от положения равновесия точки, расположенной на
расстоянии l = λ/6 от источника колебаний (λ – длина бегущей волны),
для момента времени t = T/4. Амплитуда колебаний равна А = 2 cм.
347. Волна с периодом Т = 1,2 с и амплитудой А = 2 см распространяется со
скоростью = 15 м/с. Чему равно смещение точки, находящейся на
расстоянии l = 45 м от источника волны, в тот момент, когда от начала
колебаний источника прошло время t = 4 с? Чему равно максимальное
значение скорости max этой точки?
348. Найти разность фаз колебаний двух точек, отстоящих от источника
колебаний на расстояниях l1 = 10 м и l2 = 16 м. Период колебаний
Т = 0,04 с, скорость распространения волны = 300 м/с. Определить
длину волны.
349. Смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника
колебаний на расстоянии l = 4 см, в момент времени t = Т/3 равно
половине амплитуды. Определить длину λ бегущей волны.
350. Звуковые колебания, имеющие частоту ν = 0,5 кГц и амплитуду
А = 0,25 мм, распространяются в упругой среде. Длина волны λ = 70 см.
Определить скорость распространения волны и максимальную скорость
max частиц среды.
46
351. На стеклянный клин (n = 1,5) падает нормально пучок света с длиной вол-
ны λ = 582 нм. Угол клина φ = 20". Какое число темных
интерференционных полос приходится на единицу длины клина?
352. На мыльную пленку, показатель преломления которой n =1,33, падает
белый свет под углом α = 450. При какой наименьшей толщине d пленки
отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет, длина волны которого
равна λ = 600 нм.
353. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует клин вследствие
стекания жидкости. Наблюдая интерференционные полосы в отраженном
свете ртутной дуги (λ = 546,1 нм), установлено, что расстояние между
пятью полосами равно 2 см. Найти угол клина в секундах. Свет падает
перпендикулярно поверхности клина. Показатель преломления мыльной
воды n = 1,33.
354. Пучок монохроматических (λ = 0,6 мкм) световых волн падает под углом
α = 300 на находящуюся в воздухе мыльную пленку (n =1,3). При какой
наименьшей толщине d пленки отраженные световые волны будут
максимально ослаблены в результате интерференции?
355. Между двумя плоскопараллельными стеклянными пластинками положили
очень тонкую проволочку, расположенную параллельно линии
соприкосновения пластинок и находящуюся на расстоянии l = 75 мм от
нее. В отраженном свете (λ = 0,5 мкм) на верхней пластинке видны
интерференционные полосы. Определить диаметр d поперечного сечения
проволочки, если на протяжении а = 30 мм насчитывается m = 16 светлых
полос.
356. Пучок света с длиной волны λ = 582 нм падает перпендикулярно к
поверхности стеклянного клина (показатель преломления стекла n = 1,5).
Двугранный угол клина φ = 2′. Какое число N темных интерференционных
полос приходится на 1 см длины клина.
357. На тонкий стеклянный клин (показатель преломления стекла n =1,55)
падает нормально монохроматический свет. Двугранный угол φ между
47
поверхностями клина равен 2′. Определить длину световой волны λ, если
расстояние между смежными интерференционными максимумами в
отраженном свете равно 0,3 мм.
358. На мыльную пленку (n = 1,3) , находящуюся в воздухе, падает нормально
пучок лучей белого света. При какой наименьшей толщине d пленки
отраженный свет с длиной волны λ = 0,55 мкм окажется максимально
усиленным в результате интерференции?
359. Поверхности стеклянного клина образуют между собой угол φ = 0,2 ′. На
клин нормально к его поверхности падает пучок лучей монохромати-
ческого света с длиной волны λ = 0,4 мкм. Определить ширину
интерференционной полосы (т.е. расстояние между смежными
максимумами или минимумами) в отраженном свете.
360. На тонкий стеклянный клин (n =1,5) в направлении нормали к его
поверхности падает монохроматический свет (λ = 600 нм). Определить
угол φ между поверхностями клина, если расстояние между смежными
интерференционными минимумами в отраженном свете равно а = 4 мм.
361. Расстояние между пятым и двадцать пятым светлыми кольцами Ньютона
равно 9 мм. Радиус кривизны линзы R = 15 м. Найти длину волны λ
монохроматического света, падающего нормально на установку.
Наблюдение проводится в отраженном свете.
362. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим
светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. После того как
пространство между линзой и пластинкой заполнили жидкостью, радиусы
темных колец в отраженном свете уменьшились в 1,25 раза. Определить
показатель преломления жидкости n.
363. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим
светом с длиной волны λ = 600 нм, падающим по нормали к поверхности
пластинки. Найти толщину h воздушного слоя между линзой и стеклянной
пластинкой в том месте, где наблюдается четвертое темное кольцо в
отраженном свете.
48
364. На установке для наблюдения колец Ньютона был измерен в отраженном
свете радиус третьего темного кольца. Когда пространство между
плоскопараллельной пластиной и линзой заполнили жидкостью, тот же
радиус стало иметь кольцо с номером, на единицу большим. Определить
показатель преломления n жидкости.
365. Расстояние Δr2,1 между вторым и первым темными кольцами Ньютона в
отраженном свете равно 1 мм. Определить расстояние Δr10,9 между деся-
тым и девятым кольцами.
366. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим
светом с длиной волны λ = 550 нм, падающим по нормали к поверхности
пластинки. Пространство между линзой и стеклянной пластинкой
заполнено водой (показатель преломления воды n = 1,3). Найти толщину
h слоя воды в том месте, где наблюдается третье светлое кольцо в
отраженном свете.
367. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим
светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Наблюдение
ведется в отраженном свете. Радиусы соседних темных колец равны
rm = 4,0 мм и rm+1 = 4,38 мм. Радиус кривизны линзы R = 6,4 м. Найти
порядковые номера колец и длину волны λ падающего света.
368. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим
светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны
линзы R = 8,6 м. Наблюдение ведется в отраженном свете. Измерениями
установлено, что радиус четвертого темного кольца равен r =4,5 мм.
Считая центральное темное пятно за нулевое, определить длину волны λ
падающего света.
369. Найти расстояние между третьим и шестнадцатым кольцами Ньютона,
если расстояние между вторым и двадцатым 4,8 мм. Наблюдение ведется в
отраженном свете.
370. Установка для получения колец Ньютона освещается светом с длиной
волны λ = 589 нм, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус
49
кривизны линзы R = 10 м. Пространство между линзой и стеклянной
пластикой заполнено жидкостью. Найти показатель преломления n
жидкости, если радиус третьего светлого кольца в проходящем свете равен
r 3 = 3,65 мм.
371. Радиус четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта равен
r4 =3 мм. Определить радиус шестой зоны Френеля r6.
372. На дифракционную решетку, содержащую n = 100 штрихов на 1 мм, падает
нормально монохроматический свет. Зрительная труба спектрометра
наведена на максимум третьего порядка. Для того чтобы навести трубу на
другой максимум того же порядка, ее нужно повернуть на угол Δφ = 200.
Определить длину волны света.
373. Дифракционная решетка содержит n = 200 штрихов на 1 мм. На решетку
падает нормально монохроматический свет с длиной волны λ = 0,6 мкм.
Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка?
374. На дифракционную решетку падает нормально пучок света от
газоразрядной трубки, наполненной гелием. На какую линии в спектре
третьего порядка накладывается красная линия гелия (λ = 0,6 мкм).
Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка?
375. На дифракционную решетку, содержащую n =400 штрихов на 1 мм, падает
нормально монохроматический свет с длиной волны λ = 0,6 мкм. Найти
общее число N дифракционных максимумов, которые дает эта решетка.
Определить угол φ дифракции, соответствующий последнему максимуму.
376. Дифракционная решетка освещена нормально падающим монохроматичес-
ким светом. В дифракционной картине максимум второго порядка
отклонен на угол φ1 = 140. На какой угол φ2 отклонен максимум третьего
порядка?
377. На диафрагму с круглым отверстием диаметром d = 4 мм падает
нормально параллельный пучок лучей монохроматического света с длиной
волны λ = 0,5 мкм. Точка наблюдения находится на оси отверстия на
расстоянии b = 1 м от него. Сколько зон Френеля укладывается в
50
отверстии? Темное или светлое пятно получится в центре дифракционной
картины, если в месте наблюдения поместить экран?
378. При освещении дифракционной решетки белым светом спектры второго и
третьего порядков частично перекрывают друг друга. На какую длину
волны в спектре второго порядка накладывается фиолетовая линия
(λ = 0,4 мкм) в спектре третьего порядка?
379. Какое число штрихов на единицу длины n имеет дифракционная решетка,
если зеленая линия в спектре ртути (λ = 546,1 нм) в спектре первого
порядка наблюдается под углом φ = 1908′ в спектре третьего порядка?
380. Найти радиусы первых пяти зон Френеля для плоской волны, если
расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения b = 1 м. Длина
волны света λ = 500 нм.
381. На пути естественного света
интенсивностью I0 помещены
две пластинки турмалина.
После прохождения пластин-
ки 1 свет полностью поляри-
зован. Угол φ между направ-
лениями ОО и О′О′ равен 300.
Определить, во сколько раз уменьшается интенсивность прошедшего света
I2 по сравнению с I0.
382. Под каким углом к горизонту должно находиться Солнце, чтобы
солнечный свет, отраженный от поверхности воды, был полностью
поляризован?
383. Найти показатель преломления n стекла, если при отражении от него
света отраженный луч будет полностью поляризован при угле
преломления β = 350.
384. Естественный свет интенсивностью I0 проходит через два поляроида, угол
между осями пропускания которых равен . Поглощение и отражение
пропускаемого света не учитывать. Отношение интенсивностей падаю-
51
щего и прошедшего света I0 / I2 = 2.
Определить угол φ между осями
пропускания поляризатора и
анализатора.
385. Найти угол φ между главными плоскостями поляризатора и анализатора,
если интенсивность естественного света, проходящего через поляризатор и
анализатор, уменьшается в 4 раза.
386. Угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора равен
φ1 = 450. Как изменится интенсивность света, прошедшего через
анализатор, если угол между плоскостями пропускания поляризатора и
анализатора увеличить в два раза?
387. Пучок естественного света падает на стеклян-
ную призму с углом θ = 300. Определить пока-
затель преломления стекла, если отраженный
луч является плоскополяризованным.
388. Естественный свет интенсивностью I0 проходит через два поляроида, угол
между осями пропускания которых
равен 600. Поглощение и отражение
пропускаемого света не учитывать.
Определить, во сколько раз умень-
шается интенсивность прошедшего света I2 по сравнению с I0 .
389. Угол Брюстера при падении света из воздуха на кристалл каменной соли
равен iБ = 570. Определить скорость света в этом кристалле.
390. Естественный свет интенсивностью I0 проходит через два поляроида, угол
между осями пропускания которых равен 450. Поглощение и отражение
пропускаемого света не учитывать. Определить, во сколько раз
уменьшается интенсивность прошедшего света I2 по сравнению с I0 .
52
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Валишев М.Г. Курс общей физики: учеб. пособие / М.Г. Валишев,
А.А. Повзнер. СПб.: Лань, 2009. 576 с.
2. Валишев М.Г. Курс общей физики. В 9 ч. Ч. 4. Колебания и волны: учеб.
пособие / М.Г. Валишев, А.А. Повзнер. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ
2007. 92 с.
3. Валишев М.Г. Курс общей физики. В 9 ч. Ч. 5. Волновая оптика: учеб.
пособие / М.Г. Валишев, А.А. Повзнер. Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ
2007. 62 с.
4. Савельев И. В. Курс общей физики: учеб. пособие. В 3 т. Т. 2. Электричество
и магнетизм. Волны. Оптика / И. В. Савельев. 6-е изд, стер. СПб.; М.;
Краснодар: Лань, 2006. 496 с.
5. Яворский Б.М. Курс физики / Б.М. Яворский, А.А. Детлаф М.: Высшая
школа, 1989. Т. 2,3.
6. Детлаф А. А. Курс физики: учеб. пособие для студентов втузов /
А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. 6-е изд., стер. М.: Академия, 2007. 720 с.
7. Трофимова Т. И. Курс физики: учеб. пособие для инженер.-техн.
специальностей вузов / Т. И. Трофимова. 14-е изд., стер. М.: Академия, 2007.
560 с.
8. Чертов А. Г. Задачник по физике: учеб. пособие для втузов / А. А. Чертов,
А. А. Воробьев. 7-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 2003. 640 с.
9. Трофимова Т.И. Сборник задач по курсу физики с решениями /
Т.И. Трофимова, З.Г. Павлова. М.: Высшая школа, 2001. 591 с.
10. Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики /
В. С. Волькенштейн. 3-е изд., испр. и доп. СПб.: Книжный мир, 2008. 328 с.
53
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 3
ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ .............................................................. 3
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3 ............................................................................... 8
Основные формулы для решения задач .................................................................. 8
Механические колебания.............................................................................................. 8
Электромагнитные колебания ................................................................................... 11
Волны в упругой среде ................................................................................................ 12
Волновая оптика. Интерференция света ................................................................ 12
Дифракция света ........................................................................................................... 13
Поляризация света ........................................................................................................ 14
Примеры решения задач ........................................................................................ 15
Таблица вариантов к контрольной работе № 3 .................................................... 38
Задачи для контрольной работы № 3 .................................................................... 38
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ................................................................... 52
54
Учебное издание
Физика
Колебания и волны. Волновая оптика
Составитель Сакун Галина Васильевна
Редактор О. В. Байгулова
Компьютерная верстка Н. Н. Анохиной
Подписано в печать 22.10.2010. Формат 60 84 1/16.
Бумага писчая. Плоская печать. Усл. печ. л. 3,14.
Уч.- изд. л. 2,4. Тираж 100 экз. Заказ
Редакционно-издательский отдел УрФУ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
Ризография НИЧ УрФУ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19