od twierdzenia o liczbach pierwszych do twierdzenia fermat. teoria

Wydział Matematyki i Informatyki

Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu

Środowiskowe Studia Doktoranckie

z Nauk Matematycznych

Od twierdzenia o liczbach pierwszych dotwierdzenia Fermat.

Teoria liczb w XX wieku

Władysław Narkiewicz

Wrocław

Publikacja współfinansowana ze środków Uni Europejskiej

w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Spis treści

Opis wykładu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I. Prehistoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II. Problemy Hilberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

III. Pierwsze lata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

IV. Pierwsze lata: 1901–1920. Analityczna teoria liczb . . . . . . . . . 99

V. 1920–1950. Analityczna teoria liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

VI. 1920–1950. Pozostałe metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

VII. Druga połowa stulecia. Analityczna teoria liczb . . . . . . . . . . . 224

VIII. Druga połowa stulecia. Inne metody . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

IX. Algebraiczna teoria liczb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

X. Wielkie Twierdzenie Fermata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

Opis wykładu

O ile w XIX wieku spora grupa czołowych matematyków zajmowała się zagadnieniamiteorii liczb jedynie na marginesie swoich głównych zainteresowań, to początek wieku dwudzie-stego przyniósł ugruntowanie tego działu matematyki jako samodzielnej części tej nauki i jegostosunkowo szybki rozwój. Wielka jest tutaj zasługa Edmunda Landau, który w 1909 rokuwydał obszerną monografię, poświęconą teorii liczb pierwszych. Hardy i Heilbronn napisalio niej:

„W niej analityczna teoria liczb jest po raz pierwszy przedstawiona nie jako zbiór kilkupięknych rozproszonych twierdzeń, ale jako systematyczna nauka. Książka ta przemieniła tenprzedmiot, będący dotąd miejscem polowań dla paru chętnych przygód bohaterów, w jednoz najbardziej płodnych pól badawczych.”

Celem wykładu jest prześledzenie tego rozwoju. Zostaną w nim omówione zarówno kla-syczne problemy teorii liczb, takie jak zagadnienia Goldbacha, Waringa, Catalana i Fermataoraz starożytny problem liczb doskonałych, jak i szereg nowszych problemów, takich jak hipo-teza Riemanna, czy też zagadnienie liczby klas form kwadratowych. Mam nadzieję, że wykładbędzie dostępny także i dla niespecjalistów, gdyż będę unikać spraw czysto technicznych.

Wykład rozpocznie się od krótkiej prehistorii rozważanej dziedziny (Gauss, Jacobi, Eisen-stein, Dirichlet, Kummer, Dedekind, Hadamard, de la Vallee-Poussin, Hensel) a potem będąomówione arytmetyczne problemy Hilberta, przedstawione na paryskim kongresie w roku 1900i ich dalsze losy. Następnie zajmę się głównymi odkryciami w kolejnych okresach dwudziestegostulecia, omawiając także nowe metody, posuwające naprzód badania nad starymi i nowymiproblemami. Wśród nich znajdą się między innymi metody sita, „circle method” Hardy’egoi Littlewooda, uproszczona następnie przez Winogradowa zasada Hassego, odnowienie teo-rii form modułowych, dokonane w latach trzydziestych przez Heckego, metoda Bakera i jejzastosowania w teorii równań diofantycznych.

Szczególna uwaga będzie poświęcona związkom teorii liczb z innymi działami matematyki,przede wszystkim z analizą i algebrą.

Wykład będzie oparty zasadniczo na mojej nowej książce Rational Number Theory in the

20th Century, która ukazała się przed miesiącem.

I. Prehistoria

Stare i nowePrehistoria

Stare

Twierdzenie Fermata: jesli p = 4k + 1, to p = a2 + b2.

Dowod Dirichleta: Niech p|1 + a2.

Par (x , y) z 0 ≤ x , y <√

p jest > p.Zatem istnieja

‘rozne pary (x1, y1), (x2, y2), spe lniaja

‘ce

x1 − ay1 ≡ x2 − ay2 (mod p),

wiecx1 − x2 ≡ a(y1 − y2) (mod p)

iA = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 ≡ 0 (mod p),

ale 0 < A < 2p i A = p.

W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU I. PREHISTORIA


Nowe

Dowod Don Zagiera:

S = (x , y , z) : x2 + 4yz = p, x , y , z ≥ 1.

(x , y , z) 7→

(x + 2z , z , y − x − z) gdy x < y − z ,(2y − x , y , x − y + z) gdy y − z < x < 2y ,(x − 2y , x − y + z , y) gdy x > 2y .

Ta inwolucja ma jeden fixpunkt (1, 1, (p − 1)/4), wie‘c 2 - #S .

Zatem inwolucja

(x , y , z) 7→ (x , z , y)

ma tez fixpunkt. Wtedy y = z i p = x2 + (2y)2.



Gauss

Carl Friedrich Gauss (1777–1855)

1. Disquisitiones Arithmeticae, Gottingae, 1801.

a) Podstawy arytmetyki

b) Formy kwadratowe aX 2 + 2bXY + cY 2,

c) Prawo wzajemnosci reszt kwadratowych,

d) Cyklotomia: wyrazenie pierwiastkow z jednosci przezpierwiastniki oraz konstrukcja n-ka

‘ta foremnego.

2. Theoria residuorum biquadraticorum, 1828.

a) Liczby ca lkowite Gaussa.

b) Prawo wzajemnosci reszt bikwadratowych.



Dirichlet

Peter Gustav Lejeune-Dirichlet (1805–1859)

Jako pierwszy stosuje analize‘

do teorii liczb.

a) 1837: L-funkcje mod p:

Lj(x) =∑

p-n

ζ jγnp−1

nx, n ≡ gγn (mod p), (j = 1, 2, . . . , p − 1)

gdzie g jest pierwiastkiem pierwotnym mod p.Ogolnie: L(x , χ) =

∑∞n=1

χ(n)nx , gdzie χ jest charakterem grupy

(Z/NZ)∗.

b) 1837-1839: Twierdzenie o poste‘pie arytmetycznym.

Nieskonczenie wiele liczb pierwszych p ≡ l mod k , gdy (k, l) = 1.

Wazny punkt dowodu: L(1, χ) 6= 0 dla χ 6= χ0.



Dirichlet, c.d.

c) 1838: Wzor na liczbe‘

klas form kwadratowych o zadanymwyrozniku d :

h(d) =

√|d |π L(1, χd) gdy d < 0,√d

2 log εL(1, χd) gdy d > 0,

gdzie χd(n) =(dn

)jest symbolem Kroneckera, a

ε = (T + U√

D)/2, przy czym

D =

d gdy d jest nieparzyste,d/4 gdy d jest parzyste,

a (T ,U) to minimalne rozwia‘zanie rownania |T 2 − DU2| = 4.

d) 1846: Struktura jednostek w Z[θ].



Jacobi

Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851)

a) 1826: Sformu lowanie prawa wzajemnosci reszt szesciennych.Dowod poda l Eisenstein w 1844 roku.

b) Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum,Regiomonti, 1829.

Jako zastosowanie funkcji eliptycznych: wzor na r4(n), iloscprzedstawien n na sume

‘4 kwadratow:

r4(n) =

8σ(n) gdy 2 - n,24σ(n) gdy 2|n,

gdzie σ(n) jest suma‘

dzielnikow n.



Liouville

Joseph Liouville (1809–1882)

a) 1844: Pierwsze przyk lady liczb przeste‘pnych.

b) 1851: Jesli α jest liczba‘

algebraiczna‘

stopnia n, to istnieje sta lac(α) > 0 taka, ze ∣∣∣∣α−

p

q

∣∣∣∣ ≥c(α)

qn

zachodzi dla wszystkich ca lkowitych p i naturalnych q.

Wniosek: Liczba ∞∑

n=1

1

10n!

jest przeste‘pna.

c) Liczba e nie jest pierwiastkiem ax2 + bx + c ∈ Z[x ].



Kummer

Ernst Eduard Kummer (1810–1893)

a) 1847: Liczby idealne w cia lach cyklotomicznych Q(ζn).

b) 1850: Wielkie Twierdzenie Fermata dla wyk ladnikowregularnych.

p jest regularna‘

liczba‘

pierwsza‘, gdy nie dzieli zadnego z licznikow

liczb Bernoulliego Bk przy k = 2, 4, . . . , p − 3 (p - hp).

z

ez − 1= 1 +

∞∑

n=1

Bn

n!zn.

c) 1859: Prawo wzajemnosci dla p-tych pote‘g w przypadku

regularnych liczb pierwszych p.



Czebyszew

Pafnutij Lwowicz Czebyszew (1821–1894)

1850: π(x) :=∑

p≤x 1, θ(x) :=∑

p≤x log p.

Dla duzych x

a1x < θ(x) < a2x , b1x

log x< π(x) < b2

x

log x,

z a1, a2, b1, b2 bliskimi 1.



Riemann

Bernhard Riemann (1826–1866)

1860: a) ζ(s) =∑∞

n=11ns przed luza sie

‘do funkcji meromorficznej i

dla s 6= 0, 1 spe lnia rownanie

Γ( s

2

)π−s/2ζ(s) = Γ

(1− s

2

)π−(1−s)/2ζ(1− s).

b) Hipoteza Riemanna: ”Es ist sehr wahrscheinlich, dass alleWurzeln [von ζ(s + 1/2)] reell sind. Hiervor ware allerdings einstrenger Beweis zu wunschen; ich habe indess die Aufsuchungdesselben nach einigen fluchtigen Versuchen vorlaufig bei Seitegelassen, da er fur den nachsten Zweck meiner Untersuchungentbehrlich schien.”



Riemann, c.d.

Riemann sformu lowa l szereg twierdzen bez dowodu:

c) Ilosc N(T ) zer ζ(s) w pasie 0 < =s ≤ T jest asymptotycznierowna

T

2πlog

(T

2π

)− T

2π.

To udowodni l von Mangoldt w 1895 r.



Riemann, c.d.

d) Dla x ≥ 2

π(x) =∞∑

n=1

µ(n)li(x1/n)

n,

gdzie

µ(n) =

(−1)ω(n) gdy n bezkwadratowe,0 w przeciwnym wypadku,

a ω(n) =∑

p|n 1.

Ten wzor jest fa lszywy. Wynika z niego π(x) < li(x) dla duzych x ,a tak nie jest (Littlewood, 1914).



Dedekind

Richard Dedekind (1831–1916)a) 1871–1893. Zbudowanie podstaw teorii liczb algebraicznychopartej na pojeciu idea lu.

b) 1882. Wspolnie z Weberem: teoria cia l funkcji algebraicznych 1zmiennej.

b) 1893: Funkcja zeta Dedekinda:

ζK (s) =∑

I

1

N(I )s,

gdzie N(I ) = #(ZK/I ).



Kronecker

Leopold Kronecker (1823–1891)

a) 1853, 1877: Twierdzenie Kroneckera-Webera: Cia lo o abelowejgrupie Galois jest podcia lem cia la cyklotomicznego.

Pierwszy dowod: Weber (1886). Pierwszy pe lny dowod: Hilbert(1896).

b) 1882: Oparcie teorii liczb algebraicznych na teorii form wieluzmiennych. Takze dla cia l funkcyjnych.



Hermite

Charles Hermite (1822–1901)

1842 (uczen w College Louis-le-Grand): prosty dowod tw. Abela orownaniach 5 stopnia.

1850: Istnieje c(n) takie, ze jesli θ1, . . . , θn ∈ R sa‘

rozne, to dlanieskonczenie wielu q oraz a1, . . . , an mamy

∣∣∣∣θj −ajq

∣∣∣∣ ≤c(n)

q1+1/n.

Wyk ladnik jest optymalny (Borel 1903), c(1) =√

5 (Hurwitz1891),optymalne c(n) dla n ≥ 2 nie jest znane. Przypuszcza sie

‘, ze

c(2) =√

2/7.



Hermite, c.d.

1854: Minimum rzeczywistej formy kwadratowej n zmiennych owyrozniku D w punktach z Zn jest ≤ ρn/D1/n, gdzie

ρn = (4/3)(n−1)/2.

1873: Liczba e jest przeste‘pna.

W 1882 r. Lindemann zastosowa l metode‘

Hermite’a do dowoduprzeste

‘pnosci π. Ogolniej: jesli a 6= 0 jest algebraiczne, to ea jest

przeste‘pna (tw. Hermite’a-Lindemanna).



Minkowski

Hermann Minkowski (1864–1909)

1891: Metody geometryczne w badaniu form kwadratowych.

1896: Geometrie der Zahlen.

Tw. o ciele wypuk lym: Jesli zbior X ⊂ Rn jest wypuk ly isymetryczny wzgle

‘dem 0 o obje

‘tosci > 2n, to zawiera niezerowy

punkt kraty Zn.

1907: Diophantische Approximationen (teoria liczb algebraicznychw je

‘zyku geometrycznym).



Klein

Felix Klein (1849–1925)

1890-1892 (wspolnie z Fricke): ”Vorlesungen uber die Theorie derelliptischen Modulfunktionen”.

Klein o teorii grup:Die Lehre von den Vertauschungsgruppen hat sich . . . zu einerselbstandigen Disziplin entwickelt. Wir begegnen da Namen wieCayley, Sylow, Dyck, Holder, Frobenius, Burnside und in neuererZeit vielfach auch Amerikanern. Fur viele Gemuter ist es einbesonderer Reiz, daß man auch hier wieder arbeiten kann, ohnevon sonstiger Mathematik viel zu wissen . . . .



Formy modu lowe

Forma modu lowa lub modularna wagi k dla grupy Γ = SL2(Z), tofunkcja f okreslona i regularna w H = z : =z > 0, spe lniaja

‘ca

f (A · z) = (cz + d)k f (z),

gdzie

A =

[a bc d

]∈ Γ, A · z =

az + b

cz + d.

Jesli jest to spe lnione dla macierzy A z grupy Γ(N) ⊂ Γ(zdefiniowanej przez warunek A ≡ E mod N), a dla A ∈ Γ mamy

f (A · z)(cz + d)−k = c0(A) +∞∑

n=1

cn(A) exp(2πinz/N),

to f jest forma‘

modu lowa‘

wagi k i poziomu N.



Formy modu lowe, c.d.

Teoria takich funkcji zosta la zbudowana w koncu XIX wieku przezHermite’a, Kleina i Poincarego oraz ich uczniow.

Podsumowanie owczesnej teorii da l Weber (”Elliptische Functionenund algebraische Zahlen”, 1891; ”Lehrbuch der Algebra”, t.3,1898).

Teoria ta okaza la sie‘

wielce przydatna w teorii liczb sto lat pozniej.



Mertens

Franciszek Mertens (1840–1927)

1897: Hipoteza Mertensa:

|M(x)| = |∑

n≤xµ(n)| ≤

√x .

Mertens sprawdzi l to dla x < 10 000, a von Sterneck (1898–1901)dla x < 500 000.

Wczesniej Stieltjes twierdzi l w liscie do Hermite’a (11.07.1885), zema dowod tej nierownosci.

Juz z M(x) = O(√

x) wynika hipoteza Riemanna, bo

∞∑

n=1

µ(n)

ns=

1

ζ(s).



Hipoteza Mertensa

Littlewood (1912): M(x) = O(x1/2+ε) dla wszystkich ε > 0 jestrownowazne z RH.

Ingham (1942): Z hipotezy Riemanna i liniowej niezaleznosci=ρn 6= 0 (ζ(ρn) = 0), poza skonczona

‘iloscia

‘wyja

‘tkow, wynika

fa lszywosc hipotezy Mertensa.

Knapowski (1962-1964): |M(x)| przyjmuje wartosci bliskie√

x :

|M(x)| >√

x exp

(− log x log log log x

log log x

).

Odlyzko, te Riele (1985): Hipoteza Mertensa jest fa lszywa:

lim supx→∞M(x)√

x> 1.



PNT

Jacques Hadamard (1865–1963)

de la Vallee-Poussin (1866–1962)

1896: ζ(1 + it) 6= 0. Jako wniosek:

θ(x) =∑

p≤xlog p = (1 + o(1))x ,

θ(x ; k , l) :=∑

p≤xε(p) log p =

(1

ϕ(k)+ o(1)

)x ,

gdzie

ε(p) =

1 gdy p ≡ l (mod k),0 gdy p 6≡ l (mod k).



PNT, c.d.

To daje

π(x) = (1 + o(1))x

log x

oraz

π(x ; k , l) := p ≤ x : p ≡ l (mod k) =

(1

ϕ(k)+ o(1)

)x

log x.



Hensel

Kurt Hensel (1861–1941)

1897: Liczby p-adyczne.

Ugruntowanie teorii: Kurschak (1913) – poje‘cie waluacji w

dowolnym ciele:

v(a + b) ≤ v(a) + v(b), v(ab) = v(a)v(b), istnienie uzupe lnienia,uzupe lnienie Ωp algebraicznego domknie

‘cia Qp jest zupe lne i

algebraicznie domknie‘te.

1934: Hasse, F.K.Schmidt: Opis cia l zupe lnych z dyskretna‘

waluacja‘.

Teoria waluacji: Deuring (1932), Krull (1932).


Max Deuring (1907-1984)


Hilbert

David Hilbert (1862–1943)

1897: Zahlbericht.

1899. Teoria rozszerzen kwadratowych.

1900. Odczyt na kongresie w Paryzu. 23 otwarte problemy.



Podsumowanie

1. Coraz wie‘ksza precyzja i poprawnosc rozumowan (Gauss,

Dirichlet, Weierstrass, Dedekind)

2. Zerwanie z zasada‘

”czystosci” teorii; zastosowanie metodanalitycznych w teorii liczb (Jacobi, Dirichlet)

3. Pojawienie sie‘

struktur. Nowe poje‘cia: grupa, cia lo, pierscien;

badanie grupy klas form (czy idea low) a nie tylko liczby klas.


II. Problemy Hilberta

Problem 7

Problem 7:

a) Dla niewymiernych liczb algebraicznych z, exp(iπz) jestprzeste

‘pne.

b) Jesli a 6= 0, 1 jest algebraiczne, a b algebraiczneniewymierne, to ab jest liczba

‘przeste

‘pna

‘lub moze tylko

niewymierna‘. Chodzi tu np. o 2

√2, czy eπ = i−2i .

W 1738 r. Euler przypuszcza l, ze jesli a, b 6= 0, 1 algebraiczne, tolog a/ log b jest wymierne lub przeste

‘pne.

W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU II. Problemy Hilberta

Problem 7, pierwsze kroki

Gelfond (1929): Jesli a 6= 1 algebraiczne, to a√−n (n = 1, 2, . . . )

jest liczba‘

przeste‘pna

‘. W szczegolnosci e−π = i2i = i

√−4 jest

przeste‘pne.

Kuzmin (1930): Jesli a 6= 1 algebraiczne, a n nie jest kwadratem,

to a√n (n = 1, 2, . . . ) przeste

‘pne. W szczegolnosci 2

√2.


Gelfond, Schneider

Gelfond i Schneider, niezaleznie (1934): Jesli a 6= 0, 1 jestalgebraiczne, a b algebraiczne niewymierne, to ab jest liczba

‘przestepna

‘.

Oba dowody wykorzystuja‘

algebraiczna‘

niezaleznosc funkcji ez ieaz przy algebraicznym a.


A.O.Gelfond (1906-1968) i L.J.Mordell (1888-1972)

Hipotezy

1. Hipoteza Schanuela (1960): Jesli a1, . . . , an liniowo niezaleznenad Q, to

dim .trQ(a1, . . . , an; exp(a1), . . . , exp(an)) ≥ n.

Z tego wynikne‘ laby algebraiczna niezaleznosc e i π

(a1 = 1, a2 = iπ).

2. Lang (1966) (4-exponentials conjecture): Jesli x2/x1 oraz y2/y1

sa‘

niewymierne, to przynajmniej jedna z liczb exp(xiyj) jestprzeste

‘pna.

6-exponentials theorem (Lang, 1966): Jesli x2/x1 6∈ Q, a y1, y2, y3

sa‘

liniowo niezalezne nad Q, to przynajmniej jedna z liczb exp(xiyj)jest przeste

‘pna.


Problem 8

Problem 8:

a) Hipoteza Riemanna: Jesli ζ(x + iy) = 0 i x > 0, to x = 1/2.

b) Oszacowanie roznicy π(x)− li(x). Czy jest ona rze‘du

niewie‘kszego niz rza

‘d√

x?

Nie jest jasne, czy chodzi tu o oszacowanie O(√

x), czy O(x1/2+ε)dla kazdego ε > 0. To ostatnie jest rownowazne hipotezieRiemanna (von Koch 1901).

c) Binarna hipoteza Goldbacha (1742): Kazda liczba parzystan ≥ 6 jest suma

‘2 liczb pierwszych.


Problem 8, c.d.

d) Istnienie nieskonczenie wielu liczb pierwszych blizniaczychp − p′ = 2.

e) Ogolniej: jesli (a, b, c) = 1 i 2|a + b + c, to rownanieax + by + c = 0 ma rozwia

‘zanie w liczbach pierwszych x , y .

f) Przeniesienie twierdzen o rozmieszczeniu liczb pierwszychna przypadek idea low pierwszych w algebraicznych cia lachliczbowych.


Poste‘p w Problemie 8a

1915. Hardy: Na prostej <s = 1/2 lezy nieskonczenie wiele zerζ(s).

1942. A.Selberg: Dodatnia proporcja zer lezy na <s = 1/2.

1958. Winogradow, Korobow: ζ(s) 6= 0 w obszarze<s > 1− a

log2/3(|t|)(log log(|t|))1/3dla |t| ≥ t0 ( 1958).

Mozna przyja‘c a = 1/57.54 = 0.017 . . . , t0 = 3 (Ford, 2000).

1974. Levinson: Ponad 34.74% zer lezy na <s = 1/2.1989. Conrey: Ponad 40.88% zer lezy na <s = 1/2.2004. Gourdon: Pierwszych 1011 zer funkcji ζ(s) lezy na <s = 1/2(Gourdon, 2004).

2011. Bui, Conrey, Young: Ponad 41.05% zer lezy na <s = 1/2.2011. Feng (ArXiv): Ponad 41.28% zer lezy na <s = 1/2.


Hipoteza Riemanna inaczej

Twierdzenia rownowazne RH:

1912. Littlewood: Jesli a1 < a2 < · · · < ak jest cia‘giem wszystkich

w lasciwych u lamkow o mianownikach ≤ n, to dla ε > 0

k∑

j=1

cos(2πaj) = O(

n1/2+ε).

1924. Franel: Dla ε > 0∑k

j=1

(aj − j

n

)= O(1/n1−ε).

1916. M.Riesz: Dla ε > 0 i duzych x

∞∑

k=1

(−1)k+1

Γ(k)ζ(2k)xk = O

(x1/4+ε

).


Hipoteza Riemanna inaczej, c.d.

1950–1954. Nymann, Beurling: Jesli ρa(t) = a/t, to rodzinaaρa(t)− ρ1(t) : a > 0 jest ge

‘sta w L2((0,∞)).

1984. Robin: Dla n ≥ 5041 σ(n) ≤ eγn log log n.

To zachodzi dla bezkwadratowych n (Choie i in., 2007) oraz dlaprawie wszystkich n (Wojtowicz, 2007).

2002. Lagarias: Jesli Hn = 1 + 1/2 + · · ·+ 1/n, to dla n ≥ 2σ(n) < Hn + exp(Hn) log(Hn).


Poste‘p w problemie 8b)

b) (∆(x) = π(x)− li(x))

∆(x) = O(

x exp(−c log1/2 x))

(de la Vallee-Poussin, 1899)

∆(x) = O(

x exp(−c log3/5 x

(log log x)1/5

))(Korobow, 1958).


Ingham

Ingham (1932): Jesli ζ(σ + it) 6= 0 dla σ > 1− c log−α |t|, to

π(x) = li(x) + O(

x exp(−c1 logβ x)),

z β = 1/(1 + α).

Turan (1950) udowodni l twierdzenie odwrotne.

Podobny wynik dla liczb pierwszych w poste‘pach udowodni l

Wiertelak (1971-1972).


Poste‘p w problemie 8f

Twierdzenie o idea lach pierwszych:

1903: Landau

πK (x) = #p : N(p) ≤ x = (1 + o(1))x

log x

= li(x) + O(x exp(− log1/13 x)).

1968: Mitsui i Soko lowski (niezaleznie):

πK (x) = li(x) + O

(x exp

(−c

log3/5 x

(log log x)1/5

)).

Podobne twierdzenia dla idea low w klasach : Landau (1907).W klasach mod f: Hecke (1917), Landau (1918).


Problem 9

Problem 9:

Prawa wzajemnosci reszt dla dowolnych wyk ladnikow wcia lach liczbowych.

Jesli Q(ζk) ⊂ K i k 6∈ p, to N(p) ≡ 1 mod k.Dla a 6∈ p mamy aN(p)−1 ≡ 1 (mod )p (ma le tw. Fermata dla cia l).Sta

‘d przy pewnym i

a(N(p)−1)/k ≡ ζ ik (mod p) =

(a

p

).

Przez multyplikatywnosc rozszerza sie‘

ten symbol do(ab

)dla

(a, b) = 1, (k , ab) = 1.

Problem: Wyznaczyc(ab

) (ba

).


Prawa wzajemnosci

k = 2: Euler (1783) – Gauss (1801),

k = 3: Jacobi (1826) – Eisenstein (1844),

k = 4: Gauss (1832),

k = p pierwsze: Eisenstein (1850) i Kummer (1850–1861) dla pregularnych, tj. gdy p nie dzieli mianownika liczb Bernoulliego B2j

przy j ≤ (p − 3)/2,

k = p, pierwsze dowolne: Furtwangler (1909–1913).


Artin-Hasse-Szafarewicz

Ogolne prawo wzajemnosci Artina (1927): H∗f (K ) −→ Gal(L/K )prowadzi do praw wzajemnosci dla wszystkich k (Hasse, Bericht).

Jawna forma: Szafarewicz (1950).


Problem 10

Problem 10:

”Man soll ein Verfahren angeben, nach welchem sich mittelsteiner endlichen Anzahl von Operationen entscheiden laßt, obdie Gleichung in ganzen rationalen Zahlen losbar ist.”

1960. Putnam: Nie istnieje algorytm dla sprawdzenia, czy danywielomian przedstawia wszystkie (lub wszystkie duze) liczbynaturalne.

1961. Davis, Putnam, Robinson: Nie istnieje algorytm dla rownanwyk ladniczych.

1963. Davis, Putnam: Nie istnieje algorytm dla rownanwielomianowych w pierscieniu Z[X ].

1970. Matijasewicz: Nie istnieje algorytm dla rownanwielomianowych w Z.


Problem 10, c.d.

1980. Denef: Nie istnieje algorytm dla rownan wielomianowych wZK dla cia l K w pe lni rzeczywistych.

1986. Rumely: Istnieje algorytm dla rownan wielomianowych wpierscieniu wszystkich liczb algebraicznych ca lkowitych.

1988. Pheidas: Nie istnieje algorytm dla rownan wielomianowychw ZK dla cia l K stopnia ≥ 3, maja

‘cych jedna

‘pare

‘nierzeczywistych w lozen w C.


Problem 11

Problem 11:

” . . . eine quadratische Gleichung beliebig vieler Variabelnmit algebraischen Zahlencoeffizienten in solchen ganzen odergebrochenen Zahlen zu losen, die in dem durch dieCoefficienten bestimmten algebraischenRationalitatsbereiche gelegen sind.”

1924. Hasse: Jesli f (x1, . . . , xn) jest forma‘

kwadratowa‘

nad cia lemK , to rownanie f = 0 ma rozwia

‘zanie w K wtedy i tylko wtedy,

gdy ma rozwia‘zanie w kazdym uzupe lnieniu K .”

Zasada Hassego: Zdanie P jest prawdziwe w K , gdy jestprawdziwe w kazdym uzupe lnieniu K .


Zasada Hassego

Pierwszy przyk lad (Rados 1922): P = Wielomianf (X ) = X n + · · · ∈ Q[X ] rozk lada sie

‘na czynniki liniowe nad Q.

1923–1924. Hasse: P=Formy kwadratowe f , g sa‘

nad Krownowazne.1931. Hasse: Dla cyklicznych L/K : P = a ∈ K jest norma

‘w

L/K.1970. Schinzel: P: Istnieje rozwia

‘zanie

∏mj=1 a

xjj = b w danym

ciele K ([K : Q] <∞).


Andrzej Schinzel

Zasada Hassego

Zasada Hassego nie zawsze zachodzi:

1897. Hilbert: Wielomian x4 + 13x2 + 81 jest nieprzywiedlny nadQ, ale jest przywiedlny we wszystkich uzupe lnieniach.

1935. Witt: x2 + y 2 = a w cia lach funkcyjnych.

1940. Reichardt: x4 − y 2 = 2 w Q.

1951. Selmer: 3x3 + 4y 3 + 5z3 = 0 w Q.

Nie zachodzi tez dla form stopnia 5 nad Q (Fujiwara, 1972), orazdla form stopni 15, 25, . . . (Fujiwara, Sudo, 1976).


Problem 12

Problem 12:

”Von der hochsten Bedeutung endlich erscheint mir dieAusdehnung des Kroneckerschen Satzes auf den Fall, daß anStelle des Bereichs der rationalen Zahlen oder desimaginaren quadratischen Zahlenbereiches ein beliebigeralgebraischer Zahlkorper als Rationalitatsbereich zu Grundegelegt wird; ich halte dies Problem fur eines dertiefgehendsten und weittragendsten Probleme der Zahlen-und Functionentheorie.”


Problem 12, c.d.

Abelowe rozszerzenia cia la liczb wymiernych sa‘

generowane przezkombinacje liniowe pierwiastkow z jednosci (twierdzenieKroneckera-Webera).

Kronecker przypuszcza l, ze abelowe rozszerzenia urojonych cia lakwadratowego K jest generowana przez wartosci funkcji j(z) przyz ∈ k .


Funkcja j

j(z) =(1 + 240

∑∞k=1 σ3(k)qk)3

q∏∞

k=1(1− qk)24

= q−1 + 744 + aq + bq2 + cq3 · · · , (q = exp(2πiz))

gdzie a = 196 884, b = 21 493 760, c = 864 299 970.

”Monster”, M, to najwie‘ksza sporadyczna grupa prosta o

∼ 8 · 1053 elementach (przypuszczenie: Fischer–Griess (1973);konstrukcja: Griess (1980), jako grupa automorfizmow pewnejalgebry o wymiarze 196883).

Wymiary jej reprezentacji nieprzywiedlnych, to1, φ = 196 883, ψ = 21 296 876, τ = 842 609 326, . . . .


Monster

Dziwne zwia‘zki: a = 1 + φ, b = ψ + φ+ 1, c = τ + ψ + 2φ+ 2 · 1.

1984: Frenkel, Lipowsky, Meurman: konstrukcja algebry z gradacja‘

V \ =∞⊕

k=0

Vn,

z Aut(V \) =M oraz

n∑

k=0

qn dim Vn = q(j(z)− 744).


Funkcja j a krzywe eliptyczne

Zwia‘zek j(z) z krzywymi eliptycznymi:

Dla z ∈ C \ R niech Λ oznacza krate‘a + bz : a, b ∈ Z.

z 7→ C/Λ 7→ ℘(z) =1

z2+

∑

w∈Λ,w 6=0

(1

(z + w)2− 1

w 2

),

gdzie ℘ to funkcja Weierstrassa dla okresow 1, z .Spe lnia ona rownanie postaci

(℘′)2 = 4℘3 − a℘− b,

sta‘d ℘ 7→ E , gdzie E : y 2 = 4x3 − ax − b jest krzywa

‘eliptyczna

‘.

Z kolei niezmiennik, klasyfikuja‘cy krzywe eliptyczne, to

j(E ) = 1728a3

a3−27b2 . Wreszcie j(z) := j(E ).


Fueter - Hasse

Fueter (1914) i Hasse (1927–1931) opisali elementy generuja‘ce dla

abelowych rozszerzen cia l Q(√

d) (d < 0) (teoria mnozeniazespolonego).

Przypuszczenie Kroneckera okaza lo sie‘

nies luszne dla rozszerzeniaQ( 4√

1 + 2i)/Q(i) (Fueter, 1914).


Problem 18

Problem 18:

W tym problemie wspomina sie‘

o najge‘stszym upakowaniu sfer i

czworoscianow w R3.

Przypadek regularny: Dla danej kraty Λ ⊂ Rn rozpatruje sie‘

rodzine‘

jednakowych kul o srodkach w punktach Λ. Jesli In jestkostka

‘jednostkowa

‘, to ρn(Λ) oznacza granice

‘stosunku obje

‘tosci

zaje‘tej przez te kule w xIn do xn, a ρn = supΛ ρn(Λ).

To sie‘

wia‘ze z minimum m(f ) na kracie Zn dla dodatnio

okreslonych form kwadratowych f o n zmiennych. Jesliγn = maxf

m(f )

Disc1/n(f ), to ρn wyraza sie

‘przez γn.

ρ2 = π/12 (Lagrange, 1773), ρ3 = π/√

18 (Gauss, 1831),ρ4 = π2/16 i ρ5 = π2/450 (Korkin, Zo lotariew, 1872),ρ6 = π3/(48

√3), ρ7 = π3/105 i ρ8 = π4/384 (Blichfeldt,

1925–1935). Dla n ≥ 9 znamy jedynie oszacowania.


Problem Keplera

Przypadek nieregularny: Nie zak lada sie‘, ze srodki sfer leza

‘w

kracie.

Hipoteza Keplera: W R3 optymalna ge‘stosc, to π/

√18.

Dowod poda l Hales (1997–2006).


Literatura

1. ”Mathematical Developments Arising from Hilbert’s Problems”,AMS, 1976.

2. I.Kaplansky, ”Hilbert’s problems”, University of Chicago Press,1977.


III. Pierwsze lata

Liczby doskona le

Liczba n jest doskona la, gdy σ(n) = 2n.

Euklides–Euler: Parzysta liczba n jest doskona la, gdy n = 2p−1Mp,a Mp = 2p − 1 jest liczba

‘pierwsza

‘(tzw. liczba

‘Mersenne’a).

Najwie‘ksza

‘znana liczba

‘Mersenne’a jest Mp z p = 43 112 609 (ma

ona prawie 13 · 106 cyfr).

Przypuszcza sie‘, ze nieparzystych liczb doskona lych (OPN) nie ma.

Jesli n jest taka‘, to n > 10300 (Brent i in., 1991).

W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU III. Pierwsze lata

Test Lucasa

Edouard Lucas (1842–1891)

Niech S1 = 4, Sk+1 = S2k − 2. Jesli p ≥ 3, to Mp = 2p − 1 jest

liczba‘

pierwsza‘

wtedy i tylko wtedy, gdy Mp dzieli Sp−1.

W sieci dzia la grupa GIMP (Great Internet Mersenne Search)stosuja

‘ca ten test dla wielkich liczb pierwszych.

Adres: http://www.mersenne.org


Dickson

Leonard Dickson (1874–1954)

1913: Dla kazdego k liczb OPN maja‘cych k dzielnikow pierwszych

jest skonczenie wiele.

Kazda taka liczba jest mniejsza od 24k (Nielsen, 2003).

1919: History of the Theory of Numbers.


Hipoteza Dicksona

1908. Hipoteza Dicksona: Jesli fi (X ∈ Z[X ] (i = 1, 2, . . . , n) sa‘

liniowe, a ich iloczyn nie ma sta lego dzielnika > 1, to dlanieskonczenie wielu n liczby fi (n) sa

‘pierwsze.

1972. Hensley i Richards: Z hipotezy Dicksona wynika istnieniex , y z π(x + y) > π(x) + π(y).


Problem Waringa

Waring (1770): ”Every integer is a sum of two, three, . . . , ninecubes; every integer is also the square of a square, or the sum ofup to nineteen such; and so forth. Similar laws may be affirmed forthe correspondingly defined numbers or quantities of any degree,”

Minimalna liczba s taka, ze dla wszystkich naturalnych n mamyn =

∑sj=1 x s

j z xj ≥ 0, oznaczana jest przez g(k), zas G (k), tominimalna liczba s, dla ktorej to zachodzi dla duzych n.

Przypuszczenie Waringa: g(k) <∞.


Problem Waringa w XIX wieku

Lagrange (1770): g(2) = G (2) = 4.

Liouville (1859): g(4) ≤ 53.

Maillet (1895, 1896): g(3) ≤ 21, g(5) <∞.


Waring dla bikwadratow

Dowod Liouville’a:

6(x21 + x2

2 + x23 + x2

4 )2 =∑

1≤i<j≤4

(xi + xj)4 +

∑

1≤i<j≤4

(xi − xj)4,

zatem 6n2 jest suma‘

12 bikwadratow, a sta‘d 6m jest suma

‘48.

Ostatecznie g(4) ≤ 48 + 5 = 53.


Waring, rok 1909

a) g(3) = 9 (Wieferich)

b) G (3) ≤ 8 (Landau)

Dzis wiemy, ze 4 ≤ G (3) ≤ 7 (Linnik, 1943).

c) g(k) <∞ (Hilbert)

Dowody opiera ly sie‘

na mniej lub bardziej zawi lych tozsamosciach.Pierwszy dowod Hilberta uzywa l ca lki w R25. Prowadzi l dolog log log g(k) = O(k log k) (Rieger, 1953).


Twierdzenie Thue

Axel Thue (1863–1922)

Jesli α jest liczba‘

algebraiczna‘

stopnia d > 1, to dla ε > 0

∣∣∣∣α−p

q

∣∣∣∣ ≥c(α)

qd/2+1+ε



Wnioski

a) Thue 1909: Jesli f ∈ Z[x , y ] jest forma‘

nieprzywiedlna‘

stopnia≥ 3, to dla c 6= 0 rownanie

f (x , y) = c

ma skonczenie wiele rozwia‘zan w Z.

b) Thue 1917: Jesli a 6= 0, b2 6= 4ac to przy ustalonym nrownanie yn = ax2 + bx + c ma skonczenie wiele rozwia

‘zan w Z.


Siegel

Carl Ludwig Siegel (1896–1981)

1921 (praca doktorska): Jesli α jest stopnia d > 1, to

∣∣∣∣α−p

q

∣∣∣∣ ≥c(α)

q2√d


W 1947 r. Dyson zasta‘pi l wspo lczynnik 2 przez

√2.


Roth

Klaus F.Roth, ur. 1925

1955 (Medal Fieldsa 1958): Jesli α 6∈ Q jest algebraiczna, to dlaε > 0 ∣∣∣∣α−

p

q

∣∣∣∣ ≥c(α)

q2+ε


Sta la c(α) nie jest efektywna.


Efektywizacja

Efektywizacja:Dla α = 3

√2 mamy ∣∣∣∣α−

p

q

∣∣∣∣ ≥c

qλ,

λ = 2.955, c = 10−3 (A.Baker, 1964),

λ = 2.45, c = 0.25 (Bennett, 1997),

λ = 2.4325, c = 0.25 (Voutier, 2007).


Efektywizacja,c.d.

1971. Feldman: Jesli degα = n ≥ 3, to dla wszystkich ca lkowitychp i naturalnych q ∣∣∣∣α−

p

q

∣∣∣∣ ≥c(α)

qn−δ(a)

z efektywnymi c(α) i δ(a) > 0.

1996. Bombieri, van der Poorten, Vaaler: Jesli ε > 0,α3 + mα + 1 = 0 i m > m(ε), to

∣∣∣∣α−p

q

∣∣∣∣ ≥c

q2+ε

z efektywnym c .


Ge‘ste podzbiory [0, 1]

1914. Hardy, Littlewood: a) Jesli λn →∞, to dla prawiewszystkich θ ∈ R cia

‘g λnθ lezy ge

‘sto w I = [0, 1].

b) Istnieja‘

niewymierne liczby θ, dla ktorych cia‘g 2nθ nie lezy

ge‘sto w I .

c) Pytanie: Czy istnieje θ takie, ze dla pewnego 2 ≤ q ∈ Z cia‘g

qnθ da‘zy do zera?

d) 1919. Hardy: Liczba algebraiczna θ ma te‘

w lasnosc ⇔ θ > 1, ajej sprze

‘zone leza

‘we wne

‘trzu ko la jednostkowego. [Wczesniej:

Thue, 1912. Pozniej: Pisot (1936) i Vijayaraghavan (1940), tzw.liczby PV .]


Liczby P-V

Pisot, Vijayaraghavan: a > 1 jest liczba‘

PV ⇔ Istnieje λ > 1takie, ze

∞∑

n=1

‖ λan ‖2<∞.

1944. Salem: Zbior liczb PV jest domknie‘ty i nigdzie ge

‘sty.

1944. Siegel: Najmniejsze liczby PV to rzeczywiste pierwiastkix3 − x − 1 i x4 − x3 − 1.

1953. Dufresnoy, Pisot: Najmniejszy punkt skupienia liczb PV to(1 +

√5)/2.


Charles Pisot (1910-1984)

Weyl

Hermann Weyl (1885–1955)

Cia‘g r1, r2, . . . liczb z [0, 1) ma ekwipartycje

‘mod 1, gdy dla

0 ≤ a < b < 1

limn→∞

1

n#k ≤ n : a ≤ rk < b = b − a.

Bohl (1909), Weyl (1910), Sierpinski (1910): Dla α ∈ R \Q cia‘g

nα ma ekwipartycje‘

mod 1.


Przypuszczenie Chinczyna

1923. Chinczyn przypuszcza l, ze jesli zbior A ⊂ [0, 1] jestmierzalny, oraz m1 < m2 < . . . , to dla prawie wszystkich θ

limn→∞

1

n#k ≤ n : mjθ ∈ A = µ(A).

Kontrprzyk lad: Marstrand (1970).


Kryterium Weyla

Weyl (1914): Cia‘g r1, r2, · · · ⊂ [0, 1) ma ekwipartycje

‘mod 1 wtedy

i tylko wtedy, gdy dla kazdej funkcji F R-ca lkowalnej w [0, 1] mamy

limN→∞

1

N

∑

n≤NF (rn) =

∫ 1

0F (t)dt.

Jest to rowowazne z

limN→∞

1

N

N∑

k=1

exp(2πimrk) = 0 (m ∈ Z,m 6= 0).


Ekwipartycja wartoci wielomianow

Weyl i niezaleznie Hardy i Littlewood (1914): Jesli dlaf (x) =

∑dj=0 ajX

j ∈ R[x ] przynajmniej jeden ze wspo lczynnikowa1, . . . , ad jest niewymierny, to cia

‘g f (n) ma ekwipartycje

‘mod

1.

Weyl to udowodni l poprzez oszacowania sum postaci∑Nn=1 exp(2πif (n)) (sumy Weyla).

Pozniej elementarny dowod znalaz l van der Corput (1931).

Sumy Weyla znalaz ly zastosowanie w problemie Waringa, teoriifunkcji ζ(s), teorii liczb pierwszych oraz teorii aproksymacjidiofantycznych.


Twierdzenie Gaussa

Ω – obszar na p laszczyznie o polu V , a N(Ω) – liczba punktowkratowych w Ω.

Gauss: Jesli Ω jest zbiorem wypuk lym, to N(xΩ) = x2V + O(x).


Wzor Picka

1886. Pick: Jesli P ⊂ R2 jest wieloka‘tem o wierzcho lkach w Z2, to

vol(P) = I + B/2− 1, gdzie I ,B, to liczby punktow kratowychwewna

‘trz wzgl. na brzegu P.

1993. Morelli: Uogolnienie na wielosciany w Rn.


Punkty kratowe w wieloscianach

1923. Chinczyn: Dla prawie wszystkich wieloka‘tow P ⊂ R2

#tP ∩ Z2 = t2vol(P) + O(log1+ε t

)(ε > 0).

1962. Ehrhart: Jesli P ⊂ Rn jest wieloscianem wypuk lym owierzcho lkach w Zn, to #tP ∩ Zn jest wielomianem w t(wielomian Ehrharta).

To sie‘

wia‘ze z charakterystyka

‘Eulera rozmaitosci algebraicznych

(Cappel, Shaneson, 1994).

1994. Barvinok: Istnieje wielomianowy algorytm dla znalezienialiczby punktow kratowych w wieloscianie ustalonego wymiaru(przedtem by lo to znane dla dim ≤ 4).


Problem dzielnikow

T (t), to liczba punktow kraty Z2 w obszarze x ≥ 1, 1 ≤ y ≤ t/x .Jesli d(n) jest suma

‘dzielnikow n, to

∑

n≤td(n) =

∑

n≤t

∑

d |n1 =

∑

d≤t

[ t

d

]= T (t).

Dirichlet: T (t) = t log t + (2γ − 1)t + O(√

t), gdzie

γ = limn→∞

(n∑

k=1

1

k− log n

)= 0.577 . . .

jest sta la‘

Eulera.


Woronoj

Georgij Feodosewicz Woronoj (1868–1908) nauczycielWac lawa Sierpinskiego

1903: T (t) = t log t + (2γ − 1)t + R(t), gdzieR(t) = O

(t1/3 log t

).

Metoda: Podzia l obszaru pod hiperbola‘

na odpowiednio dobranecze

‘sci.


Problem dzielnikow, c.d.

R(t) = −2∑

n≤√t

( t

n

− 1

2

)+ O(1).

Poniewaz

x − 1/2 =1

2π

∑

n∈Z,n 6=0

exp(2πnti)

n,

badanie reszty R(t) sprowadza sie‘

do oszacowania sumtrygonometrycznych. Metody oszacowan takich sum stworzyli vander Corput (1919) i I.M.Winogradow (1917).

Obecny rekord: R(t) = O(tc) z c > 131/416 = 0.3149 . . .(Huxley, 2003).

R(t) 6= O(t1/4) (Hardy, 1915).


Problem ko la

Jesli Ω jest ko lem jednostkowym, to V = π, wie‘c

F (x) = N(√

xΩ) =∑

a2+b2≤x1 = πx + r(x),

gdzie r(x) = O(√

x).

1906 Sierpinski: r(x) = O(xc), z c = 1/3.

W 1922 r. van der Corput uzyska l c = 0.33. Obecny rekord todowolne c > 131/416 = 0.3149 . . . (Huxley, 2003).


Krzywe eliptyczne

Krzywa eliptyczna E nad cia lem charakterystyki 6= 2, 3 da sie‘

sprowadzic do postaci

y 2 = f (x), deg f = 3, (f , f ′) = 1.

Po dodaniu punktu ∞ ma strukture‘

grupy abelowej (to jest ukrytew pracy Poincare o krzywych algebraicznych z 1901 r.)

Z twierdzenia Thue wynika, ze na krzywej eliptycznej E (Q) lezyjedynie skonczenie wiele punktow (x , y) ∈ Z2 (Mordell, 1922).

1922. Mordell: E (Q) jest skonczenie generowalna.

To jest tez prawda‘

dla krzywych E (K ), gdzie [K : Q]∞ (Weil,1928) i rozmaitosci abelowych nad cia lem skonczeniegenerowalnym (Neron, 1952).


Krzywe eliptyczne, c.d.

Twierdzenie Mordella daje: : E (Q) = Zr ⊕ A, gdzie A = Etor (Q)skonczona.

Efektywne wyznaczanie punktow torsyjnych:

Twierdzenie Nagell (1935) – Lutz (1937): JesliE : y 2 = x3 + ax + b (a, b ∈ Z) i P = (x , y) ∈ Etor (Q), to P =∞lub x , y ∈ Z oraz y 2|4a3 + 27b2.


Levi – Mazur – Merel

Levi (1908) znalaz l ∞ krzywych E , dla ktorych Etor (Q) to Cn

(n ≤ 10), C12 oraz A = C2n ⊕ C2 (n ≤ 4) i przypuszcza l, ze innegrupy nie sa

‘mozliwe. Udowodni l to B.Mazur w 1977 r.

Merel (1996): #Etor (K ) ≤ c(N) (N = [K : Q]). Dok ladniej: jeslipn|#Etor (K ), to p ≤ N3N2

(Merel), a pk < 1055NN6 (Parent,1999).


Krzywe eliptyczne nad cia lami skonczonymi

1941: Deuring: Opis rze‘dow krzywych eliptycznych nad Fp.

1969: Waterhouse: Taki opis dla krzywych nad Fpn .

1987. Ruck: Opis struktury grupowej krzywych nad Fpn .


IV. Pierwsze lata: 1901–1920. Analityczna teoria liczb

Metody analityczne

LandauLiczby pierwszePierwsze sitaSumy P-WHardy, Littlewood, Ramanujan

Omowienie

Szybki rozwoj analizy zespolonej w XIX wieku — zastosowania jejmetod w teorii liczb.Ca lkowanie zespolone stosowa l do tych celow juz Riemann, a teorie

‘szeregow Dirichleta

∞∑

n=1

anns

probowa l zbudowac Cahen (1894).

W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IV. Pierwsze lata: 1901–1920 Analityczna teoria liczb

Metody analityczne


Landau o Cahenie

O pracy Cahena Landau napisa l w 1909 roku:”Alsdann enthalt aber der auf die allgemeine Theorie derDirichletschen Reihen bezuglicher Teil seiner Arbeit eine Reihe vonFehlschlussen verschiedenster Art und mit ihrer Hilfe eine so großeZahl tiefliegender und merkwurdiger Gesetze, daß vierzehn Jahreerforderlich waren, bis es moglich wurde bei jedem einzelnen derCahenscher Resultate festzustellen, ob es richtig oder falsch ist.”


Metody analityczne


Wzor Perrona

Najcze‘stszy sposob stosowania analizy do teorii liczb, to warianty

wzoru (Riemann, Cahen, Perron)

∑

m≤xam =

1

2πi

∫ c+i∞

c−i∞f (s)

x s

sds

dla

f (s) =∞∑

n=1

anns.

Zak lada sie‘

tu zbieznosc szeregu∑∞

n=1anns dla <s > σ, zas c > σ,

a x nie jest liczba‘

ca lkowita‘.


Metody analityczne


Wzor Perrona, c.d.

Wzor ten wynika z tozsamosci

1

2πi

∫ c+i∞

c−i∞

y s

sds =

1 gdy y > 1,1/2 gdy y = 1,0 gdy 0 < y < 1.


Metody analityczne


Landau

Edmund Landau (1877–1938) Jako pierwszy systematycznie

stosowa l metody analityczne w teorii liczb.

1899: Nowy dowod rownosci∑∞

n=1µ(n)n = 0.

1902. Pierwsze kroki w problemie 8 (cz. f) Hilberta —przeniesienie teorii Czebyszewa na idea ly pierwsze:

ax

log x≤ #p : N(p) ≤ x ≤ b

x

log x.

1903. Twierdzenie o idea lach pierwszych:

πK (x) := #p : N(p) ≤ x = (1 + o(1))x

log x.


Metody analityczne


Landau, c.d.

1909. ”Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen”.

Hardy i Heilbronn napisali w nekrologu Landau’a o tej ksia‘zce:

”In it the analytic theory of numbers is presented for the first time,not as a collection of few beautiful scattered theorems, but as asystematic science. The book transformed the subject, hitherto thehunting ground of a few adventurous heroes, into one of the mostfruitful fields of research . . . ”.

Gronwall napisa l w recenzji w Biuletynie AMS: ”the exposition in itis a model of clearness and rigor”.


Metody analityczne


Problemy Landau

Jeszcze w 1911 pisano o teorii liczb: “Quoique methodes de latheorie des nombres paraissant encore bien vague et imprecises, onpeut neanmoins signaler dans cette partie de la Science l’existenced’un petit nombre d’idees generales . . . ” (Chatelet, These).

1912: Trzeci ICM w Cambridge, pierwszy odczyt z teorii liczb naKongresie wyg losi l Landau o problemach.

M.in.: Czy wielomian x2 + 1 przedstawia nieskonczenie wiele liczbpierwszych? (To jest szczegolny przypadek przypuszczeniaBuniakowskiego z po lowy XIX wieku).

To jest rownowazne z istnieniem ∞ wielu liczb pierwszych p z√p < 1

pc z c = 1/2. Dzis wiemy, ze mozna przyja‘c tu dowolne

c < 1/4 (Balog (1983), Harman (1983)). RH ⇒ (c < 1/2 jestdobre) (Kaufman, 1979).


Metody analityczne


Twierdzenie Littlewooda

Przypuszczenie (sprawdzone wowczas dla x ≤ 109, a obecnie do1014), ze dla x ≥ 2 zachodzi π(x) < li(x) obali l Littlewood (1914):

π(xn) > li(xn) + c√

xnlog log log xn

log xn(xn →∞).

1933. Skewes: RH ⇒ π(x) > li(x) dla pewnego x < 1010a za = 1034.

1955. Skewes: π(x) > li(x) dla pewnego x < 1010b z b = 101000.

2010. Saouter, Demichel: Juz dla pewnego x < 1.38 · 10316.


Metody analityczne


Zmiany znaku

ν(T ) – ilosc zmian znaku π(x)− li(x) w przedziale [2,T ].

1935. Ingham: RH ⇒ ν(T ) > c log T .

1961. Knapowski: ν(T ) > a log log T . Efektywnie:ν(T ) ≥ e−35 log log log log T .

1985. Kaczorowski: ν(T ) > b log T dla duzych T .


Jerzy Kaczorowski

Metody analityczne


Eratostenes

Sito Eratostenesa-Legendre’a:

π(N) = π(√

N) +k∑

i=1

(−1)i∑

pj1<···<pji<√N

[N

pj1 · · · pji

],

wie‘c

π(N) = π√

N +∑

d |Dµ(d)

[N

d

],

gdzie D =∏

p≤√N p.


Metody analityczne


Sito Bruna

Viggo Brun (1885–1978)

Brun (1915–1920) zauwazy l, ze przerywaja‘c procedure

‘Legendre’a

na parzystym kroku otrzymamy oszacowanie dolne, a przerywaja‘c

na kroku nieparzystym otrzymamy oszacowanie dolne. To da lo:

a) Ilosc liczb pierwszych p ≤ x , dla ktorych p + 2 jest pierwsze jest< 100x

log2 xdla duzych x .

b) Dla duzych n mamy 2n = a + b, przy czym ω(a), ω(b) ≤ 9(ω(n) =

∑p|n 1).

c) Dla x > x0 w przedziale [x , x +√

x ] lezy liczba a z ω(a) ≤ 11.


Metody analityczne


Twierdzenie Bruna-Titchmarsha

d) Istnieje sta la C taka, ze

π(x ; k , l) ≤ C

ϕ(k)

x

log(x/k).


Metody analityczne


Sito Bruna, c.d.

Dalsze zastosowania:

Nagell 1922: Dla 1 ≤ n ≤ x wielomian moze przedstawiacconajwyzej o(x) liczb pierwszych.(Dopiero w 1932 Heilbronn uzyska l tu O(x/ log x).

Rademacher 1923: Jesli f ∈ Z[X ] stopnia d jest nieprzywiedlny inie ma sta lego dzielnika, to Ω(f (n)) ≤ 4d − 1 dla ∞ n.

Znacznie silniejsze sita doprowadzi ly do Ω(f (n)) ≤ d + 1(Buchsztab, 1965 i Richert, 1969), a dla wielomianowkwadratowych mamy Ω(f (n)) ≤ 2 dla ∞ n (Iwaniec, 1978).


Henryk Iwaniec

Metody analityczne


Polya-Winogradow

1918. Polya, Winogradow: Jesli χ 6= 1 jest charakterem mod k, to

S(χ) =

∣∣∣∣∣∣∑

n≤xχ(n)

∣∣∣∣∣∣≤√

k log k .

Mozna przyja‘c c = 1/(π

√2) = 0.225 . . . (Landau, 1918).

1977. Montgomery, Vaughan: GRH ⇒ S(χ) = O(√

k log log k).

To jest optymalne, bo istnieje cia‘g χj mod kj z

S(χj) >17

√kj log log kj (Paley, 1932).


Hugh Montgomery

Robert Vaughan

Metody analityczne


Pierwiastki pierwotne

Zastosowania: g(p) – minimalny pierwiastek pierwotny mod p.

1918. Winogradow: g(p) ≤ 4ω(p−1)√p log p.

1930. Winogradow: g(p) ≤ 2ω(p−1)√p log log p.

1942. Hua: g(p) ≤ 2 · 2ω(p−1)√p.

1945. Erdos: g(p) <√

p log17 p dla duzych p.


Metody analityczne


Ma le niereszty kwadratowe

n(p) – minimalna niereszta kwadratowa mod p.

1927. Winogradow: n(p) < pc log2 p dlac = exp(−1/2)/2 = 0.303 . . . .

1957. Burgess: n(p) = O(pc) dla c = exp(−1/2)/4 = 0.1516 . . . .


Metody analityczne


Burgess

1962. Burgess: Dla χ mod p mamy

N+h∑

m=N+1

χ(m) h1/2p1/4 log p.

Wniosek: g(p) = O(pc) dla wszystkich c > 1/4,

1990. Bach: GRH ⇒ g(p) < 3 log2 p.

1984. Gupta, Murty: g(p) < 2250 dla nieskonczenie wielu p.

1986: Heath-Brown zasta‘pi l 2250 przez 5.


Metody analityczne


Artin o pierwiastkach pierwotnych

1927. Hipoteza Artina: (a) Jesli a 6= −1, n2, to a jestpierwiastkiem pierwotnym dla ∞ p.

(b) Ilosc Na(x) takich p spe lnia

Na(x) = (c(a) + o(1))x

log x(c(a) > 0).

1967. Hooley: (a) i (b) wynikaja‘

z GRH.

1986. Heath-Brown: (a) jest prawdziwe dla wszystkich liczbpierwszych a, z wyja

‘tkiem conajwyzej dwoch.


Metody analityczne


Dane

Godfrey Harold Hardy (1877–1947)

John Edensor Littlewood (1885–1977)

Srinivasa Ramanujan (1887–1920)


Metody analityczne


Ramanujan

1916: Funkcja τ Ramanujana:

∆(x) = x∞∏

k=1

(1− xk)24 =∞∑

n=1

τ(n)xn.

∆(exp(2πiz)), to wyroznik w teorii funkcji eliptycznych, formamodularna wagi 12.


Metody analityczne


Hipotezy Ramanujana

a) τ(mn) = τ(m)τ(n), gdy (m, n) = 1,

b) Dla liczb pierwszych i n ≥ 1:τ(pn) = τ(p)τ(pn−1)− p11τ(pn−2).

c) Dla liczb pierwszych |τ(p)| ≤ 2p11/2.

d) Dla nieskonczenie wielu n mamy |τ(n)| ≥ n11/2.

a) i b) udowodni l Mordell w 1917 r., a c) dopiero Deligne (1974).Hardy (1927) udowodni l |τ(n)| ≥ cn11/2 z c > 0.


Metody analityczne


Hardy i Ramanujan, funkcja omega

Pocza‘tek probabilistycznej teorii liczb.

Hardy i Ramanujan (1917): Jesli ε(n)→∞, to dla prawiewszystkich liczb naturalnych n mamy

|ω(n)− log log n|√log log n

< ε(n).

1940. Erdos, Kac: Jesli

N(x ; a) = #n ≤ x :ω(n)− log log n√

log log n≤ a, to

limx→∞

1

xN(x , a) =

1√2π

∫ a

−∞exp(−t2/2)dt.


Paul Erdos (1913–1996)

Metody analityczne


Oszacowanie reszty

R(x , a) =N(x , a)

x− 1√

2π

∫ a

−∞exp(−t2/2)dt.

1948: LeVeque: R(x , a) = O(log log log x/(log log x)1/4

).

1956: Kubilius: R(x , a) = O(log log log x/(log log x)1/2

).

1958. Renyi, Turan: R(x , a) = O((log log x)−1/2

), jednostajnie

wzgl. a.

1962. Delange: przy pewnych oganiczonych fj(x , a) i N = 1, 2, . . .

R(x , a) =N∑

j=1

fj(x , a)

(log log x)j/2+ O

(1

(log log x)(N+1)/2

).


Jonas Kubilius (1921–2011)

Hubert Delange (1913–2003)

Metody analityczne


Partycje

Twierdzenie tauberowskie:Hardy i Ramanujan (1916): Jesli an ≥ 0, f (x) =

∑∞n=1 ann−x

(x > 0) i przy x → 0

log f (x) = (A + o(1))x−α(log(1/x))−β,

to

log∑

n≤xan = (B(A, α, β) + o(1))x(log log x)γ , (γ = −β/(1 + α)).

p(n) to ilosc partycji n. Euler:

Φ(x) := 1 +∞∑

n=1

p(n)xn =∞∏

k=1

(1− xk)−1.

To prowadzi do log p(n) ∼ π√

2n/3.


Metody analityczne


Partycje, c.d.

Hardy i Ramanujan (1917):

p(n) =

(1

4√

3+ o(1)

)exp(π

√2n/3)

n.

Wzor Cauchy’ego daje dla 0 < r < 1:

p(n) =1

2πi

∮

Γr

Φ(z)

zn+1dz ,

gdzie Γr = z : |z | < r.Rademacher (1937) zmodyfikowa l dowod i otrzyma l wzor na p(n)z b le

‘dem mniejszym od 0.5.

Bringmann i Ono (2007) oraz Bruinier i Ono (2011) uzyli pewnychrodzin form modularnych do ”prostych” wzorow na p(n).


Metody analityczne


Partitio Numerorum, Waring

Cykl prac ”Partitio Numerorum” Hardy’ego i Littlewooda(1920–1928):

a) Nowy dowod twierdzenia Waringa-Hilberta (PN I) oparty naca lkowaniu zespolonym.

Jesli 0 ≤ a1 < a2 < . . . i f (z) =∑∞

n=1 zan , a rs(N) oznacza iloscprzedstawien

N = ai1 + · · ·+ ais ,

to

f s(z) =∞∑

N=1

rs(N)zN .


Metody analityczne


Waring, c.d.

Dla s > 2k

rk,s(n) = #n = xk1 +· · ·+xk

s =

(Γ(1 + 1/k)k

Γ(s/k)+ o(1)

)S(n)ns/k−1,

gdzie

S(n) =∞∑

b=1

∑

1≤a<b

(a,b)=1

(Sa,b

b

)s

exp(−2πna/b),

Sa,b =b−1∑

h=0

exp(2πihka/b).

S(n) 6= 0 gdy n = yk1 + · · ·+ yk

s (yj ∈ Zp) dla wszystkich p.


Metody analityczne


Partitio Numerorum, G(k)

b) Oszacowania G (k) – sta lej Waringa dla dostatecznie duzychliczb.

G (k) ≤ (k − 2)2k−1 + 5 (PN IV, 1922)

G (4) ≤ 19 (PN VI,1925). Dzis wiemy, ze G (4) = 16 (Davenport,1939).

Wiadomo, ze G (k) ≥ k + 1 (Hurwitz, Maillet, 1908).


Metody analityczne


Partitio Numerorum, Goldbach

c) Z ERH wynika ternarna hipoteza Goldbacha dla duzych nnieparzystych, a ilosc przedstawien, to

(c + o(1))n2

log3 n

∏

p|n,p 6=2

(p − 1)(p − 2)

p2 − 3p + 3.


Metody analityczne


Partitio Numerorum. Problemy

D luga lista problemow o liczbach pierwszych.

a) Duza liczba n 6= x2 jest postaci n = p + a2. Wiemy, ze tak jestdla prawie wszystkich n (Romanow, 1934).

b) Duza liczba n jest postaci p + x2 + y 2. Udowodni l to Linnik w1960 r.

c) x3 + y 3 + z3 przedstawia nieskonczenie wiele liczb pierwszych.Mocniejszy wynik dowodni l Heath-Brown (2001):Istnieje nieskonczenie wiele liczb pierwszych postaci x3 + 2y 3.


V. 1920–1950. Analityczna teoria liczb

Funkcja zeta i liczby pierwszeProblem Waringa

Problem GoldbachaSita

Formy modu lowe

Phragmen

ψ(x) =∑

pn≤x log p.

1891. Phragmen: ∆(x) = ψ(x)− x zmienia znak nieskonczeniewiele razy.

ω(T ) – liczba zmian znaku w przedziale [2,T ].

1930. Polya: lim supT→∞ ω(T )/logT ≥ γ0/π, gdzieγ0 = 14.13 . . . jest cze

‘scia

‘urojona

‘najmniejszego co do modu lu

nietrywialnego zera funkcji ζ(s) .

1961. Knapowski: ω(T ) ≥ (log log T )/3 + O(1).

1984. Kaczorowski: ω(T ) ≥ γ0/(4π) log T dla T ≥ T0.

1989. Szyd lo: ω(T ) ≥ (0.99999997γ0/π) log T dlaT > exp(9 · 1014).

W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb



Formy modu lowe

Hipoteza Lindelofa

Ernst Leonard Lindelof (1870–1946)

Hipoteza Lindelofa (1908): Jesliµ(σ) = infa : |ζ(σ + it)| = O(ta), to

µ(σ) =

1/2− σ gdy 0 < σ < 1/2,0 gdy σ ≥ 1/2.

Jest ona konsekwencja‘

RH (Backlund 1918-1919) i jestrownowazna z |ζ(1/2 + it)| = O(tε) dla ε > 0 (Hardy, Littlewood,1923). Wynika z niej hipoteza ge

‘stosciowa

N(α,T ) = #σ + it : ζ(σ + it) = 0, 0 < t ≤ T , σ ≥ α

= O(

T 2(1−α)+ε)

(ε > 0),

oraz dn = pn+1 − pn = O(p1/2+εn ) (Ingham).




Formy modu lowe

Hipoteza ge‘stosciowa

Hipoteza ge‘stosciowa jest prawdziwa dla σ ≥ C .

1965: Turan: C = 1− η przy pewnym η > 0.

1969. Montgomery: C = 0.9. . . . . .2000: Bourgain: C = 25/32 = 0.78125.




Formy modu lowe

Hipoteza ge‘stosciowa dla L-funkcji

N(σ,T , χ) = #ρ = x + iy : x ≥ σ, |y | ≤ T , L(ρ, χ) = 0.

N1(σ,T , k) =∑

χ mod k

N(σ,T , χ).

1946. Przypuszczenie Linnika: N1(σ,T , k) = O((kT )2(1−σ)+ε

).

1971. Montgomery: Dowod dla σ ≥ 0.9.

1979. Heath-Brown: Dowod dla σ ≥ 15/19 = 0.7894 . . . .




Formy modu lowe

Konsekwencje

Wniosek z hipotezy ge‘stosciowej:

Gao (1985): Dla prawie wszystkich n: dn = O(p1/6n log22 n).

Wniosek z hipotezy ge‘stosciowej dla L-funkcji:

p(k, l), najmniejsza liczba pierwsza p ≡ l mod k jest mniejsza odc(ε)k1/2+ε.

JesliN1(σ,T , k) = O

((kT )B(1−σ)+ε

),

top(k , l) = O(kB+ε).




Formy modu lowe

Ikehara

Twierdzenie tauberowskie Ikehary (1931):

Jesli an ≥ 0, f (s) =∑∞

n=1 ann−s = cs−1 + g(s), gdzie g jest

regularna w <s ≥ 1, to∑

n≤xan = (c + o(1))x .

Daje ono natychmiastowy dowod twierdzenia o liczbach pierwszychprzez zastosowanie do

−ζ′(s)

ζ(s)=∞∑

n=1

Λ(n)

ns,

gdzie

Λ(n) =

log p gdy n = pk , k ≥ 1,0 w innym przypadku.




Formy modu lowe

Dowod PNT

Poniewaz

ζ(s) =1

s − 1+ g(s),

gdzie g jest regularna w <s ≥ 1, zatem

−ζ ′(s)/ζ(s) =1

s − 1+ h(s),

z funkcja‘

h regularna‘

w <s ≥ 1. Tw. Ikehary daje

ψ(x) =∑

n≤xΛ(n) = (1 + o(1))x ,

aleψ(x)− θ(x) =

∑

pn≤x ,n≥2

log p = O(√

x log x),

wie‘c θ(x) = (1 + o(1)x).




Formy modu lowe

L(1) i zera Siegela

Gronwall (1913), Titchmarsh (1930), Page (1935): Istnieje c > 0takie, ze dla wszystkich pierwotnych charakterow χ mod k z k ≤ xz conajwyzej jednym wyja

‘tkiem i dla σ > 1− c/log(x(|t|+ 2))

mamy L(σ + it, χ) 6= 0 . Jesli wyja‘tek s = ρ istnieje (tzw. zero

Siegela), to charakter χ jest rzeczywisty oraz ρ ∈ R.

Wniosek. (Titchmarsh, 1930):

π(x ; k, l) =li(x)

ϕ(k)+ O(x exp(−c

√log x))

jednostajnie dla k ≤ exp(√

log x) z conajwyzej jednym wyja‘tkiem.

Z GRH wynika

π(x ; k , l) =li(x)

ϕ(k)+ O(

√x log x).




Formy modu lowe

Twierdzenie Siegela

Siegel (1935): Dla rzeczywistych χ mod k i ε > 0 mamyL(1, χ) > c(ε)k−ε z nieefektywnym c(ε) > 0.




Formy modu lowe

Siegel-Walfisz

Arnold Walfisz (1892–1962)

1936: Z twierdzenia Siegela wynika

ρ < 1− B(ε)/kε

i

π(x ; k , l) =li(x)

ϕ(k)+ O(x exp(−c log1/2 x)),

jednostajnie dla k ≤ logq x .




Formy modu lowe

L(1)

χ rzeczywiste:

1951. Tatuzawa: Dla k > exp(1/ε) mamy L(1, χ) > 0.655εk−ε zconajwyzej jednym wyja

‘tkiem.

2007. Y.G.Chen: Dla ε < 1/6 log 10 i k > exp(1/ε) mamyL(1, χ) > 15 · 105εk−ε z conajwyzej jednym wyja

‘tkiem.




Formy modu lowe

Zera Siegela

1966. Davenport:

1− ρ >

c/(√

k log log k) gdy χ(−1) = −1,c log k/(

√k log log k) gdy χ(−1) = 1.

1975. Goldfeld, Schinzel:

1− ρ >

c/√

k gdy χ(−1) = −1,c log k/

√k gdy χ(−1) = 1.




Formy modu lowe

Konsekwencje

Jesli istnieja‘

zera Siegela, to

a) w twierdzeniu Bruna-Titchmarsha

π(x ; k, l) ≤ c

ϕ(k)

x

log(x/k)

mamy c ≥ 2 (Motohashi, 1979),

b) istnieje nieskonczenie wiele liczb pierwszych blizniaczych(Heath-Brown, 1983).


Yoichi Motohashi



Formy modu lowe

Roznice kolejnych liczb pierwszych

1920. Cramer: Z RH wynika dn = pn+1 − pn = O(√

pn log pn).

Hipoteza Cramera (1936): dn = O(log2 pn).

Schinzel (1961) przypuszcza l, ze dla pn ≥ 11 mamy dn < log2 pn.

Wiemy jedynie, ze dn = O(pan) dla a > 107/200 = 0.535

(R.C.Baker, Harman, 1996).




Formy modu lowe

Liczby pierwsze w krotkich przedzia lach

1937. Ingham: Jesli ζ(1/2 + it) = O(tc), to

π(x + xA)− π(x) = (1 + o(1)) xA

log x zachodzi dlaA > (1 + 4c)/(2 + 4c).

Hardy, Littlewood: c ≤ 1/6, wie‘c

(1 + 4c)/(2 + 4c) = 5/8 = 0.625, a zatem dla x > x0 sa‘

liczbypierwsze pomie

‘dzy x3 a (x + 1)3.

Dzis wiemy, ze za A mozna przyja‘c 0.6189 . . . (Maier, 1985).




Formy modu lowe

Ma le roznice liczb pierwszych

E = lim inf dnlog pn

.

Z twierdzenia o liczbach pierwszych wynika E ≤ 1.

Hardy, Littlewood: Z RH wynika E ≤ 2/3.

1940. Rankin: Z GRH wynika E ≤ 3/5.


Robert Rankin (1915–2001)



Formy modu lowe

Ma le roznice liczb pierwszych, c.d.

1940. Erdos: E < 1.

1950. Rankin: E ≤ 42/43 = 0.9767 . . . .

1965. Wang, Xie, Yu: E ≤ 29/32 = 0.9062 . . . .

1966. Bombieri, Davenport: E ≤ 0.4665 . . . .

1988. Maier: E ≤ 0.2484 . . . .

2009. Goldston, Pintz, Yildirim: E = 0.

2010. Goldston, Pintz, Yildirim:

lim infn→∞

dn√log pn(log log pn)2

<∞.


Janos Pintz



Formy modu lowe

Ma le liczby pierwsze w poste‘pach

p(k, l) – najmniejsza liczba pierwsza p ≡ l mod k.

1930. Titchmarsh: GRH ⇒ p(k, l) = O(k2+ε) dla ε > 0.

1934. Chowla: p(k , l) < exp(ck3/2 log6 k).

1944. Linnik: p(k, l) = O(kC ) z pewnym C (sta la Linnika).

1957. Pan: C ≤ 5448.. . . . . .1991. Heath-Brown: C ≤ 5.5.

2011: Xylouris: C ≤ 5.18.




Formy modu lowe

Ma le liczby pierwsze w poste‘pach, c.d.

1961. Prachar: C ≥ 1, dok ladniej, dla kazdego l i nieskonczeniewielu k :

p(k , l) ≥ Bk log k log log k log log log log k

(log log log k)2.

1964. Barban, Czudakow, Linnik: Dla k = pn mamyp(k, l) ≤ c(p)ka dla a > 8/3 = 2.66 . . . .

1974. Iwaniec: Mozna tu przyja‘c kazde a > 2.4601 . . . .

1996: Bach, Sorenson: GRH ⇒ p(k , l) ≤ 2k2 log2 k.




Formy modu lowe

Liczby pierwsze w poste‘pach

1939. van der Corput: Istnieje nieskonczenie wiele 3-elementowychposte

‘pow arytmetycznych z lozonych z liczb pierwszych.

1982. Grosswald: Istnieje (c + o(1)x2/log3x takich trojek ≤ x .

1992. Balog: Dla kazdego m ≥ 2 istnieje nieskonczenie cia‘gow

p1, p2, . . . , pm liczb pierwszych takich, ze (pi + pj)/2 jest tez liczba‘

pierwsza‘.

2004. Green, Tao (Medal Fieldsa 2006): Dla kazdego k istniejenieskonczenie wiele k-wyrazowych poste

‘pow arytmetycznych

z lozonych z liczb pierwszych.

2008. Tao, Ziegler: Jesli P1, . . . ,Pk ∈ Z[X ] iP1(0) = · · · = Pk(0) = 0, to istnieje nieskonczenie wiele n i m dlaktorych P1(n) + m, P2(n) + m, . . . , Pk(n) + m sa

‘liczbami

pierwszymi.




Formy modu lowe

Elementarne dowody

1948. Erdos i Selberg podali elementarny dowod PNT:π(x) ∼ x/logx .

Tozsamosc Selberga:

∑

P≤xlog2 p +

∑

pq≤xlog p log q = 2x log x + O(x) (p, q pierwsze).

Elementarne dowody PNT niezwia‘zane z metodami

Erdosa-Selberga podali Daboussi (1984) i Hildebrand (1986).




Formy modu lowe

Oszacowanie reszty

Reszta w elementarnym dowodzie PNT :

1955. Kuhn: π(x)− x/ log x = O(x/ loga x) z a = 0.1.1962. Bombieri oraz Wirsing: a dowolne.. . . . . .1999. Lu: π(x)− li(x) = O(x exp(−c logb x)) z b = 1/2− ε.


Eduard Wirsing



Formy modu lowe

Elementarne dowody, c.d.

Elementarne dowody:

1949. Selberg oraz Zassenhaus: π(x ; k , l) ∼ 1ϕ(k)

xlog x .

1949. Shapiro: Twierdzenie o idea lach pierwszych.

1954. Briggs: Twierdzenie Dirichleta-Webera o liczbachpierwszych przedstawialnych przez forme

‘kwadratowa

‘.




Formy modu lowe

Ksiazki

1927. Landau: ”Vorlesungen uber Zahlentheorie”, I–III.

1930. Titchmarsh: ”The Zeta-Function of Riemann”.




Formy modu lowe

Metoda Winogradowa

I.M.Winogradow (1891–1983)

1924–1928. W ”circle method” aby znalezc n-ty wspo lczynnik wf (z) =

∑∞k=0 akzk wystarczy stosowac wzor Cauchy’ego do

wielomianu Wn(z) =∑n

k=0 akzk .

To pozwala ca lkowac po okre‘gu |z | = 1 zamiast po |z | = r → 1 i

problem sprowadza sie‘

do oszacowan sum trygonometrycznych zuwagi na Wn(e it) =

∑nk=0 ak exp(kit).

Oszacowanie G (k) otrzymuje sie‘

rze‘du ck2k , podobnie jak u

Hardy’ego i Littlewooda.




Formy modu lowe

Metoda Winogradowa

1934. Zamiast szacowac ilosc przedstawien n = xk1 + · · ·+ xk

s

Winogradow szacowa l liczbe‘

przedstawien

n =4m−2∑

j=1

xkj + u1 + u2 + yku3,

gdzie m jest rze‘du 2k log k , zas liczby ui sa

‘sumami O(k log k)

k-tych pote‘g, leza

‘cych w odpowiednio dobranych przedzia lach. To

doprowadzi lo doG (k) ≤ 6k log k + 10k .

1947. G (k) ≤ 3k log k + 11k (k ≥ 3).

Wooley (1992): G (k) ≤ k log k + k log log k + C .W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb



Formy modu lowe

Idealny Waring

J.A.Euler:

g(k) ≥ I (k) :=

[(3

2

)k]

+ 2k − 2,

gdyz 2k [(3/2)k ]− 1 wymaga I (k) k-tych pote‘g.

1853. Bretschneider przypuszcza l, ze g(k) = I (k). Tak jest dlak = 2 (Lagrange) i k = 3 (Wieferich).




Formy modu lowe

”Ascent” Dicksona

1927–1936. ”Metoda wste‘powania” (method of ascent) Dicksona:

Podstawowy lemat: Jesli n > m, to istnieje x takie, zen − xk ∈ [m,m + kn1−1/k ].

q = [(3/2)k ], r = 3k − 2kq, s = [(4/3)k ].

g(k) =

I (k) gdy r ≤ 2k − q − 3,I (k) + s gdy r > 2k − q − 1, qs + q + s = 2k ,I (k) + s − 1 gdy r > 2k − q − 1, qs + q + s 6= 2k .

Przypadki r = 2k − q, r = 2k − q− 1 nie wyste‘puja

‘, a w przypadku

r = 2k − q − 2 rownosc I (k) = g(k) udowodni l Niven (1944).




Formy modu lowe

Sta la Waringa

1940. Pillai: g(6) = I (6) = 73.

1964. Chen: g(5) = I (5) = 37.

1957. Mahler: Dla k ≥ k0 zachodzi g(k) = I (k) z nieefektywnymk0. Be

‘dzie to efektywne, jesli dla k ≥ K z efektywnym K zachodzi

∥∥∥∥∥

(3

2

)k∥∥∥∥∥ ≥ 2

(3

4

)k

,

gdzie ‖ a ‖ oznacza odleg losc a od najblizszej liczby ca lkowitej.Tak jest po zamianie 3/4 na 0.5803 (Zudilin, 2007.)

1986. Balasubramanian, Deshouillers, Dress: g(4) = 19.


Jean-Marc Deshouilliers



Formy modu lowe

Sznirelman

Lev Genrikowicz Sznirelman (1905–1938)

Istnieje sta la C (sta la Sznirelmana) taka, ze kazda liczba ≥ 4 jestsuma

‘conajwyzej C liczb pierwszych.

Ge‘stosc Sznirelmana:

δ(A) = infx≥1

1

x

∑

a∈A1≤a≤x

1.

Jesli A + B = a + b : a ∈ A, b ∈ B oraz 1 ∈ A, 0 ∈ B, to

δ(A + B) ≥ δ(A) + δ(B)− δ(A)δ(B).

Wniosek: Jesli δ(A) > 0 i 0 ∈ A, to A jest baza‘, tj. istnieje k take,

ze kazde n > 0 jest suma‘≤ k sk ladnikow z A.




Formy modu lowe

Twierdzenie Sznirelmana

P – zbior liczb pierwszych. Sito Bruna prowadzi do δ(P + P) > 0,a wniosek daje tw. Sznirelmana.

1942. Mann: δ(A + B) ≥ min1, δ(A) + δ(B).




Formy modu lowe

Sta la Sznirelmana

1936. Heilbronn, Landau, Scherk: Dla duzych n, C ≤ 73.

Dla n ≥ 4:C < 2 · 104 (Szanin, 1964), . . . , C ≤ 7 Ramare (1995).

RH ⇒ C ≤ 5 (Kaniecki, 1995).




Formy modu lowe

Winogradow

1937. I.M.Winogradow (metoda‘

Hardy’ego-Littlewooda): Kazdenieparzyste n ≥ n0 jest suma


Znacznie prostszy dowod znalaz l Vaughan (1977).

1956. Borozdkin: n0 ≤ exp exp(16.038) ∼ 8 · 104 008 659.

1997. Zinoviev: GRH ⇒ n0 < 1020.

1998. Saouter: Kazde nieparzyste n ≤ 1020 jest suma‘

3 liczbpierwszych.

Wniosek: Z GRH wynika ternarna hipoteza Goldbacha.

2002. Liu, Wang: n0 ≤ exp(3100) ∼ 2 · 101346.

2003. Ramare, Saouter: Kazde nieparzyste n ≤ 1.13 · 1022 jestsuma





Formy modu lowe

Binarna hipoteza Goldbacha

E (x) = #n ≤ x : 2|n 6= p1 + p2.1937. Czudakow i van der Corput (niezaleznie):E (x) = O(x/ logm x) dla wszystkich m.

1972. Vaughan: E (x) = O(x exp(−c√

log x)).

1975. Montgomery, Vaughan: E (x) = O(xc) z pewnym c < 1.Najlepsze znane oszacowanie c , to c ≤ 0.879 (Liu, 2010).

Numerycznie sprawdzono binarna‘

hipoteze‘

Goldbacha az do1.6 · 1018 (Oliveira e Silva).




Formy modu lowe

Aproksymacja binarnej hipotezy

1932. Estermann: Dla duzych n mamy 2n = P6 + P6, gdzie Pk

oznacza liczbe‘

o ≤ k czynnikach pierwszych.

1956. I.M.Winogradow: 2n = P3 + P3 dla duzych n.




Formy modu lowe

Aproksymacja binarnej hipotezy, c.d.

1932. Estermann: GRH ⇒ 2n = p + P6 dla duzych n.

1948. Renyi (uzywaja‘c wielkiego sita Linnika): Istnieje sta la k

taka, ze dla duzych n mamy 2n = p + Pk .

1962. Pan: k = 5.1963. Barban i inni (niezaleznie): k = 4.1965. A.I.Winogradow i Buchsztab (niezaleznie): k = 3.




Formy modu lowe

Chen

1973. Chen Jing Run: Dla duzych n mamy 2n = p + P2.

Ilosc takich przedstawien jest

≥ c∏

p|np 6=2

p − 1

p − 2

∏

p 6=2

(1− 1

(p − 1)2

)

z c ≥ 0.67. Teraz wiemy, ze c ≥ 0.899 (Wu, 2008).




Formy modu lowe

LinnikSelberg

Sito Linnika

1941. Linnik: Jesli p1, . . . , pm ≤ N, A ⊂ [1,N], a dlai = 1, 2, . . . ,m zbior A mod pi nie zawiera 0 < f (pi ) < pi reszt, to

#A ≤ 20πN

τ2m, gdzie τ = min

i

f (pi )

pi.

Zastosowanie:

n(p) – minimalna niereszta kwadratowa mod p.

Wniosek: n(p) > pε zachodzi dla conajwyzej O(xε) liczbpierwszych p ≤ x .




Formy modu lowe

LinnikSelberg

Renyi

A ⊂ [1,N], #A = Z , Z (p, h) = #a ∈ A : a ≡ h (mod p).Wariancja:

D(p) =

p−1∑

h=0

(Z (p, h)− Z

p

)2

.

1948. Renyi: Dla x ≤ N3/5:∑

p≤x pD(p) Z 2/3N4/3x1/3.

Wniosek: p + 2 = Pk dla nieskonczenie wielu p i to samo dlap + 2r .




Formy modu lowe

LinnikSelberg

Twins

1964. Ankeny, Onishi: GRH ⇒ p + 2 = P3 dla nieskonczenie wielup.

1967. Buchsztab oraz Halberstam, Jurkat, Richert: to samo bezGRH.

1973. Chen: p + 2 = P2 dla nieskonczenie wielu p.

Ilosc takich p ≤ x jest wie‘ksza od

c∏

p 6=2

(1− 1

(p − 1)2

)

z c ≥ 0.67. Teraz wiemy, ze c ≥ 2.26 (Cai, 2008).


Heini Halberstam



Formy modu lowe

LinnikSelberg

Sito Selberga

Atle Selberg (1917–2007). (Medal Fieldsa 1950.)

Dla danych n1, n2, . . . , nN niech S(z) oznacza ilosc liczb ni bezdzielnikow pierwszych ≤ z , a Sd = #ni : d |ni. Sito Legendradaje

S(z) =∑

d |Dµ(d)Sd , (D =

∏

p≤zp).

1947. Selberg: Jesli cia‘g ρd spe lnia

∑d |n ρd ≥

∑d |n µd , to

S(z) ≤∑

d |DρdSd .

Jesli wiele ρd znika, to mozna otrzymac nietrywialne oszacowanie.




Formy modu lowe

LinnikSelberg

Sito Selberga, c.d.

Metoda Selberga: Jesli Sd = f (d)N + Rd , gdzie f jestmultyplikatywna, a Rd jest niewielka

‘reszta

‘, to wybiera sie

‘cia

‘g λd

z λ1 = 1 i k ladzieρd =

∑

[a,b]=d

λaλb.

Wybor λd zalezy od f i sprowadza sie‘

do znalezienia minimumpewnej formy kwadratowej z jednym warunkiem dodatkowym.

Wnioski: a) Prosty dowod twierdzenia Bruna-Titchmarsha:

π(x ; k , l) ≤ cx

ϕ(k) log(x/k).

b) #p ≤ x : 2p + 1 pierwsze = O(x/log2x) (Erdos, 1935).




Formy modu lowe

LinnikSelberg

Sito Selberga, c.d.

c) Ankeny, Onishi (1964): Dla nieskonczenie wielu n zachodzi:n = P2, n + 2 = P3.

d) Bombieri, Davenport (1966):

#p ≤ x : p + 2 pierwsze

≤ 8∏

p 6=2

(1− 1

(p − 1)2

)x

log2 x+ O

(log log x

log x

).




Formy modu lowe

Formy modu lowe

Γ = SL(2,Z), Γ(N) = A ∈ Γ : A ≡ E (mod N).Jesli

A =

[a bc d

]∈ Γ,

to

A · z =az + b

cz + d.

Funkcja f (z), regularna w H = z : =z > 0 jest forma‘

modularna‘

wagi k, gdy

f (A · z) = (cz + d)k f (z). (∗)Wtedy f (z) = c0 +

∑∞n=1 cn exp(2πinz), bo f (z + 1) = f (z). Gdy

c0 = 0, to f jest forma‘

paraboliczna‘

(”cusp form”).W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU V. 1920–1950 Analityczna teoria liczb



Formy modu lowe

Formy poziomu N

Jesli (*) zachodzi dla A ∈ Γ(N), a dla A ∈ Γ mamy

f (A · z)(cz + d)−k = c0(A) +∞∑

n=1

cn(A) exp

(2πinz

N

),

to f jest forma‘

modularna‘

wagi k i poziomu N. Jesli c0(A) = 0 dlawszystkich A, to f jest forma

‘paraboliczna

‘.

Formy wagi k i poziomu N tworza‘

przestrzen liniowa‘M(k,N), a

formy paraboliczne tworza‘

jej podprzestrzen M0(k ,N).




Formy modu lowe

Hecke 1937

Szereg Dirichleta formy modularnej:

1937. Hecke: Jesli f (z) =∑∞

n=0 an exp(2πinz) ∈M(k, 1), to

Φf (s) =∞∑

n=1

anns, Res > k

jest funkcja‘

meromorficzna‘

z rownaniem funkcyjnym

R(s) = ε(f )R(k − s),

gdzie R(s) = (2π)−sΓ(s)Φf (s), a ε(f ) = (−1)k/2.




Formy modu lowe

Operatory Hecke

Operatory Hecke:

Tn(f )(z) = nk−1∑

d |n

1

dk

d−1∑

a=0

f

(n

d2z +

b

d

).

Tworza‘

one pierscien przemienny i spe lniaja‘

Tmn = TmTn, gdy(m, n) = 1.

Jesli f jest funkcja‘

w lasna‘

dla tych operatorow, to ma iloczyneulerowski.

1967. Rademacher: Operator Tpn jest postaci V (Tp), gdzie V jestjednym z wielomianow Uk(x) Czebyszewa:

∞∑

k=0

Uk(x)tk =1

1− 2tx + t2.




Formy modu lowe

Petersson

Dla kilku wartosci k Hecke znalaz l bazy M0(k , 1) z lozone z funkcjiw lasnych. (dla k = 12: baza jednoelementowa: ∆(z)).

1939. Petersson: M0(k , 1) jest przestrzenia‘

Hilberta z iloczynemskalarnym

(f , g) =

∫ ∫

Df (x + iy)g(x + iy)yk−2dxdy ,

gdzie D jest obszarem fundamentalnym dla Γ.

Operatory Hecke sa‘

hermitowskie i komutuja‘, wie

‘c istnieje baza

M0(k , 1) z lozona z funkcji w lasnych.

Podobnie jest dla poziomow N > 1.


VI. 1920–1950. Pozostałe metody

Aproksymacje diofantyczneGeometria liczb

Rownania diofantyczne

Metryczna teoria aproksymacjiDyskrepancjaPrzestepnosc i niewymiernoscMetoda Bakera

Chinczyn

Aleksandr Jakowlewicz Chinczyn (1894–1959)

1924: Jesli f (t) > 0 jest cia‘g la, a tf (t) maleje, to

∣∣∣∣α−p

q

∣∣∣∣ <f (q)

q

ma dla prawie wszystkich α ∈ R ∞ rozwia‘zan p, q ∈ Z (p, q) = 1

wtedy i tylko wtedy, gdy ∫ ∞

1f (t)dt =∞.

Przypuszczenie Duffina-Schaeffera (1941): Wystarczy zak ladacrozbieznosc szeregu

∞∑

m=1

f (m)ϕ(m)

m.

W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VI. 1920–1950 Pozosta le metody




Chinczyn, c.d.

1924: Jesli [a0; a1, . . . ] jest u lamkiem lancuchowym dla α ∈ R, todla prawie wszystkich α

lim supn→∞

n√

a1a2 · · · an ≤ exp(√

2 log 2) = 3.2459 . . . .

1935: Mocniej: Dla prawie wszystkich α

limn→∞

n√

a1a2 · · · an = C > 0.

Ogolniej: Jesli f (t) = O(tc) (c < 1), to dla prawie wszystkich α

limn→∞

1

n

n∑

j=1

f (aj) =∞∑

r=1

f (r) log2

((r + 1)2

r(r + 2)

).





Kuzmin

Rodion Osijewicz Kuzmin (1891–1949)

1928: Przypuszczenie Gaussa (1812):α = [a0; a1, a2, . . . ], ξn(α) = [an; an+1, an+2, . . . ].

limn→∞

µα ∈ [0, 1] : ξn(α) < t = log2(1 + t).

1951. Ryll-Nardzewski: Prosty dowod przy pomocy teoriiergodycznej.


Czes law Ryll-Nardzewski




Levy

Paul Levy (1886–1971)

1951: Mianownik qn(α) n-tego reduktu α spe lnia

limn→∞

1

nlog qn(α) =

π2

12 log 2

dla p.w. α.

Granica ta, gdy istnieje, nazywa sie‘

sta la‘

Levy’ego dla α. Istniejeona dla α stopnia 2 (Jager, Liardet, 1988), a nie istnieje dlanieprzeliczalnie wielu α (Baxa, 1999). Kazda liczba ≥ (1 +

√5)/2

jest sta la‘

Levy’ego dla pewnej liczby przeste‘pnej (Baxa, 2009).





Hipoteza Oppenheima

1929. Hipoteza Oppenheima: Jesli f (x , y) jest nieokreslona‘

forma‘

kwadratowa‘

o niewspo lmiernych wspo lczynnikach, to na Z2

przymuje wartosci dowolnie bliskie zeru.

1986. Margulis poda l dowod uzywaja‘c teorii przep lywow w

przestrzeniach jednorodnych. Medal Fieldsa (ICM Helsinki 1978)za rezultaty w teorii grup Liego.





Definicja

Dla nieskonczonego cia‘gu A : an ∈ [0, 1) jego dyskrepancja, to

dA(N) = supI⊂[0,1)

|#n ≤ N : an ∈ I − n|I || .

van der Corput (1935) przypuszcza l,ze dla kazdego cia‘gu A

dyskrepancja nie jest ograniczona.

1945. van Aaardenne-Ehrenfest:

lim supN→∞

dA(N) log log log N

log log N> 0.





Roth, Schmidt

1954. Roth: lim supN→∞dA(N)√

log N> 0.

1972. W.M.Schmidt: lim supN→∞dA(N)log N ≥ 0.01.

1982. Bejian (1982) zasta‘pi l 0.01 przez 0.12. Napewno nie mozna

tu miec 0.3751 (Faure, 1981).





Siegel

Siegel:

1929. Przeste‘pnosc wartosci duzej klasy funkcji (tzw. E -funkcji),

spe lniaja‘cych liniowe rownania rozniczkowe, w punktach

algebraicznych, w szczegolnosci dla funkcji J0(z) Bessela.

J0(z) =∞∑

k=0

(−1)k

Γ2(k + 1)

(z

2

)2k.

1932. a) Jesli w rownaniu (℘′)2 = 4℘3 − a℘− b liczby a, b sa‘

algebraiczne, to jeden z okresow ℘(z) jest przeste‘pny.

b). Ca lki In =∫ 1−1

dx√1−xn przy n = 4, 6 sa

‘przeste

‘pne (I2 = 2π).

c) Conajmniej jedna z liczb Γ(m/n)π−m/n

(m = 1, 2, . . . , [(n − 1)/2]) jest przeste‘pna.





1996

Przypuszczenie Mahlera (1969): Jesli w rownaniu(℘′)2 = 4℘3 − a℘− b liczby a, b sa

‘algebraiczne, a ω1, ω2, to

okresy ℘(z), to exp(2πiω1/ω2) jest liczba‘

przeste‘pna

‘.

1996: Barre-Sirieix, Diaz, Gramain, Philibert podali dowod.

Nesterenko (1996) udowodni l niezaleznosc algebraiczna‘

π, eπ, Γ(1/4) a takze π, exp(√

d) przy d naturalnym.





Apery

1978. Apery: Liczba ζ(3) jest niewymierna. Pe lne dowody: Cohenoraz Reyssat.

2001. Ball, Rivoal: a) Dla nieskonczenie wielu k liczba ζ(2k + 1)jest niewymierna,

b) dimQ LinSp1, ζ(3), ζ(5), . . . , ζ(2n + 1) ≥ c log n

2001. Zudilin: Jedna z liczb ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) jestniewymierna.

2004. Zudilin: Dla m ≥ 1 przynajmniej jedna z liczbζ(2m + 1), ζ(2m + 3), . . . , ζ(16m − 9) jest niewymierna.





Gelfond

1939. Gelfond: Jesli α1, α2 6= 0, 1 sa‘

algebraiczne o liniowoniezaleznych (nad Q) logarytmach, to dla algebraicznychβ1, β2 6= 0 mozna efektywnie oszacowac od do lu

|β1 log(α1) + β2 log(α2)|.

Gelfond przypuszcza l, ze istnieje podobne twierdzenie dla n liczbalgebraicznych.

Zastosowanie:

1967. Schinzel: Jesli f (x) = ax2 + bx + c ∈ Z[x ] ma roznepierwiastki, to maksymalny dzielnik pierwszy f (x) jest≥ c log log x .

1973. Kotov: To samo zachodzi dla wszystkich nieprzywiedlnychwielomianow nieliniowych.





Alan Baker

Wysokosc H(z) liczby algebraicznej z , to maksimum modu luwspo lczynnikow wielomianu minimalnego dla z .

1966. A.Baker (Medal Fieldsa, 1970): Jesli αi , βi (i = 1, 2, . . . , n)sa

‘algebraiczne, αi 6= 0, 1, deg βi ≤ d, H = maxi H(βi ) oraz

Λ =n∑

i=1

βi log(αi ) 6= 0,

to dla 0 < δ < 1|Λ| > C exp(−δH),

gdzie C efektywnie zalezy od αi , d , δ.





Zastosowania

1966. Baker: a) Jesli βi sa‘

algebraiczne, 1, β1, . . . , βn sa‘

niezalezneliniowo, a α1, . . . , αn sa

‘algebraiczne 6= 0, 1, to liczba

n∏

i=1

αβii

jest przeste‘pna.

b) Dla niezerowych algebraicznych α, β liczby π + logα iexp(απ + β) sa

‘przeste

‘pne.





Zastosowania do rownan

1967. Baker: Efektywizacja rozwia‘zania rownania Thuego

f (x , y) = m (f – nieprzywiedlna forma stopnia ≥ 3)

1968. Baker: Efektywizacja rozwia‘zania rownania yn = f (x) (gdy

f ma conajmniej 3 pojedyncze zera).




Cia la gwiazdziste

X ⊂ Rn jest cia lem gwiazdzistym (star body), gdy zawiera 0 ikazda po lprosta wychodza

‘ca z tego punktu przecina brzeg X w

jednym punkcie.

1890. Minkowski: Jesli X jest gwiazdzisty i ograniczony o obje‘tosci

V < ζ(n), to istnieje krata o wyrozniku 1 nie zawieraja‘ca

niezerowych punktow X . Jesli X jest symetryczny wzgle‘dem 0, to

wystarczy za lozenie V < 2ζ(n). (Bez dowodu).




Hlawka

1943. Hlawka poda l dowod (tw. Minkowskiego-Hlawki).

1946. Mahler: Jesli nadto X jest ograniczony i wypuk ly, to dlan ≥ 3 wystarczy V < 2ζ(n) + 1/6, a dla n = 2, V <

√12.

1947. Davenport, Rogers: Dla duzych n wystarczy V < 4.921.

1970. Tammela: Dla n = 2 wystarczy V < 3.5706 . . . . Wiadomo,ze V < 3.6096 nie wystarcza (Reinhardt, 1934).


Edmund Hlawka (1916–2009)



Ogolne rezultatyHipoteza Artina o formach

Siegel

1926. Siegel (w J. London Math. Soc. pod pseudonimem ”X”):Rownanie y 2 = f (X ), gdzie f ∈ Z[X ], bez pierwiastkowwielokrotnych, deg f ≥ 4, ma skonczenie wiele rozwia

‘zan.

1929. Siegel: Jesli f ∈ Z[X ,Y ] jest nieprzywiedlny, to rownanief (x , y) = 0 ma ∞ rozwia

‘zan w Q z ograniczonymi mianownikami

wtedy i tylko wtedy, gdy krzywa f (X ,Y ) = 0 ma parametryzacje‘

x =m∑

j=−maj t

j , y =n∑

j=−nbj t

j (aj , bj ∈ Z).

Dostatecznosc tego warunku udowodni l wczesniej Maillet(1919–1920).





Siegel, c.d.

Wniosek: Jesli krzywa F (x , y) = 0 ma rodzaj ≥ 1, to lezy na niejconajwyzej skonczenie wiele punktow kraty Zn.Rodzaj (genus) krzywej Γ : f (x , y) = 0:

Jesli Γ jest nieosobliwa (f = f ′x = f ′y = 0 nie ma rozwia‘zan), to

g(Γ) = (d − 1)(d − 2)/2,

gdzie d = deg f .

1934. Mahler: Wniosek Siegela jest s luszny takze dla rozwia‘zan

wymiernych, ktorych mianowniki maja‘

dzielniki pierwsze wzadanym skonczonym zbiorze.


Kurt Mahler (1903–1988)




Leveque, Schinzel, Tijdeman

1964: Leveque opisa l, kiedy rownanie yn = f (x) (gdzie f ∈ Z[X ])ma nieskonczenie wiele rozwia

‘zan ca lkowitych. Uzyska l takze

analogiczny wynik dla pierscieni liczb ca lkowitych cia l K z[K : Q] <∞.

1976: Schinzel, Tijdeman: Jesli f ∈ Z[X ] ma conajmniej dwarozne pierwiastki, to rownanie yn = f (x) nie ma rozwia

‘zan dla

n ≥ n0(f ). n0 jest efektywne.

Przypuszczenie (Schinzel, Tijdeman): Jesli f ∈ Z[X ] maconajmniej dwa rozne pierwiastki, to przedstawia conajwyzejskonczenie wiele liczb n nie maja

‘cych dzielnika pierwszego w

pierwszej pote‘dze (jesli p|n, to p2|n).


Robert Tijdeman




Hipoteza Mordella

Hipoteza Mordella (Mordell, 1922): Jesli krzywa Γ : f (x , y) = 0ma g(Γ) ≥ 2, to lezy na niej conajwyzej skonczenie wiele punktowwymiernych.

Takze Siegel pisa l w 1929 r.:

”Doch durfte wohl der Beweis der Vermutung, daß jede solcheGleichung, wenn ihr Geschlecht großer als 1 ist, nur endlich vieleLosungen in rationalen Zahlen besitzt, noch die Uberwindungerheblicher Schwierigkeiten erfordern.”

1983. Faltings udowodni l hipoteze‘

Mordella. Medal Fieldsa 1986.





Sformu lowanie

1923. Hasse: Forma kwadratowa o n ≥ 5 zmiennych przedstawianietrywialnie zero w kazdym ciele p-adycznym Qp.

Hipoteza Artina: Forma stopnia d o n ≥ 1 + d2 zmiennychprzedstawia nietrywialnie zero w Qp.

1945. R.Brauer: Do kazdej liczby d istnieje vd takie, ze kazdaforma stopnia d maja

‘ca ≥ vd zmiennych przedstawia nietrywialnie

zero w Qp.

1998. Wooley: vd < d2d .2010. Heath-Brown: v4 ≤ 4221.





Specjalne przypadki

1950. Demjanow: Dowod hipotezy Artina dla d = 3, p 6= 3.

1952. Lewis: Dowod dla d = 3.

1960. Birch i Lewis: Dowod dla d = 5, p dostatecznie duze.

1965. Laxton i Lewis: Dowod dla d = 7, 11, p dostatecznie duze.

1963. Davenport i Lewis: Dowod dla form diagonalnych przyd ≥ 18. Vaughan (1977): dla d ≥ 11.





Ax i Kochen

1965. Ax i Kochen: Dowod dla p ≥ p0(d) metodami teorii modeli.

p0(5) ≤ 17 (Heath-Brown, 2010).

1978. Brown:

p0(d) < 22222d114d

.





Obalenie hipotezy

1966. Terjanian: Przyk lad formy z d = 4, n = 18 beznietrywialnego zera w Q2:

g(x1, x2, x3) =3∑

j=1

x4j −(x1x2)2−(x2x3)2−(x1x3)2−(x1x2x3)(x1+x2+x3),

f (x1, . . . , x18) = g(x1, x2, x3) + g(x4, x5, x6) + g(x7, x8, x9)

+4(g(x10, x11, x12) + g(x13, x14, x15) + g(x16, x17, x18)).


Guy Terjanian




Kontrprzyk lady

1966. Browkin: Kontrprzyk lady dla kazdego cia la Qp.

1981. Archipow, Karacuba: Przyk lady z n > dm dla dowolnego m.





Otwarte pytania

Pytania:

1. Czy hipoteza Artina jest s luszna dla d = 5? A moze dlawszystkich d nieparzystych?

2. Terjanian (1980): Czy w kazdym kontrprzyk ladzie p(p − 1)dzieli d?

3. Heath-Brown (2010): Czy hipoteza Artina jest s luszna dlad = 4, p 6= 2?


VII. Druga połowa stulecia. Analityczna teoria liczb

Przypomnienie

A ⊂ [1,N], #A = Z , Z (p, h) = #a ∈ A : a ≡ h (mod p).Wariancja:

D(p) =

p−1∑

h=0

(Z (p, h)− Z

p

)2

.

1948. Renyi: Dla x ≤ N3/5∑

p≤x pD(p) Z 2/3N4/3x1/3.

W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb

Roth

1964. Roth: Dla x ≤ (N/logN)1/2

∑

p≤xpD(p) Zx2 log x .

1965. Bombieri:

∑

p≤xpD(p) ≤ 7Z maxN, x2.


Bombieri

Jesli S(α) =∑

n≤N an exp(2πinα), to

∑

q≤x

∑

(a,q)=1

∣∣∣∣S(

a

q

)∣∣∣∣2

≤ 7 maxN, x2∑

n≤N|an|2.

oraz podobny wynik dla sum z charakterami:

∑

q≤Q

∑

χ mod q

∣∣∣∣∣M+N∑

n=M+1

anχ(n)

∣∣∣∣∣

2

≤ (N + Q2)M+N∑

n=M+1

|an|2.


Zastosowania

Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa: Jesli

ψ(y ; k , l) =∑

n≤x

n≡l mod k

Λ(n),

to

∑

k≤√x/logBx

maxy≤x

max(k,l)=1

∣∣∣∣ψ(y ; k, l)− y

ϕ(k)

∣∣∣∣x

logA x,

przy czym A zalezy od B. Bombieri: B = 3A + 23.

To prowadzi do

∑

k≤√x/logBx

maxy≤x

max(k,l)=1

∣∣∣∣π(y ; k, l)− π(y)

ϕ(k)

∣∣∣∣x

logA x.


Elliott-Halberstam

Hipoteza Elliotta i Halberstama: Sumy te mozna rozszerzyc dok ≤ x1−ε. Wtedy istnia laby liczba pierwsza w prawie kazdymprzedziale (N,N + Nδ) (Heath-Brown, 1982).

1989. Friedlander, Granville: Nie mozna w tej sumie dojsc dok ≤ x/logcx .

1991. Friedlander, Granville, Hildebrand, Maier: Nawetk ≤ x exp(− logc x) z c < 1/2 nie jest mozliwe.


Montgomery

Wielkie sito Montgomery’ego:A ⊂ [M,M + N]. Dla p ≤ Q zbior A mod p nie zawiera f (p) klasreszt mod p (0 ≤ f (p) < p). Wtedy

#A ≤ Q2 + πN

L,

gdzie

L =∑

q≤Qµ2(q)

∏

p|q

f (p)

p − f (p).

Wspo lczynnik π mozna zasta‘pic przez 1 (Montgomery, Vaughan,

1973).


Zastosowania. I

a) 1970. Vaughan: Dla prawie wszystkich n mamy

4

n=

1

x+

1

y+

1

z.

Hipoteza Erdosa-Strausa: Jest tak dla wszystkich n ≥ 2.Sprawdzono to az do 1014.

Hipoteza Schinzla: Dla n ≥ n0(a) mamy

a

n=

1

x+

1

y+

1

z.

1973. Viola: Tak jest dla prawie wszystkich n.


Zastosowania. II

b) 1967. Gallagher: Prawie kazda liczba naturalna jestpierwiastkiem pierwotnym dla pewnej liczby pierwszej.

c) 1986. Hildebrand: nowy dowod PNT .


Korelacja par zer

1973. Montgomery: Hipoteza PCC (Pair Correlation Conjecture)Jesli 0 < γ1 < . . . sa

‘cze

‘sciami urojonymi zer ζ(s) na krytycznej

prostej, oraz

F (x ,T ) = 4∑

γi ,γj≤T

x i(γ1−γ2)

4 + (γ1 − γ2)2,

to dla kazdego M i T ≤ x ≤ TM mamy

F (x ,T ) =

(1

2π+ o(1)

)T log T .

Z PCC i RH wynika pn+1 − pn = O(√

pn log3/4 pn) (Mueller,1981),

ψ(x) = x + O(√

x log2 x)

i prostota prawie wszystkich zer ζ(s) (Gallagher, Mueller, 1978).W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VII. Druga po lowa stulecia Analityczna teoria liczb

Woronin

1929. Birkhoff: Istnieje funkcja ca lkowita F (s) taka, ze dla kazdejfunkcji ca lkowitej f (s) istnieje cia

‘g sn, taki, ze

limn→∞

F (s + sn) = f (s).

1975. Woronin: Jesli f (s) jest cia‘g la i nieznikaja

‘ca w |s| ≤ r < 1,

to dla kazdego ε > 0 istnieje τ > 0 takie, ze dla s| ≤ r

|f (s)− ζ(s + 3/4 + iτ)| < ε.


Prime race

1962–1972. Cykl prac Knapowskiego i Turana o porownywaniuπ(x ; k, l) z π(x ; r , s). 60 problemow.

Problem Shanksa-Renyi’ego (The race problem): Dla k ≥ 4niech l1, l2, . . . , lr be

‘dzie dowolna

‘permutacja

‘reszt mod k

wzgle‘dnie pierwszych z k. Pokazac, ze dla ∞ wielu n zachodzi

π(n; k , l1) > π(n; k , l2) > · · · > π(n; k , lr ).

Knapowski, Turan: Jesli L-funkcje mod k nie maja‘

nietrywialnychzer w prostoka

‘cie

s : 1/2 < <s > 1, 0 ≤ =s ≤ A(k),

gdzie A(k) ≥ ck, a l1, l2 sa‘

obie resztami lub obie nieresztamikwadratowymi mod k, to π(n; k, l1)− π(n; k , l2) zmienia znaknieskonczenie wiele razy .


Prime race, c.d.

1994. Rubinstein, Sarnak: To jest konsekwencja GRH orazQ-niezaleznosci zer L(s, χ), gdzie χ przebiega wszystkie charakterypierwotne.

1995. Kaczorowski: Dla k = 5 wystarczy GRH.


Hipoteza H

1958. Schinzel, Sierpinski. Hipoteza H: Jesli f1, . . . , fk ∈ Z[X ] sa‘

nieprzywiedlne, bez sta lych dzielnikow i maja‘

stopnie ≥ 1, to dlanieskonczenie wielu n liczby fi (n) sa

‘pierwsze.

1962-1965. Bateman-Horn: Ilosc takich n ≤ x powinna byc rowna

(c(f1, . . . , fk)

d1 · · · dk+ o(1)

)x

logk x,

gdzie

c(f1, . . . , fk) =∏

p

(1− ω(p)

p

)(1− 1

p

)−k,

ω(p) jest liczba‘

rozwia‘zan f1(x) · · · fk(x) ≡ 0 mod p, a di = deg fi .


Wielomiany kwadratowe

1957. Hooley: Z GRH wynika istnienie ∞ liczb pierwszych postacix2 + y 2 + a.

1959. Bredichin: GRH jest tu niepotrzebna. Ogolniej:p = f (x , y) + a, gdzie f – forma kwadratowa.

1972. Iwaniec: Ilosc takich p ≤ x ma rza‘d x/log3/2x .


Wielomiany kwadratowe,II

1966. Pleasants: Wielomian 3 stopnia o ≥ 10 zmiennych,spelniaja

‘cych naturalne warunki przedstawia ∞ liczb pierwszych.

To samo zachodzi dla wielomianow kwadratowych o ≥ 3zmiennych.

1974. Iwaniec: Wielomian ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + fprzedstawia ∞ liczb pierwszych o ile jest nieprzywiedlny i nie masta lego dzielnika.

Dla deg f ≥ 3 tak nie jest. Przyk lad: wielomian

f (x , y) = (y 2 + 15)(1− (x2 − 23y 2 − 1)2

)− 5

nie przedstawia zadnej liczby pierwszej. (Heath-Brown).

1997. Fouvry, Iwaniec: Istnieje ∞ liczb pierwszych postaci p2 + x2.


Wyzsze stopnie

1998. Friedlander, Iwaniec: x4 + y 2 przedstawia ∞ liczbpierwszych.

2003. Heath-Brown: x3 + 2y 3 przedstawia ∞ liczb pierwszych.


Dystrybuanta

Dystrybuanta funkcji arytmetycznej f to

F (t) = limx→∞

#n ≤ x : f (n) < tx

.

1928. Schoenberg: ϕ(n) i logϕ(n) maja‘

dystrybuanty.

1933. Davenport: σ(n)/n ma dystrybuante‘.

1935. Erdos: f (n) ≥ 0 addytywna, f (p1) 6= f (p2), madystrybuante

‘.


Erdos, Wintner

g +(p) =

g(n) gdy |g(n)| ≤ 1,1 gdy |g(n)| > 1.

1938. Erdos: Jesli f addytywna i szeregi

∑

p

f +(p)

p,∑

p

(f +(p))2

p

sa‘

zbiezne, to f ma dystrybuante‘.

1939. Erdos i Wintner: Warunek ten jest takze dostateczny.


Kubilius

1956–1959. Kubilius opisa l funkcje addytywne f , dla ktorychistnieje

Φ(t) = limx→∞

1

x#

n ≤ x :

f (n)− Ax

Bx≤ t

,

gdzie

Ax =∑

p

f (p)

p, Bx =

(∑

p

f 2(p)

p

)1/2

.

Dla f (n) = ω(n) jest to twierdzenie Erdosa-Kaca (1940).


Turan-Kubilius

Nierownosc Turana-Kubiliusa:

∑

n≤x|f (n)− Ax |2 ≤ C (x)xB2

x .

1985. Kubilius: C (x) = 1.5 + O(1/logx).


Wirsing

1944. Wintner twierdzi l, ze kazda multyplikatywna funkcja f owartosciach ±1 posiada wartosc srednia

‘

M(f ) = limx→∞

1

x

∑

n≤xf (n).

1959. Ciesielski: Tak jest dla wie‘kszosci funkcji f .

1967. Wirsing: Tak jest dla f rzeczywistych, spe lniaja‘cych

|f (n)| = 1.

1968. Halasz: Jesli f ma wartosci zespolone, to

∑

n≤xf (n) = cL(log x)x1+ia + o(x),

gdzie |L(x)| = 1 a ∈ R, c ∈ C i dla wszystkich M ≥ 1 zachodziL(Mn)/L(n)→ 1.


Elliott

1975. Elliott opisa l funkcje multyplikatywne z L2 (tj.∑∞n=1 |f (m)|2 <∞), dla ktorych istnieje niezerowa wartosc

srednia.


van der Waerden

1927. van der Waerden: Istnieje liczba W (m, n) taka, ze jesliprzedzia l [1,W (m, n)] podzielimy na m klas, to jedna z nichzawierac be

‘dzie poste

‘p arytmetyczny o d lugosci n.

1962. W.M.Schmidt: log(W (m, n)) > (n − c√

n log n) log k .

Shelah (1985) i Gowers (2002) podali gorne oszacowania W (m, n).


Erdos, Graham

Problem Erdosa-Grahama:

Czy istnieje b > 1 takie, ze jesli liczby z przedzia lu [2, bk ]podzielimy na k klas, to jedna z nich zawiera podzbior S z

∑

n∈S

1

n= 1.

2003. Croot: Tak, kazde b > exp(167 000) jest dobre.


Problem Erdosa-Turana

1936. Erdos-Turan: Czy kazdy cia‘g o gornej ge

‘stosci dodatniej

zawiera dowolnie d lugie poste‘py arytmetyczne?

rk(n), to najmniejsze r takie, ze kazdy cia‘g r liczb ≤ n zawiera

k-wyrazowy poste‘p.

1938. Behrend: Dla kazdego k istnieje granicaγk = limn→∞ rk(n)/n i albo γ3 = γ4 = · · · = 0, albolimk→∞ γk = 1.

1952. Roth: γ3 = 0 metoda‘

ca lkowania zespolonego.

1953. Roth: r3(n) = O(

nlog log n

).

2008. Bourgain: r3(n) = O(

(log log n)2

log2/3 n

).


Szemeredi

1969. Szemeredi: γ4 = 0.

1975. Szemeredi: γk = 0 dla wszystkich k .

1977. Furstenberg: Dowod przy uzyciu teorii ergodycznej.

2001. Gowers: nowy dowod; rk(n) = O (n/(log log n)ck ) z ck > 0.


Harry Furstenberg

VIII. Druga połowa stulecia. Inne metody

Funkcje L krzywych eliptycznych

E : y 2 = f (x), deg f = 3, D – wyroznik f .

Dla p - D Ap jest iloscia‘

rozwia‘zan y 2 ≡ f (x) mod p,

tp = p + 1− Ap.

Dla p - D tp ∈ 0,±1 w zaleznosci od geometrii E mod p.

LE (s) =∏

p|D

1

1− tpp−s∏

p-D

1

1− tpp−s + p1−2s.

LE (s) jest regularna dla <s > 3/2.

W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU VIII. Druga po lowa stulecia Inne metody

Funkcje zeta

1949. Weil: X – rzutowa rozmaitosc algebraiczna nad cia lem Fq,tj.

X = P ∈ KN

: f1(P) = · · · = fm(P) = 0,[Kn : K ] = n, X (Kn) = KN

n ∩ X .

ζX (q; T ) = exp

( ∞∑

n=1

#X (Kn)T n

n

).

Dla krzywych to sie‘

pokrywa z funkcjami zeta F.K.Schmidta(1931).


Hipotezy Weila

X - rozmaitosc nieosobliwa.I: ζX (q; T ) jest funkcja

‘wymierna

‘.

II: Rownanie funkcyjne ζX (q; 1/qNT ) = ±qnε/2T εζX (q; T ) zpewnym ε ∈ Z.

III ”Hipoteza Riemanna”:

ζX (q; T ) =P1(T )P3(T ) · · ·P2N−1(T )

P0(T )P2(T ) · · ·P2N(T ),

gdzie Pi (T ) ∈ Z[T ], P0(T ) = 1− T , P2N(T ) = 1− qNT , a dlai = 1, 2, . . . , 2N − 1 mamy

Pj(T ) =∏

j

(1− αijT ), |αij | = qi/2.


Zeta dla funkcji eliptycznych

LE (s) =ζ(s)ζ(s − 1)∏p ζE (p; p−s)

.

Gdy E ma dobra‘

redukcje‘

mod p (tj. E mod p jest krzywa‘

eliptyczna‘), to z pewnym a ∈ Z mamy

ζE (p; T ) =1− aT + pT 2

(1− T )(1− pT )

W tym przypadku hipotezy Weila by ly udowodnione przez Hassego(1933-1936), a dla dowolnych krzywych sformu lowane przezHassego w 1934 r.


Weil

1940: Weil poda l dowod hipotezy Riemanna dla krzywych.

Jako wniosek: Weil (1948): Jesli χ jest charakterem mod p rze‘du

d, a W (x) ∈ Fp[x ] jest wielomianem nie be‘da

‘cym postaci cV d(x),

to ∣∣∣∣∣∣∑

x mod p

χ(W (x))

∣∣∣∣∣∣≤ (deg W − 1)

√p.


Dowod hipotez Weila

I. Wymiernosc: Dwork, 1960.

II. Rownanie funkcyjne: Dwork, 1962. M.Artin, Grothendieck

III. Rozk lad na czynniki: Dwork, 1960 (poza 2 przypadkami),Deligne, 1973.

IV. ”Hipoteza Riemanna o zerach”: Deligne, 1973 (Medal Fieldsa).


Grupa Weila-Chateleta

Chatelet (1941), Weil (1955): E (K ) – krzywa eliptyczna nadcia lem K . Istnieja

‘nieosobliwe krzywe nad K na ktorych E (K )

dzia la w sposob przechodni.Zbior WC (E/K ) (grupa Weila-Chateleta) klas rownowaznoscitakich krzywych z naturalna

‘rownowaznoscia

‘jest grupa

‘,

izomorficzna‘

z H1(GK ,E ), gdzie GK = Gal(K/K ), a K jestalgebraicznym domknie

‘ciem K .


Grupa Tate’a-Szafarewicza

Kanoniczny homomorfizm K −→ Kp daje homomorfizm

Φ : WC (E/K ) −→∏

p

WC (E/Kp).

Grupa Tate’a-Szafarewicza, X(E/K ), to ja‘dro Φ.

Przypuszcza sie‘, ze grupa X(E/K ) jest skonczona. Pierwsze takie

przyk lady podali Rubin (1987) i Ko lywagin (1988).

Szafarewicz (1959): X(E/Q) zawiera skonczenie wiele elementowo rze

‘dach ≤ n.

Cassels (1964) pokaza l, ze #X(E/Q) moze byc dowolnie duze.


Hipotezy Szafarewicza

ICM 1962. Twierdzenie Szafarewicza:

Istnieje jedynie skonczenie wiele nieizomorficznych krzywycheliptycznych nad Q , maja

‘cych dobra

‘redukcje

‘poza ustalonym

skonczonym zbiorem liczb pierwszych S. Analogicznie jest wprzypadku krzywych nad cia lami K z [K : Q] <∞.

Cremona i Lingham (2007) podali algorytm na znalezieniewszystkich krzywych z zadanym S .

Hipoteza: To samo zachodzi dla nieosobliwych, nieprzywiedlnychkrzywych ustalonego rodzju.

1968: Parszin: Hipoteza ta implikuje hipoteze‘

Mordella.


Dowod

Dowody hipotezy:

Dla krzywych nad C: Parszin (1968) dla S = ∅, Arakie low (1971)dla dowolnych skonczonych S .Dla cia l charakterystyki 6= 0: Szpiro (1979).Dla cia l funkcyjnych nad Fpn : Parszin (1968).Dla skonczonych rozszerzen Q: Faltings (1983).


Hipotezy Szafarewicza, c.d.

Druga hipoteza Szafarewicza: Nie istnieje krzywa eliptyczna nad Qmaja

‘ca

‘wsze

‘dzie dobra

‘redukcje

‘.

Udowodni l to Tate (1974). Poda l tez przyk lad krzywej E/K zK = Q(

√29), maja

‘cej wsze

‘dzie dobra

‘redukcje

‘.

1985. Fontaine: Ten sam wynik dla dowolnych rozmaitosciabelowych nad Q. Dla wymiarow 2, 3 udowodni l to Abraszkin(1976-1977).

Pytanie, czy jest skonczenie wiele krzywych E/Q maja‘cej dobra

‘redukcje

‘wsze

‘dzie poza jednym wyja

‘tkiem jest otwarte.

2005. Friedlander, Iwaniec: Tak be‘dzie, jesli istnieje ∞ wiele k z

1/L(1, χk) ≤ log−61 k, gdzie χk jest pierwotnym rzeczywistymcharakterem mod k.


Hipoteza Bircha–Swinnertona-Dyera

Hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera:

Jesli E/Q ma rza‘d r , to funkcja LE (s) ma zero rze

‘du r w punkcie

s = 1, tj.LE (s) = ar (s − 1)r + . . . , ar > 0

przy czymar = λ(E ) ·X(E/Q) 6= 0,

zas λ(E ) jest dana jawnym wzorem.


Brian Birch

B–Sw-D

1977. Coates i Wiles: Jesli E ma mnozenie zespolone przez liczbyca lkowite z cia la o liczbie klas 1, oraz LE (1) 6= 0, to r = 0.

1983. Greenberg: Jesli E ma mnozenie zespolone, a LE (s) ma ws = 1 zero rze

‘du nieparzystego, to r ≥ 1.

1986. Gross, Zagier: Jesli E jest modularna, a LE (s) mapojedyncze zero w s = 1, to r ≥ 1.

1987. Rubin: Jesli E ma mnozenie zespolone i r ≥ 2, to LE (s) maw s = 1 zero rze

‘du ≥ 2.

1988. Ko lywagin: Jesli E jest modularna, to z LE (1) 6= 0 wynikar = 0, a jesli LE (s) ma pojedyncze zero w s = 1, to r = 1.

Zatem dla krzywych modularnych jakosciowa cze‘sc hipotezy jest

s luszna przy r = 0, 1.Dzis wiemy, ze kazda krzywa eliptyczne jest modularna.


Ralph Greenberg

Sato-Tate

Hipoteza Sato-Tate:

E – krzywa eliptyczna, Np = #E mod p. Z hipotezy Riemannadla E wynika, ze

ST (p) =Np − p − 1

2√

p

spe lnia |ST (p)| ≤ 1.

Jesli ST (p) = cos(θ(p)) (0 ≤ θ ≤ π), to dla 0 ≤ a < b ≤ 1

limx→∞

#a ≤ θ(p) <≤ bπ(x)

=2

π

∫ b

asin2 tdt.

2006. Dowod dla duzej klasy krzywych podali Clozel, Harris,Shepherd-Barron, Taylor.


Otwarte problemy

A) Lang i Trotter (1976):

Jesli P ∈ E/Q jest nieskonczonego rze‘du, to dla nieskonczenie

wielu p E mod p jest grupa‘

cykliczna‘, generowana

‘przez P mod p.

1978. Serre: Z GRH wynika, ze zbior takich p ma ge‘stosc, ktora

jest dodatnia wtedy i tylko wtedy, gdy E ma niewymierny punktrze

‘du 2.

1983. Murty: Dla krzywych z mnozeniem zespolonym nie potrzebatu GRH.


Jean-Pierre Serre

Otwarte problemy, II

B) Koblitz (1988): Np = #E mod p.

#p ≤ x : Np jest pierwsze = (cE + o(1))x

log2 x.

2005. Cojocaru: Dla x/log2x liczb pierwszych p ≤ x liczba Np

ma ograniczona‘

liczbe‘

dzielnikow pierwszych.

2006. Iwaniec, Jimenez-Urroz: Dla krzywych z mnozeniemzespolonym ω(Np) ≤ 3 zachodzi dla ∞ p.


Frobenius

Automorfizm Frobeniusa Frob(p):

Frob(q) jest elementem GalQ/Q, spe lniaja‘cym

Frob(p(x) ≡ xp (mod N(p))

gdzie p jest idea lem zawieraja‘cym p w ciele generowanym przez x .


Hipoteza Serre’a

Serre: Jesli f =∑

n anqn jest forma‘

paraboliczna‘

wagi k dlaSL2(Z), a1 = 1 oraz an ∈ Z, a nadto

∑n ann−s ma iloczyn Eulera,

to dla kazdej liczby pierwszej p istnieje cia‘g la reprezentacja

ρp : Gal(Kp/Q) −→ GL2(Zp),

gdzie Kp jest maksymalnym rozszerzeniem Q rozga le‘zionym tylko

w p. Nadto dla kazdej liczby pierwszej q 6= p macierz ρp(Frob(q))ma wielomian charakterystyczny

X 2 − apX + pk−1.

1974. Deligne: Dowod tej hipotezy.


Kongruencje dla τ(n)

1916. Ramanujan: τ(p) ≡ 1 + p11 (mod 691) (pierwszy dowod:Wilton, 1929).

Szereg innych kongruencji, m.in.:τ(p) ≡ 1 + p11 mod 25, τ(p) ≡ p + p10 mod 52 (Bambah, 1946);

τ(p) ≡ 1 + p mod 3 dla p 6= 3, τ(p) ≡ p + p4 mod 7(Ramanathan, 1945).


Kongruencje dla τ(n), c.d.

1976. Serre, Swinnerton-Dyer: Interpretacja kongruencji dla τ(n)w terminach reprezentacji ρp, zwia

‘zanej z forma

‘modularna

‘∆(z):

Taka kongruencja istnieje dla pewnej pote‘gi p wtedy i tylko wtedy,

gdy obraz ρp mod p w GL2(Fp) nie zawiera SL2(Fp). To da lope lny opis tych kongruencji.


Liczby kongruentne

Euler: Liczba n jest kongruentna, gdy istnieja‘

x , z ∈ Z takie, zex2 + ny 2 i x2 − ny 2 sa

‘kwadratami.

1 nie jest kongruentna ⇔ FLT (4).

1983. Tunnell: a) n jest kongruentne wtedy i tylko wtedy, gdykrzywa E : y 2 = x3 − nx2 ma rza

‘d ≥ 1.

b) Jesli n jest kongruentne, to

#

n = x2 + 2y 2 + 8z2

= 2#

n = x2 + 2y 2 + 32z2.

c) Odwrotna implikacja wynika z hipotezyBircha-Swinnertona-Dyera.


Hipoteza ABC

Hipoteza ABC (Masser 1985, Oesterle 1988):

Jesli a, b, c > 0 sa‘

wzgle‘dnie pierwsze oraz c = a + b, to dla ε > 0

c ≤ B(ε)R1+ε(abc),

gdzie R(n) =∏

p|n p.

Wiadomo jedynie, ze z za lozen wynika

c = O (exp (A(ε)Rc(abc)))

dla c > 2/3 (Stewart, Yu, 1991).

Ogolniejsza wersja (dla cia l liczbowych): Elkies (1991) i Vojta(1987).


Konsekwencje

Konsekwencje hipotezy ABC :

a). Twierdzenie Fermata dla duzych wyk ladnikow.

b) Efektywizacja twierdzenia Rotha (Bombieri, 1994).


Konsekwencje, c.d.

Z uogolnienia ABC na cia la wynikaja‘:

a) Hipoteza Mordella o punktach wymiernych na krzywych rodzaju≥ 2 (Elkies, 1991),

b) Nieistnienie zer Siegela (Granville, Stark, 2000).

Wykaz konsekwencji ABC znajduje sie‘

na stronie Nitaja (Univ.Caen).


Subspace theorem

1971. W.M.Schwarz: (Twierdzenie o podprzestrzeniach [Subspacetheorem]:

Jesli L1, . . . , Ln – formy liniowe n zmiennych z algebraicznymiwspo lczynnikami, to dla kazdego δ > 0 istnieje skonczona rodzinaV1, . . . ,Vm w lasciwych podprzestrzeni Qn taka, ze jesli x ∈ Zn

spe lnia ∣∣∣∣∣∣

n∏

j=1

Lj(x)

∣∣∣∣∣∣< |x |−δ,

gdzie |x | = |(x1, . . . , xn)| = maxj |xj |, to

x ∈n⋃

j=1

Vj .


Zastosowania

Zastosowania:

a) Jesli a jest liczba‘

algebraifczna‘, to k lada

‘c L1(x , y) = y ,

L2(x , y) = x − ay otrzymujemy twierdzenie Rotha.

b) Nowy dowod tw. Siegela o rownaniach diofantycznych (Corvaja,Zannier, 2003).

c) Jesli b > 1 nie jest pote‘ga

‘a > 1, to

NWD(an − 1, bn − 1) = O(an/2

)(Bugeaud, Corvaja, Zannier,

2003).


Zatosowania, c.d.

d) Z lozonosc ρq(n) liczby n w bazie q, to ilosc roznychn-elementowych cia

‘gow kolejnych cyfr liczby niewymiernej w

ustalonej bazie q > 1.

1997. Ferenczi, Maudit: limn→∞(ρq(n)− n) =∞.

2007. Adamczewski, Bugeaud: limn→∞ ρq(n)/n =∞.

2008. Bugeaud, Evertse: lim supn→∞ ρq(n)/(n(logc n)) =∞.


Problem Eulera

Euler przypuszcza l, ze dla n ≥ 3 rownanie

xn1 + · · ·+ xn

n−1 = yn

nie ma dodatnich ca lkowitych rozwia‘zan.

1967. Lander, Parkin: 275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445.

1988. Elkies:

2 682 4004 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734 .


Erdos, Selfridge

1857. Terquem i Prouhet: Iloczyn kolejnych k ≥ 2 liczbnaturalnych nie jest pote

‘ga

‘:

n(n + 1) · · · (n + k − 1) 6= ym (k,m ≥ 2).

1917. Narumi. Dowod dla k ≤ 202.

1926. Z twierdzenia Siegela o wielomianach wynika, ze przyustalonych k ,m jest tylko <∞ rozwia

‘zan.


Eros, Selfridge, II

1939. Erdos i Rigge (niezaleznie). Dowod dla m = 2.

1939. Erdos: Dowod dla ustalonego m i k ≥ k0(m).

1955. Erdos: k0(m) nie zalezy od m.

1975. Erdos, Selfridge: k0(m) = 2, co dowodzi przypuszczeniaTerquema i Prouheta.


Erdos, Selfridge, III

Pytanie Erdosa-Selfridge’a:

Czy iloczyn kolejnych k wyrazow poste‘pu arytmetycznego moze

byc pote‘ga

‘dla duzego k?

Dla k ≤ 3 jest to mozliwe, gdyz jesli a2 + b2 = c4, to iloczyn(c2 − a2)c2(c2 + a2) jest kwadratem. Przypuszcza sie

‘, ze jest to

jedyne rozwia‘zanie rownania

x(x + d)(x + 2d) · · · (x + (k − 1)d) = ym

przy k ≥ 2.

1985. Marsza lek: Rownanie

x(x + d)(x + 2d) · · · (x + (k − 1)d) = ym

nie ma rozwia‘zan gdy (x , d) = 1 i k exp(d3/2). Dla m ≥ 7

zachodzi to przy k ≥ cd .


Erdos, Selfridge, IV

1992–1995. Shorey, Tijdeman: wzmocnienie tych oszacowan.

1999-2009. Gyory i in.: Przy m ≥ 3 i 3 ≤ k ≤ 34 nie marozwia

‘zan.


Catalan

Problem Catalana (1842): Jedynym rozwia‘zaniem rownania

ax − by = 1 z x , y ≥ 2 jest 32 − 23 = 1.

1850. Lebesgue: Tak, jesli y = 2.

1952. Leveque: Dla ustalonych a, b jest conajwyzej 1 rozwia‘zanie,

nawet jesli dopuscimy x , y = 1 (wtedy jest 1 wyja‘tek, bo

31 − 21 = 1).

1953. Cassels: Dla ustalonych a, b jawna postac rozwia‘zania.

1965. Chao Ko: Dowod w przypadku x = 2.


Tijdeman, Mihailescu

1976. Tijdeman: Efektywne ograniczenie na rozwia‘zania a, b, x , y

rownania Catalana ax − by = 1.

Np. ax < exp(exp(exp(exp(730)))) (Langevin)

1991. Aaltonen, Inkeri: a, b ≥ 10500.

1994. Mignotte: x < 1.2 · 1018, y ≤ 2.48 · 1024.

2002. Mihailescu znalaz l dowod hipotezy, uzywaja‘c cia l

cyklotomicznych.


Hipoteza Pillai

1936. Hipoteza Pillai: Przy ustalonym d rownanie ax − by = d ma<∞ rozwia

‘zan.

Pillai: Dla d > d0(a, b) jest conajwyzej jedno rozwia‘zanie.

Z hipotezy ABC wynika ax ≤ c1(ab)3/2, wie‘c ax−3/2 ≤ c1b3/2.

Wobec b ≤ c2ax/y otrzymujemy ax−3/2 ≤ c3a3x/2y , wie‘c

x − 3/2 ≤ 3x/2y + O(1) ≤ 3x/4 + O(1),

i x ≤ c4. Tw. Schinzla-Tijdemana daje teraz y ≤ c5 i postajezastosowac tw. Siegela.


IX. Algebraiczna teoria liczb

Teoria cia l klasFunkcja Dedekinda

Struktura GaloisLiczba klas

Hilbert, Weber

Pocza‘tek teorii cia l klas.

1898. Przypuszczenie Hilberta:

Jesli [K : Q] <∞, to istnieje jedyne maksymalne nierozga le‘zione

rozszerzenie abelowe L/K (”absolutne cia lo klas”). Przy tymGal(L/K ) ∼ H∗(K ), a rozk lad idea lu pierwszego p ⊂ ZK zalezy odklasy p w H∗(K ).

L/K jest nierozga le‘zione, gdy w rozk ladzie pZL = Pe1

1 · · ·Pegg

mamy e1 = · · · = eg = 1.

1903–1911. Furtwangler poda l dowod.

W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb



Weber, Takagi

Opis rozszerzen abelowych cia la K = Q(θ) daje teoria cia l klas(Weber, Takagi):

Dla idea lu f Gf jest grupa‘

generowana‘

przez idea ly wzgle‘dnie

pierwsze z f, a Hf jest jej podgrupa‘

generowana‘

przez idea lyg lowne aZK z a 0. Jesli Hf < G < Gf, to kazda

‘grupe

‘Gf/G

nazywamy grupa‘

klas mod f.

Definicja: (Weber, 1897): L/K stopnia N jest cia lem klas dla G ,gdy p jest iloczynem N idea low pierwszych w ZL wtedy i tylkowtedy, gdy p ∈ G .

Tw. Takagiego (1920, 1922): Jesli L/K jest abelowe, to jestcia lem klas dla pewnej grupy G , a przy tym Gal(L/K ) ∼ Gf/G (dlaK = Q(

√d) z d < 0 udowodni l to Weber).




Symbol Artina

L/K normalne. Jesli P < ZL, a p = P ∩ ZK , to istniejegP ∈ Gal(L/K ), taki, ze

g(x) ≡ xN(p) (mod P).

(Automorfizm Frobeniusa).

Dla p < ZK symbol Artina:

FL/K (p) = gP : p = P ∩ ZK.

Artin (1927): Kanoniczny izomorfizm Gf/G −→ Gal(L/K ),indukowany przez p −→ FL/K (p).




Czebotarew, Artin

1923. Czebotarew: Jesli L/K jest normalne stopnia n, a A klasa‘

sprze‘zonych w Gal(L/K ), to zbior

p : FL/K (p) = A

jest nieskonczony i ma ge‘stosc #A/n.

Zbior A idea low pierwszych ma ge‘stosc α, gdy

limx→∞

#p ∈ A : N(p) ≤ x log x

x= α.

1975. Lagarias, Odlyzko: Efektywna wersja.




Lokalna teoria cia l klas

Hasse (1930): Lokalna teoria cia l klas: abelowe L/K jestwyznaczone jednoznacznie przez otwarte podgrupy K ∗ poprzezL/K ⇔ NL/K (K ∗).




Teoria cia l klas nad Q, I

G (N) – grupa reszt mod N, wzgle‘dnie pierwszych z N, X (N) –

grupa charakterow G (N).

K/Q abelowe ⇒ K ⊂ Q(ζN) dla pewnego N.

Gal(Q(ζN)) = G (N), K ⇔ HK < G (N) (teoria Galois).

Zatem K ⇔ ΞK = ˆG (N)/HK < X (N).




Teoria cia l klas nad Q, II

W lasnosci:(i) pZK jest iloczynem [K : Q] idea low pierwszych ⇔ p modN ∈ HK .

(ii) Kanoniczny izomorfizm G (N)/HK −→ Gal(K/Q) indukowanyprzez p −→ Frob(p) ∈ Gal(K/Q).(Frob(p)(x) ≡ xp (mod p) dla p|p).

ζK (s) =∏

χ∈ΞK )

L(s, χ′),

gdzie χ′ jest charakterem pierwotnym dla χ.




Chevalley

Claude Chevalley (1909–1984)

Ograniczony produkt grup: Gdy Hn < Gn, to jest tog = (gn) ∈∏∞n=1 Gn : gn ∈ Hn dla n > n(g).Grupa ideli IK cia la K , to ograniczony produkt grup K ∗v wzgle

‘dem

grup elementow odwracalnych uzupe lnien pierscienia ZK .

Idele g lowne: i = (xv ) dla xv = x ∈ K ∗. PK – grupa idelig lownych.

1936: Abelowe rozszerzenia L/K sa‘

w odpowiedniosci 1-1 zpewnymi podgrupami grupy IK/PK .




Artin-Tate

Sformu lowanie teorii cia l w klas w terminach kohomologii klas ideli:

Artin, Tate (1951/52), Hochschild, Nakayama (1952).




Neukirch

1984, 1986. Neukirch: Aksjomatyczne podejscie:

G - grupa proskonczona, GK - rodzina wszystkich domknie‘tych

podgrup G .

Indeksy K nazywaja‘

sie‘

”cia lami”.

”Rozszerzenie” K < L := GL ⊂ GK . Ono jest ”normalne”, gdyGL / GK , a ”grupa Galois”, to GK/GL. Wprowadza sie

‘tez

”przekroj”: K ∩ L i ”z lozenie”: KL.




Neukirch, II

Jesli G = gp(σ) – grupa cykliczna, a A jest G -modu lem, to

H0(G ,A) = AG/NA,

gdzie N =∑

g∈G g ,

H−1(G ,A) = a ∈ A : Na = 0/σa− a : a ∈ A.Podstawowy aksjomat: Jesli GK/GL jest skonczona i cykliczna, to

H i (GK/GL,AGL) =

#(GK/GL) gdy i = 0,1 gdy i = −1.

To prowadzi do jednolitego uje‘cia globalnej, lokalnej i funkcjonalnej

teorii cia l klas.




Hecke, zeta

Erich Hecke (1887–1947)1917: Funkcja zeta Dedekinda jest funkcja

‘meromorficzna

‘z

jedynym biegunem w s = 1. Spe lnia rownanie funkcyjne typu

Φ(s)ζK (s) = Φ(1− s)ζK (1− s).

1917, 1918, 1920: Nowe klasy charakterow χ(I ) i odpowiednich

L-funkcji∑

Iχ(I )N(I )s .




Zastosowanie

a) Analogon tw. Dirichleta o poste‘pie dla cia l (w ciele Q(i)

wczesniej Mertens, 1899).

b) Przedstawianie liczb pierwszych przez formy kwadratowe oargumentach w sektorach:

Np.: Istnieje nieskonczenie wiele liczb pierwszych p z p = a2 + b2 ib = o(

√p).

Dzis wiemy, ze jest to mozliwe z b = O(pc) przy c = 0.1631(Coleman, 1993), a GRH daje b = o(log p) (Ankeny, 1952).




Artin

1924-1930. Artin: Dla normalnych L/K z grupa‘

Galois G icharakteru χ reprezentacji ρ : G −→ GLn(C) funkcja Artina:

L(s, χ, L/K ) =∏

p

∗ (det[1− ρ(σ(p))N(p)−s ]

),

gdzie σ(p) to automorfizm Frobeniusa, a∏∗ oznacza iloczyn po

nierozga le‘zionych idea lach. Do tego dodano pozniej czynniki

odpowiadaja‘ce rozga le

‘zionym p i waluacjom nieskonczonym,

otrzymuja‘c funkcje

‘Λ(s, χ).

Artin: Dla L/K abelowych i nieprzywiedlnych ρ sa‘

to zwyk leL-funkcje (Dirichleta, Heckego, . . . ).




Artin, II

1923: Artin:ζK (s) =

∏

χ

L(s, χ,K/Q)χ(1),

gdzie χ przebiega charaktery nieprzywiedlnych reprezentacji.

Hipoteza Artina: Jesli ρ nie zawiera reprezentacji trywialnej, toL(s, χ, L/K ) (a wie

‘c i Λ) jest ca lkowita.

1947. R.Brauer: Λ(s, χ) jest meromorficzna i spe lnia rownaniefunkcyjne

Λ(s, χ) = W (χ)Λ(1− s, χ),

prz czym |W (χ)| = 1 (jest tzw. Artin root number).

Dla wie‘kszosci reprezentacji 2-wymiarowych hipoteza jest

udowodniona (Artin 1924, Langlands 1970, Tunnell 1981, Buhler1978, . . . , Taylor 2003).




Problemy o funkcji Dedekinda

Problem Dedekinda: Jesli K ⊂ L sa‘

cia lami, to iloraz ζL(s)/ζK (s)jest funkcja

‘ca lkowita

‘.

1931. Aramata: Tak jest, gdy L/K jest normalne.

1973. Problem Brauera: Jesli L jest z lozeniem K1 i K2, ak = K1 ∩ K2, to iloraz

ζL(s)ζk(s)

ζK1(s)ζK2(s)

jest ca lkowity. Tak jest, gdy Ki/k sa‘

normalne.




Teza Tate’a

1950. Tate: teoria funkcji zeta Dedekinda i i L-funkcji zwia‘zanych

z charakterami w teorii cia l, oparta na teorii ideli Chevalleya.




Baza normalna

1932. E.Noether: Jesli L/K normalne z grupa‘

Galois G , to L jestwolnym K [G ]-modu lem.

Problem: Niech K/Q be‘dzie normalne z grupa

‘G . Kiedy ZK jest

wolnym Z[G ]-modu lem?

K/Q jest lagodnie rozga le‘zione, gdy z pZK = pe1

1 · · · pegg wynika

p - ei . To jest rownowazne z surjektywnoscia‘

sladu:Tr : ZL −→ ZK .

Hilbert (1897) - Speiser (1916): Jesli K/Q jest abelowe, towarunkiem koniecznym i dostatecznym jest lagodne rozga le

‘zienie.

Warunek ten jest zawsze warunkiem koniecznym.

1999. Greither, Rubin, Srivastav: Dla kazdego cia la K 6= Q istniejenierozga le

‘zione rozszerzenie L/K w ktorym ZL nie jest wolnym

ZK -modu lem.




Baza normalna, c.d.

Lagodna rozga le‘zionsc K/Q wystarcza m.in. dla rozszerzen

stopnia bezkwadratowego (Ph.Cassou-Nogues, 1977) i dlarozszerzen dihedralnych (Miyata, 1980).

1971. Martinet: Tak nie jest dla cia l z grupa‘

kwaternionowa‘

(H8).

1971. Hipoteza Serre’a: Jesli Gal(K/Q) = H8 i K/Q jest lagodnierozga le

‘zione (tj. 2 - d(K )), to ZK ma baze

‘normalna

‘wtedy i tylko

wtedy, gdy W (ψ) = 1, gdzie ψ jest jedynym charakteremnieprzywiedlnej symplektycznej reprezentacji ρ : H8 −→ GLn(C),tj. daja

‘cej sie

‘roz lozyc:

H8 −→ GLn(H) −→ GLn(C).

1972. Frohlich poda l dowod.




Frohlich

Przypuszczenie Frohlicha: Jesli rozszerzenie K/Q jest normalne i lagodnie rozga le

‘zione, to istnieje baza normalna ZK wtedy i tylko

wtedy, gdy dla kazdego charakteru ψ nieprzywiedlnej reprezentacjisymplektycznej grupy Gal(K/Q) mamy W (ψ) = 1.

Dowod znalaz l M.Taylor w 1981 r.W szczegolnosci jesli nie ma takich reprezentacji (np., gdy grupama rza

‘d nieparzysty), to istnieje baza normalna.


Albrecht Frohlich (1916–2001)



Problem Kummera

hp – liczba klas cia la Q(ζp), h+p – liczba klas cia la Q(ζp) ∩ R.

Kummer: h−p = hp/h+p ∈ Z.

Przypuszczenie Kummera:

h−p ∼ L(p) := 2p

(√p

2π

)(p−1)/2

. (∗)

1949. Ankeny, Chowla: log h−p = logL(p) + o(log p).




Problem Kummera, c.d.

1990. Granville: Jesli (*) jest s luszne, to fa lszywa jest jedna zhipotez:

a) #p ≤ x : 2p + 1 ∈ P x/log2x (Hardy, Littlewood),

b)∑

k<x1−ε

∣∣∣∣ max(k,l)=1

(π(x ; k , l)− π(x)

ϕ(x))

∣∣∣∣x

logM x

dla kazdego M (Elliott, Halberstam).

2001. Murty, Petridis: Istnieje c > 0 takie, zelog h−p = logL(p) + O(1) zachodzi dla prawie wszystkich p.




Kryterium Kummera

Kp = Q(ζp).

Kummer: p - h(Kp)⇔ p jest liczba‘

regularna‘.

Hipoteza Vandivera: p - h(Kp+).

Ap – p-grupa Sylowa H(Kp). Kanoniczny rozk lad:

Ap =⊕

χ mod p

Aχ.

Tutaj Aχ = εχAp, gdzie

εχ =1

p − 1

∑

g

χ(g)g−1 ∈ Q[G ].

(G = Gal(Kp/Q))




Ribet

X jest charakterem mod p, spe lniaja‘cym X (a) ≡ a (mod pZKp).

1976. Ribet: Dla k = 2, 4, . . . , p − 3 AX 1−k 6= 0⇔ p|Bk .

Herbrand (1932) udowodni l implikacje‘⇒.




Jednostki cyklotomiczne

E + – grupa jednostek K +p = Q(ζp + ζp).

V – grupa generowana przez ±ζp, 1− ζap : 1 < a < p.C + = E + ∩ V – grupa jednostek cyklotomicznych K +

p .

1851. Kummer: #(E +/C +) = hp+.

Odpowiednie grupy nie zawsze sa‘

izomorficzne (np.dla p = 62501).

1984. Mazur, Wiles: #εχAχ = #εχ(E +/C +)p.




Landau, Liczba klas.

1903: Rozwia‘zanie problemu Gaussa o wyroznikach d < 0 form

aX 2 + 2bXY + cY 2 z liczba‘

klas rowna‘

1 (tutaj wyroznik dzieli sie‘

przez 4). Jest ich 5.

Dla form aX 2 + bXY + cY 2 z nieparzystym wspo lczynnikiem bproblem okaza l sie

‘znacznie trudniejszy:




h = 1

h(d), to liczba klas idea low w ciele Q(√

d), rowna liczbie klas formo wyrozniku d .

a) Hecke (1918): Z ERH wynika, ze h(−d)→∞.ERH oznacza, ze L-funkcje Dirichleta maja

‘nietrywialne zera

jedynie na prostej <s = 1/2.

b) Deuring (1933): Jesli RH fa lszywa, to jest tylko skonczeniewiele d < 0 z h(d) = 1.

c) Heilbronn, Linfoot (1934): Jesli d < 0 i h(d) = 1, tod ∈ −3,−4,−7,−8,−11,−19,−43,−67,−163, d0.Heegner (1952), Stark, Baker (1968): Nie ma wyroznika d0.


Harold Stark



Class number

Mordell (1934): Jesli RH fa lszywa, to h(−d)→∞.

Heilbronn (1934): h(−d)→∞.

Landau (1935): Dla kazdego h istnieje conajwyzej jeden wyroznikd < 0, spe lniaja

‘cy h(d) = h i |d | ≥ Bh8 log6 h.

Tatuzawa (1951): Ostatnia‘

nierownosc mozna zasta‘pic przez

|d | > 21000h2 log2 h.




Siegel

1935. Siegel: Dla K = Q(√

d)

lim|d |→∞

log(h(d)R(d))

log(|d |) =1

2,

gdzie regulator

R(d) =

log(ε(d)) gdy d > 0,1 gdy d < 0,

zas ε jest podstawowa‘

jednostka‘

cia la K .

To wynika z twierdzenia Siegela o L(1, χ) i wzoru Dirichleta:

h(d)R(d) =

L(1, χd)

√|d |/2 gdy d > 0,

L(1, χd)w(d)√|d |/(2π) gdy d < 0,

gdzie w(d) a w to ilosc pierwiastkow z jednosci w Q(√

d).W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU IX. Algebraiczna teoria liczb



Brauer

1947. R.Brauer: Dla cia l K o ustalonym stopniu

lim|d(K)|→∞

log(h(K )R(K ))

log(|d(K )|) =1

2,

gdzie R(K ) jest regulatorem K .

1950. R.Brauer: To zachodzi takze dla cia‘gu cia l Kn, spe lniaja

‘cego

warunek

limn→∞

[Kn : Q]

log(|d(Kn)|) = 0.




h(−d) = h

1975. Stark: Lista d < 0 z h(−d) = 2.

1976. Goldfeld: Jesli istnieje krzywa eliptyczna E/Q maja‘ca w

s = 1 zero rze‘du ≥ 3, to

h(−d) ≥ B(ε) log1−ε d

z efektywnym B(ε).

1986. Gross i Zagier znalezli taka‘

krzywa‘.




h(−d) = h,c.d.

Oesterle:

h(−d) ≥ log d

55

∏

p|d ,p 6=p′

(1− 2

√p

p − 1

),

gdzie p′ jest najwie‘kszym dzielnikiem pierwszym d .

To daje liste‘

d < 0 z h = 3.

1992. Arno: h = 4.

1996. Wagner: h = 5, 6, 7.

1998. Arno i in.: h ≤ 23, 2 - h.

2004. Watkins: h ≤ 100. Takich cia l jest ponad 40 000, anajwie

‘cej, bo 3283 ma h = 96.




h dla d > 0

Problem: Czy istnieje nieskonczenie wiele cia l Q(√

d) z d > 0 ih = 1?




Uchida

1971. Uchida: Dla p > 19 cia lo Q(ζp) ma h > 1.

1972. Uchida: a) Istnieje jedynie skonczenie wiele urojonych cia labelowych z zadana

‘liczba

‘klas.

b) Kazde takie cia lo z h = 1 lezy w ciele Q(ζN) z N < 2 · 1010.

1976. Masley, Montgomery: Lista cia l Q(ζn) z h = 1. Jest ich 29.

1992. Yamamura: Lista urojonych cia l abelowych z h = 1. Sa‘

172takie cia la.




Rozszerzenia nieskonczone

1926. Stiemke (1892–1915): Kazda addytywna grupa z lozona zliczb algebraicznych jest wolna.

1928-1930. Krull: Teoria idea low i teoria Galois w nieskonczonychrozszerzeniach.

Grupa Galois:Gal(L/K ) = lim

←G (M/K ),

gdzie [M : K ] <∞. Topologia: baza zbiorow otwartych, towarstwy wzgle

‘dem podgrup Gal(L/M), gdzie [M : K ] <∞.

1973. Waterhouse: Kazda grupa proskonczona jest grupa‘

Galoisdla pewnego rozszerzenia.




Iwasawa

Kenkichi Iwasawa (1917–1998)

1959. Teoria Γ-rozszerzen.

Γ = Zp, KN = Q(ζN). Kp∞ =⋃∞

n=1 Kpn .

Gal(Kp∞/Kp) ∼ Γ. Ogolniej, L/K jest Γ-rozszerzeniem, gdyGal(L/K ) ∼ Γ.

To implikuje

K1 = K ⊂ K2 ⊂ K3 ⊂ · · · ⊂ Kn ⊂ · · · ⊂ L,

przy czym [Ki+1 : Ki ] = p.




Twierdzenie Iwasawy

Jesli [K : Q] <∞, a L/K jest Γ-rozszerzeniem, oraz pen ‖ h(Kn),to dla duzych n

en = λn + µpn + ν,

gdzie λ, µ, ν zaleza‘

tylko od K .

Jesli K = Q(ζp), L = Kp∞ , to Kn = Kpn .

Dowod ma trzy cze‘sci:

a)Opis struktury skonczenie generowalnych Zp[[T ]]-modu low.

b) Pokazanie, ze jesli M =⋃∞

n=1 Mn, gdzie Mn/Kn jestmaksymalnym abelowym nierozga le

‘zionym p-rozszerzeniem Kn, to

Gal(M/L) jest Zp[[T ]]-modu lem.

c) Skorzystanie z teorii cia l klas: pen = [Mn : Kn].




Wspo lczynniki Iwasawy

1978. Washington: Jesli K = Q(ζp) i q 6= p jest pierwsze, to dladuzych n mamy qc ‖ h(Kn) z c = c(K ).

1979. Ferrero, Washington: Jesli K = Q(ζp), to µ = 0.

Oba te twierdzenia zachodza‘

takze dla tzw. cyklotomicznychΓ-rozszerzen abelowych cia l K .

Greenberg (1976) przypuszcza l, ze jesli K jest w pe lni rzeczywiste,to dla cyklotomicznych rozszerzen mamy λ = µ = 0.


X. Wielkie Twierdzenie Fermata

Stan w roku 1900

FLT (n) := xn + yn 6= zn; FLT1(p) := xp + yp 6= zp, gdy p - xyz .

Fermat: n = 4.

Euler: n = 3.

1823: Sophie Germain: Jesli p, 2p + 1 pierwsze, to FLT1(p).

1825. Legendre: n = 5 oraz jesli p, kp + 1 pierwsze przyk = 4, 8, 10, 14, 16, to FLT1(p).Zatem FLT1(p) dla p < 100.

1828. Dirichlet. n = 14.

1839. Lame: n = 7.

1847: Kummer: FLT (p) dla p regularnych p - hp := h(Q(ζp)),zatem dla p < 100 poza p ∈ 37, 59, 67.1898: Maillet: a) FLT1(p) dla p ≤ 223.

b) Dla k ≥ c(p) z xpk + ypk = zpk wynika p|xyz .

W ladys law Narkiewicz TEORIA LICZB W XX WIEKU X. Wielkie Twierdzenie Fermata

Mirimanoff

Index nieregularnosci p, i(p), to ilosc 2k < p − 3 z p|B2k .

1905. Mirimanoff: Jesli i(p) ≤ 3, to FLT1(p). To zachodzi dlap ≤ 257.

1908. Dickson: FLT1(p) dla p < 6857.

1934. Krasner: Dla p > 104935, jesli i(p) < 2[log1/3 p] to FLT1(p).

. . . . . .1994. Jha: Dla duzych p, jesli i(p) < 2

√log p/log log p to

FLT1(p).


Wieferich

1909. Jesli 2p−1 6≡ 1 (mod p2), to FLT1(p).

p jest liczba‘

Wiefericha, gdy 2p−1 ≡ 1 (mod p2). Znane sa‘

dwie:p = 1093 (Meissner, 1913) i p = 3511 (Beeger, 1922). Dzis wiemy,ze ponizej 1.25 · 1015 nie ma innych (Knauer, Richstein, 2005).

Z hipotezy ABC wynika,ze nie kazda duza liczba pierwsza jestliczba

‘Wiefericha.


Wieferich, c.d.

Dalsze warunki konieczne na fa lszywosc FLT1(p):

3p−1 ≡ 1 (mod p2) (Mirimanoff, 1909).

qp−1 ≡ 1 (mod p2) dla pierwszych q ≤ 113 (Mirimanoff, . . . , . . . ,Suzuki).

To doprowadzi lo do FLT1(p) dla p < 8.858 · 1020 (Suzuki, 1994).

1985. Adleman, Heath-Brown: FLT1(p) dla nieskonczenie wielu p.


FLT (p)

1929–1939. Vandiver: FLT (p) dla p ≤ 619.

1964. D.H.Lehmer, E.Lehmer, Vandiver: FLT (p) dla p ≤ 2000.. . . . . .1987. Tanner, Wagstaff: FLT (p) dla p ≤ 150 000.1985. Granville i Heath-Brown: FLT (n) dla prawie wszystkich n.


Faltings

1983. Twierdzenie Faltingsa implikuje, ze xn + yn = zn moze miecprzy ustalonym n ≥ 3 jedynie skonczenie wiele rozwia

‘zan z

(x , y) = 1.


Taniyama-Shimura

Hipoteza Taniyamy-Shimury.

TS: Kazda krzywa eliptyczna jest modularna, tj. do kazdej krzywejeliptycznej E istnieje forma modularna, ktorej szereg Dirichleta jestrowny LE (s).

1971. Shimura: Dowod hipotezy TS dla krzywych z mnozeniemzespolonym (tj. jesli pierscien endomorfizmow E (C) jest wie

‘kszy

od Z).


Hipoteza Serre’a

1973. Hipoteza Serre’a: Jesli ρ : Gal(Q/Q) −→ GL2(Fp) jestcia

‘g la

‘nieprzywiedlna

‘reprezentacja

‘nieparzysta

‘(tj. dla sprze

‘zenia

zespolonego τ mamy ρ(τ) = −E ), to istnieje paraboliczna formamodularna f wagi 2 taka, ze ρ jest izomorficzna z reprezentacja

‘wyznaczona

‘przez f przez twierdzenie Deligne’a.

1987. Serre: TS jest konsekwencja‘

tej hipotezy.

2009. Khare i Winterberger: Dowod hipotezy Serre’a.


Frey

1986. Frey: Jesli ap + bp = cp i E : y 2 = x(x − ap)(x − bp) z 2|a,b ≡ 1 mod 4, to sa

‘powody, by sa

‘dzic, ze E be

‘dzie

kontrprzyk ladem dla hipotezy TS i hipotezy Serre’a.

1988. Ribet: Krzywa Freya nie jest modularna, zatem FLT wynikaz TS.

1995. Wiles, Taylor udowodnili modularnosc krzywych Freya, zwie

‘c i FLT .

1995–2001. Breuil, Conrad, Diamond, Kramer, Taylor: Dowod TS.


Dalsze zastosowania

Problem Beala: Jesli r , s, t ≥ 3, to rownanie x r + y s = z t nie marozwia

‘zan x , y , z ≥ 1 (x , y , z) = 1.

1995. Darmon, Granville: a) Jesli 1/r + 1/s + 1/t < 1, to jestconajwyzej skonczenie wiele rozwia

‘zan.

b) Jesli 1/r + 1/s + 1/t > 1, to jest nieskonczenie wiele rozwia‘zan.

Dla niektorych rownan udowodniono hipoteze‘

Beala. Np. dlaxn + yn = z3, z4 + yp = z4 (Darmon, 1993), czy x2n + y 2n = z5

(Bennett, 2006),


od twierdzenia o liczbach pierwszych do twierdzenia fermat. teoria

Documents