03 podstawowe prawa i twierdzenia teorii obwodówzoise.wel.wat.edu.pl/dydaktyka/wel...

OBWODY I SYGNAŁY 1 Wykład 3 : Podstawowe prawa, twierdzenia i reguły Teorii Obwodów

dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]

1 /14

3. PODSTAWOWE PRAWA I TWIERDZENIA TEORII OBWODÓW

3.1. SCHEMAT IDEOWY OBWODU

Schematem ideowym obwodu (siecią) nazywamy graficzne przed-stawienie obwodu , pokazujące kolejność i sposób połączeń jego elementów. Wszystkim uwzględnionym w modelu parametrom układu odpowiadają określone elementy, ich symbole graficzne oraz wartości, natomiast odcinki łączące elementy traktujemy jako idealne przewodniki (nie rozpraszające i nie akumulujące energii).

Na schemacie wyróżniamy: gałęzie, węzły i oczka.

Gałąź obwodu jest to układ zawierający jeden lub wiele dowolnie po-łączonych elementów (zarówno pasywnych jak i aktywnych), posia-dający dwie wyprowadzone końcówki (zaciski) do połączenia z po-zostałą częścią obwodu.

Gałąź jest więc dwójnikiem do opisu którego wystarczy znajomość

napięcia gałęziowego ug i prądu gałęziowego ig.

ug

1 2

Gałąź obwodu

Końcówkom gałęzi często narzuca się kolejność, tzn. oznaczamy jed-ną z nich jako pierwszą (1), która stanowi początek gałęzi a pozostałą jako drugą (2), stanowiącą jej koniec.



2 /14

Węzłem obwodu nazywamy końcówkę (zacisk) gałęzi, do której jest przyłączona jedna następna gałąź lub kilka gałęzi.

• Węzłem głównym obwodu nazywamy końcówkę (zacisk) gałęzi do której dołączono co najmniej dwie inne gałęzie (w1 i w3). Zatem wę-zeł główny (zwany potocznie węzłem), to taki punkt (zacisk) obwodu w którym zbiegają się co najmniej trzy końcówki różnych gałęzi.

• Jeśli liczba zbiegających się w punkcie końcówek gałęzi jest równa dwa, to punkt nazywamy węzłem pomocniczym. (w2).

w1 w2

w3

Ilustracja pojęcia węzła głównego i pomocniczego

Oczko obwodu elektrycznego jest to zbiór połączonych ze sobą ga-łęzi tworzących zamkniętą drogę dla prądu i posiadającą tę właści-wość, że po usunięciu dowolnej gałęzi oczka pozostałe gałęzie nie tworzą drogi zamkniętej.

oczko

Ilustracja pojęcia oczka obwodu



3 /14

UWAGA: • obwodem prostym bądź obwodem nierozgałęzionym na-zywamy obwód zawierający wyłącznie jedno oczko,

• obwodem złożonym lub inaczej rozgałęzionym nazywamy obwód zawierający nie mniej niż dwa oczka.

Gałęzie obwodu mogą tworzyć połączenie: szeregowe, równoległe, gwiazdowe lub wieloboczne (wielokątne).

Układ połączeń nazywamy szeregowym, wtedy gdy w każdej gałęzi układu występuje ten sam prąd elektryczny, tzn. o tej samej wartość i zwrocie.

Połączenie szeregowe

Układ połączeń nazywamy równoległym, wtedy gdy na każdej gałęzi układu występuje to samo napięcie elektryczne, tzn. o tej samej war-tość i zwrocie.

u u uu

Połączenie równoległe



4 /14

Połączenie n gałęzi obwodu w taki sposób, że końce każdej z gałęzi tworzą wspólny węzeł (zwany punktem zerowym), pozostałe zaś koń-ce dołączone są do innych elementów obwodu nazywamy połącze-niem gwiazdowym. Szczególnym przypadkiem połączenia gwiazdowego przy n = 3 jest połączenie w gwiazdę trójramienną.

Połączenie gałęzi obwodu w figurę płaską, która ma n wierzchołków i boki łączące każdy wierzchołek z wszystkimi pozostałymi, nazywa-my połączeniem wielokątnym (wielobocznym). Szczególnym przypadkiem połączenia wielokątnego przy n = 3 jest po-łączenie w trójkąt.

1

3

0

2 3 2

1a) b)

Połączenie: a) gwiazdowe (gwiazda trójramienna), b) wielokątne (trójkątowe)



5 /14

3.2. PRAWA KIRCHHOFFA I ZASADA TELLEGENA

I prawo Kirchhoffa - prądowe prawo Kirchhoffa (PPK) Algebraiczna suma natężeń prądów we wszystkich gałę-ziach dołączonych do jednego, dowolnie wybranego węzła obwodu jest w każdej chwili czasu równa zeru:

∑=

=∧n

kkk

tti

10)(λ (3.1)

gdzie: λk = ±1 (+ jeśli prąd elektryczny ma zwrot do węzła; - jeśli zwrot jest przeciwny, od węzła)

b)a)

( ) ( ) ( ) ( ) 04321 =+−+− titititi ( ) ( ) ( ) 0321 =−+ tititi

Ilustracja PPK: a) dla węzła, b) dla węzła jako obszaru



6 /14

II prawo Kirchhoffa - napięciowe prawo Kirchhoffa (NPK) Algebraiczna suma napięć na wszystkich elementach, two-rzących dowolnie wybrane oczko obwodu, jest w każdej chwili czasu równa zeru:

∑=

=∧n

kkk

ttu

10)(ν (3.2)

gdzie: νk = ±1 (+ jeśli zwrot napięcia jest zgodny z przyjętym za dodatni kie-runkiem obiegu oczka; - jeśli jest przeciwny)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 054321 =−++− tututututu

Ilustracja NPK



7 /14

Zasada Tellegena

W każdym odosobnionym obwodzie (obwodzie nie wymienia-jącym energii z otoczeniem) skupionym suma mocy chwilo-wych pobieranych przez wszystkie elementy obwodu jest w każdej chwili czasu równa zeru:

∑=

=∧n

kk

ttp

10)( (3.3)

Pamiętając, że w każdej chwili niektóre elementy obwodu faktycznie pobierają moc (pk > 0) a inne ją faktycznie oddają (pk < 0) z powyższej za-leżności wynika, iż:

suma mocy pobieranych przez elementy obwodu skupionego jest w każdej chwili równa sumie mocy oddawanych przez po-zostałe elementy obwodu. Zasada Tellegena zwana jest także zasadą BILANSU MOCY.

Taki sam wniosek formułuje się w odniesieniu do energii pobranych

i oddanych przez elementy obwodu skupionego w dowolnym przedziale czasu od t1 do t2:

∑ ∫∫ ∑==

==n

k

t

tk

t

t

n

kk tptp

110)()(

2

1

2

1

(3.4)

Oznacza to, że w dowolnym przedziale czasu <t1,t2> suma energii pobranych przez elementy obwodu skupionego jest równa sumie energii oddanych przez pozostałe elementy obwodu. Zasada Tellegena wyraża zatem także zasadą zachowania energii.



8 /14

3.3. ŁĄCZENIE SZEREGOWE I RÓWNOLEGŁE ELEMENTÓW

ŁĄCZENIE REZYSTORÓW

• Połączenie szeregowe n rezystorów

iRiRiRiRiRuuuun

kknn ==+++=+++= ∑

=12121 KK (3.5)

∑=

=n

kkRR

1 (3.6)

• Połączenie równoległe n rezystorów

uGuGuGuGuGiiiin

kknn ==+++=+++= ∑

=12121 KK (3.7)

∑∑==

==n

k k

n

kk RR

GG11

11lub (3.8)



9 /14

ŁĄCZENIE CEWEK INDUKCYJNYCH

• Połączenie szeregowe n cewek indukcyjnych

dt

ddt

ddt

ddt

duuuu nn

ΨΨΨΨ=+++=+++= KK 21

21 (3.9)

iLiLiLiLiLn

kkn ==+++= ∑

=121 KΨ (3.10)

∑=

=n

kkLL

1 (3.11)

• Połączenie równoległe n cewek indukcyjnych

.

ΨΨΨΨΨΨΨΨ====⇒===== n

ndt

ddt

ddt

ddt

du KK 2121 (3.12)

LLLLL

iiiin

k knn

ΨΨΨΨΨ==+++=+++= ∑

=12121

1KK (3.13)

∑=

=n

k kLL 1

11 (3.14)



10 /14

ŁĄCZENIE KONDENSATORÓW

• Połączenie szeregowe n kondensatorów

qqqqdtdq

dtdq

dtdq

dtdqi n

n ====⇒===== KK 2121 (3.15)

Cqq

CCq

Cq

Cquuuu

n

k knn ==+++=+++= ∑

=12121

1KK (3.16)

∑=

=n

k kCC 1

11 (3.17)

• Połączenie równoległe n kondensatorów

dtdq

dtdq

dtdq

dtdqiiii n

n =+++=+++= KK 2121 (3.18)

uCuCuCuCuCqn

kkn ==+++= ∑

=121 K (3.19)

∑=

=n

kkCC

1 (3.20)



11 /14

ŁĄCZENIE IDEALNYCH ŹRÓDEŁ NAPIĘCIA

• Połączenie szeregowe n idealnych źródeł napięcia

∑=

=n

kkuu

100 (3.21)

• Połączenie równoległe n idealnych źródeł napięcia jest możliwe (z uwagi na równość definicyjną (2.19)) tylko w przypadku szcze-gólnym, gdy wszystkie siły elektromotoryczne są jednakowe.

nkuu k ,,2,100 K== (3.22)

ŁĄCZENIE IDEALNYCH ŹRÓDEŁ PRĄDU

• Połączenie szeregowe n idealnych źródeł prądu jest możliwe

(z uwagi na równość definicyjną (2.20)) tylko w przypadku szcze-gólnym, gdy wszystkie wydajności prądowe są jednakowe

nkii kZZ ,,2,1 K== (3.23)

• Połączenie równoległe n idealnych źródeł prądu

∑=

=n

kkZZ ii

1 (3.24)



12 /14

3.4. TWIERDZENIA VASCHY’EGO I twierdzenie Vaschy’ego

W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie zmianie, jeżeli do każdej gałęzi dołączonej do dowolnego węzła włączy się szeregowo idealne, jednakowe o tym sa-mym zwrocie względem węzła, źródła napięcia.

Uwaga: • równanie wynikające z PPK dla

przykładowo wyróżnionego węzła nie ulega zmianie po włączeniu źródeł napięciowych,

• równanie napięciowe dla dowolnie wybranego oczka, w którym wy-stąpi wyróżniony węzeł, będzie dodatkowo zawierało dwa napięcia u0 o przeciwnych znakach.

II twierdzenie Vaschy’ego

W obwodzie rozgałęzionym rozpływ prądów nie ulegnie zmianie, jeżeli do każdej gałęzi wybranego oczka włączy się równolegle idealne, jednakowe o tym samym zwrocie względem obiegu oczka, źródła prądu.

Uwaga: • równania wynikające z PPK dla

każdego z węzłów przykładowo rozpatrywanego oczka, będą za-wierały dodatkowo dwa prądy iz o przeciwnych znakach.

• równanie napięciowe przykładowo wybranego oczka nie ulegnie zmianie po włączeniu idealnych źródeł prądowych.



13 /14

3.5. ZASADA RÓWNOWAŻNOŚCI OBWODÓW Często pożądaną rzeczą jest:

• zredukowanie obwodu do prostszej postaci (bardziej zwartej) lub • przekształcenie obwodu do innej postaci,

które jest równoważne z obwodem wyjściowym.

Dwa układy są równoważne z punktu widzenia ich zacisków, jeżeli zależności między napięciami i prądami związanymi z tymi zaciskami są w obu układach identyczne

Przykład: transfiguracja trójników pasywnych

1

3 2 3 2

1

R1

R2R3

R12

R23

R31><

Dany trójkąt szukamy gwiazdy Dana gwiazda szukamy trójkąta

312312

12311 RRR

RRR++

=

312312

23122 RRR

RRR++

=

312312

31233 RRR

RRR++

=

3

212112 R

RRRRR ++=

1

323223 R

RRRRR ++=

2

131331 R

RRRRR ++=



14 /14

3.6. DZIELNIKI OPOROWE

21 RRUI+

=

IRUIRU 2211 , ==

URR

RUURR

RU21

22

21

11 ,

+=

+=

DZIELNIK NAPIĘCIA

Dzielnik napięciowy jest ukła-dem dwóch rezystorów połączonych szeregowo

U

I

U1

U2

U

GGGUU

GGGU

21

12

21

21 ,

+=

+=

IRR

RRU21

21

+=

22

11 ,

RUI

RUI ==

IRR

RIIRR

RI21

12

21

21 ,

+=

+=

DZIELNIK PRĄDU

Dzielnik prądowy jest układem dwóch rezystorów połączonych rów-nolegle

U

I

I2I1

I

GGGII

GGGI

21

22

21

11 ,

+=

+=

03 podstawowe prawa i twierdzenia teorii obwodówzoise.wel.wat.edu.pl/dydaktyka/wel...

Documents