obsesja liczb pierwszych - fragmenty

JOHN DERBYSHIRE

przełożyliRomuald Kirwiel i Mieczysław Kulas

Poznań 2008

Th is is a translation ofPRIME OBSESSION: BERNHARD RIEMANN

AND THE GREATEST UNSOLVED PROBLEM IN MATHEMATICSby John Derbyshire © 2003

First published in English by Joseph Henry Press an imprint of the National Academic Press. All rights reserved. Th is edition published under

agreement with the National Academy of Sciences.

Redakcja i korektaZofi a Dambek, Paulina Jeske-Choińska

Redakcja merytorycznadr Mieczysław Kulas

Redakcja technicznaTeodor Jeske-Choiński

Projekt okładkiVan Nguyen

ISBN 978–83–920255–2–8

Dla Rosie

7

SPIS TREŚCI

Wprowadzenie ................................................................................................. 9

Prolog ............................................................................................................... 15

TWIERDZENIE O LICZBACH PIERWSZYCH

1. Trik z kartami .............................................................................................. 252. Ziemia i jej owoce ....................................................................................... 433. Twierdzenie o Liczbach Pierwszych ......................................................... 574. Na barkach gigantów .................................................................................. 735. Funkcja dzeta Riemanna ........................................................................... 896. Wielka fuzja ................................................................................................. 1097. Złoty klucz i ulepszone Twierdzenie o Liczbach Pierwszych ............... 1278. Trzy zdania .................................................................................................. 1479. Rozszerzenie dziedziny funkcji dzeta ...................................................... 16510. Dowód i punkt zwrotny ........................................................................... 179

II. HIPOTEZA RIEMANNA

11. N, Z, Q, R, C ............................................................................................... 19712. Ósmy problem Hilberta ........................................................................... 21313. Mrówka argumentu i mrówka wartości ................................................ 22914. Ogarnięci obsesją ...................................................................................... 25115. „Duże O” i funkcja Mi — Möbiusa......................................................... 26716. Wspinaczka po prostej krytycznej .......................................................... 28117. Nieco algebry ............................................................................................ 29318. Teoria liczb spotyka mechanikę kwantową ........................................... 30919. Przekręcenie złotego klucza .................................................................... 32520. Operator Riemanna i inne podejścia do hipotezy ............................... 34121. Człon resztowy .......................................................................................... 35722. Albo hipoteza jest prawdziwa, albo nie jest prawdziwa ....................... 381

Epilog ............................................................................................................... 393

Przypisy ............................................................................................................ 397

Aneks: hipoteza Riemanna w piosence ....................................................... 425

Ilustracje .......................................................................................................... 437

Indeks ............................................................................................................... 439

9

Wprowadzenie

WPROWADZENIE

Obsesja liczb pierwszych Johna Derbyshire’a to książka popularyzująca naj-większy nierozstrzygnięty dotąd problem matematyki współczesnej, słynną hipotezę Riemanna. Autor przedstawia zarówno genezę powstania hipotezy Riemanna, jak i wysiłki zmierzające do znalezienia jej potwierdzenia lub obalenia, wysiłki poczynione przez najlepszych matematyków w ciągu ostat-nich 150 lat.

John Derbyshire barwnie opisał wiele kwestii matematycznych związanych z tą hipotezą w kontekście historycznym, na tle znanych wydarzeń z dzie-jów Europy. Książka jest tak skonstruowana, że rozdziały parzyste dotyczą zagadnień historycznych i biografi cznych — oprócz szeroko analizowanych elementów biografi i Riemanna, osadzonych w realiach dziewiętnastowiecznej Europy, autor kreśli w interesujący sposób sylwetki wielu słynnych mate-matyków: Czebyszewa, Dirichleta, Eulera, Gaussa, Hadamarda, Hardy’ego, Landaua, którzy byli zaangażowani w prace nad badaniem liczb pierwszych na przestrzeni minionych trzystu lat. Rozdziały nieparzyste z kolei wypeł-niają zagadnienia matematyczne związane z hipotezą Riemanna. Te partie książki skierowane są do czytelnika nieposiadającego zbyt dużej wiedzy matematycznej, ponieważ niezbędne pojęcia analizy matematycznej i alge-

10

Obsesja liczb pierwszych

bry wyższej oraz wynikające z nich fakty potrzebne do zrozumienia istoty hipotezy przedstawiono w przystępny sposób. Temu celowi służy między innymi ciekawa narracja, miejscami z zamierzoną dozą humoru, czasami z odrobiną tajemniczości, trzymająca czytelnika w lekkim napięciu. Autor wprowadza sugestywne nazwy ważnych wzorów, na przykład tożsamość Eulera to złoty klucz (rozdział 7), jak również pozostające w pamięci zwroty dotyczące głównych pojęć, na przykład przekręcenie złotego klucza (rozdział 19). Oryginalne wydaje się porównanie podstawowych zbiorów liczbowych do zestawu rosyjskich lalek – matrioszek (rozdział 11). Nie można też nie wspomnieć o mrówce argumentu i mrówce wartości, wędrujących po zagad-kowych liniach płaszczyzny liczb zespolonych (rozdział 13). Zabawny jest wprowadzony przez autora symbol pierścienia reszt modulo n: ZEGARn (rozdział 17). Taka prezentacja trudnego zagadnienia matematycznego nie jest łatwa, ale autor zrobił to umiejętnie i czytelnik z pewnością zdobędzie w trakcie lektury dużo informacji dotyczących samej hipotezy oraz innych zagadnień z nią związanych.

Hipoteza Riemanna jest problemem z pogranicza co najmniej dwóch dyscyplin matematycznych. Wiąże bowiem w sobie teorię liczb oraz teorię funkcji analitycznych. Aby zrozumieć istotę tej hipotezy, cofnijmy się do początków samej matematyki, ściślej mówiąc, do teorii liczb.

Teoria liczb należy do najstarszych dyscyplin matematycznych. Jej po-czątki sięgają prób analizy własności arytmetycznych poszczególnych liczb naturalnych, to znaczy liczb postaci 1, 2, 3, … oraz własności zbioru N wszyst-kich liczb naturalnych. Wśród elementów zbioru N na szczególną uwagę zasługują liczby pierwsze, czyli liczby naturalne: 2, 3, 5, 7, 11, …, które dzielą się bez reszty jedynie przez jeden i przez samą siebie. Na podstawie zasad-niczego twierdzenia arytmetyki liczb naturalnych wiadomo, że każdą liczbę naturalną n, n > 1 można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Rozkład liczby naturalnej na iloczyn liczb pierwszych jest określony przy tym w sposób jednoznaczny i związany jest z kolejnością występowania liczb pierwszych w tym rozkładzie. W ten oto sposób okazuje się, że liczby pierwsze to takie obiekty arytmetyczne, które w wyniku mnożenia dają każdą liczbę naturalną większą od 1.

Ważne informacje o naturze zbioru liczb pierwszych uzyskano już w sta-

11

Wprowadzenie

rożytnej Grecji. W podręczniku Euklidesa (IV–III w. p.n.e.) można znaleźć dowód fundamentalnej własności zbioru P wszystkich liczb pierwszych (oparty na analizie liczb postaci 2 · 3 ·… · pn + 1, gdzie symbol pn oznacza n–tą liczbą pierwszą, to znaczy p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, itd.), która mówi, że zbiór liczb pierwszych nie jest zbiorem skończonym. Innymi słowy, istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych! Co więcej, Eratostenesowi (276–194 p.n.e.) przypisuje się metodę (zwaną sitem Eratostenesa) umożliwiającą spo-rządzenie tablicy liczb pierwszych nie większych niż z góry zadana liczba naturalna.

Istotne rezultaty dotyczące liczb pierwszych uzyskał wybitny szwajcarski matematyk Leonhard Euler (1707–1783). Na wyróżnienie zasługuje odkryty przez niego w roku 1737 związek między zbiorem liczb naturalnych oraz zbiorem liczb pierwszych (zwany tożsamością Eulera), który można wyrazić za pomocą następującej zależności, prawdziwej dla każdej liczby rzeczywistej s, s > 1.

Tożsamość Eulera

n ps

n

s

p

− − −∑ ∏= −( )1 1

Symbole Σ, Π występujące w tej zależności wskazują odpowiednio na operację sumowania liczb postaci n–s oraz mnożenia wyrażeń typu (1 – p–s)–1, przy czym sumowanie odbywa się po wszystkich liczbach naturalnych n, a mnożenie — po wszystkich liczbach pierwszych p.

Można udowodnić, że tożsamość Eulera jest prawdziwa nie tylko dla każ-dej liczby rzeczywistej s, s > 1, lecz również dla każdej liczby zespolonej, której część rzeczywista jest większa niż 1 (liczba zespolona jest uogólnieniem liczby rzeczywistej ; jeśli z oznacza liczbę zespoloną, z = a + bi, gdzie a, b oznaczają ustalone liczby rzeczywiste, natomiast i2 = –1, to liczba rzeczywista a jest nazywana częścią rzeczywistą liczby z, natomiast liczbę b nazywamy częścią urojoną liczby z i oznaczamy je odpowiednio Re(z) oraz Im(z); niezbędne informacje na temat liczb zespolonych oraz na temat funkcji określonych na zbiorze liczb zespolonych czytelnik może znaleźć w rozdziałach 11 i 13).

Analizując występowanie liczb pierwszych w zbiorze liczb natural-nych choćby w oparciu o tablice liczb pierwszych uzyskane metodą sita

12


Eratostenesa, można zauważyć znaczącą nieregularność ich rozmieszczenia. Z punktu widzenia współczesnych metod badania własności liczb pierwszych, tożsamość Eulera jest punktem wyjścia dla wprowadzenia podstawowego narzędzia służącego do badania rozmieszczenia liczb pierwszych w zbiorze liczb naturalnych — niezwykle ważnej funkcji, funkcji oznaczanej grecką literą ζ (dzeta), zdefi niowanej dla wszystkich liczb zespolonych s, których część rzeczywista jest większa niż 1, nazywanej funkcją dzeta Riemanna.

Funkcja dzeta Riemanna

ζ s p s

p( ) = −( )− −

∏ 11, Re(s) > 1

Funkcja ta zawdzięcza swą nazwę nie temu, który jako jeden z pierwszych badał jej ,,rzeczywisty odpowiednik’’ — funkcję zmiennej rzeczywistej s, s > 1, lecz temu, który jako pierwszy traktował ją jako funkcję zmiennej zespolonej s, Re (s) > 1. Był to matematyk niemiecki Bernhard Riemann.

W połowie XIX wieku Riemann analizował własności funkcji π(x), która określa ilość liczb pierwszych nie większych od danej liczby rzeczywistej x. W przełomowej pracy z 1859 roku Riemann podał intuicyjne uzasadnienie tak zwanego Twierdzenia o Liczbach Pierwszych, które wskazuje tempo wzrostu funkcji π(x) dla dostatecznie dużych wartości x i wyraża obrazowo to, że dla wszystkich odpowiednio dużych wartości x, funkcja π(x) rośnie tak szybko, jak funkcja x / log x (symbol log x oznacza logarytm naturalny liczby x). Korzystając z pojęcia granicy funkcji, twierdzenie to można sfor-mułować w następujący sposób:

Twierdzenie o Liczbach Pierwszych

π(x)x

log x

lim = 1x→ 8

Dowód tego twierdzenia podali niezależnie w 1896 roku belgijski ma-tematyk de la Vallée Poussin (1866–1962) i matematyk francuski Jacques Hadamard (1865–1963).

13

Wprowadzenie

Bernhard Riemann we wspomnianej pracy z 1859 roku przedstawił ścisły związek między liczbami pierwszymi (ściślej, między funkcją π(x)), a tak zwanymi nietrywialnymi zerami funkcji dzeta przedłużonej meromorfi cznie na całą płaszczyznę zespoloną. Dodajmy, że nietrywialne zera funkcji ζ(s) to liczby zespolone ρ takie, że ζ(ρ) = 0 oraz 0 < Re(ρ) < 1.

Praca Reimanna zawierała tak głębokie i nowatorskie metody, że za-początkowała nową dyscyplinę matematyczną — analityczną teorię liczb. Znalazło się w niej również przypuszczenie dotyczące lokalizacji wszystkich zer nietrywialnych funkcji ζ(s), które nie było zbytnio eksponowane aż do początku XX wieku, a które obecnie jest uważane za jedną z najważniejszych hipotez w matematyce i nazywane hipotezą Riemanna.

Hipoteza RiemannaWszystkie nietrywialnie zera funkcji ζ(s) mają część rzeczywistą równą 1

2 .

Na przestrzeni XIX i XX wieku wielu matematyków próbowało udowod-nić jej prawdziwość lub znaleźć kontrprzykład pozwalający ją obalić. Do tej pory nie wiadomo, czy jest ona prawdziwa, czy fałszywa. Gdyby okazała się prawdziwa, miałoby to bardzo poważny wpływ na problemy towarzyszące rozmieszczeniu liczb pierwszych w zbiorze liczb naturalnych. O tych kwe-stiach oraz o spekulacjach dotyczących prawdziwości ewentualnie fałszywo-ści hipotezy Riemanna można znaleźć informacje w końcowych rozdziałach książki.

Mimo że John Derbyshire nie jest matematykiem zawodowo zajmującym się hipotezą, to w trakcie zbierania materiałów do książki miał okazję prze-prowadzić wiele rozmów na jej temat z wybitnymi matematykami, znawcami tematu. To pozwoliło mu zdobyć najważniejsze informacje dotyczące prac nad hipotezą Riemanna w przeszłości i obecnie. Wiele z nich było do tej pory znanych jedynie w wąskim gronie specjalistów. Dzięki pracy tłumacza książki dra Mieczysława Kulasa, specjalisty z zakresu analitycznej teorii liczb, we współpracy z Romualdem Kirwielem, polski czytelnik będzie mógł zapoznać się z tymi fascynującymi zagadnieniami.

Polecam Obsesję liczb pierwszych wszystkim osobom zainteresowanym matematyką i jej nierozstrzygniętymi zagadkami. Z pewnością można znaleźć

w niej wiele inspiracji oraz motywacji do własnych przemyśleń, szczególnie po lekturze tych partii książki, które zahaczają jedynie o pewne wątki i kwestie matematyczne i pozostawiają je niedopowiedzianymi.

prof. dr hab. Grzegorz Banaszak

15

Prolog

PROLOG

W sierpniu 1859 roku Bernhard Riemann został mianowany członkiem korespondentem Akademii Berlińskiej, co było ogromnym zaszczytem dla młodego matematyka (miał wtedy 32 lata). Jak było w zwyczaju, Riemann przedstawił Akademii pracę prezentującą wyniki badań, którymi się wtedy zajmował. Praca nosiła tytuł: O ilości liczb pierwszych mniejszych od danej wielkości. Riemann podjął w niej proste zagadnienie z dziedziny zwykłej arytmetyki. Aby je zrozumieć, zadajmy pytanie: ile jest liczb pierwszych mniejszych od 20? Odpowiedź — osiem: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, i 19. Ile jest mniejszych od tysiąca? Mniejszych od miliona? Mniejszych od miliarda? Czy istnieje ogólna reguła lub wzór na określenie, ile ich jest, która zaoszczędzi nam trudu liczenia?

Riemann zajął się tym problemem, stosując najbardziej zaawansowany aparat matematyczny swoich czasów, posługując się metodami, które obec-nie wykładane są jedynie na uczelniach wyższych, na najbardziej zaawan-sowanych poziomach i wprowadził do swoich celów obiekt matematyczny o niezwykłej mocy i subtelności. Po napisaniu około jednej trzeciej pracy wysunął pewne przypuszczenie dotyczące natury tego obiektu i następnie stwierdził:

16


Oczywiście chciałoby się mieć ścisły dowód prawdziwości tej tezy, ale po kilku ulotnych i nieudanych próbach odłożyłem na bok poszukiwanie tego dowodu, ponieważ nie jest on potrzebny dla celów moich obecnych badań.

To przypadkowe, wypowiedziane mimochodem przypuszczenie po-zostawało prawie niezauważone przez dziesięciolecia. Nagle, z pewnych po-wodów, które podejmuję się wyjaśnić w tej książce, stopniowo zawładnęło wyobraźnią matematyków, aż stało się wszechogarniającą obsesją.

Hipoteza Riemanna, bo tak to przypuszczenie jest nazywane, pozostawa-ła obsesją przez cały XX wiek aż do dzisiaj, opierając się wszelkim próbom jej udowodnienia lub obalenia. Obsesja ta stała się teraz jeszcze silniejsza niż kiedykolwiek przedtem, od kiedy rozwiązane zostały inne, wielkie nie-rozstrzygnięte problemy, takie jak: twierdzenie o czterech barwach (sfor-mułowane w roku 1852, udowodnione w roku 1976), wielkie twierdzenie Fermata (wysunięte prawdopodobnie w roku 1637, udowodnione w roku 1994) i wiele innych, mniej znanych poza światem zawodowych mate-matyków. Hipoteza Riemanna jest teraz wielkim wyzwaniem dla badań matematycznych.

W ciągu XX wieku matematycy intensywnie zajmowali się hipotezą Rie-manna. David Hilbert, jeden z największych umysłów matematycznych swoich czasów, tak oto zwracał się do słuchaczy na Drugim Kongresie Matematyków w Paryżu w sierpniu 1900 roku:

Zasadniczy postęp w teorii rozmieszczenia liczb pierwszych poczynili ostatnio Hadamard, de la Vallée Poussin, von Mangoldt i inni. Jednak do całkowitego rozwiązania problemów przedstawionych w pracy Riemanna O ilości liczb pierwszych mniejszych od danej wielkości wciąż pozostaje do udowodnienia poprawność niezwykle ważnego stwierdzenia Riemanna, a mianowicie…

Następnie cytuje hipotezę Riemanna. Sto lat później Phillip A. Griffi ths, dyrektor Instytutu Badań Zaawansowanych w Princeton, a poprzednio pro-fesor matematyki na Uniwersytecie Harvarda pisał w styczniowym numerze „American Mathematical Monthly” z 2000 roku w artykule pt.: Wyzwania dla badań w XXI wieku:

17

Prolog

Mimo ogromnych osiągnięć w XX wieku pozostało mnóstwo problemów, które czekają na rozwiązanie. Większość z nas prawdopodobnie zgodzi się z tym, że następujące trzy problemy są najciekawsze i stanowią największe wyzwanie:

Hipoteza Riemanna. Pierwszym jest hipoteza Riemanna, która nie daje spokoju matematykom od 150 lat…

Ciekawym zjawiskiem w Stanach Zjednoczonych w ciągu ostatnich lat XX wieku było pojawienie się prywatnych instytucji zajmujących się badaniami matematycznymi, fi nansowanych przez bogatych entuzjastów matematyki. Zarówno Clay Mathematics Institute (założony przez fi nansistę z Bostonu Landona T. Claya w 1998 r.), jak i American Institute of Mathematics (za-łożony w 1994 r. przez kalifornijskiego przedsiębiorcę Johna Fry’a) zajęły się głównie hipotezą Riemanna. Clay Institute ustanowił nagrodę warto-ści miliona dolarów za jej udowodnienie lub obalenie; American Institute of Mathematics poświęcił hipotezie Riemanna trzy znaczące konferencje (w 1996, 1998 i 2002), w których wzięli udział naukowcy z całego świata. Nam pozostaje śledzić, czy te nowe zachęty i próby przyniosą w końcu rozwiązanie hipotezy Riemanna.

W odróżnieniu od twierdzenia o czterech barwach czy wielkiego twier-dzenia Fermata, hipoteza Riemanna nie jest łatwa do sformułowania w spo-sób przystępny dla niematematyków. Znajduje się bowiem w centrum skom-plikowanej teorii matematycznej. A oto ta hipoteza:

Hipoteza RiemannaWszystkie nietrywialne zera funkcji dzetamają część rzeczywistą równą jedna druga.

Dla przeciętnego czytelnika, a nawet dla tego dobrze wykształcone-go, który nie miał do czynienia z zaawansowaną matematyką, powyższe stwierdzenie jest prawdopodobnie całkiem niezrozumiałe. Równie dobrze mogłoby zostać napisane w języku staro–cerkiewno–słowiańskim. W tej książce podjąłem próbę opisania zarówno tej głębokiej i tajemniczej hi-potezy, jak i osób z nią związanych, w sposób zrozumiały dla zwykłego

18


czytelnika, korzystając z matematycznych pojęć jedynie tyle, ile to jest niezbędne dla jej zrozumienia.

*

Plan tej książki jest bardzo prosty. Nieparzyste rozdziały (zamierzałem użyć liczb pierwszych do ich numeracji, ale miałem obawy, by nie przedo-brzyć) prezentują zagadnienia matematyczne, prowadząc czytelnika, łagod-nie, mam nadzieję, do zrozumienia hipotezy Riemanna i jej wagi. Parzyste rozdziały przedstawiają historyczne i biografi czne tło zagadnień.

Początkowo moją intencją było oddzielenie tych dwóch aspektów tak, aby czytelnicy, którzy nie lubią równań i wzorów, mogli czytać tylko pa-rzyste rozdziały, podczas gdy czytelnicy, których nie interesuje historia czy ciekawostki biografi czne, mogli czytać jedynie rozdziały nieparzyste. Nie całkiem mi się to udało. Wątpię, czy to jest możliwe przy tak zawiłym tema-cie. Mimo wszystko nie odstąpiłem całkowicie od zasad tego początkowego planu. Rozdziały nieparzyste zawierają więcej zagadnień matematycznych niż parzyste i oczywiście można próbować przeczytać jedynie rozdziały pa-rzyste albo nieparzyste. Aczkolwiek mam nadzieję, że czytelnicy przeczytają książkę w całości.

Ta książka jest skierowana do czytelnika poszukującego, lecz nie–matema-tyka. Oczywiście po takim stwierdzeniu pojawia się szereg pytań. Co mam na myśli, nazywając kogoś „nie–matematykiem?” Jakiej spodziewam się wiedzy matematycznej u moich czytelników? Cóż, każdy zna nieco matematyki. Prawdopodobnie większość ludzi wykształconych posiada przynajmniej wyczucie, czego dotyczy analiza matematyczna. Myślę, że moja książka jest dla osoby, która zna matematykę na poziomie szkoły średniej i być może uczęszczała na jakieś zajęcia w szkole wyższej. Rzeczywiście, moim pierwot-nym zamiarem było wytłumaczyć istotę hipotezy Riemanna bez korzystania z analizy matematycznej. To okazało się niemożliwe i dlatego książka zawiera podstawowe wiadomości z analizy, które omawiam w miarę ich pojawiania się, jedynie w trzech rozdziałach.

Cała reszta jest w zasadzie jedynie arytmetyką i elementarną algebrą: mnożenie wyrażeń w nawiasach, takich jak (a + b) × (c + d) lub przekształ-

19

Prolog

canie równań typu S = 1 + xS do postaci S = 1 / (1 – x). Czytelnik powinien jeszcze nabrać chęci potrzebnych do zapoznania się z dziwnymi symbolami, które stosują matematycy, aby oszczędzić sobie trudów podczas zapisywania. Stwierdzam jedynie tyle: nie wierzę, że hipoteza Riemanna może być wyjaś-niona przy użyciu matematyki bardziej elementarnej niż ta, którą stosowałem tutaj, więc jeśli nie zrozumiesz istoty tej hipotezy po przeczytaniu mojej książki, możesz być pewien, że nigdy jej nie zrozumiesz.

*

Zawodowi matematycy i historycy matematyki udzielali mi chętnie po-mocy wtedy, kiedy się do nich zwracałem. Jestem im niezmiernie wdzięczny za czas, który mi poświęcali, niczego nie oczekując w zamian, za rady, które czasami ignorowałem, za cierpliwość, kiedy musieli odpowiadać na moje powtarzające się nierozsądne pytania i w jednym przy padku, za udzielenie mi gościny w swoim domu. Należą do nich: Jerry Alexanderson, Tom Apostol, Matt Brin, Brian Conrey, Harold Edwards, Dennis Hejhal, Arthur Jaff e, Patricio Lebeuf, Stephen Miller, Hugh Montgomery, Erwin Neuenschwander, Andrew Odlyzko, Samuel Patterson, Peter Sarnak, Manfred Schröder, Ulrike Vorhauer, Matti Vuori nen i Mike Westmoreland. Jakiekolwiek matematyczne błędy w tej książce są moje, a nie ich. Brigitte Brüggeman i Herbert Eiteneier pomogli uzupełnić mi moje luki z niemieckiego. Zamówienia na artykuły od moich przyjaciół z „National Review”, „Th e New Criterion” i „Th e Washington Times” pozwoliły mi utrzymać moją rodzinę podczas pracy nad tą książką. Mnóstwo czytelników moich artykułów w internecie pomogło mi zrozumieć, które zagadnienia matematyczne sprawiają najwięcej trudności nie–mate-matykom.

Bardziej wymagających czytelników chciałbym poprosić o wyrozumia-łość. Zagadnieniem, które jest tematem tej książki, zajmowało się wiele naj-większych umysłów na naszej planecie w ciągu ostatnich stu lat. Ze względu na ograniczone miejsce i sposób przedstawienia, na który się zdecydowałem, niezbędne okazało się opuszczenie w całości ogromnych obszarów badań, odnoszących się do hipotezy Riemanna. Nie wspomnimy tutaj ani jednym słowem o hipotezie gęstościowej, przybliżonym równaniu funkcyjnym, czy

20


fascynującym zagadnieniu, które po długim okresie pozostawania w za-pomnieniu niedawno znów pojawiło się w kręgu zainteresowań — o tzw. momentach funkcji dzeta. Nie ma też wzmianki o uogólnionej hipotezie Riemanna, zmodyfi kowanej uogólnionej hipotezie Riemanna, rozszerzonej hipotezie Riemanna, wielkiej hipotezie Riemanna, zmodyfi kowanej wiel kiej hipotezie Rie manna, czy quasi–hipotezie Riemanna.

Z jeszcze większym smutkiem należy stwierdzić, że w moim tekście nie ma nazwisk wielu matematyków, którzy trudzili się przez dziesięciolecia w tej winnicy Riemanna. Należą do nich z pewnością: Enrico Bombieri, Amit Ghosh, Steve Gonek, Henryk Iwaniec (połowa listów jest adresowana do niego jako do „Henry K. Iwaniec”), Nina Snaith i wielu innych. Wszystkich ich chciałbym szczerze przeprosić. Kiedy rozpoczynałem pracę nad książką, nie uświadamiałem sobie, do jak obszernego tematu się zabieram. Ta książka mogła z łatwością być trzy czy trzydzieści razy dłuższa, ale mój redaktor już domagał się cięć.

Jeszcze jedno podziękowanie jest niezbędne. Trzymam się przesądnego przekonania, że jakakolwiek książka, która ma być czymś więcej niż wytwo-rem pracy wynajętego rzemieślnika — pisana z troską i oddaniem — musi mieć swojego duchowego patrona. Powinna być o pewnej konkretnej osobie, o której myśli autor, której osobowość nadaje książce kolorów. (W przypadku beletrystyki obawiam się, że zbyt często tą osobą jest sam autor).

Duchowym patronem tej książki, który, co mogło mi się wydawać, zaglądał przez ramię do tekstu, podczas gdy pisałem, który czasami w mojej wyobraźni nieśmiało pochrząkiwał w sąsiednim pokoju lub dyskretnie poruszał się za kurtyną wydarzeń zarówno w moich matematycznych, jak i historycznych rozdziałach, jest Bernhard Riemann. Kiedy czytałem jego prace i czytałem o nim, pojawiły się we mnie dziwnie mieszane uczucia w stosunku do nie-go: ogromne współczucie dla jego nieprzystosowania społecznego, słabego zdrowia, powtarzających się strat bliskich osób i ciągłego ubóstwa wraz z podziwem dla niezwykłej potęgi jego umysłu i serca.

Książka powinna być dedykowana komuś żyjącemu po to, aby ta dedy-kacja sprawiła mu przyjemność. Zadedykowałem ją więc swojej żonie, która bardzo dobrze wie, jak szczera jest ta dedykacja. Jednak prawdą, której nie da się pominąć w prologu jest, że ta książka najbardziej zasłużenie należy się

21

Prolog

Bernhardowi Riemannowi, który w ciągu swojego krótkiego życia, pełnego wielu nieszczęść, pozostawił ludzkości tak wiele rzeczy o nieprzemijającej wartości, łącznie z problemem ciągle stanowiącym wyzwanie dla potomnych już od półtora wieku, który z charakterystyczną sobie skromnością, odniósł się do swoich własnych „ulotnych i nieudanych prób” jego rozwiązania.

John DerbyshireHuntington, Nowy Jork

czerwiec 2002

I. TWIERDZENIE O LICZBACH PIERWSZYCH

25

1. Trik z kartami

1. TRIK Z KARTAMI

I. Tak jak wiele innych, ten pokaz zacznie się od talii kart. Ułóżmy na stole karty zwykłej, składającej się z 52 kart talii, w ten sposób, by leżały dokładnie jedna na drugiej. Następnie, nie ruszając pozostałych kart, zacznijmy przesu-wać do przodu pierwszą z góry kartę. Jak daleko uda się ją przesunąć, zanim przechyli się i spadnie? Inaczej mówiąc, jaka będzie długość jej wysunięcia poza resztę kart z talii?

RYSUNEK 1–1

26


Odpowiedź brzmi: oczywiście do połowy długości karty, tak jak to widać na rysunku 1–1. Jeśli wysuniemy kartę o więcej niż połowę jej długości, wte-dy spadnie. Punkt przechyłu karty mieści się w jej środku ciężkości, który znajduje się w połowie długości karty.

Teraz pójdźmy nieco dalej. Pozostawiając pierwszą kartę wysuniętą do po-łowy swej długości nad drugą kartą (do maksymalnego wysunięcia), przesuń-my kolejną pod nią kartę. Jak duże wysunięcie obu kart uda się osiągnąć?

Kluczowe jest w tym przypadku traktowanie układu dwóch górnych kart jako całości. Gdzie znajduje się zatem środek ciężkości tego układu? Oczywiście, w połowie jego długości, która jest równa długości półtorej karty, i dlatego nasz środek ciężkości znajdzie się w odległości równej trzy czwarte długości górnej karty od najdalej wysuniętego jej brzegu (por. rysunek 1–2). Tak więc wspólne wysunięcie dwóch kart będzie równe trzem czwartym długości karty. Zauważmy, że górna karta stale pozostaje wysunięta o połowę własnej długości poza następną. Dwie górne karty przesuwaliśmy, traktując je jako całość.

RYSUNEK 12

Jeśli zaczniemy teraz przesuwać trzecią kartę, aby zobaczyć, o ile uda się nam powiększyć wysunięcie, zauważymy, że zdołamy ją przesunąć jedynie o jedną szóstą jej długości. Ponownie spójrzmy na trzy górne karty tak, jakby tworzyły całość. Środek ciężkości tego układu będzie położony w odległości jednej szóstej długości karty od najdalej wysuniętego brzegu trzeciej karty (por. rysunek 1–3).

27

1. Trik z kartami

RYSUNEK 13

Przed tym punktem znajduje się jedna szósta trzeciej karty, jedna szósta plus jedna czwarta drugiej karty oraz jedna szósta plus jedna czwarta plus połowa górnej karty, co razem w sumie daje półtorej karty.

16

16

14

16

14

12

1 12

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

RYSUNEK 14

Tak więc przed środkiem ciężkości znajduje się połowa całego układu trzech kart, druga połowa znajduje się za nim. Rysunek 1–4 ilustruje sytuację, którą uzyskamy po przesunięciu tej trzeciej karty o tyle, o ile jest to możliwe.

Całkowite wysunięcie kart jest teraz równe połowie (górnej karty) plus jedna czwarta (drugiej karty) plus jedna szósta (trzeciej karty). Daje to w su-mie jedenaście dwunastych długości karty. Zdumiewające!

Czy możliwe jest wysunięcie większe od jednej karty? Tak, jest to możliwe. Właśnie ta następna karta — czwarta od góry — przesunięta ostrożnie do przodu doda do poprzedniego wysunięcia jedną ósmą długości karty. Nie zamierzam teraz przedstawiać całej tej procedury; proszę mi zaufać albo postępować tak, jak to czyniłem z trzema pierwszymi kartami. Oto całkowite wysunięcie dla czterech kart: połowa plus jedna czwarta plus jedna szósta plus jedna ósma długości karty, co razem daje jedną całą i jedną dwudziestą czwartą długości karty (por. rysunek 1–5).

28


RYSUNEK 15

Jeżeli zechcemy przesuwać 51 kart (nie ma sensu przesuwać ostatniej karty na dole), to łączne wysunięcie skumuluje się w taki sposób:

12

14

16

18

110

112

114

116

1102

+ + + + + + + + +L

Daje to w sumie nieco mniej niż 2,25940659073334. W rezultacie uzy-skamy wysunięcie większe niż dwie i jedna czwarta długości karty! (por. rysunek 1–6).

RYSUNEK 16

Sztuczkę z wysunięciem kart poznałem, będąc studentem college’u. Trwały akurat letnie wakacje i uczyłem się dodatkowo do następnego semestru, by się lepiej przygotować. Aby zarobić na czesne, zwykle podczas letnich wakacji pracowałem jako robotnik na budowach, ponieważ w owym czasie w Anglii praca ta nie wymagała przynależności do związku zawodowego. Dzień po tym jak poznałem ten karciany trik, pozostawiono mnie samego przy sprzątaniu zadaszonego pomieszczenia, w którym znajdowały się ułożone w stosy setki dużych, kwadratowych, wykonanych ze sztucznego tworzywa płyt. Spędziłem parę miłych godzin z tymi płytami, próbując otrzymać wysunięcie o długości dwóch i jednej czwartej płyty, mając do dyspozycji 52 płyty. Kiedy brygadzista przyszedł i zastał mnie w głębokiej zadumie nad ogromnym, chwiejącym się

29

1. Trik z kartami

stosem płyt, przypuszczam, że potwierdziły się wtedy jego najgorsze obawy co do sensu zatrudniania studentów.

II. Jedną z rzeczy, którą matematycy lubią robić, i która okazuje się bar-dzo owocna, to ekstrapolacja — przedstawianie założeń jakiegoś problemu, a następnie poszerzanie obszaru ich zastosowania.

W powyższym problemie założyłem, że mamy do dyspozycji 52 karty. Stwierdziliśmy możliwość uzyskania całkowitego wysunięcia większego niż dwie i jedna czwarta długości karty.

Dlaczego ograniczamy się do 52 kart? Czy możemy założyć, że mamy ich więcej? Sto kart? Milion? Bilion*? Czy możemy przyjąć, że liczba kart jest nie-ograniczona? Jakie możliwie największe wysunięcie moglibyśmy otrzymać?

Po pierwsze, spójrzmy na wzór, który zaczął się nam wyłaniać. Przy 52 kartach całkowite wysunięcie było równe

12

14

16

18

110

112

114

116

1102

+ + + + + + + + +L

Ponieważ wszystkie mianowniki są parzyste, wyłączamy ułamek przed nawias i zapisujemy tę sumę w postaci

12

1 12

13

14

15

16

17

18

151

+ + + + + + + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

L

Przy stu kartach całkowite wysunięcie byłoby równe

12

1 12

13

14

15

16

17

18

199

+ + + + + + + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

L

Przy bilionie kart miałoby wartość

12

1 12

13

14

15

16

17

18

1999999999999

+ + + + + + + + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

L

*1 bilion = 1012 (przyp. tłum.).

30


Obliczenie każdej z sum wymagałoby wielu rachunków arytmetycznych; jednak matematycy potrafi ą je skracać i mogę z całą pewnością powiedzieć, że łączne wysunięcie dla stu kart jest nieco mniejsze niż 2,58868875882 długości karty, podczas gdy dla biliona kart jest ono odrobinę większe niż 14,10411839041479 długości karty.

Liczby te zaskakują nas podwójnie. Pierwszą niespodzianką jest to, że możemy otrzymać całkowite wysunięcie większe niż długość 14 kart, chociaż potrzebujemy do tego biliona kart. Długość czternastu kart to więcej niż cztery stopy*, przy standardowym rozmiarze kart. Kolejnym zaskoczeniem, kiedy zaczniemy zastanawiać się nad tym, jest to, że liczby te nie są aż takie duże. Przejście od 52 kart do 100 kart dało nam dodatkowe wysunięcie, równe tylko jednej trzeciej długości karty (precyzując, nieco mniej niż jedna trzecia). Potem, idąc dalej aż do biliona kart — bilion kart poukładanych jedna na drugiej wystarczyłby do przejścia większej części dystansu z Ziemi do Księżyca — daje nam dodatkowe 11 1

2 długości karty.A co w przypadku, gdybyśmy mieli nieograniczoną ilość kart? Jakie jest

absolutnie największe wysunięcie, które możemy otrzymać? Odpowiedź, która zasługuje na uwagę to, że tu nie ma ograniczeń. Posiadając wystarcza-jącą ilość kart, możemy otrzymać wysunięcie jakichkolwiek rozmiarów. Czy chcemy mieć wysunięcie o długości 100 kart? Potrzebowalibyśmy do tego stosu złożonego z około 405.709.150.012.598 bilionów bilionów bilionów bilionów bilionów bilionów kart — stos, którego wysokość sięgałaby daleko, daleko poza granice znanego wszechświata. Można byłoby jednak otrzymać wysunięcia jeszcze większe i większe, tak duże, jakie tylko chcemy, o ile jeste-śmy skłonni użyć niewyobrażalnie dużej ilości kart. Wysunięcie o długości miliona kart? Oczywiście, jednak liczba niezbędnych kart byłaby tak duża, że aby tę liczbę jedynie zapisać, potrzebna byłaby książka porządnych rozmiarów — liczba ta miałaby 868.589 cyfr.

*Jednostka długości używana w krajach anglosaskich równa w przybliżeniu 0,3 metra (przyp. tłum.).

31

1. Trik z kartami

III. Rzeczą, na której skoncentrujemy się teraz, jest wyrażenie, występu-jące w nawiasach naszych formuł

1 12

13

14

15

16

17

+ + + + + + +L

Matematycy nazywają je szeregiem, a symbolizuje ono dodawanie wyra-zów trwające bez końca, przy założeniu, że każdy następny wyraz pojawia się zgodnie z pewną regułą logiczną. W naszym szeregu elementy 1, 1

2 , 13 , 1

4 , 15 , 1

6 , 17 stanowią odwrotności liczb naturalnych 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…

Szereg 1 + 12 + 1

3 + 14 + 1

5 + 16 + 1

7 + … jest wystarczająco ważny, by mate-matycy mieli dla niego nazwę. Nazywamy go szeregiem harmonicznym.

To, o czym powiedziałem powyżej, skłania do następującej konkluzji: dodając wystarczającą ilość wyrazów szeregu harmonicznego, możemy otrzymać sumę tych wyrazów tak dużą, jak sobie życzymy. Suma ta nie jest ograniczona.

Prostym, ale popularnym i zrozumiałym sposobem wyrażania tej włas-ności jest następujące stwierdzenie: sumą wyrazów szeregu harmonicznego jest nieskończoność

1 12

13

14

15

16

17

+ + + + + + + = ∞L

Wytrawni matematycy kręciliby nosem na tego typu formuły, jednak uważam, że są one dopuszczalne pod warunkiem, że wiemy, kiedy mogą sprowadzić nas na manowce. Leonhard Euler, jeden z największych mate-matyków wszech czasów, używał formuł tego typu zawsze z dobrym efektem. Właściwe sformułowanie matematyczne brzmi jednak następująco: szereg harmoniczny jest rozbieżny.

Cóż, stwierdziłem coś, ale czy potrafi ę to udowodnić? Każdy wie, że w ma-tematyce należy udowodnić każde twierdzenie, posługując się rygorystyczną logiką. Naszym twierdzeniem jest: szereg harmoniczny jest rozbieżny. Jak to udowodnimy?

W rzeczywistości dowód jest stosunkowo łatwy i opiera się jedynie na zwykłych rachunkach arytmetycznych. Podał go w późnym średniowieczu francuski uczony Nicole d’Oresme (ok. 1323–1382). D’Oresme wykazał, że

32


każda z sum 13 + 1

4 oraz 15 + 1

6 + 17 + 1

8 oraz 19 + 1

10 + 111 + 1

12 + 113 + 1

14 + 115 + 1

16, itd. jest większa niż jedna druga. Innymi słowy, biorąc kolejno 2 wyrazy, 4 wyrazy, 8 wyrazów, następnie 16 wyrazów szeregu itd., grupujemy je w nieskończoną ilość bloków, a każdy z nich będzie miał sumę większą niż jedna druga. Wynika stąd, że całkowita suma powinna być nieskończona. Nie powinno niepokoić nas to, że liczba wyrazów w blokach szybko wzrasta. W „nieskończoności” znajduje się okropnie dużo miejsca i bez względu na to, ile bloków weźmiemy, zawsze określimy następny blok. Zawsze znajdzie się następna wartość do dodania równa 1

2 ; a to oznacza, że łączna suma wzrasta bez ograniczeń.Wydaje się, że dowód rozbieżności szeregu harmonicznego podany przez

d’Oresme’a zapodział się gdzieś na kilka wieków. Pietro Mengoli udowodnił tę własność ponownie w 1647 roku, stosując inną metodę; następnie czterdzieści lat później Johann Bernoulli udowodnił ją, stosując jeszcze inną technikę; i krótko po tym starszy brat Johanna, Jakob, przedstawił czwarty wariant dowodu. Wydaje się, że ani Mengoli, ani bracia Bernoulli nie wiedzieli nic o pochodzącym z XIV wieku dowodzie d’Oresme’a, jednym z mało zna-nych arcydzieł średniowiecznej matematyki. Dowód d’Oresme’a pozostaje w dalszym ciągu najprostszym i najbardziej eleganckim spośród wszystkich dowodów i to on zwykle znajduje się we współczesnych podręcznikach ana-lizy matematycznej.

IV. Wśród szeregów zdumiewa nie to, że niektóre z nich są rozbieżne, lecz to, że pewne z nich takie nie są. Jeśli zamierzamy dodawać nieskończoną ilość liczb, możemy się spodziewać, że w rezultacie otrzymamy nieskończoność, nieprawdaż? Fakt, że nie zawsze tak jest, można z łatwością zilustrować.

Weźmy zwykłą linijkę z zaznaczonym podziałem jednostki na części czwarte, ósme, szesnaste, i tak dalej (im więcej tego „tak dalej”, tym lepiej — ja wybrałem linijkę z podziałem jednostki na sześćdziesiąt cztery części). Umieśćmy zatemperowany koniec ołówka w początku skali, punkcie zero. Przesuńmy ołówek o jedną jednostkę w prawo. Teraz ostrze ołówka wskazuje punkt wyznaczający jednostkę; w sumie przesunęliśmy się o jedną jednostkę (por. rysunek 1–7).

33

1. Trik z kartami

RYSUNEK 17

Przesuńmy teraz ołówek jeszcze o pół jednostki w prawo (por. rysunek 1–8).

RYSUNEK 18

Przesuńmy z kolei ołówek jeszcze o jedną czwartą jednostki w prawo… potem o jedną ósmą jednostki… następnie o jedną szesnastą… jedną trzy-dziestą drugą… jedną sześćdziesiątą czwartą jednostki. Ołówek znajdzie się w pozycji wskazanej na rysunku 1–9.

1 2 3164

1 2 3164

34


RYSUNEK 19

… i w sumie przesunęliśmy się w prawo na odległość

1 12

14

18

116

132

164

+ + + + + +

która, jak łatwo sprawdzić, jest równa 16364. Jest jasne, że kontynuując prze-

suwanie w ten sam sposób, zmniejszając za każdym razem wielkość prze-sunięcia o połowę, bylibyśmy coraz bliżej punktu, wyznaczającego dwie jednostki na linijce. Jednak nigdy go nie osiągniemy, mimo że nie ma ograniczeń, na ile możemy się zbliżyć. Możemy się zbliżyć do tego punk-tu na jedną milionową część jednostki; jedną bilionową lub jedną bilion bilion bilion bilion bilion bilion bilion bilion bilion bilionową. Fakt ten wyrażamy, pisząc

1 12

14

18

116

132

164

1128

2+ + + + + + + + =L

WYRAŻENIE 11

Rozumiemy przez to, że należy dodać nieskończoną ilość liczb po lewej stronie znaku równości.

Teraz chodzi mi o to, że chcę wskazać różnicę między szeregiem harmo-nicznym a naszym nowym szeregiem. Kiedy mieliśmy do czynienia z szere-giem harmonicznym, wtedy dodawaliśmy nieskończoną liczbę jego wyra-

1 2 3164

35

1. Trik z kartami

zów i w wyniku dodawania otrzymaliśmy nieskończoność. Teraz dodajemy nieskończoną ilość wyrazów nowego szeregu i w rezultacie otrzymujemy 2. Szereg harmoniczny jest rozbieżny. Ten ostatni szereg jest zbieżny.

Szereg harmoniczny ma swoje uroki i zajmuje centralne miejsce w zagad-nieniu, któremu jest poświęcona ta książka — hipotezie Riemanna. Ogólnie rzecz biorąc, należy powiedzieć, że matematycy jednak bardziej interesują się szeregami zbieżnymi niż rozbieżnymi.

V. Przypuśćmy, że zamiast przesuwać się o jedną jednostkę w prawo, potem o połowę jednostki w prawo, następnie o jedną czwartą jednostki w prawo, i tak dalej, zdecydujemy się zmieniać kierunki: jedna jednostka w prawo, pół jednostki w lewo, jedną czwartą jednostki w prawo, jedną ósmą jednostki w lewo… Po siedmiu ruchach znaleźlibyśmy się w punkcie pokazanym na rysunku 1–10.

RYSUNEK 1–10

Ponieważ z matematycznego punktu widzenia przesunięcie w lewo jest ujemnym ruchem w prawo, łączne przesunięcie w tym przypadku wyniesie

1 12

14

18

116

132

164

– + – + – +

1 2 3164

36


i jest równe 4364. Jest w istocie raczej łatwe do wykazania — udowodnię to

w późniejszym rozdziale — że jeśli będziemy dodawać i odejmować na przemian w nieskończoność, wtedy

1 12

14

18

116

132

164

1128

23

– + – + – + – + =L

WYRAŻENIE 12

VI. Przypuśćmy teraz, że zamiast korzystania z linijki z podziałem jednostki na połowy, czwarte części, ósme części, szesnaste części, itd., weź-miemy linijkę z zaznaczonym podziałem jednostki na trzy części, dziewięć części, dwadzieścia siedem części, osiemdziesiąt jeden części, itd. Innymi słowy zamiast połowy, połowy połowy, połowy połowy połowy… będzie-my mieli trzecią część, trzecią część trzeciej części, trzecią część trzeciej części trzeciej części, itd. Załóżmy też, że wykonamy czynności podobne do poprzednich i przesuniemy ołówek o jedną jednostkę, potem o jedną trzecią część jednostki, następnie o jedną dziewiątą, i wreszcie o jedną dwudziestą siódmą część jednostki (por. rysunek 1–11).

RYSUNEK 111

Sądzę, że nietrudno zauważyć, iż jeśli będziemy kontynuować ten proces bez końca, wtedy przesuniemy się w prawo łącznie o 1 1

2 jednostki tak, jak to wskazuje wyrażenie 1–3. To znaczy

1 2181

37

1. Trik z kartami

1 13

19

127

181

1243

1729

12187

1 12

+ + + + + + + + =L

WYRAŻENIE 13

Możemy też oczywiście wykonywać przesunięcia na nowej linijce: w prawo o jedną jednostkę, w lewo o jedną trzecią jednostki, w prawo o jedną dziewiątą jednostki, w lewo o jedną dwudziestą siódmą jednostki, itd. (por. rysunek 1–12).

RYSUNEK 112

Mimo że operacje arytmetyczne wykonywane na ułamkach występujących w wyrażeniu 1–4 nie są wizualnie zbyt oczywiste, jednak faktem jest, że

1 13

19

127

181

1243

1729

12187

34

– + – + – + – + =L

WYRAŻENIE 14

Mamy zatem cztery szeregi zbieżne, suma pierwszego (wyrażenie 1–1) przybliża się coraz bardziej i bardziej do 2 z jej lewej strony, suma drugiego (wyrażenie 1–2) zbliża się do wartości 2

3 na przemian to z lewej, to z prawej jej strony, suma trzeciego (wyrażenie 1–3) przybliża się coraz bardziej do wartości 1 1

2 z jej lewej strony, suma czwartego (wyrażenie 1–4) zbliża się do

1 2181

38


34 na przemian z lewej i z prawej strony. Przed tymi szeregami scharaktery-zowałem szereg harmoniczny, który jest rozbieżny.

VII. Kiedy zajmujesz się matematyką, ważne jest, byś wiedział, w jakim obszarze matematyki się znajdujesz, którą dziedzinę tego obszernego przed-miotu w danej chwili zgłębiasz. Ten szczególny obszar, w którym znajdują się szeregi nieskończone, jest nazywany przez matematyków analizą. Analiza ta rozumiana jest w gruncie rzeczy jako gałąź zajmująca się badaniem obiektów nieskończonych, to znaczy nieskończenie dużych lub nieskończenie małych. Kiedy Leonhard Euler — o którym napiszę później dużo więcej — opubliko-wał pierwszy wielki podręcznik analizy w 1748 roku, nazwał go Introductio in analisin infi nitorum: Wprowadzenie do analizy nieskończoności.

Pojęcia „nieskończenie duży” i „nieskończenie mały” stwarzały poważne problemy matematyczne we wczesnych latach XIX wieku i wtedy w trakcie wielkich przemian w matematyce zostały z niej usunięte. Standardy współ-czesnej analizy nie dopuszczają stosowania tych pojęć. Jednak pozostały one w matematycznym słownictwie i dlatego w tej książce będę posługiwał się terminem „nieskończoność”. Użycie tego terminu jest jednakże tylko wygodnym skrótem myślowym stosowanym zamiast bardziej ścisłych pojęć. Każde stwierdzenie matematyczne, które zawiera słowo „nieskończoność”, może być sformułowane bez niego.

Kiedy mówię, że szereg harmoniczny dąży do nieskończoności, to oznacza, że dla dowolnej liczby S, nieważne jak wielkiej, suma szeregu harmonicznego w ostateczności przekroczy S. Zauważmy. Nie ma tu już „nieskończoności”. Cała analiza została spisana ponownie w taki sposób w ciągu mniej więcej 30 lat około połowy XIX wieku. Żadne twierdzenie, które nie da się tak sformułować, nie jest dopuszczalne we współczesnej matematyce. Ludzie niezwiązani z matematyką pytają mnie czasami: „Ty znasz matematykę, czy nie? Powiedz mi coś o tym, nad czym się zawsze zastanawiałem, co będzie, jeśli nieskończoność podzielić przez nieskończoność?”. Mogę jedynie odpo-wiedzieć: „Zdanie, które właśnie wypowiedziałeś, nie ma sensu. To nie było stwierdzenie matematyczne. Mówiłeś o »nieskończoności« tak jakby była

39

1. Trik z kartami

to jakaś liczba. Ale nią nie jest. Tak samo mógłbyś zapytać: »Co będzie, jeśli prawdę podzielimy przez piękno?«. Nie mam pojęcia. Wiem jedynie, jak dzielimy liczby. »Nieskończoność«, »prawda«, »piękno«— to nie są liczby”.

Jakie jest więc współczesne określenie analizy? Sądzę, że dla moich celów odpowiednią defi nicją będzie sformułowanie, że analiza to nauka zajmująca się granicami. Pojęcie granicy znajduje się w centrum zagadnień dotyczących analizy. Na przykład cały rachunek różniczkowy, który jest największą częścią analizy, opiera się na pojęciu granicy.

Rozważmy następujący ciąg liczb: 11 , 3

2 , 75 , 17

12, 4129,

9970,

239169 , 577

408 , 1393985 , 3363

2378… Każdy ułamek jest utworzony z poprzedniego ułamka za pomocą prostej reguły: aby otrzymać mianownik następnego ułamka, dodajemy licznik do mianownika poprzedniego ułamka; aby uzyskać licznik następnego ułamka, dodajemy licznik poprzedniego ułamka do jego mianownika pomnożonego przez dwa. Ciąg ten dąży do pierwiastka kwadratowego z 2. Jeżeli na przykład podnie-siemy do kwadratu liczbę 3363

2378 , to otrzymamy ułamek 113097695654884 , którego wartość

jest równa 2,000000176838287… Powiemy, że granicą tego ciągu jest 2 .Następny przypadek: 4

1 , 83 , 32

9 , 12845 , 768

225 , 46081575 , 3363

2378 , 29491299225 … Aby uzyskać N–ty

wyraz tego ciągu, postępujemy w następujący sposób: jeśli N jest liczbą pa-rzystą, mnożymy poprzednią liczbę przez N

N+1 , jeśli N jest liczbą nieparzystą, mnożymy poprzednią liczbę przez N+1

N . Ciąg ten jest zbieżny do π. Ostatni zapisany w tym ciągu ułamek jest równy 2,972154… (ciąg ten dąży do π bardzo wolno). Oto kolejny ciąg: 11, (1 1

2 )2, (1 13 )3, (1 1

4 )4, (1 15 )5… Kiedy wy-

konamy działania na wyrazach tego ciągu, otrzymamy następujące wartości początkowych wyrazów: 1, 2 1

4 , 21027, 2

113256 , 2 1526

3125 …, a więc ciąg, który dąży do liczby bliskiej 2,718281828459. Jest to niezmiernie ważna liczba — wyko-rzystam ją później.

Zauważmy, że wszystkie powyższe obiekty są ciągami, traktowanymi po prostu tak jak rzędy liczb oddzielone przecinkami. Ciągi te nie są szeregami, gdyż tam rzeczywiście liczby się dodaje. Jednak z punktu widzenia analizy szereg to jedynie zakamufl owany ciąg. Zdanie: „Szereg 1 + 1

2 + 14 + 1

8 + 116 + 1

32 +… dąży do 2” jest z matematycznego punktu widzenia równoważne zdaniu: „Ciąg 1, 1 1

2 , 1 34 , 1 7

8 , 11516, 1

3132… jest zbieżny do 2”. Czwarty wyraz tego ciągu jest

sumą pierwszych czterech wyrazów szeregu, itd. (określeniem stosowanym w matematyce dla tego typu ciągów jest ciąg sum częściowych). Oczywiście

40


w podobny sposób stwierdzenie „Szereg harmoniczny jest rozbieżny” znaczy to samo co: „Ciąg 1, 1 1

2 , 1 56 , 1 1

12, 11760, 1

2760, … jest rozbieżny”, w tym przypadku

N–tym wyrazem ciągu jest wyraz poprzedni plus 1N .

Oto jest analiza, studium granic, w jaki sposób ciąg liczb może zmierzać coraz bliżej i bliżej do liczby granicznej, nigdy w ostateczności jej nie osią-gając. Jeżeli twierdzę, że pewien ciąg jest ciągiem nieskończonym, mam na myśli to, że bez względu na to, jak dużo jego wyrazów napiszemy, zawsze można napisać kolejny. Jeżeli mówię, że ciąg ma granicę a, rozumiem przez to, że bez względu na to, jak małą liczbę x weźmiemy, począwszy od pewnego wyrazu tego ciągu, każdy następny wyraz tego ciągu różni się od a o mniej niż x. Jeśli decydujemy się powiedzieć, że: „Dany ciąg jest nieskończony” lub: „N–ty wyraz ciągu ma granicę a, przy N dążącym do nieskończoności”, to mamy prawo tak mówić, o tyle, o ile rozumiemy, że są to luźne i wygodne formy wypowiadania się.

VIII. Tradycyjny podział matematyki wygląda następująco:

� Arytmetyka — zajmuje się badaniem ogółu liczb i ułamków. Przykładowe twierdzenie: Jeśli od liczby parzystej odejmiemy liczbę nieparzystą, to otrzy-mamy liczbę nieparzystą.� Geometria — analizuje własności fi gur w przestrzeni — punktów, pro-

stych, krzywych i obiektów trójwymiarowych. Przykładowe twierdzenie: Suma kątów trójkąta na płaszczyźnie jest równa 180 stopni.� Algebra — używa abstrakcyjnych symboli do przedstawiania obiektów

matematycznych (liczb, linii, macierzy, przekształceń) i bada reguły łączenia tych symboli. Przykładowe twierdzenie: Dla dowolnych liczb x oraz y, (x + y) × (x – y) = x2 – y2.� Analiza — zajmuje się badaniem granic. Przykładowe twierdzenie: Szereg

harmoniczny jest rozbieżny (tzn., że jego suma rośnie bez ograniczeń).

Oczywiście współczesna matematyka obejmuje o wiele więcej niż to, co zostało przedstawione wyżej. Należy włączyć do niej na przykład teorię

41

1. Trik z kartami

zbiorów, stworzoną przez Georga Cantora w 1874 roku i „podstawy”, które inny George, Anglik George Boole wydzielił z klasycznej logiki w 1854 roku, i w których bada się logiczne podstawy wszystkich matematycznych idei. Wymienione powyżej tradycyjne działy matematyki zostały też poszerzone po to, aby włączyć nowe duże dziedziny — geometria musiała objąć topologię, algebra musiała przyjąć teorię gier, itd. Nawet przed wczesnymi latami XIX wieku istniały już wśród głównych działów matematyki znaczące wspól-ne obszary. Trygonometria na przykład (to słowo po raz pierwszy zostało użyte w 1595 r.), zawiera zarówno elementy geometrii, jak i algebry. W rze-czywistości Descartes dokonał w XVII wieku arytmetyzacji i algebraizacji ogromnej część geometrii, chociaż czysto geometryczne rozważania w stylu Euklidesa były i są nadal popularne z racji swojej przejrzystości, elegancji i pomysłowości.

Tradycyjny podział matematyki pozostaje ciągle użyteczny dla ogólnej orientacji i usytuowania w niej miejsca swoich własnych zainteresowań, po-maga również zrozumieć istotę jednego z największych osiągnięć matematyki dziewiętnastowiecznej, które nazwę później „wielką fuzją” — zaprzęgnięcie arytmetyki do analizy po to, aby stworzyć zupełnie nową dziedzinę badań, analityczną teorię liczb. Pozwólcie, że przedstawię teraz człowieka, który publikując jedną pracę wielkości ośmiu i pół strony, zapoczątkował anali-tyczną teorię liczb.

43

2. Ziemia i jej owoce

2. ZIEMIA I JEJ OWOCE

I. Nie wiemy zbyt wiele o Bernhardzie Riemannie. Nie zostawił żadnych innych świadectw dotyczących swojego życia wewnętrznego oprócz listów. Jedyną bliską mu osobą, która napisała o nim wspomnienia, był jego przy-jaciel i rówieśnik Richard Dedekind; jednak liczą zaledwie 17 stron i nie ujawniają wiele. Dlatego nie można przedstawić pełnego obrazu Riemanna. Mam jednak nadzieję, że pozostanie w pamięci czytelnika kimś więcej niż tylko jednym z wielu nazwisk. W tym rozdziale ograniczyłem się do krótkiego zarysu jego kariery akademickiej. Opiszę ją bardziej szczegółowo w rozdzia-le 8. Najpierw jednak przedstawię Riemanna w jego czasach.

II. Przeciwnicy Francji, przypuszczając, że rewolucja 1789 roku zdezorga-nizowała społeczeństwo francuskie i uczyniła je niezdolnym do obrony, posta-nowili wykorzystać zaistniałą sytuację. W 1792 roku głównie wojska Austrii i Prus, wspierane przez 15.000 emigrantów francuskich, natarły na Paryż. Ku ich zdziwieniu 20 września tego roku armia rewolucyjnej Francji stawiła im opór w pobliżu wioski Valmy, staczając z najeźdźcami pojedynek artyleryjski

44


w gęstej mgle. Edward Creasy w swoim klasycznym dziele Piętnaście decydu-jących bitew w dziejach świata nazywa to bitwą pod Valmy. Niemcy nazywają ją kanonadą pod Valmy. Niezależnie od nazwy rozpoczyna się szereg wojen, toczonych w Europie przez następne 23 lata. Wojny napoleońskie to najczęstsza nazwa tych wydarzeń. Gdyby nazwa nie była już zarezerwowana, można by nazwać je I wojną światową, ponieważ towarzyszyły im walki w obu Amerykach i na Dalekim Wschodzie. Kiedy wojny zakończyły się wreszcie podpisaniem traktatu pokojowego na kongresie wiedeńskim (8 czerwca 1815 r.), w Europie zapanował długi okres, prawie stu lat, względnego pokoju.

Północno–zachodnie Niemcy po 1815 r. Zauważmy, że Hanower (państwo) składa się z dwóch części; należą do niego: Hanower (miasto) i Getynga. Prusy składają się

z dwóch dużych części i kilku małych; zarówno Berlin, jak i Kolonia są miastami pruskimi. Brunszwik składa się z trzech części.

Kolonia

HESJA TURYNGIA

MEKLENBURGIA

OLD

EN

BU

RG

IA

Hol

andi

a

Dania

HOLSZTYN

SZLEZWIK

HanowerBerlin

Lipsk

ANHALT

Drezno

BreselenzBrema

Hamburg

Getynga

Luneburg..

Brunszwik

H A N O W E R

SAKSONIA

E l ba

45


Jedną z konsekwencji tego traktatu było uporządkowanie spraw naro-dów niemieckojęzycznych. Przed rewolucją francuską człowiek mówiący po niemiecku i mieszkający w Europie mógł być obywatelem Austrii (w tym przypadku prawdopodobnie był katolikiem) lub Prus (co z dużym praw-dopodobieństwem czyniło go protestantem), lub jednego z około trzystu malutkich księstw rozrzuconych na terenie dzisiejszych Niemiec. Mógł też być poddanym króla Francji, króla Danii lub obywatelem Szwajcarii. „Uporządkowanie” jest terminem względnym — pozostawiono jeszcze wiele rzeczy niezałatwionych, z powodu których wyniknęło kilka pomniejszych wojen i które przyczyniły się do wybuchu dwóch wielkich konfl iktów wojen-nych XX wieku. Austria wciąż tworzyła potężne imperium, w skład którego wchodziło wiele narodów nie niemieckich: Węgrów, Rumunów, Czechów i innych Słowian, itd; w Szwajcarii, Danii i Francji mieszkali obywatele po-sługujący się językiem niemieckim. Jednak to był już dobry początek. Około trzystu jednostek państwowych, z których składały się osiemnastowieczne Niemcy, zostało skonsolidowanych w trzydzieści cztery suwerenne państwa i cztery wolne miasta, a ich jedność kulturowa została uwzględniona przez utworzenie Związku Niemieckiego.

Największymi państwami niemieckimi nadal pozostawały Austria i Prusy. Ludność Austrii wynosiła około 30 milionów, ale tylko 4 miliony z nich mówiło po niemiecku. Prusy liczyły około 15 milionów obywateli, z których większość mówiła po niemiecku. Bawaria była jedynym z pozostałych państw niemie-ckich, które miało ponad 2 miliony mieszkańców. Tylko cztery inne miały więcej niż milion: królestwa Hanoweru, Saksonii i Wirtembergii, oraz Wielkie Księstwo Badenii.

Hanower był dziwnym tworem; królestwem, którego król prawie zawsze był nieobecny. Nieobecność króla była spowodowana skomplikowanymi powiązaniami dynastycznymi — król Hanoweru był zarazem królem Anglii. Pierwszych czterech królów, których Anglicy zaliczają do „dynastii hanower-skiej”, nosiło imię Jerzy1 i kiedy w 1826 roku czwarty z nich zasiadał na tronie, wtedy główna postać w historii hipotezy Riemanna przychodzi na świat.

46


III. Georg Friedrich Bernhard Riemann urodził się 17 września 1826 roku we wsi Breselenz we wschodnim zakątku królestwa Hanoweru. Ta część jest znana pod nazwą Wendland. Słowo „Wend” pochodzi z języka staronie-mieckiego, które służyło jako określenie Słowian w tym rejonie. Wendland było najdalej na zachód wysuniętym miejscem, do którego dotarli prze-mieszczający się w VI wieku Słowianie. Sama nazwa „Breselenz” pochodzi od słowiańskiego słowa, które znaczy brzoza. Dialekty i folklor słowiański przetrwały tutaj do czasów obecnych —fi lozof Leibnitz (1646–1716) wspie-rał ich badania — ale począwszy od późnych wieków średnich niemieccy imigranci osiedlali się w Wendland i do czasów Riemanna ludność była tutaj już w zasadzie pochodzenia niemieckiego.

Wendland był, i ciągle pozostaje, terenem zacofanym; jest najsłabiej za-ludnionym okręgiem w swoim obecnym landzie — Dolnej Saksonii (110 mieszkańców na milę kwadratową*); jest słabo uprzemysłowiony i posiada niewiele dużych miast. Ogromna rzeka Łaba, która osiąga tutaj szerokość 250 jardów† — przepływa w odległości jedynie 7 mil od Breselenz i zawsze była głównym środkiem transportu i komunikacji ze światem zewnętrz-nym. W XIX wieku statki żaglowe i barki przewoziły drewno i produkty rolne z Europy Środkowej do Hamburga, a powracały z węglem i wyrobami przemysłowymi. W ciągu ostatnich dziesięcioleci podziału odcinek Łaby w Wendland był częścią granicy między Niemcami Wschodnimi a Niemcami Zachodnimi, co nie przyczyniło się do rozwoju tych terenów. To niewyróżnia-jący się płaski region rolniczy z podmokłymi, porośniętymi rzadkimi lasami terenami, którym grożą częste powodzie. Duża powódź, która zdarzyła się tutaj w 1830 roku, prawdopodobnie była pierwszym znaczącym wydarzeniem w dzieciństwie Bernharda Riemanna2.

Ojciec Riemanna, Friedrich Bernhard Riemann, był pastorem luterańskim i weteranem wojennym. Będąc w wieku średnim ożenił się z Charlotte Ebell. Bernhard był ich drugim dzieckiem i wydaje się, że czuł się szczególnie blisko

*Mila — jednostka długości stosowana w krajach anglosaskich równa ok. 1,609 km, a zatem mila kwadratowa jest równa ok. 2,59 km2 (przyp. tłum.).

†Jard — jednostka długości stosowana w krajach anglosaskich równa ok. 0,9 m (przyp. tłum.).

47


związany ze swoją starszą siostrą Idą — własną córkę nazwał jej imieniem. Potem przyszło na świat następnych czworo dzieci, chłopiec i trzy dziew-czynki. W porównaniu z dzisiejszymi standardami życia, które wydają się nam czymś naturalnym, trudno sobie wyobrazić, jakim trudnościom musiał stawić czoła wiejski proboszcz w średnim wieku, z żoną i sześciorgiem dzieci na utrzymaniu, mieszkający na początku XIX wieku w biednym i słabo roz-winiętym regionie średniego państwa. Z sześciorga dzieci Riemannów tylko Ida dożyła późnego wieku. Wszyscy inni zmarli młodo, prawdopodobnie z powodu nieodpowiedniego wyżywienia. Także matka Riemanna zmarła wcześnie, zanim jej dzieci stały się dorosłe.

Oprócz uzmysłowienia sobie tej biedy przez nas — żyjących i pracują-cych w warunkach współczesnej gospodarki, potrzeba wysiłku wyobraźni, aby pojąć trudności związane ze znalezieniem pracy w tamtych czasach. Poza wielkimi miastami klasa średnia prawie nie istniała. Gdzieniegdzie żyli kupcy, proboszczowie, nauczyciele, lekarze i urzędnicy państwowi. Wszyscy inni, którzy nie posiadali ziemi, byli rzemieślnikami lub należeli do służby. Jedynym poważanym zajęciem dla kobiet była posada guwernantki; w innym przypadku utrzymywali je mężowie lub rodziny.

Kiedy Bernhard był jeszcze niemowlęciem, jego ojciec objął stanowisko pastora w Quickborn, kilka mil od Breselenz, bliżej Łaby. Quickborn jest do dzisiaj spokojną wioską o drewnianych domach i z ulicami w większości bez chodników, przy których rosną masywne stare dęby. To miejsce, jeszcze mniejsze od Breselenz, pozostawało rodzinną miejscowością Bernharda aż do śmierci starszego Riemanna w 1859 roku. Z nim też czuł się emocjonalnie związany jeszcze w wieku prawie 30 lat. Wydaje się, że wracał tam przy każdej nadarzającej się okazji, aby być ze swoją rodziną, w tym jedynym miejscu, gdzie zawsze czuł się nieskrępowany.

Dlatego też, aby zrozumieć życie Riemanna, trzeba wziąć pod uwagę kontekst jego środowiska — domu rodzinnego, w którym się wychował, który dawał mu radość i do którego tęsknił, kiedy przebywał daleko od niego. Płaskie podmokłe wiejskie tereny; nieszczelny dom oświetlany lampą naft ową i świecami, źle ogrzany zimą i niezbyt dobrze wietrzony latem; częste choroby rodzeństwa (wydaje się, że wszyscy chorowali na gruźlicę); nieduży, mało interesujący krąg znajomych rodziny proboszcza z zapadłej wioski;

48


nieodpowiednia i źle skomponowana dieta narodu, znanego z ciężkostraw-nej kuchni („przez dłuższy czas Riemann cierpiał na chroniczne zaparcie”, zauważa Neuenschwander3).

Jak oni mogli to wytrzymać? Nie zaznali niczego innego, ale miłość wy-starcza dla podtrzymania ducha wbrew przeciwieństwom losu.

IV. Bardzo liczne państwa — królestwa, księstewka, księstwa, które two-rzyły Niemcy Północne za czasów Riemanna, były w wielkim stopniu nie-zależne od siebie i każde z nich miało swoją własną politykę wewnętrzną. Ten luźny związek państw był powodem dumy społeczności lokalnych i ich współzawodnictwa.

Pod wieloma względami wzorowały się na Prusach. Wschodnia część tego królestwa była jedynym państwem niemieckim, które zachowało pe-wien stopień niezależności od Napoleona po porażkach z lat 1806–1807. Pod wpływem tego potencjalnego niebezpieczeństwa Prusacy skupili się na reformach wewnętrznych, przekształcając swój system edukacji na poziomie szkoły średniej pod kierownictwem fi lozofa, dyplomaty i lingwisty Wilhelma von Humboldta. Von Humboldt (jego brat Aleksander to znany odkrywca i przyrodnik) był klasykiem ze sfer akademickich oderwanych od codzien-nego życia, który kiedyś powiedział: „Alles neue ekelt mich an” — „Wszystko, co nowe powoduje u mnie niesmak”. Mimo to, reformy wprowadzone przez tego zatwardziałego reakcjonistę i konserwatystę spowodowały w końcu, że system edukacji w państwach niemieckich był najbardziej zaawansowany w Europie.

Podstawą tego systemu było dzisięcioletnie gimnazjum przeznaczone dla uczniów w wieku od 10 do 20 lat. W swoich najwcześniejszych formach program w tych szkołach był podzielony następująco.

Łacina ...................................... 25 proc. Greka ....................................... 16 proc. Niemiecki ................................ 15 proc. Matematyka ............................ 20 proc.

49


Historia i geografi a ................ 10 proc. Nauki ścisłe ............................. 7 proc. Religia ...................................... 7 proc.

Dla kontrastu, w oparciu o raporty (opublikowane przez Jonathana Ga-thorne–Hardy’ego w Th e Public School Phenomenon) można stwierdzić, że w naj-lepszych angielskich szkołach dla chłopców w 1840 roku przeznaczano 75–80 procent czasu nauczania — 40 godzin tygodniowo — na języki klasyczne.

W Quickborn nie było gimnazjum i Riemann rozpoczął właściwą edu-kację w wieku 14 lat z czteroletnim opóźnieniem. Jego gimnazjum mieściło się w Hanowerze, stolicy królestwa, 80 mil od Quickborn. Powodem wyboru tego miasta było to, że jego babcia ze strony matki mieszkała w Hanowerze i rodzina Riemannów mogła zaoszczędzić na kosztach utrzymania chłopca. Przed rozpoczęciem nauki w gimnazjum Riemann uczył się ze swoim ojcem oraz wiejskim nauczycielem o nazwisku Schulz.

Riemann jako czternastoletni chłopiec czuł się bardzo nieszczęśliwy w Ha-nowerze, ponieważ był chorobliwie nieśmiały i bardzo tęsknił za domem. Jego jedynym pozaszkolnym zajęciem było poszukiwanie prezentów dla ojca i rodzeństwa, na które byłoby go stać, aby wysłać je im na ich urodziny. Śmierć babci w 1842 roku zmieniła sytuację. Riemann został przeniesiony do innego gimnazjum, które znajdowało się w miasteczku Lüneburg. Dedekind w następujący sposób opisuje tę zmianę:

Mniejsze oddalenie od rodzinnego domu, które pozwalało na spędzanie wa-kacji ze swoją rodziną, spowodowało, że te późniejsze lata szkolne były dla niego bardzo szczęśliwe. Z pewnością podróż tam i z powrotem, w większości odbywana pieszo, była wysiłkiem wyczerpującym fi zycznie, do którego nie był przyzwyczajony4. Jego matka, którą, co należy ze smutkiem stwierdzić, miał wkrótce utracić, wyrażała w swoich listach troskę o jego zdrowie, do-dając mnóstwo płynących z serca przestróg, w których prosiła go, aby unikał nadmiernego wysiłku fi zycznego.

Nie wydaje się, aby Riemann był dobrym uczniem. Miał rodzaj umysłu zdolny do zapamiętywania jedynie tych rzeczy, które go interesowały, głównie

50


matematyki. Co więcej, był perfekcjonistą, dla którego sumienne napisanie bezbłędnych rozprawek było ważniejsze niż termin ich oddania nauczycielo-wi. Aby podnieść poziom nauki chłopca, dyrektor szkoły załatwił mu wspólne mieszkanie z nauczycielem języka hebrajskiego, który nazywał się Seff er lub Seyff er. Pod jego opieką Riemann poprawił się na tyle, że wystarczyło to do przyjęcia go w 1846 roku na uniwersytet w Getyndze na teologię. Miał pójść w ślady ojca i zostać pastorem.

V. Uniwersytet w Getyndze był jedynym uniwersytetem, pozostającym pod wpływem kościoła w Hanowerze, więc wybór ten był logiczny. Nazwa „Getynga” będzie ciągle pojawiała się w tej książce, więc należy powiedzieć kilka słów o historii tego uniwersytetu. Założona w 1734 roku przez króla Anglii Jerzego II (który był też elektorem Hanoweru5), Getynga stała się wkrótce jednym z lepszych prowincjonalnych niemieckich uniwersytetów, w którym w 1823 roku było zarejestrowanych 1.500 studentów.

Jednakże lata trzydzieste XIX wieku były pełne zawirowań. Agitacja po-lityczna, w której brali udział zarówno studenci, jak i wykładowcy obniżyła liczbę studentów w roku 1834 do 900. Trzy lata później nastąpił kryzys poli-tyczny i Getynga na moment stała się sławna. W 1837 roku zmarł król Anglii i Hanoweru Wilhelm IV, nie pozostawiając prawowitego następcy tronu i tron angielski został przekazany jego bratanicy Wiktorii. Hanower z kolei zacho-wał prawo salickie średniowiecznych Franków, zgodnie z którym jedynie potomek męski mógł dziedziczyć tron. W ten sposób polityczne drogi Anglii i Hanoweru rozeszły się. Nowym władcą Hanoweru został Ernest August, najstarszy żyjący syn Jerzego III.

Ernest August był wielkim reakcjonistą. Jednym z pierwszych jego ak-tów było unieważnienie liberalnej konstytucji nadanej przez Wilhelma IV cztery lata wcześniej. Siedmiu wybitnych profesorów z uniwersytetu w Getyndze odmówiło przysięgi na wierność nowej konstytucji i zosta-ło wydalonych z uniwersytetu. A trzech z nich musiało nawet opuścić królestwo. Ci wydaleni profesorowie, znani jako „siódemka z Getyngi” stali się bohaterami dla politycznych i społecznych reformatorów w całej

51


Europie6. Wśród nich znajdowali się bracia Grimm, sławni bajkopisarze i akademiccy fi lolodzy.

Po zmianach, które nastąpiły po ogólnoeuropejskich zawirowaniach politycz-nych 1848 roku, Hanower otrzymał nową, liberalną konstytucję. Przynajmniej jeden z „siódemki z Getyngi”, fi zyk Wilhelm Weber, został ponownie przyjęty na uniwersytet. Uniwersytet wkrótce odzyskał swoją żywotność, stając się miej-scem wielkich osiągnięć naukowych, o czym przekonamy się później. Jednak kiedy Bernhard Riemann przybył tu w 1846 roku, jeszcze nie dało się odczuć tych pozytywnych tendencji. Zastał życie uniwersyteckie przytłumione; liczba studentów była mniejsza od poziomu sprzed dziewięciu lat.

Getynga miała jednak kogoś, kto mógł przyciągać młodego Riemanna. Tutaj mieszkał Carl Friedrich Gauss, największy matematyk swoich czasów, a możliwe, że i wszech czasów7. Kiedy Riemann pojawił się w Getyndze, Gauss miał 69 lat, swoje największe osiągnięcia już za sobą i nie wygłaszał wielu wy-kładów, uważając to za irytującą stratę czasu. Mimo to jego obecność musiała wywrzeć wrażenie na Riemannie, który wcześnie połknął bakcyla matematyki. Wiemy, że Riemann uczęszczał na wykłady Gaussa z algebry liniowej i na wykłady Moritza Sterna z teorii równań. W pewnym momencie, w latach 1846–1847 Riemann musiał wyznać swojemu ojcu, że bardziej interesuje się matematyką niż teologią i ojciec, który wydawał się wyrozumiałym rodzicem, wyraził zgodę na to, aby jego syn poświęcił się matematyce.

VI. Bardzo mało informacji o osobowości Riemanna jako dorosłego czło-wieka przetrwało do naszych czasów. Najlepszym źródłem są wspomnienia Dedekinda, o których wspominałem na początku tego rozdziału, napisane dziesięć lat po śmierci Riemanna, dodane do pierwszego wydania jego Dzieł zebranych (które, o ile wiem, nigdy nie zostały przetłumaczone na język an-gielski)8. Korzystałem z nich w bardzo dużym stopniu pisząc tę książkę, tak że wiele stwierdzeń z rozdziału 8 powinno mieć dodany komentarz „…zgodnie z tym, co mówi Dedekind”. Chociaż Dedekind oczywiście mógł się pomylić co do jakichś faktów, jednak był osobą najbliższą Riemannowi, która mogłaby zasługiwać na miano przyjaciela. Był uczciwym i honorowym człowiekiem

52


i nigdy nie napotkałem niczego, co by mogło sugerować, że w jakikolwiek sposób nie był prawdomówny, gdy wypowiadał się na jakiś temat, z jednym zrozumiałym wyjątkiem, o którym wkrótce powiem.

Innym źródłem są osobiste listy Riemanna, z których duża część się za-chowała, a także przypadkowo zanotowane komentarze studentów i współ-pracowników.

Z opinii tych można wywnioskować, że:

� Riemann był wyjątkowo nieśmiałym człowiekiem. Unikał kontaktów z ludźmi na tyle, na ile było to możliwe, czuł się skrępowany w towarzystwie innych osób. Jedynymi bliższymi związkami — i to naprawdę bardzo bliskimi — były jego relacje z rodziną, pozostałymi i zarazem jedynymi kontaktami jakiegokolwiek innego rodzaju były jego kontakty z innymi matematykami. Zawsze ogarniało go uczucie tęsknoty, gdy nie był wśród swojej rodziny na probostwie w Quickborn.� Riemann był bardzo pobożny, w stylu niemieckiego protestantyzmu

(był luteraninem). Według niego religia polegała na (dosłowne tłumaczenie z niemieckiego tego, co napisał Dedekind) „codziennym rachunku sumienia przed obliczem Boga”.� Riemann dogłębnie interesował się fi lozofi ą i widział wszystkie swoje

matematyczne prace w szerszym fi lozofi cznym kontekście.� Był hipochondrykiem, zarówno w dawnym, jak i obecnym znaczeniu

tego słowa (dawniej było utożsamiane z popadaniem w „stan depresyjny”). Dedekind unika tego słowa, prawdopodobnie ze względu na wdowę po Riemannie, która błagała go, żeby nie upubliczniał hipochondrii Riemanna. Ale stwierdza jednoznacznie, że Riemann przeżywał okresy głębokiego smut-ku, zwłaszcza po śmierci ojca, którego bardzo kochał. Riemann radził sobie z tymi wydarzeniami, zatracając się w pracy. � Jego zdrowie nigdy nie było dobre, wyniszczone długimi latami wy-

rzeczeń, na które musiał się godzić ubogi człowiek w tamtych czasach, chcąc wspiąć się na wyższe szczeble edukacji.

Istnieje pokusa, aby uważać Riemanna za osobę smutną i nieco żałosną. A jednak byłoby to wzięciem pod uwagę jedynie wyglądu zewnętrznego i jego

53


sposobu zachowania się. Pod tą skromną, niechętną do zawierania nowych znajomości powierzchownością krył się wspaniały i odważny umysł. Chociaż przypadkowym obserwatorom mógł się wydawać nieśmiały i zlękniony, jego dzieła matematyczne mają rozmach i energię kampanii wojennych Napoleona. Jego przyjaciele i współpracownicy związani z matematyką wie-dzieli o tym i go szanowali.

Osoba Riemanna przywodzi mi na myśl fragment z noweli Mau ghama Somerseta Th e Moon and Sixpence, której inspiracją było życie malarza Gau-guina. Bohater noweli Maughama, tak jak artysta Gauguin, umiera na trąd w chacie na wyspie na Pacyfi ku, dokąd uciekł, aby dążyć do osiągnięcia swojej wizji sztuki. Usłyszawszy, że człowiek ten umiera, miejscowy lekarz idzie do jego chaty, która jest zniszczona i grozi zawaleniem. Jednak kiedy lekarz wchodzi do środka, zdumiewa go, że na wszystkich ścianach wewnątrz chaty, od podłogi do sufi tu wiszą wspaniałe i tajemnicze obrazy. Tak samo było z Riemannem. Jego wygląd zewnętrzny był godny pożałowania; wewnątrz świecił jaśniej niż słońce.

VII. W sferze wykształcenia wyższego reformy Wilhelma von Humboldta w owych czasach odcisnęły swe piętno tylko w Berlinie, stolicy Prus. Sytuacja w innych niemieckich uniwersytetach odpowiadała opisowi Heinricha Webera w jego wstępie do Dzieł zebranych Riemanna.

Celem kształcenia w uniwersytetach, wyznaczonym przez jego patronów ksią-żęcych, było przygotowanie prawników, lekarzy, nauczycieli i kaznodziejów, a także stworzenie miejsca, gdzie synowie szlachty i ludzi zamożnych będą mogli spędzać czas pod nadzorem i w godny sposób.

Reformy von Humboldta rzeczywiście miały przez pewien okres zły wpływ na edukację wyższą w Niemczech. Wywołały zapotrzebowanie na dobrze wykształconych nauczycieli dla szkół średnich, a jedynym sposobem na sprostanie temu było kształcenie ich na uniwersytetach. Nawet taki gi-gant jak Gauss prowadził zajęcia w zasadzie na poziomie elementarnym na

54


uniwersytecie w Getyndze w latach 1846–1847. W poszukiwaniu bardziej treściwych zajęć Riemann przeniósł się na uniwersytet w Berlinie.

Dwa lata spędzone w tej instytucji pod kierunkiem najlepszych umysłów matematycznych w Niemczech uformowały Riemanna jako w pełni dojrza-łego matematyka.

(W oparciu o rozdziały dotyczące wczesnej historii hipotezy Riemanna, należy rozumieć, że w Europie przed zmianami zaistniałymi po okresie wojen napoleońskich, a w pewnych krajach nawet dłużej, istniała wyraźna różnica między uniwersytetami, których celem było formowanie i kształcenie intelektualnych elit, które w opinii państwa były potrzebne, a akademiami czy stowarzyszeniami, których celem istnienia było prowadzenie badań naukowych — ten stan rzeczy był uważany, w mniejszym lub większym stopniu, w zależności od czasu, miejsca i upodobań władcy za przynoszący praktyczne korzyści dla państwa. Instytucje takie jak uniwersytet w Berlinie, założony w 1810 roku, gdzie były prowadzone pewne badania naukowe, i akademia w Petersburgu we wczesnym okresie, były rzadkimi wyjątkami. Akademia w Berlinie, gdzie hipoteza Riemanna po raz pierwszy ujrzała światło dzienne, była instytucją wzorowaną na angielskim Stowarzyszeniu Królewskim, które zajmowało się wyłącznie badaniami naukowymi).

Prawie nic nie wiemy o życiu codziennym Riemanna w Berlinie poza studiami. Dedekind zanotował tylko jeden incydent godny uwagi. W mar-cu 1848 roku tłumy berlińczyków poruszone rewolucją lutową w Paryżu wyległy na ulice, domagając się zjednoczenia państw niemieckich. Zostały wzniesione barykady, które armia próbowała usunąć, polała się krew. Królem Prus w owych czasach był Fryderyk Wilhelm IV, który był raczej marzycielem, oderwanym od spraw codziennych, w dużym stopniu znaj-dował się pod wpływem romantyzmu i z sentymentalnym wyobrażeniem swoich poddanych oraz z wizją idealnego państwa jako paternalistycznej monarchii. Okazał się nieudolny w dobie kryzysu, odsyłając armię i pozo-stawiając swój pałac bez obrony, nim uczestnicy insurekcji zostali rozpro-szeni. Studenci uniwersytetu utworzyli w obronie króla oddziały lojalnej gwardii, w których Riemann pełnił służbę wartowniczą od godziny 9:00 jednego ranka do 1:00 po południu następnego dnia, co w sumie składa się na 28 godzin.

55


Po powrocie do Getyngi w 1849 roku Riemann rozpoczął pracę nad swoim doktoratem, który obronił dwa lata później, w wieku 25 lat po złożeniu dyserta-cji, dotyczącej teorii funkcji zespolonych. Został wykładowcą w Getyndze, a od roku 1857 przez trzy kolejne lata był profesorem nadzwyczajnym — co było jego pierwszym stanowiskiem ze stałą płacą. (Zwykli wykładowcy z założenia musieli utrzymywać się z opłat studentów, którzy płacili im za wykłady. Takie stanowisko nazywało się Privatdozent — wykładowca prywatny).

Rok 1857 był też rokiem, który należałoby nazwać, w języku dzisiejszych biografi i osób sławnych, „przełomowym” w życiu Riemanna. Jego dysertacja doktorska z roku 1851, obecnie uważana za klasykę dziewiętnastowiecznej matematyki, jednak nie przyciągnęła szerszej uwagi w tamtych czasach mimo pochlebnych opinii Gaussa. Inne jego prace napisane we wczesnych latach pięćdziesiątych nie były powszechnie znane i zostały opublikowane dopiero po jego śmierci. Znano go w takim stopniu, w jakim znano treść jego wykła-dów; a większa ich część była zbyt zaawansowana jak na tamte czasy, aby być doceniona. Jednak w 1857 roku Riemann opublikował pracę z analizy, która od razu została uznana za wielki wkład w tę dziedzinę. Jej tytuł brzmiał Teoria funkcji abelowych9. W tej pracy zastosował wymyślne i nowatorskie metody rozwiązania prezentowanych problemów. W ciągu jednego czy dwu lat jego nazwisko stało się znane wśród matematyków w całej Europie. W 1859 roku został awansowany na stanowisko profesorskie w Getyndze, osiągając w końcu dochody, które pozwalały na założenie rodziny, co też uczynił trzy lata później. Jego narzeczoną była Elise Koch, przyjaciółka najstarszej siostry (Idy).

W tym samym, 1859 roku, na krótko przed swoimi trzydziestymi trzecimi urodzinami 11 sierpnia, Bernhard Riemann został mianowany członkiem korespondentem akademii w Berlinie. Akademia podjęła decyzję w oparciu o tylko dwie prace Riemanna, które były dobrze znane: dysertację doktorską z 1851 roku i pracę o funkcjach abelowych z 1857 roku. Wybranie na członka akademii w Berlinie było wielkim honorem dla młodego matematyka. Jak było w zwyczaju, należało uczcić tego rodzaju mianowanie prezentacją ja-kiegoś oryginalnego badania. Praca zaprezentowana przez Riemanna miała tytuł O ilości liczb pierwszych mniejszych od danej wielkości (Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse).

Matematyka od tego momentu już nie była tą samą dziedziną.

57

3. Twierdzenie o liczbach pierwszych

3. TWIERDZENIE O LICZBACH PIERWSZYCH

I. Ile jest liczb pierwszych mniejszych od danej liczby? Wkrótce o tym powiem, ale najpierw krótki kurs powtórzeniowy z liczb pierwszych.

Weźmy dowolnie ustaloną dodatnią liczbę całkowitą — na przykład 28. Przez jakie liczby dzieli się ona bez reszty? Odpowiedź to: 1, 2, 4, 7, 14 i 28*. To są dzielniki liczby 28. Mówimy, że „28 ma sześć dzielników”.

Cóż, dzielnikiem każdej liczby jest 1; i każda liczba dzieli się przez siebie samą, ale te dzielniki nie są interesujące. Jak mówią matematycy, są one dziel-nikami „trywialnymi”. W naszym przypadku dzielnikami, które nas interesują, będą te pozostałe: 2, 4, 7 i 14. Nazywamy je dzielnikami właściwymi.

W związku z tym liczba 28 ma cztery dzielniki właściwe. Ale już liczba 29 nie ma żadnych dzielników właściwych. Żadna liczba nie dzieli się przez 29 bez reszty, oprócz oczywiście 1 i 29. To jest liczba pierwsza. Liczba pierwsza jest taką liczbą, która nie posiada dzielników właściwych.

Oto wszystkie liczby pierwsze aż do 1.000:

*Autor rozpatruje jedynie dodatnie dzielniki liczby całkowitej (przyp. tłum.).

58


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997

Jak możemy sprawdzić, jest ich 168. W tym momencie ktoś może zapytać, dlaczego „1” nie ma na tej liście, czy na jakiejkolwiek innej tablicy liczb pierw-szych. Czyż nie pasuje ona do defi nicji? No, więc według naszej defi nicji, pasuje i jeśli ktoś jest na tyle uparty, może sobie dopisać „1” do listy dla własnej satys-fakcji. Jednakże włączenie „1” do liczb pierwszych stwarza poważne kłopoty i matematycy uzgodnili między sobą, że tego nie zrobią. (Ostatnim znaczącym matematykiem, który wydaje się, że tak czynił, był Henri Lebesgue w 1899 r.). Nawet włączenie 2 jest w rzeczywistości pewną niedogodnością. Niezliczona ilość twierdzeń zaczyna się od: „Niech p będzie dowolną nieparzystą liczbą pierwszą…”. Jednak w ogólnym bilansie 2 zasługuje na swoje miejsce wśród liczb pierwszych, a 1 nie, więc ją po prostu opuszczamy.

Jeśli uważnie przyjrzymy się tablicy liczb pierwszych, zauważymy, że po-jawiają się one coraz rzadziej w miarę tego, jak przesuwamy się do przodu. Między 1 a 100 znajduje się 25 liczb pierwszych; między 401 a 500, dokładnie 17; a między 901 a 1.000, tylko 14. Wydaje się, że w każdym następnym bloku, składającym się ze 100 liczb całkowitych, ilość liczb pierwszych maleje. Jeśli kontynuowałbym tę listę, wskazując wszystkie liczby pierwsze aż do jednego miliona, zobaczylibyśmy, że jest tylko osiem liczb pierwszych w ostatnim blo-ku stu liczb (t.j., od 999.901 do 1.000.000). Jeśli kontynuowałbym ją do biliona, byłyby tylko cztery w ostatnim bloku stu liczb. (Oto one: 999.999.999.937; 999.999.999.959; 9999.999.999.961 i 999.999.999.989).

59


II. Tutaj w naturalny sposób pojawia się pytanie, czy liczby pierwsze w ostateczności stopniowo zanikną? Jeśli kontynuowałbym tę listę do bi-lionów bilionów, i bilionów bilionów bilionów bilionów, czy osiągnąłbym w końcu taki punkt, za którym już nie byłoby więcej żadnych liczb pierw-szych, tak że ostatnia liczba pierwsza na mojej liście byłaby też ostatnią liczbą pierwszą w ogóle, największą liczbą pierwszą?

Odpowiedź na to pytanie znalazł Euklides około 300 roku p.n.e. Otóż nie, liczby pierwsze nie zanikają. Zawsze istnieją następne liczby pierwsze. Nie istnieje największa liczba pierwsza. Bez względu na to, jak wielką liczbę pierwszą znajdziemy, zawsze istnieje liczba większa od niej. Liczby pierwsze ciągną się w nieskończoność. Dowód: przypuśćmy, że N jest liczbą pierwszą. Utwórzmy liczbę: (1 × 2 × 3 × … × N) + 1. Tej liczby nie da się podzielić bez reszty przez żadną liczbę od 1 do N — zawsze będzie reszta 1. Więc albo nie posiada ona żadnych dzielników właściwych — a przez to sama jest liczbą pierwszą większą od N — albo jej najmniejszym dzielnikiem właściwym jest jakaś liczba większa od N. Jednak najmniejszy dzielnik właściwy jakiejkolwiek liczby powinien być liczbą pierwszą — w przeciwnym razie dałoby się go rozłożyć na mniejsze czynniki — co udowadnia naszą tezę. Jeżeli N jest na przykład równe 5, wtedy 1 × 2 × 3 × 4 × 5 + 1 jest równe 121. Najmniejszym dzielnikiem pierwszym tej liczby jest 11. Możemy zacząć od jakiejkolwiek liczby pierwszej i zawsze znajdziemy liczbę pierwszą większą od niej. (W roz-dziale 7.IV podam jeszcze inny dowód świadczący o nieskończonej ilości liczb pierwszych, po tym, jak przedstawię złoty klucz).

To zagadnienie w historii matematyki zostało wyjaśnione dość wcześnie. Kolejnym problemem, który w naturalny sposób zainteresował matematyków, była następująca kwestia: czy można znaleźć zasadę, opisującą zmniejszanie się ilości liczb pierwszych? Wiemy, że istnieje 25 liczb pierwszych nie większych niż 100. Gdyby rozmieszczenie liczb pierwszych było perfekcyjnie równe, to w prze-dziale od 1 do 1000 byłoby ich oczywiście 10 razy więcej — 250. Jednak jest ich tam faktycznie tylko 168, ponieważ ich ilość stale się zmniejsza. Dlaczego 168? Dlaczego nie 158, czy 178, albo jakaś inna liczba? Czy istnieje reguła, wzór, który pokazałby, ile jest liczb pierwszych mniejszych niż dana liczba?

I tutaj wracamy do pytania, od którego zarówno Bernhard Riemann, jak i my rozpoczęliśmy: jak dużo jest liczb pierwszych mniejszych od danej wielkości?

60


III. Zróbmy teraz prezentację w odwrotny sposób. Znam odpowiedź na ostatnie pytanie dla całkiem dużych liczb. Tabela 3–1 pokazuje niektóre z nich.

TABELA 3–1

N Ile jest liczb pierwszych mniejszych niż N?

1.000 1681.000.000 78.4981.000.000.000 50.847.5341.000.000.000.000 37.607.912.0181.000.000.000.000.000 29.844.570.422.6691.000.000.000.000.000.000 24.739.954.287.740.860

To wszystko wygląda nieźle, ale nie jest zbyt poglądowe. Tak, ilość liczb pierwszych zmniejsza się. Gdyby liczby pierwsze utrzymały tę częstotliwość swojego pojawiania się, którą mamy w pierwszym 1.000, w którym jest 168 liczb pierwszych, wtedy byłoby ich mniej więcej 168.000.000.000.000.000 w ostatnim rzędzie. W rzeczywistości jest tam tylko jedna siódma tej licz-by.

Pokażę wkrótce pewną sztuczkę, która rozświetli tę zagadkową sytuację. Ale jeszcze kilka słów o funkcjach.

IV. Tabela składająca się z dwóch kolumn na podobieństwo tabeli 3–1 jest ilustracją funkcji. Termin „funkcja” jest jednym z najważniejszych pojęć w całej matematyce, drugim lub trzecim pod względem ważności, jak sądzę, po „liczbie” i może jeszcze „zbiorze”. Główną cechą funkcji jest to, że pewna liczba (ta w prawej kolumnie) zależy od pewnej innej liczby (tej znajdującej się w lewej kolumnie) zgodnie z ustaloną regułą czy procedurą. W wypadku tabeli 3–1 ta procedura to: „Policz, ile jest liczb pierwszych mniejszych od liczby w lewej kolumnie”.

Inaczej mówiąc, funkcja to sposób zamienienia (matematycy mówią „przekształcenia”) jednej liczby w inną liczbę. Funkcja przedstawiona w tabeli

61


3–1 zamienia lub przekształca liczbę 1.000 w liczbę 168 w sposób określony konkretną procedurą.

Określenia „liczba w lewej kolumnie” i „liczba w prawej kolumnie” są męczące, kiedy je ciągle wypowiadamy. Matematycy określają je odpowied-nio jako „argument” i „wartość” (lub „wartość funkcji”). Jest to terminologia powszechnie stosowana w matematyce. Istotą funkcji jest zatem to, że otrzy-mujemy jej wartość poprzez zastosowanie do argumentu pewnej reguły lub procedury.

Istnieje jeszcze jeden kluczowy termin, z którym należy się zapoznać. Zasada, która defi niuje funkcję, może być stosowana do niektórych liczb lub niektórych rodzajów liczb, ale nie do innych. Na przykład reguła: „odejmij argument od 1, a potem weź odwrotność tej różnicy”, defi niuje funkcję, którą matematycy bardzo dobrze znają i zapisują w formie 1 / (1 – x), a której przyj-rzymy się bliżej w rozdziale 9.III — jednak reguły tej nie można zastosować do argumentu „1”, ponieważ to prowadziłoby do dzielenia przez zero, na co matematyka nie zezwala. (Nic nie da nam pytanie: „Co się stanie, jeśli ja tak zrobię?”. Po prostu nie wolno tego robić. To jest wbrew regułom. Jeśli spróbu-jemy to zrobić, gra jest wstrzymywana i każdy powinien wrócić z powrotem na swoją poprzednią pozycję, która nie łamie reguł gry).

Jako kolejny przykład rozważmy funkcję, którą charakteryzuje reguła: „policz liczbę dzielników, które posiada argument”. Liczba 28 ma sześć dziel-ników (uwzględniam tutaj też dzielniki trywialne), podczas gdy 29 ma tylko dwa dzielniki. Funkcja ta przekształca więc 28 w 6; a 29 (lub jakąkolwiek inną liczbę pierwszą) w 2. To jest następna znana i użyteczna funkcja, zwykle zapisywana jako „d(N)”. Jednak ta funkcja ma sens tylko dla liczb całkowitych — w rzeczywistości ma jakikolwiek sens tylko dla dodatnich liczb całko-witych. Ile dzielników ma 12 7

8 ? Ile dzielników ma π? Poddaję się przy tych pytaniach. Funkcja d(N) nie daje odpowiedzi na takie pytania.

Tutaj stosujemy termin „dziedzina”. Dziedzinę funkcji tworzą te liczby, które funkcja może mieć jako swoje argumenty. Funkcja 1 / (1 – x) może mieć jako argument dowolną liczbę oprócz 1; jej dziedziną są wszystkie liczby oprócz 1. Funkcja d(N) może mieć jako swój argument dowolną dodatnią liczbę całkowitą; to jest jej dziedzina. Dziedziną funkcji x są wszystkie liczby oprócz liczb ujemnych, ponieważ liczby ujemne nie posiadają pierwiastków

62


kwadratowych (aczkolwiek zastrzegam sobie prawo do zmiany zdania w tej kwestii w dalszej części książki).

Pewne funkcje pozwalają na to, by mieć wszystkie liczby w swojej dziedzi-nie. Na przykład, funkcja kwadratowa x2 ,może być określona dla dowolnej liczby. Każda liczba może być podniesiona do kwadratu (tzn. pomnożona przez siebie). To samo odnosi się do dowolnego wielomianu, to znaczy funk-cji, której wartość jest otrzymywana poprzez dodawanie i odejmowanie argu-mentu podniesionego do różnych potęg. Oto przykład takiego wielomianu: 3x5 + 11x3 – 35x2 – 7x + 4. Dziedziną wielomianu są wszystkie liczby. Ten fakt stanie się ważny w rozdziale 21.III. Jednak najciekawsze funkcje nakładają pewne ograniczenia na swoje dziedziny. Albo istnieją takie argumenty, dla których funkcja nie jest określona, zwykle dlatego, że wtedy musielibyśmy dzielić przez zero, albo funkcję stosuje się tylko do określonych rodzajów liczb.

Ważne, by zrozumieć to, że tabela taka jak tabela 3–1 jest tylko próbką funkcji. Ile liczb pierwszych jest mniejszych od 30.000? Mniejszych od sied-miu milionów? Mniejszych od 31.556.926? Mógłbym to pokazać, dodając więcej wierszy w tabeli; ale biorąc pod uwagę liczbę stron tej książki, jest oczywiste, iż muszę ograniczyć liczbę zapisanych wierszy. Nasza tabela jest tylko próbką tej funkcji, pewnym wycinkiem, z argumentami wybranymi przeze mnie w bardzo określonym celu.

W przypadku większości funkcji tak naprawdę nie ma dobrego sposobu na pokazanie ich w całej okazałości. Wykres jest czasami pomocny do przedsta-wienia pewnych szczególnych cech funkcji, ale tutaj wykres jest mało użyteczny. Próba sporządzenia wykresu na podstawie tabeli 3–1 pokazałaby, co mam na myśli. Moje wysiłki zademonstrowania wykresu funkcji dzeta w rozdziale 9.IV wykażą to dobitnie. Matematycy zazwyczaj wtedy poznają naturę konkretnej funkcji, gdy zajmują się nią bardzo szczegółowo przez dłuższy czas, obserwu-jąc wszystkie jej cechy i osobliwości. Tabela czy wykres rzadko jest w stanie ogarnąć całość.

63


V. Kolejną kwestią dotyczącą funkcji, godną odnotowania jest to, że te ważne mają swoje nazwy, a te naprawdę ważne mają specjalne symbole do ich zapisywania. Funkcję, której próbkę przedstawiłem w tabeli 3–1, nazywamy „funkcją liczącą ilość liczb pierwszych” i oznaczamy symbolem π(N), który czytamy „pi od N”.

Tak, zgadzam się, że to wprowadza pewne zamieszanie. Czyż π nie jest stosunkiem długości obwodu okręgu do jego średnicy, liczbą o szczególnej renomie

3,14159265358979323846264…?

Tak jest naprawdę i to nowe zastosowanie symbolu π nie ma nic wspólnego z tą liczbą. Alfabet grecki ma tylko 24 litery i do czasu, gdy matematycy zaczęli się przymierzać do nadania tej funkcji symbolu (osobą odpowiedzialną za to w tym wypadku jest Landau, w 1909 r. — por. rozdział 14.IV), wszystkie 24 litery były w zasadzie już wykorzystane i musieli ponownie zacząć ich uży-wać. Nie jest to moja wina; obecnie taki sposób zapisu jest już standardowy; musimy się z tym pogodzić.

(Komuś, kto poważnie zajmował się programowaniem, nie będzie obca koncepcja nadużycia symbolu. To użycie symbolu π do dwóch zupełnie różnych celów jest swego rodzaju nadużyciem symbolu π).

Tak, więc π(N) jest określane jako ilość liczb pierwszych aż do N (włącznie, chociaż to rzadko ma jakiekolwiek znaczenie). Nie chcąc być rygorystycznym, będę mówił „mniejszych niż”, mimo że powinienem mówić „mniejszych lub równych”. Wróćmy do naszego głównego pytania: Czy istnieje jakaś reguła, jakiś prosty wzór, który pozwoli mi ustalić wartość π(N), oszczędzając trudu liczenia?

Pozwólcie, że wykonam pewną małą sztuczkę z tabelą 3–1. Zamierzam podzielić pierwszą kolumnę przez drugą, argument przez wartość. Nie będę dążył do zbytniej dokładności. Tak naprawdę wystarczy mi kieszonkowy kalkulator za 6 dolarów, z którego korzystam w supermarkecie. A oto po kolei moje obliczenia. Dzielenie 1.000 przez 168 daje 5,9524; dzielenie 1.000.000 przez 78.498 daje 12,7392. Następne cztery podobne obliczenia dają mi tabelę 3–2.

64


TABELA 3–2

N N / π(N)

1.000 5,95241.000.000 12,73921.000.000.000 19,66661.000.000.000.000 26,59011.000.000.000.000.000 33,50691.000.000.000.000.000.000 40,4204

Spójrzmy tutaj uważnie na wartości. Zwiększają się one o 7 za każdym razem. Lub raczej o liczbę, która waha się między 6,7 a 7,0. Może to nie zwróci uwagi zwykłego człowieka, ale w głowie matematyka zapala się światło ostrzegawcze, kiedy widzi tabelę taką jak ta. Wtedy przychodzi mu na myśl pewne szczególne słowo. Pozwolę to sobie teraz wyjaśnić.

VI. Istnieje pewna rodzina funkcji, która jest bardzo ważna w matema-tyce, tzw. funkcje wykładnicze. Możliwe, że ten termin nie jest zbyt znany. Nie wydaje się, by słowo „wykładnicza” przeniknęło do języka codzienne-go. Chociaż jest dobrze, gdy nasze inwestycje w jakichkolwiek funduszach wzrastają tak, jak wartość funkcji wykładniczej — to znaczy coraz szybciej i szybciej.

Z mojego punktu widzenia, który przyjąłem tutaj — przedstawianie funk-cji w formie dwukolumnowych tabel, takich jak tabela 3–1 — mogę podać luźną defi nicję funkcji wykładniczej w następujący sposób: Jeśli dobierzemy argumenty tak, że będą one wzrastały, przechodząc z jednego wiersza do następnego w wyniku regularnego dodawania, a następnie zastosujemy do nich formułę funkcyjną i w konsekwencji okaże się, że dzięki zastosowaniu tej formuły wartości wzrastają, przechodząc z jednego wiersza do następnego w wyniku regularnego mnożenia, to znaczy, że mamy do czynienia z funkcją wykładniczą. „Regularnego” znaczy tutaj, że za każdym razem dodajemy tę samą liczbę lub mnożymy przez tę samą liczbę.

65


Oto przykład, w którym formułą funkcyjną jest: „Wykonaj mnożenie 5 × 5 × … × 5, gdzie w podanym wyrażeniu występuje N piątek”.

N 5N

1 5 2 25 3 125 4 625

Widzimy, że gdy argumenty wzrastają za każdym razem o 1, to wartości wzrastają za każdym razem w wyniku mnożenia przez 5. To jest funkcja wy-kładnicza. Argumenty wzrastają w wyniku dodawania, a tymczasem wartości wzrastają w wyniku mnożenia.

Argumenty dobrałem tak, że wzrastają za każdym razem o 1 i nadal zamierzam tak robić dla ułatwienia. W powyższym przykładzie powoduje to, że odpowiednia wartość jest mnożona przez 5. Oczywiście nie ma nic szczególnego w liczbie 5. Mógłbym wziąć do mojej funkcji liczbę 2 jako tę, która będzie mnożona, lub 22 lub 761, czy 1,05 (co dałoby mi tabelę poka-zującą łączną akumulację odsetek przy stopie równej pięciu procentom), a nawet 0,5. Każda liczba daje mi funkcję wykładniczą. Z tego powodu też powiedziałem na początku „rodzina funkcji”.

A oto następny termin, który lubią matematycy: „forma kanoniczna”. Kiedy mamy sytuację podobną do tej, w której pewne zjawisko (w tym wy-padku funkcja wykładnicza) może przyjmować różne formy, zwykle jest jeden sposób, za pomocą którego matematycy wolą przedstawiać całe zjawisko. Tak samo jest też w tym wypadku. Istnieje jedna funkcja wykładnicza, którą matematycy lubią bardziej niż inne. Gdyby spróbować zgadnąć, która to jest, można by było przypuszczać, że to ta, w której mnożenie odbywa się przez 2 — w końcu to jest najłatwiejsza liczba do mnożenia. Niestety, nie. Forma kanoniczna funkcji wykładniczej jest wtedy, gdy mnożenie wykonuje się przez liczbę 2,718281828459045235360287… To jest następna z tych magicznych liczb, jak π, która pojawia się wszędzie w matematyce10.W tej książce już się pojawiła (rozdział 1.VII). Liczba ta jest liczbą niewymierną11,więc jej rozwi-nięcie dziesiętne nie jest okresowe i nie da się jej zapisać w formie ułamka.

66


Oznaczamy ją symbolem e, aby uhonorować Leonharda Eulera, o którym napiszę więcej w następnym rozdziale.

Dlaczego ta liczba? Czyż nie jest ona zbyt niewygodna, aby zostać wybrana jako forma kanoniczna? Czyż 2 nie byłaby o wiele prostsza? Prawdopodobnie byłaby. Nie zdołam jednak wytłumaczyć, na czym polega ważność e bez wkro-czenia na teren rachunku różniczkowego, a uroczyście przysięgałem, że wytłu-maczę hipotezę Riemanna, stosując minimum analizy matematycznej. Dlatego też proszę o przyjęcie na wiarę tego, iż e jest naprawdę ważną liczbą, i że żadna inna funkcja wykładnicza nie może się równać z funkcją eN.

N eN

1 2,718281828459 2 7,389056098930 3 20,085536923187 4 54,598150033144

(Z dokładnością do 12 cyfr po przecinku). Oczywiście, że główna zasada została zachowana. Gdy argumenty w lewej kolumnie wzrastają o 1, to wyrazy w prawej kolumnie — wartości są mnożone przez e.

VII. A co z sytuacją odwrotną? Przypuśćmy, iż okazuje się, że patrzę na funkcję, którą charakteryzuje zasada: jeśli argumenty wzrastają w wyniku mnożenia, to wartości wzrastają w wyniku dodawania. Z jaką funkcją mamy wtedy do czynienia?

Tutaj znaleźliśmy się w obszarze funkcji odwrotnych. Matematycy bardzo chętnie dokonują inwersji funkcji — lubią spojrzeć na nie z innej strony. Jeśli y równa się 8 razy x, to co będzie jeśli x wyrazimy przez y? Jest to y / 8, oczywiście. Dzielenie jest odwrotnością mnożenia. Istnieje operacja, którą zdarza się nam wykonywać, a która jest nazywana podnoszeniem do kwa-dratu, kiedy mnożymy liczbę samą przez siebie. A co jest odwrotnością tej operacji? Jeśli y = x2, czym jest x wyrażone przez y? No więc, jest to pierwiastek kwadratowy z y. Jeżeli jesteśmy nieco obeznani z analizą matematyczną, to powinniśmy wiedzieć, że istnieje proces zwany „różniczkowaniem”, który

67


można zastosować po to, aby przekształcić funkcję f w inną funkcję g, któ-ra będzie pokazywała tempo chwilowej zmiany funkcji f w dowolnym jej argumencie. Co jest odwrotnością tego procesu? Jest to całkowanie. I tak dalej. Odwrotność będzie później kluczowym tematem, kiedy zagłębię się w zagadnienia pracy Riemanna z roku 1859.

Z punktu widzenia przedstawiania funkcji w postaci tabeli, procedura odwracania funkcji oznacza jedynie odwrócenie tabeli tak, że jej prawa część znajdzie się na miejscu lewej, a lewa na miejscu prawej. Jest to, co prawda, łatwy sposób na sprawienie sobie kłopotów. Weźmy funkcję kwadratową — prawdopodobnie pierwszą nietrywialną funkcję, którą poznaliśmy w szko-le. Aby podnieść liczbę do kwadratu, należy pomnożyć ją przez siebie.

N N 2

–3 9 –2 4 –1 1 0 0 1 1 2 4 3 9

(Zakładam tutaj, że znane są reguły dotyczące znaków12, tak że –3 razy –3 równa się 9, a nie –9). Teraz, jeśli zamienimy kolumny miejscami, to otrzy-mamy odwrotność tej funkcji.

N N

9 –3 4 –2 1 –1 0 0 1 1 4 2 9 3

68


Ale zatrzymajmy się tutaj. Co jest wartością funkcji dla argumentu 9? Czy jest to –3 czy 3? Czy funkcja ta nie mogłaby być przepisana następująco?

N N

0 0 1 1 lub być może –1 4 2 lub ewentualnie –2 9 3 czy może też być –3

Tak się nie da w żaden sposób — zbyt dużo zamieszania. Cóż, trzeba przyznać, że istnieje teoria matematyczna funkcji wielowartościowych. Bernhard Riemannn był mistrzem tej teorii i spróbuję króciutko zajrzeć do jego idei dotyczących tej teorii w rozdziale 13.V. Tutaj nie ma na to miejsca ani czasu. Przyjmuję żelazną zasadę: jeden argument, co najwyżej jedna wartość (oczywiście żadnej zupełnie wartości, kiedy argument nie należy do dziedziny funkcji). Pierwiastek kwadratowy z 1 jest równy 1; pierwiastek kwadratowy z 4 to 2; pierwiastek kwadratowy z 9 jest równy 3. Czy to znaczy, że nie dopuszczam, że –3 razy –3 jest 9? Pewnie, że dopuszczam. Jedynie nie włączam tego do mojej defi nicji terminu „pierwiastek kwadratowy”. Tutaj, przynajmniej przez jakiś czas, moja defi nicja pierwiastka kwadratowego jest następująca: Pierwiastkiem kwadratowym z N nazywamy liczbę dodatnią (o ile taka istnieje), która pomnożona sama przez siebie daje N.

VIII. Na szczęście funkcja wykładnicza nie sprawia żadnych kłopotów. Można beztrosko dokonać jej odwrócenia tak, aby po tym uzyskać funk-cję, której argumenty wzrastają w wyniku mnożenia, a wartości wzrastają w wyniku dodawania. Oczywiście, że tak jak to było w wypadku funkcji wykładniczych, istnieje cała rodzina funkcji odwrotnych, w zależności od liczby, przez którą mnożymy; i tak jak to było z funkcjami wykładniczymi, matematycy preferują funkcję, które wartości rosną w wyniku dodawania 1, podczas gdy argumenty wzrastają w wyniku mnożenia przez e. Funkcja, którą wtedy otrzymujemy, nazywa się funkcją log, a „log” jest słowem, które

69


przyszło matematykowi na myśl w chwili olśnienia, kiedy zobaczył tabelę 3–2. Jeśli y = ex, wtedy x = log y.

(Z czego wynika, przez zwykłe przekształcenie, że dla dowolnej dodatniej liczby y, y = elog y, fakt, do którego będę bardzo często później wracał).

W związku z zagadnieniami matematycznymi, odnoszącymi się do tej książki, to znaczy odnoszącymi się do hipotezy Riemanna, funkcja log będzie pojawiała się wszędzie. Powiem więcej o niej w rozdziałach 5 i 7, a główną rolę odegra ona wtedy, kiedy przekręcę złoty klucz w rozdziale 19. Tymczasem proszę przyjąć na wiarę, że to jest taka funkcja, jak ją opisałem, i jest naprawdę ważna, ponadto jest odwrotnością funkcji wykładniczej: Jeśli y = ex, wtedy x = log y.

W tym miejscu zamierzam przejść do sedna sprawy i wyznaczyć pewne wartości funkcji log, ale zamiast przyrostu, który opierałby się na mnoże-niu przez e, pozwolę sobie mnożyć argumenty przez 1.000. Jak mówiłem, gdy przedstawiałem funkcję w postaci tabeli, sam dobieram argumenty (a także ilość miejsc po przecinku, w tym wypadku to będą cztery miejsca). Gwarantuję, że to jest ta sama funkcja. Aby było bardziej zrozumiałe, co się dzieje, umieściłem dwie dodatkowe kolumny po prawej stronie, pierwsza to kolumna znajdująca się po prawej stronie w tabeli 3–2, druga podaje w procentach różnicę między drugą i trzecią kolumną. W efekcie mamy tabelę 3–3.

TABELA 3–3

N log N N / π(N) % błędu

1.000 6,9078 5,9524 16,05031.000.000 13,8155 12,7392 8,44901.000.000.000 20,7233 19,6666 5,37271.000.000.000.000 27,6310 26,5901 3,91451.000.000.000.000.000 34,5388 33,5069 3,07951.000.000.000.000.000.000 41,4465 40,4204 2,5385

Następujące stwierdzenie wydaje się mieć sens: Iloraz N / π(N) jest bliski log N; i im większe staje się N, tym staje się on bliższy wartości log N.

70


Matematycy mają szczególny sposób, aby to zapisać: N / π(N) ~ log N. (Czytane „iloraz N przez pi od N dąży asymptotycznie do log N”). Ta falista kreska poprawnie nazywa się „tylda”. Jednakże z mojego doświadczenia wiem, że matematycy nazywają ten znak znakiem równości asymptotycznej).

Jeśli dokonamy przekształcenia tego wyrażenia zgodnie ze zwykłymi regułami algebry, to otrzymamy:

Twierdzenie o Liczbach Pierwszych

π(N) ~ Nlog N

Oczywiście nie udowodniłem tego twierdzenia, tylko pokazałem, że to wy-daje się rozsądne. To bardzo ważny wynik; ważny do tego stopnia, że nazywa się „Twierdzeniem o Liczbach Pierwszych”. Nie jest zwykłym twierdzeniem o liczbach pierwszych. Zwróćmy uwagę na wielkie litery, które będę stosował, mówiąc o nim. I istotnie bardzo często, kiedy kontekst jest wystarczająco jasny, specjaliści od teorii liczb po prostu piszą „TLP” (ang. Prime Number Th eorem — PNT). W tej książce też będziemy używali dla niego skrótu TLP.

IX. Na zakończenie poznajmy dwie konsekwencje TLP, zakładając, że jest ono prawdziwe. Aby je wyprowadzić, wskażę, że istnieje kontekst — kontekst logarytmiczny! — w którym, kiedy mamy do czynienia ze wszystkimi liczba-mi do pewnej dużej liczby N, większość tych liczb przypomina rozmiarami N. Na przykład wśród wszystkich liczb od 1 do biliona ponad 90 procent posiada 12 cyfr lub więcej, i w tym aspekcie przypomina bardziej 1 bilion (który ma 13 cyfr) niż, powiedzmy, 1.000 (który ma 4 cyfry).

Jeśli mamy N / log N liczb pierwszych między 1 a N, to średnia gęstość liczb pierwszych w tym przedziale jest 1 / log N; a ponieważ większość liczb w tym przedziale jest tak duża jak N — w przybliżeniu tak jak to powyżej tłumaczyłem — wtedy słuszna jest konkluzja, że w pobliżu N gęstość liczb pierwszych jest równa 1 / log N. I tak też jest. W końcu pierwszej części tego

71


rozdziału podałem ilość liczb pierwszych występujących w ostatnim bloku 100 liczb nie większych niż 100, 500, 1.000, milion i bilion. Wyniki były na-stępujące: 25, 17, 14, 8 i 4. Odpowiednie wartości 100 / log N (tj., dla N = 100, 500, itd.) są, po zaokrągleniu do najbliższych liczb całkowitych: 22, 16, 14, 7 i 4. Inny sposób wyrażenia tego jest taki, że prawdopodobieństwo, iż w pobliżu dużej liczby N jakaś liczba będzie liczbą pierwszą, jest ~ 1 / log N.

Zgodnie z tą samą z grubsza logiką, możemy oszacować wielkość N–tej liczby pierwszej. Rozważmy zakres liczb od 1 do K, gdzie K oznacza pewną dużą liczbę. Jeśli ilość liczb pierwszych w tym przedziale jest równa C, wtedy powinniśmy spodziewać się, że przeciętnie znajdziemy pierwszą z tych liczb w okolicy liczby K : C, drugą w 2K : C, trzecią w 3K : C i tak dalej. N–ta liczba pierwsza będzie w pobliżu NK : C, a C–ta, która jest też i ostatnią w tym zakresie, będzie w pobliżu CK : C, co oczywiście oznacza, że to jest K. Teraz, jeśli TLP jest prawdziwe, wtedy liczba C jest w rzeczywistości K / log K, tak że N–ta liczba pierwsza jest w rzeczywistości w pobliżu NK : (K / log K), to znaczy w pobliżu liczby N log K. Ponieważ większość liczb w tym przedziale jest wielkością zbliżona do K, można traktować K i N za-miennie, zatem N–ta liczba pierwsza będzie ~ N log N. Wiem, że to wygląda podejrzanie, ale w istocie nie jest to złe przybliżenie i staje się odpowiednio coraz lepsze na podstawie własności równości asymptotycznej. Wskazuje ono na przykład, że bilionową liczbą pierwszą będzie 27.631.021.115.929; w rzeczywistości bilionową liczbą pierwszą jest 30.019.171.804.121, co stanowi 8 procentowy margines błędu. Procentowe marginesy błędu przy tysiącu, milionie i miliardzie są równe odpowiednio 13, 10, i 9.

Konsekwencje TLP

Prawdopodobieństwo, że N jest liczbą pierwszą, jest ~ 1logN

.N–ta liczba pierwsza jest ~ N log N.

Wnioski te są nie tylko konsekwencjami TLP, lecz samo TLP jest także ich konsekwencją. Jeśli, opierając się na zasadach matematyki, uda się udo-wodnić prawdziwość któregokolwiek z nich, tym samym udowodnimy TLP. Każdy z tych rezultatów jest równoważny z TLP i może być traktowany jako

72


alternatywna wersja tego twierdzania. W rozdziale 7.VIII pokażę jeszcze inny, ważniejszy sposób wyrażania TLP.

X. W tym rozdziale zahaczyłem o temat dotyczący rozmieszczenia liczb pierwszych. To jest ogromne i wielowątkowe zagadnienie. Hipoteza Riemanna znajduje się w jego centrum, o czym się przekonamy.

Rozmieszczenie liczb pierwszych ma dwie szczególnie wyróżniające się charakterystyki. Jedną jest ich coraz rzadsze pojawianie się, które już było omawiane przeze mnie i do którego TLP podaje dobry przybliżony wzór. Drugą jest pewna charakterystyczna przypadkowość tego pojawiania się.

Spójrzmy znów na moją listę liczb pierwszych do 1.000 z początku tego rozdziału. Cztery kolejne liczby pierwsze od 821 do 829 są oddzielone od siebie, pierwsza od ostatniej, tylko o 8 (ponieważ 829 minus 821 jest równe 8). To daje średnią lukę między nimi — pamiętajmy, że dla czterech liczb powin-niśmy mieć trzy luki — mniejszą niż 3. Cztery kolejne liczby pierwsze od 773 do 809 są dla kontrastu oddalone o 36, a przez to średnia luka między nimi jest równa 12. Ten schemat grupowania się — David Hilbert (por. rozdział 12.II) stosował na to termin „kondensacja” — i rzadkiego występowania liczb pierwszych trwa tak daleko, jak sięga wzrok, we wszystkich skalach.

Funkcja π(N) podaje ilość liczb pierwszych aż do N. Był to temat pracy Riemanna z 1859 roku, i to jest też to, czemu poświęciłem tę książkę. Druga wyróżniająca się charakterystyka dotycząca rozmieszczenia liczb pierw-szych — element przypadkowości pojawiania się tych liczb, ich skupianie się w grupki i rozprzestrzenianie się — jest jednak ściśle związana z właś-ciwościami π(N) i musi być brana pod uwagę przy ogólnych rozważaniach o liczbach pierwszych.

Plansza I

Giganci i ich patroni

Leonhard Euler Piotr I Wielki

Carl Friedrich GaussKarol Wilhelm FerdynandKsiążę Brunszwiku

Plansza II

Bernhard Riemann, jego mentor i przyjaciel

Riemann, wczesne lata 50. XIX w. Riemann, 1863 r.

Lejeune Dirichlet Richard Dedekind

Plansza III

Twierdzenie o liczbach pierwszych

Charles de la Vallée Poussin Jacques Hadamard

Atle SelbergPafnucy Lwowicz Czebyszew

Plansza IV

Dwudziestowieczni pionierzy

David Hilbert Edmund Landau

Godfrey Harold Hardy John Edensor Littlewood

Plansza V

Wątek obliczeniowy

Jørgen Pedersen Gram Carl Siegel

Alan Turing Andrew Odlyzko

Plansza VI

Algebraicy

Emil Artin André Weil

Pierre Deligne Alain Connes

Plansza VII

Wątek fizyczny

George Pólya Freeman Dyson

Hugh Montgomery Sir Michael Berry

Plansza VIII

Hipoteza Lindelöfa i model Craméra

Ernst Lindelöf Harald Cramér

Liczenie i mierzenie

Autor z rodziną i Taiye, który miał wtedy arytmetycznie 97 lat, ale analitycznie tylko 95,522…

Epilog

393

EPILOG

Bernhard Riemann zmarł w piątek 26 lipca 1866 roku, kilka tygodni przed swoimi czterdziestymi urodzinami. Jesienią 1862 roku zachorował na ciężkie przeziębienie i to przyśpieszyło postępy gruźlicy, na którą chorował prawdo-podobnie od dzieciństwa135. Starania współpracowników z Getyngi pomo-gły zapewnić szereg rządowych stypendiów, które pozwoliły Riemannowi wyjechać do miejsc o lepszym klimacie, co było wówczas jedynym znanym sposobem ulżenia chorym na gruźlicę i spowolnienia postępu tej choroby.

Tak więc Riemann spędził ostatnie cztery lata swojego życia niemalże wyłącznie we Włoszech. Przed śmiercią zatrzymał się w Selasca na zachodnim wybrzeżu Lago Maggiore w Alpach Piemonckich. Towarzyszyła mu żona Elise i ich trzyletnia córka Ida. Richard Dedekind opisał ostatnie dni życia swojego przyjaciela w krótkim życiorysie, który dodał do Dzieł zebranych.

28 czerwca przybył nad Lago Maggiore, gdzie zamieszkał w Villa Pisoni w Selasca, w pobliżu Intra136. Szybko opuszczały go siły i z pełną jasnością widział, że jego koniec nadchodzi. Mimo to na dzień przed swoją śmiercią, odpoczywając w cieniu drzewa fi gowego, pełen radości z powodu pięknego widoku, który rozpościerał się przed nim, skupił się nad pracami, które, co


394

należy stwierdzić ze smutkiem, pozostały nieukończone. Jego śmierć była spokojna, bez żadnych zmagań czy spazmów. Wydawało się, jakby obserwował z zainteresowaniem oddzielanie się swojej duszy od ciała. Żona przyniosła mu chleb i wino. Poprosił ją o przekazanie pozdrowień dla wszystkich w domu i powiedział: „Ucałuj nasze dziecko”. Elise zaczęła odmawiać za niego Modlitwę Pańską, ale on nie mógł już mówić. Przy słowach „i odpuść nam nasze winy” skierował pobożnie oczy ku górze. Poczuła, że jego ręka, którą trzymała, staje się zimna i po kilku oddechach jego czyste i szlachetne serce przestało bić. Ta pobożność przekazana mu w rodzinnym domu pozostała z nim przez całe życie. Służył Bogu wiernie, na swój własny sposób, z oddaniem najwyższego rodzaju, nigdy nie zajmował się sprawami wiary innych: główną rzeczą w religii był, jego zdaniem, codzienny rachunek sumienia w obliczu Boga.Spoczywa na cmentarzu Biganzolo w parafi i Selasca. Na jego nagrobku wid-nieje inskrypcja:

TUTAJ SPOCZYWA W BOGUGEORG FRIEDRICH BERNHARD RIEMANN

PROFESOR UNIWESYTETU W GETYNDZE

URODZIŁ SIĘ W BRESELENZ, 17 WRZEŚNIA 1826ZMARŁ W SELASCA, 20 LIPCA 1866

WIEMY TEŻ, ŻE BÓG Z TYMI, KTÓRZY GO MIŁUJĄ,WSPÓŁDZIAŁA WE WSZYSTKIM DLA ICH DOBRA

Napis jest w całości po niemiecku. Cytat pochodzi z Listu św. Pawła do Rzymian, 8,28. (Po niemiecku, Denen die Gott lieben müssen alle Dinge zum Besten dienen). Grób Riemanna już nie istnieje. Został zniszczony podczas późniejszej reorganizacji posiadłości kościelnych. Nagrobek z inskrypcją jednak ocalał i został wmurowany w pobliskiej w ścianie.

Elise Riemann wróciła z córką do Getyngi, gdzie zamieszkały z jedną z sióstr Riemanna, także o imieniu Ida, przy Weender Chaussee 17. W są-siednim domu, pod numerem 17A mieszkał Hermann Schwartz, profesor matematyki na uniwersytecie137. Stanowisko Riemanna na uniwersytecie

Epilog

395

zajął Alfred Clebsch, który napisał pracę przyczyniającą się do powstania współczesnej geometrii algebraicznej.

W 1884 roku córka Riemanna Ida, mając 20 lat, wyszła za mąż za Carla Davida Schillinga, który wcześniej w 1880 roku obronił doktorat pod kierun-kiem Schwartza, z którym pozostawał w przyjacielskich stosunkach. Wkrótce po tym Schilling objął stanowisko dyrektora Akademii Morskiej w Bremie. We wrześniu 1890 roku wdowa po Riemannie i jego siostra przeniosły się do Bremy, gdzie zamieszkały razem z Schillingami. Córka Riemanna żyła do 1929 roku, jej mąż do 1932 roku. Wydaje się, że mieli liczną rodzinę, ale nie udało mi się ustalić dokładnej liczby ich dzieci. W każdym razie potomkowie Bernharda Riemanna gdzieś żyją.

Niewiele lat życia było mu danych, niewiele jest też stron, na których są zapi-sane jego badania, ale jego imię jest i pozostanie powszechnie znane wśród matematyków. Większość jego prac to dzieła mistrza — pełne oryginalnych metod, głęboko sięgających idei i daleko idącej wyobraźni.

— George Chrystal, z atykułu zatytułowanego„Riemann” w Encyclopœdia Brittanica z 1911 roku

obsesja liczb pierwszych - fragmenty

Documents

hipoteza riemanna w

operator riemanna

synn hipotez riemanna

funkcja dzeta riemanna

o i funkcja mi mbiusa

trik z kartami

albo hipoteza jest prawdziwa

albo nie jest prawdziwa