odlotowa matematyka - fragmenty

Download Odlotowa matematyka - fragmenty

Post on 08-Aug-2015

144 views

Category:

Documents

7 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Cz 1. Henryk Pawowski, Wojciech Tomalczyk

Zadania dla najmodszych olimpijczykw uczniw szk podstawowych i gimnazjalistwCz 2. Zdzisaw Gowacki

Ciekawostki Mdraliskiej

Gdynia Toru 2010

Spis treciCz 1.Przedmowa Zadania Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw Zestaw 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 9 11 13 16 19 22 24 26 28 30 32 34 36 39 42 44 46 49 51 53 100 1055

Rozwizania 55 57 59 61 64 67 69 71 72 75 77 79 82 84 87 89 91 93 95 97

Zabawy z zapakami Zadania do samodzielnego rozwizania

Cz 2.1. Archimedes i Mdraliska 2. Krlowa nauk, krl Ptolemeusz i Euklides 3. Trjkty Talesa z Miletu 4. Trjkty i liczby trjktne 5. Pitagoras. Zaburzona harmonia wiata i liczb 6. Kwadratura koa jeden z trzech problemw delijskich 7. Pentagram i zota proporcja 8. Bryy platoskie 9. Liczby pierwsze i sito Eratostenesa 10. Magiczne kwadraty 11. Paradoksy 12. Staroytni architekci i zudzenia optyczne 13. Liczby i zadania arabskie. Postpy i podstpy matematyczne 14. Kopciuszek w matematyce 15. variste Galois mody buntownik 16. Matematyczny Nobel Nagroda Abela 17. Medal Fieldsa pierwsz prestiow nagrod dla matematykw 18. Sofia Kowalewska pikna matematyczka 19. Monsieur Le Blanc bya kobiet 20. Krlowa nauk i ksi matematykw 21. Piramidy, twierdzenie Napoleona i szeregi Fouriera 22. Listy do ksiniczki niemieckiej 23. Grafy Eulera mosty krlewieckie 24. Najpikniejszy wzr rwno Eulera 25. Pracowity jak Leibniz 26. Sfinks matematyki Jzef Hoene-Wroski 27. Stefan Banach co by byo, gdyby... 28. Nicolas Bourbaki modzieczy upr i marzenia 29. Andrew Wiles i wielkie twierdzenie Fermata (WTF) 30. S prostsze metody na zdobycie miliona dolarw informuj fundatorzy nagrody Bibliografia125 129 131 134 136 139 141 146 148 151 153 157 159 163 166 168 170 173 175 178 180 182 184 185 186 188 191 194 196 199 201

Henryk Pawowski, Wojciech Tomalczyk Zadania dla najmodszych olimpijczykw uczniw szk podstawowych i gimnazjalistw

Odlotowa matematyka. Cz 1.Nie przejmuj si, jeeli masz problemy z matematyk. Zapewniam Ci, e ja mam jeszcze wiksze.Albert Einstein

Zadania Zestaw 1.Zadanie 1.1

Figur, ktr widzisz poniej, podziel na cztery czci jednakowego ksztatu tak, aby w kadej z nich znalazo si jedno niebieskie pole.

Zadanie 1.2

W keczka wpisz cyfry od 1 do 9 tak, aby ich suma w wierzchokach kadego z czterech trjktw bya rwna sumie w wierzchokach zaznaczonego kwadratu.

Zadanie 1.3

Zamie litery na cyfry tak, aby wszystkie wystpujce tu nierwnoci byy prawdziwe. A > B >C < D < E < F < G < B >C > H > I > J < G > DZadanie 1.4

Ja ma tyle sistr, ilu braci, natomiast jego siostra Magosia ma dwa razy mniej sistr ni braci. Ile dzieci liczy ich rodzina?Zadanie 1.5

Udowodnij, e jeli suma dwch liczb cakowitych jest liczb nieparzyst, to ich iloczyn jest liczb parzyst.

10 Zadanie 1.61

Zadania Zestaw 1.

Piotr spdza swojego wolnego czasu na zajciach w szkole, na grze w pik, 3 4 1 1 1 na suchaniu muzyki, na ogldaniu telewizji i na rozwizywaniu zada z mate5 6 7 matyki. Czy jest to moliwe?Zadanie 1.7

1

Z omiu zapaek i jednego guziczka uoono rybk. Prze trzy zapaki i guziczek tak, aby rybka pyna w przeciwnym kierunku.

Zadanie 1.8

Zapisz za pomoc czterech dwjek, znakw dziaa i ewentualnie nawiasw liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.Zadanie 1.9

Na rysunku widzisz las (uoony z zapaek) i Kasi idc do babci. Prze tak dwie zapaki, aby Kasia wracaa od babci.

Zadanie 1.10

Trzy kury, znoszce regularnie jajka, w cigu trzech dni zniosy trzy jajka. Ile jajek zniesie w cigu 12 dni 12 takich kur?

Zadania Zestaw 2.Zadanie 2.1

Kad z dwch figur, pokazanych na rysunku, podziel jednakowo na takie cztery czci, by z otrzymanych omiu czci mona byo zoy figur o tym samym ksztacie, ale o polu dwa razy wikszym.

Zadanie 2.2

Na ciankach szeciennej kostki napisano sze rnych cyfr. Wiadomo, e sumy cyfr na przeciwlegych ciankach s jednakowe. Ustal pozostae cyfry, widzc nastpujce trzy:

4 8Zadanie 2.3

W jednym szeregu napisano dwadziecia pitek: 5 5 5 ... 5 5.

Pomidzy niektre z nich wstaw znak + tak, aby otrzymana suma bya rwna 1000.Zadanie 2.4

Zamie litery na cyfry tak, aby wszystkie rwnoci byy prawdziwe. A B = C - D = A : B = C : E = F - B

5

12 Zadanie 2.5

Zadania Zestaw 2.

W kadej cyfrze wystpujcej w poniszej faszywej rwnoci zmie pooenie jednej zapaki tak, aby otrzymana rwno bya prawdziwa.

Zadanie 2.6

Udowodnij, e jeli iloczyn trzech liczb cakowitych jest liczb nieparzyst, to ich suma take jest liczb nieparzyst.Zadanie 2.7

Wpisz w puste pola takie cyfry, by suma cyfr stojcych w dowolnych trzech kolejnych polach bya rwna 15. 6Zadanie 2.8

4

Przyleciay kawki i siady na awki. Gdyby na kadej awce siado po jednej kawce, zabrakoby jednej awki. Gdyby za na kadej awce siady dwie kawki, jedna awka byaby pusta. Ile byo kawek, a ile awek?Zadanie 2.9

Wpisz w keczka na podanym rysunku cyfry tak, aby kada nastpna (zgodnie ze strzak) powstawaa z poprzedniej w wyniku dziaania widniejcego nad strzak.4

:4

2 +:6

+1

Zadanie 2.10

Rozwi rebus: D - W - A = D : W : A = 2.

3

Zdzisaw Gowacki Ciekawostki Mdraliskiej

Odlotowa matematyka. Cz 2.aden kraj z ambicjami nie moe by krajem analfabetw matematycznych.Immanuel Kant

8Mdraliska o Platonie syszaa wielokrotnie jemu przypisywano sformuowanie w sposb cisy matematycznych problemw delijskich. Bardziej by jej znany jako filozof ucze Sokratesa i zaoyciel akademii ni jako matematyk. Akademia Platona w Atenach bya zorganizowana na wzr pitagorejski i miaa zarwno charakter naukowy, jak i religijny. Rozwijano w niej kult muz i prowadzono dziaalno naukowo-dydaktyczn w zakresie filozofii, polityki, matematyki, astronomii, nauk przyrodniczych. W V w. p.n.e. grecka matematyka zacza si bujnie rozwija, stajc si jednym z podstawowych zaj greckich elit intelektualnych. wiadczy o tym fakt, e Platon, zakadajc Akademi ok. 387 r. p.n.e., umieci na jej wejciu napis: Niech nie wchodzi tu nikt, kto nie zna geometrii. A gdyby tak przed wejciem do naszego sejmu umieci napis: Niech nie wchodzi tu nikt, kto nie zna matematyki, bylibymy potg gospodarcz rozmarzya si Mdraliska. A ja oczyma wyobrani zobaczyem byego prezydenta, tego, co ceny chcia obnia o 100 procent, wchodzcego do budynku sejmu tylnym wejciem, przy ktrym panowa niesamowity tok.W matematyce idealne foremne bryy okrela si mianem platoskich. Dla Platona bryy te miay zasadnicze znaczenie. Uznawa bowiem, e materia zbudowana jest z caostek i nie jest podzielna, a caostki te maj charakter idealny. Nie s bowiem ciaami staymi, lecz figurami geometrycznymi.

Bryy platoskie

Akademia szkoa zaoona w Atenach ok. 387 p.n.e. przez Platona, istniaa do 529 n.e., kiedy zostaa zlikwidowana przez cesarza bizantyjskiego Justyniana. Miecia si w gaju powiconym herosowi ateskiemu Akademosowi, od ktrego imienia pochodzi jej nazwa. Zajmowano si w niej przede wszystkim filozofi i matematyk, a take retoryk i naukami przyrodniczymi. Justynian I jest powszechnie znany dziki swemu dorobkowi legislacyjnemu za jego panowania powsta zbir praw okrelany Kodeksem Justyniana. W roku 529 Justynian I wyda kodeks praw zawierajcy paragraf O zoczycach, matematykach i tym podobnych osobnikach, goszcy midzy innymi, e potpienia godna sztuka matematyczna jest zakazana przede wszystkim. Tego samego roku zlikwidowano rwnie platosk Akademi.

Bryy platoskie

147

Idealn, najprostsz figur geometryczn jest trjkt, czyli paszczyzna ograniczona najmniejsz liczb linii prostych. Wedug Platona trjkt jest najprostszym elementem budulcowym, podstawow cegiek, z ktrej zbudowany jest kosmos. Z trjktw rwnobocznych zoy mona trzy bryy idealne: tetraedr (czworocian foremny), oktaedr (omiocian foremny), ikosaedr (dwudziestocian foremny). Bryy te, wedug Platona, odpowiadaj trzem elementom: ogie, powietrze, woda. Czwarty element ziemi reprezentuje heksaedr (szecian), ktrego kada ciana da si podzieli na dwa trjkty, jest wic take zbudowany z trjktw. Istnieje wreszcie pita brya foremna dodekaedr zbudowana z 12 picioktw regularnych, ktr Platon uzna za zespolenie caoci, bry czc wszystkie elementy.

Tetraedr (czworocian)

Heksaedr (szecian)

Oktaedr (omiocian)

Dodekaedr (dwunastocian)

Ikosaedr (dwudziestocian)

Atomy, z ktrych zbudowane s czsteczki chemiczne lub struktury krystaliczne, s czsto rozmieszczone w wierzchokach bry platoskich. W II poowie XIX wieku chemicy poznali skad najprostszego wglowodoru metanu (CH4). Wiedzieli, e istnieje zawsze tylko jedna pochodna o wzorze CH3X oraz tylko jedna pochodna o wzorze CH2X2. Ju w 1875 roku na podstawie tych informacji Jakub Henryk vant Hoff, przyszy pierwszy laureat Nagrody Nobla w dziedzinie chemii (otrzyma j w 1901 roku), opisa przestrzenn budow tych zwizkw. Wykona modele takich czsteczek i wysa je poczt do wielu wczesnych luminarzy chemii.

Mdraliska prbowaa znale odpowied na pytanie, dlaczego bry platoskich jest tylko pi. W trakcie rozmowy przypomniaa sobie o fullerenach piknych czsteczkach posiadajcych w naroach atomy wgla, na rysunkach wygldajcych jak piki futbolowe. A moe ktra z takich czsteczek odzwierciedla kolejn bry platosk? to byoby dopiero odkrycie. Dziewczynka ruszya w stron notebooka chciaa szybko rozwiza ten problem za pomoc Internetu.

11

Paradoksy

Kraj, w ktrym przyszo y Mdraliskiej, by krajem cudw oraz zjawisk dziwnych i paradoksalnych. Mdraliska miaa wraenie, e wikszo otaczajcych j ludzi, zwaszcza tych publicznie si pokazujcych, naley do grona osb mylcych inacz