no newtoniano

8/4/2019 No Newtoniano

http://slidepdf.com/reader/full/no-newtoniano 1/26

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

Facultad de Ingeniería Química

Problema sobre Modelos para Fluido No Newtoniano

MODELOS PARA FLUIDOS NO NEWTONIANOS

PROBLEMA

Se tiene los siguientes datos:

3.36 4.36 5.94 7.59 9.48 11.86 14.56 19.24 27.67

7.33 9.67 13.94 18.72 24.63 32.86 43.35 62.93 84.50

a) Deducir el tipo de fluido.

b) Obtener los parámetros de los diversos tipos de modelos:

Ostwald:

Ellis:

Seisko:

Ellis, Hermes, Fredrickson:

Tabla *



U

I ! "

SI# $ # $

CI%

$

L# !

L C$

LL$

%

F acu lt a & &

e I' ge '

(

er )

a 0 u )

m (

ca

1 r 2 b l ema 3

2 bre 4

2

&

e los para Fl u (

&

o No N ew toni a no

Comparando el gráfico 2 con el gráfico 1 obtenido, se observa finalmente que el fluido

no newtoniano es de tipoDilatante.

Grá ico 2






Hacemos e:

O teniéndose la si iente tabla:

1 3 4 5 6 7 8 9

3.36 4.36 5.94 7.59 9.48 11.86 14.56 19. 4 7.67

7.33 9.67 13.94 18.7 4.63 3 .86 43.35 6 .93 84.50

La f nción ob jeti a indicada edaría de la si iente f orma:

Esta f nción der i amos con respecto a los parámetros obteni endo las si ientes

ecuaciones.

i. on respecto ³m´

Tabla 1






De acuerdo a la tabla 1 :

Para i =1

Para i =

Para i =3

Para i =4

Para i =5

Para i =6

Para i =7

Para i =8

Para i =9

Reemplazando en la expresión 1 ), se obtiene la pr imera ecuación.

ii. on respecto ³n´

��

��







Para i = 1

�� Para i =

�� Para i = 3

�� Para i = 4

�� Para i = 5

�� Para i = 6

�� Para i = 7

�� Para i = 8

�� Para i = 9

��

Reemplazando en la expresión ), se obtiene la segunda ecuación.

Para hallar los alores de los parámetros hay ue resol er el sistema de dos

ecuaciones no lineales.

Para obtener los alores iníciales tomamos como fluido newtoniano:

µ



U

9

I@ A B

SIC D C 9 D

CIE

9 D

LC A

L CD

LLD

E

F acu lt a F

d e In ge ni er G

a Q u G

m i ca

P r o b l ema so bre Mod e los para Fl u ido No N ew toni a no

Para allar la viscosidad graficamos los valores dados en la tabla y realizamos un

ajuste lineal:

Se observa el valor de la pendiente:

µ

Para resolver este tipo de sistema se usara el software P YMATH el cual permite

resolver de manera rápida y sencilla.

Grá ico 3






Por lo tanto:

Entonces la expresión (3 ) ueda dada por :

Para hallar los parámetros de l modelo de Ellis utilizando los datos de la tabla 3, se

utiliza la siguiente expresión:

Reemplazando la ecuación (4) en S:

Para hallar los parámetros 0, 1, , se tiene ue f ormar un sistema de ecuaciones,

según las siguientes condiciones:

i) Der i ando S con respecto a 0 se obtiene la siguiente expresión:

De acuerdo a la tabla 3:

Para i =1

Para i =2






3) Seisko:

Donde:

: Viscosidad Aparente.

�: Parámetros de Seisko.

Para un fluido newtoniano se cumple:

Despe jando:

La iscosidad aparente ( ) se halla para cada punto de los alores dados en la tabla*

del problema, utilizando la ecuación anter ior . De acuerdo a lo expuesto se obtiene:

3.36 4.36 5.94 7.59 9.48 11.86 14.56 19.24 27.67

7.33 9.67 13.94 18.72 24.63 32.86 43.35 62.93 84.50

0.4584 0.4509 0.4261 0.4054 0.3849 0.3609 0.3359 0.3057 0.3273

De la ecuación de Seisko, se tiene:

Tabla 5






Donde:

��

Entonces, la ecuación ueda definida de la siguiente manera:

�

Obteniéndose la siguiente tabla:

1 -7.33 0.4584

2 -9.67 0.4509

3 -13.94 0.4261

4 -18.72 0.4054

5 -24.63 0.3849

6 -32.86 0.3609

7 -43.35 0.3359

8 -62.93 0.3057

9 -84.54 0.3273

tilizando:

Donde:

: Valor observado.

: Valor estimado por el modelo.

Tabla 6






Reemplazando:

Donde:

i. Der ivando S con respecto a µ� se obtiene la siguiente expresión:


Para i =1

Para i =2

Para i =3

Para i =4

Para i =5

Para i =6

Para i =7

Para i =8

Para i =9






Reemplazando en la expresión (8 ), se obtiene la pr imera ecuación.

ii. Der ivando S con respecto a m se tiene la expresión siguiente:


Para i =1

Para i =2

Para i =3

Para i =4

Para i =5

Para i =6

Para i =7

Para i =8

Para i =9

Reemplazando en la expresión (9 ), se obtiene la segunda ecuación.

iii. Der ivando S con respecto a n se tiene la expresión siguiente:






Se obtiene los siguientes datos:

Variable Valor f x) Valor inicial

1 = x1 0.3839444 -9.021E-17 0,2

2 = x2 2.479E-10 -9.021E-17 0,5

3 = x3 1,00001 -8.921E-11 1

Sistema de Ecuaciones:

1

f x1) = ((0.4584 - x1 - x2 * (-7.33) ^ (x3 - 1)) * ((-7.33) ^ (x3 - 1))) + ((0.4509 - x1 - x2

* (-9.67) ^ (x3 - 1)) * ((-9.67) ^ (x3 - 1))) + ((0.4261 - x1 - x2 * (-13.94) ^ (x3 - 1)) * ((-

13.94) ^ (x3 - 1))) + ((0.4054 - x1 - x2 * (-18.72) ^ (x3 - 1)) * ((-18.72) ^ (x3 - 1))) +

((0.3849 - x1 - x2 * (-24.63) ^ (x3 - 1)) * ((-24.63) ^ (x3 - 1))) + ((0.3609 - x1 - x2 * (-

32.86) ^ (x3 - 1)) * ((-32.86) ^ (x3 - 1))) + ((0.3359 - x1 - x2 * (-43.35) ^ (x3 - 1)) * ((-

43.35) ^ (x3 - 1))) + ((0.3057 - x1 - x2 * (-62.93) ^ (x3 - 1)) * ((-62.93) ^ (x3 - 1))) +

((0.3273 - x1 - x2 * (-84.54) ^ (x3 - 1)) * ((84.54) ^ (x3 - 1))) = 0

2

f x2) = (0.4584 - x1 - x2 * (-7.33) ^ (x3 - 1)) + (0.4509 - x1 - x2 * (-9.67) ^ (x3 - 1)) +

(0.4261 - x1 - x2 * (-13.94) ^ (x3 - 1)) + (0.4054 - x1 - x2 * (-18.72) ^ (x3 - 1)) +

(0.3849 - x1 - x2 * (-24.63) ^ (x3 - 1)) + (0.3609 - x1 - x2 * (-32.86) ^ (x3 - 1)) +

(0.3359 - x1 - x2 * (-43.35) ^ (x3 - 1)) + (0.3057 - x1 - x2 * (-62.93) ^ (x3 - 1)) +

(0.3273 - x1 - x2 * (-84.54) ^ (x3 - 1)) = 0

3

f x3) = ((0.4584 - x1 - x2 * (-7.33) ^ (x3 - 1)) * (x2 * ln(7.33) * (-7.33) ^ (x3 - 1))) +

((0.4509 - x1 - x2 * (-9.67) ^ (x3 - 1)) * (x2 * ln(9.67) * (-9.67) ^ (x3 - 1))) + ((0.4261 -

x1 - x2 * (-13.94) ^ (x3 - 1)) * (x2 * ln(13.94) * (-13.94) ^ (x3 - 1))) + ((0.4054 - x1 - x2

* (-18.72) ^ (x3 - 1)) * (x2 * ln(18.72) * (-18.72) ^ (x3 - 1))) + ((0.3849 - x1 - x2 * (-

24.63) ^ (x3 - 1)) * (x2 * ln(24.63) * ( -24.63) ^ (x3 - 1))) + ((0.3609 - x1 - x2 * (-32.86) ^ (x3 - 1)) * (x2 * ln(32.86) * ( -32.86) ^ (x3 - 1))) + ((0.3359 - x1 - x2 * (-43.35) ^ (x3 -

1)) * (x2 * ln(43.35) * (-43.35) ^ (x3 - 1))) + ((0.3057 - x1 - x2 * (-62.93) ^ (x3 - 1)) *

(x2 * ln(62.93) * (-62.93) ^ (x3 - 1))) + ((0.3273 - x1 - x2 * (-84.54) ^ (x3 - 1)) * (x2 *

ln(84.54) * (-84.54) ^ (x3 - 1))) = 0

Tabla 7






Finalmente se obtiene los parámetros de seisko:

4) Ellis, Hermes, Fredrickson:

Realizando los siguientes cambios de var iable:

Obteniéndose la siguiente ecuación:

Además, sabemos ue:

Despe jando:

La viscosidad aparente ( ) se halla para cada punto de los valores dados en la tabla*

del problema, utilizando la ecuación (*).






De acuerdo a lo expuesto se obtiene:

3.36 4.36 5.94 7.59 9.48 11.86 14.56 19.24 27.67

7.33 9.67 13.94 18.72 24.63 32.86 43.35 62.93 84.50

0.4584 0.4509 0.4261 0.4054 0.3849 0.3609 0.3359 0.3057 0.3273

eniendo en cuenta se requiere hallar los valores de para cada punto

dado. Obteniéndose la siguiente tabla:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.4584 0.4509 0.4261 0.4054 0.3849 0.3609 0.3359 0.3057 0.3273

0.1364 0.1034 0.0717 0.0534 0.0406 0.0304 0.0230 0.0159 0.0118

Para hallar los parámetros de l modelo utilizando los datos de la tabla 9, se utiliza la

siguiente expresión:

Donde:

: Valor observado.

: Valor estimado por el modelo.

Reemplazando la ecuación (11) en S:

Tabla 8

Tabla 9






Para hallar los parámetros , se tiene que f ormar un sistema de ecuaciones, según las

siguientes condiciones:

i. Der ivando con respecto a :


Para i = 1

Para i = 2

Para i = 3

Para i = 4

Para i = 5

Para i = 6

Para i = 7

Para i = 8

Para i = 9

Reemplazando en la expresión ( 12), se obtiene la pr imera ecuación .





Obteniéndose los siguientes datos:

Variable Valor f x) Valor inicial

1 = x 4727.52 7.725E-08 2

2 = z 9684.397 4.756E-09 2

Sistema de Ecuaciones:

1

f z) =2*(-0.4584-(x-z*0.13642)^(-1))*(x-z*0.13642)^(-2)+2*(-0.45088-(x-z*0.10341)^(-

1))*(x-z*0.10341)^(-2)+2*(-0.4261-(x-z*0.07174)^(-1))*(x-z*0.07174)^(-2)+2*(-

0.40545-(x-z*0.05342)^(-1))*(x-z*0.05342)^(-2)+2*(-0.3849-(x-z*0.0406)^(-1))*(x-

z*0.0406)^(-2)+2*(-0.3609-(x-z*0.03043)^(-1))*(x-z*0.03043)^(-2)+2*(-0.3359-(x-

z*0.02307)^(-1))*(x-z*0.02307)^(-2)+2*(-0.306-(x-z*0.0159)^(-1))*(x-z*0.0159)^(-

2)+2*(-0.2801-(x-z*0.01183)^(-1))*(x-z*0.01183)^(-2) = 0

2

f x) = 2*(-0.13642)*(-0.4584-(x-z*0.13642)^(-1))*(x-z*0.13642)^(-2)+2*(-0.10341)*(-

0.45088-(x-z*0.10341)^(-1))*(x-z*0.10341)^(-2)+2*(-0.07174)*(-0.4261-(x-

z*0.07174)^(-1))*(x-z*0.07174)^(-2)+2*(-0.05342)*(-0.40545-(x-z*0.05342)^(-1))*(x-

z*0.05342)^(-2)+2*(-0.0406)*(-0.3849-(x-z*0.0406)^(-1))*(x-z*0.0406)^(-2)+2*(-

0.03043)*(-0.3609-(x-z*0.03043)^(-1))*(x-z*0.03043)^(-2)+2*(-0.02307)*(-0.3359-(x-z*0.02307)^(-1))*(x-z*0.02307)^(-2)+2*(-0.0159)*(-0.306-(x-z*0.0159)^(-1))*(x-

z*0.0159)^(-2)+2*(-0.01183)*(-0.2801-(x-z*0.01183)^(-1))*(x-z*0.01183)^(-2) = 0

Se tiene de la tabla :

Finalmente se obtiene los parámetro s:

Tabla 10

no newtoniano

Documents