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FUNDAMENTOS DE MATEMTICAS

ESPOLPara Bachillerato

LGICA-NMEROS-FUNCIONES-TRIGONOMETRA-MATRICES-GEOMETRA PLANAGEOMETRA DEL ESPACIO-VECTORES-GEOMETRA ANALTICA-ESTADSTICA Y PROBABILIDADES

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Para Bachillerato

ISBN 9978-310-31-2ISBN 978-9978-310-31-1

9 789978 310311

Instituto de Ciencias Matemticas

Presin051015202530354045

50 59 68 77 86 95 104 113

El Instituto de Ciencias Matemticas, ICM, de la Escuela Superior Politcnica del Litoral, responsable de la enseanza de una de las ciencias bsicas del conocimiento humano, tiene como parte de su Misin: Definir lineamientos y elevar el nivel de la Educacin Matemtica en el pas; consecuente con este principio, ha credo conveniente disear y desarrollar el presente texto, como un apoyo dirigido a los estudiantes del Bachillerato. Este libro revisa temas bsicos de nivel secundario y, por su amplitud y profundidad, constituye una gua necesaria dentro de su proceso de aprendizaje.

El presente texto ha sido estructurado de tal manera que sea de fcil lectura y comprensin, asequible para estudiantes de colegios que requieran fortalecer su formacin matemtica, preparndose as para enfrentar los retos que la vida universitaria les depare.

Los profesores podrn encontrar una ayuda didctica en la organizacin y el contenido de sus clases, de tal manera que se logre homogeneidad en la simbologa y lenguaje matemticos utilizados. Adems, el colorido de sus pginas facilita la visualizacin de los captulos y temas tratados.

Los ejercicios resueltos tienen como objetivo que el estudiante profundice sus conocimientos conforme los va adquiriendo y han sido desarrollados de manera tal que progresivamente se los aplique, empezando por lo ms elemental, hasta llegar a lo ms complejo. Adicionalmente, la orientacin del texto fomenta la investigacin de los temas tratados, avanzando as en el conocimiento hacia su consolidacin.

La cristalizacin de esta obra se debe a la calidad acadmica de un equipo de profesores del ICM, integrado por los ingenieros Miriam Ramos, Guillermo Baquerizo y Soraya Sols, quienes con tesn, esfuerzo y largas horas de trabajo plasmaron este texto.

En esta era de continuo cambio tecnolgico, las Matemticas son ms importantes que nunca. Cuando los estudiantes terminen sus estudios de Bachillerato, el uso de las Matemticas en la etapa universitaria y luego en su trabajo y en la vida diaria les permitir operar equipos de computacin, planificar horarios y programas, leer e interpretar datos, comparar precios, administrar finanzas personales y ejecutar otros trabajos de resolucin de problemas sobre cualquier tema. Todo lo que se aprenda en Matemticas y la manera en que se adquiera ese conocimiento, le proporcionar a los estudiantes de nuestro pas una satisfaccin personal y una excelente preparacin para afrontar un futuro exigente y en constante cambio.

Prlogo

A las autoridades de la ESPOL.

A los directivos del ICM.

Al aporte significativo de las seoritas estudiantes Janett Loja y Evelyn Pea, como responsables del proceso de digitalizacin de la informacin.

Agradecimientos

A los estudiantes de Bachillerato que requieren profundizar sus conocimientos matemticos y forjar las bases necesarias para acceder con paso firme al nivel superior de estudios.

Dedicatoria

Introduccin

Para que se pueda tener una idea global de esta obra, a continuacin se presenta un enfoque panormico de sus componentes.

El material del libro incluye:

Tabla de Contenido: Representa el detalle del ndice temtico de esta obra, para que el lector pueda ubicar de manera rpida los tpicos de su inters.

Once Captulos: Los cuales han sido seleccionados en base a las exigencias actuales del conocimiento que debe adquirir un estudiante del bachillerato. Cada captulo se puede diferenciar del resto, ya que se han utilizado colores distintos.

Glosario de Trminos: Contiene el significado de expresiones que se utilizan en este texto, con el propsito de no dejar dudas o imprecisiones.

Los once captulos a los cuales se hace referencia, son:

Lgica y Conjuntos: Con el uso de la Lgica Matemtica como lenguaje, se establecen criterios de verdad, se emplean mtodos de anlisis y razonamiento; y, se usan implicaciones y equivalencias lgicas para conocer cmo se realiza una demostracin. Considerando que los conjuntos constituyen uno de los conceptos bsicos de las matemticas, se puede obtener una descripcin detallada de los fundamentos de la Teora de Conjuntos. Ambos conceptos se enlazan de manera lgica para plantear el tema de funciones sobre conjuntos finitos, tema de trascendental importancia en el conocimiento matemtico.

Nmeros Reales: En la parte aritmtica se desea que el estudiante recuerde las operaciones fundamentales sobre los nmeros; un tema relevante lo constituyen la manipulacin de fracciones y los radicales. Cuando se utiliza el lgebra se espera que el estudiante adquiera destrezas mnimas como objeto de estudio de cantidades que pueden considerarse en la forma ms general posible. El planteo y resolucin de problemas es fundamental en la formacin profesional del futuro ingeniero.

Funciones de una Variable Real: El concepto de funcin se refiere a toda correspondencia matemtica que cumpla con las condiciones de existencia y unicidad. Se tratan los diferentes tipos y caractersticas que las funciones poseen, haciendo especial nfasis en su graficacin como requisito indispensable para los cursos de clculo. Las aplicaciones de este tema merecen especial atencin, pues se reconocer la utilidad particular de las funciones lineales, cuadrticas, exponenciales y logartmicas, en diversas situaciones que ocurren a nuestro alrededor.

Trigonometra: Las razones trigonomtricas son la base fundamental de numerosas aplicaciones matemticas y fsicas, por ello, en este captulo se conocer el significado de cada una, comprobando sus propiedades y relaciones en las denominadas identidades trigonomtricas. Nuevamente, el enfoque grfico es prioritario para el estudio de las funciones trigonomtricas y sus correspondientes inversas.

Matrices y Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones: Para el modelamiento de mltiples ecuaciones se introduce el concepto de matriz con sus diferentes clasificaciones. La aplicacin del determinante nos permitir distinguir entre matrices singulares y regulares, as como resolver sistemas de ecuaciones lineales. Mientras que para resolver sistemas de ecuaciones no lineales y de inecuaciones se utilizar el anlisis grfico propuesto en el captulo de Funciones de una Variable Real.

Nmeros Complejos: Se ha considerado este captulo por la limitacin de los nmeros reales para resolver races de ndice par de nmeros negativos, ampliando los conceptos ya tratados en el captulo de Nmeros Reales. Tambin se muestra la relacin que tienen estos nmeros con las funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas.

Geometra Plana: El estudio de la geometra en el plano es de fundamental importancia, ya que a partir de subconjuntos no vacos se pueden establecer sus relaciones y propiedades, as como calcular permetros y reas de superficies que utilizamos en nuestra vida diaria.

Geometra del Espacio: La profundizacin en esta parte de la geometra proveer las referencias necesarias para construir cuerpos en tres dimensiones, identificando sus elementos principales y estableciendo las expresiones necesarias para el clculo de reas de superficies laterales, superficies totales y volmenes.

Vectores: Se realiza un anlisis vectorial en el plano y en el espacio, con las diferentes operaciones permitidas entre ellos o con valores escalares. Se introducen los conceptos de combinacin lineal y espacio vectorial, fundamentos de un curso de lgebra Lineal, as como la aplicacin geomtrica del producto punto y producto cruz.

Geometra Analtica: En este captulo se estudiarn definiciones y propiedades de figuras en el plano, partiendo del planteamiento de igualdades condicionadas que llevarn a identificar lugares geomtricos de rectas y cnicas, estudiando sus grficas, elementos; y, caractersticas principales.

Estadstica y Probabilidades: Aunque este tema puede resultar bastante extenso, solamente nos enfocaremos en la estadstica descriptiva y daremos una breve introduccin a la teora de Probabilidades. Se podr organizar un conjunto de datos en forma tabular y realizar su representacin grfica, encontrar las medidas de tendencia central y de dispersin; y, se utilizarn los conceptos del captulo referente a Conjuntos para encontrar los elementos que corresponden a eventos de espacios muestrales y la probabilidad de su ocurrencia.

Cada captulo presenta el siguiente esquema:

Introduccin al tema: En donde el lector obtiene una referencia apropiada de cada captulo mediante antecedentes histricos y biogrficos, as como de su importancia y trascendencia en las matemticas.

Normalmente esta introduccin tiene la foto de un personaje que distingue de manera adecuada el tema que se comenzar a analizar. La foto incluye el nombre del personaje, pas de origen y perodo de vida.

Induccin a la seccin: En bsqueda de la coherencia con el propsito del nuevo material de lectura, se prepara al lector con nexos para las diferentes secciones.

Secciones: Cada captulo ha sido dividido en temas, de acuerdo a los conceptos que se pretende analizar. Estas agrupaciones, denominadas secciones, muestran de manera detallada cada tpico con la profundidad y aplicacin que el caso amerita. Tambin se puede contrastar con lo que se supone el lector ya conoce sobre el tema. Cada seccin se encuentra numerada segn corresponda al captulo que se est analizando.

Objetivos: Al iniciar cada seccin, el profesor puede plantear de manera especfica en conjunto con sus estudiantes lo que se pretende lograr al finalizar la lectura de cada una de ellas. El cumplimiento de tales objetivos confirmar la comprensin de los diferentes conceptos.

Teoremas: Proporcionan el material necesario para complementar la importancia del marco terico de definiciones y demostraciones.

Ejemplos resueltos: Representan aplicaciones concretas y directas a partir del anlisis de cada tema. La complejidad de los mismos guarda un orden creciente en una misma seccin. Algunos de los ejemplos seleccionados tienen relacin con otras ramas de las ciencias y con la vida real.

Definiciones: Estas declaraciones representan las propiedades y los significados ms relevantes que el lector no debe olvidar.

Ejercicios propuestos: Al finalizar cada captulo se plantean ejercicios organizados por seccin, los mismos que tienen diversos grados de dificultad y se presentan en forma de preguntas de tipo Verdadero/Falso, Opcin Mltiple y de Desarrollo. La finalidad de estos ejercicios es promover el trabajo independiente y la autocrtica por parte del estudiante. En la parte final del texto se muestran las respuestas a los ejercicios propuestos, exceptuando aquellos que requieren demostraciones o construccin de tablas y grficas.

CAPTULO 1

LGICA Y CONJUNTOSIntroduccin....................................................................... 7

1.1 PROPOSICIONES...................................................................Proposicin..................................................................Valor de verdad...................................................................Tabla de verdad...................................................................

89

1010

1.2 OPERADORES LGICOS........................................................Negacin............................................................................ Conjuncin.......................................................................Disyuncin....................................................................Disyuncin exclusiva............................................................Condicional.....................................................................Recproca, inversa, contrarrecproca....................................... Condiciones necesarias y sucientes......................................Bicondicional.....................................................................

111213141415161719

1.3 PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS..........................Proposiciones simples y compuestas......................................

2020

1.4 FORMAS PROPOSICIONALES................................................Variables proposicionales......................................................Formas proposicionales........................................................ Tautologa, contradiccin, contingencia....................................Implicacin lgica................................................................Equivalencia lgica..............................................................

222222232425

Tabla de Contenido

1.5 PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LGICOS.......................Leyes de los operadores fundamentales Conjuncin y Disyuncin........Leyes de los operadores Negacin, Condicional y Bicondicional.....Leyes de las Implicaciones Lgicas...........................................

25262627

1.6 RAZONAMIENTOS.................................................................Razonamientos....................................................................Validez de un razonamiento.......................................................

292930

1.7 DEMOSTRACIONES...............................................................1.7.1 Demostraciones directas...................................................1.7.2 Demostraciones por contraposicin....................................1.7.3 Demostraciones por contraejemplo....................................1.7.4 Demostraciones por reduccin al absurdo...........................

3333343536

1.8 CONJUNTOS..........................................................................Conjunto...........................................................................Cardinalidad......................................................................1.8.1 Conjuntos relevantes.................................................

39394040

1.9 CUANTIFICADORES..............................................................Cuanticador Universal........................................................Cuanticador Existencial......................................................Subconjunto.......................................................................Conjunto Potencia................................................................1.9.1 Relaciones entre conjuntos...........................................

Igualdad entre conjuntos.............................................Conjuntos disjuntos e intersecantes..............................

4142424243444444

1.10 OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS.....................................Unin entre conjuntos..........................................................Interseccin entre conjutos...................................................Diferencia entre conjuntos....................................................Diferencia simtrica entre conjuntos......................................Complementacin de conjuntos.............................................

444545454646

1.11 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSLeyes de las operaciones fundamentales Unin e InterseccinOtras leyes........................................................................

474748

1.12 PREDICADOS......................................................................Predicados de una variable...................................................Conjunto de verdad de un predicado.......................................Leyes de los conjuntos de verdad de predicados.......................Valor de verdad de proposiciones con cuanticadores...............1.12.1 Leyes de los Cuanticadores........................................

535354555657

1.13 PARES ORDENADOS Y PRODUCTO CARTESIANO............Par Ordenado.......................................................................Producto Cartesiano..............................................................Plano Cartesiano...................................................................Cardinalidad del producto cartesiano.......................................Propiedades del producto cartesiano.......................................

585959596061

1.14 RELACIONES.......................................................................Relacin..............................................................................Dominio de una Relacin......................................................Rango de una Relacin.........................................................Representacin sagital de una relacin...................................

6162656566

1.15 FUNCIONES.......................................................................Funcin...........................................................................Variable independiente.......................................................Variable dependiente.........................................................1.15.1 Tipos de funciones...................................................

Funcin Inyectiva......................................................Funcin Sobreyectiva.................................................Funcin Biyectiva......................................................Funcin Inversible.....................................................Funcin Inversa........................................................Funcin Compuesta...................................................

6768686870707172727373

CAPTULO 2

NMEROS REALESIntroduccin.......................................................................... 111

2.1 REPRESENTACIN DECIMAL.................................................Representacin decimal de nmeros racionales...................Representacin decimal de nmeros irracionales.................

113114115

EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................... 79

2.5 CONCEPTOS ASOCIADOS AL CONJUNTO DE LOS NMEROS ENTEROS.............................................................................

Divisores y Mltiplos de un nmero entero.............................Nmero Primo....................................................................Nmero Compuesto............................................................Teorema fundamental de la Aritmtica..................................Mximo Comn Divisor........................................................Mnimo Comn Mltiplo.......................................................Nmeros Pares e Impares...................................................

123123124124125125126127

2.6 EXPRESIONES ALGEBRAICAS...............................................Expresin algebraica...........................................................2.6.1 Propiedades de las fracciones.......................................2.6.2 Propiedades de los exponentes....................................2.6.3 Productos notables..................................................... 2.6.4 Factorizacin............................................................. 2.6.5 Racionalizacin..........................................................

129129130133137139144

2.7 VALOR ABSOLUTO................................................................Tipos de intervalo.............................................................. Intervalo cerrado...............................................................Intervalo abierto................................................................Intervalo semiabierto/semicerrado.......................................Intervalo con extremos innitos..........................................Valor absoluto....................................................................Propiedades del valor absoluto............................................

146147147147147147148149

2.4 RELACIN DE ORDEN............................................................2.4.1 Relacin de orden de nmeros enteros..........................

Orden en ................................................................2.4.2 Relacin de orden de nmeros reales............................

Tricotoma de los Nmeros Reales................................

121121121122122

2.3 OPERACIONES ENTRE NMEROS REALES............................Adicin............................................................................Multiplicacin....................................................................

119120120

2.2 OPERACIONES BINARIAS....................................................Operacin binaria...............................................................2.2.1 Propiedades de las operaciones binarias .......................

117117117

2.8 ECUACIONES........................................................................Identidad........................................................................Ecuacin..........................................................................Propiedades de las igualdades.............................................2.8.1 Ecuaciones lineales....................................................2.8.2 Ecuaciones cuadrticas..............................................Frmula general................................................................. Suma Algebraica de las Races de la Ecuacin Cuadrtica. Producto Algebraico de las Races de la Ecuacin Cuadrtica.2.8.3 Ecuaciones con valor absoluto.....................................2.8.4 Ecuaciones con radicales............................................2.8.5 Planteo de ecuaciones...............................................

154154155155156159161166166167168170

2.9 INECUACIONES....................................................................Desigualdad.....................................................................Inecuacin.....................................................................2.9.1 Inecuaciones lineales.................................................2.9.2 Inecuaciones cuadrticas............................................

Propiedades de las desigualdades.................................2.9.3 Inecuaciones con valor absoluto..................................2.9.4 Planteo de inecuaciones..............................................

178178178179181182183187

2.10 INDUCCIN MATEMTICA..................................................2.10.1 Axiomas de Peano....................................................2.10.2 Teorema de induccin...............................................

Teorema de Induccin..............................................

190190191191

2.11 TCNICAS DE CONTEO........................................................Factorial............................................................................Combinatoria.....................................................................Propiedades de las Combinatorias........................................2.11.1 Principio de la suma................................................2.11.2 Principio de la multiplicacin.....................................2.11.3 Permutaciones y combinaciones................................

Permutaciones........................................................Combinaciones........................................................

196196197198199200202203204

2.12 TEOREMA DEL BINOMIO.....................................................Teorema del Binomio........................................................

206207

2.13 SUCESIONES.....................................................................Sucesin......................................................................... Progresiones Aritmticas.....................................................Progresiones Geomtricas...................................................

210211212218


3.3 TIPOS DE FUNCIONES ...........................................................3.3.1 Funciones Inyectivas..................................................

Funcin Inyectiva.......................................................Criterio de la recta horizontal......................................

3.3.2 Funciones Sobreyectivas............................................Funcin Sobreyectiva.................................................

3.3.3 Funciones Crecientes.................................................Funcin Creciente......................................................Funcin Estrictamente Creciente..................................

3.3.4 Funciones Decrecientes..............................................Funcin Decreciente...................................................Funcin Estrictamente Decreciente..............................

Funcin Montona..............................................................3.3.5 Funciones Pares o Impares..........................................

Funcin Par...............................................................Funcin Impar...........................................................

3.3.6 Funciones Peridicas..................................................Funcin Peridica.......................................................

3.3.7 Funciones Acotadas...................................................Funcin Acotada........................................................

259260260260261261261262263264264265266266266267267267269269

CAPTULO 3

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REALIntroduccin......................................................................... 251

3.1 FUNCIONES DE VARIABLE REAL............................................Funcin de una variable real...............................................Dominio de una funcin de variable real..............................Rango de una funcin de variable real.................................

251252253254

3.2 REPRESENTACIN GRFICA DE FUNCIONES.............................Grca de una funcin de variable real...................................Criterio de la recta vertical....................................................

256257257

3.4 ASNTOTAS DE LA GRFICA DE UNA FUNCIN DE VARIABLE REAL...............................................................................Asntota Horizontal............................................................ Asntota Vertical................................................................

271272272

3.5 FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS...............................Aplicaciones de funciones denidas por tramos.....................

273275

3.6 TCNICAS DE GRAFICACIN DE FUNCIONES.....................Desplazamientos...............................................................Reexiones......................................................................Compresiones o alargamientos............................................Valores absolutos..............................................................

275276278280282

3.7 FUNCIONES LINEALES.......................................................Funciones Lineales.............................................................Rango de una Funcin Lineal...............................................Aplicacin de funciones lineales...........................................

284285286287

3.8 FUNCIONES CUADRTICAS................................................Funciones Cuadrticas........................................................3.8.1 Forma cannica de la funcin cuadrtica.......................3.8.2 Rango de la funcin cuadrtica...................................3.8.3 Forma Factorizada de la Funcin Cuadrtica..................3.8.4 Grca de la Funcin Cuadrtica..................................Aplicacin de funciones cuadrticas.....................................

289289290290291292295

3.9 OPERACIONES CON FUNCIONES DE VARIABLE REAL.............Operaciones con Funciones................................................Propiedades de las operaciones sobre los tipos de funciones.......Composicin de Funciones de Variable Real...........................

296296297302

3.10 FUNCIONES ESPECIALES....................................................Funcin Valor Absoluto.......................................................Funcin Signo...................................................................Funcin Escaln................................................................Funcin Mximo Entero o Entero Mayor................................

304305305306306

3.11 FUNCIN INVERSA DE UNA FUNCIN BIYECTIVA................Funcin Biyectiva...............................................................

311312

3.12 FUNCIONES POLINOMIALES..............................................Funcin Polinomial............................................................3.12.1 Grcas de Funciones Polinomiales............................

Funcin Potencia...........................................................Cero de Multiplicidad m.................................................Teorema del Valor intermedio..........................................

3.12.2 Operaciones con funciones polinomiales.....................Funcin racional............................................................Divisin Sinttica..........................................................Teorema del residuo......................................................Teorema del factor........................................................Forma anidada de una funcin polinomial.......................

3.12.3 Races de una ecuacin polinmica............................Teorema del nmero de ceros........................................Regla de los signos de Descartes....................................Teorema de los ceros racionales.....................................

314315315315317319320322322324326327328328328329

CAPTULO 4

TRIGONOMETRAIntroduccin.............................................................................. 397

4.1 NGULOS Y SUS MEDIDAS.....................................................Semirrecta.......................................................................ngulo.............................................................................4.1.1 Unidades angulares....................................................

Ubicacin de los ngulos respecto a su medida.............4.1.2 Clases de ngulos........................................................

Coterminales.......................................................Consecutivos.............................................................Adyacentes...............................................................Complementarios.......................................................Suplementarios.........................................................Opuestos por el vrtice................................................

4.1.3 Relacin entre grados sexagesimales y radianes..............

398398398400401402402402402403403403403

4.2 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS ELEMENTALES.....................Funciones trigonomtricas...................................................Valores de las funciones trigonomtricas de ngulos notables........

406407411

4.3 GRFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS......................Funcin Seno....................................................................Funcin Coseno.................................................................Funcin Tangente..............................................................Funcin Cotangente...........................................................Funcin Secante................................................................Funcin Cosecante.............................................................

412413414422423429429

4.4 FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS...........................Funcin seno inverso...........................................................Funcin coseno inverso........................................................

430430431

3.13 FUNCIONES EXPONENCIALES..............................................Funcin Exponencial...........................................................3.13.1 Funcin Exponencial Natural......................................

Aplicacin de la funcin exponencial............................

332333338340

3.14 FUNCIONES LOGARTMICAS...............................................Funcin Logartmica...........................................................3.14.1 Funcin Logaritmo Natural........................................3.14.2 Funcin Logaritmo Comn........................................3.14.3 Propiedades de los logaritmos..................................3.14.4 Ecuaciones e inecuaciones exponenciales...................3.14.5 Ecuaciones e inecuaciones logartmicas......................

342343347347352354359


4.5 IDENTIDADES TRIGONOMTRICAS.......................................Identidades Cocientes........................................................Identidades Recprocas.......................................................Identidades Pitagricas.......................................................Identidades Pares o Impares...............................................Identidades de suma y diferencia de medidas de ngulos......Identidades de ngulo doble................................................Identidades de ngulo mitad...............................................Identidades de suma a producto...........................................Identidades de producto a suma..........................................

436436436437437440446447451452

CAPTULO 5

MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES E INECUACIONES.Introduccin....................................................................... 475

4.6 ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMTRICAS...............Ecuaciones trigonomtricas.................................................Inecuaciones trigonomtricas..............................................

455456463

5.1 MATRICES..........................................................................Matriz ...............................................................................Igualdad entre matrices......................................................5.1.1 Clases de matrices......................................................

Matriz la..................................................................Matriz columna..........................................................Matriz rectangular......................................................Matriz cuadrada.........................................................Matriz triangular superior............................................Matriz triangular inferior..............................................Matriz nula................................................................Matriz diagonal..........................................................Matriz escalar.............................................................Matriz identidad.........................................................

5.1.2 Operaciones con matrices.............................................Suma entre matrices................................................... Propiedades...........................................................Multiplicacin de una matriz por un escalar..................... Propiedades...........................................................Multiplicacin entre matrices....................................... Propiedades...........................................................Transposicin de una matriz.........................................Matriz simtrica.........................................................

476476478478478478479479479480480480480480481481481482483485486488488

Funcin tangente inversa....................................................Funcin cotangente inversa.................................................Funcin secante inversa......................................................Funcin cosecante inversa..................................................

431431432432


5.4 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES EN EL PLANO (S.E.N.L.)..........................................................................

Sistemas de ecuaciones no lineales.....................................524524

CAPTULO 6

NMEROS COMPLEJOSIntroduccin.............................................................................. 555

6.1 NMEROS COMPLEJOS...........................................................Nmeros complejos............................................................

556557

5.5 SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES EN EL PLANO (S.I.L.)Conjunto factible...............................................................Programacin lineal............................................................

528529532

5.6 SISTEMAS DE INECUACIONES NO LINEALES (S.I.N.L.)............Sistemas de inecuaciones no lineales..................................

535535

6.2 OPERACIONES......................................................................Suma entre nmeros complejos.......................................... Propiedades......................................................................Multiplicacin de un nmero complejo por un valor real............... Propiedades......................................................................Multiplicacin entre nmeros complejos................................

560561561561561562

5.2 DETERMINANTES..................................................................Teorema 5.1......................................................................Teorema 5.2......................................................................Propiedades de los determinantes......................................

495496496499

5.3 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES....................................Sistemas de ecuaciones lineales...........................................Representacin matricial de un sistema de ecuaciones lineales.........Representacin de un sistema de ecuaciones lineales en forma de matriz aumentada...................................................................S. E. L. homogneos............................................................Solucin de un S. E. L..........................................................Mtodos de Gauss y de Gauss Jordan...................................S. E. L. consistentes e inconsistentes........................................Regla de Cramer.................................................................Teorema resumen..............................................................

506507507

508508508510510519523

Matriz antisimtrica....................................................Propiedades de la transposicin de matrices.............

Inversa de una matriz.................................................Propiedades de la inversa de una matriz....................

488489491492

Propiedades......................................................................Divisin entre nmeros complejos........................................

562563


6.4 NOTACIN DE EULER.............................................................Multiplicacin entre nmeros complejos...............................Divisin entre nmeros complejos.......................................Potenciacin de nmeros complejos.....................................Radicacin de nmeros complejos.......................................

566568568568573

6.3 REPRESENTACIN GEOMTRICA............................................Mdulo y argumento de un nmero complejo.........................

565566

6.5 APLICACIONES.....................................................................Funciones hiperblicas........................................................Funciones polinomiales.......................................................Teorema fundamental del lgebra........................................Otras aplicaciones..............................................................

EJERCICIOS PROPUESTOS..........................................................

577577579579580

583

CAPTULO 7

GEOMETRA PLANAIntroduccin.............................................................................. 589

7.1 FIGURAS GEOMTRICAS........................................................Punto.............................................................................Recta..............................................................................Plano...............................................................................Puntos colineales...............................................................Puntos coplanares..............................................................Semirrecta o rayo...............................................................Segmento de recta.............................................................Semiplano......................................................................Convexidad......................................................................Figuras autocongruentes.....................................................Figuras no autocongruentes.................................................

590590590591591591591591591591592593

7.2 RECTAS EN EL PLANO............................................................Perpendicularidad.......................................................... Propiedades de la perpendicularidad entre rectas................Paralelismo...................................................................... Propiedades del paralelismo entre rectas.............................Propiedades de la perpendicularidad, paralelismo e interseccin entre rectas.................................................................................Rectas oblicuas..................................................................

593594594595595

596596

7.3 NGULOS..............................................................................ngulos opuestos por el vrtice............................................ngulos externos...............................................................ngulos internos................................................................ngulos correspondientes...................................................ngulos alternos externos...................................................

596596597597597597

7.4 POLIGONALES Y POLGONOS.................................................Poligonal......................................................................Polgono Simple..................................................................Diagonal..........................................................................Nombres de polgonos de acuerdo a su nmero de lados...............Propiedades de los polgonos................................................Polgono regular.................................................................

599599600600601601602

7.5 TRINGULOS........................................................................Tringulos........................................................................Clasicacin de tringulos por la longitud de sus lados..................Clasicacin de tringulos por la medida de sus ngulos.............. Propiedades de los tringulos..............................................Rectas y puntos notables en el tringulo..............................

Bisectriz........................................................................ Incentro........................................................................Circunferencia inscrita.................................................... Mediatriz....................................................................... Circuncentro..................................................................Circunferencia circunscrita...............................................Altura...........................................................................Ortocentro....................................................................Mediana......................................................................Baricentro.................................................................Centro de gravedad........................................................

603604604604605605606606606606606606606606607607607

7.6 SEMEJANZA Y CONGRUENCIA................................................Teorema de Thales.............................................................Corolario del Teorema de Thales............................................Semejanza y Congruencia de Polgonos..................................

Polgonos semejantes.....................................................Polgonos congruentes....................................................

Congruencia y semejanza de Tringulos.................................. Criterios para la congruencia de tringulos.........................

Criterio LAL (Lado-ngulo-Lado)..................................Criterio ALA (ngulo-Lado-ngulo)...............................Criterio LLL (Lado-Lado-Lado).....................................

Criterios para la semejanza de tringulos.......................... Criterio AA (ngulo-ngulo)....................................... Criterio ALL (ngulo-Lado-Lado)................................. Criterio LLL (Lado-Lado-Lado).....................................

608609609610611611612612612612612612612613613

ngulos alternos internos....................................................ngulos conjugados externos..............................................ngulos conjugados internos...............................................Propiedades de los ngulos..................................................

597597597598

7.7 RESOLUCIN DE TRINGULOS...............................................Teorema 7.2: De Pitgoras....................................................Teorema 7.3.......................................................................Teorema 7.4.......................................................................Teorema 7.5: Ley de los Senos.............................................Teorema 7.6: Ley de los Cosenos..........................................7.7.1 Tringulos Rectngulos...............................................

ngulo de elevacin y ngulo de depresin....................7.7.2 Tringulos Acutngulos u Obtusngulos........................

617618618618619620621622628

7.8 CUADRILTEROS...................................................................Cuadriltero...............................................................Paralelogramo.................................................................

Propiedades de los paralelogramos..................................Paralelogramos ms utilizados.............................................

Rectngulo...................................................................Cuadrado.....................................................................Rombo.....................................................................Romboide....................................................................

Trapecio..........................................................................Trapezoide.......................................................................

635635635635636636636636636636636

7.9 PERMETRO Y REA DE UN POLGONO...................................Permetro de un polgono...................................................Supercie y rea.................................................................Permetro y rea de polgonos ms conocidos.......................

Cuadrado....................................................................Rectngulo...................................................................Tringulo.................................................................Paralelogramo............................................................Rombo....................................................................Trapecio....................................................................

638638638639639639639639639639

7.10 CIRCUNFERENCIA Y CRCULO..............................................Circunferencia y crculo ......................................................Elementos de la circunferencia y el crculo...........................

Radio.......................................................................Cuerda........................................................................Dimetro....................................................................Arco..........................................................................Secante........................................................................Tangente.....................................................................

ngulos en la circunferencia.................................................ngulo central................................................................ngulo inscrito...............................................................ngulo interior................................................................ngulo exterior...............................................................ngulo semi-inscrito........................................................

645645645646646646646646646648648649649649649

7.11 POLGONOS Y CIRCUNFERENCIAS........................................Polgono inscrito o circunscrito............................................Apotema..........................................................................

654655655

7.12 FIGURAS CIRCULARES.........................................................Sector circular....................................................................Segmento circular...............................................................Corona o anillo circular.........................................................rea del crculo...................................................................rea del sector circular.........................................................rea del segmento circular...................................................rea de la corona circular.....................................................

657657658658659660661661

CAPTULO 8

GEOMETRA DEL ESPACIOIntroduccin............................................................................... 681

8.1 FIGURAS EN EL ESPACIO.......................................................Figuras no contenidas en el plano..........................................

682682

8.2 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.........................................Rectas alabeadas...............................................................Posiciones de una recta respecto a un plano.........................Planos paralelos................................................................ngulo diedro....................................................................ngulo poliedro..................................................................

683683684684685685

8.3 CUERPOS GEOMTRICOS.......................................................Poliedro..........................................................................

Propiedades de un poliedro convexo.............................Diagonal del poliedro .......................................................Nombre de poliedros segn el nmero de caras..................Poliedro Regular.................................................................Tipos de poliedros regulares ..............................................

Tetraedro regular.......................................................Hexaedro regular.......................................................Octaedro regular........................................................Dodecaedro regular....................................................Icosaedro regular.......................................................

686686687688688688688688688689689689


8.4 PRISMAS...............................................................................Prisma ................................................................

Generatriz..................................................................Altura del prisma............................................................Prisma recto..................................................................Prisma recto regular.......................................................Prisma oblicuo...............................................................

Paraleleppedo...............................................................Ortoedro..................................................................

689690690690690690691691691

8.5 PIRMIDES...........................................................................Pirmide.........................................................................Pirmide recta....................................................................Pirmide regular.................................................................Apotema de la pirmide.......................................................Pirmide truncada..............................................................

693693693693694694

8.6 REAS DE POLIEDROS...........................................................Tipos de reas de prismas y pirmides.................................rea de poliedros regulares...............................................reas de las supercies de un prisma recto.............................reas de las supercies de una pirmide regular.....................reas de las supercies de una pirmide truncada regular........

694695695695695696

8.7 VOLUMEN DE POLIEDROS......................................................Volumen del paraleleppedo recto rectangular..........................Volumen del cubo...............................................................Volumen de una pirmide ...................................................Volumen de una pirmide truncada.......................................

701701701702703

8.8 CUERPOS DE REVOLUCIN....................................................Supercie de revolucin.....................................................Slido de revolucin............................................................Cuerpos de revolucin.........................................................

Cilindro recto.................................................................Cono recto....................................................................Cilindro de revolucin......................................................Cono de revolucin.........................................................

rea de la supercie lateral y de la supercie total de un cilindro rectorea de la supercie lateral y de la supercie total de un cono rectoCono truncado...................................................................Cono truncado de revolucin................................................Esfera slida y supercie esfrica...........................................Esfera slida de revolucin....................................................Elementos de la esfera slida y la supercie esfrica...............

Radio.........................................................................Dimetro.....................................................................Casquete esfrico...........................................................

707707708708708708709709709709713713714714714715715715

CAPTULO 9

VECTORES EN EL ESPACIOIntroduccin................................................................................ 745

9.1 VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO..............................Magnitudes escalares ........................................................Magnitudes vectoriales.......................................................Vector en el espacio.............................................................

Magnitud de un vector.....................................................Vector cero....................................................................

Vectores iguales.................................................................

745746746747749749749

9.2 OPERACIONES ENTRE VECTORES...........................................Suma vectorial...................................................................

Propiedades.................................................................Resta vectorial...................................................................Multiplicacin de un vector por un escalar................................

Propiedades.................................................................Vectores paralelos..............................................................Combinacin lineal..............................................................Espacio vectorial.................................................................Producto escalar.................................................................

Propiedades.................................................................Medida del ngulo entre dos vectores......................................Teorema 9.1: ngulo formado entre dos vectores.......................Vectores ortogonales..........................................................Teorema 9.2: Desigualdad de Cauchy-Schwarz.........................Desigualdad triangular........................................................Norma de un vector.............................................................

750750751752753753754756756759759760760760762763764

9.3 VECTORES UNITARIOS..........................................................Vector unitario...................................................................Proyecciones escalares y vectoriales...................................... Proyeccin vectorial............................................................Proyeccin escalar..............................................................

765765765765766

Huso esfrico................................................................Plano secante...............................................................Plano tangente..............................................................

Volmenes de cuerpos de revolucin.....................................Cilindro.................................................................Cono............................................................................Cono truncado...............................................................Esfera (slida)...............................................................

715715715715715716716716


9.4 PRODUCTO VECTORIAL.........................................................Producto vectorial................................................................

Propiedades...............................................................Teorema de la Norma del Producto Cruz..................................Producto cruz de vectores i, j, k...........................................

769769770771771

9.5 APLICACIONES GEOMTRICAS DEL PRODUCTO VECTORIAL...........rea de la supercie de un paralelogramo.............................Volumen de un paraleleppedo...............................................Producto mixto....................................................................

773773778779

CAPTULO 10

GEOMETRA ANALTICAIntroduccin.......................................................................... 785

10.1 RECTAS EN EL PLANO...........................................................Recta............................................................................10.1.1 Distancia entre dos puntos..........................................

Distancia entre dos puntos...........................................10.1.2 Punto medio de un segmento de recta........................ Teorema de: Punto medio de un segmento de recta..................10.1.3 Ecuacin de la recta...................................................

Ecuaciones paramtricas de la recta..............................Forma simtrica de la ecuacin de la recta....................... Forma general de la ecuacin de la recta.......................Vector normal...........................................................

10.1.4 Pendiente de una recta...............................................Pendiente de una recta...............................................Ecuacin de la recta punto pendiente.............................Rectas paralelas........................................................Rectas coincidentes...................................................Rectas secantes........................................................

Teorema de: Pendiente de rectas paralelas .........................Teorema de: Pendiente de rectas perpendiculares .................10.1.5 Distancia de un punto a una recta.................................

786786787788789790793794795795796798798800804804804804806807

10.2 SECCIONES CNICAS...........................................................10.2.1 Circunferencia..........................................................

Circunferencia..........................................................Forma cannica de la ecuacin de una circunferencia....Forma general de la ecuacin de una circunferencia......Clculo de los elementos de una circunferencia............Ecuacin de la recta tangente a una circunferencia......

811813813813814817819


10.2.2 Parbola.................................................................Parbola..................................................................Eje de simetra..........................................................Vrtice.................................................................Lado recto.................................................................Forma cannica de la ecuacin de la parbola.................... Forma general de la ecuacin de una parbola.................

834834834834834834837

10.2.3 Elipse......................................................................Elipse...................................................................

Eje mayor...........................................................Semieje mayor y semidistancia focal......................Centro.........................................................Vrtices.............................................................Lado recto..........................................................Semieje menor....................................................Excentricidad...................................................

Clculo de la longitud del eje menor..............................Forma cannica de la ecuacin de una elipse.................Ecuacin de una elipse con ejes paralelos a los ejes de coordenadas............................................................

Eje mayor horizontal............................................Eje mayor vertical...............................................

Forma general de la ecuacin de una elipse.................

844844844844844844844844844844845

846846846846

10.2.4 Hiprbola................................................................Hiprbola...........................................................

Eje transverso....................................................Eje conjugado....................................................Centro............................................................Distancia focal...................................................Vrtices........................................................Semieje conjugado.............................................Lado recto.........................................................Excentricidad...................................................

Forma cannica de la ecuacin de una hiprbola ...........Ecuacin de la hiprbola con ejes paralelos a los ejes decoordenadas...........................................................Eje horizontal..........................................................Eje vertical..............................................................Asntotas oblicuas de una hiprbola..............................

Hiprbola cuyo centro es O(0, 0)............................Hiprbola cuyo centro es O(h, k)...........................

Eje transverso horizontal.................................Eje transverso vertical....................................

Hiprbolas conjugadas..............................................Rectngulo auxiliar.....................................................Hiprbolas equilteras...............................................Forma general de la ecuacin de una hiprbola..............

851851851851852852852852852852852

853853854854855855855855855855855856

CAPTULO 11

ESTADSTICA Y PROBABILIDADESIntroduccin............................................................................... 875

Primera fase: (Los censos).................................................Segunda fase: (De la descripcin de los conjuntos de la aritmtica poltica).....................................................................Tercera fase: (Clculo de probabilidades)..............................

875

875876

11.1 ESTADSTICA DESCRIPTIVA.................................................Estadstica descriptiva........................................................Estadstica inferencial.........................................................Mtodo estadstico.............................................................Errores estadsticos comunes.............................................

Sesgo..........................................................................Datos no comparables....................................................Proyeccin descuidada de tendencias................................Muestreo incorrecto........................................................

Conceptos bsicos..............................................................Elemento o ente.................................................................Poblacin.........................................................................

Poblacin nita..............................................................Poblacin innita............................................................

Muestra..........................................................................Variable..........................................................................Variables Cuantitativas.......................................................

Discretas....................................................................Continuas...................................................................

Variables Cualitativas o Atributos........................................Ordinales....................................................................Nominales...................................................................

Clasicacin de las variables...............................................Variables unidimensionales.............................................Variables bidimensionales...............................................Variables multidimensionales..........................................

Escala de medicin de variables..........................................Tipos de medidas..........................................................

876877877877878878878878878878878879879879879879879879879879879880880880880880880880


10.2.5 Lugares geomtricos..................................................10.2.6 Excentricidad............................................................

862868

11.5 MEDIDAS DE DISPERSIN................................................Rango.........................................................................Varianza.................................................................Desviacin Tpica............................................................

900900900900

11.4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y NO CENTRAL............Media aritmtica............................................................Mediana.......................................................................Moda..........................................................................

Medidas de tendencia no centrales........................................Cuartiles...................................................................Deciles........................................................................Percentiles................................................................

894894895896898898898898

11.6 PROBABILIDADES..............................................................Experimento aleatorio.........................................................Espacio muestral................................................................Evento o suceso..................................................................Eventos mutuamente excluyentes........................................Eventos complementarios.....................................................Probabilidad clsica............................................................

901902902903903904904

11. 7 CONJUNTOS Y PROBABILIDADES.......................................Unin.........................................................................Interseccin...............................................................Complemento.............................................................Subconjunto.............................................................Propiedades............................................................

Diagrama de rbol.............................................................Tringulo de Pascal............................................................

907907907908908910912920

11.3 GRFICOS DE REPRESENTACIN...................................Histograma.............................................................Poligonal de frecuencias.................................................Diagrama de tallo y hojas..............................................

890890891892

11.2 ORGANIZACIN DE LOS DATOS.....................................Tablas de frecuencia...........................................................

Tabla de tipo I................................................................Tabla de tipo II..............................................................Tabla de tipo III (Tabla de intervalos).............................

Tabla de distribucin de frecuencias......................................Frecuencia absoluta........................................................Frecuencia absoluta acumulada........................................Frecuencia relativa.........................................................Frecuencia relativa acumulada........................................

Modelos de tablas estadsticas.............................................

881881881881883884884884884884885

Apndice APostulados de Euclides................................................ 933

Apndice BPostulados..............................................................Postulados de Cavalieri...............................................

935935


RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS.................................................. 937

GLOSARIO DE TRMINOS....................................................

BIBLIOGRAFA................................................................

945

949

111pg.

Captulo 2Nmeros Reales

Fibonacci,matemtico italiano

(1170 - 1250)

Introduccin

La idea de nmero aparece en la historia del hombre ligada a la necesidad de contar objetos, animales, etc. Para lograr este objetivo, usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un nmero al siguiente. A medida que la cantidad crece, se hace necesario un sistema ms prctico de representacin numrica.

El sistema de numeracin ms usado fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los rabes. Acerca del origen indio del sistema, hay pruebas documentales ms que suficientes, entre ellas la opinin de Leonardo de Pisa, mejor conocido como Fibonacci, quien fue uno de los introductores del nuevo sistema en Europa. En aquella poca se usaban los nmeros romanos y el baco. Su gran mrito fue la introduccin del concepto y smbolo del cero, lo que permite un sistema en el que slo diez smbolos puedan representar cualquier nmero por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones. En su libro titulado Liber Abaci (Libro de los Clculos) hizo tal referencia; y, si bien su obra fue un hecho revolucionario, debido a que no haba sido inventada la imprenta, tuvieron que pasar tres siglos para que fuera conocida en toda Europa.

En el captulo anterior hemos utilizado los nmeros y uno de los conjuntos que nos ha servido como referencia es = {1, 2, 3, ....}, el cual se denomina conjunto de los nmeros naturales.

En algunas situaciones de la vida diaria, tales como:

Determinar el nmero que sumado con 5, d por resultado 2. Tener un sobregiro de $ 100 en una cuenta corriente. Disminuir la temperatura de 25 C a 20 C en un cierto instante de tiempo. Deber una cierta suma de dinero.

112pg.

Es muy ilustrativa la representacin grfica de los nmeros. Se puede utilizar una recta dibujada de manera horizontal, sobre la cual seleccionamos un punto y lo marcamos con 0 (origen), este punto representa el nmero cero. Si queremos identificar un nmero positivo, lo marcamos a la derecha del cero, mientras que si es negativo, lo marcamos a la izquierda del cero. A esta recta se la denomina recta de los nmeros reales.

Nos encontramos con la dificultad de que no existen nmeros naturales que puedan resolver dichos problemas. Las soluciones se encuentran en un nuevo conjunto denominado conjunto de los nmeros enteros = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...}, del alemn zahl (nmero).

Existe algn nmero que multiplicado por 2 sea 1? En general, dados dos nmeros enteros m y n cualesquiera, existe un nmero entero x que multiplicado por n (n 0) sea igual a m? La respuesta negativa a estas preguntas oblig a los matemticos a una ampliacin del conjunto , introduciendo un nuevo conjunto numrico denominado conjunto de los nmeros racionales, denotado por y definido por:

= { f / f = pq , p , q , q 0}, del ingls quotient (cociente).Un nmero racional es aquel que puede expresarse como una fraccin

pq entre dos nmeros enteros: p (numerador) y q (denominador), con denominador q diferente de cero.

Pero tambin existen nmeros que no pueden ser representados como una fraccin, a este conjunto lo denominamos : conjunto de los nmeros irracionales. Tales nmeros existen, por ejemplo: 2, 3, , , etc.

Tanto los nmeros racionales como los irracionales forman el conjunto de los nmeros reales = . La siguiente figura muestra cmo se relacionan los conjuntos numricos mencionados:

Figura 2.2: Recta de los Nmeros Reales.

Figura 2.1: Relacin de los Conjuntos Numricos.

NmerosReales

NmerosIrracionales

NmerosRacionales

NmerosEnteros

EnterosPositivos

EnterosNegativos

Cero

Nmeros negativos 0 Nmeros positivos +

113pg.


Si consideramos nmeros enteros a la derecha de 0, estamos hablando del conjunto , mientras que los que se encuentran a la izquierda de 0, representan el conjunto . El cero no es positivo ni negativo.

Las mismas consideraciones se aplicarn para los nmeros racionales, irracionales y reales en general. Dado que la cardinalidad de estos conjuntos es infinita, se utilizar el smbolo para representar tal valor en la recta numrica.

Si se tratara de un valor tan grande y positivo como sea posible, entonces se lo representar con + ; mientras que si el valor es tan grande como sea posible, pero negativo, entonces se utilizar .

2.1 Representacin Decimal

Los nmeros reales pueden ser representados con cifras enteras y cifras decimales. Los nmeros reales racionales tienen representaciones decimales con una cantidad finita de dgitos, o con cierto nmero de dgitos que aparecen indefinidamente siguiendo algn patrn de repeticin. Por ejemplo: 2

5 = 0.4 que tiene un solo decimal; 16

= 0.166666..., donde el

dgito 6 se repite indefinidamente; 23299

= 2.343434..., tiene los dgitos 3 y 4 repetidos en la secuencia decimal. Los nmeros reales irracionales tienen representaciones decimales que no terminan ni tienen un patrn de repeticin. Por ejemplo: 2 = 1.414213..., = 3.14159... En la prctica, los nmeros irracionales generalmente son representados por aproximaciones. Se suele utilizar el smbolo (se lee aproximadamente igual a) para escribir 2 1.414 y 3.1416.Para lograr la representacin decimal, en el caso de nmeros racionales, es suficiente dividir el numerador para el denominador.

Objetivos

Al finalizar esta seccin el lector podr:

* Representar un nmero racional en forma fraccionaria o peridica.

* Dada una representacin decimal, determinar la fraccin que le corresponde.

* Dado un nmero racional, representarlo en la recta real.

* Reconocer la diferencia entre la representacin decimal de un nmero racional y uno irracional.

114pg.

Ejemplo 2.1 Representacin decimal de nmeros racionales.

Cada vez que un nmero racional (fraccin) se representa por medio de un nmero con infinita cantidad de decimales, estos ltimos se muestran como la repeticin sucesiva de una cierta cantidad finita de dgitos que se denomina perodo. Para evitar repetir los nmeros, podemos utilizar en la parte superior del perodo.

En el ejemplo 2.1 se puede observar que:

NMERO RACIONAL PERODO REPRESENTACIN DECIMAL

13

3 0.3

16

6 0.16

17

142857 0.142857

Para transformar un decimal peridico en fraccin, utilizaremos el siguiente procedimiento:

1. Denominar como x al nmero decimal peridico.2. Localizar el perodo del nmero.3. Llevar el punto decimal despus del primer perodo, multiplicando al

nmero x por la potencia de base diez, correspondiente a la cantidad de decimales recorridos.

4. Llevar el punto decimal antes del primer perodo, multiplicando al nmero por la potencia de base diez, correspondiente a la cantidad de decimales recorridos.

5. Restar las expresiones obtenidas en los numerales 3 y 4.6. Despejar x.7. Simplificar en caso de ser posible.Utilizando el procedimiento anteriormente descrito, se pueden obtener las fracciones correspondientes a los tres nmeros decimales peridicos de la siguiente tabla.

Estos nmeros pueden ser representados grficamente en la recta real:

3 2 1 0 1 2 3115

32

13

17

16

94

32

= 1.5115

= 2.2 94

= 2.25

13

= 0.3333 ... 16

= 0.16666 ... 17

= 0.142857142857 ...

115pg.


En caso de que el nmero decimal peridico posea parte entera, debe separrsela de la parte decimal para aplicar el procedimiento anterior a esta ltima.

Finalmente, se debe sumar la parte entera con la fraccin obtenida y sa ser la representacin fraccionaria de todo el nmero.

Posteriormente demostraremos que todo nmero decimal peridico representa una fraccin.

Ejemplo 2.2 Representacin decimal de nmeros irracionales.

1. x = 0.3333... x = 0.16666... x = 0.142857142857...

2. Perodo: 3 Perodo: 6 Perodo: 142857

3. 101 x = 3.3333... 102 x = 16.666... 106 x = 142857.142857...

4. 100 x = 0.3333... 101 x = 1.6666... 100 x = 0.142857...

5. 9x = 3 90x = 15 999999 x = 142857

6. x = 39

x = 1590

x = 142857999999

7. x = 13

x = 16

x = 17

2 = 1.414213562373095...Este nmero puede representar la longitud de la hipotenusa de un tringulo rectngulo issceles cuyos catetos tienen medida igual a 1.

1

1

2

116pg.

3 = 1.732050807568877...Este nmero puede representar la longitud de la altura de un tringulo equiltero cuyos lados miden 2 unidades.

23 = 1.259921049894873...Este nmero puede representar la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es igual a 2 unidades cbicas.

= 3.141592653589793...

Este nmero resulta del cociente entre la longitud de una circunferencia y la medida de su dimetro.

Como se podr apreciar, estos nmeros forman parte del mundo que nos rodea, por lo que es necesario trabajar con ellos.

Los nmeros irracionales pueden ser representados grficamente en la recta real:

=Ld

d

L

2 2

2

3

23

e 3 2 1 0 1 2 3

235 2 3

117pg.


2.2 Operaciones binariasObjetivos


* Dado un conjunto y una operacin definida sobre l, reconocer si es o no binaria, justificando su respuesta.

* Dada una operacin binaria, identificar qu propiedades cumple.

Definicin 2.1 (Operacin binaria)

Algunas expresiones, tales como:

2 + 4 = 6; 4 6 = 2; 5 x 7 = 35; 20 5 = 4

Sea un conjunto S = {a, b, c, ...}, la operacin * es una operacin binaria en S, si y slo si a cada par ordenado (a, b) S x S, donde a S y b S, le corresponde un elemento nico a*b S, donde a*b se lee a operacin b.

La operacin binaria puede ser considerada como una funcin

*: S x S SEn esta definicin hay que tomar en cuenta lo siguiente:

El orden de a y b es importante, porque (a, b) es un par ordenado y podra suceder que a*b b*a.

La operacin tiene que estar definida para todos los pares ordenados (a, b).

2.2.1 Propiedades de las operaciones binarias

a, b S, a*b S Cerradura (Clausurativa)a, b S, a*b = b*a Conmutativaa, b, c S, a*(b*c) = (a*b)*c Asociativa n S a S, a*n = n*a = a Elemento neutroa S a S, a*a = a*a = n Elemento inverso

tienen la particularidad de que si tomamos dos elementos de un conjunto, numrico en este caso, la operacin genera un tercer nmero dentro o fuera del conjunto al cual se est haciendo referencia.

La unin y la interseccin de conjuntos tambin generan nuevos conjuntos. Las operaciones que toman 2 elementos de un conjunto y su resultado se encuentra en el mismo conjunto tienen particular inters para nosotros y se denominan operaciones binarias.

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La propiedad clausurativa indica que el resultado de la operacin binaria debe pertenecer al conjunto que se toma como referencia.

La propiedad conmutativa indica que el orden de los operandos no es importante al realizar la operacin.

La propiedad asociativa indica que se pueden agrupar en diferente forma los elementos de la operacin.

La propiedad de poseer elemento neutro n indica que al realizar la operacin entre cualquier elemento del referencial y este elemento, o viceversa, no lo modifica al primero.

La propiedad de poseer elemento inverso indica que al realizar la operacin entre cualquier elemento del referencial y este elemento, o viceversa, se obtiene el elemento neutro. Esta propiedad slo deber probarse en caso de existir elemento neutro.

Por definicin, toda operacin binaria cumple con la propiedad de cerradura. Las restantes propiedades pueden o no cumplirse, segn sea el caso, sin perjuicio de que la operacin sea binaria.

Sea el conjunto y la operacin binaria * definida en , a * b = a + 3b.

Se verifica la siguiente propiedad:

Cerradura, a + 3b , para cada elemento a, b de .

Por el contrario, la operacin binaria no cumple las siguientes propiedades:

Conmutativa, a + 3b b + 3a. Basta mostrar el siguiente contraejemplo: para a = 1 y b = 2 se verifica que 1 * 2 = 7, pero 2 * 1 = 5.

Asociativa, a + 3(b + 3c) (a + 3b) + 3c. El contraejemplo podra ser a = 1, b = 2 y c = 3, en el cual 1 * (2 * 3) = 34, mientras que (1 * 2) * 3 = 16.

Elemento neutro, a * n = a + 3n y n * a = n + 3a, por lo tanto, a * n n * a.

Elemento inverso, esta propiedad no tiene sentido probarla ya que no existe elemento neutro.

Ejemplo 2.3 Operacin binaria y propiedades.

El concepto de operacin binaria es ms amplio de lo que parece, as, se pueden realizar operaciones binarias sobre otros tipos de conjuntos, no necesariamente numricos, tal como se lo ilustra en el siguiente ejemplo.

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Se define S = { , , }, y la operacin * sobre S mostrada en la siguiente tabla:

Ejemplo 2.4 Operacin binaria.

En esta operacin el resultado se obtiene combinando cada elemento que se encuentra debajo del smbolo de la operacin binaria (*), con cada uno de los que se encuentran a la derecha de dicho smbolo. As, * = .

De acuerdo a esto, se observa que cualquier combinacin siempre dar un elemento de S. Por lo tanto, la operacin es binaria.

Adicionalmente, se puede verificar que la operacin no cumple la propiedad conmutativa [ * * ]; no cumple la propiedad asociativa [ * ( * ) ( * ) * ]; ni la del elemento neutro.

Con este ejemplo se ampla la aplicacin de las operaciones binarias a conjuntos abstractos.

En el caso de que en el conjunto S se definan dos operaciones binarias, * y #, es posible hablar de una propiedad distributiva, si y slo si:

a, b, c S, a*(b # c) = (a*b) # (a*c)

Como el lector podr recordar, en la teora de proposiciones y conjuntos se hizo uso de esta propiedad.

Objetivos


* Realizar operaciones de adicin y multiplicacin sobre .

* Aplicar propiedades de las operaciones de los nmeros reales.

* Reconocer expresiones no definidas en .

2.3 Operaciones entre Nmeros Reales

*

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Podemos definir las operaciones de sustraccin ( ) y divisin ( ) gracias a la existencia de los inversos aditivos y multiplicativos, respectivamente.

Es importante anotar que existen algunas expresiones que no estn definidas en , algunas de ellas son:

Races de ndice par de nmeros negativos. Ej: 4, 164 .

Cocientes en que el divisor es cero. Ej: 30

, 100

.

Potencias de base cero y exponente cero. Ej: 00, (2 2)0.

Partiendo de estas observaciones, se pueden determinar dominios para expresiones que contienen variables reales.

En el conjunto de nmeros reales se definen las operaciones de adicin (+) y multiplicacin (.), las cuales se definen a continuacin:

Adicin:

Es una operacin binaria tal que + : x (a, b) (a + b)

y cumple con las siguientes propiedades:

a b (a + b = b + a) Conmutativa.a b c (a + (b + c) = (a + b) + c) Asociativa.0 a (a + 0 = 0 + a = a) 0 es el elemento neutro aditivo.a b (a + b = b + a = 0) b es el elemento inverso aditivo.

Multiplicacin:

Es una operacin binaria tal que . : x (a, b) (a . b)

y cumple con las siguientes propiedades:

a b (a . b = b . a) Conmutativa.a b c (a . (b . c) = (a . b) . c) Asociativa.1 a (a . 1 = 1 . a = a) 1 es el elemento neutro multiplicativo.(a (a = 0)) b (a . b = b . a = 1) b es el elemento inverso multiplicativo.

A ms de las propiedades anotadas existe la propiedad distributiva para estas operaciones, la cual puede expresarse as:

a, b, c [a . (b + c) = (a . b) + (a . c)]

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La expresin 1

x 1x no est definida para (x = 0) (x = 1) (x = 1).

Ejemplo 2.5 Dominio de variable.

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