métodos numéricos herramienta de apoyo en el estudio de la

MEMORIAS DEL XXVII CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM 22 al 24 DE SEPTIEMBRE DE 2021 PACHUCA, HIDALGO, MÉXICO

Tema A5: Educación en Ingeniería Mecánica

Métodos Numéricos Herramienta de Apoyo en el Estudio de la Dinámica Estructural

Hernández González Rodrigoa, Candia García Filibertoa, Castillo Flores Martína

aBenemérita Universidad Autónoma de Puebla. Facultad de Ingeniería

Blvd. Valsequillo y Av. San Claudio, s/n, Edificio ING 4, Ciudad Universitaria, Col. Jardines de San

Manuel, C.P. 72570, Puebla, Pue. Teléfono +52 222 229 5500 ext. 7610.

*Candia García filiberto. Dirección de correo electrónico: [email protected]

R E S U M E N

El principal objetivo de este trabajo es desarrollar una herramienta computacional que permita conocer la respuesta

dinámica de una estructura de un grado de libertad mediante los métodos numéricos; Interpolación de la Excitación,

Diferencia Central, Newmark y Wilson, como consecuencia de una excitación en la base o en el grado de libertad libre, así

como de sus condiciones iniciales. El programa fue realizado en Microsoft Office Excel, en este documento se presenta la

explicación y el desarrollo de cada uno de los métodos, sus expresiones de cálculo, y sus limitaciones. La intención de este

programa es servir como herramienta en los cursos de Dinámica Estructural tanto de la Licenciatura en Ingeniería civil

como la Maestría en Ingeniería Estructural. Como resultado de las validaciones teóricas realizadas con referencia al autor Chopra, se verifico que el software ReDi v1.0 proporciona alta aproximación entre los resultados comparados y, por lo

tanto, se perfila como una herramienta confiable para la enseñanza y aprendizaje de la dinámica estructural.

Palabras Clave: Dinámica Estructural, Métodos Numéricos, Software Educativo.

A B S T R A C T

The main goal of this work is to develop a computational tool which allows to know the dynamic response of a single

degree of freedom structure through the numerical methods; Interpolation of Excitation, Central Difference,

Newmark’s, and Wilson’s as result of an earthquake excitation or a force applied at the structure, as well as its initial

conditions. The program was created in Microsoft Office Excel, this document presents the explanation and

development of each of the methods, their calculation expressions, and their limitations. The intention of this program

is to work as a tool in the Structural Dynamics courses of both the Bachelor of Civil Engineering and the Master's

Degree in Structural Engineering. As a result of the theoretical validations carried out with reference to the author

Chopra, it was verified that the ReDi v1.0 software provides a high approximation between the compared results and,

therefore, is emerging as a reliable tool for the teaching and learning of structural dynamics.

Keywords: Structural Dynamics, Numerical Methods, Educational Software.

1. Introducción

Uno de los temas con mayor importancia en el área de

estudio de la Ingeniería Estructural es la respuesta de las estructuras ante cargas dinámicas o variantes en el

tiempo. Estas cargas pueden ser producto de diferentes

causas, por ejemplo, maquinaria, viento o movimiento

del terreno.

Los sismos son una de las excitaciones dinámicas que

afectan en mayor medida las estructuras y al ser

movimientos tan complejos, su descripción se realiza a

través de historias de tiempo, generalmente a partir de la

aceleración del terreno.

A partir de algunas idealizaciones, el análisis y diseño

de estructuras que sean capaces de resistir los efectos

producidos por estas cargas es posible realizar programas

de cálculo estructural mediante modelaciones de las

ISSN 2448-5551 EIM 1 Derechos Reservados © 2021, SOMIM


estructuras, sin embargo, el uso de estos programas se

debe realizar de manera profesional, ya que requieren el

dominio de los métodos numéricos que permitan su

correcta utilización. El objetivo principal de este trabajo es desarrollar una

herramienta computacional en Excel que permita a

estudiantes y docentes de ingeniería comprender algunos

de los conceptos de la dinámica estructural y reflexione

la importancia de estos en la respuesta de las estructuras

de un grado de libertad (1 gdl) sometidas a estas

condiciones.

Se busca que sea un programa de fácil acceso y cuente

con una interfaz gráfica intuitiva en la que el docente o el

estudiante puedan visualizar de manera inmediata los

cambios en la respuesta dinámica al modificar las

propiedades de la estructura, la fuerza o aceleración a la que es sometida, así como las condiciones iniciales en

que se encuentra la estructura.

Como una de las finalidades del análisis dinámico

estructural es la descripción del comportamiento que una

estructura puede tener al ser sometida a excitaciones

dinámicas, y así proporcionar resultados discutibles para

un diseño adecuado y sobre todo que sea seguro para los

usuarios finales. Por ello es importante que este

comportamiento sea lo más cercano a la realidad posible.

Como se explica en el desarrollo de este trabajo, para

encontrar la respuesta dinámica de una estructura es

necesario recurrir a métodos numéricos, debido a la limitante para describir las aceleraciones sísmicas

mediante una función continua.

Con el fin de que el estudiante conozca diferentes

métodos de cálculo, este programa brinda la posibilidad

de encontrar la respuesta dinámica a través de los

métodos de Interpolación de la Excitación, Diferencia

Central, Newmark y Wilson. Cada uno de estos métodos

es explicado y se realiza la demostración de las

expresiones que utiliza, con la intención de que el

docente o el estudiante pueda comprender el

planteamiento y las suposiciones que hace cada uno de

los autores de los métodos, y las implicaciones que tienen en los resultados encontrados, así como sus limitaciones.

Para ello se muestra una descripción del programa de

cálculo que ha sido desarrollado (ReDi v1.0), su interfaz,

características y opciones; así como algunos ejemplos de

cálculo y una comparativa entre sus resultados, para una

validación de los resultados del programa ReDi v1.0.

1.1 Software Educativo

En el proceso de enseñanza-aprendizaje, una de las

herramientas que más se ha fomentado es el software

educativo que se define como; “un producto tecnológico diseñado para apoyar procesos educativos que utilizan

tanto el profesor como el alumno para alcanzar

determinados propósitos. Además, es un medio de

presentación y desarrollo de contenidos educativos,

como puede ser un libro o un video, con su propio

formato expresivo y secuencia narrativa” [1].

Así como, en el proceso al seleccionar una

herramienta adecuada para una determinada sesión de

clase está en función de las necesidades de enseñanza y aprendizaje de los alumnos y del aprovechamiento de las

ventajas que ofrecen las tecnologías educativas más

actuales, pero al mismo tiempo simple en su ejecución e

implementación. En la creación de nuevas herramientas

computacionales se deben tener presentes los contenidos

temáticos y los objetivos que se persiguen; si se pierde de

vista estas características, no se podrá cumplir con la

intención de diseñar un instrumento de ayuda en el

aprendizaje y enseñanza.

Por ello “La creación de programas interactivos no es

una tarea sencilla. Es necesario tener amplios

conocimientos de uno o varios lenguajes programación, y requiere de la formulación de los objetivos educativos

que se pretenden enseñar de forma interactiva”.

Con el uso de este tipo de herramientas interactivas se

tienen algunas ventajas como las siguientes:

Si se cuenta con apoyos visuales, estos facilitan la

asociación del concepto con el fenómeno físico y sus

diferentes representaciones, lo que puede mejorar su

proceso de análisis.

Se puede hacer uso de las técnicas de animación para

mostrar la evolución de ciertos fenómenos en un

lapso, lo cual es muy conveniente en la enseñanza de temas que así lo requieren.

Se tiene mayor velocidad en la resolución de

ejemplos y ejercicios, con lo que se pueden realizar

una mayor cantidad mejorando así la práctica.

Una característica importante de los programas es su

interfaz gráfica, ya que ésta permite al usuario interactuar

con estos. La interfaz debe tener ciertas características

que le permitan al usuario entender fácilmente su

operación, así como la comprensión del tema que se trata

de enseñar. Se debe procurar minimizar la complejidad

en la operación del programa para el usuario, así como

decidir qué parámetros se mantienen constantes y cuáles se le permitirán modificar. Definiendo también de que

manera el usuario podrá introducirlos, y de qué manera

lo hará.

Es de igual importancia el documentar las bases

teóricas y las técnicas de programación utilizadas, esto

con el fin de fundamentar los resultados arrojados y

permitir, si así se desea, que se puedan realizar futuras

modificaciones o mejoras al programa elaborado. Se

deberá contar con el material confeccionado a partir de la

etapa inicial de análisis, conteniendo diagramas de

entidades y relaciones, estructuras de datos, diagrama de flujos de procesos, diseño modular descendente, etc. [3].

Así como es deseable la elaboración de un manual del

programa en el que se muestre su operación y cuente con

una guía rápida de ejemplos recurrentes.

Para este trabajo se considera que la respuesta de una

estructura ante cargas dinámicas es una importante área

de estudio en la física y la ingeniería, para efectos de este

trabajo, el término dinámica se refiere sencillamente a

variante en el tiempo, por lo tanto, una carga dinámica es



cualquier fuerza en que su magnitud, dirección y/o

posición varía con el tiempo [4]. Cualquiera que sea la

causa de la excitación, el movimiento resultante en la estructura provoca desplazamientos y esfuerzos en esta.

Un análisis de estos desplazamientos y esfuerzos es el

objeto de estudio de la dinámica estructural [5].

En un sentido amplio, un sistema dinámico es aquel

cuyas variables experimentan variaciones en el tiempo y,

si se conocen las influencias externas que actúan sobre el

sistema, podrá predecirse el comportamiento de este [6].

1.2 Conceptos Generales

Desde el punto de vista de la ingeniería sísmica, el

tema central de la dinámica estructural es estudiar y

entender la vibración de una estructura cuando está sujeta a una fuerza lateral u horizontal, o a un movimiento

sísmico en su base [7]. Siendo requerido contar con un

modelo matemático en el que se vean involucradas las

propiedades y las condiciones de la estructura que

intervienen en su comportamiento, específicamente en su

respuesta dinámica.

Entendiendo que la respuesta dinámica de una

estructura consiste en determinar el movimiento,

velocidad y aceleraciones de su masa cuando está

sometida a una fuerza lateral o a un movimiento sísmico

en su base [2]. Esta respuesta depende de la magnitud y duración de la excitación, de las propiedades dinámicas

de la estructura (masa, rigidez y amortiguamiento) y de

las características de los depósitos del suelo donde está

cimentada [8].

De manera general, se pueden clasificar las estructuras

en dos categorías: sistemas de un grado de libertad y

sistemas de varios grados de libertad, esto con el fin de

estudiar adecuadamente la respuesta de cada uno. El

número de grados de libertad de un sistema corresponde

al número mínimo de coordenadas necesarias para definir

la posición en el espacio y en el tiempo de todas las

partículas de masa del sistema [9]. Cuando se trata de sistemas rígidos, en los cuales no puede haber

desplazamiento relativo entre las partículas, las

propiedades de la masa se pueden describir referidas a su

centro de masa. Por lo que los grados de libertad que

interesan son aquéllos en los que se consideran fuerzas

generalizadas de inercia; es decir, fuerzas iguales a masa

por aceleración [10]. Debido a este fenómeno es posible

reducir los grados de libertad de una estructura, por

ejemplo, para el siguiente marco con 12 grados de

libertad en un caso estático, podemos considerar que las

fuerzas inerciales más importantes son las que generan la masas m1 y m2 al desplazarse lateralmente, por lo que se

considera un sistema reducido de dos grados de libertad,

los cuales son los desplazamientos laterales 1 y 2 (figura

1.2.1). A diferencia de las cargas estáticas, las cargas

dinámicas como lo son las fuerzas sísmicas ocasionan en

el sistema una respuesta dependiente del tiempo.

Se puede identificar tres elementos en un sistema de

un grado de libertad que son susceptibles a generar

fuerzas internas en función de una variación en el estado

de movimiento de la masa. En particular, la masa genera

una fuerza de inercia en función de su aceleración; el

resorte, una fuerza restitutiva en función del desplazamiento; y el amortiguador, una fuerza disipadora

en función de la velocidad. Estas tres fuerzas internas se

oponen a un cambio en el estado de movimiento en que

se encuentra la masa en un momento dado, y su

interacción con la fuerza externa define el movimiento de

la masa en un instante dado [11].

Un sistema dinámico depende siempre de los

siguientes parámetros que se encuentran involucrados en

todo sistema estructural:

Masa, definida como una medida de la cantidad de

materia. La masa es la propiedad intrínseca de un cuerpo,

que mide su inercia [7]. Vibración, se define como vibración al fenómeno

mecánico donde se produce oscilación con respecto a un

punto en los sistemas con masa y rigidez [7].

Periodo Natural de Vibración

Es el tiempo necesario para completar un ciclo de

vibración o de oscilación [7].

][,2

sT

(1.2.1)

Frecuencia Natural de Vibración, se define como el

número de ciclos que ocurren por segundo durante el

fenómeno de vibración o de oscilación [7].

][,1

HzT

T (1.2.2)

Se define como una velocidad angular con la cual vibra el sistema [7].

]/[,2

sradT

(1.2.3)

]/[, sradm

k (1.2.4)

Figura 1.2.1. Grados de Libertad. (Autoría Propia,

2020).



1.3 Sistemas de Un Grado de Libertad

Un sistema de un GDL puede considerarse como una

idealización de una estructura de un nivel. Cada elemento estructural (viga, columna, muro, etcétera) de la

estructura real contribuye a las propiedades inerciales,

elásticas y de disipación de la energía de la estructura. Sin

embargo, en el sistema idealizado, cada una de estas

propiedades se concentra en tres componentes puros

distintos: el componente de masa, el componente de

rigidez y el componente de amortiguamiento [7].

Figura 1.3.1. Sistema de un grado de libertad.

(Autoría propia, 2020).

En la figura 1.3.1 se observan dos tipos de excitación

dinámica, en el inciso (a) la fuerza externa 𝑝(𝑡) en la dirección lateral y en el inciso (b) el movimiento del

terreno 𝑢𝑔(𝑡) inducido por un sismo. En ambos casos 𝑢

indica el desplazamiento relativo entre la masa y la base

de la estructura.

Fuerzas de Rigidez, la rigidez se define como la

relación entre las fuerzas externas y las deformaciones

que ellas inducen en un cuerpo [12] Para un sistema

elástico-lineal la relación entre la fuerza lateral 𝑓𝑆 y la

deformación resultante 𝑢 es:

kuf s (1.3.1)

donde 𝑘 es la rigidez lateral del sistema; sus unidades son

fuerza/longitud.

Figura 1.3.2. Fuerzas de rigidez. (Autoría Propia,

2020).

Fuerzas de Amortiguamiento (Viscoso), en el

amortiguamiento, la energía del sistema en vibración se

disipa por diversos mecanismos y con frecuencia más de

un mecanismo puede estar presente al mismo tiempo, por

lo que, a diferencia de la rigidez de una estructura, el

coeficiente de amortiguamiento no puede calcularse a

partir de las dimensiones de la estructura y las

dimensiones de los elementos estructurales. El

coeficiente de amortiguamiento se selecciona de modo que la energía disipada sea equivalente a todos los

mecanismos de amortiguamiento combinados presentes

en la estructura real. Esta idealización se denomina

amortiguamiento viscoso equivalente [7]. La fuerza de amortiguamiento se relaciona con la velocidad a través

del amortiguador viscoso lineal:

ucfD (1.3.2)

Figura 2.1.4. Fuerzas de amortiguamiento. (Autoría

propia, 2020).

1.4 Ecuación de Movimiento: Fuerza Externa

En la figura 1.4.1 se muestra un marco idealizado de un

nivel, sometido a una fuerza dinámica 𝑝(𝑡) aplicada de

manera externa en la dirección del GDL 𝑢. Esta notación

indica que la fuerza 𝑝 varía con el tiempo 𝑡. El

desplazamiento resultante de la masa también varía con

el tiempo y se indica mediante 𝑢(𝑡).

En esta misma figura se muestran las fuerzas que

actúan sobre la masa en un cierto instante de tiempo.

Éstas incluyen la fuerza externa 𝑝(𝑡), la fuerza de rigidez

𝑓𝑆 y la fuerza de amortiguamiento 𝑓𝐷 .

Figura 1.4.1. Fuerzas actuantes en sistema de 1 GDL.


Considerando a la fuerza externa y al desplazamiento,

velocidad y aceleración positivos en la dirección del eje

x, las fuerzas restauradoras 𝑓𝑆 y 𝑓𝐷 actuarán en sentido

opuesto, dado que son las fuerzas internas que se oponen

a la deformación y a la velocidad respectivamente.

De esta manera la fuerza resultante a lo largo del eje x es

𝑝(𝑡) − 𝑓𝑆 − 𝑓𝐷 , y a partir de la Segunda Ley del

Movimiento de Newton se tiene:

kufftp Ds )( (1.4.1)

Sustituyendo 𝑓𝑆 y 𝑓𝐷 y reordenando la ecuación se tiene:

)()()()( tptkutuctum (1.4.2)



Ésta es la ecuación de movimiento que controla el

desplazamiento 𝑢(𝑡) de la estructura idealizada, que se

supone elástica lineal, sometida a una fuerza externa

dinámica 𝑝(𝑡) [7].

2. Desarrollo

Los siguientes son ejemplos de cálculo de respuesta

dinámica, en ellos se comparan las respuestas en

términos de desplazamiento, velocidad y aceleración

entre los métodos numéricos de Interpolación de la

Excitación, Diferencia Central, Newmark con

Aceleración Promedio Constante, Newmark con

Aceleración Lineal y Wilson.

2.1. Fuerza Aplicada en el Grado de Libertad

Un sistema de un grado de libertad tiene las siguientes

propiedades: 𝑘 = 400𝑘𝑁

𝑚, 𝑇𝑛 = 1 𝑠 (𝜔𝑛 = 6.283

𝑟𝑎𝑑

𝑠) y

𝜁 = 0.1. Determine la respuesta 𝑢(𝑡) de este sistema

durante los primeros dos segundos para la fuerza 𝑝(𝑡)

definida por una fuerza de pulso sinusoidal de un ciclo

10 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑡0.4⁄ ), paso de tiempo Δ𝑡 = 0.1𝑠.

Figura 2.1.1. Fuerza de Pulso Sinusoidal. (Autoría

propia, 2020).

Figura 2.1.2. Entrada de datos. (Autoría propia,

2020).

En la opción visualizar se selecciona la respuesta a

mostrar, debajo de ella se muestran los valores máximos y mínimos para cada registro, con la opción de usuario se

puede conocer la respuesta en el instante deseado.

En las figuras 2.1.3 a 2.1.7 se muestra la respuesta

dinámica obtenida en términos de desplazamiento para

cada uno de los métodos.

Figura 2.1.3. Desplazamiento por el Método de

Interpolación de la Excitación. (Autoría propia,

2020).


Diferencia Central. (Autoría propia, 2020).


Newmark Aceleración Promedio Constante.



Newmark Aceleración Lineal. (Autoría propia,

2020).




Wilson. (Autoría propia, 2020).

En las Tablas 2.1.1. a 2.1.4. se muestran los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de la estructura para cada

uno de los métodos numéricos.

Tabla 2.1.1. Comparación de Desplazamiento entre Métodos. (Autoría propia, 2020).

Desplazamiento (m)

Tiempo

(s)

Interpolación

de la

Excitación

Diferencia

Central

Newmark

Aceleración

Promedio Constante

Newmark

Aceleración Lineal Wilson

Vib

ra

ció

n F

orza

da 0.0 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

0.1 1.11E-03 0.00E+00 1.50E-03 1.03E-03 9.56E-04

0.2 7.45E-03 6.57E-03 7.46E-03 7.16E-03 6.66E-03

0.3 1.85E-02 1.92E-02 1.75E-02 1.80E-02 1.69E-02

0.4 2.72E-02 2.98E-02 2.56E-02 2.69E-02 2.57E-02

0.5 2.51E-02 2.80E-02 2.42E-02 2.54E-02 2.52E-02

0.6 8.45E-03 9.53E-03 9.52E-03 9.62E-03 1.16E-02

0.7 -1.73E-02 -1.96E-02 -1.40E-02 -1.57E-02 -1.15E-02

0.8 -3.95E-02 -4.46E-02 -3.54E-02 -3.82E-02 -3.35E-02

Vib

ra

ció

n L

ibre

0.9 -4.59E-02 -5.01E-02 -4.39E-02 -4.60E-02 -4.32E-02

1.0 -3.51E-02 -3.63E-02 -3.66E-02 -3.67E-02 -3.81E-02

1.1 -1.30E-02 -1.07E-02 -1.76E-02 -1.57E-02 -2.14E-02

1.2 1.12E-02 1.59E-02 5.28E-03 8.50E-03 3.47E-04

1.3 2.85E-02 3.34E-02 2.39E-02 2.70E-02 1.96E-02

1.4 3.36E-02 3.64E-02 3.24E-02 3.40E-02 3.05E-02

1.5 2.59E-02 2.56E-02 2.90E-02 2.84E-02 3.05E-02

1.6 9.91E-03 6.50E-03 1.60E-02 1.34E-02 2.07E-02

Tabla 2.1.2. Comparación de Desplazamiento entre Métodos. (Autoría propia, 2020).

Desplazamiento (Continuación) (m)

Tiempo

(s)

Interpolación

de la

Excitación

Diferencia

Central

Newmark

Aceleración

Promedio

Constante

Newmark

Aceleración

Lineal

Wilson

Vibración

Libre

1.7 -7.79E-03 -1.27E-02 -9.23E-04 -4.59E-03 5.47E-03

1.8 -2.06E-02 -2.50E-02 -1.57E-02 -1.90E-02 -9.87E-03

1.9 -2.45E-02 -2.65E-02 -2.36E-02 -2.51E-02 -2.04E-02

2.0 -1.91E-02 -1.80E-02 -2.26E-02 -2.18E-02 -2.33E-02



Tabla 2.1.3. Comparación de Velocidad entre Métodos. (Autoría propia, 2020).

Velocidad (m/s)

Tiempo

(s)

Interpolación

de la

Excitación

Diferencia

Central

Newmark

Aceleración

Promedio Constante

Newmark

Aceleración Lineal Wilson

Vib

raci

ón

Forzad

a 0.0 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

0.1 3.24E-02 3.28E-02 3.00E-02 3.09E-02 2.87E-02

0.2 9.38E-02 9.60E-02 8.91E-02 9.13E-02 8.53E-02

0.3 1.14E-01 1.16E-01 1.11E-01 1.13E-01 1.08E-01

0.4 4.52E-02 4.42E-02 5.11E-02 4.91E-02 5.29E-02

0.5 -9.49E-02 -1.01E-01 -8.02E-02 -8.68E-02 -6.98E-02

0.6 -2.29E-01 -2.38E-01 -2.13E-01 -2.21E-01 -1.97E-01

0.7 -2.64E-01 -2.71E-01 -2.58E-01 -2.63E-01 -2.46E-01

0.8 -1.55E-01 -1.52E-01 -1.69E-01 -1.64E-01 -1.71E-01

Vib

ra

ció

n L

ibre

0.9 2.74E-02 4.16E-02 -1.63E-03 1.15E-02 -2.14E-02

1.0 1.79E-01 1.97E-01 1.48E-01 1.64E-01 1.18E-01

1.1 2.48E-01 2.61E-01 2.31E-01 2.42E-01 2.05E-01

1.2 2.20E-01 2.20E-01 2.27E-01 2.27E-01 2.16E-01

1.3 1.17E-01 1.03E-01 1.46E-01 1.34E-01 1.58E-01

1.4 -1.67E-02 -3.92E-02 2.40E-02 4.53E-03 5.55E-02

1.5 -1.28E-01 -1.50E-01 -9.28E-02 -1.12E-01 -5.35E-02

1.6 -1.81E-01 -1.92E-01 -1.65E-01 -1.76E-01 -1.33E-01

1.7 -1.62E-01 -1.57E-01 -1.74E-01 -1.72E-01 -1.62E-01

1.8 -8.73E-02 -6.87E-02 -1.22E-01 -1.08E-01 -1.36E-01

1.9 9.79E-03 3.50E-02 -3.49E-02 -1.31E-02 -6.94E-02

2.0 9.19E-02 1.13E-01 5.51E-02 7.55E-02 1.20E-02

Tabla 2.1.4. Comparación de Aceleración entre Métodos. (Autoría propia, 2020).

Aceleración (m/s²)

Tiempo

(s)

Interpolación

de la

Excitación

Diferencia

Central

Newmark

Aceleración

Promedio Constante

Newmark

Aceleración

Lineal

Wilson

Vib

raci

ón

Forza

da

0.0 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00 0.00E+00

0.1 6.13E-01 6.57E-01 6.01E-01 6.18E-01 5.73E-01

0.2 5.75E-01 6.07E-01 5.81E-01 5.89E-01 5.58E-01

0.3 -1.74E-01 -2.06E-01 -1.33E-01 -1.55E-01 -1.06E-01

0.4 -1.13E+00 -1.23E+00 -1.08E+00 -1.12E+00 -9.93E-01

0.5 -1.57E+00 -1.68E+00 -1.55E+00 -1.59E+00 -1.46E+00

0.6 -1.03E+00 -1.06E+00 -1.10E+00 -1.09E+00 -1.07E+00

0.7 3.19E-01 4.17E-01 1.80E-01 2.51E-01 8.40E-02

0.8 1.76E+00 1.95E+00 1.61E+00 1.72E+00 1.42E+00

Vib

ra

ción

Lib

re

0.9 1.78E+00 1.92E+00 1.74E+00 1.80E+00 1.57E+00

1.0 1.16E+00 1.18E+00 1.26E+00 1.24E+00 1.22E+00

1.1 2.00E-01 9.27E-02 4.05E-01 3.16E-01 5.13E-01

1.2 -7.20E-01 -9.05E-01 -4.93E-01 -6.20E-01 -2.77E-01

1.3 -1.27E+00 -1.45E+00 -1.13E+00 -1.24E+00 -8.93E-01

1.4 -1.30E+00 -1.39E+00 -1.31E+00 -1.35E+00 -1.16E+00

1.5 -8.63E-01 -8.21E-01 -1.03E+00 -9.79E-01 -1.02E+00

1.6 -1.64E-01 -1.57E-02 -4.26E-01 -3.07E-01 -5.77E-01

1.7 5.11E-01 7.01E-01 2.55E-01 3.97E-01 3.07E-03

1.8 9.23E-01 1.07E+00 7.75E-01 8.84E-01 5.19E-01

1.9 9.55E-01 1.00E+00 9.76E-01 1.01E+00 8.13E-01

2.0 6.40E-01 5.67E-01 8.23E-01 7.65E-01 8.16E-01



3. Discusión

Con el fin de dar validez a los resultados obtenidos por

ReDi v1.0, en este capítulo se modelan ejercicios de

diversos autores que se han resuelto con los métodos de

Interpolación de la Excitación, Diferencia Central,

Newmark y Wilson, una vez encontrada la respuesta

dinámica con el programa ReDi v1.0, se comparan los

resultados. Se hacen dos validaciones al programa, la primera de

ellas es a todos los métodos numéricos programados con

el caso de Fuerza Aplicada en el Grado de Libertad, y

posteriormente se verifica que pueda ser utilizado

también en el caso de Excitación en la Base.

3.1. Fuerza Aplicada en el Grado de Libertad

Se modela el siguiente ejercicio de vibración libre,

presentado en el libro Chopra, A. K., 2014. Dinámica de

estructuras.

Considere el siguiente problema de vibración libre:

𝑚�̈� + 𝑘𝑢 = 0, �̇�(0) = 0 y 𝑢(0) = 1, cuya solución

teórica es 𝑢(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑛𝑡.

La solución de cada método se compara con la

solución presentada en el libro de Chopra. Para la

solución de este problema se comienza por ingresar todos

los datos de entrada, se tomarán además valores de 𝑇𝑛 =1𝑠 y Δ𝑡 = 0.1𝑠, esto con la finalidad de tener una

relación Δ𝑡𝑇𝑛

⁄ = 0.1.

Figura 3.1.1. Condiciones de Vibración Libre con

𝚫𝒕𝑻𝒏

⁄ = 𝟎. 𝟏. (Autoría propia, 2020).

A continuación, se presentan las gráficas de la

respuesta de desplazamiento por cada método.


Interpolación de la Excitación. (Autoría propia,

2020).


Diferencia Central. (Autoría propia, 2020).


Newmark Aceleración Promedio Constante.



Newmark Aceleración Lineal. (Autoría propia,

2020).


Wilson. (Autoría propia, 2020).

Las soluciones anteriores se han exportado a una sola

gráfica y posteriormente se ha superpuesto la solución

mostrada en el libro de Chopra.



Figura 3.1.7. Respuestas a Vibración Libre en

términos de desplazamiento con el programa ReDi

v1.0. (Autoría propia, 2020).

Figura 3.1.8. Solución de Vibración Libre con

𝚫𝒕𝑻𝒏

⁄ = 𝟎. 𝟏 mediante cuatro métodos numéricos1 y

solución exacta Chopra (2014).

Figura 3.1.9. Comparativa de Respuestas a

Vibración Libre entre Chopra (2014) y programa

ReDi v1.0. (Autoría propia, 2020).

Aunque este problema no fue solucionado por el

Método de Interpolación de la Excitación en el libro de

Chopra, se puede observar que es el método más

aproximado a la solución teórica.

Para los Métodos de Diferencia Central, Newmark

con Aceleración Promedio Constante y Newmark con

Aceleración Lineal se observa una coincidencia exacta

entre la solución mostrada por Chopra y la solución en el

programa ReDi v1.0.

En el caso del Método de Wilson hay una clara

diferencia entre ambas soluciones, cabe mencionar que en el libro de Chopra no se muestra como fue calculada

ni se presenta el desarrollo del método. De acuerdo con

el artículo “Two Versions of the Wilson-θ Time

Integration Method” de Soroushian, A., et al., el método

utilizado por Chopra está basado en una formulación

incremental del método, es decir, no corresponde al

método original de Wilson y no debería ser presentado

como tal.

Como aún no queda evidenciado que la solución

obtenida con el programa ReDi v1.0 para el Método de

Wilson es correcta, la validación del programa se realizó

comparando la solución de un caso de vibración libre presentada por K. J. Bathe y E. L. Wilson en el artículo

“Stability and Accuracy Analysis of Direct Integration

Methods”.

4. Conclusión

De acuerdo con las validaciones realizadas se observa

que ReDi v1.0 proporciona resultados correctos y por lo

tanto será una herramienta confiable para la enseñanza y

aprendizaje de la dinámica estructural. En este documento se presentan las demostraciones de cada

método numérico, por lo que se cuenta con una referencia

bibliográfica para su estudio. Con la validación del

Método de Wilson se hizo evidente la diferencia entre dos

formulaciones distintas para este método, y se demostró

que este programa utiliza la formulación original

desarrollada por el autor. Los métodos de Diferencia

Central, Newmark y Wilson proporcionan una solución

adecuada para cualquier nivel de amortiguamiento.

El método basado en la Interpolación de la Excitación

únicamente se programó con las ocho constantes correspondientes al caso subamortiguado (ζ<1). Todas

las estructuras civiles corresponden al caso

subamortiguado (ζ<1) y por lo tanto todos los métodos

numéricos presentados en ReDi v1.0 pueden ser

empleados. Con ReDi v1.0 se pueden hallar respuestas

muy cercanas a las soluciones exactas debido a que el

usuario puede elegir cualquier intervalo de tiempo corto

(por ejemplo 0.001).

Cuando se emplean intervalos de tiempo Δt muy

cortos las respuestas de todos los métodos numéricos

programados convergen entre sí. Se recomienda conocer

los límites de estabilidad para los métodos de Diferencia Central, Newmark con Aceleración Lineal y Wilson; o

bien utilizar métodos incondicionalmente estables. Para

el desarrollo de Espectros de Respuesta Elásticos se

recomienda emplear un método numérico

incondicionalmente estable.



REFERENCIAS

[1] Morales, C., Evaluación de software educativo, 1998. [2] Hinojoza, O., Software para la enseñanza de la

dinámica estructural, 2009. [3] Cataldi, Z., El ciclo de vida y la matriz de actividades

como base para el diseño y el desarrollo metodológico de software educativo, 2006.

[4] Clough, R. & Penzien, J., Dinámica de las estructuras, 1995.

[5] Humar, J. L., Dynamics of structures, 2002. [6] Cassano, A. M., Análisis de estructuras bajo acciones

dinámicas, 2009. [7] Chopra, A. K., Dinámica de estructuras, 2014. [8] Bazan, E. & Meli, R., Manual de diseño sísmico de

edificios, de acuerdo con el reglamento de construcciones para el Distrito Federal, 1983.

[9] Paz, M., Dinámica estructural teoría y cálculo. Reverté, 1992.

[10] García, L. E., Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico, 1998.

[11] Laureano, A. L., Terán, A. & De Artiaga, F., Un enfoque didáctico-cognitivo del análisis de los conceptos de los sistemas de un grado de libertad, 2003.

[12] Reyes, L. E., Dinámica estructural aplicada al diseño sísmico, 1998.


métodos numéricos herramienta de apoyo en el estudio de la

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