mrezno planiranje_skripta

1ANALIZA MREA

Graf - osnovni pojmovi Graf je matematika struktura koja se sastoji od konanog skupa

vorova C i skupa grana L koje povezuju vorove Oznaka grafa je G(C,L) L je binarna relacija na C tj. podskup kartezijevog produkta CxC

1

2

3

4

5

6

7

C = {1,2,3,4,5,6,7}L = { (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,5),(2,6),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,3),

(4,6),(5,2),(5,3),(5,6),(5,7),(6,3),(6,4),(6,5),(6,7),(7,5),(7,6) }

2Graf - osnovni pojmovi

Simetrian (neorijentiran) graf L je simetrina relacija Grane nisu usmjerene

Asimetrian (orijentirani) graf L je asimetrina relacija Grane su usmjerene

Graf - osnovni pojmovi

Put je slijed grana od nekog poetnog do zavrnog vora

Elementarni put je put koji najvie jednom prolazi kroz svaki vor

Zatvoreni put (petlja) je put u kojemu je zavrni vor jednak poetnom

Spojeni graf je graf kod kojeg postoji put izmeu bilo koja dva vora

Stablo je spojeni graf koji ne sadri ni jednu petlju

3Graf - osnovni pojmovi Prikaz modela realnog svijeta

Gradovi i ceste koje ih povezuju Rafinerije i potroai spojeni naftovodima Trafostanice i elektrini vodovi

U realnom svijetu granama se pridruuju realni brojevi koji znae udaljenost, troak prijevoza, vrijeme putovanja, kapacitet i otpor elektrine struje, ...

Granama su pridruene teine Graf kod kojeg su granama pridruene teine

naziva MREA

Problem maksimalnog tokaPrimjer: Razmatramo protok nafte iz jedne rafinerije (ishodite) do neke druge

rafinerije (odredite) preko drugih rafinerija. Koliina nafte koja u odreenu rafineriju ulazi jednaka je koliini koja iz te rafinerije izlazi. Nafta uvijek ide samo jednim smjerom. Maksimalna koliina nafte koja moe tei naftovodom (granom) je kapacitet grane. Koja je maksimalna koliina nafte t (maksimalni tok) koja moe iz ishodita biti transportirana u odredite?

1

2

3

423k

13k

12k 24k

t t

Grane (1,2) (1,3) (2,3) (3,2) (2,4) (3,4)

Tok

32k

34k

Kapacitet grana 12k 13k 23k 24k 34k

32k

t

4Problem maksimalnog toka - rjeenje linearnim programiranjem

Matematiki model

3434

3232

24243424

232334322313

131324233212

12121312

0 0

0 0

0 0

ktkt

kttttktttttktttttktttt

=++=++=++=

Ouvanje materije u svakom Ogranienja na kapacitetvoru

Cilj max t

Problem se moe rijeiti simpleks metodom no postoje i drugemetode.

Rez na mrei

Rez na mrei je rastav skupa C na disjunktne podskupove S i T za koje vrijedi:

S = {1, 2, 3} T = {4}

==

TSCTS

CTCSc

i odredite Tc ishodite, S n1

1

2

3

423k

13k

12k 24k

t t

34k

32k

5Rez na mreiKapacitet reza je suma kapaciteta svih grana koje su usmjerene iz S u T

S = {1, 2, 3} T = {4}

1

2

3

423k

13k

12k 24k

t t

34k

32k 3424),( kkTSK +=

1

2

3

423k

13k

12k 24k

t t

34k

32k

S = {1, 3} T = {2,4}

343213),( kkkTSK ++=

23k

ne utjee na kapacitet reza

Kapacitet

Rez na mrei

Za svaku usmjerenu mreu ako je t tok od ishodita do odredita, a (S,T) rez vrijedi:

),( TSKt

Teorem maksimalni tok - minimalni rez

Za svaku mreu je koliina maksimalnog toka jednaka kapacitetu minimalnog reza.

6Algoritam za pronalaenje maksimalnog tokaBaziran na teoremu maksimalni tok - minimalni rez.Kod nekog stanja u mrei trai se put kojim se moe poslati dodatni pozitivan tok od ishodita prema odreditu. Taj put zove se put dodatnog toka.

Izbor vorova za put dodatnog toka:

Polazimo od ishodita i odabiremo vor j ako dodatni pozitivan tok moe biti usmjeren od ishodita prema tom voru. To je mogue ako vrijedi jedna od dvije tvrdnje:

1. Grana (i,j) jest izlazna grana za vor i, a tok u (i,j) je manji od kapaciteta

2. Grana (i,j) jest ulazna grana za vor i (od j prema i), a postoji tok u (j,i)

ijk

Algoritam za pronalaenje maksimalnog toka

Izbor vorova za put dodatnog toka zavrava izborom odredita. Nakon to se kroz mreu propusti dodatni tok koji odgovara najveem toku koji put dodatnog toka moe propustiti, trai se novi put dodatnog toka. Postupak zavrava kad se vie ne moe pronai niti jedan put dodatnog toka.

7Algoritam za pronalaenje maksimalnog toka

1

2

3

43

9

7 9

t t

8

Primjer: Odrediti maksimalni tok u mrei na slici.

Algoritam za pronalaenje maksimalnog toka0. korak - Mrea u kojoj nema toka

1

2

3

4)3,0(

)9,0(

)7,0( )9,0(

0=t 0=t

)8,0(

granekapacitet b granu kroz tok a ),(

==ba

Za put dodatnog toka odabiremo vorove 1, 2, 3, 4.

1

2

3

43

7

8

Najvei mogui tok kroz ovaj put je 3.


1

2

3

4)3,3(

)9,0(

)7,3( )9,0(

3=t 3=t

)8,3(

1

2

4

4 9

Novo stanje u mrei:

Za put dodatnog toka odabiremo vorove 1, 2, 4.

Najvei mogui tok kroz ovaj put je 4 tj. put dodatnog toka ima kapacitet 4.


1

2

3

4)3,3(

)9,0(

)7,7( )9,4(

7=t 7=t)8,3(

Novo stanje u mrei:

Grana (1,2) je zasiena pa za put dodatnog toka odabiremo vorove 1, 3, 4.

1

3

49 5

Najvei mogui tok kroz taj put je 5 (razlika postojeeg toka i kapaciteta u grani (3,4)).


1

2

3

4)3,3(

)9,5(

)7,7( )9,4(

12=t 12=t

)8,8(

Novo stanje u mrei:

Grana (3,4) je zasiena pa iz 3 ne moemo u 4. Primjenom drugogpravila odabiremo vor 2, a zatim prema prvom pravilu vor 4. Put dodatnog toka ine vorovi 1, 3, 2,4.

1

2

3

43

9

5

Kapacitet ovog puta je 3. Da bi poveali tok na ovom putu moramopoveati tok na granama koje teku prema odreditu, a smanjiti nagranama koje teku prema ishoditu.


1

2

3

4)3,0(

)9,8(

)7,7( )9,7(

15=t 15=t

)8,8(

Obzirom da ne moemo vie pronai ni jedan dodatni pozitivan tok od ishodita prema odreditu, dolazimo do konanog stanja mree.

Sljedei korak je odreivanje minimalnog reza. Skup S ine odabrani vorovi (1 i 3), a skup T preostali (2 i 4). Maksimalni tok kroz mreu je 15.

ST

10

MRENO PLANIRANJE

PROJEKT

Povezani skup aktivnosti za postizanje unaprijed odreenih ciljeva Aktivnosti su ograniene vremenom

trajanja i utrokom resursa (kadrovi, oprema, prostor, financijska sredstva)

11

Upravljanje projektom (Project management)

Planiranje Usmjeravanje Koordinacija Motiviranje Nadzor i kontrolasvih resursa projekta s ciljem izgradnje

sustava odgovarajue kvalitete, na vrijeme i uz utroak minimalnih sredstava

Upravljanje projektom (Project management)

Planiranje, terminiranje i koordinacija aktivnosti projekta predstavljaju glavni imbenik uspjenog upravljanja projektom

Problem: Kojim redoslijedom obavljati aktivnosti projekta

da bi se obavile sve aktivnosti i projekt zavrio u planiranom vremenu? Kako planirati potrebno vrijeme za izvoenje

projekta? Rjeenje Mreno planiranje

12

Faze mrenog planiranja

Analiza strukture Utvrivanje redoslijeda i meusobnih zavisnosti

aktivnosti projekta Analiza vremena Odreivanje minimalnog vremena projekta

Analiza trokova Utvrivanje minimalnih trokova projekta

Raspodjela resursa Kako koristiti raspoloive resurse

Analiza strukture

Popis aktivnosti, njihov redoslijed i meusobnu zavisnost moemo opisati pomou: Tabele popisa aktivnosti Ima dva stupca. U prvom se nalazi opis aktivnosti,

a u drugom aktivnosti koje prethode toj aktivnosti tj. one aktivnosti koje moraju zavriti da bi promatrana aktivnost mogla zapoeti

Mrenog dijagrama Grafiki prikaz projekta

13

Metode mrenog planiranja

CPM (Critical Path Mehod) - Metoda kritinog puta PERT (Program Evaluation and Review

Technique) Obje metode koriste se u fazi analize

strukture, analize vremena i analize trokova

CPM i PERT metoda

Projekt se ralanjuje na pojedinane aktivnosti Za svaku aktivnost definiraju se preduvjeti

(skup aktivnosti koje moraju biti zavrene prije poetka ove aktivnosti) i vrijeme trajanja aktivnosti Slijed odvijanja aktivnosti prikazuje se mreom Koriste se dva osnovna tipa prikaza Mrea s aktivnostima na granama Mrea s aktivnostima u vorovima

14

Mrea s aktivnostima na granama

Grane u mrei predstavljaju aktivnosti vorovi u mrei oznaavaju odreene

vremenske trenutke u kojima zavrava jedna ili vie aktivnosti. Taj trenutak zovemo dogaaj. Aktivnosti su jednoznano oznaene

poetnim i zavrnim vorom

Mrea s aktivnostima na granama - primjer

3281323

Trajanje

C,FG - TestiranjeEF - Obuka korisnikaDE - Izrada aplikacijeAD - Generiranje baze podatakaBC - Instaliranje raunalaAB - Nabava raunala-A - Projektiranje IS-a

PreduvjetiAktivnost

Trai se minimalno vrijeme projekta razvoja informacijskog sustava ako suzadana vremena trajanja pojedinih aktivnosti i preduvjeti.

15


Zavreno testiranje7

Obueni korisnici i instalirana raunala6

Generirana aplikacija5

Generirana baza podataka4

Isporuena raunala3

Zavretak projektiranja2

Poetak projekta1

Opis dogaajaOznaka dogaaja


3

2

4 5

61 A3

B2

C

1

E

3

D

G3

8

F 2

7

16

Rjeenje linearnim programiranjem

03281323

)min(

67

56

45

24

36

23

12

17

ittttttttttttttt

tt

it Vrijeme i-tog dogaaja.Trenutak u kojem moe zapoeti aktivnost ija

Mogue je rjeenje simpleks metodom, nozbog jednostavnosti moemo rijeiti runo.

171412453

0

7

6

5

4

3

2

1

======

=

tttttt

tStavimo

Redom dobijemo

Minimalno vrijemeprojekta je 17-0 = 17

Rjeavanje analizom mrea

j)(i, aktivnosti trajanjeje ; )(max ijijiij ttUU +=

Za svaki vor u mrei definiramo najranije vrijeme dogaaja jkao najranije vrijeme u kojem moe zapoeti aktivnost koja kree iz vora j.Aktivnost koja kree iz vora j moe zapoeti najranije tek kad zavre sve aktivnosti koje ulaze u vor j.

1

2

3

j k

A

B

C

D

) t U;tU; max( 3j32j211 +++= jj tUU

17


j)(i, aktivnosti trajanjeje ; )(min ijijjji ttVV =

Za svaki vor u mrei definiramo i najkasnije vrijeme dogaaja jkao najkasnije vrijeme u kojem mora zapoeti aktivnost (i,j), a da se ne promijeni vrijeme zavretka projekta.Najkasnije vrijeme rauna se kroz mreu unatrag poevi od posljednjeg vora nakon to se izraunaju najranija vremena. U posljednjem voru najranije i najkasnije vrijeme se izjednae.

5

6

ik

F

E

H

G

min 665544 } t ; Vt ; Vt {VV iiii =

4


Redni broj dogaaja

Najranijevrijeme

Najkasnijevrijeme

Uobiajeni nain predstavljanja vorova u mrei s aktivnostimana granama.

18


23 3

10 0

35 11

614 14

717 17

44 4

512 12

A

B C

FD

E

G

3

2

1

3

3

8

2

Rjeavanje analizom mreaKod nekih dogaaja su najranije i najkasnije vrijeme jednaki, dok kod nekih nisu. Vremenski interval izmeu najranijeg i najkasnijeg vremena dogaajanaziva se vremenska rezerva dogaaja.Ako je vremenska rezerva nekog dogaaja 0, u sluaju da zakasni taj dogaaj zakasnit e i cijeli projekt. Dogaaj koji nema rezerve naziva se kritini dogaaj.Put koji spaja poetak i zavretak projekta preko kritinih dogaaja nazivase kritini put.Aktivnosti na kritinom putu zovu se kritine aktivnosti.

U naem primjeru kritini dogaaji su 1, 2, 4, 5, 6 i 7, a kritine aktivnosti suA, D, E, F i G.

19

Terminski planRezultat terminskog plana projekta trebaju biti sljedee informacije za svaku aktivnost (i,j):

1. Najraniji poetak aktivnosti (earliest start) ES(i,j)2. Najkasniji poetak aktivnosti (latest start) LS(i,j)3. Najraniji zavretak aktivnosti (earliest finish) EF(i,j)4. Najkasniji zavretak aktivnosti (latest finish) LF(i,j)5. Vremenska rezerva aktivnosti (total float) R(i,j)

Formule za izraunavanje ovih veliina:

ij

j

iji

ij

i

tjiESjiLFjiRVjiLF

tUEF(i,j)tLS(i,j)

UES(i,j)

==

+==

=

),(),(),( .5),( .4

.3

V .2 .1

j

Fiktivna aktivnostAktivnost koja se uvodi, a koja u stvarnom projektu ne postoji. Njezino trajanje je 0.

To je potrebno u sluajevima kad postoji vie aktivnosti koje imaju isti poetak i kraj . U tom sluaju obje aktivnosti imaju jednaku oznaku (i,j)pa ih ne moemo jednoznano identificirati.

PARALELNE AKTIVNOSTI

5 76

7515

9

15

09

pogreno ispravno

20

Fiktivna aktivnostPonekad je prikaz zavisnosti meu aktivnostima mogue korektno prikazati samo pomou fiktivne aktivnosti.

pogreno ispravno

A,BCBD

PREDUVJETAKTIVNOST

A

B

C

D

A C

B

0D

Primjer

Zavretak projekta8

Zavretak aktivnosti I, F, J7

Zavretak aktivnosti G i H6

Zavretak aktivnosti D i E5

Zavretak aktivnosti C4

Zavretak aktivnosti A i B3

Zavretak aktivnosti A2

Poetak projekta1

Opis dogaajaOznaka dogaaja

Analiza strukture:

21

Prikaz pomou mree

2

1 3

5

4 6

7 8

A4

B5

C4

E8

D8

G15 J

6

H

7

7

I

F10

K

0

Analiza vremena

10 0

24 5

35 5

727 27

45 13

513 21

829 29

620 20

A

D

8I

F

5

C

H

G J

K

4

8

E 6

715

7

5

B

210

0

22

ANALIZA TROKOVA

Analiza trokova projekta

Uz prekoraenje rokova izvoenja projekta prekorauju se i planirani trokovi

CILJ: upravljati trokovima projekta

Analiza trokova obuhvaa1. Zavisnost trokova aktivnosti o trajanju aktivnosti2. Zavisnost trokova o vremenu izvravanja projekta

Trokovi su funkcije samo vremena (ostali parametri se ne uzimaju u obzir)

Razvijene su razliite metode koje u osnovi imaju metode planiranja vremena CPM, PERT. Procjena trokova zapoinje tek nakon postavljanjamrenog dijagrama i zavretka analize vremena.

23

Pretpostavke analize trokova

Trajanje neke aktivnosti moe se tono procijeniti

Trajanje aktivnosti obrnuto je proporcionalno s koliinom resursa - angairanjem dodatnih resursa (ljudi, strojeva, materijala) moe se skratiti vrijeme trajanja aktivnosti

Vrijeme trajanja aktivnosti nije mogue skratiti proizvoljno jer se resursi ne mogu poveavati neogranieno (npr. broj radnika koji mogu istovremeno koristiti neki stroj)

Trokovi zavise samo o vremenu trajanja aktivnosti

PERT/COST metoda - Trokovi aktivnosti

Definira se zavisnost trokova i trajanja aktivnosti na osnovi sljedeih vrijednosti:

1. Normalno trajanje aktivnosti - najdue vrijeme trajanja aktivnosti. Produenje nema opravdanja (npr. dovelo bi do neiskoritenja resursa)

2. Skraeno trajanje aktivnosti - najkrae mogue trajanje aktivnosti - vrijeme koje se ne moe skratiti niti dodatnim mjerama (dodatna ulaganja nemaju utjecaja na trajanje)

3. Normalni troak - troak aktivnosti ako se izvrava u normalnom trajanju

4. Trokovi uz skraeno trajanje - ulaganja potrebna za izvrenje aktivnosti u minimalnom vremenu

24

PERT/COST metoda - Trokovi aktivnosti

- Za svaku aktivnost poznat je troak koji odgovara ekstremnim tokama trajanja aktivnosti (normalno i skraeno trajanje)

- Zanima nas troak aktivnosti za neko vrijeme trajanja aktivnosti izmeu ekstremnih trajanja

- PERT/COST metoda polazi od pretpostavke da je troak aktivnosti linearna funkcija trajanja aktivnosti i izraunava prosjeni prirast trokova za pojedinu aktivnost

- Za svaku vremensku jedinicu skraenja trajanja aktivnosti troak aktivnosti povea se za prosjeni prirast

- Prosjeni prirast predstavlja jedinini troak skraenja

Odreivanje jedininog troka skraenja

)(

)(

),( , ),(

sijs

ijnij

sij

nijs

ijijsij

nij

nij

sij

ij

sijijs

ijnij

sij

nijs

ijij

nij

nij

sij

sij

ijijijij

tttCC

CtttCC

C

ttttCC

CC

tCBtCA

btcC

+

=

=

+=

Je jedinini troak skraenja aktivnosti.Iznos za koji se povea troak aktivnosti ako trajanje aktivnosti smanjimo za jednu vremensku jedinicu.

Jednadba linearne funkcije koja prolazi kroz toke A i B.Koordinate od A su skraeno trajanje i odgovarajui troak, a od B su normalno trajanje i odgovarajui troak.

sij

nij

nij

sij

ij ttCC

c =

Linearna funkcija koja prikazuje zavisnost troka aktivnosti od vremena trajanja aktivnosti.

ijc

25

PERT/COST metoda - Trokovi projekta

- Analiza trokova projekta polazi od injenice da svakom zadanom vremenu izvrenja projekta odgovara odreeni troak. Zadatak je odreivanje tog troka.

- Polazimo od normalnog trajanja aktivnosti i odgovarajueg troka projekta

- Skraujemo vrijeme izvrenja projekta tako da se trokovi najmanje poveaju

PERT/COST metoda - postupak1. Skraujemo vrijeme trajanja samo kritinih aktivnosti

(skraivanjem trajanja nekritinih aktivnosti ne skraujemo vrijeme trajanja projekta)

2. Skraujemo vrijeme aktivnosti s najmanjim jedininim trokom skraenja (najmanje utjee na troak projekta)

3. Ako postoji vie kritinih putova sve putove skratiti za isti broj jedinica

4. Vrijeme izvravanja projekta skraivati dok se ne dostigne rok koji odgovara skraenom vremenu kritinih aktivnosti

Primjenjujui ovaj postupak za svako utvreno vrijeme trajanjaprojekta imamo najmanje trokove projekta. Izbor meu dobivenim rjeenjima ovisi o tome da li je vaniji krai rok ili

nii trokovi.

26

PERT/COST metoda - primjer

310=nTTrokovi projekta uz normalno trajanje aktivnosti i uz maksimalno skraenje svih aktivnosti.

384310UKUPNO

101022I, F, JK

352757G, HJ

352946D, EI

352737CH

60451215A, BG

4036810A, BF

282678A, BE

302158AD

807045-C

15935-B

161024-A

SkraenoNormalnoSkraenoNormalnoTrokoviTrajanjeOvisi o

aktivnostiAktivnost

384max =T

PERT/COST metoda - primjer

384

10

35

35

35

60

40

28

30

80

15

16

Skraeno

-

4325223

1033

Jedininitroak

skraenja

310

10

27

29

27

45

36

26

21

70

9

10

Normalno

Trokovi

UKUPNO

22I, F, JK

57G, HJ

46D, EI

37CH

1215A, BG

810A, BF

78A, BE

58AD

45-C

35-B

24-A

SkraenoNormalno

TrajanjeOvisi o aktivnostiAktivnost

27

Prvo rjeenje

310=nT

10 0

24 5

35 5

727 27

45 13

513 21

829 29

620 20

4

8

76

10

45

7

15 7

22

5

8 4

512

3

35

28

0

Ukupni troak projekta je zbroj trokova pojedinanih aktivnosti kad se izvravaju u normalnom vremenu. Vijeme trajanja projekta je 29, a troak:

Analiza mogunosti skraenja trajanja projekta

Kritini put: 1, 3, 6, 7, 8. Najmanji jedinini troak je za aktivnost B(1,3) jer se(7,8) ne moe skraivati.Maksimalno mogue skraenje B je za 2. Trajanje B(1,3) emo skratiti za 1 jer to dozvoljava vremenska rezerva alternativnog puta 1,2,3.

10 0

24 5

35 5

727 27

45 13

513 21

829 29

620 20

4

8

76

10

45

7

15 7

22

5

8 4

512

3

35

28

0

-

4

3

2

5

2

2

3

10

3

3

Jedininitroak

skraenja

K(7,8)

J(6,7)

I(5,7)

H(4,6)

G(3,6)

F(3,7)

E(3,5)

D(2,5)

C(1,4)

B(1,3)

A(1,2)

Aktivnost

28


Skraenje trajanja B(1,3) za 1 poveava troak projekta za 3.Ukupno trajanje projekta je 28, a troak 313.Kritini putevi: 1,2,3,6,7,8. i 1,3,6,7,8.Najmanji jedinini troak ima aktivnost B(1,3) - 3. Maksimalno mogue skraenje je za 1, a toliko je i dozvoljeno 1. Skraujemo i aktivnost A na drugom kritinom putu za 1.

-

4

3

2

5

2

2

3

10

3

3

Jedininitroak

skraenja

K(7,8)

J(6,7)

I(5,7)

H(4,6)

G(3,6)

F(3,7)

E(3,5)

D(2,5)

C(1,4)

B(1,3)

A(1,2)

Aktivnost

10 0

24 4

34 4

726 26

45 12

512 20

828 28

619 19

4

8

76

10

45

7

15 7

22

5

8 4

512

3

34

28

0


Skratili smo B(1,3) i A(1,2) za 1. Poveanje troka je za 3+3. (319). Trajanje projekta 27.Kritini putevi: 1,3,6,7,8 i 1,3,7,8. (isti kao u prethodnom rjeenju).Sada skraujemo aktivnost A(1,2) za 1 (najvie to moemo na oba kritina puta).

10 0

23 3

33 3

725 25

45 11

512 19

827 27

618 18

3

8

76

10

45

7

15 7

22

5

8 4

512

3

33

28

0

-

4

3

2

5

2

2

3

10

3

3

Jedininitroak

skraenja

K(7,8)

J(6,7)

I(5,7)

H(4,6)

G(3,6)

F(3,7)

E(3,5)

D(2,5)

C(1,4)

B(1,3)

A(1,2)

Aktivnost

29


Skratili smo A(1,2) za 1. Poveanje troka je za 3. (322)Kritini put: 1,3,6,7,8. Najmanji troak ima aktivnost J(6,7) pa ju skraujemo za 2 (najvie to moemo).

10 0

22 3

33 3

724 24

45 11

511 18

826 26

618 18

2

8

76

10

45

7

15 7

22

5

8 4

512

3

33

28

0

-

4

3

2

5

2

2

3

10

3

3

Jedininitroak

skraenja

K(7,8)

J(6,7)

I(5,7)

H(4,6)

G(3,6)

F(3,7)

E(3,5)

D(2,5)

C(1,4)

B(1,3)

A(1,2)

Aktivnost


Skratili smo J za 2. Poveanje troka je za 8. (330)Kritini put: 1,3,6,7,8. Najmanji troak ima aktivnost G(3,6)) pa ju skraujemo za 3 (najvie to moemo).

10 0

22 3

33 3

723 23

45 11

511 17

825 25

618 18

2

8

76

10

45

7

15 5

22

5

8 4

512

3

33

28

0

-

4

3

2

5

2

2

3

10

3

3

Jedininitroak

skraenja

K(7,8)

J(6,7)

I(5,7)

H(4,6)

G(3,6)

F(3,7)

E(3,5)

D(2,5)

C(1,4)

B(1,3)

A(1,2)

Aktivnost

30


Skratili smo G(3,6) za 3. Poveanje troka je za 15. (345)Obzirom da su sve kritine aktivnosti maksimalno skraene, dobili smo posljednje rjeenje.

Vrijeme trajanja projekta je 22, a troak 345.

10 0

22 3

33 3

720 20

45 11

511 17

822 22

615 15

2

8

76

10

45

7

12 5

22

5

8 4

512

3

33

28

0

-

4

3

2

5

2

2

3

10

3

3

Jedininitroak

skraenja

K(7,8)

J(6,7)

I(5,7)

H(4,6)

G(3,6)

F(3,7)

E(3,5)

D(2,5)

C(1,4)

B(1,3)

A(1,2)

Aktivnost

PERT METODA

31

PERT metoda

Program Evaluation and Review Technique (Ocjena irevizija programa)Vrijeme trajanja aktivnosti je sluajno. Poznat je samo vremenski razmak u kojem se aktivnost izvrava s odreenomvjerojatnou pa se definiraju tri vremena:1. Optimistiko trajanje a - trajanje u posebno povoljnim

uvjetima2. Normalno trajanje m - pretpostavljeno trajanje u normalnim

uvjetima3. Pesimistiko trajanje b - trajanje u posebno nepovoljnim

uvjetima u kojima djeluju svi nepovoljni imbenici

PERT metoda

ijijij bma

32

PERT metoda

iEiLi

jL

jE

iL

iE

TTRTTTT

)()()(

)()()(

=

Najraniji oekivani poetak.

Oekivano vrijeme trajanja projekta jednako je sumi oekivanihvremena aktivnosti na kritinom putu.Budui se radi o sluajnoj veliini, projekt se moe zavriti i zakrae vrijeme, pa se izraunava vjerojatnost vremena izvravanjaprojekta.

Vremena dogaaja izraunavamo kao i kod CPM metode,uzimajui u obzir oekivano trajanje aktivnosti.

Najraniji oekivani zavretak.Najkasniji oekivani poetak..

Najkasniji oekivani zavretak.Vremenska rezerva.

mrezno planiranje_skripta

Documents