tehniki na mrezno planiranje

27
1 1 ТЕХНИКИ ЗА МРЕЖНО ПЛАНИРАЊЕ 1.1 ПРОЕКТ, АКТИВНОСТ, НАСТАН Под поимот проект се подразбира било која планска задача која е потребно да се изведе во некој временски интервал. Тоа може да биде било кој процес, работа или изработка на некој производ, кај кои се бара исполнување на временски рокови. Примери на проекти се: изработка на некој производ, како книга, телевизор и слично; изградба на некој објект, како брана, зграда и слично; проектирање и консултирање; истражувачки и развојни проекти; набавка и инсталирање на машини; ремонт и одржување на машини и тн. Секој проект се дели на низа подзадачи или фази кои треба да се извршат во одредена зависност едни од други. Секоја од тие подзадачи се нарекува активност. Активност може да биде почеток на дупчење, прекин на изградба на пат поради невреме и слично. Кога се работи врз даден проект, прво како најважна задача е да се направи план за работа кој би ги опфаќал сите активности на дадениот проект со нивното временско траење и меѓусебна зависност. Оваа задача не е тривијална, па за нејзино решавање развиени се т.н. техники за мрежно планирање. Овие техники најчесто користат мрежен дијаграм за преставување на даден проект, кој преставува Slika 2 Aktivnost vo mre`en dijagram слика на времетраењето и меѓузависностите на активностите што го сочинуваат тој проект. Од начинот на разработка на даден проект, ќе зависи и неговиот мрежен дијаграм и притоа, измените во проектот ќе диктираат измени и во мрежниот дијаграм. Во мрежниот дијаграм активноста се прикажува со стрелка, при што воопшто не е важна нејзината должина и нејзиниот облик (Слика 1). 1 2 Slika 1 Po~eten i kraen nastan na edna aktivnost

Upload: mite-gjorgiev

Post on 21-Apr-2015

485 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: Tehniki Na Mrezno Planiranje

1

1 ТЕХНИКИ ЗА МРЕЖНО ПЛАНИРАЊЕ

1.1 ПРОЕКТ, АКТИВНОСТ, НАСТАН

Под поимот проект се подразбира било која планска задача која е

потребно да се изведе во некој временски интервал. Тоа може да биде било кој

процес, работа или изработка на некој производ, кај кои се бара исполнување

на временски рокови. Примери на проекти се:

изработка на некој производ, како книга, телевизор и слично;

изградба на некој објект, како брана, зграда и слично;

проектирање и консултирање;

истражувачки и развојни проекти;

набавка и инсталирање на машини;

ремонт и одржување на машини и тн.

Секој проект се дели на низа подзадачи или фази кои треба да се

извршат во одредена зависност едни од други. Секоја од тие подзадачи се

нарекува активност. Активност може да биде почеток на дупчење, прекин на

изградба на пат поради невреме и слично.

Кога се работи врз даден проект, прво како најважна задача е да се

направи план за работа кој би ги опфаќал сите активности на дадениот проект

со нивното временско траење и меѓусебна зависност. Оваа задача не е

тривијална, па за нејзино решавање развиени се

т.н. техники за мрежно планирање. Овие техники

најчесто користат мрежен дијаграм за

преставување на даден проект, кој преставува

Slika 2 Aktivnost vo

mre`en dijagram

слика на времетраењето и меѓузависностите на активностите што го

сочинуваат тој проект. Од начинот на разработка на даден проект, ќе зависи и

неговиот мрежен дијаграм и притоа, измените

во проектот ќе диктираат измени и во

мрежниот дијаграм. Во мрежниот дијаграм

активноста се прикажува со стрелка, при што

воопшто не е важна нејзината должина и

нејзиниот облик (Слика 1).

1 2

Slika 1 Po~eten i kraen nastan

na edna aktivnost

Page 2: Tehniki Na Mrezno Planiranje

2

Секоја активност има свој почеток и крај. Тоа се моментални случувања

и тие немаат временско траење т.е. нивното временско траење е нула. Овие

моментални случувања се нарекуваат настани и тие во мрежниот дијаграм се

преставуваат со кругови, а се нумерираат со редни броеви. Значи, секоја

активност има два настани: почетен настан и краен настан (Слика 2).

Понекогаш во мрежниот дијаграм има потреба од користење на т.н.

фиктивна активност која има временско траење

нула, поради што се нарекува и нул-активност.

Оваа фиктивна активност се користи за

прикажување на меѓузависностите на поедини

Slika 3 Fiktivna

aktivnost

активности, кои не може да бидат прикажани со вистински активности, бидејќи

секоја вистинска активност има одредено временско траење. Фиктивните

активности се прикажуваат со испрекинати стрелки и поседуваат почетен и

краен настан како и вистинските активности, што е прикажано на Слика 3.

Два настани директно можат да бидат поврзани само со една активност.

Доколку две активности имаат заеднички почетен и краен настан, тогаш

проблемот се решава со воведување на фиктивна активност и тоа на еден од

следните четири начини прикажани на Слика 4.

A A

B B

a) b)

A A

B

B

c) d)

Slika 4 ^etiri na~ini za prestavuvawe na dva nastana so zaedni~ki

po~eten i kraen nastan

Page 3: Tehniki Na Mrezno Planiranje

3

1.2 ПРЕСТАВУВАЊЕ ЗАВИСНОСТИ НА АКТИВНОСТИ

Кога е даден проект кој сакаме да го преставиме со мрежен дијаграм,

најпрво треба да се утврдат временските и меѓусебните зависности помеѓу

активностите што го сочинуваат тој проект.

Може да се случи да постојат низа активности кои треба да се извршат

редоследно, односно кога едната завршува другата почнува. Нека на пример,

A, B и C се три такви активности, тогаш тие може да се престават со стрелки

кои се надоврзуваат една на друга, т.ш. крајниот настан на една активност

истовремено е и почетен настан на наредната активност (Слика 5).

A B C

Слика 5

Може една активност B да не може да започне додека две или повеќе

активности Ai, i {1, 2,...n} не завршат. Доколку активностите Ai не се зависни

меѓусебе, тогаш тие може да се извршуваат паралелно. Ваквата зависност

може да се престави како на Слика 6.

A1

.

. B

.

An

Слика 6

Завршувањето на една активност A, може да значи почеток на две или

повеќе меѓусебно независни активности Bi, i {1, 2,...n} кои како такви може да

се извршуваат паралелно. Слика 7 ја прикажува ваквата зависност.

Page 4: Tehniki Na Mrezno Planiranje

4

B1

. A .

.

Bn

Слика 7

Почетокот на две или повеќе независни активности Bj, j {1, 2,...m} може

да зависи од крајот на две или повеќе независни активности Ai, i {1, 2,...n},

што може да се прикаже со Слика 8.

A1 B1

. .

. .

. .

An Bm

Слика 8

Посебен случај е кога една активност C зависи од активностите A и B,

додека активноста D зависи само од една од двете активности A и B, на

пример од B (Слика 9).

A C

B D

Слика 9

Page 5: Tehniki Na Mrezno Planiranje

5

Една активност B може да зависи само делумно од завршувањето на

дадена активност A, додека за да почне друга активност C, активноста A треба

целосно да заврши. За да се прикаже овој случај во мрежен дијаграм, потребно

е активноста A да се разбие на активност A1, која би била делот од A од кој

зависи B и активност A2, останатиот дел од A. Решението е прикажано на

Слика10.

A1 A2 C

B

Слика 10

Кога се креира мрежен дијаграм, треба да се внимава да не се појави

циклус. Циклусот значи враќање на времето наназад, што е бесмислено и

невозможно. Со други зборови, секој настан во мрежата може да се случи само

еднаш. Циклус може да се појави поради невнимание, особено при

поставување на фиктивни активности.

При креирањето на мрежен дијаграм треба да се почитуваат три

правила:

1. Мрежниот дијаграм треба да биде комплетен, т.е. сите потребни

активности и настани треба да бидат прикажани во мрежниот

дијаграм;

2. Ниту една активност не може да започне додека не се случи

нејзиниот почетен настан;

3. Ниту еден настан не може да се случи додека не завршат сите

активности кои водат кон него.

Page 6: Tehniki Na Mrezno Planiranje

6

1.3 ПАТ ВО МРЕЖЕН ДИЈАГРАМ

Како што секоја активност има почетен и краен настан, така и секој

мрежен дијаграм има почетен и краен настан, кои одговараат на почетокот и

крајот на проектот кој е преставен со тој мрежен дијаграм. Доколку за еден

проект има повеќе почетни и крајни настани, тогаш со користење на фиктивни

активности, треба да се спојат сите почетни настани во еден почетен настан и

сите крајни настани во еден краен настан (Слика 11).

Po~eten nastan

na mre`en

dijagram

Kraen nastan na

mre`en dijagram

Слика 11

Низа на активности во мрежен дијаграм формираат пат. Најзначајни се

патиштата кои водат од почетниот до крајниот настан на даден мрежен

дијаграм. Патот може да поминува и преку фиктивна активност. Така на Слика

12 даден е мрежен дијаграм со патишта од почетниот до крајниот настан на

мрежниот дијаграм.

Page 7: Tehniki Na Mrezno Planiranje

7

Pat 1

Pat 2

Pat 3

Slika 12

1.4 ЦРТАЊЕ НА МРЕЖЕН ДИЈАГРАМ

Врз основа на преставувањето на зависностите дадено во претходното

поглавје, може да се состави мрежен дијаграм за даден проект. За таа цел,

најнапред е потребно да се направи листа од сите активности што го

сочинуваат дадениот проект.

Нека е даден проект со 11 активности означени со големите латински

букви A, B, ... K. Притоа помеѓу нив постои следната временска зависност:

Активностите A, B, C и D започнуваат во почетниот настан на

проектот;

Активноста E зависи од A;

Активноста F зависи од B;

Активноста G зависи од B и C;

Активноста H зависи од D;

Активноста I зависи од E и F;

Активноста J зависи од H и G;

Активноста K зависи од I.

Page 8: Tehniki Na Mrezno Planiranje

8

При планирањето на даден проект и при неговото разбивање на

активности, зависностите меѓу активностите треба да ги воочи самиот

проектант и да ги престави или на претходниот начин со зборови или со помош

на матрица на активности, како на Слика 13. Во матрицата на активности,

првиот ред хоризонтално се посматраните активности за кои сакаме да

утврдиме од кои активности зависат, додека првиот ред вертикално се

независните активности, т.е. оние активности од кои зависат посматраните

активности. Зависноста е осначена со "x", така да дадените претходни

зависности лесно се воочуваат.

A B C D E F G H I J K

A x

B x x

C x

D x

E x

F x

G x

H x

I x

J

K

Слика 13 Матрица на активности

Со дадените зависности, лесно може да се нацрта саканиот мрежен

дијаграм (Слика 14).

Page 9: Tehniki Na Mrezno Planiranje

9

A E

B F I K

C G J

D H

Слика 14

Овој мрежен дијаграм може да се поедностави, со изоставување на

непотребно нацртаните фиктивни активности:

фиктивната активност која ги поврзува активноста E со почетокот на

активноста I не е потребна, бидејќи активноста E може директно да се

спои со почетокот на активноста I;

фиктивната активност која ги поврзува активноста H со почетокот на

активноста J не е потребна, бидејќи активноста H може директно да

се спои со почетокот на активноста J;

останатите фиктивни активности не можат да се изостават.

На Слика 15 е даден крајниот мрежен дијаграм.

A E

B F I K

C G J

D H

Слика 15

Page 10: Tehniki Na Mrezno Planiranje

10

1.5 ФУЛКЕРСОНОВО ПРАВИЛО ЗА НУМЕРИРАЊЕ НА НАСТАНИ ВО

МРЕЖЕН ДИЈАГРАМ

Во сите мрежни техники кои денес се користат, наместо именување на

активностите, настаните се нумерираат со редните броеви почнувајќи од 1 па

нагоре или пак со аритметички низи од броеви кај кои разликата помеѓу било

кои два соседни член е 2, 3, 5 и тн. Потребата за користење на вакви

аритметички низи за нумерирање на настаните, произлегува од можноста за

евентуално додавање на изоставени активности, со што само се врши

нумерирање на новите настани, без да се менува нумерирањето на целиот

мрежен дијаграм. Вакво нумерирање може да се користи и во случај кога прво

се изработува груба шема на проектот само со поважните активности, а

покасно се врши додавање на помалку важните активности или разбивање на

една активност на повеќе помали активности.

Откако ќе се изврши нумерирањето на настаните, секоја активност се

именува со броевите на нејзиниот почетен и краен настан. Така ако една

активност има почетен настан i и краен настан j, тогаш таа активност се

именува i-j. Притоа постојат неколку причини поради кои почетниот настан

треба да има помал број од крајниот настан на една активност. Тоа се: подобра

прегледност и полесно пронаоѓање на активноста во мрежниот дијаграм,

бидејќи броевите растат од лево кон десно, полесно откривање на несакани

циклуси и слично.

Правило за растечко нумерирање на настаните, со најголема примена во

мрежните техники, секако е Фулкерсоновото правило за нумерирање на

настани, кое гласи:

1. Почетниот настан од мрежниот дијаграм се нумерира со почетниот

број, а потоа сите активности кои излегуваат од него се прецртуваат

при нивниот врв, пред самата стрелка;

2. Наредните поголеми броеви се доделуваат само на оние настани кај

кои сите стрелки што завршуваат се прецртани. Доколку постојат

повеќе вакви настани, тие се нумерираат одгоре-надолу или одлево-

надесно, што меѓутоа, не е нужно;

Page 11: Tehniki Na Mrezno Planiranje

11

3. Активностите кои излегуваат од новонумерираните настани, се

прецртуваат;

4. Повторување на 2 и 3 се додека не се нумерира целиот мрежен

дијаграм.

Од основна важност е да се примети дека не може да се нумерира

настан во кој завршува непрецртана активност, што овозможува сите

активности да имаат почетен настан со помал број од бројот на крајниот

настан.

Фулкерсоновото правило за нумерирање на настани може да се

илустрира на Слика 16 со примерот даден во претходното поглавје.

2

1 3

4

Slika 16

Почетниот настан е нумериран со 1, а потоа се прецртани сите 4

активности кои излегуваат од него. Настаните 2, 3 и 4 добиваат броеви, бидејќи

сите активности што завршуваат во нив се прецртани. Притоа нумерирањето е

вршено од горе надолу. Прецртани се и сите активности кои излегуваат од

настаните 2, 3 и 4.

На Слика 17 нумерирани се настаните 5 и 6, бидејќи останатите настани

сé уште не можат да се нумерираат. Потоа прецртани се сите активности кои

излегуваат од настаните 5 и 6.

Page 12: Tehniki Na Mrezno Planiranje

12

2

1 3 6

5

4

Слика 17

2

1 3 6 8

5 7

4

Слика 18

Сега може да се нумерираат настаните 7 и 8 и да се прецртаат

активностите кои излегуваат од нив (Слика 18). Потоа на Слика 19 дадено е

нумерирањето на настанот 9 кој е и краен настан на мрежниот дијаграм.

Page 13: Tehniki Na Mrezno Planiranje

13

2

1 3 6 8

9

5 7

4

Слика 19

1.7 АНАЛИЗА НА ВРЕМЕ ПО ТЕХНИКАТА PERT

Мрежните дијаграми сами по себе не значат многу, но, тие наоѓаат

широка примена во техниките за мрежно планирање. Кај овие техники прво се

изработува мрежниот дијаграм, а потоа се одредува временското траење на

поединечните активности. Крајна цел е да се утврди времетраењето на целиот

проект.

PERT или Project Evaluation and Review Technique е техника за мрежно

планирање, која на барање на Воената морнарица на САД, при изградбата на

подморницата Polaris, ја развиле фирмите Lockhead и Booz, Allen and Hamilton.

Техниката била потребна за планирање на рокови и за координирање на

цивилните и воените органи кое учествувале во изградбата на подморницата.

Со техниката PERT за секоја активност е потребно да се проценат три

времетраења на активноста и тоа: оптимистичко време - to, најверојатно време

- m и песимистичко време - tp.

Оптимистичко време преставува времетраењето на дадена активност

кое при нејзиното изведување може да се случи само при многу поволни

услови и многу среќни околности. Тоа значи дека при изведувањето на

активноста нема никакви потешкотии и проблеми кои ненадејно би искрснале.

Page 14: Tehniki Na Mrezno Planiranje

14

Во пракса, најчесто постои многу мала веројатност за активноста да заврши во

оптимистичко време.

Најверојатно време преставува времетраење на дадена активност, кое

во пракса има најголема поединечна веројатност да се оствари.

Песимистичко време преставува времетраење на дадена активност кое

при нејзиното изведување може да се случи само во многу неповолни и

несреќни околности. Тоа значи дека при изведувањето на активноста се

случиле најневеројатни збиднувања кои драстично го продолжиле

времетраењето на активноста. Такви збиднувања се, на пример, грешка во

самиот проект која е откриена при неговото изведување, лоши временски

услови, расипување на некоја неопходна машина, губење на работници поради

штрајк, болест и слично. Треба да се нагласи деко кога се проценува

песимистичкото време, не смее да се земаат во предвид природни катастрофи

како пожар, поплава, земјотрес и слично,

бидејќи тие немаат никаква врска со

практичното изведување. Во пракса, и за

песимистичко време најчесто постои многу

мала веројатност да се оствари.

t0 - m - tp

te

Slika 20

Во мрежниот дијаграм сите три времиња се запишуваат над стрелката

на соодветната активност, разделени со црта (Слика 20).

Причината за воведување на песимистичко времетраење на активност, а

со тоа и на целиот проект во PERT, е таа што техниката PERT е креирана

имајќи во предвид проекти за кои нема претходно искуство со кое би можело

унапред да се одреди колку ќе трае некоја активност, бидејќи активноста од

таков тип се изведува првпат. Затоа оваа техника може да се користи во

научноистражувачки и развојни проекти.

Трите дефинирани времиња преставуваат проценети времиња за

дадена активност и се користат за одредување на четврто времетраење, со кое

се вршат сите понатамошни пресметки, а кое се нарекува очекувано време или

te. Очекуваното време се пресметува со равенката :

t 4 m t t

0 p

e 6

Page 15: Tehniki Na Mrezno Planiranje

15

Вообичаено ова време се пишува под стрелката со која е преставена

соодветната активност (Слика 20). Веројатноста да се случи очекуваното време

е 0.5.

нула.

Соодветните времетраења за една фиктивна активност имаат вредност

Нека претпоставиме дека за примерот од претходите две поглавја,

пресметани се очекуваните времиња за сите активности во некои временски

единици (ден, недела, час и тн) и дека се добиени резултати како на Слика 21.

2 3 4

1 3 6 8 8 2 3 2

9

5 7 5 7 4

4

9 2

Слика 21

За секој настан, со помош на добиените очекувани времиња, се

пресметува најрано време на настанот - TE (Earliest

Time) и најкасно време на настанот - TL (Latest

Time).

Најрано време на даден настан е времето

кога најрано може да се случи соодветниот настан и

тоа во мрежниот дијаграм се внесува на два начина:

TEj

j

a)

j

TEj

b)

Slika 22

над кругот и во долната лева четвртина на кругот, зададени на Слика 22, од

кои во овој текст се користи вториот начин.

Во општ случај, за даден настан j и за дадени активности i-j, кои водат

кон тој настан, важат следните правила за одредување на најраното време на

настанот, TEj:

Page 16: Tehniki Na Mrezno Planiranje

16

За секој настан се прави пресметка на најраното време на настанот

толку пати, колку што активности водат кон дадениот настан, со

релацијата:

TE (i , j )

TEi t

e(i , j )

TEj ја добива најголемата вредност од множеството пресметани

вредности TE(i,j).

Ваквото пресметување се нарекува пресметување на напред или

прогресивно пресметување.

Така за примерот од Слика 21, определувањето на времињата TE се

одвива на следниот начин:

1. Најраното време на почетниот настан 1 е 0;

2. Бидејќи активностите 1-2, 1-3 и 1-4 имаат очекувано време 3, 8 и 9

временски единици соодветно, најраните времиња на настаните 2, 3

и 4 се TE2 = 3, TE3 = 8 и TE4 = 9;

3. Бидејќи настанот 5 ќе се случи само доколку се случат активностите

1-5 и 3-5, се пресметуваат две времиња:

TE (1,5)

TE1 t

e(1,5) 0 5 5

TE (3,5)

TE 3 t

e(3,5) 8 0 8

па TE5 = 8, т.е. поголемата вредност;

4. Бидејќи настанот 6 ќе се случи само доколку се случат активностите

2-6 и 3-6, се пресметуваат три времиња:

TE ( 2,6)

TE 2

te( 2,6)

3 4 7

TE (3,6)

TE 3 t

e(3,6) 8 2 10

па TE6 = 10, т.е. поголемата вредност;

5. Бидејќи настанот 7 ќе се случи само доколку се случат активностите

4-7 и 5-7, се пресметуваат две времиња:

TE ( 4,7)

TE 4

te( 4,7)

9 2 11

TE (5,7)

TE 5

te(5,7)

8 7 15

па TE7 = 15, т.е. поголемата вредност;

6. Настанот 8 зависи само од активноста 6-8, па

TE8 T

E 6 t

e(6,8) 10 3 13

Page 17: Tehniki Na Mrezno Planiranje

17

7. Бидејќи настанот 9 ќе се случи само доколку се случат активностите

7-9 и 8-9, се пресметуваат две времиња:

TE (7,9)

TE 7

te(7,9)

15 4 19

TE (8,9)

T8 t

e(8,9) 13 2 15

па TE9 = 19, т.е. поголемата вредност.

Слика 23 го прикажува крајниот резултат.

2

3 3 4

1 3 6 8

0 8 8 2 10 3 13 2

9

5 7

19 5 8 7 15 4

4

9 9 2

Слика 23

Најкасното време на даден настан е она најкасно време во кое

разгледуваниот настан треба да се случи, а да

не предизвика како последица каснење на

крајниот настан на мрежниот дијаграм. Па,

според тоа најкасното време на секој настан се

TEj

j

TLj

j

TEj

TLj

a) пресметува во однос на најкасното време на

крајниот настан на мрежата и во мрежниот дијаграм

b)

Slika 24

се внесува на два начина: под кругот и во долната десна четвртина на кругот,

зададени на Слика 24. Во овој текст се користи вториот начин.

Page 18: Tehniki Na Mrezno Planiranje

18

Во општ случај, за даден настан i и за дадени активности i-j, кои

почнуваат од тој настан, важат следните правила за одредување на најкасното

време на настанот, TLj:

За секој настан се прави пресметка на најкасното време на настанот

толку пати, колку што активности почнуваат во дадениот настан, со

релацијата:

TL(i , j )

TLj t

e(i , j )

TLi ја добива најмалата вредност од множеството пресметани

вредности TL(i,j).

Ваквото пресметување се нарекува пресметување на наназад или

ретроградно пресметување.

Така за примерот од Слика 23, определувањето на времињата TL се

одвива на следниот начин:

1. Најкасното време на крајниот настан 9 е еднакво на неговото најрано

време, а тоа е 19;

2. Бидејќи активностите 8-9 и 7-9 имаат очекувано време 2 и 4

временски единици соодветно, најкасните времиња на настаните 8 и

7 се:

TL8 TL9 te(8,9) 19 2 17

TL7 TL9 te(7,9) 19 4 15

3. Бидејќи од настаните 6, 5, 4 и 2 излегува само по една активност 6-8,

5-7, 4-7 и 2-6 со очекувани времиња 3, 7, 2 и 4 соодветно, најкасните

времиња на настаните 6, 5, 4 и 2 се:

TL6 TL8 te(6,8) 17 3 14

TL5 T

L7 t

e(5,7) 15 7 8

TL 4 TL7 te( 4,7) 15 2 13

TL 2 TL6 te( 2,6) 14 4 10

4. Бидејќи од настанот 3 почнуваат две активности 3-6 и 3-5, се

пресметуваат две времиња:

Page 19: Tehniki Na Mrezno Planiranje

19

па TL3 = 8;

TL(3,6)

TL6 t

e(3,6) 14 2 12

TL(3,5)

TL5 t

e(3,5) 8 0 8

5. Бидејќи од настанот 1 почнуваат три активности 1-2, 1-3 и 1-4, се

пресметуваат три времиња:

TL(1,2)

TL 2 t

e(1,2) 10 3 7

TL(1,3)

TL3 t

e(1,3) 8 8 0

TL(1,4) TL 4 te(1,4) 13 9 4

па TL1 = 0.

Слика 25 ги прикажува пресметаните најкасни времиња на настани.

2

3 3 10 4

1 3 6 8

0 0 8 8 8 2 10 14 3 13 17 2

5

5 8 8

7

7 15 15 4

9

19 19

4

9 9 13 2

Слика 25

На Слика 25 може да се констатира дека настанот 8 има најрано време

TE = 13 и најкасно време TL = 17, што значи дека постои инревал од 4

временски единици во кои настанот може да се случи, а тоа да не предизвика

Page 20: Tehniki Na Mrezno Planiranje

20

0

каснење на проектот. Овој интервал се нарекува зрачност на даден настан

или SL, а се пресметува со формулата SL = TL - TE. И зрачноста може да се

престави на два начина во мрежниот дијаграм, како на Слика 26.

TEj

j

j

TEj

TLj

TLj

SLj

a)

SLj

b)

Слика 26

За мрежниот дијаграм да има комплетен излед, потребно е да е

прикажана и зрачноста на секој настан. Така, комплетниот изглед на примерот

од Слика 25 е даден на Слика 27.

2

3 3 10 4

7

1 3 6 8

0 0 8 8 8 2 10 14 3 13 17 2

0 0 4 4

5 7

9

19 19

5 8 8 7 15 15 4

0 0

4

9 9 13 2

4

Слика 27

Кога се зема најкасното време на крајниот настан на мрежниот дијаграм

да е еднакво со неговото најраното време (TL = TE), се дефинира критичен

пат како пат кој минува низ настаните со зрачност 0. Ако ваквите настани се

Page 21: Tehniki Na Mrezno Planiranje

21

закаснат, тоа ќе предизвика каснење на целиот проект, па затоа се нарекуваат

и критични настани. Останатите настани не се критични, бидејќи може да се

случат во помал или поголем интервал.

За мрежниот дијаграм на Слика 27 се воочува дека критичниот пат

минува низ настаните 1-3-5-7-9, а соодветните критични настани се 1-3, 3-5, 5-7

и 7-9.

Може да се случи крајот на проектот да е терминиран, т.е. рокот на

траење на целиот проект може унапред да е дефиниран. И тој податок се

внесува во мрежниот дијаграм, а се означува со. Во тој случај критичните

настани ќе имаат вредност различна од нула, а за критичниот пат важи

следното правило:

Зрачноста на настаните кои се наоѓаат на критичниот пат е

константна и е најмала од сите зрачности во мрежниот дијаграм.

За да се прикаже пример на терминиран проект, нека во примерот од

Слика 23 постои рок од 25 временски единици, т.е. TS = TL9 = 25.

Пресметувањето на најраните времиња и најкасните времиња се одвива на ист

начин како до сега, само од Слика 28 се гледа дека сите најкасни времиња на

настани се зголемени за 6, што е и логично. Исто така и сите зрачности на

настани се зголемени за 6. И во овој случај критичниот пат минува низ

настаните 1-3-5-7-9, кои остануваат критични настани, т.е. настани со најмала

зрачност.

Page 22: Tehniki Na Mrezno Planiranje

22

6

2

3 3 16 4

13

1 3 6 8

0 6 8 8 14 2 10 20 3 13 23 2

6 6 10 10

5 7

9

19 25

5 8 14 7 15 21 4

6 6

4

9 9 19 2

10

Слика 28

1.6 АНАЛИЗА НА ВРЕМЕ ПО МЕТОДАТА НА КРИТИЧЕН ПАТ (CPM)

Методата на критичен пат (Critical Path Method - CPM) е техника за

мрежно планирање, развиена од американската фирма Du Pont de Nemours

&Co. во 1957 година, со намена за планирање на ремонти во хемиската

индустрија.

За разлика од PERT, техниката CPM бара само една проценка на

времетраење на активност i-j, која се означува со tij и се бележи под стрелката

со која е преставена соодветната активност, како на Слика 29.

i j

TEi TLi tij

Слика 29

TEj TLj

Page 23: Tehniki Na Mrezno Planiranje

23

Врз основа на проценетото време, за секој настан i се пресметуваат две

времиња и тоа: најран почеток на сите активности кои излегуваат од настанот i,

се означува со RP и најкасно завршување на сите активности кои завршуваат

во настанот i се означува со KZ. Овие две времиња, без разлика на нивните

имиња, се пресметуваат на ист начин како и најраното и најкасното време за

даден настан кај PERT.

CPM воведува и два нови поими: најрано завршување на секоја

активност или RZ и најкасен почеток на

секоја активност или KP.

За дадена активност i-j,

преставена како на Слика 29, важат

2

3 10 4

6

10 14

следните равенства за четирите

времиња:

RP = TEi

RZ = TEi + ti j

KP = TLj - tij

KZ = TLj

7 4

Slika 30

Така на пример, за активноста 2-6 од Слика 30 се добиваат следните

вредности: RP = 3, RZ = 7, KP = 10 и KZ = 14.

Во CPM се пресметуваат четири вида на временски резерви за секоја

активност посебно:

Вкупна (тотална) временска резерва - Rt за една активност се

пресметува како разлика на најкасно завршување KZ и најраното завршување

на таа активност RZ:

Rt = KZ - RZ = TLj - (TEi + ti j)

Така за примерот од Слика 30, вкупната временска резерва за

активноста 2-6 е Rt = 14 - 7 = 7 временски единици.

Слободна временска резерва - Rs за една активност се пресметува со

равенката:

Rs = TEj - (TEi + ti j)

Слободната временска резерва на една активност е оној дел од вкупната

временска резерва кој останува за нејзино извршување при најрано почнување

Page 24: Tehniki Na Mrezno Planiranje

24

8 = 4 11 = 7 14 = 12 - 13

9 = 4 + 3

10 = 7 - 3

12 = 7 - (4 + 3) = 7 - 9

13 = 6 - (4 + 3) = 6 – 9

15 =

на крајниот настан на таа активност. Така за активноста 2-6 од Слика 30, Rs =

10 - (3 + 4) = 3 временски единици.

Условна временска резерва - Ru за една активност е делот од нејзината

вкупна временска резерва без слободната временска резерва, кој се добива во

случај кога нејзиниот краен настан се случува најкасно што може. Таа се

пресметува како разлика на вкупната и слободната временска резерва:

Ru = Rt - Rs

За активноста 2-6 од Слика 30, Ru = 7 - 3 = 4 временски единици.

Независна временска резерва - Rn за една активност е оној дел од

вкупната временска резерва кој не зависи од положбата на ниту една друга

активност и се пресметува со равенката:

Rn = TEj - (TLi + ti j)

Независната временска резерва може да добие и негативна вредност

при пресметките, и тогаш се отфрла како бесмислена, а наместо негативната

вредност се пишува нула. Ваков случај може да настане кога следната

активност после разгледуваната не се наоѓа на критичниот пат.

За активноста 2-6 од Слика 30, Rn = 10 - (10 + 4) = -4 т.е. Rn = 0 односно

активноста 2-6 нема независна временска резерва.

Сите овие потребни пресметувања може да се престават табеларно за

подобар преглед. За примерот од Слика 25, направените пресметки се дадени

во Табела 1. Притоа колоните од 1 до 7 се препишуваат од мрежниот дијаграм,

а за останатите важат следните равенства:

6 - (5 + 3)

Page 25: Tehniki Na Mrezno Planiranje

25

Активност

tij

Почетен

настан

Краен

настан

Најран

Најкасен Временски

резерви

По

че

тен

наста

н

Кр

ае

н

наста

н

TE

TL

TE

TL

поче

ток

RP

завр

шува

ње

поче

ток

KP

завр

шува

ње

Rt

Rs

Ru

Rn

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 2 3 0 0 3 10 0 3 7 10 7 0 7 0

1 3 8 0 0 8 8 0 8 0 8 0 0 0 0

1 4 9 0 0 9 13 0 9 4 13 4 0 4 0

1 5 5 0 0 8 8 0 5 3 8 3 3 0 3

2 6 4 3 10 10 14 3 7 10 14 7 3 4 0(-

4)

3 6 2 8 8 10 14 8 10 12 14 4 0 4 0

3 5 0 8 8 8 8 8 8 8 8 0 0 0 0

4 7 2 9 13 15 15 9 11 13 15 4 4 0 0

5 7 7 8 8 15 15 8 15 8 15 0 0 0 0

6 8 3 10 14 13 17 10 13 14 17 4 0 4 0(-

4)

7 9 4 15 15 19 19 15 19 15 19 0 0 0 0

8 9 2 13 17 19 19 13 15 17 19 4 4 0 0

Табела 1

Критичниот пат се определува врз база на вкупната временска резерва,

т.е. колоната 12 од дадената табела. Доколку активноста има временска

резерва 0, тогаш таа активност е критична. За примерот од Табела 1, критични

активности се: 1 - 3, 3 - 5, 5 - 7 и 7 - 9.

Доколку се одреди почетокот на проектот и доколку се знае што

преставуваат временските единици, лесно може да се утврдат и датумите на

било кој податок од колона 8 до колона 11. Притоа може ќелиите од овие

колони да се преполоват по хоризонтала, при што горната половина би ја

имала функцијата од Табела 1, додека во долната половина би се вметнувале

соодветните датуми. Втора и повеќе користена можност е за секој проект да се

состави посебен роковник т.е. термински календар.

Page 26: Tehniki Na Mrezno Planiranje

26

ЗАДАЧИ ЗА ВЕЖБИ

Прикажете ја меѓузависноста на активностите при следните услови:

1. Активностите C, D и E зависат од завршувањето на A и B.

2. Активноста D зависи од завршувањето на активностите A, B и C.

3. Активноста C зависи од завршувањето на A, D од B, а E од A и B.

4. Активностите B и C зависат од завршувањето на A, додека активноста D

зависи од завршувањето на B.

5. Активностите B и C зависат од завршувањето на A, активноста D зависи од

B, додека активноста E зависи од завршувањето на D и C.

6. Активностите B и C зависат од завршувањето на A, додека активноста D

зависи од завршувањето на B и C.

7. Постојат 3 независни активности A, B и C. Активноста D зависи од

завршувањето на A и C, активноста E зависи од завршувањето на B и C,

додека активноста F зависи од завршувањето на C.

8. Постојат 3 независни активности A, B и C. Активноста D зависи од

завршувањето на A, B и C, додека активноста E зависи од завршувањето на

B и C.

9. Постојат 3 независни активности A, B и C. Активноста D зависи од

завршувањето на A и C, активноста E зависи од завршувањето на B и C,

додека активноста F зависи од завршувањето на A и B.

10. Постојат 3 независни активности A, B и C. Активноста D зависи делумно од

активностите A и B, додека активноста E зависи од завршувањето на B и C.

Нацртајте ги следните мрежни дијаграми:

11. Активностите A, B и C почнуваат во почетниот настан на мрежниот дијаграм,

D и E зависат од A, активноста F од A и B, G од C и F, додека H зависи од D,

E и G. Треба да се остават само неопходните фиктивни активности.

12. Активноста A почнува во почетниот настан на мрежниот дијаграм, B, C и D

зависат од A, активноста E и F од B, G од C и F, H зависи од D, додека J

зависи од E, G и H. Треба да се остават само неопходните фиктивни

активности.

Page 27: Tehniki Na Mrezno Planiranje

27

13. Нацртајте го мрежниот дијаграм и нумерирајте ги настаните со помош на

Фулкерсоновото правило, ако се зададени следните зависности на

активностите:

a) Активностите 1 и 2 започнуваат во почетниот настан на мрежниот

дијаграм;

Активностите 3, 4 и 5 зависат од 1;

Активноста 6 зависи од 2;

Активноста 7 зависи од 1 и 2;

Активноста 8 зависи од 3 и 4;

Активноста 9 зависи од 5 и 7;

Активноста 10 зависи од 6, 8 и 9;

b) Активноста 1 започнува во почетниот настан на мрежниот дијаграм;

Активностите 2, 3 и 4 зависат од 1;

Активноста 5 зависи од 2 и 4;

Активностите 6 и 7 зависат од 3;

Активноста 8 зависи од 5;

Активноста 9 зависи од 3 и 5;

Активноста 10 зависи од 8 и 9;

Активноста 11 зависи од 6 и 7.