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fiabilidad de sistemas

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El Proceso de Poisson en ConfiabilidadEnrique Villa DiharceVerano de Probabilidad y Estadstica 2009CIMAT, Guanajuato, Gto. 15 de Julio de 2009.Resumen:El objeto de estudio en confiabilidad son la fallas de componentes o sistemas, por esta razn una parte importante de los estudios en confiabilidad, consiste en modelar procesos de falla y estimar las cantidades de inters, como son principalmente:tasas de falla, y tiempo esperado de falla.En esta platica se discute la modelacin de procesos de fallas utilizando procesos de Poisson, ilustrando, como diferentes restricciones de los procesos de fallas pueden ser consideradas a travs de diferentes tipos de procesos de Poisson. Se ilustran los modelos considerados, con ejemplos de datos de confiabilidad reales.ContenidoSistemas y componentes no reparablesSistemas reparablesProcesos de PoissonHomogneoNo homogneoInferenciaCalidad a travs del tiempoLSE0tiempoConfiabilidad: Probabilidad de estar dentro de especificacionesLIE1.0Los tiempos de vida de la unidades que fallan, tienen un patrn aleatorio.Para modelar los tiempos de vida o tiempos a la falla utilizamos variables aleatorias no negativas.Toda la informacin de una variable aleatoria se encuentra en su distribucin.La materia prima en los estudios de confiabilidad son los tiempos de vida de las unidades estudiadas.Modelos de confiabilidadFunciones de confiabilidad:) ( ) ( t T P t F =Funcin de distribucin acumuladaFuncin de riesgoFuncin de densidad de probabilidadesFuncin de confiabilidad) ( 1 ) ( ) ( t F t T P t C = > =) ( / ) ( ) ( t C t f t h =dt t dF t f / ) ( ) ( =)} ( exp{ ) ( t H t C =Tambin se cumple:Funcin de riesgo acumulado=tdu u h t H0) ( ) (Funcin de riesgo) | (1lim) () ( 1lim) () ( ) ( 1lim) () ( ) (lim) (/ ) () ( / ) ( ) (0 00 0t T t T t Pt T Pt T t Pt T Pt T P t T Pt Ct F t Ft Cdt t dFt C t f t h> + < => + + = +== = ) | ( ) ( t T t T t P t h > + < Para delta pequea:Distribuciones ms comunes en confiabilidadDistribucin Exponencial = = = =) () exp( ) () exp( 1 ) () exp( ) (t ht t Ct t Ft t fEsta distribucin modela adecuadamente el patrn de falla de componentes que no envejecen, como por ejemplo algunos componentes electrnicos.Distribucin Exponencial 1 / 1 , 1 = = = 0 1 2 3 4 50.00.20.40.60.81.0TiempoDensidad0 1 2 3 4 50.00.20.40.60.81.0TiempoDistribucin0 1 2 3 4 50.60.81.01.21.4TiempoRiesgo0 1 2 3 4 50.00.20.40.60.81.0TiempoConfiabilidadDistribuciones ms comunes en confiabilidadDistribucin WeibullEsta es una distribucin muy flexible, que puede modelar patrones de falla con funcin de riesgo constante, creciente o decreciente. El parmetro de forma es y es el parmetro de escala. 11) / )( / ( ) () / ( exp( ) () ) / ( exp( 1 ) (] ) / ( exp[ ) / )( / ( ) (= = = = t t ht t Ct t Ft t t fDistribucin Weibull0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00.20.40.60.8tiempodweibull(tiempo, 2, 1)0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00.20.40.60.81.0tiempopweibull(tiempo, 2, 1)0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00123456tiempo2 * tiempo0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.00.20.40.60.81.0tiempo1 - pweibull(tiempo, 2, 1)1 , 2 = = Distribuciones ms comunes en confiabilidadDistribucin LognormalEsta distribucin es muy flexible y frecuentemente compite con la distribucin Weibull en la modelacin de patrones de falla.) ( / ) ( ) (] / ) ) [(ln( 1 ) (] / ) ) [(ln( ) (] / ) ) [(ln( ) / 1 ( ) (t C t f t ht t Ct t Ft t t f= = = = Distribucin Lognormal 5 . , 5 . = = 0 1 2 3 4 50.00.10.20.30.40.5TiempoDensidad0 1 2 3 4 50.00.20.40.60.81.0TiempoDistribucin0 1 2 3 4 50.00.20.40.60.81.0TiempoRiesgo0 1 2 3 4 50.00.20.40.60.81.0TiempoConfiabilidadComponentes o sistemas noreparables: Son aquellos que al fallar se eliminan.Componentes o sistemas reparables: Tenemos este tipo de componentes, cuando al fallar se reparan y vuelven a funcionar.Proceso de Poisson01t2t3t4t5t6t7tFalla y se reparaProceso de Poisson01t2t3t4t5t6t7t6543217N(t)Proceso de Poissont]. (s, intervalo el enocurrido han que fallas de nmero el representa ] [ , Para . 4). ( ) ( entonces , Si 3.entero. es ) ( . 2. 0 0 1. satisfacesi conteo de proceso un es } 0 ), ( { o estocstic proceso UnN(t)-N(s) t st N s N t st N) N(N(t)t t N