“Universidad Nacional José Faustino Sánchez Carrión” Facultad de Ing. QMyA – Escuela Profesional de Ingeniería Química

SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS

Ing. Manuel José Jiménez Escobedo 1

“AÑO DEL CENTENARIO DE MACHU

PICCHU PARA EL MUNDO”

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL

DE INGENIERÍA QUÍMICA

ASIGNATURA : Simulación y Optimización de Procesos

TEMA : Modelado de un Tanque

DOCENTE : Ing. JIMENEZ ESCOBEDO, Manuel José

CICLO : X

ALUMNOS :

JAMANCA ANTONIO, Edgar Martin

SILVESTRE QUISPE, Christian Jesús

Huacho – Perú

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Problema de aplicación

CASO I. Un tanque de mezcla contiene inicialmente M (0) = 200 Kg de una solución salina, al 10%

de soluto por unidad de masa. Ingresa agua pura a una velocidad de flujo Fin = 20 Kg/min. La

corriente de salida del tanque de mezclado tiene una velocidad de flujo Fout = 10 Kg/min. Evaluar la

distribución de la masa total de la solución M (t), la masa total del soluto S(t) y la concentración

másica del soluto Wout (t) como función del tiempo t.

CASO II. Un tanque de mezcla contiene inicialmente M (0) = 200 Kg de una solución salina, al 10%

de soluto por unidad de masa. Ingresa agua pura a una velocidad de flujo Fin = 10 Kg/min. La

corriente de salida del tanque de mezclado tiene una velocidad de flujo Fout = 20 Kg/min. Evaluar la

distribución de la masa total de la solución M (t), la masa total del soluto S(t) y la concentración

másica del soluto Wout (t) como función del tiempo t.

CASO III. Un tanque de mezcla contiene inicialmente M (0) = 200 Kg de una solución salina, al 10%

de soluto por unidad de masa. Ingresa agua pura a una velocidad de flujo Fin = 10 Kg/min. La

corriente de salida del tanque de mezclado tiene una velocidad de flujo Fout = 10 Kg/min. Evaluar la

distribución de la masa total de la solución M (t), la masa total del soluto S(t) y la concentración

másica del soluto Wout (t) como función del tiempo t.

Se propone evaluar el comportamiento los primeros 20 minutos.

La EDO – PVI, y ecuaciones auxiliares que gobiernan este fenómeno físico son:

𝝏𝑺(𝒕)

𝝏𝒕= 𝑾𝒊𝒏 ∗ 𝑭𝒊𝒏 − 𝑾𝒐𝒖𝒕 ∗ 𝑭𝒐𝒖𝒕

𝑴(𝒕) = 𝑴𝟎 + (𝑭𝒊𝒏 − 𝑭𝒐𝒖𝒕) ∗ 𝒕

𝑾𝒐𝒖𝒕 =𝑺(𝒕)

𝑴(𝒕)

Solución

1.- Identificar el problema

Definir el problema

Es un análisis macroscópico dinámico

Proceso isotérmico

El mezclado en el tanque no produce reacción química

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Objetivo

Simulación del tanque de mezclado.

2.- Determinación de las relaciones

ESQUEMA DEL PROCESO

V-1

V-2

Balance general de masa

(𝜕𝑚

𝜕𝑡) = ∑ 𝑚1̇ − ∑ 𝑚2̇ ± 𝐺𝑒𝑛

Donde la ecuación quedaría expresada de la siguiente manera el sistema:

(𝜕𝑚

𝜕𝑡) = 𝑚1̇ − 𝑚2̇ (𝐴)

Integrando la ecuación tendremos la siguiente expresión:

∫ 𝜕𝑀𝑀(𝑡)

𝑀0

= (𝑚1̇ − 𝑚2̇ ) ∫ 𝜕𝑡𝑡

0

Denominación: Mezclado.

𝑀(𝑡) = 𝑀0 + (𝑚1̇ − 𝑚2̇ ) ∗ 𝑡

𝑀(𝑡) = 𝑎0 + 𝑎1 ∗ 𝑡

Para el soluto

Balance para el componente

(𝜕𝑠

𝜕𝑡) = ∑ 𝑠1 − ∑ 𝑠2

Donde la ecuación quedaría expresada de la siguiente manera en el sistema:

𝑚1̇

𝑚2̇

𝑤1

𝑤2

𝑡 = 0 {𝑀 = 𝑀0

𝑆 = 𝑆0 𝑡 > 0 {

𝑀 = 𝑀(𝑡)𝑆 = 𝑆(𝑡)

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(𝜕𝑠

𝜕𝑡) = 𝑠1 − 𝑠2

(𝜕𝑠

𝜕𝑡) = 𝑤1�̇�1 − 𝑤2�̇�2

Donde sabemos que: 𝑤(𝑡) =𝑆(𝑡)

𝑀(𝑡)

(𝜕𝑠

𝜕𝑡) = 𝑤1�̇�1 − 𝑤(𝑡)�̇�2

𝑆′ = 𝑤1�̇�1 −𝑆 ∗ �̇�2

𝑀(𝑡)

Sustituyendo por variables:

𝑆′ + 𝛼𝑆 = 𝛽

Reemplazando todas las ecuaciones en la primera ecuacion queda expresada de la siguiente

manera:

𝜕𝑆(𝑡)

𝜕𝑡= 𝑊𝑖𝑛 ∗ 𝐹𝑖𝑛 −

𝑆(𝑡)

𝑀0 + (𝐹𝑖𝑛 − 𝐹𝑜𝑢𝑡) ∗ 𝑡∗ 𝐹𝑜𝑢𝑡

𝜕𝑆(𝑡)

𝜕𝑡= 𝛼 −

𝑆(𝑡)

𝑀0 + 𝛽 ∗ 𝑡∗ 𝐹𝑜𝑢𝑡

𝛼 = 𝑊𝑖𝑛 ∗ 𝐹𝑖𝑛 ; 𝛽 = 𝐹𝑖𝑛 − 𝐹𝑜𝑢𝑡

Expresando el PVI:

𝑃𝑉𝐼 {𝑆′ = 𝛼 −

𝑆(𝑡)

𝑀0 + 𝛽 ∗ 𝑡∗ 𝐹𝑜𝑢𝑡

𝑆(0) = 𝑀0 ∗ 𝑊𝑜 ℎ = 1 𝑚𝑖𝑛

Por el método de RUNGE KUTTA 4 tenemos, considerando este método el término siguiente esta

dado por la siguiente ecuación:

𝑆𝑥𝑖+1 = 𝑆𝑖 +1

6[𝐾1 + 2𝐾2 + 2𝐾3 + 𝐾4]

Donde:

𝐾1 = ℎ ∗ 𝑓(𝑡𝑖 , 𝑆𝑖) = ℎ ∗ (𝛼 −𝑆𝑖

𝑀0 + 𝛽 ∗ 𝑡𝑖

∗ 𝐹𝑜𝑢𝑡)

𝐾2 = ℎ ∗ 𝑓(𝑡𝑖 +ℎ

2, 𝑆𝑖 +

𝐾1

2) = ℎ ∗ [𝛼 −

(𝑆𝑖 +𝐾1

2)

𝑀0 + 𝛽 ∗ (𝑡𝑖 +ℎ2

)∗ 𝐹𝑜𝑢𝑡]

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𝐾3 = ℎ ∗ 𝑓(𝑡𝑖 +ℎ

2, 𝑆𝑖 +

𝐾2

2) = ℎ ∗ [𝛼 −

(𝑆𝑖 +𝐾2

2)

𝑀0 + 𝛽 ∗ (𝑡𝑖 +ℎ2

)∗ 𝐹𝑜𝑢𝑡]

𝐾4 = ℎ ∗ 𝑓(𝑡𝑖 + ℎ, 𝑆𝑖 + 𝐾3) = ℎ ∗ [𝛼 −(𝑆𝑖 + 𝐾3)

𝑀0 + 𝛽 ∗ (𝑡𝑖 + ℎ)∗ 𝐹𝑜𝑢𝑡]

CASO I

i t (min) Si (Kg) Mi (Kg) k1 k2 k3 k4 Wout

0 0 20.0000 200.0000 -1.0000 -0.9512 -0.9524 -0.9070 0.1000

1 1 19.0476 210.0000 -0.9070 -0.8648 -0.8658 -0.8264 0.0907

2 2 18.1818 220.0000 -0.8264 -0.7897 -0.7905 -0.7561 0.0826

3 3 17.3913 230.0000 -0.7561 -0.7240 -0.7247 -0.6944 0.0756

4 4 16.6667 240.0000 -0.6944 -0.6661 -0.6667 -0.6400 0.0694

5 5 16.0000 250.0000 -0.6400 -0.6149 -0.6154 -0.5917 0.0640

6 6 15.3846 260.0000 -0.5917 -0.5694 -0.5698 -0.5487 0.0592

7 7 14.8148 270.0000 -0.5487 -0.5287 -0.5291 -0.5102 0.0549

8 8 14.2857 280.0000 -0.5102 -0.4923 -0.4926 -0.4756 0.0510

9 9 13.7931 290.0000 -0.4756 -0.4595 -0.4598 -0.4444 0.0476

10 10 13.3333 300.0000 -0.4444 -0.4299 -0.4301 -0.4162 0.0444

11 11 12.9032 310.0000 -0.4162 -0.4030 -0.4032 -0.3906 0.0416

12 12 12.5000 320.0000 -0.3906 -0.3786 -0.3788 -0.3673 0.0391

13 13 12.1212 330.0000 -0.3673 -0.3563 -0.3565 -0.3460 0.0367

14 14 11.7647 340.0000 -0.3460 -0.3360 -0.3361 -0.3265 0.0346

15 15 11.4286 350.0000 -0.3265 -0.3173 -0.3175 -0.3086 0.0327

16 16 11.1111 360.0000 -0.3086 -0.3002 -0.3003 -0.2922 0.0309

17 17 10.8108 370.0000 -0.2922 -0.2844 -0.2845 -0.2770 0.0292

18 18 10.5263 380.0000 -0.2770 -0.2698 -0.2699 -0.2630 0.0277

19 19 10.2564 390.0000 -0.2630 -0.2563 -0.2564 -0.2500 0.0263

20 20 10.0000 400.0000 -0.2500 -0.2438 -0.2439 -0.2380 0.0250

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CASO II

i t (min) Si (Kg) Mi (Kg) k1 k2 k3 k4 Wout

0 0 20.0000 200.0000 -2.0000 -1.9487 -1.9513 -1.8999 0.1000

1 1 18.0500 190.0000 -1.9000 -1.8486 -1.8514 -1.7998 0.0950

2 2 16.2000 180.0000 -1.8000 -1.7486 -1.7515 -1.6998 0.0900

3 3 14.4500 170.0000 -1.7000 -1.6485 -1.6516 -1.5998 0.0850

4 4 12.8000 160.0000 -1.6000 -1.5484 -1.5517 -1.4998 0.0800

5 5 11.2500 150.0000 -1.5000 -1.4483 -1.4518 -1.3997 0.0750

6 6 9.8000 140.0000 -1.4000 -1.3481 -1.3520 -1.2997 0.0700

7 7 8.4500 130.0000 -1.3000 -1.2480 -1.2522 -1.1996 0.0650

8 8 7.2000 120.0000 -1.2000 -1.1478 -1.1524 -1.0996 0.0600

9 9 6.0500 110.0000 -1.1000 -1.0476 -1.0526 -0.9995 0.0550

10 10 5.0000 100.0000 -1.0000 -0.9474 -0.9529 -0.8994 0.0500

11 11 4.0500 90.0000 -0.9000 -0.8471 -0.8533 -0.7992 0.0450

12 12 3.2001 80.0000 -0.8000 -0.7467 -0.7538 -0.6989 0.0400

13 13 2.4501 70.0000 -0.7000 -0.6462 -0.6545 -0.5985 0.0350

14 14 1.8001 60.0000 -0.6000 -0.5455 -0.5554 -0.4979 0.0300

15 15 1.2502 50.0000 -0.5001 -0.4445 -0.4568 -0.3967 0.0250

16 16 0.8003 40.0000 -0.4001 -0.3430 -0.3593 -0.2940 0.0200

17 17 0.4505 30.0000 -0.3003 -0.2403 -0.2643 -0.1862 0.0150

18 18 0.2012 20.0000 -0.2012 -0.1341 -0.1789 -0.0447 0.0101

19 19 0.0559 10.0000 -0.1118 0.0000 -0.2236 - 0.0056

20 20 0.0000 0.0000 - - - - 0.0000

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CASO III

i t (min) Si (Kg) Mi (Kg) k1 k2 k3 k4 Wout

0 0 20.0000 200.0000 -1.0000 -0.9750 -0.9756 -0.9512 0.1000

1 1 19.0246 200.0000 -0.9512 -0.9274 -0.9280 -0.9048 0.0951

2 2 18.0967 200.0000 -0.9048 -0.8822 -0.8828 -0.8607 0.0905

3 3 17.2142 200.0000 -0.8607 -0.8392 -0.8397 -0.8187 0.0861

4 4 16.3746 200.0000 -0.8187 -0.7983 -0.7988 -0.7788 0.0819

5 5 15.5760 200.0000 -0.7788 -0.7593 -0.7598 -0.7408 0.0779

6 6 14.8164 200.0000 -0.7408 -0.7223 -0.7228 -0.7047 0.0741

7 7 14.0938 200.0000 -0.7047 -0.6871 -0.6875 -0.6703 0.0705

8 8 13.4064 200.0000 -0.6703 -0.6536 -0.6540 -0.6376 0.0670

9 9 12.7526 200.0000 -0.6376 -0.6217 -0.6221 -0.6065 0.0638

10 10 12.1306 200.0000 -0.6065 -0.5914 -0.5917 -0.5769 0.0607

11 11 11.5390 200.0000 -0.5769 -0.5625 -0.5629 -0.5488 0.0577

12 12 10.9762 200.0000 -0.5488 -0.5351 -0.5354 -0.5220 0.0549

13 13 10.4409 200.0000 -0.5220 -0.5090 -0.5093 -0.4966 0.0522

14 14 9.9317 200.0000 -0.4966 -0.4842 -0.4845 -0.4724 0.0497

15 15 9.4473 200.0000 -0.4724 -0.4606 -0.4609 -0.4493 0.0472

16 16 8.9866 200.0000 -0.4493 -0.4381 -0.4384 -0.4274 0.0449

17 17 8.5483 200.0000 -0.4274 -0.4167 -0.4170 -0.4066 0.0427

18 18 8.1314 200.0000 -0.4066 -0.3964 -0.3967 -0.3867 0.0407

19 19 7.7348 200.0000 -0.3867 -0.3771 -0.3773 -0.3679 0.0387

20 20 7.3576 200.0000 -0.3679 -0.3587 -0.3589 -0.3499 0.0368

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GRAFICAS

En el caso I en el tanque que inicia con una masa de 200 kg, con un flujo inicial de 20

kg/min y un flujo de salida de 10Kg/min, pues la distribución de la masa total de la solución

en el tiempo aumenta con respecto al tiempo; en este caso al cabo de 20 min de un

análisis se encontró con una masa de 400 kg. Esto puede decir que el LIMITE ES EL

TIEMPO DE LLENADO.

En el caso II se inicia con la misma masa pero con un flujo de 10 Kg/min que ingresa al

tanque y un flujo de salida de 20 kg/min, pues esto hace que el comportamiento de la masa

disminuya en el tanque ya que el flujo de salida es mayor que el del flujo de entrada. Al

final del análisis se obtuvo que en un tiempo de 20 min se obtuviera una masa de 0. Esto

explica que el LIMITE ES EL TANQUE VACIO.

En el caso III se tomo que el flujo de entrada como la de salida sean iguales, pues esto

muestra un comportamiento que el tanque se mantendrá en un solo volumen estable y esto

no cambiara con el tiempo y será ESTACIOANARIA E INFINITAMENTE EN EL TIEMPO.

0.0000

50.0000

100.0000

150.0000

200.0000

250.0000

300.0000

350.0000

400.0000

0 5 10 15 20

M(t

) [K

g]

t [min]

Caso I

Caso II

Caso III

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Caso I: como se inicia con 200 Kg de la solución salina en el tanque, al 10 % de soluto por

unidad de masa; esto quiere decir que se está iniciando con 20 kg de soluto y puesto que

el flujo que ingresa es el doble del flujo que sale del tanque, esto muestra que el soluto que

se encuentra en el tanque disminuya paulatinamente en 20 min pasa de 20 kg a 10 kg, el

soluto disminuyo a la mitad del soluto inicial.

Caso II: en este caso se tomo que el flujo de salida sea el doble que la del flujo que ingresa

al tanque; en el tiempo de 20min el soluto paso de 20 kg a 0 kg, en ese tiempo se removio

todo el soluto del tanque.

Caso III: en este caso se tomo que el flujo de entrada y de salida sean iguales en el

tanque; pues esto muestra que en un tiempo de 20min el soluto pasó de 20 kg a 7.3576kg,

esto quiere decir que el soluto disminuyo en su tercera parte aproximadamente.

0.0000

2.0000

4.0000

6.0000

8.0000

10.0000

12.0000

14.0000

16.0000

18.0000

20.0000

0 5 10 15 20

s(t

) [K

g]

t [min]

Caso I

Caso II

Caso III

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Caso I: La concentración disminuye de 10% a 2.5% en 20 min, la masa aumenta con

respecto al tiempo y el soluto disminuye a su mitad. Esto es porque la concentración

directamente proporcional al soluto e inverso a la masa en el tiempo.

Caso II: La concentración disminuye de 10% a 0.0% en 20 min. Esto quiere decir que no se

encuentra nada de soluto en la masa que se encuentra en el tanque.

Caso III: La concentración disminuye de 10% a 3.68% ya que el flujo de entrada y la de

salida son iguales y además ocurre una disminución de la concentración paulatinamente

en el tanque.

0.0000

0.0100

0.0200

0.0300

0.0400

0.0500

0.0600

0.0700

0.0800

0.0900

0.1000

0 5 10 15 20

w(t

) [K

g/K

g]

t [min]

Caso I

Caso II

Caso III