modelado de motor cc

Asignatura: CONTROL CLÁSICO Y MODERNO

Departamento de Electrónica – Facultad de Ingeniería – U.Na.M – 2015

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Bajura, Carlos – Viera, Juan

Universidad Nacional de Misiones

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LABORATORIO N° 1

MÉTODOS CLÁSICOS PARA MODELACIÓN DE SISTEMAS

Modelación de un motor CC a lazo abierto a través de la respuesta al escalón

1. INTRODUCCIÓN.

En el presente informe se exponen los procedimientos, resultados y conclusiones para

las experiencias de laboratorio realizadas en el marco de la materia con el fin de Modelar

matemáticamente un sistema mediante el estudio de su respuesta temporal. Se centra en el caso

particular de modelaje de un Motor de Corriente Continua con excitación independiente. Así,

se obtiene la respuesta al escalón mediante la aplicación fundamentalmente de cuatro métodos;

de los cuales tres son considerados gráficos y el restante es analítico.

Con el desarrollo de los ensayos, y su posterior análisis para generar los modelos se

pudo trabajar de cerca cada uno de los métodos propuestos; esto permitió verificar las ventajas

y desventajas particulares de cada método, como así también, su facilidad de aplicación

práctica.

2. EQUIPAMIENTO UTILIZADO.

Para la realización de los ensayos del presente laboratorio se utilizó el módulo

experimental de Electtronica Venetta cuya composición se detalla en la tabla 1.

Tabla 1. Detalle de equipamiento utilizado.

Instrumento Marca y Modelo N° Inventario

Osciloscopio digital Rigol DS1102E 7917

Generador de funciones con cable

de señal BNC – cocodrilo. GW GFG-8019G 9488

Módulo motor CC TY36A/EV 5067

Módulo Venetta G36A/EV

Llave electrónica con MOSFET NFB -

Cables banana – cocodrilo y

cocodrilo – cocodrilo - -



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Para procesar los datos obtenidos durante los ensayos prácticos del laboratorio se

utilizaron los software: MATLAB® R2012b y GIMP 2.8.4

3. METODOLOGÍA.

Modelación a través de la respuesta al escalón: Aplicando un escalón de tensión a la

armadura del motor de CC, se obtuvo la respuesta para dicho motor considerando como salida

la velocidad angular del eje a lazo abierto. A partir de los datos obtenidos, se aplicaron los

siguientes métodos para modelar el motor de CC:

a – Método de Ziegler-Nichols;

b – Método de Hägglund;

c – Método de Sundaresan y Krishnaswamy;

d – A partir de la función de transferencia conocida del proceso entre la velocidad angular

y la tensión de armadura, dada por la ecuación (1).

𝐺𝑝(𝑠) =Ω(𝑠)

𝑉𝑎(𝑠)=

𝐾𝑚

τ𝑚𝑠 + 1 (1)

4. PROCEDIMIENTO DE ENSAYO.

Luego de haber montado los diferentes componentes y equipamientos siguiendo las

conexiones del circuito ilustrado en la figura 1 y ayudándonos de los pasos propuestos en la

guía del laboratorio N°1 facilitada por la cátedra, se determinó la respuesta al escalón del

sistema.

Los pasos seguidos fueron:

- Se encendió la fuente y se la calibró hasta visualizar una velocidad de 4000 rpm.

- Se ajustó el acondicionador de señal del tacogenerador, ubicado en el módulo

G36A/EV, hasta obtener una salida de 8V para el motor girando a 4000RPM

aproximadamente. Así como también, se ajustó la base de tiempo del osciloscopio.

- Se configuró el generador de funciones (GF) para obtener una señal cuadrada con una

amplitud de 20V, y una frecuencia aproximada de 0,1Hz. Para esto, el cable de señal

BNC debió conectarse a la salida CMOS del GF, verificando la señal de salida con el

canal 1 (CH1) del osciloscopio. La señal obtenida es la que permitió aplicar el escalón

de tensión a la planta.

- Se visualizó en pantalla las señales inyectada por el GF (CH1) y de salida en el



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acondicionador de señal del módulo (CH2).

- Con el motor en funcionamiento y utilizando el multímetro, se midió la tensión

entregada por la fuente. El valor obtenido en el multímetro (valor u alcanzado por la

señal de referencia) sirvió de valor patrón para el cálculo de la constante Km de la

función de transferencia. Finalmente, con el botón “Run/Stop”, se capturó en pantalla

ambas señales y se guardaron las gráficas en un pendrive.

- Con la respuesta obtenida, se halló el modelo del motor CC (a través de su función de

transferencia) en base a los métodos gráficos propuestos y a partir de la función de

transferencia conocida del proceso entre la velocidad angular y la tensión de armadura.

Figura 1. Diagrama de bloques del ensayo experimental para obtener la curva de respuesta al

escalón del motor CC en lazo abierto.



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5. RESULTADOS.

Modelación a través de la respuesta al escalón:

Utilizando un generador de funciones aplicamos un escalón de tensión de

aproximadamente 20,4V a la armadura del motor y ajustando el acondicionador de señal del

tacogenerador hasta obtener una salida de 8V para el motor girando a 4000RPM

aproximadamente, visualizamos las curvas de la señal aplicada y de la respuesta obtenida del

motor CC mediante un osciloscopio. Ambas curvas podemos apreciarlas en la figura 2.

Figura 2. Tensiones de entrada y salida obtenidas con osciloscopio

Del osciloscopio digital obtuvimos un archivo tipo matriz de datos que contiene los

valores de las muestras que corresponden a las curvas de la figura 2. Como la respuesta al

escalón obtenida por el osciloscopio está en Volt y para hallar la función de transferencia

necesitamos que estos datos estén en rad/seg, utilizando un script en el software MATLAB®,

convertimos los puntos de las muestras de Volt a rad/seg, teniendo en cuenta la relación RPM/V

obtenida y conociendo la equivalencia de RPM a rad/seg. El script utilizado, así como la curva

obtenida con estos datos podemos apreciarlas en las figuras 3 y 4, respectivamente.



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clc datos=data(:,3); w=datos.*4000*2*pi/(8*60) plot(w) xlabel('tiempo (ms)') ylabel('velocidad angular (rad/s)')

Figura 3. Script de Matlab: conversión de la respuesta al escalón de tensión

a velocidad angular.

Figura 4. Curva de la respuesta al escalón del motor de CC en rad/seg.

A partir de esta curva obtenida, procedemos a calcular el modelo de la función de

transferencia mediante la aplicación de tres métodos gráficos propuestos.

Con la ayuda de algunas herramientas presentes en la ventana de gráficas de

MATLAB®, obtuvimos los valores de los puntos característicos de la curva para realizar los

cálculos para cada método.



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a. Método de Ziegler – Nichols.

El método requiere que se trace una recta tangente a la curva de salida del proceso en el

punto de inflexión o de máxima pendiente. Esto está ilustrado en la figura 5.

La constante de tiempo 𝜏m se determina por la medición entre el instante en que

comienza la curva (𝑡0 = 0) y el instante 𝑡1, este último obtenido a partir de la proyección sobre

el eje del tiempo de la intersección entre la tangente y la recta 𝜔(𝑡) = 𝜔𝑓, siendo 𝜔𝑓 el valor

final finito al que tiende la variable de salida cuando 𝑡 → ∞. Esto es:

𝜏m = 𝑡1 = 94 ms (2)

Figura 5. Respuesta temporal, resolución por método de Ziegler – Nichols

La ganancia estática 𝐾p se determina por el cambio total en la salida dividido el cambio

en la entrada. De la figura 2 tenemos que el cambio en la entrada es ∆𝑢 = 10,2 V, en la figura

4 tenemos que el cambio en la salida es ∆𝑦 = 𝜔𝑓 = 420 rad/s aproximadamente. Entonces, la

constante de ganancia es:

𝐾p =∆𝑦

∆𝑢=

420 rad/s

10,2 V= 41,17

rad/s

V (3)

t1 = 94ms

𝜔𝑓



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Finalmente, el modelo de la función de la transferencia obtenido es el siguiente:

𝐺p(𝑠) =𝐾p

𝜏m𝑠 + 1=

41,17

0,094𝑠 + 1 (4)

b. Método de Hägglund.

El método propuesto por Hägglund es una modificación del método propuesto por

Ziegler - Nichols, dado que la ganancia estática 𝐾p se determina de la misma forma, excepto

por la constante de tiempo 𝜏m, la cual se obtiene de medir el intervalo de tiempo entre 𝑡0 = 0

y 𝑡2, donde 𝑡2 es el instante para el cual la curva de la respuesta de salida alcanza el 63,2% del

valor final 𝜔𝑓. A partir de la figura 4, tenemos:

𝜔𝑓0,632 = 0,632 × 420rad/s = 265,44rad/s (5)

Figura 6. Respuesta temporal, resolución por método de Hägglund.

𝜏m = 𝑡2 = 62 ms (6)

La constante de ganancia es la misma que para el método de Ziegler - Nichols y está

dada por la ecuación (3). Finalmente, el modelo de la función de la transferencia obtenido es el

siguiente:

63,2%

𝜔𝑓

t2=62ms



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𝐺p(𝑠) =𝐾p

𝜏m 𝑠 + 1=

41,17

0,062 𝑠 + 1 (7)

c. Método de Sundaresan - Krishnaswamy.

Este método estima dos instantes de tiempo 𝑡1 y 𝑡2, que corresponden respectivamente

a los instantes en los cuales la curva alcanza el 35,3% y el 85,3% del valor final 𝜔𝑓. Entonces,

a partir de los puntos característicos marcados en la figura 7, calculamos la constante de tiempo:

𝜔𝑓0,353 = 0,353 × 420rad/s = 148,26rad/s (8)

𝜔𝑓0,853 = 0,853 × 420rad/s = 358,26rad/s (9)

𝜏m = 0,67 (𝑡2 − 𝑡1) = 0,67 (96 ms − 37 ms) = 59ms (10)

Figura 7. Respuesta temporal, resolución por método de

Sundaresan – Krishnaswamy

La constante de ganancia es la misma que para los métodos anteriores y está dada por

la ecuación (3). Finalmente, el modelo de la función de la transferencia obtenido es el siguiente:

𝜔𝑓

35,3%

85,3%

t1 t2



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𝐺p(𝑠) =𝐾p

𝜏m 𝑠 + 1=

41,17

0,059 𝑠 + 1 (11)

d. Método a partir de la FT conocida del proceso entre la velocidad angular y la

tensión de armadura.

Este es un método de estimación paramétrica donde se asume que la función de

transferencia del proceso es conocida, pero no sus parámetros. La función de transferencia de

la velocidad angular y la tensión de armadura para un motor de corriente continua toma la forma

de la ecuación (12).

En el modelo exhibido del sistema, los parámetros que se requieren determinar son la

ganancia estática (𝐾𝑚) y la constante de tiempo (τ𝑚).


𝑉𝑎(𝑠)=

𝐾𝑚

τ𝑚𝑠 + 1 (12)

Operando matemáticamente se concluye que la constante del motor del proceso puede

obtenerse con los resultados de medición a través de la ecuación (13).

𝐾𝑚 =Ω(∞)

𝑎 (13)

Donde Ω(∞) representa a la velocidad angular en régimen permanente del motor y 𝑎 es

el escalón de tensión aplicado a la armadura del motor.

Recurriendo a los valores obtenidos experimentalmente, que se listan en la tabla 2.

Tabla 2. Valores obtenidos.

Ω[rpm] 4000

Ω[rad/seg] 418,88

Vtg[V] 8

a [V] 10,2

Entonces, la constante del motor obtenemos de la forma siguiente.

𝐾𝑚 =4000 𝑟𝑝𝑚

10,2 𝑉=

418,88 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

10,2 𝑉= 41,07

𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

𝑉 (14)



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Comparando el resultado de la ecuación (14) con el obtenido, para el mismo modelo, en

la ecuación (3) se aprecia una discrepancia que puede explicarse por la diferencia de métodos

con la que se calcula el mismo parámetro.

La constante de tiempo para este método la podemos obtener mediante la ecuación (15).

τ𝑚 = −𝑡0

ln (1 −𝜔(𝑡0)Ω(∞)

)

(15)

Donde 𝜔(𝑡0) es la velocidad de rotación del motor en algún punto 𝑡0 del período

transitorio, los valores registrados en el ensayo son de: 𝜔(𝑡0) = 262 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 en un tiempo

𝑡0 = 0,062𝑠𝑒𝑔. Reemplazando estos valores en la ecuación (15) obtenemos:

τ𝑚 = −0,062 𝑠𝑒𝑔

ln (1 −262 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔

418,88 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔)

= 0,063 𝑠𝑒𝑔 (16)

Finalmente, tomando los parámetros obtenidos en la ecuación (14) y (16), el modelo del

sistema según el método de Función Transferencia Conocida, tiene como resultado el exhibido

en la ecuación (17).


𝑉𝑎(𝑠)=

41,07

0,063 𝑠 + 1 (17)

Para verificar la validez de los modelos hallados por los cuatro métodos se obtiene,

mediante la ayuda del software MATLAB®, la respuesta al escalón de cada función de

transferencia.

En la figura 8 se observa la superposición de las respuestas al escalón para las funciones

de transferencias obtenidas por los tres métodos gráficos, el método analítico y la respuesta real

del sistema.

El script de MATLAB® para la obtención de la figura 8 se encuentra en la figura 9. En

este script, al igual que el de la figura 3, no se incluye la importación de los datos del archivo

csv obtenido del osciloscopio. La importación de las muestras a MATLAB® se realizó como

paso previo a la ejecución del script.



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Figura 8. Respuestas obtenidas por los 3 métodos y la respuesta real

clc datos=data(:,3);

Km=10.2*41.07; Kp=10.2*41.17; w=datos.*4000*2*pi/(8*60)

s=tf('s'); Gzn=Kp/(0.094*s+1); %Ziegler - Nichols. Gh=Kp/(0.062*s+1); %Hägglund. Gsk=Kp/(0.059*s+1); %Sundaresan - Krishnaswamy. Gp=Km/(0.063*s+1); %FT conocida

[y1,t]=step(Gzn,[0:1e-3:500e-3],'r') hold on [y2,t]=step(Gh,[0:1e-3:500e-3],'g') [y3,t]=step(Gsk,[0:1e-3:500e-3],'b') [y4,t]=step(Gp,[0:1e-3:500e-3],'m') t1=[0:500e-3/465:500e-3-500e-3/465]; plot(t1,w,'b',t,y1,'--r',t,y2,'g',t,y3,'-.b',t,y4,'--m'); grid on title('Respuesta al escalón') xlabel('tiempo (ms)') ylabel('velocidad angular (rad/s)')

Figura 9. Script de Matlab: superposición de las respuestas al escalón.



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6. CONCLUSIONES.

Al observar la figura 8 se aprecia que la respuesta al escalón más aproximada a la real

del sistema obtenida por ensayos fue la del método de Sundaresan – Krishnaswamy.

Podemos considerar que la aproximación obtenida por el método de Hägglund también

se asemeja a la curva obtenida por medio de ensayos. Por otro lado, la curva obtenida mediante

el método de Ziegler – Nichols es la que más se aleja de la respuesta real del sistema ensayado.

El grupo opina que la primera (Sundaresan – Krishnaswamy) es la que mejor se

aproxima a la real, aunque también, por lo que podemos observar, resulta bastante acertado

utilizar el método analítico mediante la estimación paramétrica donde se asume que se conoce

la FT del proceso.

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