mkm 311 sistem dinamiği ve kontrol_birim basamak yanıtı_zaman tanım bölgesi

MKM 311 Sistem Dinamiği ve Kontrol

Birim Basamak Yanıtı ve Zaman Tanım Bölgesi Kriterleri

Prof. Dr. Recep KozanYrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki

Sakarya ÜniversitesiMühendislik FakültesiMakine Mühendisliği Bölümü



BİRİM BASAMAK YANITI VE ZAMAN TANIM BÖLGESİ KRİTERLERİ

Bir kontrol sisteminde geçici rejim (durum) cevabının değerlendirilmesi genellikle us(t) birim basamak cevabından yararlanılarak yapılır. Şekilde doğrusal bir kontrol sisteminin örneksel bir birim basamak cevabı görülmektedir. Birim basamak cevabı ile ilişkili zaman tanım bölgesinin değerlendirildiği davranış kriterleri verilecektir.




1. En Büyük Aşımy(t) birim basamak cevabı olmak üzere y(t)’nin en büyük değeri ymax ve sürekli hal değeri yss olsun (ymax≥ yss). y(t)’nin en büyük aşımıen büyük aşım = ymax - yss

En büyük aşım genellikle basamak cevabının son değerinin yüzdesi ile ifade edilir.




1. En Büyük AşımGenellikle kontrol sisteminin göreli kararlılığını değerlendirme ölçüsü olarak kullanılır ve sistemde bu aşımın büyük olması istenmez.

Şekilde max. aşım birinci aşımdadır. Bazı sistemlerde sonraki tepe değerlerinde oluşabilir. Sistemin sağ yarı s-düzleminde tek sayıda sıfırı varsa negatif alt aşım görülebilir.




2. Gecikme Zamanıtd gecikme zamanı, basamak cevabının son değerinin yüzde 50 değerine erişme zamanı olarak tanımlanır.




3. Yükselme Zamanıtr yükselme zamanı, basamak cevabının son değerinin %10 değerinden %90 değerine ulaşma zamanı olarak tanımlanır. Ayrıca son değerin %50 değerinde basamak cevabı teğetinin tersi olarak ifade edilebilir.




4. Yerleşme Zamanıts yerleşme zamanı, basamak cevabının son değerinin belirli bir yüzdesine kadar azalması ve bu değerin altında kalması için geçen zaman olarak tanımlanır. %5 çok sık kullanılan değerdir.




Birim basamak cevabına bağlı olarak verilen bu dört büyüklük, kontrol sisteminin doğrudan geçici durum davranışına ilişkin ölçüleri tanımlar.

Basamak cevabı şekildeki gibi tanımlandığında bu zaman tanım bölgesi kriterleri göreli kolay ölçülür. Bu değerlerin, 3. mertebenin altındaki basit sistemler dışında analitik elde edilmeleri çok zordur.



İKİNCİ MERTEBEDEN ÖRNEK BİR SİSTEMİN GEÇİCİ DURUM YANITI

Uygulamada gerçek ikinci mertebeden kontrol sistemlerine çok ender rastlansa da, bunların analizi, özellikle ikinci mertebeden yaklaşık ifade edilebilen yüksek mertebeden sistemlerin anlaşılmasına yardımcı olur, analiz ve tasarıma temel oluşturur.

Birim geri beslemeli ikinci mertebeden kontrol sisteminin blok diyagramı




ζ ve ωn, gerçek sabitler olmak üzere sistemin açık çevrim transfer fonksiyonu


Kapalı çevrim transfer fonksiyonu

İkinci mertebeden örnek sistemin karakteristik denklemi



R(s)=1/s birim basamak giriş fonksiyonu için sistem çıkışının Laplace dönüşümü


Ters Laplace uygulanırsa sistemin birim basamak cevabı y(t)

Birim basamak cevabının ωnt normalize zamana göre çizimleri, çeşitli ζ değerleri için verilmiştir.



ζ‘nin değeri azaldıkça cevap daha aşımlı ve salınımlı hale gelir. ζ≥1 için, basamak cevabında bir aşım görülmez, buna göre y(t) cevabı son değerini hiçbir zaman aşmaz. Ayrıca ωn’in yükselme, gecikme ve yerleşme zamanını doğrudan etkilemediği ve aşım üzerinde tamamen etkisiz olduğu görülür.




Sönüm Oranı ve Sönüm Faktörü

İkinci mertebeden örnek sistemde, ζ ve ωn sistem parametrelerinin y(t) basamak cevabına etkisi, karakteristik denklem kökleri ile ifade edilebilir. İki kök


α ifadesi y(t) cevabının üssel teriminde t zamanı ile çarpılmış bir sabittir. Buna göre α, y(t)’nin artış ya da azalış oranını belirtir. Yani α sistemin sönümünü ifade eder ve sönüm çarpanı veya sönüm sabiti olarak adlandırılır. α‘nın tersi 1/α sistemin zaman sabiti ile orantılıdır.



•




Doğal Frekans

Sistemin ωn parametresi doğal frekans olarak tanımlanır. ilişkisinde ζ=0 olması halinde, karakteristik denklemin kökleri sanal hale gelir ve birim

basamak yanıtı saf sinüsoidal bir işarete dönüşür. Buna göre ωn sinüsoidal cevap frekansına karşı düşer.

0<ζ<1 için köklerin sanal kısmı ω genliğindedir.

ζ≠0 için y(t) yanıtı periyodik bir fonksiyon olmadığından ω bir frekans değildir. Karşılaştırma amacıyla ω bazen koşullu frekans veya sönüm frekansı olarak adlandırılır.




Doğal Frekans

Karakteristik denklemin karmaşık eşlenik köklerinin konumu ile α, ζ, ωn ve ω arasındaki ilişki;-ωn, köklerin s-düzlemi koordinat merkezine olan uzaklıktır.-α, köklerin gerçek kısmıdır. -ω, köklerin sanal kısmıdır. -ζ, kökler sol yarı s-düzleminde bulunduğunda kökleri koordinat merkezine bağlayan doğru ile negatif gerçek eksen arasındaki açının kosinüsüne eşittir.




Doğal Frekans

Sol yarı s-düzlemi pozitif sönüme karşı düşer (sönüm faktörü veya oranı pozitiftir). Pozitif sönüm, e-ζωnt ifadesindeki negatif üs nedeniyle birim basamak yanıtının sabit bir değere yerleşmesine neden olur. Sistem kararlıdır.

Sağ yarı s-düzlemi negatif sönüme karşı düşer. Negatif sönüm genliği zamanla sınırsız artan biryanıta neden olur ve sistem kararsızdır.

Sanal eksen sıfır sönüme karşı düşer (α=0 veya ζ=0). sıfır sönüm kalıcı salınıma neden olur ve sistem kararlılık sınırında ya da kararsızlık sınırındadır.




Doğal Frekans

Kökler sol yarı düzlemde ise örneksel birim basamak yanıtı


Az sönümlü



Doğal Frekans

Kökler sol yarı düzlemde ve çakışıyor ise birim basamak yanıtı


Kritik sönümlü



Doğal Frekans

Kökler solda gerçel eksen üzerinde ise birim basamak yanıtı


Aşırı sönümlü



Doğal Frekans

Kökler imajiner eksen üzerinde ise örneksel birim basamak yanıtı


Sönümsüz



Doğal Frekans

Kökler sağ yarı düzlemde ise örneksel birim basamak yanıtı


Negatif sönümlü



En Büyük Aşım

Sönüm oranı ile aşım arasındaki tam ilişki birim basamak yanıtı y(t) denkleminin t’ye göre türevi alınıp sıfıra eşitlenerek türetilebilir. Bu na göre ve tanımlanan ω ve θ ile


Köşeli parantez içindeki ifade sin ωt cinsinden ifade edilebilir.



En Büyük Aşım

dy(t) / dt sıfıra eşitlenirse çözüm olarak t=∞ ve


t=∞ çözümü y(t)’nin sadece ζ≥1 için maksimumdur. ζ değerleri için ωnt’ye göre verilen birim basamak yanıtlarında en büyük aşımın ilk aşım olduğu görülür. Bu, ilişkisinde n=1’e karşı düşer.

İkinci mertebeden sistemde en büyük aşım sadece ζ’ye bağlıdır.

Buna göre en büyük aşımın oluştuğu zaman

En büyük aşım n=1 için

Yüzde en büyük aşım



Gecikme Zamanı ve Yükselme Zamanı

İkinci mertebeden örnek sistemde bile gecikme zamanı td, yükselme zamanı tr ve yerleşme zamanı ts’in tam analitik ifadelerini bulmak zordur. Örnegin gecikme zamanı için birim basamak yanıtı y(t) ilişkisinde y=0.5 alıp ifadeyi t’ye göre çözmek gerekir. Daha kolay bir yöntem ωn. td’yi ζ’ye bağlı olarak çizmek ve elde edilen çizimi 0<ζ<1 aralığında bir doğru veya eğriyle yaklaşık ifade etmektir.


Eğer td için ikinci mertebeden bir eğriden yararlanılırsa, daha iyi bir yaklaşık ifade



Gecikme Zamanı ve Yükselme Zamanı

Basamak yanıtının son değerin %10 değerinden %90 değerine erişme zamanı olarak tanımlanan tr yükselme zamanı, çeşitli ζ değerleri için ωnt’ye göre birim basamak yanıtlarından ölçülebilir. ωntr ’nin ζ’ye göre çizimi yapılıp, ζ’nin belirli sınırlı bir bölgesiiçin bir doğrusal yaklaşık ifade verilebilir.


İkinci mertebeden daha iyi bir yaklaşık ilişki,



Gecikme Zamanı ve Yükselme ZamanıSONUÇLAR

tr ve td zamanları ζ ile doğru, ωn ile ters orantılıdır.

ωn doğal frekansının artması (azalması) tr ve td’nin artmasına (azalmasına) neden olur.




Yerleşme Zamanı

Çeşitli ζ değerleri için ωnt’ye göre birim basamak yanıtlarında görüldüğü gibi 0<ζ<0.69 için birim basamak yanıtının aşımı %5’in üzerindedir ve yanıt 0.95 ile 1.05 arasındaki bölgeye son kez üstten yada alttan girebilir. ζ‘nin 0.69’dan daha büyük olması halinde aşım %5’ten daha az olması nedeniyle yanıt 0.95 ile 1.05 arasındaki bölgeye sadece alttan girebilir.

İkinci mertebeden örnek sistemde yerleşme zamanı yaklaşık




Yerleşme Zamanı

ζ<0.69 için yerleşme zamanı ζ ve ωn ile ters orantılıdır. ζ sabit tutulduğunda yerleşme zamanını azaltmanın kolay bir yolu ωn’i artırmaktır. Her ne kadar yanıt daha salınımlı olsa da en büyük aşım sadece ζ’ye bağlıdır ve bağımsız kontrol edilebilir.

ζ>0.69 için yerleşme zamanı ζ ile doğru, ωn ile ters orantılıdır. Burada da ωn artırılarak ts azaltılabilir.


mkm 311 sistem dinamiği ve kontrol_birim basamak yanıtı_zaman tanım bölgesi

Documents