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  • MTODOS NUMRICOS PARA EQUAES DIFERENCIAIS

    PARCIAIS

    - Disciplina Obrigatria do Curso MCCT

    - Nmero de Crditos 4, 60 horas

    - Prof. Gustavo Benitez Alvarez

    - Horrio: 4 feira das 14:00 16:00 horas na sala D42e 5 feira das 16:00 18:00 horas na sala D42.

  • Ementa1. Resoluo de Sistemas Lineares e No-lineares.

    Autovalores e autovetores.2. Consideraes gerais sobre o mtodo de diferenas

    finitas aplicado s equaes diferenciais parciais.3. Mtodo dos elementos finitos: malha de elementos

    finitos, conjunto completo de polinmios de grau k, mapeamento de elementos, elementos isoparamtricos, espaos de elementos finitos, mtodo de Galerkin, integrao numrica.

    4. Natureza do problema de discretizao de domnios contnuos, aproximao das condies de contorno.

  • Bibliografia1. Golub, E., Van Loan, C., Matrix Computations. 3rd Edition John

    Hopkins. Univ. Press, 1996.2. S. D. Conte, Carl De Boor , Elementary Numerical Analysis: An

    Algorithmic Approach. Copyright 1980, 1972, 1965 By Mcgraw-Hill.3. B. P. Demidovich, I. A. Maron, Computational Mathematics. Second

    Edition, Mir Publishers, 1976.4. Ciarlet, P.G., Introduction Lanalyse Numrique Matricielle Et

    Loptimisation. Masson, Paris, 1982. English Translation : 1989 (Cambridge University Press, Cambridge).

    5. Ciarlet, P. G.; Miara, B.; Thomas, J.-M., Exercices D Analyse NumriqueMatricielle Et Doptimisation. Masson, Paris, 1986. Second Edition, English Translation : 1989 (Cambridge University Press, Cambridge).

    6. Hughes, T. J. R., Finite Element Method - Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1987, 803 pp., 2000, 682 pp.

    7. J. N. Reddy , Introduction to the Finite Element Method. McGraw-Hill Science/Engineering/Math; 2 edition 1993, 896 pages.

    8. O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J.Z. Zhu, The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. Butterworth-Heinemann; 6 edition 2005, 752 pages.

    - Livro PDF - Livro Impresso - Livro Copia Prpria

  • Mtodo de Avaliao

    1. Trabalhos individuais e/ou em grupos para cada uma das quatro unidades com possveis apresentao em forma de seminrios.

    2. Duas Provas Escritas.3. Trabalho final em grupos com apresentao

    em forma de seminrios.4. Nota de cada avaliao entre 0-10.5. Nota final calculada como media.6. Freqncia mnima de 75%.

  • Objetivos Fundamentais1. Aprender alguns mtodos numricos muito

    usados na modelagem computacional.2. Aperfeioar no uso de Cdigos, Programas

    e Linguagens de Programao para a implementao destes mtodos numricos em computadores.

    3. Aplicao dos objetivos 1 e 2 na resoluo, via modelagem computacional, de um problema concreto (Trabalho Final).

  • Por que esta ementa?

    Problemas de Nosso Cotidiano: Macro e Micro

  • Modelos do Macro e Micro

    Modelos Matemticos

  • Por que esta ementa?Problemas

    Modelos Matemticos

    Equaes Algbricas

    Equaes Transcendentais

    Equaes Diferenciais Ordinrias

    Equaes Diferenciais Parciais

    Outras Formas de Modelar

    Resoluo de Sistemas Lineares e No-lineares.

    Autovalores e autovetores.

    Mtodo de diferenas finitas.

    Mtodo dos elementos finitos.

    Discretizao de domnios contnuos e aproximao das condies de contorno.Computador

    Conhecimento Qualitativo

    Conhecimento Quantitativo

  • Preliminares: Representao de Nmeros e Erros no Computador

    Objetivo: Estudar a representao de nmeros no computador, erros introduzidos por esta representao, fontes de alguns tipos de erros computacionais e sua propagao.

    Fontes de Erros

    Problema

    Real

    Modelo

    Matemtico

    Exato

    Algoritmo

    Programao

    Computo/

    Clculo

    Resultado

    Mtodo

    Aproximado

    Fonte de erro computacional

  • Fontes de Erros

    Modelo Matemtico: Introduz simplificaes do problema real.

    Algoritmo: Introduz erro se o algoritmo usado precisa de infinitos passos, j que na pratica impossvel realizar infinitos passos.

    Programao: Introduz erro na implementao do algoritmo na linguagem escolhida.

    Computo/Clculo: Introduz erro correspondente as operaes aritmticas (suma, resta, multiplicao, diviso), j que o computador possui preciso finita.

    Mtodo Aproximado (Mtodos Numricos): Introduz erro correspondente ao mtodos usado para obter uma soluo aproximada do modelo matemtico.

    Fonte de erro computacional

  • Trs Formas de Expressar o Erro1. Erro Absoluto: Valor absoluto da diferena

    entre o valor exato da grandeza e seu valor aproximado

    2. Erro Relativo:

    3. Erro Porcentual:

    a exa to a p ro x im a d oe X X=

    exato aproximadoar

    exato exato

    X XeeX X

    = =

    exato aproximadop r

    exato

    X Xe e

    X

    = =100 100

  • Representao de Nmeros Inteiros (positivos/negativos) na base

    Seja o polinmio

    com coeficientes inteiros (positivos/negativos). Se um inteiro positivo (base), ento o nmero (positivos/negativos)

    um inteiro.

    Este resultado pode ser usado para representar nmeros inteiros na forma:

    onde a base e .

    00

    11

    11)( xaxaxaxaxp

    nn

    nn ++++=

    )0( niai ==x

    00

    11

    11)( aaaapN

    nn

    nn ++++==

    )()( 0110

    01

    11

    1 aaaaaaaapN nnn

    nn

    n

    =++++==

    )0( 0 niai =

  • Exemplos de Representao de Nmeros Inteiros (positivos/negativos) na base

    =10

    )()( 011

    00

    11

    11 aaaaaaaapN nn

    nn

    nn

    =++++==

    )0( 0 niai =

  • Exemplos de Representao de Nmeros Inteiros (positivos/negativos) na base

    Podemos representar no computador os nmeros inteiros sem erro!

    Quanto menor a base maior quantidade de dgitos necessria para representar o nmero inteiro.

    Posso armazenar no computador qualquer quantidade de dgitos? No. O computador funciona com um comprimento finito de palavra (8 bits, 16 bits, 32 bits, 64 bits, etc).

    Exemplo para o FORTRAN existem os seguintes inteiros:INTEGER*1 representa inteiros entre 128 a 127INTEGER*2 representa inteiros entre 32 768 a 32 767INTEGER*4 2 147 483 648 a 2 147 483 647Os nmeros aps o * indicam quantos bytes a varivel ocupa

    na memria do computador.

    1 bytes=8 bit=

    0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1

  • Representao de Nmeros Reais (positivos/negativos) na base

    Preciso Finita do Computador: Diferente da AritmticaExata (Matemtica) as operaes aritmtica (+, -, *, /) no computador (Aritmtica com Preciso Finita) so afetadas por um erro (round-off error) porque o hardware apenas pode representar um subconjunto de todos os nmeros reais. Este subconjunto denotado por F e seus elementos so chamados de Floating Point Numbers (fl(x)).

    Round-off Error = x fl(x)

  • Representao de Nmeros Reais (positivos/negativos) na base

    (. )nd d d 1 2

    Um nmero real x pode ser representado no sistema de ponto flutuante com n dgitos na base como:

    onde a frao (mantissa) e p o expoente.

    A preciso ou quantidade n de dgitos do nmero depende do comprimento de palavra do computador.

    Exemplo para o FORTRAN existe simples e dupla preciso

    REAL*4 3.402823E+38 (simples preciso, 6 casas decimais)

    REAL*8 1.797693134862316D+308 (dupla preciso, 15 casas decimais)

    (. ) pnx d d d = 1 2

    M p M <

  • Representao de Nmeros Reais (positivos/negativos) na base

    1.3333333..., . ...= =4 2 1 4142133

    . ... = 3 141592

    Para o computador e/ou outros dispositivos eletrnicos existem dois tipos de nmero:

    - Nmeros Exatos que so representados por um nmero finito de dgitos. Exemplo 2, 15, 3/2, 5.43, etc.

    - Nmeros Aproximados que no podem ser representados por um nmero finito de dgitos. Exemplo

    .7182818284590452353602874713527...e = 2

  • Representao de Nmeros Reais (positivos/negativos) na base

    overflow

    underflow

    M

    M n

    x

    x

    .7182818284590452353602874713527...

    limn

    n

    e

    en

    = = +

    2

    11

    Quando

    e nestes casos o nmero no est definido, causando uma parada, ou pode ser representado como um nmero especial que no obedece as operaes aritmticas quando combinado com outro nmero.

    M p M

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