m©todos estat­sticos aplicados  s cincias biol³gicas - 7 aula

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Mtodos Estatsticos Aplicados s Cincias Biolgicas- 7 aula -

Motivao Arumalla et al., 2012InfernciaEstimaoTestes de hipteseEm uma pesquisa eleitoral, considere o candidato ADenomine por a proporo de pessoas que votaro em A na eleio.Denomine por p a proporo de pessoas no levantamento de opinio (amostra) que expressam inteno de voto em A.Populao: todas as pessoas aptas a votar

Amostra: eleitores que participaram da pesquisa eleitoral

: caracterstica de interesse da populao (parmetro)

p: correspondente caracterstica na amostra (estatstica ou estimador)Este um problema de estimao

Na apresentao dos resultados fornecida uma medida de incerteza: margem de erro

Observao: Neste exemplo, no dia da eleio, ser conhecido. Porm, isto no ocorre em outras aplicaes, de uma forma geral.

Exemplo 1

Um fabricante de prteses afirma que seu processo de fabricao produz 90% de peas dentro das especificaes. O IPEM deseja investigar se este processo de fabricao ainda est sob controle. Foi selecionada uma amostra aleatria de 100 itens e observada a proporo itens satisfatrios Exemplo 2 - Um fabricante de cigarros afirma que seus cigarros contm, em mdia, no mais que 30 mg de nicotina. Uma ONG anti-tabagismo no concorda com essa afirmao, e colhe uma amostra aleatria de 81 cigarros dessa marca para contestar a afirmao

Hiptese estatstica: afirmao sobre um parmetro da populao

Os parmetros e valores especificados nas hipteses nula e alternativa dependem do objetivo e caractersticas o estudo

Parmetro de interesse: proporo de itens dentro das especificaes na populao ()

Hipteses

H0: =0,90H1: 30 Parmetro de interesse: mdia da quantidade de nicotina em um cigarroHipteses:onde a mdia de nicotina / cigarro hiptese nula hiptese alternativaDois tipos de erros podem ser cometidos:Erro de tipo I:rejeitar H0 quando H0 verdadeiraErro de tipo II: no rejeitar H0 quando H0 falsaP(erro de tipo I) = P(erro de tipo II) = : nvel de significncia do testeEm um teste de hiptese, fixadoPara testar uma hiptese:

fixamos o nvel de significncia . Em geral =0,05 consideramos uma amostra da populao em estudocalculamos o valor da estatstica de teste apropriadarejeitamos ou no a hiptese H0O conjunto de valores que levam rejeio de H0 denominado regio crtica ou regio de rejeioOs conceitos sobre testes de hiptese apresentados so gerais, e so vlidos para testes sobre diferentes parmetros.

Nesta aula vamos nos concentrar, de uma forma geral, em testes sobre as mdias de variveis com distribuio normal Teste sobre a mdia de uma populao (1 amostra)Suponha que X seja uma varivel aleatria com distribuio N (,2)H0: =0H1: 0

Hipteses:0: valor padro de interesse Procedimento:

A partir de uma amostra de tamanho n, calcular a mdia amostral e o desvio padro amostral s;

Calcular o valor da estatstica de teste:

Se H0 verdadeira, ento t0 tem distribuio t-Student com n-1 graus de liberdade

T1T5T30ZRejeitar H0 se

Para hipteses alternativas unilaterais:

H1: 0

Rejeitar H0 se

ou seja, se t0 pertence regio crtica do teste Um procedimento alternativo seria, ao invs de verificar se o valor da estatstica (t0) pertence regio crtica, calcular do nvel descritivo do teste (p-valor)p-valor: probabilidade de que a estatstica do teste assuma um valor pelo menos to extremo como o observado na amostra, quando H0 verdadeiraSe p| t0|)H0: =0 H1: 0 p=P(T>t0)

onde T tem distribuio t com n-1 graus de liberdade

Exemplo 2:Um fabricante de cigarros afirma que seus cigarros contm, em mdia, no mais que 30 mg de nicotina. Uma ONG anti-tabagismo no concorda com essa afirmao, e colhe uma amostra aleatria de 81 cigarros dessa marca para contestar a afirmaoNa amostra coletada, o contedo mdio de nicotina foi 31,1 mg e desvio padro de 3,7 mg.Esses resultados so suficientes para contestar a afirmao do fabricante?As hipteses apropriadas soH0: =30mgH1: >30mg

Logo, ao nvel de 5%, h evidncias suficiente para concluir que a afirmao do fabricante est incorreta, ou seja, a contestao da ONG procede.Como t0 >1,66, H0 rejeitadaExcel: INVTClculo do p-valor

Excel: DISTTp=0,004Como verificar a suposio de normalidade?Grfico quantil-quantilComparao das mdias de duas populaes Quando temos mais de um grupo de observaes importante verificarmos se os dados so pareados ou se as amostras so independentesObservaes pareadas:o mesmo indivduo observado em mais de uma vezindivduos diferentes pareados segundo outra varivel (idade, por exemplo) Comparao de duas mdias:amostras pareadasEstamos interessados na mdia das diferenas das observaes individuaisA vantagem do planejamento com pareamento que na anlise dos dados considerada a variabilidade intra-indivduosRepresentao dos dados

varivel de interesseA anlise se reduz ao problema de uma amostra, na qual a varivel a ser analisada a diferena . A hiptese apropriada H0: d=0H1: d0Pode ser unilateral, dependendo do objetivo do estudoonde d a mdia da diferena na populaoExemplo (Fisher e van Belle, 1993)

Perfis individuais do N apnias/ horaMdia da diferena = = 0,77Desvio padro da diferena = S = 0,52

Estatstica de teste

p 2Estatstica para o teste

onde

so as mdias das amostras 1 e 2, respectivamente

, s12 e s22 so as varincias das amostras 1 e 2, respectivamenteVarincia amostral combinadaSob H0, t0 tem distribuio t-Student com n1+n2-2 graus de liberdadePara decidir pela rejeio ou no de H0:

verificar se t0 pertence regio crtica

calcular o p-valor

ouRejeitar H0 se

Para hipteses alternativas unilaterais:

H1: 12

Rejeitar H0 se

ou seja, se t0 pertence regio crtica do teste Clculo do p-valorH0: 1=2 H1: 12 p= 2 x P(T >| t0|)H0: 1=2 H1: 12 p=P(T>t0)

onde T tem distribuio t com n1+n2-2 graus de liberdade

Exemplo

Em um estudo realizado para avaliar o efeito do tabagismo nos padres de sono foram considerados dois grupos de indivduos: Fumantes e No fumantes. A varivel observada foi o tempo, em minutos, que se leva para dormir. Resumo dos dados

Grfico de probabilidade normal (equivalente ao grfico quantil-quantil)

Hipteses:H0: 1 = 2H1: 1 2= 0,05 (fixado)

s= 6,14n1=n2=27n1+n2-2=25

1,710,05ou: p