Delineamentos Delineamentos ExperimentaisExperimentais

Prof. Dra. Adriana DantasProf. Dra. Adriana Dantas

UERGS UERGS

Planejamento de ExperimentosPlanejamento de Experimentos

Delineamentos EstatísticosDelineamentos Estatísticos

É o processo de planejar e conduzir um É o processo de planejar e conduzir um ensaio ou experiência, incluindo a ensaio ou experiência, incluindo a sua implantação, de modo que seja sua implantação, de modo que seja possível recolher dados que possam possível recolher dados que possam ser analisados, usando as ser analisados, usando as metodologias estatísticas metodologias estatísticas apropriadas, e que conduzam a apropriadas, e que conduzam a conclusões válidas e objetivas.conclusões válidas e objetivas.

Delineamento experimentalDelineamento experimental

1. Reconhecimento do problema e objetivos1. Reconhecimento do problema e objetivos2. Identificação das unidades experimentais2. Identificação das unidades experimentais3. Seleção dos fatores, tratamentos3. Seleção dos fatores, tratamentos4. Seleção da(s) variável(eis)-resposta4. Seleção da(s) variável(eis)-resposta5. Escolha do tipo de delineamento5. Escolha do tipo de delineamento6. Realização do ensaio e recolha de dados6. Realização do ensaio e recolha de dados7. Análise estatística dos resultados7. Análise estatística dos resultados8. Conclusões e recomendações8. Conclusões e recomendações

Delineamento experimentalDelineamento experimental

Identificação das unidades experimentaisIdentificação das unidades experimentais• Adequação ao ensaioAdequação ao ensaio• UniformidadeUniformidade

No. de unidades experimentais disponíveisNo. de unidades experimentais disponíveis Serão necessários blocosSerão necessários blocos

FatoresFatores

Variáveis independentesVariáveis independentes São as variáveis controladas pelo São as variáveis controladas pelo

experimentador, e que se pretende experimentador, e que se pretende testar se produzem algum efeito testar se produzem algum efeito numa (ou várias) variável-resposta.numa (ou várias) variável-resposta.

Fatores fixos: número fixo de níveis;Fatores fixos: número fixo de níveis; Fatores aleatórios: amostra aleatória Fatores aleatórios: amostra aleatória

de níveisde níveis

TratamentosTratamentos

São os vários níveis de cada um dos São os vários níveis de cada um dos fatores do ensaio.fatores do ensaio.

Controle ou testemunha:Controle ou testemunha:• É um dos níveis do fator, e que serve de É um dos níveis do fator, e que serve de

termo de comparação aos restantes termo de comparação aos restantes tratamentos.tratamentos.

Pode ser o “nível zero” de um fator.Pode ser o “nível zero” de um fator.

Unidade experimentalUnidade experimental

É a unidade física que recebe cada É a unidade física que recebe cada um dos tratamentos, e na qual se vai um dos tratamentos, e na qual se vai quantificar o efeito desse quantificar o efeito desse tratamento.tratamento.

Pode ser um vaso, um talhão, uma Pode ser um vaso, um talhão, uma planta, um animal, um lote de planta, um animal, um lote de animais, etc.animais, etc.

Homogeneidade das unidades Homogeneidade das unidades experimentaisexperimentais

Repetição ou ReplicaçãoRepetição ou Replicação

É a atribuição do mesmo tratamento É a atribuição do mesmo tratamento a várias unidades experimentais.a várias unidades experimentais.

Objetivos:Objetivos:• Estimar o erro experimentalEstimar o erro experimental• Estimar o efeito do tratamentoEstimar o efeito do tratamento

Repetição Repetição ≠ ≠ Medidas repetidasMedidas repetidas

AleatorizaçãoAleatorização

As unidades experimentais devem receber As unidades experimentais devem receber os tratamentos de um modo os tratamentos de um modo completamente aleatório.completamente aleatório.

A análise estatística requer que as A análise estatística requer que as observações (isto é, os dados recolhidos observações (isto é, os dados recolhidos das unidades experimentais) sejam das unidades experimentais) sejam variáveis aleatórias independentes.variáveis aleatórias independentes.

A aleatorização garante este pressupostoA aleatorização garante este pressuposto

Seleção dos fatoresSeleção dos fatores

Três tipos de fatores (quanto à Três tipos de fatores (quanto à importância):importância):• Fatores importantes e interessantes Fatores importantes e interessantes (“design (“design

factores”)factores”)• Fatores importantes mas não interessantes Fatores importantes mas não interessantes

(“held constant factores”) = (“held constant factores”) = Uniformização Uniformização pelos blocospelos blocos

• Fatores menos importantes Fatores menos importantes (“allowed-to-vary”)(“allowed-to-vary”) Natureza dos fatoresNatureza dos fatores Numéricos - Modelos de regressãoNuméricos - Modelos de regressão Categóricos - Modelos de ANOVACategóricos - Modelos de ANOVA

Tipo de fatores quanto ao efeitoTipo de fatores quanto ao efeito

Fatores de efeito fixoFatores de efeito fixo Fatores de efeito aleatórioFatores de efeito aleatório Para cada fator, quantos níveis ou Para cada fator, quantos níveis ou

tratamentos?tratamentos? Atenção à complexidade!Atenção à complexidade!

Seleção da variável-respostaSeleção da variável-resposta

Variável aleatóriaVariável aleatória Tipo de variávelTipo de variável escalar, ordinal, %, escalar, ordinal, %, Tempo de respostaTempo de resposta Adequação aos objetivos do ensaioAdequação aos objetivos do ensaio Ensaios com múltiplas respostasEnsaios com múltiplas respostas Vantagens em termos de optimizaçãoVantagens em termos de optimização Atenção à complexidade!Atenção à complexidade!

Escolha do tipo de delineamentoEscolha do tipo de delineamento

Uni ou multi-fatorialUni ou multi-fatorial Número de repetições (tamanho Número de repetições (tamanho

amostral)amostral) Blocos? (Uniformidade das unidades Blocos? (Uniformidade das unidades

experimentais)experimentais) Equilibrado ou desequilibradoEquilibrado ou desequilibrado AleatorizaçãoAleatorização

Realização do ensaio e recolha de Realização do ensaio e recolha de dadosdados

Análise estatística dos resultadosAnálise estatística dos resultados A Estatística não descobre nada de A Estatística não descobre nada de

novo; é apenas uma ferramenta que novo; é apenas uma ferramenta que auxilia a realçar o que os dados têm auxilia a realçar o que os dados têm a dizer!a dizer!

Conclusões e recomendaçõesConclusões e recomendações

Delineamento Completamente Delineamento Completamente AleatórioAleatório

Todas as unidades experimentais deverão ser Todas as unidades experimentais deverão ser homogêneas. homogêneas.

É o delineamento que assegura completa É o delineamento que assegura completa aleatorização na distribuição dos tratamentos às aleatorização na distribuição dos tratamentos às unidades unidades

Facilidade de implantação Facilidade de implantação Flexibilidade: número de tratamentos; repetiçõesFlexibilidade: número de tratamentos; repetições Facilidade de interpretação dos resultados: a Facilidade de interpretação dos resultados: a

variabilidade é apenas devida aos tratamentos ou variabilidade é apenas devida aos tratamentos ou ao erro experimentalao erro experimental

Maximiza os graus de liberdade do erro Maximiza os graus de liberdade do erro experimentalexperimental

Delineamento completamente Delineamento completamente casualizado (DCC)casualizado (DCC)

O DDC é o mais simples de todos os delineamento O DDC é o mais simples de todos os delineamento estatísticoestatístico

Levam em conta somente princípios da repetição e Levam em conta somente princípios da repetição e da casualização, da casualização, semsem controle local controle local

Dessa forma, os tratamentos são localizados nas Dessa forma, os tratamentos são localizados nas parcelas de uma maneira totalmente aleatória. parcelas de uma maneira totalmente aleatória.

Pelo fato de não terem controle local, exige-se que Pelo fato de não terem controle local, exige-se que o ambiente do experimento seja o mais uniforme o ambiente do experimento seja o mais uniforme possível. possível.

São recomendados na experimentação em São recomendados na experimentação em laboratórios, viveiros, casa-de-vegetação, estábulo, laboratórios, viveiros, casa-de-vegetação, estábulo, etc.etc.

VantagensVantagens Qualquer número de tratamentos Qualquer número de tratamentos

ou de repetições pode ser usadoou de repetições pode ser usado O número de repetições pode O número de repetições pode

variar de um tratamento para variar de um tratamento para outrooutro

A análise estatística é a mais A análise estatística é a mais simplessimples

O número de graus de liberdade O número de graus de liberdade para o resíduo é o maior possívelpara o resíduo é o maior possível

DesvantagensDesvantagens Exige homogeneidade total Exige homogeneidade total

das condições experimentaisdas condições experimentais

Conduz estimativas Conduz estimativas elevadas do erro elevadas do erro experimentalexperimental

Instalação do experimento DCCInstalação do experimento DCC

Consideremos um experimento com 4 Consideremos um experimento com 4 tratamentos (A, B, C e D) e 5 repetições, tratamentos (A, B, C e D) e 5 repetições, que dá um total de 20 parcelas (que é o que dá um total de 20 parcelas (que é o numero mínimo de parcelas exigido por numero mínimo de parcelas exigido por ensaio) Então temos:ensaio) Então temos:

A1A1 A3A3 D2D2 B1B1 D4D4 B2B2 B4B4 A4A4 B5B5 C4C4

C2C2 D1D1 A5A5 C1C1 C5C5 D5D5 C3C3 D3D3 B3B3 A2A2

Observa-se que todos os tratamentos com suas respectivas repetições Observa-se que todos os tratamentos com suas respectivas repetições foram distribuídos aleatoriamente nas parcelas.foram distribuídos aleatoriamente nas parcelas.

EtapasEtapas

1.1. Definir o local onde o experimento será conduzido, que Definir o local onde o experimento será conduzido, que neste caso, seria, por exemplo, o laboratório, a casa de neste caso, seria, por exemplo, o laboratório, a casa de vegetação, um estábulo, etc.vegetação, um estábulo, etc.

2.2. Identificar as parcelas experimentais com etiquetas, Identificar as parcelas experimentais com etiquetas, plaquetas, etc., seguindo o que consta no croqui do plaquetas, etc., seguindo o que consta no croqui do experimento. As parcelas nesse caso poderiam ser, por experimento. As parcelas nesse caso poderiam ser, por exemplo, placas de petri, vasos, caixas, baias, gaiolas, exemplo, placas de petri, vasos, caixas, baias, gaiolas, etc.etc.

3.3. Distribuis as parcelas experimentais no local onde o Distribuis as parcelas experimentais no local onde o experimento será conduzido, conforme croqui do experimento será conduzido, conforme croqui do experimentoexperimento

4.4. Colocar as plantas, animais, etc., correpondentes ao seu Colocar as plantas, animais, etc., correpondentes ao seu respectivo tratamento em cada parcela.respectivo tratamento em cada parcela.

Efeito de 4 doses de penicilina no desenvolvimento Efeito de 4 doses de penicilina no desenvolvimento de colónias de de colónias de Escherichia colli.Escherichia colli.

A penicilina é adicionada ao meio de cultura.A penicilina é adicionada ao meio de cultura. Ensaio laboratorial: cultura em estufa à Ensaio laboratorial: cultura em estufa à

temperatura constante de 25ºCtemperatura constante de 25ºC As unidades experimentais são as caixas de PetriAs unidades experimentais são as caixas de Petri É um tratamento uni-factorial: único tratamento É um tratamento uni-factorial: único tratamento

n dosen dose 4 níveis do fator ou 4 tratamentos4 níveis do fator ou 4 tratamentos Variável resposta: diâmetro da colônia de Variável resposta: diâmetro da colônia de E. colliE. colli, ,

em cm, em cada uma das placas de Petriem cm, em cada uma das placas de Petri

Esquema da Análise da VariânciaEsquema da Análise da VariânciaInteiramente CasualizadoInteiramente Casualizadoou Completamente Casualizadoou Completamente Casualizado

Causas da variação

Graus de liberdade

(GL)

Soma dos quadrados (SQ)

Quadrados médios (QM)

F calculado

Entre amostras t - 1 SQ 1 QM 1 = SQ 1/t-1 F= QM 1 / QM 2 Dentro das amostras

T (r-1) SQ 2 = SQ total – SQ 1 QM 2 =SQ 2/t (r – 1)

Total t.r - 1 SQ total

Medições em termos de variânciaMedições em termos de variância

Calculada a Calculada a soma dos quadradossoma dos quadrados (SQ)(SQ) Número de Número de graus de liberdade (GL)graus de liberdade (GL) SQ/GL = SQ/GL = Quadrados médio (QM)Quadrados médio (QM)

– – são as variâncias entre as amostrassão as variâncias entre as amostras

t = número de tratamentost = número de tratamentos

r = número de repetiçõesr = número de repetições

GL = número de graus de liberdadeGL = número de graus de liberdade Estas são confrontadas através de um Estas são confrontadas através de um teste de teste de

hipótese (Teste F)hipótese (Teste F)

– – avalia-se sua significânciaavalia-se sua significância

Soma dos QuadradosSoma dos QuadradosSQ total = SQ total = x2 - x2 - ((x)2x)2

NN

X = valor de cada observaçãoX = valor de cada observação

N = número de observações, que corresponde ao número de N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) multiplicado pelo número de repetições do tratamentos (t) multiplicado pelo número de repetições do experimento (r )experimento (r )

SQ tratamentos = SQ tratamentos = T2T2 - - ((x)2x)2 R NR N

T = total de cada tratamentoT = total de cada tratamento

SQ resíduo = SQ total – SQ tratamentosSQ resíduo = SQ total – SQ tratamentos

Quadrados médiosQuadrados médios

QM tratamentos = QM tratamentos = SQ tratamentosSQ tratamentos GL tratamentosGL tratamentos

QM resíduo = QM resíduo = SQ resíduoSQ resíduo GL resíduoGL resíduo

O QM resíduo corresponde à estimativa da variância O QM resíduo corresponde à estimativa da variância do erro experimental (sdo erro experimental (s22), cujo valor é utilizado ), cujo valor é utilizado nos testes de hipóteses, objetivando verificar se nos testes de hipóteses, objetivando verificar se existe ou não diferença significativa entre os existe ou não diferença significativa entre os tratamentos avaliados.tratamentos avaliados.

Exercício 1. A partir dos dados da Tabela 1, pede-se:Exercício 1. A partir dos dados da Tabela 1, pede-se:a) Fazer a analise de variânciaa) Fazer a analise de variânciab) Obter coeficiente de variaçãob) Obter coeficiente de variação

Repetições Linhagens

1 2 3 4 5 6 Totais de linhagens

MSE1 MSE2 MSE3 MSE4 MSE5 MSE6 MSE7 MSE8 MSE9

385 406 354 271 344 354 167 344 385

323 385 292 208 292 354 115 385 385

417 444 389 347 354 410 194 410 396

370 443 312 302 354 453 130 437 453

437 474 432 370 401 448 240 437 458

340 437 299 264 306 417 139 410 417

2.272 2.589 2.078 1.762 2.051 2.436 985 2.423 2.494

Total 19.090

Delineamento em Blocos casualizados Delineamento em Blocos casualizados (DBC)(DBC)

Delineamento estatístico mais utilizado nas pesquisas devido sua Delineamento estatístico mais utilizado nas pesquisas devido sua simplicidade e alta precisão. simplicidade e alta precisão.

Levam em consideração três princípios básicos da Levam em consideração três princípios básicos da experimentação: repetição, casualização e controle local.experimentação: repetição, casualização e controle local.

O controle local e usado na sua forma mais simples possível e é O controle local e usado na sua forma mais simples possível e é aqui representado pelos blocos, cada um dos quais inclui todos os aqui representado pelos blocos, cada um dos quais inclui todos os tratamentos são atribuídos as parcelas aleatoriamente. tratamentos são atribuídos as parcelas aleatoriamente.

Para que o experimento seja eficiente, cada bloco deverá ser o Para que o experimento seja eficiente, cada bloco deverá ser o mais uniforme possível.mais uniforme possível.

Em experimentos zootécnicos, cada bloco constituído de animais Em experimentos zootécnicos, cada bloco constituído de animais de características semelhantes.de características semelhantes.

• Por exemplo, se temos interesse em estudar rações para Por exemplo, se temos interesse em estudar rações para galinhas poedeiras, colocaremos no mesmo bloco animais da galinhas poedeiras, colocaremos no mesmo bloco animais da mesma raça, da mesma idade, da mesma época de postura e de mesma raça, da mesma idade, da mesma época de postura e de produção de ovos semelhantes. produção de ovos semelhantes.

BlocosBlocos

Lotes de unidades experimentais o mais homogêneas Lotes de unidades experimentais o mais homogêneas possíveis. Quando temos duvidas sobre a homogeneidade do possíveis. Quando temos duvidas sobre a homogeneidade do ambiente onde o experimento será conduzido ou se termos ambiente onde o experimento será conduzido ou se termos certeza de sua heterogeneidade, devemos utilizar o certeza de sua heterogeneidade, devemos utilizar o delineamento em blocos casualizados que, nestas condições, delineamento em blocos casualizados que, nestas condições, é mais eficiente do que o delineamento completamente é mais eficiente do que o delineamento completamente casualizado.casualizado.

Objetivo dos blocos:Objetivo dos blocos:

Homogeneizar as unidades experimentais dentro de cada Homogeneizar as unidades experimentais dentro de cada bloco, de modo a minimizar a variabilidade dentro dos blocos, bloco, de modo a minimizar a variabilidade dentro dos blocos, e maximizar a variabilidade entre os blocos.e maximizar a variabilidade entre os blocos.

Em cada bloco: uma ou mais repetições de cada um dos Em cada bloco: uma ou mais repetições de cada um dos tratamentostratamentos

Num experimento com 4 tratamentos podemos ter as Num experimento com 4 tratamentos podemos ter as seguintes formas para os blocos:seguintes formas para os blocos:

AA BB CC DDAA CC

BB DD

O DBC apresenta vantagens:O DBC apresenta vantagens:

a) A perda total de um ou mais blocos ou de a) A perda total de um ou mais blocos ou de um ou mais tratamentos em nada dificulta um ou mais tratamentos em nada dificulta a análise estatísticaa análise estatística

b) Conduz a estimativas menos elevada do b) Conduz a estimativas menos elevada do erro experimentalerro experimental

c) A analise estatística é relativamente c) A analise estatística é relativamente simplessimples

d) Permite, dentro de certos limites, utilizar d) Permite, dentro de certos limites, utilizar qualquer número de tratamentos e qualquer número de tratamentos e repetiçõesrepetições

e) Controla a homogeneidade do ambiente e) Controla a homogeneidade do ambiente onde o experimento e conduzidoonde o experimento e conduzido

Instalação do experimentoInstalação do experimento

Consideremos 5 tratamentos (A, B, C, D e Consideremos 5 tratamentos (A, B, C, D e E) e 4 repetiçõesE) e 4 repetições

AA CC DD BB EE CC EE AA BB DD

EE AA CC DD BB DD AA EE BB CC

Observa-se que em cada bloco os tratamentos foram distribuídos aleatoriamente nas parcelas e que os mesmos só aparecem uma única vez por bloco.

BI

BII

BIII

BIV

Esquema da analise de variância Esquema da analise de variância DBCDBC

Causas da variação

GL SQ QM F

Tratamentos Blocos residuo

t-1 r - 1

t (r-1)

SQ tratamentos SQ blocos SQ residuo

QM tratamentos QM blocos QM residuo

QM trat/QM resíduo QM blocos / QM residuo

Total tr - 1 SQ total

Soma dos quadrados DBCSoma dos quadrados DBCSQ total = SQ total = x2 - x2 - ((x)2x)2

NNOnde:Onde:

X = valor de cada observaçãoX = valor de cada observação

N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) multiplicado pelo número de repetições do experimento (r )multiplicado pelo número de repetições do experimento (r )

SQ tratamentos = SQ tratamentos = T2T2 - - ((x)2x)2 R NR N

T = total de cada tratamentoT = total de cada tratamento

SQ tratamentos = SQ tratamentos = B2B2 - - ((x)2x)2 t Nt N

SQ resíduo = SQ total – (SQ tratamentos + SQ blocos)SQ resíduo = SQ total – (SQ tratamentos + SQ blocos)

Quadrados médios DBCQuadrados médios DBC

QM tratamentos = QM tratamentos = SQ tratamentosSQ tratamentos GL tratamentosGL tratamentos

QM blocos = SQ blocos / GL blocosQM blocos = SQ blocos / GL blocos

QM resíduo = QM resíduo = SQ resíduoSQ resíduo GL resíduoGL resíduo

Exercício 2. A partir dos dados da tabela 2, pede-se:Exercício 2. A partir dos dados da tabela 2, pede-se:a) Fazer a analise da variânciaa) Fazer a analise da variância

b) Obter o coeficiente de Variaçãob) Obter o coeficiente de Variação

Tabela 2. Comportamento de clones de seringueira (Hevea sp.) em relação ao Tabela 2. Comportamento de clones de seringueira (Hevea sp.) em relação ao desenvolvimento do tronco desenvolvimento do tronco

Blocos (média 8 plantas) Clones 1 2 3 4 5

Totais

FX 2804 FX 4425 FX 567 FX 652 FX 3032 PB 86 FX 516 FX 4109 FX 3635 FX 232 FX 25

68,61 56,39 63,51 62,28 57,11 49,83 54,09 56,01 61,49 62,01 58,94

69,69 53,38 63,63 59,26 56,11 43,50 48,09 44,71 63,10 62,58 57,96

70,21 54,21 64,91 60,90 57,20 43,58 49,86 45,60 63,94 63,31 59,56

72,49 56,27 67,87 64,19 60,01 43,76 47,52 47,93 66,70 65,08 62,32

74,85 61,57 69,75 68,77 61,38 46,66 50,01 49,96 69,37 68,05 64,42

355,85 281,82 329,67 315,40 291,81 227,33 250,38 244,21 324,60 321,03 303,20

Totais dos blocos

650,27 622,82 633,28 654,14 684,79 3.245,30

EXPERIMENTOS FATORIAISEXPERIMENTOS FATORIAIS Em casos em que vários grupos de tratamentos são Em casos em que vários grupos de tratamentos são

estudados simultaneamente para que possam nos estudados simultaneamente para que possam nos conduzir a resultados de interesseconduzir a resultados de interesse• Por exemplo, o estudo de efeito de diferentes Por exemplo, o estudo de efeito de diferentes

espaçamentos em cultivares de milho em uma espaçamentos em cultivares de milho em uma determinada região. determinada região.

• Exemplo combinamos 5 cultivares - Fator: nos 2 Exemplo combinamos 5 cultivares - Fator: nos 2 espaçamentos - Fator: espaçamento – níveis: 2espaçamentos - Fator: espaçamento – níveis: 2

Experimentos fatoriais dois termos devem ser definidos: Experimentos fatoriais dois termos devem ser definidos: fator e nível. fator e nível.

Fator é qualquer grupo de tratamentos avaliadoFator é qualquer grupo de tratamentos avaliado Nível é qualquer uma das subdivisões dentro do fator Nível é qualquer uma das subdivisões dentro do fator

cultivares cultivares

Esquema da analise de Esquema da analise de variânciavariância

Considerando o experimento fatorial Considerando o experimento fatorial 3 x 2, onde combinamos 3 3 x 2, onde combinamos 3 tratamentos A (A0, A1 e A2) e 2 tratamentos A (A0, A1 e A2) e 2 tratamentos B (B0 e B1) e 4 tratamentos B (B0 e B1) e 4 repetições, teremos o seguinte repetições, teremos o seguinte quadro de variância?quadro de variância?

Causas da variação

GL SQ QM F

Tratamento A Tratamento B Interação (A x B)

tA-1 tB-1

(tA-1)(tB-1)

SQ tratamento A SQ tratamento B

SQ interação

QM trat. A QM trat. B

QM interação

QM trat. A/QM resíduo QM trat. B/QM residuo

QM inter.(A x B)/QM residuo Tratamentos Blocos Resíduo

t-1 r-1

(t-1)(r-1)

SQ tratamentos SQ blocos SQ resíduo

QM residuo

Total tr - 1 SQ total

Onde:Onde:GL = número de graus de liberdadeGL = número de graus de liberdadeSQ = soma dos quadradosSQ = soma dos quadradosQM = quadrado médioQM = quadrado médioF = valor calculado do teste FF = valor calculado do teste FT = número de tratamentos (combinações)T = número de tratamentos (combinações)R = número de repetiçõesR = número de repetiçõestA = numero de tratamentos AtA = numero de tratamentos AtB = número de tratamentos BtB = número de tratamentos B

Soma dos quadradosSoma dos quadradosSQ total =SQ total =x2 - x2 - ((x)2x)2

NNX = valor de cada observaçãoX = valor de cada observação

N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) multiplicado pelo número de N = número de observações, que corresponde ao número de tratamentos (t) multiplicado pelo número de repetições do experimento (r )repetições do experimento (r )

SQ tratamentos = SQ tratamentos = T(AB)2T(AB)2 - - ((x)2x)2 R NR N

T(AB) = total de cada combinação (AB)T(AB) = total de cada combinação (AB)

SQ blocos = SQ blocos = B2B2 - - ((x)2x)2 t Nt N

B = total de cada blocoB = total de cada bloco

SQ tratamentos A = SQ tratamentos A = T(tA)2T(tA)2 - - ((x)2x)2 r.tB Nr.tB N

SQ tratamentos B = SQ tratamentos B = T(tB)2T(tB)2 - - ((x)2x)2 r.tA Nr.tA N

SQ interação (AxB) = SQ interação (AxB) = T(AB)2T(AB)2 - - ((x)2x)2 – (SQ trat. A + SQ trat.B) – (SQ trat. A + SQ trat.B) R NR N

SQ resíduo = SQ resíduo = SQ residuoSQ residuo GL residuoGL residuo

Quadrados MédiosQuadrados Médios

QM tratamentos A = QM tratamentos A = SQ tratamentos A SQ tratamentos A GL tratamentos AGL tratamentos A

QM tratamentos B = QM tratamentos B = SQ tratamentos BSQ tratamentos B GL tratamentos BGL tratamentos B

QM interação (AxB) = QM interação (AxB) = SQ interação AXBSQ interação AXB GL interação AXBGL interação AXB

QM blocos = SQ blocos / GL blocosQM blocos = SQ blocos / GL blocos

QM resíduo = QM resíduo = SQ resíduoSQ resíduo GL resíduoGL resíduo