mehanika fluida i
DESCRIPTION
Skripta iz kolegija Mehanika fluida ITRANSCRIPT
-
Sveuilite u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje
Zdravko Virag, Mario avar, Ivo Dijan
MEHANIKA FLUIDA I
Zagreb, 2015
Predavanja
-
MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS
UDBENICI SVEUILITA U ZAGREBU
FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE
Zdravko Virag, Mario avar, Ivo Dijan
M E H A N I K A F L U I D A I
Predavanja
Zagreb, 2015
-
Mehanika fluida I
Predgovor
Gradivo izneseno u ovim skriptama pokriva sadraj predavanja iz kolegija
Mehanika fluida I koji se na Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Sveuilita u Zagrebu
predaje studentima smjerova: Procesno energetski, Brodostrojarstvo, Inenjersko
modeliranje i raunalne simulacije te na studiju Zrakoplovstva, i Mehanika fluida K koji se
predaje studentima Konstrukcijskog smjera. Skripta su prvenstveno namijenjena za lake
razumijevanje teorijskih izvoda koji su potrebni za razumijevanje osnovnih jednadbi
mehanike fluida. Nadamo se da e materijali dani u ovim skriptama studentima olakati
praenje predavanja i omoguiti bre usvajanje znanja. Svrha i cilj ovih skripata nije bio da
zamijene udbenike i knjige iz Mehanike fluida I, jer je u njima dan skraeni materijal, tj.
pregled potrebnih znanja iz Mehanike fluida I.
Koncept predavanja koji je iznesen u ovim skriptama rezultat je gotovo etrdeset
godina kontinuiranog nastavnog rada na Katedri za mehaniku fluida. Na ovome mjestu se
elimo zahvaliti naim uiteljima i prethodnicima prof. dr. Mladenu Fancevu i prof. dr.
Zdravku Dolineru, koji su znaajno doprinijeli dananjem obliku nastave iz Mehanike
fluida I.
U Zagrebu, 20.02.2015.
Zdravko Virag, Mario avar, Ivo Dijan
-
Mehanika fluida I I
SADRAJ
1. Matematike osnove ...................................................................................................... 1
1.1. Pravila indeksnog zapisivanja vektorskih i tenzorskih veliina ............................. 1
1.2. Pravila za promjenu komponenti tenzora pri rotaciji koordinatnog sustava Oxi u
Ozj ........................................................................................................................... 1
1.3. Definicije ................................................................................................................ 1
1.4. Raunske operacije s tenzorima ............................................................................. 2
1.5. Geometrijska interpretacija skalarnog umnoka vektora: ...................................... 3
1.6. Geometrijska interpretacija vektorskog umnoka vektora: .................................... 3
1.7. Diferencijalni operatori .......................................................................................... 4
1.8. Derivacija u smjeru jedininog vektora n ............................................................. 4
1.9. Totalni prirast polja na putu 332211 ddddd exexexexr ii
........................... 4
1.10. Geometrijska interpretacija gradijenta na primjeru funkcije dviju varijabli .......... 5
1.11. Gaussova formula ................................................................................................... 5
2. Fizikalne osnove ............................................................................................................. 7
2.1. Osnovne dimenzije u mehanici fluida .................................................................... 7
2.2. Hipoteza kontinuuma ............................................................................................. 7
2.3. Fluid ili tekuina ..................................................................................................... 7
2.4. Viskoznost fluida .................................................................................................... 8
2.5. Sile u fluidu ............................................................................................................ 8
2.5.1. Masene sile ................................................................................................ 8
2.5.2. Povrinske sile ........................................................................................... 9
3. Statika fluida ................................................................................................................ 13
3.1. Osnovna jednadba statike (sluaj 0ia ) ........................................................... 13
3.2. Promjena tlaka izmeu dvije toke (uz konst. i konst.if ) ..................... 14
3.3. Promjena tlaka u mirujuem fluidu u polju sile tee ( 3i if g ,
29,80665 m/sg ) ................................................................................................ 14
3.4. Princip spojenih posuda ........................................................................................ 15
3.5. Hidrostatski manometri ........................................................................................ 15
3.6. Sila tlaka na ravne povrine .................................................................................. 17
-
Sadraj
II Mehanika fluida I
3.6.1. Geometrijska svojstva nekih povrina ..................................................... 18
3.6.2. Fiktivna slobodna povrina...................................................................... 19
3.7. Sila tlaka na zakrivljene povrine ......................................................................... 20
3.8. Sila uzgona ............................................................................................................ 22
4. Kinematika fluida ......................................................................................................... 23
4.1. Lagrangeov opis gibanja fluida ............................................................................. 23
4.2. Eulerov opis gibanja fluida ................................................................................... 25
4.3. Materijalna derivacija ............................................................................................ 26
4.4. Trajektorije, strujnice i krivulje obiljeenih estica .............................................. 27
4.5. Protok .................................................................................................................... 29
4.6. Strujna povrina i strujna cijev .............................................................................. 31
4.7. Protok fizikalne veliine ....................................................................................... 31
4.8. Brzina promjene veliine volumena ...................................................................... 32
4.9. Brzina promjene sadraja fizikalne veliine unutar volumena ............................. 33
4.10. Koncept kontrolnog volumena .............................................................................. 34
4.11. Brzina promjene sadraja fizikalne veliine unutar materijalnog volumena
izraena promjenom u kontrolnom volumenu ...................................................... 34
4.12. Zakon ouvanja mase (jednadba kontinuiteta) kao primjer primjene
Reynoldsovog transportnog teorema ..................................................................... 34
5. Dinamika fluida ............................................................................................................ 37
5.1. Osnovni zakoni dinamike nestlaivog strujanja fluida za materijalni volumen ... 38
5.2. Formulacija osnovnih zakona za kontrolni volumen ............................................ 39
5.3. Zakon mehanike (kinetike) energije .................................................................. 40
5.3.1. Formulacija zakona mehanike energije za kontrolni volumen .............. 42
5.3.2. Primjena zakona kinetike energije na jednodimenzijsko strujanje u
cjevovodu ................................................................................................. 42
5.3.3. Promjena tlaka okomito na strujnice ....................................................... 45
5.4. Ilustracija sadraja modificirane Bernoullijeve jednadbe ................................... 46
5.5. Pojave i principi rada nekih ureaja koji se mogu objasniti Bernoullijevom
jednadbom ........................................................................................................... 50
5.5.1. Kavitacija ................................................................................................. 50
5.5.2. Ejektor ...................................................................................................... 51
5.5.3. Istjecanje iz velikog spremnika ................................................................ 51
5.5.4. Gubitak utjecanja u veliki spremnik ........................................................ 52
-
Sadraj
Mehanika fluida I III
5.5.5. Sifon ......................................................................................................... 53
5.5.6. Maksimalna visina usisavanja pumpe ..................................................... 54
5.5.7. Korekcije brzine i protoka pri istjecanju kroz otvore ............................. 54
5.5.8. Formula za izraunavanje vremena pranjenja posude ......................... 55
5.6. Mjerenje brzine ..................................................................................................... 56
5.6.1. Prandtl-Pitotova cijev ............................................................................. 57
5.6.2. Mjerenje protoka u strujanju kroz cijevi ................................................. 58
5.6.3. Venturijeva cijev ...................................................................................... 59
5.7. Primjena zakona koliine gibanja i momenta koliine gibanja za kontrolni
volumen ................................................................................................................ 60
5.7.1. Primjena jednadbe koliine gibanja i momenta koliine gibanja za
odreivanje sile fluida na plat cijevi ..................................................... 64
5.7.2. Primjena jednadbe koliine gibanja za odreivanje sile mlaza fluida na
lopatice .................................................................................................... 67
5.8. Primjena osnovnih zakona za kontrolni volumen koji se translatira konstantnom
brzinom ................................................................................................................. 73
6. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na hidraulike strojeve ...................... 79
6.1. Sila mlaza na pominu lopaticu ............................................................................ 79
6.2. Primjena jednadbe koliine gibanja na Pelton turbinu ....................................... 81
6.3. Primitivna teorija propelera .................................................................................. 83
6.4. Primjena jednadbe momenta koliine gibanja na centrifugalni stroj.................. 85
6.5. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na rotirajuu cjevicu ...................... 87
6.6. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na aksijalni turbostroj ..................... 89
7. Dimenzijska analiza ..................................................................................................... 93
7.1. Nezavisni bezdimenzijski parametri (kriteriji slinosti) .................................... 102
7.2. Neki zavisni bezdimenzijski parametri .............................................................. 102
8. Hidrauliki proraun cjevovoda ............................................................................... 107
8.1. Modeliranje linijskih gubitaka ............................................................................ 107
8.2. Modeliranje lokalnih gubitaka ............................................................................ 110
8.3. Veza meu faktorom brzine i koeficijentom lokalnog gubitka .......................... 111
8.4. Ekvivalentna duljina cjevovoda ......................................................................... 112
8.5. Postupci prorauna jednostavnih cjevovoda ...................................................... 112
8.6. Hidrauliki proraun cjevovoda nekrunog poprenog presjeka ....................... 115
-
Sadraj
IV Mehanika fluida I
MEHANIKA FLUIDA K DODATAK ........................................................................ 117
9. Osnovne jednadbe dinamike fluida u diferencijalnom obliku.............................. 117
9.1. Zakon ouvanja mase (jednadba kontinuiteta) .................................................. 117
9.2. Dva pomona pravila u izvodu osnovnih zakona dinamike fluida ..................... 118
9.3. Zakon ouvanja koliine gibanja (jednadba gibanja fluida) ............................. 119
9.4. Zakon ouvanja momenta koliine gibanja ......................................................... 122
9.5. Zakon ouvanja energije ..................................................................................... 123
9.6. Drugi zakon termodinamike ................................................................................ 127
9.7. Skup jednadbi osnovnih zakona dinamike fluida .............................................. 127
9.8. Konstitutivne (dopunske) jednadbe ................................................................... 128
9.8.1. Odnosi za savreni plin .......................................................................... 128
9.8.2. Fourierov zakon toplinske vodljivosti .................................................... 128
9.8.3. Newtonov zakon viskoznosti ................................................................... 129
9.9. Dodatak iz kinematike fluida .............................................................................. 129
9.9.1. Prvi Helmholtzov teorem ....................................................................... 129
9.9.2. Tenzor brzine deformacije ..................................................................... 130
9.9.3. Tenzor vrtlonosti................................................................................... 131
9.9.4. Vektor vrtlonosti ................................................................................... 131
9.10. Osnovne jednadbe dinamike Newtonskog savrenog plina .............................. 133
9.11. Matematiki model nestlaivog strujanja ............................................................ 134
9.12. Poetni i rubni uvjeti ........................................................................................... 135
9.13. Alternativni oblik energijske jednadbe .............................................................. 136
10. Teorija slinosti ........................................................................................................... 159
10.1. Definicija slinosti dvaju pojava: ........................................................................ 160
10.2. Karakteristina vrijednost fizikalne veliine ....................................................... 161
10.3. Bezdimenzijska polja fizikalnih veliina ............................................................ 161
10.4. Teorem slinosti .................................................................................................. 162
10.5. Postupak odreivanja kriterija slinosti .............................................................. 162
10.6. Analiza vanosti bezdimenzijskih parametara .................................................... 170
10.6.1. Strouhalov broj ...................................................................................... 170
10.6.2. Froudeov broj ........................................................................................ 171
10.6.3. Eulerov broj, kavitacijski broj, Machov broj ......................................... 171
10.6.4. Reynoldsov broj ..................................................................................... 173
-
Mehanika fluida I V
POPIS NAJVANIJIH OZNAKA
Fizikalna veliina Oznaka Dimenzija Jedinica u
SI sustavu
povrina A, S L2 m2
brzina zvuka c LT-1
m/s
promjer D, d L m
sila F MLT-2
N
gravitacija g LT-2
m/s2
volumenski modul elastinosti K ML-1T-2 Pa
maseni protok m MT-1 kg/s
moment sile M ML2T
-2 Nm
snaga P ML2T
-3 W
tlak p ML-1
T-2
Pa
volumenski protok Q L3T
-1 m
3/s
potencijal masene sile U L2T
-2 m
2/s
2
specifina unutranja energija u L2T-2 J/kg
volumen fluida V L3 m
3
brzina strujanja fluida v LT-1
m/s
rad sile, energija W, E ML2T
-2 J
geodetska visina z L m
gustoa fluida ML-3
kg/m3
koeficijent kinematike viskoznosti L2T
-1 m
2/s
koeficijent dinamike viskoznosti ML-1
T-1
Pas
kutna brzina T-1
rad/s
koeficijent otpora trenja - -
naprezanje , ML-1
T-2
N/m2
kut - rad
-
VI Mehanika fluida I
PREPORUENA LITERATURA
Virag, Z.: Mehanika fluida odabrana poglavlja, primjeri i zadaci, Sveuilite u Zagrebu,
Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2002.
Fancev, M.: Mehanika fluida, Tehnika enciklopedija, 8, Hrvatski leksikografski zavod,
Zagreb, 1982.
Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H.: Fundamentals of Fluid Mechanics, John
Wiley&Sons, Toronto, 1990.
White, F. M.: Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 2003.
Cengel, Y. A., Cimbala, J. M.: Fluid Mechanics Fundamentals and Applications,
McGraw-Hill, 2006.
-
Mehanika fluida I 1
1. MATEMATIKE OSNOVE
1.1. Pravila indeksnog zapisivanja vektorskih i tenzorskih veliina
1. Slobodni indeks je onaj koji se pojavljuje tono jedan puta u svakom aditivnom lanu
jednadbe, a oznauje komponente tenzora. lanovi bez slobodnog indeksa su skalari,
s jednim slobodnim indeksom su vektori, a lanovi s dva i vie slobodnih indeksa su
tenzori odgovarajueg reda. Broj komponenti tenzora u trodimenzijskom prostoru je
jednak 3n gdje je n broj slobodnih indeksa.
2. Ponovljeni (nijemi) indeks je onaj koji se u nekom aditivnom lanu jednadbe
pojavljuje u paru, a oznauje zbroj po svim njegovim vrijednostima.
3. Niti jedan indeks se u bilo kojem aditivnom lanu ne smije pojaviti vie od dva puta.
4. Paru nijemih indeksa se smije promijeniti oznaka.
1.2. Pravila za promjenu komponenti tenzora pri rotaciji koordinatnog sustava
Oxi u Ozj
ij il jm lmT C C T odnosno lm il jm ijT C C T (za vektore i il la C a odnosno j il la C a )
gdje je matrica cos ( )ij i jC x ,z , a ijT i ia su komponente tenzora i vektora u odnosu na
Oxi dok su lmT i ja komponente u odnosu na koordinatni sustav Ozj.
1.3. Definicije
1. Izotropni tenzor drugog reda ima svojstvo da mu se rotacijom koordinatnog sustava
komponente ne mijenjaju, tj. vrijedi: ij ijT T
2. Transponirani tenzor drugog reda dobije se tako da se indeksima zamijene mjesta
T
ij jiT T
3. Simetrini tenzor ijS se ne mijenja transponiranjem tj. vrijedi T
ij ij jiS S S .
4. Antisimetrini tenzor ijA je suprotan po predznaku svome transponiranome tenzoru, tj.
vrijedi Tij ij jiA A A . Slijedi: 11 22 33 0A A A .
-
1. Matematike osnove
2 Mehanika fluida I
5. Kroneckerov delta: 1 za
0 zaij
i j
i j; 3ii
6. Permutacijski simbol:
1 za 123 231 312
1 za 132 213 321
0 za dva (tri) jednaka indeksa
ijk
ijk , ,
ijk , , ;
=ijk jki kij
ijk ikj
ijk jik
Vrijedi: ijk lmk il jm im jl
; 2ijk ljk il ; 6ijk ijk
1.4. Raunske operacije s tenzorima
1. Zbrajanje: ij ij ijA B C (za vektore i i ic a b )
2. Mnoenje skalarom: ij ijA B (za vektore i ic a )
3. Mnoenje tenzora
a) skalarno (pojavljuje se jedan ili vie parova nijemih indeksa), primjeri: j i ijc bT ,
ij ijA B (dvostruki skalarni produkt tenzora).
b) vektorsko (pojavljuje se permutacijski simbol), primjer: lj lki k ijC b T
c) tenzorsko (svi su indeksi slobodni), primjer: kij k ijC b T
4. Kontrakcija (izjednaavanje) indeksa:
Izjednaavanjem indeksa se red tenzora smanjuje za dva. Tenzorski produkt
kontrakcijom indeksa prelazi u skalarni, primjer: k ikij k ij iij j i ijC b T C c bT .
5. Pravilo skalarnog mnoenja s Kroneckerovim delta:
Nijemi indeks u izrazu kojeg se mnoi, zamjenjuje se slobodnim u Kroneckerovom
delta, a Kroneckerov delta iezava, primjer: ij im mjT T .
6. Dvostruki skalarni produkt simetrinog Sij i antisimetrinog Aij tenzora jednak je nuli
0ij ijS A .
3
1
2
i
j k
-
1. Matematike osnove
Mehanika fluida I 3
1.5. Geometrijska interpretacija skalarnog umnoka vektora:
1 1 2 2 3 3
projekcija na projekcija na
cos cos i ic a a c
a c a c c a a c a c a c a c
Ako je npr. a jedinini vektor onda skalarni umnoak
oznauje projekciju ac vektora c na smjer vektora a . Vrijedi i
obrnuto, za sluaj da je c jedinini vektor je projekcija ca
vektora a na vektor c . Za sluaj skalarnog umnoka
jedininog vektora i tenzora, govori e se o projekciji tenzora na smjer vektora.
1.6. Geometrijska interpretacija vektorskog umnoka vektora:
Indeksni zapis vektorskog produkta v a c glasi
l lki k iv a c
Geometrijski gledano intenzitet vektorskog produkta ima
znaenje povrine paralelograma ije su stranice vektori a
i
c
.
v v a c ac sin
Vektor v je okomit i na vektor a
i na vektor c
. Smjer
vektora v je odreen pravilom desne ruke: idui prstima
desne ruke od vrha vektora a
prema vrhu vektora c
palac e pokazivati smjer vektora v .
Jasno je da kod promjene mjesta vektora a
i c
u produktu, vektor v mijenja smjer.
Takoer je vektorski produkt dvaju kolinearnih vektora ili vektora samog sa sobom biti
jednak nuli.
ca
ac
-
1. Matematike osnove
4 Mehanika fluida I
1.7. Diferencijalni operatori
Operator nabla: i
ix
ex
ex
ex
e
3
3
2
2
1
1
Opis Polje operator oznaka Ineksni zapis
Gradijent
(Tenzorski
umnoak s )
Skalarno grad ix
Vektorsko v grad v v j
i
v
x
Tenzorsko T gradT T jk
i
T
x
Rotor
(Vektorski
umnoak s )
Skalarno - - -
Vektorsko v rot v v k
ijk
j
v
x
Tenzorsko T rot T T kmijkj
T
x
Divergencija
(Skalarni
umnoak s )
Skalarno - - -
Vektorsko v div v v j
j
v
x
Tenzorsko T divT T jk
j
T
x
1.8. Derivacija u smjeru jedininog vektora n
grad jj
n nn x
(projekcija vektora gradijenta na smjer normale)
1.9. Totalni prirast polja na putu 332211 ddddd exexexexr ii
1 2 3
1 2 3
d d grad d d d d djj
r r x x x xx x x x
Prirast polja je najvei pri pomaku u smjeru gradijenta (gradijent pokazuje smjer najbreg
porasta polja).
Smanjenje polja je najvee pri pomaku u smjeru suprotnom od smjera gradijenta.
Pri pomaku u smjeru okomitom na smjer gradijenta nema prirasta polja (vektor grad je
okomit na plohu =konst.)
-
1. Matematike osnove
Mehanika fluida I 5
1.10. Geometrijska interpretacija gradijenta na primjeru funkcije dviju varijabli
Prostorni prikaz polja 1 2,x x
Crte oznauju presjeke sa =konst.
Polje gradijenta je vektorsko polje.
Vektorsko polje se vizualizira vektorskim
krivuljama koje svojim tangentama pokazuju
smjer vektora vektorskog polja. Desna slika
prikazuje vektorske krivulje koje
vizualiziraju polje gradijenta gornjeg
primjera.
Dvodimenzijski prikaz polja izolinijama
Vektori oznauju smjer gradijenta
1.11. Gaussova formula
Povezuje volumenski integral s povrinskim
integralom po zatvorenoj povrini S koja
opasuje volumen V:
d djjS V
n S Vx
gdje umjesto tokice moe stajati skalarno,
vektorsko ili tenzorsko polje.
S
Slika uz Gaussovu formulu
O
x3
x2
x1
dV
V
dS
-
1. Matematike osnove
6 Mehanika fluida I
Primjeri:
d djjS V
ppn S V
x ili d grad d
S V
pn S p V
d dj
j j
jS V
vv n S V
x ili d div d
S V
v n S v V
-
Mehanika fluida I 7
2. FIZIKALNE OSNOVE
2.1. Osnovne dimenzije u mehanici fluida
Veliina Oznaka dimenzije Jedinica u SI sustavu
masa M kg
duljina L m
vrijeme T s
temperatura K
2.2. Hipoteza kontinuuma
Kontinuum je matematiki model materije prema kojem ona zadrava svoja fizikalna
svojstva pri smanjivanju volumena u toku. estica kontinuuma (materijalna toka) ima
infinitezimalni volumen dV, a svaka estica zauzima samo jednu toku prostora, a u jednoj
toki prostora se moe nalaziti samo jedna estica kontinuuma. Hipoteza kontinuuma
omoguuje primjenu integralnog i diferencijalnog rauna u mehanici fluida.
Primjeri:
Gustoa estice kontinuuma (materijalne toke) se izraava derivacijom:
d
d
m
V, 3 3SI
kgML ;
m .
Brzina estice kontinuuma definirana je masenom gustoom koliine gibanja
atoma/molekula unutar estice
k k
k
k
k
m v
vm
, -1
SI
mLT ;
sv v
Kinetika energija estice fluida
2 2
Kd d d2 2
v vE m V 2 -2K K SIML T ; JE E
2.3. Fluid ili tekuina
Definicija fluida: Fluid je tvar koja struji (tj. neprekidno se deformira) pod djelovanjem ma
kako malog sminog naprezanja. Fluid moe biti u kapljevitom ili plinovitom stanju.
Iz definicije fluida slijedi: U fluidu u mirovanju nema sminih naprezanja.
-
2. Fizikalne osnove
8 Mehanika fluida I
2.4. Viskoznost fluida
Fluid se opire vanjskim sminim silama putem viskoznih naprezanja, koja se javljaju kao
reakcija na brzinu deformacije (u elastinim tijelima su to naprezanja definirana Hookovim
zakonom, kao reakcija na deformaciju). U newtonskim fluidima viskozna naprezanja su
linearno razmjerna brzini deformacije fluida. Koeficijent razmjernosti se naziva
(dinamika) viskoznost fluida , 1 -1ML T ; SI
Pa s . Viskoznost je fizikalno
svojstvo fluida, koje pokazuje njegov otpor ka teenju, a zavisi od termodinamikog stanja
fluida. Kod plinova s porastom temperature viskoznost raste, a kod kapljevina opada.
Kinematika viskoznost 2
2 -1
SI
m L T ;
s,
.
2.5. Sile u fluidu
2.5.1. Masene sile
su posljedica poloaja mase u polju if masene sile. ( if je specifina masena sila = sila po
jedininoj masi, 2 2SIm
LT ; s
i if f )
Masena sila d iF na esticu fluida:
d d di i iF f m f V
Sila iF na ukupni volumen V
di iV
F f V
2SI
MLT ; Ni iF F
Primjeri: sila gravitacije: 3i if g
inercijske sile: i if a
Slika uz definiciju masenih sila
O
x3
x2
x1
V
-
2. Fizikalne osnove
Mehanika fluida I 9
2.5.2. Povrinske sile
su sile dodira izmeu estica fluida ili izmeu estica fluida i stijenke. Definirane su
specifinim vektorom naprezanja i , -1 2
SIML T ; Pai i
.
Sila d iF na elementarnu povrinu dS
d = di iF S
Sila iF na ukupnu povrinu S
= di iS
F S
Za povrinske sile vrijedi III Newtonov
zakon (princip akcije i reakcije), tj.
i j i jn n
(itaj vektor naprezanja na povrini
orijentiranoj jedininim vektorom
normale jn jednak je po veliini i suprotan po smjeru vektoru naprezanja na povrini
orijentiranoj normalom jn ).
Stanje naprezanja u toki prostora jednoznano je definirano tenzorom naprezanja.
Komponente tenzora naprezanja definirane su
komponentama triju vektora naprezanja koji
djeluju na povrinama orijentiranim normalama u
smjeru osi koordinatnog sustava, kao na slici.
Svaki vektor naprezanja ima jednu normalnu
komponentu (okomitu na povrinu) i dvije
tangencijalne (smine) komponente. Tablini
zapis komponenti tenzora naprezanja
11 12 13
21 22 23
31 32 33
i
jij
Prvi indeks oznauje redak, tj. smjer normale na
povrinu, a drugi stupac odnosno pravac djelovanja komponente tenzora naprezanja.
Tenzor naprezanja je simetrian ij ji (osim ako postoje maseni i povrinski momenti).
x1
x2
x3
Slika uz definiciju komponenti
tenzora naprezanja
S
Slika uz definiciju povrinskih sila
O
x3
x2
x1
V
-
2. Fizikalne osnove
10 Mehanika fluida I
Veza izmeu vektora i tenzora naprezanja:
( )i j j jin n (vektor naprezanja je projekcija tenzora naprezanja na smjer normale)
Dogovor o predznacima naprezanja:
Pozitivna naprezanja na povrinama orijentiranim normalama u pozitivnom smjeru
koordinatnih osi takoer gledaju u pozitivne smjerove tih osi i obrnuto, pozitivna
naprezanja na povrinama orijentiranim normalama koje gledaju u negativnom smjeru
koordinatnih osi, takoer gledaju u negativne smjerove tih osi.
Stanje naprezanja u fluidu
Sluaj Tenzor naprezanja Vektor naprezanja
Realni fluid u gibanju
(postoje viskozne sile)
ij ij jip
ji = viskozna naprezanja
p = tlak
f
f
i j ji i i
i j ji
n pn
n
- Realni fluid u mirovanju
ili relativnom mirovanju
- Idealni fluid (neviskozan)
ij ijp i j ji in pn
Fluid relativno miruje kada se giba poput krutog tijela (nema pomicanja estica jednih
prema drugima). U relativnom mirovanju nema deformacije, to znai da nema ni
viskoznih sila.
-
2. Fizikalne osnove
Mehanika fluida I 11
Povrinska sila (vektor naprezanja) za sluaj stanja tlanog naprezanja: i ipn
Iz Gaussove formule slijedi
= d d grad di iiS V V
pF pn S V p V
x
da se povrinske sile mogu prikazati
volumenskim integralom.
Za konst. je 0 (grad 0)i
pp p
x pa
je rezultirajua sila konstantnog tlaka na
zatvorenu povrinu jednaka nuli.
Rezultirajua sila tlaka na esticu fluida se
dobije smanjivanjem volumena V na
infinitezimalni volumen dV, pri emu se konana sila iF smanji na infinitezimalnu silu d iF
tj. vrijedi.
d = d grad dii
pF V p V
x
S
Slika uz definiciju sile tlaka
O
x3
x2
x1
V
-
2. Fizikalne osnove
12 Mehanika fluida I
-
Mehanika fluida I 13
3. STATIKA FLUIDA
3.1. Osnovna jednadba statike (sluaj 0ia )
ili gradii
pf f p
x
(izraava ravnoteu masenih sila i sila tlaka).
Iz osnovne jednadbe statike imajui na umu svojstva gradijenta zakljuuje se:
1. Ako nema masenih sila ( 0if ) slijedi da je tlak p konstantan. Pascalov zakon: Tlak
narinut izvana na fluid u mirovanju iri se jednoliko u svim smjerovima. Ilustracija:
hidraulika prea
Tlakovi ispod stapova su jednaki, to znai da je
1 2
1 2
F F
A A ili 22 1
1
AF F
A
to znai da dolazi do pojaanja sile.
2. Tlak najbre raste u smjeru gradp tj. u smjeru masene sile, a najbre opada u smjeru
gradp tj. u smjeru suprotnom od masene sile,
3. Budui da je gradp okomit na povrinu p=konst. promjena tlaka u okomitom smjeru na
vektor masene sile je jednaka nuli. Drugim rijeima, vektor masene sile je okomit na
povrine konstantnog tlaka (izobare).
Takoer vrijedi:
4. Granica dvaju fluida u mirovanju poklapa se s izobarom, te je vektor masene sile u
svakoj toki okomit na razdjelnu povrinu,
5. Vektor masene sile je usmjeren od razdjelne povrine prema fluidu vee gustoe,
6. Na granici dvaju fluida tlak je neprekidan, ako se zanemare uinci povrinske
napetosti.
F
1
F
2
A
1
A
2
-
3. Statika fluida
14 Mehanika fluida I
3.2. Promjena tlaka izmeu dvije toke (uz konst. i konst.if )
Iz osnovne jednadbe statike slijedi:
2 1 i ip p f x
ili
2 1 1 cosp p f r p f r
Iz svojstva skalarnog produkta je jasno da se pri
odreivanju promjene tlaka moe ili put
projicirati na silu ili silu na put.
Oito je, ako se povea tlak p1 u toki 1,
poveat e se i tlak p2 u toki 2, odnosno u svim drugim tokama, to je bit Pascalova
zakona koji kae da se tlak narinut izvana na fluid u mirovanju iri jednoliko u svim
smjerovima.
3.3. Promjena tlaka u mirujuem fluidu u polju sile tee
( 3i if g , 29,80665 m/sg )
0 0p p gz p gh ili 0 konst.
p pz
g g
gdje z oznauje visinu, h dubinu, a 0p tlak u ishoditu koordinatnog sustava.
SI
visina tlaka, L, m stupca fluida,p p p
g g g
piezometrika visina.p
zg
1
2
xi fi
-
3. Statika fluida
Mehanika fluida I 15
3.4. Princip spojenih posuda
Ako homogena kapljevina
miruje u vie meusobno
spojenih posuda, tada e
slobodne povrine otvorene
prema istom atmosferskom
tlaku 0p leati u istoj
izobari (za mirujui fluid to
je horizontalna ravnina).
3.5. Hidrostatski manometri
Postupak za postavljanje jednadbe manometra (jednadbe promjene tlaka izmeu dviju
toaka koje se mogu meusobno spojiti kroz mirujui fluid)
Polazi se s tlakom u jednoj toki i tom se tlaku dodaju sve promjene tlaka oblika gh ,
(idui od meniskusa do meniskusa) i to s pozitivnim predznakom ako se ide prema dolje, a
s negativnim ako se ide prema gore. Kada se doe do druge toke tako dobiveni izraz se
izjednauje s tlakom u toj toki.
Primjer diferencijalnog manometra:
- jednadba od toke B do toke A
B 2 2 0 0 1 1 Ap gh gh gh p
- jednadba od toke A do toke B
A 1 1 0 0 2 2 Bp gh gh gh p
Napomena: Jednadba manometra se
moe pisati i s manometarskim
tlakovima u obje toke.
p0 p0p0
g
. z=konst.
O
h2
h1
h0
A
B
12
0
-
3. Statika fluida
16 Mehanika fluida I
Apsolutni tlak p se mjeri od apsolutne nule (100% vakuum).
Manometarski tlak pM je razlika apsolutnog p i atmosferskog tlaka pa (mjeri se u odnosu na
atmosferski tlak). Pozitivni manometarski tlak pM > 0 se naziva pretlak, a negativni pM < 0
podtlak.
M ap p p
ivin barometar je instrument za mjerenje atmosferskog tlaka (apsolutnog).
Slika shematski prikazuje ivin barometar. Zamislimo da je
cjevica u trenutku uranjanja u posudu bila potpuno ispunjena
ivom, gustoe 0 . Nakon uspostavljanja ravnotee visina ive e
se u cjevici ustaliti na visini ha, a iznad ive, u zatvorenom dijelu
cjevice bi teorijski bio vakuum. Realno e zbog vakuuma doi do
isisavanja molekula ive koje e se slobodno gibati u prostoru
iznad kapljevite faze, inei ivinu paru. Naravno, itavo vrijeme
e neki atomi iskakati iz kapljevite faze, a neki slobodni bivati
privueni u kapljevitu fazu, a kada se brojevi tih molekula
izjednae, postii e se ravnoteno stanje, pri emu e u prostoru
iznad ive vladati tlak ivinih para (tlak zasienja) vp .
Jednadba hidrostatskog manometra, uz oznake prema slici glasi:
a v 0 ap p gh
Tlak zasienja ovisi o temperaturi (raste s temperaturom), a za ivu on iznosi 0,021 Pa kod
temperature 0C i 0,841 Pa pri temperaturi 40C, to je zanemarivo u osnosu na mjereni
atmosferski tlak koji je reda veliine 100000 Pa. Zbog toga se tlak vp zanemaruje, tj.
vrijedi a 0 ap gh .
Kao to je uvedena dogovorena (standardna) vrijednost gravitacije, tako se uvodi i
dogovoreni atmosferski tlak, koji iznosi 760 mmHg ili 101325 Pa (izraunato s gustoom
ive 13595 kg/m3 i standardnom gravitacijom g=9,80665 m2/s).
pa
ha
g
-
3. Statika fluida
Mehanika fluida I 17
3.6. Sila tlaka na ravne povrine
Sila 0F uslijed konstantnog tlaka 0p okomita je na ravnu povrinu A i djeluje od
fluida prema povrini u njenom teitu, a po veliini je: 0 0F p A
Sila hF uslijed promjenjivog hidrostatskog tlaka hp gh okomita je na ravnu
povrinu A i djeluje od fluida prema povrini u toki H, a po veliini je:
h hC CF p A gh A gdje je Ch dubina na kojoj se nalazi teite C povrine A .
Poloaj toke H je u odnosu na teite C povrine A definiran pomacima x i y za
koje vrijedi: C
I
yy A
i
C
I
xy A
gdje je C C siny h udaljenost teita C
od slobodne povrine, mjereno u ravnini u kojoj se nalazi povrina (udaljenost OC
prema slici), a I i I su glavni i centrifugalni moment inercije povrine A u odnosu
na osi i kroz teite, prema slici. Pomak x je za povrine s barem jednom osi
simetrije jednak nuli (vidjeti kao primjer tablicu koja prikazuje podatke o
centrifugalnom momentu inercije I ).
Za vertikalno uronjenu povrinu prema slici vrijedi yC=hC. Za horizontalno uronjenu
povrinu ( 0 ) Cy pa su prema gornjim izrazima x=y=0, te e sila hF
djelovati u teitu povrine, kao i za sluaj konstantnog tlaka p0.
F p A0= 0
F p Ah= C
h
p0O
x
CH
y
x
A
hC
=konst.
p p gh= +0
n
C
H
y
g
yC =
sin
hC
h hCF p A
-
3. Statika fluida
18 Mehanika fluida I
Momenti Mx i My sile hidrostatskog tlaka u odnosu na teite C povrine ne zavise od
dubine na kojoj se teite nalazi
h C
C
sinxI
M F y gh A gIy A
h C
C
sinyI
M F x gh A gIy A
3.6.1. Geometrijska svojstva nekih povrina
Geometrijski lik Povrina I I I
A ab 3
12
ba
3
12
ab 0
2A R 4
4
R
4
4
R 0
21
2A R 40 1098, R 40 3927, R 0
A
F gh Ah= C
p0O
C
Hh
y hC C=
g
A
F gh Ah= C
p0
C
hC
g
b/2 b/2
a
C
CR
C
R R
4R3
A C
-
3. Statika fluida
Mehanika fluida I 19
2
abA
3
36
ba
2
272
bab d
21
4A R 40 05488, R 40 05488, R 40 01647, R
Poloaj rezultantne sile FR=Fh+F0 za sluaj istosmjernih i mimosmjernih sila F0 i Fh.
a) istosmjerne sile
b) mimosmjerne sile
3.6.2. Fiktivna slobodna povrina
Ako je tlak s obje strane povrine isti (sluaj otvorenog spremnika), sile konstantnog tlaka
se ponitavaju. Za sluaj zatvorenog spremnika rezultatntna sila konstantnog tlaka se
rauna s manometarskim tlakom M0p u spremniku. Raunanje sile konstantnog tlaka (u
sluaju da je povrina potpuno uronjena u fluid) moe se izbjei uvoenjem fiktivne
slobodne povrine. Fiktivna slobodna povrina je udaljena od stvarne slobodne povrine za
visinu manometarskog tlaka f M0h p g (za sluaj pretlaka je iznad, a za sluaj podtlaka
ispod stvarne slobodne povrine). Ako fiktivna slobodna povrina padne ispod teita C
povrine, dubina h postaje negativna, a svi izrazi i dalje vrijede.
C
b+d
3
a3
d
b
a
R
4R3
4R3 C
R
F0
Fh
+F0FhFR=
y
yR
C
H
y yR=+F0Fh
Fh
F0
Fh -F0FhFR=
y
yR
C
H y yR=
-F0Fh
Fh
-
3. Statika fluida
20 Mehanika fluida I
Fiktivna slobodna povrina se moe uvesti i za sluaj mirovanja dvaju fluida razliitih
gustoa prema slici.
3.7. Sila tlaka na zakrivljene povrine
Sila tlaka na zakrivljenu povrinu se razlae na komponente u smjerovima osi. Zakrivljena
povrina S se projicira na koordinatne ravnine. Projekcija povrine je pozitivna ako je kut
izmeu vektora normale i pozitivnog smjera osi manji od 90 (fluid je ispred povrine S
gledano iz pozitivnog smjera osi).
pa
pa
C
A
g
h hf = 1
h1
1
fiktivna slobodnapovr ina
p p gh g h h= + + ( - )a 0 1 1
p p gh= +a
O
p p gh= +a 0
p ghM0 0=
0
-
3. Statika fluida
Mehanika fluida I 21
Izrazi za komponente 0xF , 0 yF , 0zF sile 0F uslijed konstantnog tlaka
0 0x xF p S ; 0 0y yF p S ; 0 0z zF p S
Izrazi za horizontalne komponente hxF i hyF sile uslijed promjenjivog hidrostatskog
tlaka hp gh i za pomake hvatita tih komponenti u odnosu na teita projekcija su:
h hC Cx x x x xF p S gh S h hC Cy y y y yF p S gh S
C
xh
x x
Ih
h S
C
xy
x x
Ih
h S
C
yh
y y
Ih
h S
C
yx
y y
Ih
h S
Vertikalna komponenta hzF sile hidrostatskog tlaka na povrinu S je po veliini
jednaka teini fluida koji se nalazi ili bi se nalazio u volumenu V izmeu povrine S i
slobodne povrine. Sila hzF prolazi teitem volumena V. Predznak komponente sile
hzF ovisi o predznaku projekcije Sz, te se moe pisati da je
hzF gV
Negativni predznak se odnosi na sluaj pozitivne projekcije povrine Sz (fluid je iznad
povrine S), a pozitivni predznak za sluaj negativne projekcije Sz (fluid je ispod
povrine S).
Ako se zakrivljena povrina nalazi ispod slobodne povrine sve komponente sile
hidrostatskog tlaka djeluju od fluida prema povrini.
Primjer: Vertikalna i horizontalna komponenta sile na zakrivljenu povrinu ABDEF (prema slici) irine B
(okomito na ravninu slike). Fluid je oznaen sivom bojom, a toke G, H i I su na slobodnoj povrini.
Vertikalna komponenta jednaka je po veliini teini fluida u rafiranom volumenu V, djeluje prema dolje i
prolazi teitem tog volumena. Na dijelu povrine BDEF fluid je iznad povrine, te sila djeluje prema dolje, a
po veliini je jednaka teini fluida u volumenu BDEFIGB. Na dijelu povrine AB fluid je ispod povrine pa
sila djeluje prema gore, a po veliini je jednaka teini fluida u volumenu AHGBA.
A
B B B
D DE EF F
V
H HI I GG
+=
-
3. Statika fluida
22 Mehanika fluida I
Horizontalne komponente sile tlaka na dijelovima povrine EF i ED se meusobno ponitavaju. Projekcija
povrine s kojom se rauna horizontalna sila tlaka je dakle jednaka umnoku visine AD sa irinom B
povrine. Horizontalna komponenta sile tlaka djeluje od fluida prema dijelu povrine ABD, dakle s desna u
lijevo.
3.8. Sila uzgona
Sila uzgona je rezultat djelovanja sila tlaka po povrini tijela uronjenog u fluid. Sila uzgona
je jednaka teini fluida istisnutog tijelom (teini istisnine), djeluje vertikalno u vis i prolazi
teitem istisnine.
Sila uzgona na granici dvaju fluida
Slika prikazuje sluaj plivanja tijela mase m , gustoe 0 na razdjelnoj povrini dvaju
fluida gustoa 1 i 2. Toke C1 i C2 su teita volumena istisnine V1 i V2, a T je teite
tijela.
Sila Fb uzgona je zbroj b b1 b2 1 1 2 2F F F gV gV
Uvjet plivanja (ravnotee) je da su rezultantna sila (tj. bF mg ) i rezultantni moment na
tijelo jednaki nuli (tj. suma momenata sila b1F i b2F u odnosu na teite tijela mora biti
jednaka nuli). Jasno je da vrijedi 2 0 1 . Za sluaj 2 1 sila b1F se zanemaruje.
Fb1
Fb2
V1
V2C2
0
1
mg
g
T
-
Mehanika fluida I 23
4. KINEMATIKA FLUIDA
Prema hipotezi kontinuuma vrijedi pravilo da svaka estica fluida (materijalna toka)
zauzima samo jednu toku prostora, a u jednoj toki prostora se moe nalaziti samo
jedna estica kontinuuma.
Materijalni volumen MV (fluidno tijelo) je uoeni dio prostora ispunjen fluidom koji se
tijekom gibanja sastoji stalno od jednih te istih estica. Materijalni volumen je od
okoline odijeljen materijalnom povrinom MS koja se takoer sastoji stalno od jednih
te istih estica. Jasno je da je brzina gibanja materijalne povrine jednaka brzini
gibanja estica fluida, koje ine materijalnu povrinu.
U opem sluaju materijalni volumen tijekom gibanja mijenja svoj poloaj, oblik i
veliinu, pa je za opis njegova gibanja, potrebno opisati gibanje svake njegove estice.
4.1. Lagrangeov opis gibanja fluida
Poloaji toaka prostora i poloaji estica fluida opisuju se radijus vektorom r (ije su
komponente prostorne ili Eulerove koordinate ix ). U apsolutnom koordinatnom
sustavu je poloaj toke prostora stalan u vremenu (prostorne koordinate ix nisu
funkcije vremena), a poloaj gibajue estice fluida se mijenja s vremenom, to znai
da komponente ix radijus vektora (vektora poloaja) koje opisuju poloaj estice
fluida jesu funkcija vremena. Gibanje estice definirano je vremenskom promjenom
njena vektora poloaja u obliku ( )i ix x t (jednadba gibanja estice fluida).
Brzina estice fluida jest vremenska derivacija vektora poloaja ( )i iv x t (tokica
oznauje vremensku derivaciju), a ubrzanje estice fluida jest vremenska derivacija
brzine ( ) ( )i i ia v t x t .
-
4. Kinematika fluida
24 Mehanika fluida I
Materijalni volumen se sastoji od beskonanog broja estica fluida, a koje su to estice
definirano je uoenom konfiguracijom M 0V t u poetnom vremenskom trenutku 0t .
Za potrebe opisa njihova gibanja nuno ih je razlikovati. S obzirom da se u jednoj
toki prostora moe nalaziti samo jedna estica fluida, estice e se razlikovati po
poloaju kojeg zauzimaju u poetnoj konfiguraciji. Za koordinate poetnog poloaja
estica fluida se uvodi posebna oznaka 0( )j jy x t i te se koordinate nazivaju
materijalnim ili Lagrangeovim koordinatama. Jasno je da su materijalne koordinate
vremenski nezavisne.
Gibajui materijalni volumen e u trenutku t zauzeti novi poloaj, a budui da se radi
o materijalnom volumenu u tom trenutku e se u njemu nalaziti iste estice koje su u
njemu bile i u trenutku 0t . Na primjer toka A koja je u poetnoj konfiguraciji bila na
poloaju definiranom koordinatama jy , e u trenutku t biti u toki s koordinatama ix .
Jasno je da e vrijednosti koordinata ix zavisiti i od vremena i od toke u poetnoj
konfiguraciji, tako da vrijedi
,i i jx x y t , odnosno tyyyx
tyyyx
tyyyx
,,,
,,,
,,,
32133
32122
32111
Gornje jednadbe opisuju vremenski promjenljivi poloaj one estice fluida koja je u
O
VM(t)
A
A
VM(t0)
xi=xi(yj,t)
Slika uz opis gibanja estica fluida
-
4. Kinematika fluida
Mehanika fluida I 25
trenutku 0t bila na poziciji opisanoj vektorom poloaja jy . Mijenjajui vektor jy
dobivaju je jednadbe gibanja razliitih estica materijalnog volumena.
Brzina estice fluida jest vremenska derivacija vektora poloaja
konst.( , ) D
( , )Dj
i j ii j y
x y t xv y t
t t
U mehanici se ona naziva materijalnom derivacijom, a zbog posebne vanosti se
oznauje s D
Dt. Materijalnom derivacijom se izraava vremenska promjena fizikalnog
svojstva estice fluida, onako kako bi to osjeao promatra koji se giba zajedno s
esticom. Gornji izraz opisuje promjenu brzine estica fluida izraenu Lagrangeovim
koordinatama. Promjenom koordinata jy dobiju se brzine razliitih estica
materijalnog volumena.
Ubrzanje estice fluida jest materijalna derivacija brzine
konst.
( , ) D( , )
Dji j i
i j y
v y t va y t
t t
Ponovo se promjenom Lagrangeovih koordinata dolazi do ubrzanja razliitih estica
kontinuuma, u bilo kojem trenutku.
U Lagrangeovom opisu strujanja fluida se funkcijama Lagrangeovih koordinata i
vremena mogu opisati i druga fizikalna svojstva estica fluida. Ako se sa oznai
neko fizikalno svojstvo kontinuuma (gdje za moe stajati skalarno fizikalno
svojstvo poput gustoe i temperature, vektorsko poput poloaja, brzine i ubrzanja ili
tenzorsko svojstvo), openito se moe pisati:
L ,jy t
Rijeima bi se reklo da gornja jednadba opisuje vremensku promjenu fizikalnog
svojstva estice yj. Nadindeks L u oznaci funkcije ukazuje da je fizikalno svojstvo
izraeno Lagrangeovim koordinatama.
4.2. Eulerov opis gibanja fluida
U mehanici fluida se uglavnom koristi Eulerov opis strujanja fluida, koji se temelji na
poljima fizikalnih veliina. Ako se svakoj toki prostora u svakom vremenskom
trenutku pridrui fizikalno svojstvo one estice fluida koja se u promatranom trenutku
nalazi u promatranim tokama prostora dobije se polje fizikalne veliine izraeno
-
4. Kinematika fluida
26 Mehanika fluida I
prostornim (Eulerovim) koordinatama
E ,ix t
Za polje koje nije funkcija vremena kae se da je stacionarno, inae je nestacionarno.
Vezu meu Lagrangeovim i Eulerovim opisom nekog fizikalnog svojstva u strujanju
fluida definiraju inverzne jednadbe gibanja1:
1 1 1 2 3
2 2 1 2 3
3 3 1 2 3
, , ,
, , ,
, , ,
y y x x x t
y y x x x t
y y x x x t
ili krae ,j j iy y x t
Gornje jednadbe daju poetni poloaj (u trenutku 0t ) one estice fluida koja se u
trenutku t nalazi na poziciji definiranoj prostornim koordinatama xi. Uvrtavanjem
gornjeg izraza u Lagrangeov zapis fizikalnog svojstva slijedi Eulerov zapis polja
L E E, ( , ), ,j j i iy t y x t t x t
Bez obzira to su fizikalna svojstva izraena prostornim koordinatama jasno je da su
nositelji fizikalnih svojstava estice fluida, a ne toke prostora. U tokama prostora u
kojima nema estica fluida polje fizikalne veliine nije definirano.
4.3. Materijalna derivacija
Materijalna derivacija izraava brzinu promjene fizikalnog svojstva estice fluida, tj.
promjenu koju bi osjetio promatra koji bi se gibao zajedno s esticom. Za fizikalno
svojstvo zapisano Lagrangeovim koordinatama ona je definirana kao
L
konst.
,D
Dj
j
y
y t
t t
Materijalna derivacija istog tog fizikalnog svojstva zapisanog u Eulerovim
koordinatama glasi
E E
E
konst. konst.
( , ) ( , )D( , )
Di
i ii i
ix t
x t x tv x t
t t x
Prvi lan desne strane gornjeg izraza oznauje lokalnu brzinu promjene fizikalnog
svojstva, koju bi osjetio promatra u fiksnoj toki prostora, dok drugi lan desne strane
1 Nuan i dovoljan uvjet za postojanje inverzne funkcije je da je determinanta razliita od nule i
konana.
/i jx y
-
4. Kinematika fluida
Mehanika fluida I 27
oznauje konvektivnu ili prijenosnu brzinu promjene fizikalnog svojstva, uslijed
pomicanja estice fluida u polju . Isputajui oznaku E za Eulerovo polje i
izbjegavajui eksplicitno navoenje zavisnosti polja od prostornih i vremenske
koordinate, gornji izraz u razvijenom obliku poprima oblik:
1 2 31 2 3
materijalna brzina lokalnebrzina konvektivne promjenederivacija promjene
D
Dv v v
t t x x x
Mogue je definirati i operator materijalne derivacije, koji glasi:
D
Dj
j
vt t x
Gdje umjesto oznake moe stajati skalarno, vektorsko ili tenzorsko polje izraeno u
funkciji prostornih koordinata i vremena.
Dok se u Lagrangeovom opisu strujanja fluida polazi od jednadbi gibanja (ijim se
deriviranjem dolazi do brzine i ubrzanja), u Eulerovom se opisu polazi od polja brzine
(jer se polje brzine pojavljuje u operatoru materijalne derivacije).
Primjer: Polje ubrzanja. Prema definiciji ubrzanje estice fluida je materijalna derivacija njene brzine, te za
polje ubrzanja ia , vrijedi:
D
D
i i i
i j
j
v v va v
t t x
odnosno raspisano po komponentama:
1 1 1 11 1 2 3
1 2 3
2 2 2 2
2 1 2 3
1 2 3
3 3 3 3
3 1 2 3
1 2 3
v v v va v v v
t x x x
v v v va v v v
t x x x
v v v va v v v
t x x x
4.4. Trajektorije, strujnice i krivulje obiljeenih estica
Trajektorija je prostorna krivulja koju svojim gibanjem opisuje estica fluida.
Jednadbe gibanja estice fluida zapisane u Lagrangeovim koordinatama oznauju
parametarski zapis jednadbe trajektorije. U Eulerovom opisu strujanja, gdje se polazi
od polja brzine, do jednadbe trajektorija se dolazi, polazei od definicije brzine
estice kontinuuma. Ako je dxi usmjereni infinitezimalni element puta kojeg prevali
-
4. Kinematika fluida
28 Mehanika fluida I
estica kontinuuma gibajui se po svojoj trajektoriji za infinitezimalno vrijeme dt, tada
za taj usmjereni element luka trajektorije, iz same definicije brzine slijedi:
d ( , ) di i jx v x t t , to se moe prikazati i u obliku sustava diferencijalnih jednadbi:
31 2
1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3
dd dd
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
xx xt
v x x x t v x x x t v x x x t
ijim se rjeavanjem uz poetne uvjete za t=t0, xi(t0)=yi, dolazi do jednadbi
trajektorija.
Strujnice su zamiljene krivulje kojima se u svakoj toki smjer tangente poklapa sa
smjerom vektora brzine. Na strujnicama se ucrtava smjer strujanja kao to prikazuje
slika. Za nestacionarno polje brzine, slika strujnica se mijenja od trenutka do trenutka,
pa se slika strujnica odnosi na jedan izabrani vremenski trenutak, npr. t=t1. Ako se
pravac vektora brzine poklapa s tangentom na strujnicu, tada je usmjereni element
luka strujnice dxi paralelan vektoru brzine vi, te je njihov vektorski produkt jednak
nuli, odnosno pripadajue komponente im se razlikuju istim faktorom, tako da vrijedi:
),,,(
d
),,,(
d
),,,(
d
13213
3
13212
2
13211
1
txxxv
x
txxxv
x
txxxv
x
Osnovno svojstvo strujnica je da se one ne mogu presijecati, jer bi to znailo da u
toki presjeka vektor brzine ima dva razliita smjera, to je nefizikalno. Izuzetak ine
toke zastoja u kojima je brzina jednaka nuli.
Krivulja obiljeenih estica u danom vremenskom trenutku spaja sve estice fluida
koje su prole zadanom tokom prostora.
U stacionarnom strujanju trajektorije, strujnice i krivulje obiljeenih estica se
poklapaju.
-
4. Kinematika fluida
Mehanika fluida I 29
Vektori brzine za strujanje u blizini toke
zastoja
Strujnice za strujanje u blizini toke
zastoja
Strujnice pri optjecanju cilindra Strujnice za sluaj naglog proirenja
4.5. Protok
Volumenski protok ili jednostavno protok Q jest volumen estica fluida koje u jedininom
vremenu prou kroz promatranu povrinu S orijentiranu jedininim vektorom normale in .
Ako se estice fluida gibaju brzinom iv , a toke povrine brzinom iu , tada je relativna
brzina gibanja estica fluida u odnosu na povrinu i i iw v u , a protok Q je definiran
izrazom
d di i i i iS S
Q w n S v u n S .
-
4. Kinematika fluida
30 Mehanika fluida I
Primjer 1: Protok kroz mirujuu povrinu ( 0iu ) je prema opoj
formuli di iS
Q v n S .
estica fluida T se u trenutku t nalazi na povrini dS , a u trenutku
t+dt e zauzeti novi poloaj u prostoru, pri emu e prevaliti put
dv t , odnosno svojim gibanjem opisati kosu prizmu, kojoj je visina
jednaka projekciji vektora puta na smjer normale
d d di ih n v t v n t . Volumen estica fluida koje u vremenu dt
prou kroz povrinu dS jednak je volumenu prizme
d d d d di iV S h v n S t . Elementarni protok kroz povrinu dS
jednak je po definiciji omjeru volumena dV i vremena dt , tj.
dd = d
di i
VQ v n S
t , a ukupni protok kroz povrinu S jednak je zbroju svih elementarnih protoka, to se opisuje
integralom di iS
Q v n S .
Poseban sluaj (brzina okomita na ravnu povrinu)
d di iA A
Q v n A v A
Brzina je okomita na ravnu povrinu i konstantna
dA
Q v A vA
Primjer 2: Protok kroz povrinu koja se giba brzinom ju u
mirujuem fluidu ( 0iv ) je prema opoj formuli
di iS
Q u n S .
Gibanjem povrine S, element dS opisuje kosu prizmu kojoj je
duljina brida du t , a volumen d d di iV u n S t . Dakle gibanjem
povrine S mirujue estice fluida prelaze s desne na lijevu
stranu povrine, pa gledano relativno u odnosu na povrinu to
je isto kao da je povrina mirovala, a estice brzinom u
prolazile kroz povrinu. Zato je protok definiran izrazom di iS
Q u n S .
Primjer 3: Protok kroz materijalnu povrinu ( i iu v )
d 0i i iS
Q v u n S . Jasno je da kroz materijalnu povrinu nema protoka estica fluida jer se ona sastoji
stalno od jednih te istih estica.
vdA vA
Mirujua povrina S
dS
T(t)
T(t+dt)
Gibajua povrina S
dS S(t+dt)
S(t)
-
4. Kinematika fluida
Mehanika fluida I 31
4.6. Strujna povrina i strujna cijev
Strujna povrina je sastavljena od strujnica koje
prolaze tokama neke krivulje C.
Vektor brzine je tangencijalan na povrinu
0i iv n , pa kroz strujnu povrinu nema protoka
d 0i iS
Q v n S .
Ako je krivulja C zatvorena, strujna povrina
prelazi u plat strujne cijevi, kroz kojeg nema
protoka fluida, kao i kroz plat neke fizike
cijevi.
Ako je povrina poprenog presjeka cijevi dS
infinitezimalna, govori se o elementarnoj
strujnoj cijevi. U graninom prijelazu d 0S
elementarna strujna cijev prelazi u strujnicu.
4.7. Protok fizikalne veliine
estice fluida osim volumena imaju masu, energiju, koliinu gibanja, itd. Prolaskom
estice fluida kroz neku povrinu, ona pronosi fizikalne veliine, pa se govori o protocima:
volumena (to je gore definirano jednostavno kao protok), mase, energije, koliine gibanja
i sl. Ako se s F oznai fizikalna veliina, a s volumensku gustou te fizikalne veliine,
koja je definirana izrazom
0
dlim
dV
F F
V V
,
odnosno sadraj fizikalne veliine unutar estice fluida (unutar infinitezimalnog volumena
dV ) jest d = dF V , a sadraj te fizikalne veliine unutar odreenog volumena V je
definiran integralom
= dV
F V
Primjeri: = 1F V ; = F m ; = i iF mv v , 2 21 1=
2 2F mv v
-
4. Kinematika fluida
32 Mehanika fluida I
Dakle za sluaj gibajue povrine u gibajuem fluidu, volumenski protok kroz elementarnu
povrinu dS e biti d di i iQ v u n S , a protok fizikalne veliine pronesene kroz tu
povrinu je d di i iQ v u n S F , odnosno protok fizikalne veliine kroz ukupnu povrinu
je
F di i iS
Q v u n S
Primjeri:
a) Maseni protok: dm i i iS
Q m v u n S ; 1
SIMT , kg/sm m . Za sluaj mirujue
povrine: di iS
m v n S . Za konst. vrijedi m Q .
b) Teinski protok dG i i iS
Q G g v u n S ; 3
SIMLT , N/sG G . Za sluaj mirujue
povrine: di iS
G gv n S . Za konst. i konst.g vrijedi G mg gQ .
c) Protok koliine gibanja: KG dk i i ikS
Q v v u n S ; 2
KG KG SIMLT , N
k kQ Q . Za
sluaj mirujue povrine: KG dk i ikS
Q v v n S . (Protok koliine gibanja je vektorska veliina!)
d) Protok kinetike energije: 2EK1
d2
i i i
S
Q v v u n S ; 2 3
EK EK SIML T , WQ Q .
4.8. Brzina promjene veliine volumena
a) Opi sluaj volumena V ija se granica S giba
brzinom iu
Brzina promjene volumena je po definiciji
ddd d
V t t V tV
t t
, a element povrine dS
opisuje element volumena d(d ) d di iV u n t S , to
integrirano po povrini S daje razliku volumena
dV t t V t , te je konano:
d
d dd
ii i
iS V
V uu n S V
t x
.
Za granini prijelaz dV V vrijedi
-
4. Kinematika fluida
Mehanika fluida I 33
d dd
d
i
i
V uV
t x
b) Sluaj materijalnog volumena MV ija se granica MS pomie brzinom iv gibanja estica
( i iu v ), pa vremenska derivacija postaje materijalnom derivacijom MDd
d D
VV
t t , te se
moe pisati
M M
MM
Dd d
D
ii i
iS V
vVv n S V
t x
Pri graninom prijelazu kada se materijalni volumen saima u toku ( M MdV V ) odnosno
esticu fluida, vrijedi
MM
D dd
D
i
i
V vV
t x
ili M
M
D d1
d D
i
i
Vv
x V t
, gdje
MD dD
V
t oznauje brzinu promjene
obujma estice fluida.
c) Sluaj volumena s nepominom granicom ( 0iu ) iji je obujam konstantan, pa vrijedi
d0
d
V
t , to se dobije i iz opeg izraza uz 0iu .
4.9. Brzina promjene sadraja fizikalne veliine unutar volumena
a) Opi sluaj gibajueg volumena
lokalna promjena promjena uslijedgibanja volumena
dd d d d
d
ii i
iV V S V
uV V u n S V
t t t x
b) Materijalni volumen ( i iu v ,d D
d Dt t )
M M M M
Dd d d d
D
ii i
iV V S V
vV V v n S V
t t t x
c) Mirujui volumen ( 0iu )
dd d
dV V
V Vt t
-
4. Kinematika fluida
34 Mehanika fluida I
4.10. Koncept kontrolnog volumena
Svi zakoni mehanike i termodinamike bit e primjenjivi na materijalni volumen (u
mehanici je to materijalno tijelo ili sustav materijalnih toaka, a u termodinamici je to
zatvoreni termodinamiki sustav). U mehanici fluida nije interes pratiti to se dogaa sa
samim fluidom (dakle nee se pratiti gibanje materijalnog volumena, kao to se u mehanici
prati gibanje tijela), nego je potrebno odrediti posljedice strujanje fluida u blizini neke
konstrukcije. U tom smislu e se definirati kontrolni volumen ije se granice poklapaju s
povrinom konstrukcije za koju se eli istraiti utjecaj strujanja fluida. Budui da e svi
zakoni mehanike fluida biti formulirani za materijalni volumen potrebno ih je
preformulirati za kontrolni volumen. Kontrolni je volumen u veini sluajeva s mirujuim
granicama ( 0iu ), a u analizi konstrukcija s pominim dijelovima koristi se i formulacija
kontrolnog volumena s pominim granicama.
4.11. Brzina promjene sadraja fizikalne veliine unutar materijalnog volumena
izraena promjenom u kontrolnom volumenu
U trenutku poklapanja materijalnog i kontrolnog volumena brzina lokalne promjene im je
ista, kao to su isti i povrinski integrali, u gornjim izrazima, iz kojih slijedi:
a) sluaj kontrolnog volumena KVV koji je ograen mirujuom kontrolnom povrinom KVS
M KV KV
Dd d d
Di i
V V S
V V v n St t
(Reynoldsov transportni teorem)
uz napomenu da vrijedi:
KV KV
dd d
dV V
V Vt t
b) sluaj promjenjivog kontrolnog volumena V ija se granica S giba brzinom iu
M
D dd d d
D di i i
V V S
V V v u n St t
4.12. Zakon ouvanja mase (jednadba kontinuiteta)
kao primjer primjene Reynoldsovog transportnog teorema
Materijalni volumen se tijekom gibanja sastoji stalno od jednih te istih estica fluida, to
znai da mu je masa konstantna, to se moe izraziti rijeima: Brzina promjene mase
materijalnog volumena jednaka je nuli tj. matematiki:
-
4. Kinematika fluida
Mehanika fluida I 35
M
Dd 0
DV
Vt
Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema uz zakon se formulira za kontrolni
volumen
KV KV
dd d
di i
V S
m
V v n St
Lijeva strana oznauje brzinu promjene mase fluida unutar kontrolnog volumena, a desna
ukupni maseni protok kroz kontrolnu povrinu. Na dijelu kontrolne povrine kroz koju
fluid ulazi u kontrolni volumen vektor vanjske normale i vektor brzine ine kut vei od
90, te je 0i iv n i maseni protok je negativan, a negativni predznak ispred integrala
ukazuje da e taj protok poveavati sadraj mase unutar kontrolnog volumena. Na izlaznoj
granici je 0i iv n , pa negativni predznak ispred integrala ukazuje na istjecanje fluida iz
kontrolnog volumena tj. oznauje smanjenje sadraja mase unutar kontrolnog volumena.
Kroz nepropusnu stijenku nema protoka, to znai da je brzina ili jednaka nuli ili je
tangencijalna na stijenku. Ako se sa um oznai ukupni maseni protok kojim fluid ulazi u
kontrolni volumen, a sa im maseni protok kojim fluid iz njega izlazi, tada vrijedi:
KV
u id dd
V
V m mt
.
a) Sluaj stacionarnog strujanja. U stacionarnom strujanju fluida se slika strujanja ne
mijenja s vremenom, to znai da se nee mijenjati niti sadraj mase unutar
kontrolnog volumena pa vrijedi jednakost ulaznog i izlaznog masenog protoka
u im m
b) Sluaj nestlaivog (stacionarnog ili nestacionarnog) strujanja homogenog fluida (
konst. ). S obzirom da je gustoa konstantna u kontrolnom volumenu e se u
svakom trenutku nalaziti jednaka masa fluida, a maseni protok je m Q , te
vrijedi
u iQ Q
Primjer: Strujanje kroz ravastu cijev
-
4. Kinematika fluida
36 Mehanika fluida I
Na slici je uoen kontrolni volumen koji obuhvaa
unutarnjost ravaste cijevi. Kroz dva presjeka nestlaivi
fluid ulazi u kontrolni volumen protocima 1Q i 2Q , a
kroz dva izlazi protocima 3Q i 4Q . Kroz plat rave
nema protoka fluida.
Prema jednadbi kontinuiteta vrijedi
1 2 3 4Q Q Q Q .
Q2Q4
Q3Q1
-
Mehanika fluida I 37
5. DINAMIKA FLUIDA
Materijalni volumen (fluidno tijelo) je ekvivalentno sustavu materijalnih toaka u
mehanici, te zatvorenom termodinamikom sustavu u termodinamici, pa e svi zakoni
mehanike i termodinamike biti direktno primjenjivi i na materijalni volumen.
U mehanici su definirani Newtonovi zakoni gibanja, od kojih se drugi Newtonov
zakon, moe zapisati u obliku zakona koliine gibanja, zakona momenta koliine
gibanja ili zakona kinetike (mehanike) energije, a u termodinamici su definirani prvi
zakon termodinamike (zakon ouvanja energije) i drugi zakon termodinamike. Svi su
ti zakoni, kao i zakon ouvanja mase, osnovni za klasinu fiziku pa tako i za mehaniku
fluida.
U termodinamici se uvodi koncept topline, unutarnje energije i entropije, a radni medij
je uglavnom plin, kojemu se djelovanjem sile tlaka moe mijenjati volumen. Za
smanjivanje volumena plina unutar termodinamikog sustava (kada se govori o
kompresiji), potrebno je ulagati mehaniki rad, a pri irenju plina (ekspanziji) plin vri
rad u odnosu na okolinu. U procesima pri konstantnom volumenu korisni mehaniki
rad jednak je nuli.
Osim tlanih sila u sustavu djeluju i sile trenja (u fluidu su to viskozne sile). Budui su
sile trenja uvijek suprotne pomaku, njihovim se djelovanjem uvijek mehanika
energija pretvara u unutarnju, a nikad obrnuto. Iz reenog se zakljuuje da se u
sustavima s konstantnim volumenom ne moe poveati mehanika energija na raun
unutarnje. Zato se u mehanici krutog tijela (sustava materijalnih toaka, kojima je
volumen konstantan) ne razmatraju termodinamiki zakoni, odnosno unutarnja
energija, jer se iz unutarnje energije ne moe dobiti mehanika energija, odnosno ne
moe se djelovati na gibanje tijela. U mehanici se rad sila trenja, kojim se mehanika
energija (zbroj kinetike i potencijalne energije) pretvara u unutarnju oznauje kao
gubitak mehanike energije (jer je jasno da je ta pretvorba jednosmjerna).
U mehanici fluida se bitno razlikuje stlaivo od nestlaivog strujanja. U stlaivom
strujanju se gustoa fluida u strujanju mijenja, dok je u nestlaivom strujanju (najee
se radi o strujanju kapljevina) gustoa fluida (dakle i volumen estica) konstantna. S
obzirom na gore reeno u nestlaivom strujanju se nee moi unutarnju energiju
iskoristiti u gibanju fluida, te e se gibanje fluida opisati samo Newtonovim zakonima,
kao i u mehanici krutog tijela, dok e za opis stlaivog strujanja biti nuno uzeti i
termodinamike zakone, to je dano u sljedeoj tablici.
-
5. Dinamika fluida
38 Mehanika fluida I
Nestlaivo strujanje ( konst. ) Stlaivo strujanje
1) Zakon ouvanja mase
2) Zakon ouvanja koliine gibanja
3) Zakon ouvanja momenta koliine gibanja
4) Zakon mehanike (kinetike)
energije
4) Zakon ouvanja energije
(I. zakon termodinamike)
5) II. zakon termodinamike
5.1. Osnovni zakoni dinamike nestlaivog strujanja fluida za materijalni volumen
Mehanika (sustav materijalnih toaka)
Materijalni sustav se sastoji od n toaka
Unutranje sile i njihovi momenti se ponitavaju
prema III. Newtonovom zakonu (snage ne!)
kF = rezultirajua vanjska sila na k-tu toku
kF= rezultirajua unutranja sila na k-tu toku
,k km v = masa i brzina k-te toke
Mehanika fluida (materijalni volumen)
Povrinske sile dodira meu esticama fluida
unutar VM su unutarnje sile, a sile dodira s
okolinom (po SM) su vanjske.
Zakon ouvanja mase materijalnog sustava
1
Brzina promjene mase materijalnog sustava
d0
d
n
k
k
mt
Zakon ouvanja mase za VM
M
MBrzina promjene mase
Dd 0
DV
V
Vt
Zakon koliine gibanja za materijalni sustav Zakon koliine gibanja za VM
Okolin
a
Sustav
SM
O
x3
x2 x1
VM
dS
dm=dV
-
5. Dinamika fluida
Mehanika fluida I 39
Suma vanjskih sila
1 1
Brzina promjene koliine gibanja sustava
d
d
n n
k k k
k k
m v Ft
M
M M M
M M M
Suma vanjskih sila na
Brzina promjene Ukupna masena Ukupna povrinskakoliine gibanja sila na sila na
Dd d d
D
V
i i i
V V S
V V V
v V f V St
Zakon momenta koliine gibanja za materijalni
sustav
Suma momenata vanskih sila
1 1
Brzina promjene momenta koliine gibanja sustava
d
d
n n
k k k k k
k k
r m v r Ft
Zakon momenta koliine gibanja za VM
M M M
M M M
Suma momenata vanskih sila
Brzina promjene momenta Moment masenih Moment vanjskih koliine gibanja sila na povrinskih sila na
Dd d d
Dkji j i kji j i kji j i
V V S
V V V
x v V x f V x St
Mna V
Zakon mehanike energije za materijalni sustav
Snaga vanjskih sila
2 '
1 1 1
Brzina promjene Snaga unutranjihkinetike energije sustava sila unutar sustava
d 1
d 2
n n n
k k k k k k
k k k
m v F v F vt
Zakon mehanike energije za VM
M
M M M
M
M M
Snaga vanjskih sila na
2
F
Snagaunu
Brzina promjene Snaga vanjskih Snaga vanjskihkinetike energije masenih povrinskih
sila na sila na
Dd d d
D 2
V
i i i i
V V S
VV V
vV f v V v S P
t
M
tranjihpovrinskihsila unutarV
U nestlaivom strujanju se snaga unutarnjih sila
odnosi na viskozne sile koje uvijek pretvaraju
mehaniku energiju u unutarnju, pa je snaga PF
uzeta s negativnim predznakom (smanjenje
mehanike energije), pri emu je PF>0.
5.2. Formulacija osnovnih zakona za kontrolni volumen
Za praktino rjeavanje problema strujanja fluida osnovni zakoni e se uglavnom koristiti
za kontrolni volumen, kako je to pokazano na primjeru jednadbe kontinuiteta. Zakoni se
od formulacije za materijalni volumen transformiraju u oblike za mirujui kontrolni
volumen primjenom Reynoldsova transportna teorema, koji je dan u poglavlju kinematike,
a koji glasi:
KV
M KV
KV
dD
d ddD
dd
V
i i
V S
V
Vt
V v n St
Vt
na lijeve strane osnovnih zakona formuliranih za materijalni volumen. Veliina u
gornjoj formuli poprima vrijednost: u zakonu ouvanja mase, 2 / 2v u zakonu
-
5. Dinamika fluida
40 Mehanika fluida I
mehanike energije, iv u zakonu ouvanja koliine gibanja te kji j ix v u zakonu
ouvanja momenta koliine gibanja. Fizikalno gledajui volumenski integral na desnoj
strani gornje formule oznauje brzinu promjene sadraja fizikalnog svojstva unutar
kontrolnog volumena, a povrinski protok fizikalnog svojstva kroz kontrolnu povrinu, kao
posljedicu strujanja fluida.
Sljedea tablica daje pregled svih zakona za mirujui kontrolni volumen.
Zakon Formulacija za kontrolni volumen
ouvanja
mase KV KVBrzina promjene mase protok mase krozu kontronom volumenu kontrolnu povrinu
dd d
di i
V S
V v n St
mehanike
energije
KV KV KV
2 2
Brzina promjene kinetike Protok kinetike energije Snaga masenih silaenergije kontronog volumena kroz kontrolnu povrinu na kontroni volumen
d 1 1d d d
d 2 2j j i i
V S V
v V v v n S f v Vt
KV
F
Snaga unutarnjih povrinskih
Snaga vanjskih sila unutar KVpovrinskih sila na KV
di iS
v S P
koliine
gibanja KV KV KV KVBrzina promjene Protok koliine ukupna masena ukupna povrinskakoliine gibanja KV gibanja kroz KP sila na KV sila na KV
dd d d d
di i j j i i
V S V S
v V v v n S f V St
momenta
koliine
gibanja
KV KV KV
Brzina promjene momenta Protok momenta koliine ukupni moment masenihkoliine gibanja KV gibanja kroz KP sila na KV
dd d d
dkji j i kji j i r r kji j i kji j i
V S V S
x v V x v v n S x f V xt
KV
ukupni moment povrinskihsila na KV
dS
U nastavku emo posebno obraditi redom, zakon mehanike energije, pa zakone ouvanja
koliine gibanja i momenta koliine gibanja. Ponovit e se definicije zakona za materijalni
volumen, formulirat e ih se za kontrolni volumen, te primijeniti prvo na sluaj
jednodimenzijskog strujanja u cijevima, a zatim dati praktine primjene tih zakona u
strojarstvu.
5.3. Zakon mehanike (kinetike) energije
Definicija zakona kinetike energije za materijalni volumen dana je u gornjoj tablici, a
moe se iskazati sljedeim rijeima:
-
5. Dinamika fluida
Mehanika fluida I 41
Brzina promjene kinetike energije materijalnog volumena jednaka je zbroju snaga
vanjskih sila (masenih i povrinskih) koje djeluju na materijalni volumen, te snazi
unutarnjih sila koje djeluju u materijalnom volumenu2.
Matematiki zapis zakona kinetike energije za materijalni volumen:
U strujanju fluida u polju masene
sile if uoen je materijalni
volumen MV koji je od okolnog
fluida odijeljen materijalnom
povrinom MS . Na svaku esticu
fluida, kojoj je kinetika energija
21 2 dv V , djeluje elementarna
masena sila dif V , a snaga te sile
je di if v V . Na svaki djeli
povrine MS elementarna
povrinska sila di S , a njena
snaga je di iv S , pri emu je
vektor naprezanja i definiran
zbrojem tlanih i viskoznih sila
f
i i ipn .
Povrinske sile koje djeluju po materijalnoj povrini su za materijalni volumen vanjske sile
(sile dodira izmeu estica materijalnog volumena i okoline), a unutar materijalnog
volumena (meu esticama materijalnog volumena) djeluju unutarnje povrinske sile. U
nestlaivom strujanju je snaga sila tlaka jednaka nuli (jer nema promjene obujma estica
fluida), te snagu unutarnjih sila definiraju samo viskozne sile. Viskozne sile uvijek
pretvaraju mehaniku energiju u unutranju, te e uvijek voditi smanjivanju mehanike
energije. Ako se snaga unutarnjih sila oznai s FP i definira kao pozitivna veliina, tada e
2 U zakonima koliine gibanja i momenta koliine gibanja se unutarnje sile i njihovi momenti meusobno
ponitavaju po treem Newtonovom zakonu (princip akcije i reakcije). Budui je snaga skalarni umnoak vektora sile i vektora brzine, snage sile akcije i reakcije na dvije estice nee biti jednake, budui da se estice mogu gibati razliitim brzinama.
SM
Slika uz definiciju zakona koliine gibanja
O
x3
x2
x1
V
M
dS
dm=dV
-
5. Dinamika fluida
42 Mehanika fluida I
se u jednadbi kinetike energije ona pojavljivati s negativnim predznakom, jer smanjuje
kinetiku energiju materijalnog volumena. Matematiki zapis zakona je:
M M M
M M M
M
2
F
snagaunutranjih
Brzina promjene snaga masenih snaga vanjskih sila unutarkinetike energije sila na povrinskih
sila na
Dd d d
D 2i i i i
V V S
V V VV
vV f v V v S P
t
5.3.1. Formulacija zakona mehanike energije za kontrolni volumen
Kao to je prije reeno, za potrebe rjeavanje praktinih problema, osnovni zakoni e se
preformulirati za kontrolni volumen. U svakom trenutku se promatra onaj materijalni
volumen koji ispunjava odabrani kontrolni volumen (volumen stalan u vremenu). U tom se
sluaju volumenski i povrinski integrali po materijalnom volumenu i materijalnoj povrini
mogu smatrati integralima po kontrolnom volumenu i kontrolnoj povrini, a brzina
promjene sadraja kinetike energije unutar materijalnog volumena se iskazuje integralima
po kontrolnom volumenu i kontrolnoj povrini, prema Reynoldsovu transportnom teoremu
(RTT). Primjenom RTT na lijevu stranu gornje jednadbe dobije se formulacija zakona
mehanike energije za kontrolni volumen koja glasi:
KV KV KV
2 2
Brzina promjene kinetike Protok kinetike energije Snaga masenih silaenergije kontronog volumena kroz kontrolnu povrinu na kontroni volumen
d 1 1d d d
d 2 2j j i i
V S V
v V v v n S f v Vt
KV
F
Snaga unutarnjih povrinskih
Snaga vanjskih sila unutar KVpovrinskih sila na KV
di iS
v S P
5.3.2. Primjena zakona kinetike energije na jednodimenzijsko strujanje u
cjevovodu
U strogom smislu rijei strujanje je jednodimenzijsko u elementarnoj strujnoj cijevi. S
obzirom da elementarna strujna cijev ima infinitezimalnu povrinu, moe se pretpostaviti
da su sve veliine po poprenom presjeku elementarne strujne cijevi konstantne, a u
stacionarnom strujanju se mijenjaju samo uzdu cijevi (dakle u smjeru jedne dimenzije).
Strujanje u realnim cijevima e biti priblino jednodimenzijsko, ako je promjena povrine
poprenog presjeka cijevi blaga (nema naglih proirenja ili suenja) i kada je radijus
zakrivljenosti cijevi velik u odnosu na njen promjer. U realnoj cijevi veliine po presjeku
nisu konstantne pa se barata s njihovim srednjim vrijednostima po presjeku.
-
5. Dinamika fluida
Mehanika fluida I 43
Pretpostavke:
1. Fluid je nestlaiv
2. Masena sila je sila
gravitacije 3i if g
3. Vektori brzine
okomiti na presjeke, a
uvodi se faktor
korekcije kinetike
energije u obliku
3
3
r
1d
s A
v Sv A
Integracijom jednadbe kinetike energije, po kontrolnom volumenu prema slici i uz
navedene pretpostavke, dobije se
KV KV KV KV
22 2 2 1 2 1
2 2 1 1
1
2 2
F
1d 2
d 1 1d d d d
d 2 2j j i i i i
V S V S
Qg z z Q p pv Q v vQ st
v V v v n S f v V v S Pt
gdje su 1v i 2v prosjene brzine na presjecima 1A (ulazni) i 2A (izlazni), a Q protok kroz
cijev. Zakon kinetike energije za jednodimenzijsko strujanje oznauje modificiranu
Bernoullijevu jednadbu, koja glasi
22 2
F
12 1
brzina promjene snaga na izlazu iz cijevi snaga na ulazu u cijevkinetike energije
d2 2
KV
v v vp gz Q p gz Q P Q s
t
Ako u cjevovodu izmeu presjeka postoji stroj (pumpa koja predaje snagu PP fluidu ili
turbina koja oduzima snagu TP od fluida), onda se modificirana jednadba moe poopiti u
sljedei oblik
22 2
F P T
12 1
brzina promjene snaga na izlazu iz cijevi snaga na ulazu u cijevkinetike energije
d2 2
KV
v v vp gz Q p gz Q P Q s P P
t
Sw
A1
A2
dsj=dsej
A
dV=dAds
vj=-vnj
vj=vnj
x3
-
5. Dinamika fluida
44 Mehanika fluida I
Pumpa je pogonjena motorom, pri emu motor predaje pumpi snagu MP , pa je faktor
korisnosti pumpe PP
M
P
P . Turbina obino pogoni generator, pri emu generatoru predaje
snagu GP , pa je faktor korisnosti turbine definiran odnosom G
T
T
P
P .
U gore prikazanom obliku modificirane Bernoullijeve jednadbe, svaki lan ima dimenziju
snage, a koriste se i sljedei oblici te jednadbe
Oblik Dimenzija
22 2
F P T
12 1
d2 2
v v P P Pvp gz p gz s
Q t Q Q
snaga
volumenki protok
22 2
F P T
12 1
d2 2
v v P P Pp p vgz gz s
Q t Q Q
snaga
maseni protok
22 2
F P T
12 1
1d
2 2
v v P P Pp p vz z s
g g g g gQ g t gQ gQ
snaga
teinski protok
U zadnjem obliku modificirane Bernoullijeve jednadbe obino se uvode oznake
PP
Ph
gQ =visina dobave pumpe,
TT
Ph
gQ =pad visine energije u turbini
FF
Ph
gQ =visina gubitaka mehanike energije (energije pretvorene u unutarnju energiju)
Za sluaj ravanja cjevovoda oblici modificirane Bernoullijeve jednadbe iz gornje tablice
postavljaju se du strujnice.
Primjer:
Slika prikazuje ravastu cijev s dva ulazna presjeka (1 i 2) te
dva izlazna presjeka (3 i 4). Izmeu toaka 5 i 6 se nalazi
pumpa koja predaje fluidu snagu PP. Prema jednadbi
kontinuiteta ukupni protok kroz pumpu je
1 2 3 4Q Q Q Q Q . Ako nema gubitaka energije u ravi,
u tokama 5 i 6 visina energije (energija po jedinici
teinskog protoka) ostaje konstantna neovisno o protoku.
Integralni oblik zakona kinetike energije za stacionarno strujanje fluida kae da je snaga na izlazu iz KV
(presjeci 3 i 4) jednaka snazi na ulazu (presjeci 1 i 2) uveanoj za snagu pumpe i umanjenoj za snagu
viskoznih sila, tj.
-
5. Dinamika fluida
Mehanika fluida I 45
2 2 2 23 4 1 2
3 3 3 3 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 P F2 2 2 2
v v v vp gz Q p gz Q p gz Q p gz Q P P
Modificirana Bernoullijeva jednadba postavljena izmeu toaka 1 do5 je:
2 25 5 1 1
5 5 1 1 F152 2
v p v pz z h
g g g g, gdje je F15F15
1
Ph
gQ
Modificirana Bernoullijeva jednadba izmeu toaka 5 i 6 glasi
2 26 6 5 5
6 6 5 5 P F562 2
v p v pz z h h
g g g g, gdje su F56F56
Ph
gQ i PP
Ph
gQ,
a izmeu toaka 6 i 3
2 23 3 61
3 3 6 6 F632 2
v p pvz z h
g g g g, gdje je F63F63
3
Ph
gQ
Iz kombinacije prethodnih jednadbi dobije se modificirana Bernoullijeva jednadba izmeu presjeka 1 i 3
2 23 3 1 1
3 3 1 1 P F15 F56 F632 2
v p v pz z h h h h
g g g g
Dakle modificirana Bernoullijeva jednadba vrijedi du strujnice. Analogno se dobije izraz za modificiranu
Bernoullijevu jednadbu izmeu presjeka 1 i 4 ili izmeu presjeka 2 i 3 ili izmeu presjeka 2 i 4. Vano je
zapamtiti da se snaga viskoznih sila dobije mnoenjem visine gubitaka Fh s pripadajuim teinskim
protokom, kao i snaga pumpe (u ovom primjeru P 1 2 PP g Q Q h ).
5.3.3. Promjena tlaka okomito na strujnice
(integral jednadbe gibanja fluida po putu okomitom na strujnice)
Izraz za promjenu tlaka
okomito na strujnice je:
2 2
2 1 2 1
1
dv
p p g z z nR
udaljenost n se mjeri od
sredita zakrivljenosti strujnice.
1. U strujanju fluida s ravnim strujnicama ( R ) promjena tlaka okomito na strujnice
ista je kao u fluidu u mirovanju.
Slika uz definiciju promjene tlaka okomito na strujnice
R=radijus
zakrivljenosti O
x3
x2
x1
1
2
-
5. Dinamika fluida
46 Mehanika fluida I
2. U strujanju fluida u horizontalnoj ravnini sa zakrivljenim strujnicama tlak raste od
sredita zakrivljenosti strujnica.
3. Strujnica ne moe biti slomljena krivulja, jer bi u toki loma bilo R=0, pa bi dp/dn bilo
beskonano, to nije fizikalno.
5.4. Ilustracija sadraja modificirane Bernoullijeve jednadbe
Za grafiki prikaz sadraja Bernoullijeve jednadbe pogodno je koristiti oblik u kojem su
svi lanovi izraeni kao snaga po jedinici teinskog protoka (ili energija po jedinici teine
fluida), koji za sluaj stacionarnog strujanja i 1 , glasi
2 2
geometrijska(geodetska)
visina visina visinakineticke tlaka definira GLenergije
piezometricka visinadefinira HGL
Visina ukupne energije =EL 2