Mehanika fluida za studente Gradjevinskog fakulteta

Dusan Prodanovic

Contents 6   Dimenzionalna analiza i slicnost     6.1   Dimenzionalna analiza i svrha njene primene     6.2   Opisivanje strujanja bezdimenzionalnim velicinama     6.3   Modeli, razmere i uslovi slicnosti

Chapter 6 Dimenzionalna razmatranja i slicnost strujanja

6.1  Dimenzionalna analiza i svrha njene primene

Poglavlje o dimenzionalnoj analizi nije iskljucivo vezano uz Mehaniku fluida. Ono se moze primeniti u bilo kojoj oblasti tehnike. Radi se o analizi dimenzija svih velicina koje ucestvuju u nekom fenomenu sa ciljem uspostavljanja medjusobnih relacija. Na taj nacin se redukuje broj nezavisno promenjivih velicina i omogucuje jednostavnije skaliranje problema na relaciji priroda - model uz neophodna zanemarivanja. Ovo jos malo objasni. Malo spomeni modele, ali je bitnije uspostavljanje relacija izmedju velicina, otkrivanje dominantnih velicina i slicno. Ovde je vazan i dogovor izmedju naucnika, kao i neki standardi koji su vec uspostavljeni. PAZI: dosta ovoga je vec napisano u poglavlju  Velicine, dimenzionalni sistem i jedinice mere. Dobro uklopi tekst. Velicina je sve ono sto se moze izmeriti. Merljivost je bitna osobina svake velicine. Merenjem velicina dobija vrednost. Kako ce se izraziti vrednost velicine zavisi od ustanovljenog dimenzionalnog sistema. Ranije se koristilo vise razlicitih dimenzionalnih sistema. Danas je on sistematizovan, i koristi se SI sistem (sama cinjenica da je neko propisao koje velicine ce se koristiti kao osnovne, znaci da i ne mora to bas tako biti). SI sistem je podeljen na osnovne i izvedene velicine. Pomocu osnovnih velicina moramo biti u stanju da kvalifikujemo sve izucavane velicine. Proveri da li se velicine pisu normalnim fontom [M] ili matematickim [M] U mehanici se prema SI sistemu koriste tri osnovne velicine: masa [M], duzina [L] i vreme [T]. Ove velicine su izabrane zbog predmeta izucavanja mehanike, a to je kretanje mase u prostoru i vremenu. Sila je izvedena velicina, a jedinica za silu je Njutn:

[N] = [kg m s2] odnosno, sila napisana kao kombinacija osnovnih velicina je:

[F] = [L1 M1 T2] Vrednost izmerene sile je:

F = NF ·L1 M1 T2 gde je NF merni broj, a L1 M1 T2 dimenzionalni sistem. Posledica usvojenog SI sistema sa osnovnim velicinama M, T i L je da se u problemima statike, gde se posmatraju samo M i L, u izrazu za silu javlja i vreme T. Bolje bi bilo kada bi osnovna velicina bila sila F, uz duzinu L (nekadasnji CGS sistem [cm] [gram] [sec]). U mehanici fluida primenjujemo slobodniji pristup u izboru osnovnih velicina: za osnovne velicine biraju se one koje su medjusobno nezavisne, a karakteristicne za fiziku problema koji se izucava. Vrednosti izabranih osnovnih velicina predstavljaju mernu jedinicu.

Primer 6.1.0Analizira se zapremina svih flasa na jednoj proizvodnoj liniji. Srednja vrednost zapremine je V = 1.51 dm3. Za osnovnu velicinu [L]=[m] flase imaju zapremine 1.50; 1.52; 1.49; .... dm3, dok za osnovnu velicinu [L3]=[m3] flase imaju zapremine 0.993; 1.007; 0.987; ..... Ocigledno je zgodnije baratati sa bezdimenzionalnim velicinama flasa, jer se odmah vidi i procentualna greska. Pri izboru osnovnih velicina bitno je voditi racuna o nezavisnoti i o mogucnosti izrazavanja svih ostalih izvedenih velicina preko izabranih osnovnih.

Primer 6.1.0Izbor osnovih velicina - koje od ponudjenih kombinacija su prihvatljive:

1. masa, duzina, povrsina

Nije dobar izbor, jer ne figurise vreme, a duzina i povrsina su medjusobno zavisne velicine.

2. masa, vreme, duzina

U redu

3. vreme, ubrzanje, duzina

Nije dobar izbor, jer nema mase

4. sila, duzina, vreme

U redu

5. gustina, proticaj, duzina

U redu

. Bakingemova (ili - teorema): Dimenzionalnom analizom problem se sa m dimenzionalnih velicina svodi na (mn) bezdimenzionalnih velicina, gde je n broj osnovnih velicina karakteristicnih za doticnu problematiku.

Primer 6.1.0Nije iz oblasti Mehanike fluida: Odrediti momenat savijanja proste grede pomocu dimenzionalne analize.

Figure 6.1: Odredjivanje momenta savijanja proste grede dimenzionalnom analizom

Trazi se momenat na sredini grede M0, koji u M, L, T osnovnom sistemu glasi:

M0 = f(q, l) Ako izaberemo q i l kao osnovne velicine, onda dobijamo:

M0 = f(qa, lb) . Eksponenti a i b se odredjuju preko zajednickog sistema:

[F1 L1] = [(F1 L1)a Lb]

F1 = Fa a=1

L1 = La+b b=2 pa dobijamo da je

M0 = [q1 l2]

M0 = NM q1 l2  M0

q l2= NM = const.

gde je NM merni broj, a q1 l2 dimenzionalni sistem. U prethodnom primeru se poslo od izraza M0 = f(q, l), koji predstavlja zavisnot dimenzionalnog momenta od dve velicine, a doslo se do izraza [(M0)/(q l2)] = const. koji predstavlja bezdimenzionalni momenat koji ne zavisi ni od jedne velicine. Ovim se postize da se jednim opitom odredi konstanta, koja vazi za sve proste grede, raznih raspona i opterecenja i da se na osnovu te konstante moze dobiti vrednost momenta.

Primer 6.1.0Opstrujavanje tela

Figure 6.2: Odredjivanje sile otpora ostroivicnog diska koji se krece brzinom V u beskonacnoj fluidnoj struji

F je sila kojom fluid deluje na plocu, i ona zavisi od karakteristika fluida (), brzine ploce (V) i precnika ploce (D).

F = F (, V, D) Izraz F (, V, D) predstavlja dimenzionalnu zavisnot cetiri velicine (F, , V, D). Biraju se tri osnovne velicine , V i D, pa se sila izrazava kao:

[F] = [Da Vb c] Za odredjivanje eksponenata se koristi SI sistem:

[M L T2 ] = [L]a [L T1]b [M L3]c

[L]: 1 = a + b 3c

[T]: 2 = b b = 2

[M]: 1 = c Dobijaju se sledece vrednosti eksponenata: a=2, b=2, c=1. Dobija se dimenzionalni izraz za silu u sistemu duzina, brzina, gustina:

[F] = [D2 V2 ]

F = NF ·D2 V2 gde je NF merni broj bez dimenzija. Na ovaj nacina se dobija sila u bezdimenzionalnom obliku:

NF =  F

D2 V2 Pocetni izraz f(F, , V, D) sa cetiri zavisne velicine (m=4), izborom tri osnovne veliçine (n=3) se sveo na f(NF, 1, 1, 1). Ovde se vidi primena Bakingamove teoreme, gde se problem sveo na jednu bezdimenzionalnu velicinu (m-n=1). Problem se sveo na samo jednu velicinu, sto vise nije funkcionalna zavisnost vec konstanta. Ako se istrazuje sile na plocu, onda je dovoljan jedan eksperiment da se odredi konstanta NF, umesto serije eksperimenata za razlicito , D i V. Bezdimenzionalni izrazi su zgodni jer se mogu preuredjivati kako bi se dobili fizicki "opravdaniji" izrazi.

NF =  F

V2 D2

Sa D2 se moze preci na povrsinu D2 [()/4], pa se dobija:

NF =

 1

2

 

4F

 1

2V2 A

 8

NF = CF =

 F

 1

2V2 A

Koeficijenat

sile

=  [Realna sila]

[Zaustavni pritisak]x[Povrsina]

Analizom smo dobili da je koeficijenat CF konstantan. Medjutim, merenjima se pokazalo sa CF nije konstantno, vec da zavisi od brzine. To znaci da su zanemareni odredjeni uticaji koje treba obuhvatiti:

fdin = (F, D, V, , , d) gde su D, V, osnovne velicine, viskoznost fluida, a d debljina ploce. Sila F se u bezdimenzionalnom obliku izrazava se preko koeficijenta sile:

CF =

 F

 1

2V2 A

Bezdimanzionalna debljina ploce se moze predstaviti kao:

Nd =  d

DViskoznost fluida se u bezdimenzionalnom obliku moze predstaviti kao:

[] = [Da Vb c]

[M L1 T1] = [L]a [LT1]b [ML3]c

[M]: 1=c

[L]: 1=a+b3c

[T]: 1=b Dobijaju se sledece vrednosti eksponenata: a=1, b=1, c=1. Bezdimenzionalni izraz za viskoznost se dobija kao:

N =  

D V Za analizu se koristi inverzna vrednost:

 1

N

= Re =  V D

(6.1)

Izraz (6.1) predstavlja Reynolds-ov broj (Osborn Reynolds, 1842-1912). On pokazuje odnos inercijalnih i viskoznih uticaja. Na kraju se dobija:

f CF, Re,  d = 0

D

Izraz pokazuje da koeficijenat CF nije konstantan, vec je funkcija Reynolds-ovog broja Re i relativne debljine ploce [ d/D].

Primer 6.1.0Odredjivanje bezdimenzionalne vrednosti za pritisak, ako se kao osnovne velicine usvoje D, V, .

[p] = [Da Vb c]

[M L1 T2] = [L]a [L T1]b [M L3]c

[M]: 1=c

[L]: 1=a+b3c

[T]: 2=b Dobijaju se sledece vrednosti eksponenata: a=0, b=2, c=1.

Np =  p

V2 Cp =

 p

 1

2V2

gde je Cp koeficijenat pritiska, koji je jednak kolicniku pritiska i zaustavnog pritiska.

Koeficijenat

pritiska

=  [Pritisak]

[Zaustavni pritisak]

Tangencijalni napon u bezdimenzionalnom obliku se dobija kao:

C =

 

 1

2V2

Slika ispod ne postoji u skriptama Figure 6.3: Opstrujavanje ostroivicnog diska

.

6.2  Opisivanje strujanja bezdimenzionalnim velicinama

U oblasti Mehanike fluida, bezdimenzionalne velicine se cesto koriste kao nacin sporazumevanja (na primer: merilo protoka treba postaviti tako da ima prilaznu pravolinijsku deonicu minimalne duzine 10D, umesto duzine u metrima). Preporuke za izbor osnovnih velicina:

Gustina

Ova velicina sadrzi masu i pokazatelj je inercijalnosti fluida.

Brzina V

Izabrana brzina moze biti srednja brzina fluida u cevi, brzina objekata u mirnoj fluidnoj struji i brzina karakteristicnog fluidnog delica.

Duzina L

Duzina treba da bude neka karakteristicna dimenzija.

Da bi u potpunosti opisali strujanje, treba poznavati:

Materijalne konstante , , g, , k

Geometrijske-konturne uslove Li

Pocetne uslove Vi, t0

Sve ostale velicine izrazavaju se preko osnovnih , V i L: a)

Viskoznost (dinamicki koeficijenat viskoznosti)

Re =  V L

Re broj predstavlja odnos inercijalnih i viskoznih usticaja. Odnos viskoznosti i gustine fluida je kinematski koeficijent viskoznosti:

=  

b)

Gravitaciono ubrzanje g

[g] =

 L

T2

=

 V2

L

Fr =  V2

g L(6.2)

Izraz (6.2) predstavlja Frudov broj, koji pokazuje odnos inercijalnih i gravitacionih uticaja. Primenjuje se kod otvorenih tokova.

c) Povrsinski napon (kapilarna konstanta)

[] = [F L1] = [L V2]

We =  L V2

(6.3)

Izraz (6.3) predstavlja Weber-ov broj. d)

Zapreminski moduo stisljivosti K

[K] = [M L1 T2] = [V2 L0]

Ca =  V2

K(6.4)

Izraz (6.4) predstavlja Cauchy-jev broj. Od ukupno pet materijalnih konstanti (, , k, , g) dobijaju se cetiri bezdimenzionalne ( je osnovna velivcina). Za svaku bezdimenzionalnu materijalnu konstantu postoji njen odnos prema inercijalnim uticajima (, V). U proracunu fluidne struje, pored materijalnih konstanti, potrebno je uvesti i dovoljan broj geometrijskih velicina kojima se opisuje strujno polje (L1, L2, .... , Ln), kao i brzina (u1, u2, .... , un) u vremenskim trenucima t1, t2, .... , tn (konturni uslovi). Za sve te velicine formiraju se bezdimenzionalni brojevi [(L1)/(L0)], [(L2)/(L0)], ... , [(Ln)/(L0)] (gde je L0 osnovna duzina),

[(u1)/(V0)], [(u2)/(V0)], ... , [(un)/(V0)] (gde je V0 osnovna brzina), i [(t1)/(t0)], [(t2)/(t0)], ... , [(tn)/(t0)] (gde je t0 = [(L0)/(V0)])(pocetni uslovi). Dimenzionalnom funkcijom moze se opisati bilo koje strujno polje = (L0, V0, , , K, g, , ..., K0I, K0II). Strujno polje moze se opisati i bezdimenzionalnom funkciojom CF = CF (Re, Ca, Fr, We, ..., K0I,..), gde su K0I konturni uslovi. Konturni uslovi, kao i velicine koje se istrazuju, su funkcija prostora i vremena:

NY = NY

 x1

L0

,  x2

L0

,  x3

L0

,  t

t0

6.3  Modeli, razmere i uslovi slicnosti

Postoji veliki broj problema koji zahtevaju koriscenje geometrijski slicnog modela, na kome ce se u kontrolisanim uslovima izucavati odredjene pojave. Pojam fizicki model vezuje se za ispitivanje nekih fizickih fenomena na modelu (automobil ili avion u aerotunelu, preliv na brani), a zatim prenosenja dobijenih rezultata na prirodu. Ranije su fizicki modeli bili popularniji, dok se danas mnogi fenomeni racunaju upotrebom 2D ili 3D simulacija (akustika pozorisne sale, strujanje vode u jezeru, itd.). Problem koji se javlja je kako uspostaviti relacije izmedju rezultata na modelu i prirode.

Figure 6.4: Objekat i geometrijski slican model

Da bi se mogli prenositi rezultati, model mora biti slican objektu. Slicnost znaci moguce preslikavanje nekog problema sa objekta na model. Sa objekta na model se prenose uslovi zadatka, a sa modela na objekat rezultati eksperimenata. Model je sve ono na cemu se nesto proucava, a objekat je ono na sta se proucavanja odnose. Postoje razne vrste modela, kao sto su matematicki, foto ili fizicki modeli. U ovom poglavlju se uglavnom govori o fizickim modelima. To su umanjene kopije objekata. Fluidom na modelu modelira se strujanje fluida na objektu (isti ili drugi fluid!). Postavlja se sledece pitanje: u kom odnosu treba da budu velicine na objektu i modelu? Taj odnos nam daje razmera, koja predstavlja odnos velicine na objektu i na modelu:

X* =  Xobjekat

Xmodel

Simbol * koristi kao simbol za razmeru.

Primer 6.3.0Ako je auto duzine 4.0 m (objekat), a njegov model duzine 0.5 m, kolika je razmera za duzine? Razmera za duzine je:

L* =  LO

LM

=  4.0

0.5= 8

Ako se model krece brzinom od 10 m/s. Kolika je brzina auta (objekta)? Razmera L*=8 vazi samo za duzine. Razmera za brzinu se nalazi na sledeci nacin:

V* =  VO

VM

=

 LO

TO

 LM

TM

=  LO

LM

· TM

TO

= L*  1

T*

Dakle, razmera za brzine je poznata, ali kolika ce bti brzina objekta? Koja je razmera za vreme T*? Prvo pravilo pri pravljenju modela je sledece: Razmere za dimenzionalne velicine se odnose kao dimenzije tih velicina. Dakle:

[V] =

 L

T

V* =  L*

T*

Drugo pravilo je: Bezdimenzionalne velicine se prenose na promenjive sa modela na objekat.

Primer 6.3.0Odrediti razmeru za zaustavni pritisak. Zaustavni pritisak se racuna kao:

p =  1

2V2

Razmera se odredjuje kao:

p* =

 1

2

* 

* V*2

Razmera za konstante je 1.0, pa je ( [ 1/2] )* = 1.0. Dobija se:

p* = * V*2

Ako se krece u avanturu pravljenje modela, koje uslove treba ispuniti da bi model "radio" korektno:

1. Slicnosti granicnih i pocetnih uslova

K0 = Idem 2. Pojam Idem znaci istovetno, ali je razlicit od pojma Const, jer mogu postojati funkcije

koje su istovetne, ali nisu konstantne.3. Slicnost materijalnih konstanti (Re, Fr, Ca, We ...)

Ako se trazi da model zadovolji sve konstante, onda se dobija da je model jednak objektu. Zato se moraju izabrati dominantni uticaji.

a. Slicnost inercijalnih uticaja ()

Gustina je osnovna velicina. Ako se za model obezbedi slicnost konturnih i pocetnih uslova, i ne postavljaju se zahtevi za slicnost sila, onde je slobodan izbor razmera za L*, V* i *. Najcesce se na modelu i objektu koristi isti fluid, pa je *=1.0 (ili se * 1.0 fiksira ogranicenjem izbora fluida), pa se kod inercijalne slicnosti slobodno biraju dve razmere.

Ako se pored inercijalne (geometrijske) slicnosti trazi i slicnost sila, onda je to dinamicka slicnost, pa se problem dosta komplikuje. Moraju da se uvedu i bezdimenzionalne fizicke karakteristike fluida (Re, We, Ca, Fr) koje u sebi nose odnos trazenih i inercijalnih sila. Dinamicka slicnost vezuje broj nezavisnih razmera, tako da svaki dodatni zahtev smanjuje za po jedan slobodne razmere.

b. Slicnost viskoznih uticaja ()

Kako je Re = [(V L)/()], zahteva se da je

Re* = 1.0 =  * V* L*

*

Ova slicnost se naziva Rejnoldsova slicnost.

c. Slicnost gravitacionih uticaja (g)

Kako je Fr = [(V2)/g L], zahteva se da je

Fr* = 1.0 =  V*

2

g* L*

g* = 1.0

Ova slicnost se naziva Frudova slicnost.

d. Slicnost za uticaj stisljivosti

e. Slicnost za uticaje kapilarnosti

Primer 6.3.0Slicnost za inercijalne i gravitacione uticaje (Froude-ova slicnost) Najcesce se koristi kod fenomena gde je tezina dominantna, kao sto su otvoreni tokovi i prelivi.

Fr =  V2

gL

Fr* = 1.0 =  V*

2

g* L*

g* = 1.0  V*

2

L*

= 1.0 V*2 = L*

Frudova slicnost vezuje izbor duzine i brzine, ali je izbor gustine fluida slobodan. Zadatak: Na modelu je izmeren proticaj QM. Koliko ce biti proticaj na objektu?

 QO

QM

= Q* QO = Q* ·QM

[Q] = [A V] = [L2 V]

Q* = A* V* = L*2 V*

Iz uslova da je Fr*=1.0 dobija se:

V* =  

L*

 Razmera za silu je:

[F] = [p A] = [g L ·L2]

F* = * g* L*3

g* = 1.0 F* = * L*3

Na modelu i objektu ne mora biti isti fluid.

Primer 6.3.0Da li moze postojati model koji ima isti odnos inercijalnih i viskoznih sila, kao i inercijalnih i graviatcionih, odnosno da li mogu biti istovremeno zadovoljeni uslovi Re*=1.0 i Fr*=1.0?

Fr* = 1.0 V*2 = L*

Re* = 1.0  * V* L*

*

= 1.0

* =  *

*

 V* L*

*

= 1.0

Ako je isti fluid (*=1.0), tada je *=1.0, pa iz Re*=1.0 se dobija da je:

V* L* = 1.0

V*2 = L*

V* =  1

L*

V* = 1.0

L* = 1.0

Dobija se da je model isti kao objekat, tako da na modelu i objektu mora biti razlicit fluid.

 V* L*

*

= 1.0

L* = V*2

 V* V*2

*

= 1.0 * = V*3

odnosno * = L*3/2.

Iz datog primera se vidi da kod Rejnoldsove slicnosti Re*=1.0 za isti fluid se dobija da je V* = [ 1/(L*)]. To znaci da sa smanjenjem modela rastu brzine. Ova cinjenica izaziva velike probleme pri modeliranju. Zato se cesto tok vode (O je voda) modeluje vazduhom na istom objektu (L*=1.0).

Primer 6.3.0(Ispitni zadatak - Jul '99) Na cevovodu se umesto vode ( = 1.0 kg/dm3, = 1.0 x 103 Pa·s) ispitivanja obavljaju vazduhom ( = 1.2 kg/m3, = 1.92 x 105 Pa·s). Ako je zadovoljena slicnost za inercijalne i viskozne uticaje, izmerena razlika pritisaka izmedju dva preseka na cevovodu pri merenjima sa vazduhom p = 1.0 kPa ce dati razliku pritisaka u radu sa vodom od p = ?

Iz uslova zadataka sledi da mora biti zadovoljena Rejnoldsova slicnost:

Re* = 1.0  * V* D*

*

= 1.0 V* =  *

* D*

Objekat je voda, dok je model vazduh, a geometrija je ista:

D* =  DO

DM

= 1.0

* =  O

M

=  1000

1.2= 833.33

* =  O

M

=  1.0 x 103

1.92 x 105= 52.0833

V* =  *

* D*

=  52.0833

833.33= 0.0625

Na cevovodu je izmerena razlika pritisaka od pM = 1.0 kPa.

p = Cp  1

2V2

p* = Cp*

 1

2

* 

* V*2 = * V*

2 = 833.33 x 0.06252

p* = 3.255 Pritisak na objektu ce biti:

p* =  pO

pM

pO = p* ·pM

pO = 3.255 x 1.0 = 3.255 kPa Kolika treba da bude brzina vazduha (model) da bi odgovaralo brzini vode od 1.5 m/s?

V* = 0.0625 =  VO

VM

VM =  VO

V*

=  1.5

0.0625= 24 m/s

Da li je mogla razmera za pritisak u prethodnom primeru da se odredi pomocu izraza p=g h? Nije mogla direktno da se odredi, jer razmera za gravitaciju g* 1.0 (Reynolds-ova slicnost ne uzima u obzir tezinu). Moguce je posredno odrediti g* iz brzinske visine:

 V*2

g*

= L* g* =  V*

2

L*

= 0.06252 = 0.003906

Sada je

p* = * g* L* = 833.33 x 0.003906 x 1.0 = 3.255 ili iz

g* =  L*

T*2 T* =

 L*

V*

=  1

0.0625

g* =

 1

 1

0.0625

2

 

= 0.06252 = 0.003906

File translated from TEX by TTH, version 3.31.On 21 Mar 2005, 18:38.