mehanika fluida skripta Šavar

7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

1/93


2/93

Sveuilite u ZagrebuFakultet strojarstva i brodogradnje

Zavod energetska postrojenja, energetiku i ekologiju

Katedra za mehaniku fluida

Mario avar - Zdravko Virag - Ivo Dijan

Mehan ika f luid a

Skripta predavanja

Zagreb 2014


3/93

Mehanika fluida I

Predgovor

Gradivo izneseno u ovoj skripti predstavlja dio materijala predavanja kolegija

Mehanika fluida koji se na Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Sveuilita u Zagrebu

predaje studentima smjerova: Mehatronika i robotika, Proizvodno strojarstvo, Raunalno

inenjerstvo, Industrijsko inenjerstvo i menadment. Skripta je prvenstveno namijenjena

za lake razumijevanje teoretskih izvoda koji su potrebni za razumijevanje osnovnih

jednadbi mehanike fluida. Nadamo se da e materijali dani u ovoj skripti omoguiti

studentima da lake prate predavanja, te da ta znanja kasnije lake usvoje. Svrha i cilj ove

skripte nije bio da zamjeni udbenike i knjige iz Mehanike fluida, ve je u njoj dan samo

materijal koji omoguuje studentima da kvalitetnije, preglednije i lake usvoje potrebna

znanja iz Mehanike fluida.

Koncept predavanja koji je iznesen u ovoj skripti rezultat je gotovo etrdeset godina

kontinuiranog nastavnog rada na Katedri za mehaniku fluida. Na ovome mjestu se elimo

zahvaliti naim uiteljima i prethodnicima prof. dr. Mladenu Fancevu i prof. dr. Zdravku

Dolineru, na ijem je konceptu predavanja formiran kolegij u dananjem obliku.

U Zagrebu, 06.02.2014.

Mario avar, Zdravko Virag, Ivo Dijan


4/93

Sadraj

Mehanika fluida II

SADRAJ

1. Uvod ................................................................................................................................ 1

1.1. Fluid ili tekuina ..................................................................................................... 11.2.

Osnovne dimenzije u mehanici fluida .................................................................... 1

1.3.

Hipoteza kontinuuma ............................................................................................. 1

1.4.

Sile u fluidu ............................................................................................................ 2

1.4.1. Masene sile .................................................................................................. 2

1.4.2. Povrinske sile............................................................................................. 2

1.4.3. Tenzor naprezanja (Dodatak) ..................................................................... 3

1.5.

Viskoznost fluida .................................................................................................... 4

2. Hidrostatika .................................................................................................................... 52.1.

Osnovna jednadba statike fluida........................................................................... 52.2. Promjena tlaka u mirujuem fluidu u polju sile tee.............................................. 62.3.

Hidrostatski manometri .......................................................................................... 7

2.4.

Sila tlaka na ravnepovrine.................................................................................... 8

2.5. Sila tlaka na zakrivljene povrine......................................................................... 12

2.6.

Sila uzgona ........................................................................................................... 13

3. Kinematika fluida ........................................................................................................ 15

3.1. Opis gibanja fluida ............................................................................................... 15

3.1.1.

Lagrangeov opis gibanja fluida ................................................................ 15

3.1.2. Eulerov opis gibanja fluida ....................................................................... 16

3.1.3.

Materijalna derivacija .............................................................................. 17

3.2. Strujnice ................................................................................................................ 18

3.3.

Trajektorije ........................................................................................................... 18

3.4.

Strujna povrina i strujna cijev............................................................................. 19

3.5. Protok ................................................................................................................... 20

3.6. Protok fizikalne veliine....................................................................................... 21

3.7. Leibnitzov teorem ................................................................................................. 22

3.7.1. Brzina promjene veliine volumena.......................................................... 22

3.7.2. Brzina promjene sadraja fizikalne veliine unutar volumena................. 233.8.

Materijalni volumen ............................................................................................. 23

4. Dinamika fluida ............................................................................................................ 244.1. Osnovni zakoni ..................................................................................................... 24

4.2. Zakon ouvanja mase........................................................................................... 25

4.3. Zakon ouvanja koliine gibanja.......................................................................... 254.4.

Zakon ouvanja momenta koliine gibanja.......................................................... 26

4.5. Zakon ouvanja energije...................................................................................... 27

4.6. Zakon produkcije entropije................................................................................... 27

5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida....... 285.1.

Koncept kontrolnog volumena ............................................................................. 28

5.2. Reynoldsov transportni teorem ............................................................................ 28

5.3. Jednadba kontinuiteta......................................................................................... 29

5.4. Jednadba koliine gibanja................................................................................... 30

5.4.1. Primjena jednadbe koliine gibanja za odreivanje sile fluida na platcijevi .......................................................................................................... 31

5.4.2.

Primjena jednadbe koliine gibanja za odreivanje sile mlaza fluida nalopatice ...................................................................................................... 33


5/93

Sadraj

Mehanika fluida III

5.5. Jednadba momenta koliine gibanja................................................................... 34

5.6. Bernoullijeva jednadba....................................................................................... 35

6. Primjena osnovnih jednadbi mehanike fluida......................................................... 406.1. Mjerenje brzine ..................................................................................................... 40

6.2.

Prandtl-Pitotova cijev ........................................................................................... 41

6.3.

Mjerenje protoka u strujanju kroz cijevi .............................................................. 42

6.3.1.

Venturijeva cijev........................................................................................ 42

6.3.2. Kavitacija .................................................................................................. 43

6.3.3.

Ejektor ....................................................................................................... 44

6.3.4. Istjecanje iz velikog spremnika ................................................................. 44

6.3.5. Gubitak utjecanja u veliki spremnik .......................................................... 45

6.3.6.

Sifon .......................................................................................................... 46

6.3.7. Maksimalna visina usisavanja pumpe ....................................................... 46

6.3.8.

Korekcije brzine i protoka pri istjecanju kroz otvore ............................... 46

6.3.9. Formula za izraunavanje vremena pranjenja posude........................... 476.4.

Ilustracija sadraja Bernoullijeve jednadbe

........................................................ 48

7. Dimenzijska analiza ..................................................................................................... 507.1.

Osnovna jednadba metrologije........................................................................... 507.2. Skup osnovnih i izvedenih fizikalnih jedinica ..................................................... 50

7.3.

Dimenziono nezavisan skup ................................................................................. 51

7.4. Backinghamov teorem (Pi-teorem) ...................................................................... 52

7.5. Nezavisni bezdimenzijski parametri (kriteriji slinosti)...................................... 55

7.6. Neki zavisni bezdimenzijski parametri ................................................................ 55

8. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na strujanje u hidraulikimstrojevima ..................................................................................................................... 61

8.1.

Osnovni zakoni u koordinatnom sustavu koji se giba pravocrtno brzinom u...... 61

8.2. Bernoullijeva jednadba za rotirajuu strujnu cijev............................................. 638.3.

Eulerova jednadba za turbostrojeve.................................................................... 638.4. Primjena na rotirajuu cjevicu............................................................................ 658.5.

Primjena na hidraulike strojeve.......................................................................... 678.5.1. Primitivna teorija propelera ..................................................................... 67

8.5.2.

Primjena na centrifugalni stroj ................................................................. 69

8.5.3. Primjena na Pelton turbinu ....................................................................... 72

8.5.4.

Primjena na aksijalni tubostroj ................................................................. 73

9. Hidrauliki proraun cjevovoda................................................................................. 779.1. Osnovne jednadbe............................................................................................... 779.2.

Modeliranje linijskih gubitaka .............................................................................. 77

9.3.

Modeliranje lokalnih gubitaka .............................................................................. 80

9.3.1. Veza meu faktorom brzine i koeficijentom lokalnog gubitka.................. 819.3.2.

Ekvivalentna duljina cjevovoda ................................................................ 81

9.4. Hidrauliki proraun cjevovoda nekrunog poprenog presjeka......................... 829.5.

Ilustracija modificirane Bernoullijeve jednadbe................................................. 839.6.

Postupci prorauna jednostavnih cjevovoda........................................................ 849.7. Energetske karakteristike pumpe .......................................................................... 85

9.7.1. Realna karakteristika hidraulikog stroja................................................ 85

9.7.2. Radna toka pumpe................................................................................... 869.7.3.

Zakoni slinosti......................................................................................... 869.7.4. Spajanje pumpi .......................................................................................... 87


6/93

Popis najvanijih oznaka

Mehanika fluida IV

POPIS NAJVANIJIH OZNAKA

Fizikalna veliina Oznaka Dimenzija Jedinica uSI sustavu

povrina poprenog presjeka A, S L mbrzina zvuka c LT- m/s

promjer D, d L m

sila F MLT- N

gravitacija g LT- m/s

volumenski modul elastinosti K ML- T- Pamaseni protok m MT

- kg/s

moment sile M ML T- Nm

snaga P ML T- W

tlak p ML- T- Pa

volumenski protok Q L T-

m /spotencijal masene sile U L T- m /s

specifina unutranja energija u L T- J/kgvolumen fluida V L m

brzina strujanja fluida v LT- m/s

rad sile W ML T- J

geodetska visina z L m

gustoafluida ML- kg/m

koeficijent kinematike viskoznosti L T- m /s

koeficijent dinamike viskoznosti ML- T- Pas

brzina vrtnje T-

rad/skoeficijent otpora trenja - -

naprezanje ML- T- N/m

kut - rad

PREPORUENA LITERATURA

Virag, Z.: Mehanika fluidaodabrana poglavlja, primjeri i zadaci, Sveuilite u Zagrebu,Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2002.

Fancev, M.: Mehanika fluida, Tehnika enciklopedija, 8, Hrvatski leksikografski zavod,Zagreb, 1982.

Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H.: Fundamentals of Fluid Mechanics, John

Wiley&Sons, Toronto, 1990.

White, F. M.: Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 2003.

Cengel, Y. A., Cimbala, J. M.: Fluid Mechanics Fundamentals and Applications,McGraw-Hill, 2006.


7/93

1. Uvod

Mehanika fluida 1

1.UVOD

Mehanika fluida je dio fizike koji se bavi gibanjem fluida i silama koje djeluju na fluid.

Mehanika fluida se dijeli na statiku fluida koja prouava ravnoteu fluida u mirovanju,kinematiku fluida koja se bavi zakonima gibanja fluida, i dinamiku fluida koja se bavisilama koje djeluju na fluid i gibanjima koje nastaju djelovanjem tih sila te interakcijama

izmeu vrstihtijela i fluida.

1.1. Fluid ili tekuina

Definicija fluida:Fluid je tvar koja se neprekidno deformira (tj. struji) pod djelovanjem ma

kako malog sminog naprezanja. Ova neprekidna deformacija naziva se strujanje.Iz definicije fluida slijedi:U fluidu u mirovanju nema sminih naprezanja.Fluid dijelimo:Fluide dijelimo s obzirom na veliinu deformacije kao posljedicu tlanognaprezanja na kapljevine i plinove

1.2. Osnovne dimenzije u mehanici fluida

Veliina Oznaka dimenzije Jedinica u SI sustavumasa M kg

duljina L mvrijeme T s

temperatura K

1.3. Hipoteza kontinuuma

Gledajui u mikroskopskom svijetu materija se sastoji od atoma i molekula, a ovi sesastoje od jo sitnijih estica. Gledajui iz makrosvijeta diskretna strukture se ne moematematiki opisati jer i vrlo mali volumen sadri jako veliki broj molekula (V = 10-3

mm3

Nplin=1015

Nkaplj=1018

) . Zbog toga se uvodi hipoteza kontinuuma po kojem fluidkontinuirano popunjava prostor, a sva fizikalna svojstva e biti definirana u svakoj tociprostora.

Definicija: Kontinuum je matematiki model materije prema kojem ona zadrava svojafizikalna svojstva pri smanjivanju volumena u toku. estica kontinuuma (materijalnatoka) ima infinitezimalni volumen dV, a svaka estica zauzimasamo jednu toku prostora,a u jednoj toki prostora se moe nalaziti samo jedna estica kontinuuma. Hipotezakontinuuma omoguuje primjenu integralnog i diferencijalnog rauna u mehanici fluida.

Primjer: Gustoa estice fluida se izraava derivacijomd

d

m

V,

3 3SIkg

ML ;m

.


8/93

1. Uvod

Mehanika fluida 2

1.4. Sile u fluidu

1.4.1. Masene sile

Masene sile su rasporeene po prostoru i djeluju na svaki element mase fluida. Silenisu posljedica fizikog dodira estica fluida nego su posljedica poloaja mase u poljumasene sile, Tipine masene sile su sila tea, inercijska sila, magnetska sila, centrifugalnasila itd.

Masene silesu posljedica poloaja mase u polju masene sile. ( f je specifina masena sila

= sila po jedininoj masi, 22SI

mLT ;

sf f )

Masena sila dFna esticu fluida:

d d dF f m f V

Sila Fna ukupni volumen V

d

V

F f V

2

SIMLT ; NF F

Primjeri: sila gravitacije: f gk

inercijske sile: f a

1.4.2.

Povrinske sile

Povrinske sile su sile dodira izmeu esticafluida ili izmeu estica fluida i stjenke.Definirane su specifinom povrinskom silom ilivektorom naprezanja ,

-1 2SI

ML T ; Pa .

Sila dFna elementarnu povrinu dS

d = dF S

Sila Fna ukupnu povrinu S

= d

S

F S

Za povrinske sile vrijedi III Newtonow zakon(princip akcije i reakcije), tj.

n n

(itaj vektor naprezanja na povrini orijentiranoj jedininim vektorom normale n jednak jepo veliini i suprotan po smjeru vektoru naprezanja na povrini orijentiranoj normalom

n ).

Slika uz definiciju masenih sila

O

z

y

x

df m

V

f

S

Slika uz definiciju povrinskih sila

O

z

y

x

V

n

dS


9/93

1. Uvod

Mehanika fluida 3

Povrinska specifina sila (vektor naprezanja) dijeli se na normalno naprezanje (tlak) itangencijalno naprezanje ( viskozno naprezanje)

tpn

p = tlak = normalno naprezanjet = viskozno naprezanje = tangencijalno n. (neki autori oznaavaju s )

1.4.3. Tenzor naprezanja (Dodatak)

Stanje naprezanja u toki prostora jednoznano jedefinirano tenzorom naprezanja. Komponente

tenzora naprezanja definirane su komponentama

triju vektora naprezanja koji djeluju na povrinamaorijentiranim normalama u smjeru osi koordinatnog

sustava, kao na slici. Svaki vektor naprezanja ima

jednu normalnu komponentu (okomitu na povrinu)i dvije tangencijalne (smine) komponente.

Tablini zapis komponenti tenzora naprezanja

xx xy xz

ji yx yy yz

zx zy zz

Prvi indeks oznauje redak, tj. smjer normale napovrinu, a drugi stupac odnosno pravac djelovanja

komponente tenzora naprezanja.

Tenzor naprezanja je simetrian ij ji (osim ako postoje maseni i povrinski momenti).

Veza izmeu vektora i tenzora naprezanja:(vektor naprezanja je projekcija tenzora naprezanja na smjer normale)

( ) ( )

( ) ( )

ji x xx y yx z zx

x xy y yy z zy x xz y yz z zz

n n n n n i

n n n j n n n k

Dogovor o predznacima naprezanja:

Pozitivna naprezanja na povrinama orijentiranim normalama u pozitivnom smjerukoordinatnih osi takoer gledaju u pozitivne smjerove tih osi i obrnuto, pozitivna

naprezanja na povrinama orijentiranim normalama koje gledaju u negativnom smjerukoordinatnih osi, takoer gledaju u negativne smjerove tih osi.

Povrinska sila (vektor naprezanja) za sluaj stanja tlanog naprezanja: tpn Sluaj Vektor naprezanja

- Realni fluid u gibanju

(postoje viskozne sile)

t

ji jin pn n pn

ji = tenzor viskozna naprezanja

p = tlak = normalno naprezanjet= viskozno naprezanje = tangencijalno n.

- Realni fluid u mirovanju ili

relativnom mirovanju- Idealni fluid (neviskozan)

jin pn

xx xy

xz yy

yz

yx

zz

zx zy

Slika uz definiciju komponenti

tenzora naprezanja


10/93

1. Uvod

Mehanika fluida 4

1.5. Viskoznost fluida

Viskoznost fluida je mjera otpora teenju fluida.Newtonov zakon viskoznosti

vAF

h

Generalizirani Newtonov zakon viskoznosti

xdvF

A dy

U newtonskim fluidima viskozna naprezanja su linearno razmjerna brzini deformacije

fluida. Koeficijent razmjernosti se naziva (dinamika) viskoznost fluida ,

1 -1ML T ; SI

Pa s . Viskoznost je fizikalno svojstvo fluida, i zavisi od

termodinamikog stanja fluida. Kod plinova s porastom temperature raste i viskoznost, akod kapljevina opada. Viskoznost pokazuje otpor fluida ka teenju.

Kinematika viskoznost 2

2 -1

SI

m L T ;

s,

.

Fluidi koji potuju zakonitostv

y

nazivaju se Newtonovski fluidi

x ydv x yd v y

t t

v y

y y

Smino ili tangencijalno naprezanje proporcionalno je gradijentu brzine odnosno brzinikutne deformacije ( u Hookovom zakonu smino naprezanje proporcionalna jedeformaciji).

v

F

Ah

dvx

dy

xv+v

v

d y


11/93

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 5

2.HIDROSTATIKA

Ako nema gibanja fluida sile u fluidu moraju

biti u ravnotei. Suma sila jednaka je nuli.

Ako nema gibanja fluida iz definicije fluidaslijedi da nama niti tangencijalnih sila

0 d dV S

F f V S

d dS=0tV S

f V pn

Uz zanemarenje viskoznih sila

d dS=0V S

f V pn

Primjenom formula Gauss-Ostrograskid dV=0

V V

f V p

2.1. Osnovna jednadba statike fluida

Osnovna jednadba gibanja za izraava ravnoteu masenih sila i sila tlaka za svakuelementarnu esticu fluida u mirovanju.

ili gradf p f p

Iz osnovne jednadbe statike imajui na umu svojstva gradijenta zakljuuje se:

1) Ako nema masenih sila ( 0f ) slijedi da je tlak p konstantan,

2) Tlak najbre raste u smjeru gradp tj. u smjeru masene sile, a najbre opada u smjerugradp tj. u smjeru suprotnom od masene sile,3) Budui da je gradp okomit na povrinu p=konst. promjena tlaka u okomitom smjeruna vektor masene sile je jednaka nuli. Drugim rijeima, vektor masene sile je okomit na

povrine konstantnog tlaka (izobare).Takoer vrijedi:4) Granica dvaju fluida u mirovanju poklapa se s izobarom, te je vektor masene sile u

svakoj toki okomit na razdjelnu povrinu,Vektor masene sile je usmjeren od razdjelne povrine prema fluidu vee gustoe,Na granici dvaju fluida tlak je neprekidan, ako se zanemare uinci povrinske napetosti.

S

Slika uz definiciju sile tlaka

O

z

y

x

V

n

dS

dV

fdV


12/93

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 6

2.2. Promjena tlaka u mirujuem fluidu u polju sile tee

Promjena tlaka izmeu dvije toke

(uz konst.

i konst.f

)Iz osnovne jednadbe statike sljedi:

/

x y z

x y z

f p dr

f dr p dr

p p pf i f j f k dxi dyj dzk i j k dxi dyj dzk

x y z

p p pf dx f dy f dz dx dy dz dp

x y z

2 1p p f r

ili

2 1 1 cosp p f r p f r

Iz svojstva skalrnog produkta je jasno da se pri odreivanju promjene tlaka moe ili putprojicirati na silu ili silu na put.

Oito je da ako se povea tlakp1u toki 1, da e se on poveati i u toki 2, odnosno u svimdrugim tokama, to je bit Pascalova zakona koji kae da se tlak narinut izvana na fluid umirovanju iri jednoliko u svim smjerovima.

Promjena tlaka u mirujuem fluidu u polju sile tee

0 0x y zf f i f j f k i j ( g )k (

2

9,80665 m/sg )

0 0p p gz p gh ili0 konst.

p pz

g g

gdjezoznauje visinu, h dubinu, a0

p tlak u ishoditu koordinatnog sustava.

SI

visina tlaka, L, m stupca fluida,p p p

g g g

piezometrika visina.p

zg

U fluidu u mirovanju piezometrika visina jekonstantna

Princip spojenih posuda

p0

p0

p0

g

. z=konst.

O

Ako homogena kapljevina miruje u viemeusobno spojenih posuda, tada eslobodne povrine otvorene premaistom atmosferskom tlaku

0p leati u

istoj izobari (za mirujui fluid to jehorizontalna ravnina).

1

2

r

f


13/93

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 7

2.3. Hidrostatski manometri

Apsolutni tlak se mjeri od apsolutne nule (100% vakuum).

Manometarski tlakpMje razlika apsolutnogpi atmosferskog tlakapa(mjeri se u odnosu na

atmosferski tlak)pM=p - pa.

Pozitivni manometarski tlak se naziva pretlak, a negativni podtlak.

Postupak za postavljanje jednadbe manometra (jednadbe promjene tlaka izmeu dvijutoaka koje se mogu meusobno spojiti kroz fluid)

Polazi se s tlakom u jednoj toki i tom se tlaku dodaju sve promjene tlaka oblika gh ,(idui od meniskusa do meniskusa) i to s pozitivnim predznakom ako se ide prema dolje, as negativnim ako se ide prema gore. Kada se doe do druge toke tako dobiveni izraz seizjednauje s tlakom u toj toki.

h2

h1

h0

A

B

1

2

0

Primjer diferencijalnog manometra:

-jednadba od toke B do toke A

B 2 2 0 0 1 1 Ap gh gh gh p

-jednadba od toke A do toke B

A 1 1 0 0 2 2 Bp gh gh gh p

Barometar

Barometar je hidrostatski manometar kojim se mjeri apsolutni atmosferski tlak.

pvtlak zasienja

pa st= 101325 Pa = 760 mmHg

[ C] pv Hg[Pa]0 0.021

40 0.8412ha

v

a

0

a a v

a a v v

a a

p gh p

p gh p p

p gh


14/93

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 8

2.4. Sila tlaka na ravne povrine

F p A0= 0

F p Ah= C

h

p0O

x

CH

y

x

A

hC

=konst.

p p gh= +0

n

C

H

y

g

yC=

sin

hC

0 0 0 0( ) sin( )

c

c

S S S S

y S

F pdS p gh dS p S g hdS p S g ydS p S gh S

2sin

xx

h c

S S

I

F y y g h ydS g y dS

2sin sinxx

c c c

I

g y S y y g I y S

c

Iy

y S

Sila0

F uslijed konstantnog tlaka0

p okomita je na ravnu povrinu A i djeluje u njenom

teitu, a po veliini je: 0 0F p A

Silah

F uslijed promjenjivog hidrostatskog tlaka hp gh okomita je na ravnu povrinu

A i djeluje u toki H, a po veliini je: C ChF p A gh A gdje je Ch dubina na kojoj se

nalazi teite C povrine A .Poloaj toke H je u odnosu na teite C povrine Adefiniran pomacima x i yza koje

vrijedi:C

I

yy A

iC

I

xy A

gdje je C C siny h udaljenost teita C od

slobodne povrine, mjereno u ravnini u kojoj se nalazi povrina (udaljenost OC premaslici), a I

i I

su glavni i centrifugalni moment inercije povrineAu odnosu na osi i

kroz teite, prema slici. Pomak x je za povrine s barem jednom osi simetrije jednaknuli (vidjeti kao primjer tablicu koja prikazuje podatke o centrifugalnom momentu inercije

I ).


15/93

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 9

Za vertikalno uronjenu povrinu prema slici vrijedi yC=hC. Za horizontalno uronjenupovrinu ( 0 ) Cy pa su prema gornjim izrazima x=y=0, te e sila hF djelovati uteitu povrine, kao i za sluaj konstantnog tlakap0.

A

F gh Ah= C

p0O

C

H h

y hC C=

g

A

F gh Ah= C

p0

C

hC

g

Momenti Mx i My sile hidrostatskog tlaka u odnosu na teite C povrine ne zavise oddubine na kojoj se teite nalazi

h C

C

sinxI

M F y gh A gIy A

h C

C

sinyI

M F x gh A gIy A


16/93

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 10

Geometrijska svojstva nekih povrina

Geometrijski lik Povrina I I I

b/2 b/2

a

C

A ab 3

12ba

3

12ab 0

CR

2A R 4

4

R

4

4

R 0

C

R R

4R3

21

2A R 40 1098, R 40 3927, R 0

C

b+d3

a3

d

b

a

2

abA

3

36

ba

2

272

bab d

R

4R3

4R3 C

R

21

4A R 40 05488, R 40 05488, R 40 01647, R


17/93

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 11

Poloaj rezultantne sileFR=Fh+F0za sluaj istosmjernih i mimosmjernih silaF0iFh.

F0

Fh

+F0FhFR=

y

yR

C

H

y yR=+F0Fh

Fh

a) istosmjerne sile

F0

Fh -F0FhFR=

y

y

R

C

H y yR=

-F0Fh

Fh

b) mimosmjerne sile

Fiktivna slobodna povrina

Ako je tlak s obje strane povrine isti (sluaj otvorenog spremnika), sile konstantnog tlakase ponitavaju. Za sluaj zatvorenog spremnika rezultatntna sila konstantnog tlaka se

rauna s manometarskim tlakom M0p u spremniku. Raunanje sile konstantnog tlaka (usluaju da je povrina potpuno uronjena u fluid) moe se izbjei uvoenjem fiktivneslobodne povrine. Fiktivna slobodna povrina je udaljena od stvarne slobodne povrine zavisinu manometarskog tlaka f M0h p g (za sluaj pretlaka je iznad, a za sluaj podtlaka

ispod stvarne slobodne povrine).

Fiktivna slobodna povrina se moe uvesti i za sluaj mirovanja dvaju fluida razliitihgustoa prema slici.

pa

pa

C

A

g

h hf = 1

h1

1

fiktivnaslobodnapovr ina

p p gh g h h= + + ( - )a 0 1 1

p p gh= +a

O

p p gh= +a 0

p ghM0 0=

0


18/93

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 12

2.5. Sila tlaka na zakrivljene povrine

Sila tlaka na zakrivljenu povrinu se razlae na komponente u smjerovima osi. Zakrivljenapovrina Sse projicira na koordinatne ravnine. Projekcija povrine je pozitivna ako je kutizmeu vektora normale i pozitivnog smjera osi manji od 90 (fluid je ispred povrine Sgledano iz pozitivnog smjera osi).

y

z

Sz

O

h z= -

x

Cy

x

z

Hy

hyx

hyh

hy

slobod

napov

r ina

Vd = dV h Sz

dSz

dS

n

S z

hHx hxh

hxy

g

Sx

Cx

Sy

hx

Izrazi za komponente 0xF ,

0

yF , 0

zF sile0F uslijed konstantnog tlaka

0

x 0 xF p S ;0

y 0 yF p S ;0

z 0 zF p S

Izrazi za horizontalne komponente Fx i Fy sile uslijed promjenjivog hidrostatskog tlaka

hp gh i za pomake hvatita tih komponenti u odnosu na teita projekcija su:

Cx x x x xF p S gh S Cy y y y yF p S gh S

xh

x x

Ih

h S

yh

y y

Ih

h S

xy

x x

Ih

h S

yx

y y

Ih

h S

Vertikalna komponenta Fz sile hidrostatskog tlaka na povrinu Sje po veliini jednakateini fluida koji se nalazi u volumenu V izmeu povrine S i slobodne povrine. Sila Fz

prolazi teitem volumena V. Predznak komponente sile Fz ovisi opredznaku projekcije Sz, te se moe pisati da je

zF gV

Negativni predznak se odnosi na sluaj pozitivne projekcije povrine Sz (fluid je iznadpovrine S), a pozitivni predznak za sluaj negativne projekcije Sz(fluid je ispod povrineS).


19/93

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 13

Primjer: Vertikalna i horizontalna komponenta sile na zakrivljenu povrinu ABDEF(prema slici) irineB(okomito na ravninu slike). Fluid je oznaen sivom bojom, a toke G,H i I su na slobodnoj povrini.

A

B B B

D DE EF F

V

H HI I GG

+=

Vertikalna komponenta jednaka je po veliini teini fluida u osjenanom volumenu V,

djeluje prema dolje i prolazi teitem tog volumena. Na dijelu povrine BDEF fluid jeiznad povrine, te sila djeluje prema dolje, a po veliini je jednaka teini fluida u volumenuBDEFIGB. Na dijelu povrine AB fluid je ispod povrine pa sila djeluje prema gore, a poveliini jejednaka teini fluida u volumenu AHGBA.Horizontalne komponente sile tlaka na dijelovima povrine EF i ED se meusobno

ponitavaju. Projekcija povrine s kojom se rauna horizontalna sila tlaka je dakle jednakaumnoku visine AD sa irinomBpovrine.

2.6. Sila uzgona

Sila uzgona je rezultat djelovanja sila tlaka po povrini tijela uronjenog u fluid. Sila uzgonaje jednaka teini fluida istisnutog tijelom (teini istisnine), djeluje vertikalno u vis i prolaziteitem istisnine.

m


20/93

2. Hidrostatika

Mehanika fluida 14

Sila uzgona na granici dvaju f luidaSlika prikazuje sluaj plivanja tijela mase m , gustoe

0 na razdjelnoj povrini dvaju

fluida gustoa 1 i 2. Toke C1 i C2su teita volumena istisnine V1 i V2, a T je teite

tijela.

Fb1

Fb2

V1

V2C2

0

1

mg

g

T

SilaFbuzgona je zbroj b b1 b2 1 1 2 2F F F gV gV

Uvjet plivanja (ravnotee) je da su rezultantna sila (tj. bF mg ) i rezultantni moment na

tijelo jednaki nuli (tj. suma momenata sila b1F i b2F u odnosu na teite tijela mora biti

jednaka nuli). Jasno je da vrijedi 2 0 1 . Za sluaj 2 1 sila b2F se zanemaruje.


21/93

3. Kinematika fluida

Mehanika fluida 15

3.KINEMATIKA FLUIDA

Kinematika fluida je dio fizike koji se bavi gibanjem fluida.

Prema hipotezi kontinuuma vrijedi pravilo da svaka estica fluida (materijalna toka)zauzima samo jednu toku prostora, a u jednoj toki prostora se moe nalaziti samo jedna

estica kontinuuma.

3.1. Opis gibanja fluida

3.1.1. Lagrangeov opis gibanja fluida

Poloaji toaka prostora i poloaji estica fluida opisuju se radijus vektorom r (ije sukomponente prostorne ili Eulerove koordinatex, y, z). U apsolutnom koordinatnom sustavu

poloaj toke prostora je stalan u vremenu (prostorne koordinate x, y, z nisu funkcije

vremena), a poloaj gibajue estice fluida se mijenja s vremenom, to znai dakomponente radijus vektora r(vektora poloaja) koje opisuju poloaj estice fluida jesufunkcija vremena. Gibanje estice definirano je vremenskom promjenom njena vektora

poloaja u obliku ( )r r t (jednadba gibanja estice fluida).

Brzina estice fluida jest vremenska derivacija vektora poloaja ( )v r t (tokica oznaujevremensku derivaciju), a ubrzanje estice fluida jest vremenska derivacija brzine

( ) ( )a v t r t .

Materijalni volumen se sastoji od beskonanog broja estica fluida, a koje su to esticedefinirano je uoenom konfiguracijom 0M tV u poetnom vremenskom trenutku 0t . Za

potrebe opisa njihova gibanja nuno ih je razlikovati. S obzirom da se u jednoj tokiprostora moe nalaziti samo jedna estica fluida, estice e se razlikovati po poloaju kojegzauzimaju u poetnoj konfiguraciji. Za koordinate poetnog poloaja estica fluida seuvodi posebna oznaka 0 0( )r r t i te se koordinate nazivaju materijalnim ili Lagrangeovim

koordinatama. Jasno je da su materijalne koordinate vremenski nezavisne.

0t

0 0( )r r t

0( , )r r t

O

VM

(t)

A

A

tVM(t0)

x

y

z0( , )r r r t


22/93


Mehanika fluida 16

Gibajui materijalni volumen e u trenutku tzauzeti novi poloaj, a budui da se radi omaterijalnom volumenu u tom trenutku e se u njemu nalaziti iste estice koje su u njemu

bile i u trenutku0

t . Na primjer estica A koja je u poetnoj konfiguraciji bila na poloaju

definiranom koordinatama0r , e u trenutku tbiti u toki s koordinatama r. Jasno je da e

vrijednosti koordinatax, y, zzavisiti i od vremena i od toke u poetnoj konfiguraciji, takoda vrijedi

0 ,r r r t , odnosno

1 0 0 0

2 0 0 0

3 0 0 0

, , ,

, , ,

, , ,

x x y z t

y x y z t

z x y z t

Gornje jednadbe opisuju vremenski promjenljivi poloaj one estice fluida koja je utrenutku

0t bila na poziciji opisanoj vektorom poloaja

0r . Mijenjajui vektor

0r dobivaju

je jednadbe gibanja razliitih estica materijalnog volumena.Brzina estice fluida jest vremenska derivacija vektora poloaja

0

00

konst.

( , ) D( , )

Dr

r r t rv r t

t t

U mehanici se ona naziva materijalnom derivacijom, a zbog posebne vanosti se oznauje

sD

Dt. Materijalnom derivacijom se izraava vremenska promjena fizikalnog svojstva

estice fluida, onako kako bi to osjeao promatra koji se giba zajedno s estico m. Gornjiizraz opisuje promjenjivu brzinu estice fluida izraenu Lagrangeovim koordinatama.Promjenom koordinata

0r dobiju se brzine razliitih estica materijalnog volumena.

Ubrzanje estice fluida jest materijalna derivacija brzine

0

0

0konst.

( , ) D( , )

Dr

v r t va r t

t t

Ponovo se promjenom Lagrangeovih koordinata dolazi do ubrzanja razliitih esticakontinuuma, u bilo kojem trenutku.

U Lagrangeovom opisu strujanja fluida se funkcijama Lagrangeovih koordinata i vremena

mogu opisati i druga fizikalna svojstva estica fluida. Ako se sa oznai neko fizikalnosvojstvo kontinuuma (gdje za moe stajati skalarno fizikalno svojstvo poput gustoe itemperature, vektorsko poput poloaja, brzine i ubrzanja ili tenzorsko svojstvo), openitose moe pisati:

L

0 ,r t

Rijeima bi se reklo da gornja jednadba opisuje vremensku promjenu fizikalnog svojstva

estice 0r . Nadindeks L u oznaci funkcije ukazuje da je fizikalno svojstvo izraenoLagrangeovim koordinatama.

3.1.2. Eulerov opis gibanja f luida

U mehanici fluida se uglavnom koristi Eulerov opis strujanja fluida, koji se temelji na

poljima fizikalnih veliina. Ako se svakoj toki prostora u svakom vremenskom trenutkupridrui fizikalno svojstvo one estice fluida koja se u promatranom trenutku nalazi upromatranim tokama prostora dobije sepolje fizikalne veliine izraeno prostornim


23/93


Mehanika fluida 17

(Eulerovim) koordinatama

E ,r t Za polje koje nije funkcija vremena kae se da je stacionarno, inae je nestacionarno.Vezu meu Lagrangeovim i Eulerovim opisom nekog fizikalnog svojstva u strujanju fluidadefiniraju inverzne jednadbe gibanja1:

0 0

0 0

0 0

, , ,

, , ,

, , ,

x x x y z t

y y x y z t

z z x y z t

ili krae 0 0 ,r r r t

Gornje jednadbe daju poetni poloaj (u trenutku 0t ) one estice fluida koja se u trenutku

tnalazi na poziciji definiranoj prostornim koordinatama r. Uvrtavanjem gornjeg izraza uLagrangeov zapis fizikalnog svojstva slijedi Eulerov zapis polja

L E E0 0, ( , ), ,r t r r t t r t Bez obzira to su fizikalna svojstva izraena prostornim koordinatama jasno je da su

nositelji fizikalnih svojstava estice fluida, a ne toke prostora. U tokama prostora ukojima nema estica fluida polje fizikalne veliine nije definirano.

3.1.3. Materi jalna deri vacija

Materijalna derivacija izraava brzinu promjene fizikalnog svojstva estice fluida, tj.promjenu koju bi osjetio promatra koji bi se gibao zajedno s esticom. Za fizikalnosvojstvo zapisano Lagrangeovim koordinatama ona je definirana kao

0

L

0

konst.

,

r

r tD

Dt t

Materijalna derivacija istog tog fizikalnog svojstva zapisanog u Eulerovim koordinatama

glasiE

E E

konst.

konst.

D ( , )( , ) ( , )

D t

r

r tv r t r t

t t

Prvi lan desne strane gornjeg izraza oznauje lokalnu promjenu fizikalnog svojstva, kojubi osjetio promatra u fiksnoj toki prostora, dok drugi lan desne strane oznaujekonvektivnu ili prijenosnu brzinu promjene fizikalnog svojstva, uslijed pomicanja esticefluida u polju . Isputajui oznaku E za Eulerovo polje i izbjegavajui eksplicitnonavoenje zavisnosti polja od prostornih i vremenske koordinate, gornji izraz urazvijenom obliku poprima oblik:

lokalnakonvektivna promjena

promjena

D

D x y zv v v

t t x y z

Mogue je definirati i operator materijalne derivacije, koji glasi:D

Dv

t t

Gdje umjesto oznake moe stajati skalarno, vektorsko ili tenzorsko polje izraeno ufunkciji prostornih koordinata i vremena.

1Nuan i dovoljan uvjet za postojanje inverzne funkcije je daje determinanta 0/r r razliita od nule i

konana.


24/93


Mehanika fluida 18

Dok se u Lagrangeovom opisu strujanja fluida polazi od jednadbi gibanja (ijim sederiviranjem dolazi do brzine i ubrzanja), u Eulerovom se opisu polazi od polja brzine (jer

se polje brzine pojavljuje u operatoru materijalne derivacije).

3.2.

Strujnice

Strujnice su zamiljene krivulje kojima se u svakoj toki smjer tangente poklapa sasmjerom vektora brzine. Na strujnicama se ucrtava smjer strujanja kao to prikazuje slika.Za nestacionarno polje brzine, slika strujnica se mijenja od trenutka do trenutka, pa se slika

strujnica odnosi na jedan izabrani vremenski trenutak, npr. t=t1. Poto se pravac vektorabrzine poklapa s tangentom na strujnicu, usmjereni element luka strujnice dr je paralelan

vektoru brzine v , te je njihov vektorski produkt jednak nuli, odnosno omjer pripadajuihkomponenti im je jednak, tako da vrijedi:

1 1 1

d d d( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x y z

x y zv x y z t v x y z t v x y z t

Osnovno svojstvo strujnica je da se one ne mogu presijecati, jer bi to znailo da u tokipresjeka vektor brzine ima dva razliita smjera, to je nefizikalno. Izuzetak ine tokezastoja u kojima je brzina jednaka nuli.

3.3. Trajektorije

Trajektorija je prostorna krivulja koju svojim gibanjem opisuje estica fluida. Jednadbegibanja estice fluida zapisane u Lagrangeovim koordinatama oznauju parametarski zapisjednadbe trajektorije. U Eulerovom opisu strujanja, gdje se polazi od polja brzine, dojednadbe trajektorija se dolazi, polazei od definicije brzine estice kontinuuma. Ako jedr usmjereni infinitezimalni element puta kojeg prevali estica kontinuuma gibajui se posvojoj trajektoriji za infinitezimalno vrijeme dt, tada za taj usmjereni element luka

trajektorije, iz same definicije brzine slijedi: d ( , )dr v r t t , to se moe prikazati i u oblikusustava diferencijalnih jednadbi:

d d dd

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x y z

x y zt

v x y z t v x y z t v x y z t

ijim se rjeavanjem uz poetne uvjete za t=t0, 0 0r t r , dolazi do jednadbi trajektorija.

Krivulja obiljeenih estica u danom vremenskom trenutku spaja sve estice fluida koje suprole zadanom tokom prostora.U stacionarnom strujanju trajektorije, strujnice i krivulje obiljeenih estica se poklapaju.


25/93


Mehanika fluida 19

Vektori brzine za strujanje u blizini tokezastoja

Slika strujnica za strujanje u blizini tokezastoja

Slika strujnica pri optjecanju cilindra Slika strujnica za sluaj naglog proirenja

3.4. Strujna povrina i strujna cijev

Strujna povrina je sastavljena od strujnica kojeprolaze tokama neke krivulje C.Vektor brzine je tangencijalan na povrinu

0v n , pa kroz strujnu povrinu nema protoka

d 0S

Q v n S .


26/93


Mehanika fluida 20

Ako je krivulja C zatvorena, strujna povrinaprelazi u plat strujne cijevi, kroz kojeg nemaprotoka fluida, kao i kroz plat neke fizikecijevi.

Ako je povrina poprenog presjeka cijevi dS

infinitezimalna, govori se o elementarnojstrujnoj cijevi. U graninom prijelazu d 0S elementarna strujna cijev prelazi u strujnicu.

3.5. Protok

Volumenski protok ili jednostavno protok Q jest volumen estica fluida koje u jedininomvremenu prou kroz promatranu povrinu Sorijentiranu jedininim vektorom normale n .Ako se estice fluida gibaju brzinom v , a toke povrine brzinom u , tada je relativna

brzina gibanja estica fluida u odnosu na povrinu w v u , a protok Q je definiranizrazom

d dS S

Q w n S v u n S .

Primjer 1: Protok kroz mirujuu povrinu ( 0u ) je

prema opoj formuli dSQ v n S .estica fluida T se u trenutku tnalazi na povrini dS , au trenutku t+dte zauzeti novi poloaj u prostoru, priemu e prevaliti put dv t, odnosno svojim gibanjemopisati kosu prizmu, kojoj je visina jednaka projekciji

vektora puta na smjer normale d dh n v t . Volumenestica fluida koje u vremenu dtprou kroz povrinudS jednak je volumenu prizme

d d d d dV S h v n S t . Elementarni protok krozpovrinu dS jednak je po definiciji omjeru volumena

dV i vremena dt, tj. dd = dd

VQ v n S t

, a ukupni

protok kroz povrinu S jednak je zbroju svih elementarnih protoka, to se opisuje

integralom dS

Q v n S .

Poseban sluaj (brzina okomita na ravnupovrinu)

d dA A

Q v n A v A

Brzina je okomita na ravnu povrinu ikonstantna

dA

Q v A vA

Mirujuapovrina S

n

dS

T(t)dv t

T(t+dt)


27/93


Mehanika fluida 21

vdA

vA

Primjer 2: Protok kroz povrinu koja se giba brzinomu u mirujuem fluidu ( 0v ) je prema opojformuli d

S

Q u n S .

Gibanjem povrine S, element dS opisuje kosuprizmu kojoj je duljina brida du t, a volumen

d d dV u n S t . Dakle gibanjem povrine Smirujue estice fluida prelaze s desne na lijevustranu povrine, pa gledano relativno u odnosu na

povrinu to je isto kao da je povrina mirovala, aestice brzinom u prolazile kroz povrinu. Zato je

protok definiran izrazom dS

Q u n S .

Primjer 3: Protok kroz materijalnu povrinu ( u v )

d 0S

Q v u n S . Jasno je da kroz materijalnu povrinu nema protoka estica fluida

jer se ona sastoji stalno od jednih te istih estica.

3.6. Protok fizikalne veliine

estice fluida osim volumena imaju masu, energiju, koliinu gibanja, itd. Prolaskomestice fluida kroz neku povrinu, ona pronosi fizikalne veliine, pa se govori o protocima:volumena (to je gore definirano jednostavno kao protok), mase, energije, koliine gibanjai sl. Ako se sa F oznai fizikalna veliina, a sa volumensku gustou te fizikalneveliine, koja je definirana izrazom

0

d

dVlim

V V

F F,

odnosno sadraj fizikalne veliine unutar estice fluida (unutar infinitezimalnog volumenadV ) jest d dVF = , a sadraj te fizikalne veliine unutar odreenog volumena V jedefiniran integralom

dV

VF =

Primjeri: F = 1V ; F = m ; F = mv v ,

2 21 1F =2 2

mv v

Dakle za sluaj gibajue povrine u gibajuem fluidu, volumenski protok kroz elementarnupovrinu dS e biti d dQ v u n S , a protok fizikalne veliine pronesene kroz tu

povrinu je Fd dQ v u n S , odnosno protok fizikalne veliine kroz ukupnu povrinu

Gibajua povrina S

dSS(t+dt)

n S(t)

du t


28/93


Mehanika fluida 22

je

F dS

Q v u n S

Primjeri:

Maseni protok: dmS

Q m v u n S ; 1

SIMT , kg/sm m . Za sluaj mirujue

povrine: dS

m v n S . Za konst. vrijedi m Q .

Teinski protok dGS

Q G g v u n S ;3

SIMLT , N/sG G . Za sluaj

mirujue povrine: dS

G gv n S . Za konst. i konst.g vrijedi G mg gQ .

Protok koliine gibanja: KG dS

Q v v u n S ; 2

KG KG SIMLT , NQ Q . Za sluaj

mirujue povrine: KG dS

Q v v n S . (Protok koliine gibanja je vektorska veliina!)

Protok kinetike energije: 2EK1

d2

S

Q v v u n S ; 2 3

EK EK SIML T , WQ Q .

3.7. Leibnitzov teorem

3.7.1.

Brzina promjene veliine volumena

Opi sluaj volumena Vija se granica Sgiba brzinom u

Brzina promjene volumena je po definiciji

ddd d

V t t V t V

t t

, a element povrine

dS opisuje element volumena

( ) d dd dV u n t S , to integrirano popovrini S daje razliku volumena

dV t t V t , te je konano:

dd d

dS V

Vu n S u V

t .

Gibajua povrina S

dSS(t+dt)

n

S(t)

du t

V(t+dt)V(t)


29/93


Mehanika fluida 23

3.7.2. Brzina promjene sadraja fizikalne veliine unutar volumena

0( ) ( ) ( )

0( ) ( ) ( ) ( )

0( ) ( )

1lim ( , ) ( , )

1lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

1lim ( , )

tV t V t t V t

tV t V t V t t V t

tV t V t t V

ddV r t t dV r t dV

dt t

r t t dV r t dV r t t dV r t t dV t

dV r t t dV t t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )t V t S t V t V t

dV u ndS dV u dV t t

a) Opi sluaj gibajueg volumena

lokalna promjena promjena uslijedgibanja volumena

dd d d d

dV V S V

V V u n S u V t t t

b) Materijalni volumen ( u v ,d D

d Dt t )

M M M M

Dd d d d

DV V S V

V V v n S v V t t t

c) Mirujui volumen ( 0u )d

d ddV V

V Vt t

3.8. Materijalni volumen

Materijalni volumenM

V (fluidno tijelo) je uoeni dio prostora ispunjen fluidom koji setijekom gibanja sastoji stalno od jednih te istih estica. Materijalni volumen je od okolineodijeljen materijalnom povrinom MS koja se takoer sastoji stalno od jednih te istih

estica. Jasno je da je brzina gibanja materijalne povrine jednaka brzini gibanja esticafluida, koje ine materijalnu povrinu.U opem sluaju materijalni volumen tijekom gibanja mijenja svoj poloaj, oblik iveliinu, pa je za opis njegova gibanja, potrebno opisati gibanje svake njegove estice.

Nema protoka kroz materijalnu povrinu ( v u ). Brzina promjene sadraja fizikalneveliine za materijalni volumen jednaka je

( ) ( ) ( )M M MV t V t S t

DdV dV v ndS

Dt t


30/93

4. Dinamika fluida

Mehanika fluida 24

4.DINAMIKA FLUIDA

Dinamika fluida je dio mehanike fluida koji se bavi silama koje djeluju na fluide,

gibanjima koja nastaju djelovanjem tih sila i interakcijama izmeu vrstih tijela i fluida u

gibanju

Materijalni volumen (fluidno tijelo) je ekvivalentno sustavu materijalnih toaka umehanici, te zatvorenom termodinamikom sustavu u termodinamici, pa e svi zakonimehanike i termodinamike biti direktno primjenjivi i na materijalni volumen.

U mehanici su definirani Newtonovi zakoni gibanja, od kojih se drugi Newtonov zakon,

moe zapisati u obliku zakona koliine gibanja, zakona momenta koliine gibanja ilizakona kinetike (mehanike) energije, a u termodinamici su definirani prvi zakontermodinamike (zakon ouvanja energije) i drugi zakon termodinamike. Svi su ti zakoni,kao i zakon ouvanja mase, osnovni za klasinu fiziku pa tako i za mehaniku fluida.

U termodinamici se uvodi koncept topline, unutarnje energije i entropije, a radni medij je

uglavnom plin, kojemu se djelovanjem sile tlaka moe mijenjati volumen. Za smanjivanjevolumena plina unutar termodinamikog sustava (kada se govori o kompresiji), potrebno jeulagati mehaniki rad, a pri irenju plina (ekspanziji) plin vri rad u odnosu na okolinu. U

procesima pri konstantnom volumenu korisni mehaniki rad jednak je nuli.

Osim tlanih sila u sustavu djeluju i sile trenja (u fluidu su to viskozne sile). Budui su siletrenja uvijek suprotne pomaku, njihovim se djelovanjem uvijek mehanika energija

pretvara u unutarnju, a nikad obrnuto. Iz reenog se zakljuuje da se u sustavima s

konstantnim volumenom ne moe poveati mehanika energija na raun unutarnje. Zato seu mehanici krutog tijela (sustava materijalnih toaka, kojima je volumen konstantan) nerazmatraju termodinamiki zakoni, odnosno unutarnja energija, jer se iz unutarnje energijene moe dobiti mehanika energija, odnosno ne moe se djelovati na gibanje tijela. Umehanici se rad sila trenja, kojim se mehanika energija (zbroj kinetike i potencijalneenergije) pretvara u unutarnju oznauje kao gubitak mehanike energije (jer je jasno da jeta pretvorba jednosmjerna).

4.1. Osnovni zakoni

Dinamika fluida bazirana je na pet osnovnih zakona koji su definirani za materijalni

volumen:1. Zakon ouvanja mase2. Zakon ouvanja koliine gibanja3.

Zakon ouvanja momenta koliine gibanja4. Zakon ouvanja energije5.

Zakon produkcije entropije


31/93

4. Dinamika fluida

Mehanika fluida 25

4.2. Zakon ouvanja mase

Materijalni volumen se tijekom gibanja sastoji stalno od jednih te istih estica fluida, toznai da mu je masa konstantna, to se moe izraziti rijeima: Brzina promjene masematerijalnog volumena jednaka je nuli tj. matematiki:

M

Dd 0

DV

Vt

4.3. Zakon ouvanja koliine gibanja

Definicija zakona ouvanja koliine gibanja za materijalni volumen:Brzina promjene koliine gibanja materijalnog volumena jednaka je zbroju vanjskih sila(masenih i povrinskih) koje djeluju na materijalni volumen.

Matematiki zapis zakona ouvanja koliine gibanja za materijalni volumen:

U strujanju fluida u polju masene

sile f uoen je materijalni

volumenMV koji je od okolnog

fluida odijeljen materijalnom

povrinom MS . Na svaku esticu

fluida djeluje elementarna masena

sila df V , a na svaki djeli

povrine MS elementarna

povrinska sila dS , pri emu jevektor naprezanja definiran s

pomou tenzora naprezanjarelacijom jin . Koliina

gibanja estice fluida je dv V .

M M M M M

M M M

Brzina promjene ukupna masena ukupna povrinskakoliine gibanja sila na sila na

Dd d d d d

D ji

V V S V S

V V V

v V f V S f V n S

t

SM

Slika uz definiciju zakona koliine gibanja

O

z

y

x

V

n

dS

f

dS

df V

dm=dV

v


32/93

4. Dinamika fluida

Mehanika fluida 26

4.4. Zakon ouvanja momenta koliine gibanja

Definicija zakona ouvanja momenta koliine gibanja zamaterijalni volumen:Brzina promjene momenta koliine gibanja materijalnog volumena jednaka je zbrojumomenata vanjskih sila (masenih i povrinskih) koje djeluju na materijalni volumen2.

Matematiki zapis zakona ouvanja momenta koliine gibanja za materijalni volumen:



volumenMV koji je od okolnog



fluida djeluje elementarna

masena sila df V . Udaljenost

estice fluida od ishodita jedefinirana radijus vektorom r,

ije su komponente x, y, z, amoment masene sile u odnosu na

ishodite koordinatnog sustava je

dr f V . Na svaki djeli

povrine MS djeluje elementarna

povrinska siladS , pri emu je vektor naprezanja definiran s pomou tenzora naprezanja relacijom

ijn . Moment elementarne povrinske sile u odnosu na ishodite je dr S.

Moment koliina gibanja estice fluida je dr v V .

M M M M M

M M M

Brzina promjene momenta ukupni moment masenih ukupni moment povrinskihkoliine gibanja sila na sila na

Dd d d d d

D ij

V V S V S

V V V

r v V r f V r S r f V r n S t

2 Pretpostavlja se da u fluidu nema momenata raspodijeljenih po materijalnom volumenu ili materijalnoj

povrini.

Slika uz definiciju zakona momenta koliine gibanja

SM

O

z

y

x

V

n

dS

f

dS

df V

dm=dV

v

r

r


33/93

4. Dinamika fluida

Mehanika fluida 27

4.5. Zakon ouvanja energije

Definicija zakona ouvanja energije za materijalni volumen:Brzina promjene energije materijalnog volumena jednaka je zbroju snaga vanjskih sila

(masenih i povrinskih) koje djeluju na materijalni volumen i brzini dovoenja topline.

Matematiki zapis zakona ouvanja energije za materijalni volumen:



volumenM

V koji je od okolnog



fluida, kojoj je ukupna energija

de V , djeluje elementarnamasena sila df V , a snaga te sile

je df v V . Na svaki djeli

povrineM

S elementarna

povrinska sila dS , a njenasnaga je dv S, pri emu jevektor naprezanja definiran

zbrojem tlanih i viskoznih silafpn .

Povrinske sile koje djeluju po materijalnoj povrini su za materijalni volumen vanjske sile(sile dodira izmeu estica materijalnog volumena i okoline. Ukupna energija de V estice

fluida definirana je kao zbroj unutranje du V i kinetike energije2

d2

vV

2

2

ve u

.

Kroz svaki djeli povrine MS prolazi toplinski tok definiran vektorom gustoe toplinskog

toka q . Matematiki zapis zakona je:

M M M M M

MM M

M

2

Brzina promjene energije snaga masenih snaga vanjskih brzina dovoenjasi la na povrinskih topline nasila na

D Dd d d d d

D D 2V V V S S

V V VV

ve V u V f v V v S q n S

t t

4.6. Zakon produkcije entropije

Definicija zakona produkcije entropije (II zakon termodinamike) za materijalni volumen:

Produkcija entropije materijalnog volumena vea je ili jednaka nuliD

0D

M MV S

q nsdV dS

t T

gdje je produkcija entropije,sentropija, a Tapsolutna temperatura.

SM

Slika uz definiciju zakona ouvanja energije

O

z

y

x

V

n

dS

f

dS

df V

dm=dV

v dS

n

q


34/93

5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

Mehanika fluida 28

5.INTEGRALNE METODE RJEAVANJAJEDNODIMENZIJSKIH PROBLEMA MEHANIKE

FLUIDA

Formulacija za jednodimenzijsko strujanje

Pretpostavke:

Strujanje je stacionarno 0t

Fluid je nestlaiv .const Masena sila je sila gravitacije

f gk fpn

5.1. Koncept kontrolnog volumena

Svi zakoni mehanike i termodinamike bit e primjenjivi na materijalni volumen (umehanici je to materijalno tijelo ili sustav materijalnih toaka, a u termodinamici je tozatvoreni termodinamiki sustav). U mehanici fluida nije interes pratiti to se dogaa sasamim fluidom (dakle nee se pratiti gibanje materijalnog volumena, kao to se u mehanici

prati gibanje tijela), nego je potrebno odrediti posljedice strujanje fluida u blizini neke

konstrukcije. U tom smislu e se definirati kontrolni volumen ije se granice poklapaju spovrinom konstrukcije za koju se eli istraiti utjecaj strujanja fluida. Budui da e svizakoni mehanike fluida biti formulirani za materijalni volumen potrebno ih je

preformulirati za kontrolni volumen. Kontrolni je volumen s mirujuim granicama( 0u ), a u analizi konstrukcija s pominim dijelovima koristi se i formulacija opeg

promjenjivog volumena s pominim granicama.

5.2.

Reynoldsov transportni teoremBrzina promjene sadraja fizikalne veliine unutar materijalnog volumena izraena

promjenom u kontrolnom volumenu

U trenutku poklapanja materijalnog i kontrolnog volumena brzina lokalne promjene im je

ista, kao to su isti i povrinski integrali, u gornjim izrazima, iz kojih slijedi:

a) sluaj kontrolnog volumenaKVkoji je ograen mirujuom kontrolnom povrinomKP

M M M

Dd d d d d

DV V S KV KP

V V v n S V v n S t t t

SwSu

Si

d d ss se

S

dV=Sds

v vn

v vn

z

x y


35/93


Mehanika fluida 29

uz napomenu da vrijedi: dd d

dKV KV

V Vt t

b) sluaj opeg promjenjivog volumena V ija se granica Sgiba brzinom u

M

D dd d d

D dV V S

V V v u n S

t t

5.3. Jednadba kontinuiteta

Zakon odranja mase:

M

Dd 0

DV

Vt

Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema uz zakon se formulira za kontrolni

volumen

dd d

dKV KP

m

V v n S t

Lijeva strana oznauje brzinu promjene mase fluida unutar kontrolnogvolumena, a desnaukupni maseni protok kroz kontrolnu povrinu. Na dijelu kontrolne povrine kroz kojufluid ulazi u kontrolni volumen vektor vanjske normale i vektor brzine ine kut vei od90, te je 0v n i maseni protok je negativan, a negativni predznak ispred integralaukazuje da e taj protok poveavati sadraj mase unutar kontrolnog volumena. Na izlaznojgranici je 0v n , pa negativni predznak ispred integrala ukazuje na istjecanje fluida izkontrolnog volumena tj. oznauje smanjenje sadraja mase unutar kontrolnog volumena.

Kroz nepropusnu stijenku nema protoka, to znai da je brzina ili jednaka nuli ili jetangencijalna na stijenku. Ako se sa Um oznai ukupni maseni protok kojimfluid ulazi u

kontrolni volumen, a saI

m maseni protok kojim fluid iz njega izlazi, tada vrijedi:

U I

dd

dKV

V m mt

.

Sluaj stacionarnog strujanja. U stacionarnom strujanju fluida se slika strujanja ne mijenjas vremenom, to znai da se nee mijenjati niti sadraj mase unutar kontrolnog volumena

pa vrijedi jednakost ulaznog i izlaznog masenog protoka

U Im m Sluaj nestlaivog (stacionarnog ili nestacionarnog) strujanja homogenog fluida( konst. ). S obzirom da je gustoa konstantna u kontrolnom volumenu e se u svakomtrenutku nalaziti jednaka masa fluida, a maseni protok je m Q , te vrijedi

U IQ Q

Primjer: Strujanje kroz ravastu cijev


36/93


Mehanika fluida 30

Q2Q4

Q3Q1

Na slici je uoen kontrolni volumen kojiobuhvaa unutarnjost ravaste cijevi. Kroz dva

presjeka nestlaivi fluid ulazi u kontrolnivolumen protocima

1Q i

2Q , a kroz dva izlazi

protocima3

Q i4

Q . Kroz plat rave nema

protoka fluida.Prema jednadbi kontinuiteta vrijedi

1 2 3 4Q Q Q Q .

5.4. Jednadba koliine gibanja

Primjenom Reynoldsova transportnog teorema na lijevu stranu zakona ouvanja koliinegibanja za materijalni volumen, koji glasi

M M M

D d d dD

V V S

v V f V S t

slijedi jednadba koliine gibanja za kontrolni volumen s mirujuim granicama

protok koliine gibanja ukupna povrinskabrzina promjene ukupna masenakroz kontrolnu povrinu sila nakoliine gibanja -a sila na

dd d d d

dKV KP KV KP

KVKV KV

v V v v n S f V S t

gdje se kontrolna povrina moe openito prikazati zbrojem ulaznog dijela uS kontrolnepovrine (kroz koji fluid utjee u kontrolni volumen), izlaznog dijela iS (kroz koji fluidnaputa kontrolni volumen) i povrine stijenke wS (koja je dio nekog ureaja, stroja ilikonstrukcije, kroz koju nema strujanja fluida 0v n )

u i wKP S S S

Uz pretpostavku nestlaivog strujanja, uzimajui da je masena sila jednaka sili teine

f gk i uz 0v n na wS ,jednadba koliine gibanja se moe napisati i u obliku

brzina promjene =teina fluida u - =sila stijenkekoliine gibanja -ana fluid

dd d d d

d u i w

w

KV KV S S S

G KV FKV

v V gk V v v n S S t

Posljednji integral u gornjoj jednadbi daje ukupnu povrinsku silu izmeu stjenke i fluidai to silu kojom okolina (stjenka) djeluje na fluid. Ta je sila po treem Newtonovom zakonu

jednaka negativnoj vrijednosti sile wF kojom fluid djeluje na stjenku. Vektor povrinskesile se moe prikazati zbrojem sile tlaka i viskoznih sila

fpn

pri emu se viskozne sile na ulaznoj i izlaznoj povrini obino zanemaruju (tangencijalneviskozne sile se obino meusobno ponitavaju, a normalne komponente viskoznih sila sumale u odnosu na tlane sile), tako da zakon koliine gibanja za kontrolni volumen prelaziu oblik


37/93


Mehanika fluida 31

brzina promjenekoliine gibanja -a

dd d

d u i

w

KV S S

KV

v V G v v n pn S F t

U uvjetima stacionarnog strujanja (kada se slika strujanja ne mijenja s vremenom) brzina

promjene koliine gibanja kontrolnog volumena (lijeva strana jednadbe) je jednaka nuli,te e zakon koliine gibanja izraen za kontrolni volumen sluiti za odreivanje sile kojomfluid djeluje na stjenku

n

du i

w

vS S

F G v v n pn S

Oito je da e za odreivanje sile kojom fluid djeluje na stjenku biti potrebno poznavanjeprofila brzine i tlaka na ulaznom i izlaznom dijelu kontrolne povrine.

5.4.1. Primjena jednadbe koliine gibanja za odreivanje sile fluida na

plat cijevi

Slika prikazuje jedan

kontrolni volumen koji

obuhvaa unutranjost ra-vaste cijevi, a na kontrolnoj

povrini se mogu uoiti dvaulazna presjeka (presjeci 1 i

2) i dva izlazna presjeka (3 i

4). U tim su presjecima

strujnice meusobno para-lelne, a vektori brzine suokomiti na presjek, pri emuvrijedi

Za ulazni presjek Za izlazni presjek

v vn

v n v

u un

2d dvS S

v v n pn S n v p S

v vn

v n v

i in

2d dvS S

v v n pn S n v p S

Pri strujanju viskoznog fluida brzina po poprenom presjeku cijevi nije konstantna, ali seintegral kvadrata brzine po presjeku moe prikazati pomou kvadrata srednje brzine i

faktora ispravka koliine gibanja u obliku 2 2srdS

v S v S gdje je faktor ispravka koliine

gibanja definiran izrazom 22

sr

1d

S

v Sv S

. Vrijednosti faktora su:

Strujanje idealnog fluidajednoliki profil brzine po presjeku: 1 Laminarno strujanje u okruglim cijevima polumjera R postoji 1,33

p4, 4v

x

z

yO

p1, 1v

p2, 2v

p3, 3v

1

2

3

4

f gk

n v

Su

n v

Si


38/93


Mehanika fluida 32

analitiko rjeenje za profil brzine2

max 21

rv v

R:

Turbulentno strujanje u okruglim cijevima profil brzine zavisi od

Reynoldsova brojavD

Re , a koeficijent se kree u rasponu

1,01 (pri viim vrijednostima Re>106) do 1,03 (pri niimvrijednostimaRe)

1,01 1,03

U praksi je strujanje najee turbulentno pa se uzima da je 1 (bez da se bitno naruitonost rezultata)U strujanju fluida kroz cijevi strujnice su paralelne, pa e promjena tlaka po presjeku bitiista kao u fluidu u mirovanju, tj. bit e linearna. Ako se promatra strujnica koja prolaziteitem poprenog presjeka cijevi, tada je integral tlaka po povrini poprenog presjeka

jednak umnoku tlaka na strujnici i povrini poprenog presjeka dS

p S pS .

Konaan izraz za izraunavanje sile kojom fluid djeluje na plat cijevi jest

2

= imulsna funkcijak

kkw

k k

I

F G n v p S G I ili kw

k

F G I

gdje je kbroj ulaznih i izlaznih dijelova kontrolne povrine.

Impulsna funkcija je vektor, koji je po veliini jednak 2I v p S , okomit je napovrinu S i gleda suprotno od vanjske normale (uvijek gleda u kontrolni volumen bezobzira radi li se o ulaznom ili izlaznom dijelu kontrolne povrine), kao na sljedeoj slici.

Ako se impulsne funkcije

shvate kao sile, tada seproblem odreivanja silekojom fluid djeluje na platcijevi svodi na problem statike

tj. odreivanje suma sila.Zakonom koliine gibanjadefinirana je veliina i smjersile fluida na plat, a hvatite

je definirano zakonom

momenta koliine gibanja.Postupak izrauna sile:Primjenom jednadbe kontinuiteta i Bernoullijeve jednadbe odrede se brzine i tlakovi naulaznim i izlaznim dijelovima kontrolne povrine.Iz izraunatih brzina i tlakova raunaju se vrijednosti impulsnih funkcija na ulaznim iizlaznim dijelovima kontrolne povrine.Vektorskim zbrajanjem (u analitikom postupku sumiranjem komponenti sila usmjerovima osi) impulsnih funkcija i sile teine se dobije sila kojom fluid djeluje na platcijevi.

Treba naglasiti da gornja formula vrijedi za bilo kakav oblik kontrolnog volumena, jedino

je vano da na ulaznim i izlaznim presjecima strujnice budu meusobno paralelne i da su

vektori brzine okomiti na pripadajue presjeke.

x

z

yO

1I

f gk

4I

2I

3I

1G


39/93


Mehanika fluida 33

Impulsne funkcije raunate s apsolutnim tlakom definiraju silu fluida na stijenku (daklesilu na plat samo s unutranje strane). Ako s vanjske strane plata djeluje atmosferski tlak,onda bi rezultantna sila na plat bila jednaka zbroju unutarnje sile i vanjske sileatmosferskog tlaka. Do rezultantne sile se dolazi tako da se u impulsnu funkciju umjesto

apsolutnog tlaka uvrtava manometarski tlak, dakle vrijedi

2 MF G n v p S gdje je Frezultantna sila na plat cijevi.

5.4.2. Primjena jednadbe koliine gibanja za odreivanje sile mlaza fluida

na lopatice

Slika prikazuje mlaz fluida povrine poprenogpresjeka 1A , koji brzinom 1v i protokom 1 1 1Q v A ,

nailazi na ravnu lopaticu (plou jedinine irine)koja na sebi ima razdjelnik strujanja (nosi) kojimse mlaz dijeli na dvije grane oznaene indeksima 2i 3. Ako je povrina mlaza mala u odnosu na

povrinu lopatice mlaz e tangencijalno naputatilopaticu. Mlaz struji u atmosferi, a s druge strane

lopatice vlada atmosferski tlak. Na slici je ucrtan

odabrani kontrolni volumen (crta-toka linija) naijoj se kontrolnoj povrini moe uoiti ulazni

presjek mlaza, dva izlazna presjeka, rub mlaza i povrina lopatice. Ako se pretpostavejednoliki profili brzine po presjecima i linearnu promjenu tlaka, tada e se impulsne

funkcije raunati po istim formulama kao i pri odreivanju sile fluida na plat cijevi. Akose trai rezultantna sila na lopaticu (uzimajui u obzir i silu atmosferskog tlaka s vanjskestrane, impulsne funkcije se raunaju s manometarskim tlakom, koji je u svim presjecima

jednak nuli, te za veliinu impulsne funkcije vrijedi2I v A Qv

Na ulaznim i na izlaznim dijelovima

kontrolne povrine impulsne funkcijegledaju u kontrolni volumen, a okomite su

na povrine. Po rubu mlaza takoer trebaizraunati impulsnu funkciju, jer ta povrina

nije dio povrine lopatice na kojoj se eliodrediti silu. Meutim budui da kroz tu

povrinu nema strujanja, a na njoj je pretlakjednak nuli, zakljuuje se da je i impulsnafunkcija jednaka nuli, te preostaju samo

impulsne funkcije kao prema slici. Traenasila jednaka je vektorskom zbroju impulsnih

funkcija i sile teine.

Ako bi strujanje bilo neviskozno (nema sminih naprezanja), a ploa bila ravna (nemarazdjelnika strujanja) sila fluida bi bila okomita na plou (jer postoje samo sile tlaka), a

protoci 2Q i 3Q bi bili upravo takvi da nema tangencijalne komponente sile na plou.


40/93


Mehanika fluida 34

5.5. Jednadba momenta koliine gibanja

Primjenom Reynoldsova transportnog teorema na lijevu stranu jednadbe momentakoliine gibanja za materijalni volumen, slijedi jednadba momenta koliine gibanja zakontrolni volumen s mirujuim granicama

Protok momenta koliine ukupni momeBrzina promjene momenta ukupni moment masenihgibanja krozkoliine gibanja sila na

dd d d d

dKV KP KV KP

KPKV KV

r v V r v v n S r f V r S t

nt povrinskih

sila naKP

Uz sljedee pretpostavke:strujanje je nestlaivo i stacionarnomasena sila je sila teine

kontrolna povrina se sastoji od ulaznog, izlaznog dijela i povrine plata,u i wKP S S S vektor naprezanja fpn

jednadba momenta koliine gibanja primjenjena na kontrolni volumen, slui zaodreivanje momenta sile kojom fluid djeluje na plat

n

moment sile moment silefluida na plat teine

du i

w f

vS S

M F M G r v v n pn S

Primjena jednadbe momenta koliine gibanja za odreivanje momenta sile fluida na platcijevi

Slika prikazuje jedan

kontrolni volumen koji

obuhvaa unutranjost ra-vaste cijevi, a na kontrolnoj

povrini se mogu uoiti dvaulazna presjeka (presjeci 1 i

2) i dva izlazna presjeka (3 i

4). U tim su presjecima

strujnice meusobno para-lelne, a vektori brzine su

okomiti na presjek.

Na gornjoj slici je takoer ucrtan radijus vektor do teita prvog presjeka. Ako se zanemaremomenti viskoznih sila na ulaznim i izlaznim presjecima, tada bi jednadba momentakoliine gibanja za prikazani kontrolni volumen (uzimajui u obzir da je na ulaznom

presjeku vektor brzine orijentiran suprotno od vanjske normale, a na izlaznom u smjeru

normale) glasila

p4, 4v

x

z

yO

p1, 1v

p2, 2v

p3, 3v

1

2

3

4

f gk

1r


41/93


Mehanika fluida 35

2

moment sile moment silefluida na plat teine

dk

w

kA

M F M G r n v p S

Ako su povrine poprenih presjeka male u odnosu na veliinu radijus vektora, tada se

mogu zanemariti promjene radijus vektora po povrini poprenog presjeka i zamijeniti ga ugornjem integralu s konstantnim radijus vektorom do teita presjeka. U tom se sluajuumnoak r n moe izluiti ispred integrala, pa integral oznauje impulsnu funkcijudefiniranu u zakonu koliine gibanja, te vrijedi

kkk

w ( )M F M G r I

Dakle za sluaj strujanja kroz cijevi, na svakom ulazno/izlaznom presjeku se postavljaimpulsna funkcija, koja se za potrebe prorauna sile fluida na plat cijevi i momenta te sileu odnosu na odabranu toku (obino je to ishodite koordinatnog sustava), tretira kaovanjska sila. Prema jednadbi koliine gibanja sila fluida na plat jednaka je sumi vanjskihsila koje djeluju na kontrolni volumen (impulsne funkcije i sila teine), a moment silekojom fluid djeluje na plat cijevi je jednak sumi momenata vanjskih sila na kontrolnivolumen (sumi momenata impulsnih funkcija i momentu sile teine). Problem se daklesvodi na primjenu uvjeta ravnotee sila i momenata, kao u klasinoj mehanici, odnosnostatici fluida.

5.6. Bernoullijeva jednadba

Matematiki zapis zakona ouvanju energije (unutranje i kinetike):

M M M M

M

M M

M

2

Brzina promjene energije snaga masenih snaga vanjskih brzina dovoenjasila na povrinskih topline na

sila na

Dd d d d

D 2V V S S

VV V

V

vu V f v V v S q n S

t

Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema, zakon ouvanja energije se moeprikazati za kontrolni volumen:

2 2dd d d d d

d 2 2KV KP KV KP KP

v vu V u v n S f v V v S q n S

t

U stacionarnomstrujanju fluida prvi lan na lijevoj strani gornje jednadbe je jednak nuli.

Kada ovu jednadbu primijenimo na strujnu cijev uz f gk , sv e v , d dV S s ,

d dsk e s z i konst.Q vS prvi volumenski integral na desnoj strani jednadbe koji

predstavlja snagu masenih sila postaje:

d d di i

u u

s z

s i u

KV s z

f v V gk e vS s gQ z gQ z z


42/93


Mehanika fluida 36

Kontrolna povrina strujne cijevi se sastoji od izlazne, ulazne i povrine stijenke cijeviu i wKP S S S pri emu je v n v na iS , v n v na uS i 0v n na wS , te je

drugi integral na lijevoj strani jednadbe jednak:

2 2 2

d d d2 2 2i u

KP S S

v v vu v n S u v S u v S

Za nestlaivo strujanje i ako u predstavlja konstantnu srednju vrijednost specifineunutranje energije po ulaznom, odnosno izlaznom presjeku dobijemo

23 3d d d d d

2 2 2i i u ui u

KP S S S S

vu v n S u v S v S u v S v S

Za strujnu cijev vrijedi d dQ v S , odnosno d d konstu i

u u i i

S S

Q v S v S v S v S .

Pri strujanju viskoznog fluida brzina po poprenom presjeku cijevi nije konstantna, ali seintegral tree potencije brzine po presjeku moe prikazati pomou tree potencije srednje

brzine i faktora ispravka kinetike energije u obliku 3 3srdS

v S v S pri emu je faktor

definiran izrazom 33

sr

1d

S

v Sv S

. Vrijednosti faktora ispravka kinetike energije su:

Strujanje idealnog fluidajednoliki profil brzine po presjeku: 1Laminarno strujanje u okruglim cijevima polumjera R postoji

analitiko rjeenje za profil brzine2

max 21

rv v

R: 2

Turbulentno strujanje u okruglim cijevima profil brzine zavisi od

Reynoldsova brojavD

Re 1,01 1,1

U praksi je strujanje najee turbulentno pa se uzima da je 1(bez da se bitno naruitonost rezultata).

Nakon uvoenja konstantnog protoka kroz strujnu cijev i faktora ispravka kinetikeenergije drugi integral na lijevoj strani jednadbe ima oblik:

22 2d

2 2 2i i i u u u

KP

vu v n S u Q v Q u Q v Q

Drugi integral na desnoj strani jednadbe se modificira uz fpn , gdje jepsrednja

vrijednost tlaka po ulaznom, odnosno izlaznom presjeku. Ponovo se koristi v n v nai

S ,v n v na uS , 0v n te 0v na wS . Snaga viskoznih sila na ulaznom i izlaznom

presjeku se zanemaruje, tako da je taj integral:

d d d d di u

f

i u

KP KP KP S S

v S pn v S v S pv S pv S p Q p Q

Posljednji lan na desnoj strani jednadbe predstavlja toplinski tok koji je pozitivan kadse dovodi fluidu u kontrolnom volumenu

dKP

q n S

Nakon uvrtavanja gornjih rezultat dobije seBernoullijeva jednadba:

2 2

2 2i i i u u u i u i uu Q v Q u Q v Q gQ z z p Q p Q


43/93


Mehanika fluida 37

Za sluaj adijabatske cijevi ( 0 ) ukupno poveanje unutranje energije nastaje zbogsnage unutranjih sila koje uvijek poveavaju unutranju energiju na raun smanjenjamehanike energije (ovaj proces je jednosmjeran). Ako snagu unutranjih sila definiramokao pozitivnu i oznaimo s FP onda je:

F i uP Q u u

Bernoullijeva jednadba sada ima oblik:2 2

2 2

i ui i i u u u F

v vQ p gz Q p gz P

Ako u cjevovodu izmeu ulaznog i izlaznog presjeka postoji stroj (pumpa koja predajesnagu

PP fluidu ili turbina koja oduzima snagu

TP od fluida), onda se modificirana

jednadba moe poopiti u sljedei oblik2 2

F P T

snaga na izlazu iz ci jevi snaga na ulazu u ci jev

2 2i u

v v

p gz Q p gz Q P P P

Pumpa je pogonjena motorom, pri emu motor predaje pumpi snagu MP , pa je faktor

korisnosti pumpe PPM

P

P . Turbina obino pogoni generator, pri emu generatoru predaje

snagu GP , pa je faktor korisnosti turbine definiran odnosomG

T

T

P

P .

U gore prikazanom obliku modificirane Bernoullijeve jednadbe, svaki lan ima dimenzijusnage, a koriste se i sljedei oblici te jednadbeOblik Dimenzija

2 2

F P T

2 2i u

v v P P P p gz p gz

Q Q Q

snaga

volumenki protok

2 2

F P T

2 2i u

v v P P P p pgz gz

Q Q Q

snaga

maseni protok

2 2

F P T

2 2i u

v v P P P p pz z

g g g g gQ gQ gQ

snaga

teinski protok

U zadnjem obliku modificirane Bernoullijeve jednadbe obino se uvode oznake

PP

PhgQ

=visina dobave pumpe,

TT

Ph

gQ =pad visine energije u turbini

FF

Ph

gQ =visina gubitaka mehanike energije (energije pretvorene u unutarnju energiju)

Za sluaj ravanja cjevovoda oblici modificirane Bernoullijeve jednadbe iz gornje tablicepostavljaju se du strujnice.


44/93


Mehanika fluida 38

Primjer:

Slika prikazuje ravastu cijev s dva ulaznapresjeka (1 i 2) te dva izlazna presjeka (3 i 4).

Izmeu toaka 5 i 6 se nalazi pumpa koja predajefluidu snagu PP. Prema jednadbi kontinuiteta

ukupni protok kroz pumpu je 1 2 3 4Q Q Q Q Q .U tokama 5 i 6 visina energije je jednoznanodefinirana, bez obzira s koje strane se u te tokedolazi.

Integralni oblik zakona kinetike energije za stacionarno strujanje fluida kae da je snagana izlazu izKV(presjeci 3 i 4) jednaka snazi na ulazu (presjeci 1 i 2) uveanoj za snagu

pumpe i umanjenoj za snagu viskoznih sila, tj.2 2 2 23 4 1 2

3 3 3 3 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 P F2 2 2 2

v v v vp gz Q p gz Q p gz Q p gz Q P P

Modificirana Bernoullijeva jednadba postavljena izmeu toaka 1 do5 je:

2 25 5 1 15 5 1 1 F15

2 2

v p v pz z hg g g g

, gdje je F15F151

PhgQ

Modificirana Bernoullijeva jednadba izmeu toaka 5 i 6 glasi2 26 6 5 5

6 6 5 5 P F562 2

v p v pz z h h

g g g g, gdje su F56F56

Ph

gQi PP

Ph

gQ,

a izmeu toaka 6 i 32 23 3 61

3 3 6 6 F632 2

v p pvz z h

g g g g, gdje je F63F63

3

Ph

gQ

Iz kombinacije prethodnih jednadbi dobije se modificirana Bernoullijeva jednadba

izmeu presjeka 1 i 32 23 3 1 1

3 3 1 1 P F15 F56 F632 2

v p v pz z h h h h

g g g g

Dakle modificirana Bernoullijeva jednadba vrijedi du strujnice. Analogno se dobije izrazza modificiranu Bernoullijevu jednadbu izmeu presjeka 1 i 4 ili izmeu presjeka 2 i 3 iliizmeu presjeka 2 i 4. Vano je zapamtiti da se snaga viskoznih sila dobije mnoenjemvisine gubitaka Fh s pripadajuim teinskim protokom, kao i snaga pumpe (u ovom

primjeru P 1 2 PP g Q Q h ).


45/93


Mehanika fluida 39

Promjena tlaka okomito na strujnice(integral jednadbe gibanja fluida po putu okomitom na strujnice)

Izraz za promjenu tlaka okomito

na strujnice je:

2 2

2 1 2 1

1

dv

p p g z z nR

udaljenost n se mjeri od sreditazakrivljenosti strujnice.

U strujanju fluida s ravnim strujnicama (R ) promjena tlaka okomito na strujnice istaje kao u fluidu u mirovanju.

U strujanju fluida u horizontalnoj ravnini sa zakrivljenim strujnicama tlak raste od sreditazakrivljenosti strujnica.

Slika uz definiciju promjene tlaka okomito na strujnice

R=radijus

zakrivljeno

O

x3

x2

x1

g

iv

1

2

n


46/93

6. Primjena osnovnih jednadbi mehanike fluida

Mehanika fluida 40

6.PRIMJENA OSNOVNIH JEDNADBI MEHANIKEFLUIDA

Pojave i principi rada nekih ureaja koji se mogu objasniti Bernoullijevom jednadbom

6.1. Mjerenje brzine

pa pa

pa

v1

21

z

A B

h

g

h

Sluaj otvorenog strujanja s ravnim strujnicama

Cjevica A (piezometrika cijev) mjeri visinu tlaka utoki 1. Promjena tlaka okomito na ravne strujnice ista jekao u fluidu u mirovanju, pa e razina fluida u cjevici

biti u slobodnoj povrini.

Cjevica B(Pitotova cijev) mjeri visinu tlaka u toki 2, ukojoj je brzina jednaka nuli (zaustavna toka). PremaBernoullijevoj jednadbi visina zaustavnog tlaka 2p / g

je vea od visine tlaka 1p / g u toki 1 za visinu brzine2

1 2h v / g .

lanovi Bernoullijeve jednadbe se mogu tumaiti i na sljedei nain

2

dinamiki tlak hidrostatski tlakstatiki tlak

zaustavni tlak

totalni tlak

1konst.

2p v gz

Bernoullijeva jednadba kae da totalni tlak ostaje konstantan du strujnice.

h

v1

21

Mjerenje brzine strujanja fluida u cijevima

Lijeva cjevica mjeri statiki tlak u toki 1, aPitotova cijev zaustavni tlak u toki 2. Razlika ta dva

tlaka je visina brzine, pa vrijedi 1 2 v g h . Oito

je da se brzina rauna iz mjerene razlike tlakova,

koja se obino mjeri diferencijalnim manometrom.

h1

v1

2

R

x

1

1 2

R

x


47/93

6. Primjena osnovnih jednadbi mehanike fluida

Mehanika fluida 41

Sluaj kada je diferencijalnimanometar ispunjen fluidom manje

gustoe od fluida koji struji u cijevi

01 2 1v g h

Sluaj kada je diferencijalni manometar ispunjenfluidom vee gustoe od fluida koji struji u cijevi

01 2 1v g h

6.2. Prandtl-Pitotova cijev

Sastoji se od dvije koaksijalne cijevi, pri emu je unutarnja cjevica svojim otvoromsuprotstavljena strujanju i mjeri zaustavni tlak (toka 2 na slici). Vanjska cijev ima poobodu rupice s otvorima preko kojih estice fluida prolaze tangencijalno kojima se mjeristatiki tlak (toka 3 na slici). Donja slika kvalitativno prikazuje promjenu tlaka dustrujnice 1-2-3. U toki zastoja je brzina jednaka nuli, a tlak je maksimalan. Od tokezastoja fluid se ponovo ubrzava, a tlak opada. U podruju izmeu toaka 2 i 3 brzina nanekim mjestima premauje brzinu

1v , te tlak opada ispod tlaka

1p , ali se na odreenoj

udaljenosti od toke 2 tlak ponovo vraa na vrijednost tlaka1

p . Ako se zanemari uinak

viskoznih sila

mehanika fluida skripta Šavar

Documents