mecánica de fluidos. problemas resueltos. josep m. bergadà graño

AULA POLITCNICA / INGENIERA MECNICA

Josep M. Bergad Grao

Mecnica de uidosProblemas resueltos

EDICIONS UPC

AULA POLITCNICA 111


AULA POLITCNICA / INGENIERA MECNICA

Josep M. Bergad Grao


EDICIONS UPC

Primera edicin: febrero de 2006

Diseo de la cubierta: Jordi Calvet Josep M. Bergad Grao, 2006 Edicions UPC, 2006 Edicions de la Universitat Politcnica de Catalunya, SL Jordi Girona Salgado 31, 08034 Barcelona Tel.: 93 401 68 83 Fax: 93 401 58 85 Edicions Virtuals: www.edicionsupc.es A/e: [email protected] TECFOTO, SL Ciutat de Granada 55, 08005 Barcelona

Produccin:

Depsito legal: B-9274-2006 ISBN: 84-8301-833-0Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblicos.

Prlogo

I

PrlogoLa mecnica de fluidos tiene sus orgenes en la hidrulica, tanto en Mesopotamia como en Egipto alrededor del ao 4000 antes de nuestra era proliferaron las obras hidrulicas que aseguraban el regado de vastas zonas. Posteriormente, los imperios griego, chino y especialmente, el romano se caracterizan por una gran profusin de las construcciones hidrulicas. A lo largo de la historia, aparecen inventos e investigadores que aportan mejoras sustanciales en el campo que hoy se denomina mecnica de fluidos, algunas de las cuales son las realizadas por: Arqumedes (287-212 a.c.), crea el tornillo helicoidal y enuncia el principio de flotacin. Leonardo da Vinci (1452-1519), muestra la aparicin de vrtices en la zona de separacin de flujo; describe los principios de funcionamiento de mquinas voladoras. Pascal (1623-1662), en el estudio de la esttica de fluidos define el principio que lleva su nombre. Newton (1642-1727), realiza el anlisis espectral de la luz; define la teora de gravitacin universal; establece los principios de clculo integral y diferencial, y promulga la ley de viscosidad que lleva su nombre. Henry de Pitot (1695-1771), crea, con el fin de medir la velocidad de un fluido, el tubo que lleva su nombre. Bernoulli (17001782), populariza la ley que define la energa asociada al fluido a lo largo de una lnea de corriente, estudia problemas sobre esttica y dinmica de fluidos. Euler (1707-1783), establece la base matemtica para el estudio del flujo ideal, sin viscosidad. Venturi (1746-1822), clarifica los principios bsicos del flujo a lo largo de un conducto convergente divergente (el tubo de Venturi), define los principios del resalto hidrulico. Henri Navier (1785-1836), basndose en los estudios de Euler, deriva las ecuaciones de Navier, que posteriormente Stokes modifica hasta obtener las ecuaciones que se conocen actualmente. Ludwig Hagen (17971884), estudiando el flujo en conductos cerrados, encuentra la zona de traspaso entre flujo laminar y turbulento, y observa que depende de la velocidad y la temperatura del fluido, as como del dimetro y la rugosidad del conducto. Poiseulle (1799-1869), estudia el movimiento de la sangre en venas y capilares, y determina experimentalmente la relacin entre presin y caudal en capilares. William Froude (1810-1879), se dedic durante parte de su vida a construir barcos; sus investigaciones fueron continuadas por su hijo R.E. Froude (1846-1924), el cual defini el nmero adimensional que lleva su nombre y que relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas gravitacionales. G. Stokes (1819-1903), logr derivar la ecuacin de Navier-Stokes. Kirchhoff (1824-1887), define el coeficiente de contraccin, hallndolo para el caso de orificios bidimensionales. Ernst Mach (1838-1916), que en uno de sus ms conocidos estudios sobre los flujos a alta velocidad, deduce el nmero de Mach. Reynolds (1842-1912), clarifica el fenmeno de cavitacin; define los regmenes laminar y turbulento, y el nmero adimensional que los identifica. Su teora sobre la lubricacin hidrodinmica es asimismo muy relevante. Ludwig Prandtl (1875-1953), que observa la aparicin y define la teora de la capa lmite, se considera como uno de los creadores de la mecnica de fluidos moderna. Theodor Von Karman (1881-1963) estudia los vrtices detrs de un cilindro, define las fuerzas de arrastre y sustentacin de cuerpos en el seno de un fluido en rgimen turbulento. Durante el siglo XX, los avances en la mecnica de fluidos son continuos, siendo la dinmica de gases, la aerodinmica y la aeronutica los campos que han experimentado y seguirn experimentado una especial proliferacin. Quisiera dedicar este libro a las personas cuyo apoyo he tenido constantemente, sin olvidar a las generaciones de estudiantes de los cuales se aprende a diario, y gracias a los cuales este libro es una realidad. Quisiera agradecer al profesor Eugenio Valencia el apoyo que durante los ltimos aos me ha prestado. Es mi deseo que este libro sea de utilidad, tanto para los futuros estudiantes como para los profesionales que necesiten repasar conceptos de mecnica de fluidos. Josep M. Bergad

El autor, 2006; Edicions UPC, 2006

ndice

III

ndicePg. Captulo 1. Propiedades de los fluidos Problema 1 ...............................................................................................................................................................1 Problema 2 ...............................................................................................................................................................3 Problema 3 ...............................................................................................................................................................5 Problema 4 ...............................................................................................................................................................7 Captulo 2. Tensin y deformacin en medios continuos Problema 5 .............................................................................................................................................................11 Problema 6 .............................................................................................................................................................13 Problema 7 .............................................................................................................................................................17 Problema 8 .............................................................................................................................................................21 Captulo 3. Esttica Problema 9 .............................................................................................................................................................27 Problema 10 ...........................................................................................................................................................31 Problema 11 ...........................................................................................................................................................37 Captulo 4. Ecuacin de continuidad Problema 12 ...........................................................................................................................................................43 Problema 13 ...........................................................................................................................................................45 Problema 14 ...........................................................................................................................................................49 Problema 15 ...........................................................................................................................................................51 Problema 16 ...........................................................................................................................................................53 Problema 17 ...........................................................................................................................................................55 Captulo 5. Ecuacin de cantidad de movimiento Problema 18 ...........................................................................................................................................................59 Problema 19 ...........................................................................................................................................................61 Problema 20 ...........................................................................................................................................................65 Problema 21 ...........................................................................................................................................................67 Problema 22 ...........................................................................................................................................................71 Problema 23 ...........................................................................................................................................................73 Problema 24 ...........................................................................................................................................................75 Problema 25 ...........................................................................................................................................................81 Problema 26 ...........................................................................................................................................................85 Captulo 6. Ecuacin de Momento cintico Problema 27 ...........................................................................................................................................................93 Problema 28 ...........................................................................................................................................................97 Problema 29 .........................................................................................................................................................103 Problema 30 .........................................................................................................................................................109


IV

Mecnica de fluidos

Captulo 7. Ecuacin de la energa Problema 31 .........................................................................................................................................................111 Problema 32 .........................................................................................................................................................113 Problema 33 .........................................................................................................................................................117 Problema 34 .........................................................................................................................................................123 Captulo 8. Flujo con viscosidad dominante Problema 35 .........................................................................................................................................................127 Problema 36 .........................................................................................................................................................131 Problema 37 .........................................................................................................................................................135 Problema 38 .........................................................................................................................................................141 Problema 39 .........................................................................................................................................................145 Problema 40 .........................................................................................................................................................149 Problema 41 .........................................................................................................................................................151 Problema 42 .........................................................................................................................................................159 Captulo 9. Anlisis adimensional Problema 43 .........................................................................................................................................................169 Problema 44 .........................................................................................................................................................173 Problema 45 .........................................................................................................................................................175 Problema 46 .........................................................................................................................................................179 Captulo 10. Sistemas de tuberas Problema 47 .........................................................................................................................................................181 Problema 48 .........................................................................................................................................................185 Problema 49 .........................................................................................................................................................191 Captulo 11. Capa lmite Problema 50 .........................................................................................................................................................205 Problema 51 .........................................................................................................................................................207 Problema 52 .........................................................................................................................................................211 Problema 53 .........................................................................................................................................................215 Captulo 12. Flujo no estacionario Problema 54 .........................................................................................................................................................221 Problema 55 .........................................................................................................................................................227 Captulo 13. Gas dinmica Problema 56 .........................................................................................................................................................233 Problema 57 .........................................................................................................................................................249 Problema 58 .........................................................................................................................................................255 Bibliografa ..........................................................................................................................................................259


Nomenclatura

V

Nomenclaturaa = Aceleracin. [m/s2] Cd = Coeficiente de descarga. CP = Calor especfico a presin constante. [J/Kg K] CV = Calor especfico a volumen constante. [J/Kg K] CD = Coeficiente de arrastre. Coeficiente de resistencia para la capa lmite. CL = Coeficiente de sustentacin. D = Fuerza de sustentacin. [N] D = Dimetro. [m] Dh = Dimetro hidrulico. [m] F = Fuerza. [N]. f = Coeficiente de friccin. g = Aceleracin gravitatoria. [m/s2] H = Energa por unidad de peso. [J/Kg g] H=h=Z = Nivel de referencia, (cota). [m] h = Entalpa. [ J/Kg] L = Longitud. [m] L = Fuerza de arrastre. [N] M = Par. [N m] m = Caudal msico. [Kg/s] N = W Potencia. [W] [Kw] NPSH = Altura neta positiva de aspiracin. [m] P = Presin. [Pa] P*= Presin reducida. [Pa] R, r = Radio. [m] R = Constante caracterstica de cada gas. [J / Kg K] Re = Nmero de Reynolds. S = Seccin de paso. [m2] Q = Caudal volumtrico. [m3/s] Q = Flujo de calor. [J/s] T = Temperatura [C; K] t = Tiempo. [s] U = V= Velocidad del fluido. [m/s] u = Energa interna. [J/Kg] V = Velocidad. [m/s] W = Potencia. [W] [Kw] = Volumen. [m3] Y = Energa por unidad de masa. [J/Kg] YT = Energa terica por unidad de masa. [J/Kg] Z = Nivel de referencia, (cota). [m] T = Coeficiente de expansin trmica. [K-1] = Mdulo de compresibilidad volumtrica. [N/m2] h = Prdidas de carga por rozamiento. [m2/s2] P = Variacin de presin. [N/m2]. x = Variacin de posicin [m].


VI

Mecnica de fluidos

= operador diferencial nabla. 2 = operador diferencial laplaciano. = circulacin. [m2/s] = Rugosidad. [m] = Rendimiento. = Viscosidad dinmica. [Kg /s m] = Viscosidad cinemtica. [m2/s] = Densidad. [Kg /m3] = espesor de la capa lmite. [m] = Tensin superficial. [N/m]. = Esfuerzo cortante. [N/m2]. = Velocidad de deformacin angular. [s-1] = = Vorticidad. = =Velocidad angular [rad / s]


Problema 1

1

Problema 1

1.1 EnunciadoEntre los extremos de un tubo de 0,006 m de dimetro y 1 m de longitud, se aplica una diferencia de presin relativa de 50.000 Pa. Si el caudal que fluye es de Q = 3,5 10-6 m 2 s , halle la viscosidad del fluido circulante (considerando rgimen laminar). Compruebe la veracidad de esta hiptesis.

1.2 ResolucinLa velocidad media de paso del fluido por el conducto ser:U= Q 3,510-6 m = = 0,1237 2 S 0, 006 s 4

Dado que no se puede determinar el nmero de Reynolds, se considerar que el rgimen de flujo es laminar; al final de proceso se comprobar esta hiptesis. Considerando que el fluido fluye segn la ley de Poiseulle, y sabiendo que la distribucin de velocidades en direccin radial segn Poiseulle es:U=2 P* 1 1 2 r ( r - R 2 ) = Umx 1- R x 4

donde

Umx = -

P* 1 2 R x 4 Umax 2

La relacin velocidad mxima-velocidad media U = donde U = -

P* R 2 x 8

La diferencia de presin entre extremos del conducto ha de ser contrarrestada por los esfuerzos cortantes en la pared del mismo, as:

Fp =

D2 0, 0062 P*total = 50.000 = 1, 4137 N 4 4


2

Mecnica de fluidos

El esfuerzo cortante se define como:= r 2 U = U mx 1- R r r 2r R2

= - U mx

El esfuerzo cortante de la pared valdr:r=R 2 R U mx como U = 2 U = - 4 R = - U mx

El esfuerzo debido a los esfuerzos cortantes a lo largo de todo el tubo ser:F = S = 2 R L = - 4 como - F = Fp 1, 4137 = 8 U L = 8 0,1237 = 0, 4547 N S m2 U 2RL R

Para que el flujo sea laminar se debe cumplir:Re = UD 0,1237 0, 006 = < 2.400 0, 4547

Para cumplir la igualdad, se tiene que debera valer = 1.470.331Kg m3 ; como esto es imposible, se concluye que la hiptesis es acertada. En concreto, para una densidad de 800 Kg m3 , se obtiene Re = 1,3.


Problema 2

3

Problema 2

2.1 EnunciadoHalle la potencia necesaria para mantener una velocidad angular constante de 10 rad/s en el viscosmetro cilndrico de la figura. (Considrense los esfuerzos cortantes, en la superficie lateral y en la base.)

Datos: H = 10 cm R1 = 3 cm h = 0,1 cm = 710-3 Ns/m2

R1 H

h

hFig. 2.1

2.2 ResolucinEn la cara lateral se tiene:= du dy

du v1 0 R1 = = dy h h

Los valores de la fuerza y el par laterales, FL y ML, se obtienen:


4

Mecnica de fluidos

FL = dS =

R 1 2 2 R1 H = 2 HR1 h h R 1 3 2 R1 H R1 = 2 H R 1 h h

M L = FR1 =

El valor de la potencia necesaria para vencer los esfuerzos cortantes laterales ser:N L = M = 2 3 2 H R1 h

En la base del cilindro, se tiene:du Vi ri = = dy h h

Los valores de la fuerza y el par en la base, FB y MB, sern:FB = dS = 0 S R

ri 2 r 3 2 ri dri = i h h 3 0

R

FB = 2

R3 h 3R

2 3 2 R i4 M B = dFB R i = ri dri = h h 4 0 MB = 2 R 4 h 4

La potencia debida a los esfuerzos cortantes en la base, NB, ser:

NB = M =

2 2 R 4 h 4

con lo que la potencia total necesaria para hacer girar el cilindro ser:4 2 R1 2 2 0, 034 3 -3 10 2 0,10, 033 + H R1 + = 710 h 4 0, 001 4

NT = NL + NB =

NT = 0,0127 [W]


Problema 3

5

Problema 3

3.1 EnunciadoHalle la expresin del par necesario para mover la esfera de la figura adjunta.

R e

da d

Fig. 3.1

3.2 ResolucinLas tensiones cortantes existentes se pueden definir como:= V R r cos = = ; n e e


6

Mecnica de fluidos

Estudiando la esfera, se observa que la fuerza que se opone al movimiento se da como:dF = dS = = r cos r cos 2 r da = e e 2 r cos r d =

r3 2 cos 2 d e

As mismo, el momento resistente resultante valdr:dM = dF R i = dF r cosdM = r3 2 cos 2 d r cos e 90o r 4 M= 2 cos3 d e -90o

con lo cual, la potencia necesaria para hacer girar la esfera sera:N = M = 290 r4 2 cos3 d e -90oo

y quedara:N = M = 290 o 1 r4 2 90 2 cos 2 s e n + cos d o e 90 3 -90 3

N = 2

90 90 1 r4 2 2 cos 2 s e n + sen e 90 3 90 3

N = 2

r4 8 e 3


Problema 4

7

Problema 4

4.1 EnunciadoSe hace rotar un cuerpo cnico con una velocidad constante de 10 rad/s; la base del cono tiene un dimetro de 5 cm, y el espesor de la partcula de aceite es de 0,1 mm. Si la viscosidad del aceite es de 710-3 [NS/m2], halle el par necesario para mantener el movimiento.

5 cm

Ri

Figura 4.1. Esquema del cuerpo cnico.

4.2 ResolucinSe divide la superficie del cono en dos partes: por un lado, la superficie lateral y, por otro lado, la base. En la superficie lateral, el esfuerzo cortante en un punto genrico vale:i =

R d i h tg = i = i ; e dn e


8

Mecnica de fluidos

e X

En la base:i =

d i R = i ; dn e

dhi

dz

driLa fuerza que se opone al movimiento en la superficie lateral:dF = dS = 2 R i dZ cos = dh ; dz

dF = 2R i

dh dh = 2 h i tg cos cos dh 2 e cos

dF = h i 2 tg 2 h

F = 0

tg 2 tg 2 h 3 i 2h i 2 dh = 2 e cos e cos 3

La fuerza en la base ser:dF = dS = 2R i dR dF = 2 R i 2dR e


Problema 4

9

F= 0

R

R3 2 R i2 dR = 2 e e 3

El par necesario en la superficie lateral:M = F R i dM = dF R i dM = tg 2 2h i 2 dhR i cos eh

R i = h i tg

ML = 0

tg 3 tg 3 h 4 2 h i 3 dh = 2 cos e cos e 4

El par en la base:dM = dF R i = h

2 R i 2 dR R i e

Mb = 0

R4 2 R i 3 dR = 2 e e 4

El par total necesario para mantener el movimiento ser:MT = ML + Mb

MT =

tg 3 h 4 R4 2 tg 3 4 2 + 2 = h + R4 cos e 4 e 4 e 4 cos

Sustituyendo el radio por su equivalente: 4 3 1 h tg + tg e 2 cos

MT =

La potencia necesaria para mantener el sistema en movimiento ser:

N = MT =

2 4 3 1 h tg + tg e 2 cos


Problema 5

11

Problema 5

5.1 EnunciadoSea un volumen de agua de 1 m3, sometido inicialmente a una presin de 105 Pa y a una temperatura de 280 K. Si el proceso evoluciona de forma que al cabo de un tiempo T la temperatura y la presin del fluido son de 300 K y 3 105 Pa, determine el volumen que ocupar el lquido en estas condiciones. Datos: =1,5310 K (coeficiente de expansin trmica)4 1 T

= 1,96 10

9

N (mdulo de compresibilidad volumtrica) m2

5.2 ResolucinLa definicin del mdulo de compresibilidad y del coeficiente de expansin trmica es: = dp d 1 d T = dT

La variacin de volumen con la presin y la temperatura se define:d = dp + dT p T

de donde:d = dp + dT

Integrando:final final d dp = + dT inicial inicial P T P T

final

inicial


12

Mecnica de fluidos

ln ln

final

inicial

1 = (p

final

p

inicial

) + (T

final

T

inicial

))

final

= ln

inicial

1 (p

final

p

inicial

) + (T

final

T

inicial

final

=

inicial

e

1 ( pfinal pinicial )

e ( final T

Tinicial )

Sustituyendo valores, se obtiene: = 1, 002961

final

inicial

El volumen del fluido al final ser ligeramente mayor que el inicial.


Problema 6

13

Problema 6

6.1 EnunciadoDados un fluido de densidad constante que fluye en un canal convergente con una altura media de 2 Y0 x y y una velocidad en direccin x de u = u 0 1+ 1- , siendo u0 =1 m/s Y= x L Y 1+ L

Y o = 1m

x

Y s = 0,5m

L = 5mCalcule: La velocidad transversal, v(x, y). La aceleracin lineal, la velocidad angular, la vorticidad, la velocidad de deformacin volumtrica y la velocidad de deformacin angular para dicho fluido. 6.2 Resolucin Para un fluido incompresible y flujo bidimensional, la ecuacin de continuidad puede expresarse:v u =- ; y x

En funcin de los datos del enunciado, la velocidad en direccin x se puede dar:


14

Mecnica de fluidos

2 x y u = u 0 1+ 1- 2 L Y0

x 1+ L

2

x y 2 x 3 = u 0 1+ - 2 1+ L Y0 L

derivando respecto a x se obtiene:2 u 3y 2 x u = - 0 1- 2 1+ ; x L Y0 L

con lo cual la velocidad en direccin y ser:v = - u 0 3y 2 1L Y02 2 u u 3y 2 x 1+ dy = - 0 dy + 0 2 L LY0 L 2

x 1+ dy L

2

v=-

u 0 y u 0 y3 x + 1+ + C(x) ; L LY0 2 L

Condiciones de contorno: v = 0; cuando y = Y y para cualquier x; x 1+ u 0 Y0 u 0 Y03 L + C(x) 0=+ x LY0 2 x 3 L 1+ 1+ L L2

Sustituyendo para x = 0

C(x) = 0; por lo tanto:

v=-

2 2 u0 y y x 1- 1+ L Y0 L

Eligiendo el sistema cartesiano de coordenadas, la aceleracin en direccin x e y ser:ax = Du u u u = +u +v Dt t x y Dv v v v = +u +v Dt t x y

ay =

Puesto que se est en rgimen permanente:

u v = =0 t t

Derivando las velocidades u y v respecto las direcciones x e y se tiene: 1 3y 2 x 2 1 u = u 0 - 2 1+ ; x L Y0 L L 2y u = u 0 - 2 y Y0 3 x 1+ ; L


Problema 6

15

y3 v = u0 2 x LY0 3y 2 v = u0 2 y LY0

x 1 2 1+ ; L L2 x 1 1+ - ; L L

Sustituyendo en las ecuaciones para la aceleracin, se obtiene:ax = u 02 L u 02 L2

x y 2 x 3 y 4 x 5 1+ - 2 1+ + 1+ L Y0 L Y0 L y3 y - 2 2 Y0 2 4 5 y x x 1+ + 4 1+ L Y0 L

ay =

La velocidad angular se define como:1 v u - ; 2 x y 1 w v - =0 2 y z 1 u w =0 2 z x

z =

Obsrvese que: x =

y =

Sustituyendo, queda:z = yu 0 Y0 22 2 x y x 1+ 2 + 1+ ; L L L

Puesto que la vorticidad se define como el doble de la velocidad angular, z = 2z ;z = 22 yu 0 x y 2 x 1+ 2 + 1+ ; Y0 2 L L L

la velocidad de deformacin volumtrica est dada en este caso por:1 d ( ) u v = + dt x y

Al sustituir

u v y , se llega a: x y

1 d ( ) =0; dt

la velocidad de deformacin angular viene dada por:


16

Mecnica de fluidos

xy =

1 u v + ; 2 y x

puesto que:xz = 1 u w + = 0; 2 z x yz = 1 v w + =0; 2 z y

Sustituyendo, se llega a:xy =2 yu 0 x x y 2 1+ - 1+ + 2 ; Y0 2 L L L

Cabe recordar que, aunque matemticamente se puedan separar, la rotacin, la dilatacin y la deformacin angular, ocurren en el fluido de forma simultnea, y no se pueden separar desde el punto de vista fsico.


Problema 7

17

Problema 7

7.1 EnunciadoSea un flujo definido por una distribucin de velocidades tal como:u= x y ; v= ; w=0 1+ t 1+ 2t

Halle la lnea de corriente, senda o trayectoria y la lnea de traza que en el instante t = 0 pasa por el punto (x0, y0, z0) .

7.2 ResolucinPuesto que w = 0, el flujo es bidimensional y, todas la lneas de corriente sern paralelas al plano XY La determinacin de las lneas de corriente se basa en la ecuacin:

dx x =u= ds 1+ t

dy y =v= ds 1+ 2t

Integrando para t = cte, queda:dx ds = ; x 1+ t lnx = s + cte 1+ t( ) variables x,y s

x = c1e1+ts

y = c2e1+2t

Para calcular las constantes, se impondr la condicin: s=0; x=X0; y=Y0, y se obtendr C1= x0; C2= y0; Eliminando s, queda:y x ln . (1+ t ) = ln . (1+ 2t ) x0 y0 Reagrupando en x e y, se obtendr: y x 1+ t ln . = ln ; x0 1+ 2t y0 x 1+t ln x0 .1+2t y ln y0

e

=e

;

y x 1+2t = ; y0 x0

1+t


18

Mecnica de fluidos

Se obtiene as la ecuacin de las lneas de corriente que pasan por (x0, y0) en cualquier instante t: x 1+2t y = y0 x0 1+ t

Para t = 0

y x = y0 x0

La lnea de corriente ser una lnea inclinada 45 que pasa por el punto (X0, Y0), ver figura 7.1:

y

t = -1/3 t = -1/6 t=0 t = 1/3 t=1 t = infinito

yo xo

aumentando t

x

Fig. 7.1. Lneas de corriente que pasan por el punto X0 Y0 para diferentes estados temporales

Las lneas de corriente se pueden determinar tambin utilizando la ecuacin:dx dy = u v

Sustituyendo los valores de u y v se obtiene: dx dy = x y 1 + t 1 + 2t de donde:dx dy 1 + 2t = x y 1+ t

Integrando entre lmites, se obtiene:1+ t 1 + 2t

X

X0

Y dy dx = Y0 x y

de donde:

x y 1+ t ln = ln 1 + 2t x 0 y0


Problema 7

19

x 1+2 t y o bien: = x0 y0

1+ t

Vase que se obtiene la misma ecuacin que en el apartado anterior. Las sendas o trayectorias se determinan integrando las ecuaciones A y B (A) dx x = dt 1+ t (B) dy y = dt 1+ 2t

Integrando,dx dt = ; x 1+ tlnx = ln (1+ t ) + k1 ; lny = elnx = eln (1+t ) +k1 1

x = (1+ t ) .k'11

(C)

dy dt ; = y 1+ 2t

1 ln (1+ 2t ) + k2 ; 2

elny = e 2

ln (1+2t ) +k2

y = (1+ 2t ) 2 .k'2 (D)

Aparecen dos nuevas constantes, k1 y k2, que corresponden a e k1 y e k2 Aplicando las condiciones de contorno t=0, x=X0, y=Y0, queda:

X0 = k'1 ;Y0 = k'2 ;

x = (1+ t ) .X0

y = (1+ 2t ) 2 .Y0

1

Eliminando el tiempo se obtiene la ecuacin de la senda o trayectoria. x 2 y = 1+ 2 -1 .Y0 X0 1

sta se muestra en la figura 2.Vase que no coincide con la ecuacin de la lnea de corriente en t=0. Para hallar la lnea de traza, se parte de las ecuaciones integradas de las sendas, ecuaciones C y D, y se calcula la familia de partculas que pasaron por (X0, Y0) en instantes < t. As pues, para t = , x =X0, y =Y0, se obtiene: (C) (D)x = (1+ t ) .k'1 ;1 2

k'1 =

X0 1+

x =Y0

(1+ t )1+

X0

y = (1+ 2t ) .k'2 ; k'2 =

(1+ 2 ) 2

1

y =

(1+ 2t ) 2 (1+ 2 ) 21

1

Y0

Estas expresiones corresponden a las lneas de traza que pasan por (X0, Y0) en cualquier instante t. Para t =cte, se igualan los valores de de las dos ecuaciones.=

(1+ t )x

2 Y0 1 .X0 -1 = (1+ 2t ) . -1 y 2

(1+ t )

X0 1 (1+ 2t ) Y0 - = x 2 2 y

2


20

Mecnica de fluidos

y Despejando , se obtiene: Y0

2 y (1+ 2t ) y Para t =0 = = Y0 2 (1+ t ) X0 -1 Y0 x

1

2 1 X0 = 2 -1 x

1

X0 2 x -1

-

1 2

Lnea tambin representada en la figura 2. Fsicamente, la lnea de traza refleja el comportamiento de las lneas de corriente antes del instante t =0, mientras que la senda refleja lo que ocurre despus. Una lnea de traza se genera experimentalmente por medio de la inyeccin continua de partculas marcadas (tinta, humo o burbujas) desde un punto fijo. Como ltima observacin, cabe decir que en caso de flujo estacionario, las lneas de traza, senda y corriente coinciden.

y Lnea de traza Lnea de corriente

SendaYO

XO

x

Fig. 7.2 Lnea de corriente, senda y lnea de traza que pasan por X0 e Y0 en T = 0

Flujo uniforme

Lnea de corriente

placa oscilante

Punto emisor

Senda Lnea de traza

Fig. 7.3 Flujo no estacionario alrededor de una placa oscilante, visualizado con burbujas desprendidas de un punto fijo.Adaptado del problema 1-14 del libro Mecnica de Fluidos del autor Frank M White edicin 1988, publicado por McGraw-Hill..


Problema 8

21

Problema 8

8.1 EnunciadoSea el movimiento en rgimen permanente definido en coordenadas eulerianas y dado por el campo de velocidades: v = (2x - 3y)i + (3x - 2y)j Se pide: 1. Demuestre que el fluido es incompresible. 2. Determine el campo de aceleracin a y el campo de vorticidad ( ). 3. Determine las lneas de corriente e identifique aquella que pasa por el punto x =1; y =1; z =0. 4. Determine la ecuacin de las lneas de torbellino (vector remolino ) 5. Calcule la circulacin del vector velocidad a lo largo de la lnea de corriente que pasa por el punto x =1; y =1; z =0. Calcule tambin el flujo de vorticidad a travs de la superficie que tiene por lnea frontera aquella lnea de corriente. 2 2 ij 6.- Calcule la velocidad de deformacin lineal especfica en la direccin del vector unitario r = 2 2

8.2 Resolucin1. La ecuacin de conservacin de la masa en forma diferencial se enuncia: + ( .v ) = 0 ; t

Si el fluido es incompresible,se ha de cumplir: V = 0 Sustituyendo:v = vx vy vz + + = 2 - 2 + 0 = 0 fluido incomprensible x y z

2. a =

v + ( v ) v t

Por ser el movimiento estacionario,

v =0 t


22

Mecnica de fluidos

vx x vx ( v ) v = ( 2x 3y )( 3x 2y ) . y vx z

vy x vy y vy z

vz x 2 3 vz = ( 2x - 3y )( 3x - 2y ) . = y 3 2 vz z

= ( 2x - 3y ) 2 + ( 3x - 2y ) - 3 + ( 2x - 3y ) 3 + ( 3x - 2y ) ( -2 ) = i j = [ 4x - 6y - 9x + 6y ] + [ 6x - 9y - 6x + 4y] j = -5xi - 5yj i El campo de vorticidad est definido por = V = rot V i = x ( 2x - 3y ) j y ( 3x - 2y ) k = ( 3x - 2y ) k - ( 2x - 3y ) k = 6k z x y 0

El fluido est girando respecto al eje z. 3. Las lneas de corriente se definen por la ecuacin diferencial:dx dy ; = Vx Vy dx dy ; dx ( 3x - 2y ) - dy ( 2x - 3y ) = 0 = 2x - 3y 3x - 2y

Se llega a una ecuacin diferencial del tipo: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 Se debe comprobar si se trata de una diferencial exacta:

Para ello, se ha de cumplir N(x,y) = - ( 2x - 3y )

M(x, y) N(x, y) Recordando que = y x

Se observa que la ecuacin diferencial es exacta, dado que las dos derivadas tienen el mismo valor.M(x, y) N(x, y) = =-2 x y

Puesto que se trata de una diferencial exacta, la solucin de la ecuacin ser del tipo:F(x, y) = M(x, y)dx = ( 3x - 2y ) dx = 3 x2 - 2xy + C(y) 2

y debe cumplirse que N(x, y) =

F(x, y) , y


Problema 8

23

con lo cual:

- ( 2x - 3y ) = -2x + C'(y) C'(y) = 3y C(y) =

3y 2 + C0 2

Por tanto la funcin queda: F(x, y) = 3x 2 3y 2 - 2xy + + C0 = 0 2 2

(Si en lugar de igualarla a 0 se iguala a cualquier otro nmero, se obtendrn elipses concntricas.) Sustituyendo para el punto x =1; y =1; z =0, queda:F(x, y) = 3 3 C0 = -1 - 2 + + C0 = 0 2 2

En este punto, la funcin ser:3x 2 3y 2 + - 2xy -1 = 0 2 2

Ecuacin de la lnea de corriente que pasa por el punto (1,1,0) y representa la ecuacin de una elipse centrada en el origen pero inclinada un ngulo . Con el fin de hallar la ecuacin de la elipse referida a sus ejes centrales, se debe determinar el ngulo de rotacin de la misma. La expresin de una elipse plana en cualquier punto del eje de coordenadas y girada un ngulo viene dada por:

Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 El trmino x y es el que da la rotacin. Los trminos en x e y dan el desplazamiento (en este caso, no existe desplazamiento) A-C El ngulo de giro viene dado por: cotg ( 2 ) = B 3x 2 3y 2 La ecuacin hallada es: + - 2xy -1 = 0 . Y se puede expresar como: 2 23x 2 + 3y 2 - 4xy - 2 = 0

(1)

Se deduce que A =3; B =-4; C =3.cotg ( 2 ) = 3-3 =0 2 = 90 = 45 -4


24

Mecnica de fluidos

x' y' y 45

x

Fig. 8.1 Inclinacin de la elipse respecto a los ejes coordenados

Para transformar la ecuacin de la elipse referida a los ejes x y respecto a los ejes xy se debe realizar el cambio:x = x'cos - y'sen y = x'sen + y'cos

x = x'cos45 - y'sen45 y = x'sen45 + y'cos45

Sustituyendo en la ecuacin (1): 2 2 2 2 2 2 2 2 3 x' 2 - y' 2 + 3 x' 2 + y' 2 - 4 x' 2 - y' 2 . x' 2 + y' 2 - 2 = 0 2 2

Desarrollando se llega a x'2 + 5y'2 - 2 = 0 La ecuacin de la elipse respecto a los ejes x e y ser:1 2 5 2 x' + y' -1 = 0 2 2

La ecuacin genrica de una elipse centrada es:x 2 y2 + =1; a 2 b2

siendo a y b los semiejes principales, que en este caso valdrn:a= 2 b= 2 5

4. El vector remolino se define como .= 1 ( = 6k ) apartado 2 = 3k 2

5. La circulacin del vector velocidad se define como:


Problema 8

25

= v.d l = {i ( 2x - 3y ) + j ( 3x - 2y )}{i.dx + j.dy}

Esta integral hay que realizarla a lo largo de la lnea de corriente (que es la elipse); para integrar se deben transformar todos estos parmetros en uno solo e integrar respecto a dicho parmetro. Consecuentemente, se han de dar los valores de x, y, dx, dy en funcin de los semiejes principales de la elipse y el ngulo de giro. Las relaciones de transformacin son: y sen = b x cos = a x = acos = 2cosy = bsen = 2 sen 5 2 cosd 5

dx = -asend = - 2send dy = bcosd =

a b y x

Fig. 8.2. Relaciones de transformacin para una elipse

Sustituyendo estos valores en la integral se obtiene como nica variable el ngulo , que se integrar entre 0 y 2 ;2 2 2 2 2 = ( 2x - 3y ) dx + ( 3x - 2y ) dy = 2 2cos - 3 sen . - 2sen d + 3 2cos - 2 sen . cos d 5 5 5 0 0

(

)

De realizar la integracin se obtiene que

12 = 5

Se observa que este camino elegido es largo. Un mtodo alternativo sera la aplicacin del teorema de Stokes:


26

Mecnica de fluidos

vd l = ( v )ds = .ds = 6k.nds = 6 ds = 6ab rea de la elipse l s s s s

6ab = 6 2.

2 12 = = 5 52 2 -j se calcula 2 2

6. La velocidad de deformacin lineal especfica en la direccin del vector unitario r = i mediante la expresin:1 d . dr = eij i j dr dt

i = j = -

2 2 2 2

de donde eij valdr:u x eij = 1 v u + 2 x y 1 w u + 2 x z 1 u v + 2 y x v y 1 w v + 2 y z 1 u w + 2 z x 1 v w + 2 z y w z

Sustituyendo: 1 ( -3 + 3) 0 2 -2 0 . 0 0 2 2 2 2 = 2 2 0 0 2+ 2 i j.

2 1 d 1 . dr = ( -3 + 3) dr dt 2 0

La velocidad de deformacin lineal vendr dada por


Problema 9

27

Problema 9

9.1 EnunciadoSea una esfera de radio la unidad, sumergida parcialmente en agua. Se conoce que, en la posicin de equilibrio, el punto de tangencia del casquete esfrico que sobresale del lquido con el eje de abscisas que pasa por el centro de la esfera forman un ngulo de 45 grados. Determine: 1. La densidad del material de que est compuesta la esfera. 2. Si la esfera se sumerge en mercurio, determine el nivel de mercurio respecto al eje central de la esfera.

Agua Esfera

45

Figura 9.1. Esquema de la esfera parcialmente sumergida.

9.2 Resolucin1. El elemento diferencial de superficie empleado para determinar el empuje queda esquematizado en la figura 9.2.


28

Mecnica de fluidos

y y x

h

r

F x R

yFigura 9.2. Esquema del elemento diferencial empleado

E = - dFy = - dFsen = - gy2rRdsen;s s s

puesto que:

r = R cos y = h R s e n

E = g(h R s e n )2R cos Rs e n d; 2 2 3 2

E=

gh2R cos s e n d + g2R s e n cos d; 2 2

3 s e n2 3 s e n E = gh2R 2 + g2R 2 3 2 2

(1)

Para =

4

;

h=R sen

= R sen ( 45 ) 4

E = gh2R 2 E = gh2R 2

1 2 2 3 1 3 3 sen 4 sen 2 + g2R 3 sen 4 sen 2 ; 2 1 1 1 1 + g2R 3 0,353553 ( 1) ; 2 2 3

1 1 E = gh2R 2 + g2R 3 (1,353553) ; 3 4 2 3 R R E = g2 h+ (1,353553) ; 4 3


Problema 9

29

R 3sen45 R 3 + E = g2 (1,353553) ; 4 3 sen45 1,353553 3 3 + E = g2R 3 = g2R 0, 62796 = gR 1, 2559 4 3

El peso de la esfera ha de ser igual a su empuje, con lo cual se ha de cumplir:4 w = E g R 3 = E = H2 O gR 3 1, 2559 3 H2 O 1, 2559 Kg E = = 941,94 3 4 m 3 Vase que, tal como caba esperar, la densidad es menor que la densidad del agua.

2. Si la esfera se sumerge en el mercurio, y dado que la densidad del mercurio es 13,6 veces la densidad del agua, se puede realizar una estimacin inicial calculando si la mitad de la esfera quedar o no cubierta por el mercurio. Para ello, se ha de evaluar si se cumple:> 4 14 3 Pesoesfera = Wesfera = esfera g R 3 = Hg g R < 3 23

y se cumple que :

E < Hg

1 2

con lo cual, seguro que nicamente un pequeo casquete esfrico quedar sumergido en el mercurio. Dado que el elemento diferencial de empuje es el mismo que en el apartado inicial, se llega a la misma expresin (1) que en dicho apartado, aunque ahora la densidad de fluido es la del mercurio.3 sen 2 3 sen E = Hg gh2R + Hg g2R 2 3 2 2 2

de donde: R h E = Hg g2R 2 sen 3 sen 3 sen 2 sen 2 ; 2 2 2 3

( 2)

Con el fin de comprobar la bondad de la ecuacin hallada, se comprueba que para =0 se cumple que h = 0, con lo cual el empuje debera ser el equivalente al de media esfera.h R E = Hg g2R 2 (0 + 1) (0 1) 3 2 R h E = Hg g2R 2 + 3 2 3 R 4 1 E = Hg g2 = Hg g R 3 3 3 2

Vase que se cumple.


30

Mecnica de fluidos

La determinacin del ngulo se obtendr de igualar el peso de la esfera a la ecuacin del empuje en funcin de dicho ngulo. El peso de la esfera viene dado por: 4 4 Wesfera =esfera g R 3 =941,949,8 13 =38666,77 N 3 3 (3)

La figura 1.3 es la representacin grfica de la ecuacin (2), donde entrando para el peso de la esfera se obtiene el ngulo que forma la superficie libre del mercurio con el eje de abcisas central de la esfera. Cuyo valor es de = - 42,7.

600000 Empuje que acta sobre la esfera (estando parcialmente sumergida) (N) 500000 400000 300000 200000 100000 0 -90 -75 -60 -45 -30 -15 0 15 30 45 60

558281 N

38666,64 N

75

90

ngulo de la posicin del nivel del lquido (grados)

Figura 9.3. Representacin grfica de la ecuacin 2


Problema 10

31

Problema 10

10.1 EnunciadoDetermine la localizacin del centro de presin y de los momentos causados por las fuerzas hidrostticas sobre el eje que pasa por la base de una placa semicircular de radio la unidad, sumergida completamente e inclinada un ngulo de =45 respecto a la superficie libre del lquido. Considrese que la parte superior de la placa est situada a una distancia respecto al nivel del lquido de h a (10 m; 100 m; 500 m), por debajo de la superficie del mar.

45 ha Y

R cdg

Figura 10.1. Esquema de la posicin de la placa


32

Mecnica de fluidos

10.2 Resolucin

R Yi

R Xc Xc

XFig. 10.2 Ejes de referencia.

X

1. Los momentos de inercia respecto al eje central y el que pasa por la base de la placa se establecen:

I xc =

R 4 8

64 1- 2 9

;

Ix =

1 4 R ; 8

Y=

4R 3

Sustituyendo para el momento de inercia que pasa por el eje central, se tiene: I xc = 0,1097 R 4La distancia (inclinada) desde la superficie del lquido hasta el centro de gravedad del cuerpo se define:

Ycdg =

ha 4R +R sen45 3 10 41 + 1 = 14, 717 m sen45 3 100 41 + 1 = 141,996 m sen45 3 500 41 + 1 = 707, 682 m sen45 3

Ycdg10 = Ycdg10m =

Ycdg100 = Ycdg100m =

Ycdg500 = Ycdg500m =

El centro de presin en los tres casos est situado:Ycdp - Ycdg = Ixcdg

Ycdg A


Problema 10

33

ha = 10 m.

Ycdp = Ycdg +10 10

Ix

cdg

Ycdg10 A

= 14, 717 +

0,1097 14 = 14, 721 m 12 14, 717 2

Ycdp - Ycdg = 0, 00474 m10 10

ha = 100 m.

Ycdp

100

= 141,996 +

0,1097 14 = 141,99649 m 12 141,996 2

Ycdp

100

Ycdg

100

= 0,000491 m

ha = 500 m

Ycdp

500

= 707, 682 +

0,1097 14 = 707, 6820987 m 12 707, 682 2

Ycdp

500

- Ycdg

500

= 0, 00009870 m

Obsrvese que la distancia entre el centro de presiones y el centro de gravedad disminuye a medida que la profundidad aumenta. La fuerza ejercida sobre la superficie semicircular para las tres profundidades se establece del modo siguiente:F10 = g Ycdg sen4510

R2 12 = 1.0009,814, 717sen45 = 160.195, 4 N 2 2

F100 = g Ycdg

100

sen45

R2 12 = 1.0009,8141,996sen45 = 154.5635, 43N 2 2 R2 12 = 1.0009,8707, 682sen45 = 770.3163, 29 N 2 2

F500 = g Ycdg

500

sen45

El momento respecto a la base del rea semicircular ser: 4R M = Fd ( cdp-base ) = F - ( Ycdp- Ycdg ) 3 41 M10m = 160.195, 4 - 0, 00474 = 67.229, 71 Nm 3 41 M100m = 1.545.635, 43 - 0, 000491 = 655.229,14 Nm 3 41 M 500m = 7.703.163, 29 - 0, 00009870 = 3.268.563, 73 Nm 3


34

Mecnica de fluidos

2. Segundo mtodo de resolucin, por integracin directa:

45 ht Y Yt

h

R

c

a

da

Fig. 10.3 Esquema de la posicin de la placa con el elemento diferencial de superficie elegido

Sea el elemento diferencial de superficie definido en la figura 10.3.ds = 2cda a 2 + c2 = R 2 ds = 2 R 2 - a 2 da dF = P dsdF = g h ds = g ( h t - a sen ) ds = g ( Y sen ) ds = g ( Yt - a ) sen ds

dF = g ( Yt - a ) sen ds = g ( Yt - a ) sen 2 R 2 - a 2 da

F = g ( Yt - a )sen 2 R 2 - a 2 da0

R

R

F = g Yt sen 2

0

R

R 2 a 2 da - g sen 2R

0

a

R 2 a 2 da

a R2 a R 2 a 2 + arc sen - g sen 2 F = g Yt sen 2 2 2 R 0

R

0

a R 2 a 2 da


Problema 10

35

R2 F = g Yt sen 2 2

R2 R2 +

R2 R arc sen - g sen 2 2 RR

R

0

a R 2 a 2 da

3 1 R2 F = g Yt sen2 0 + arcsen1 - gsen 2 ( R 2 a 2 ) 2 2 3 0

3 3 R2 1 1 2 g sen 2 . ( R 2 R 2 ) 2 ( R 2 02 ) arc sen1 F = g Yt sen 2 3 3 2

F = g Yt sen 2

3 R2 1 - gsen 2 ( R 2 ) 2 2 2 3

F = g Yt sen

R 2 1 - gsen 2 R 3 ; 2 3

R2 F = gsen R 2 Yt ; 2 3

El valor de Yt ser:h t = h a + Rsen

La ha ha de entenderse ahora como la distancia vertical entre el extremo superior de la placa y la superficie libre del lquido.h a + Rsen h = a +R sen sen

Yt =

Sustituyendo en la ecuacin de la fuerza: h R2 F = gsen R 2 a + R sen 2 3

La fuerza sobre la superficie para las tres profundidades ser: 10 12 F10 = 1.0009,8.sen45.12 + 1 = 160.203,3 N sen45 2 3 100 12 F100 = 1.0009,8.sen45.12 + 1 = 1.545.645,69 N sen45 2 3

ha=10 m

ha=100 m

ha=500 m

500 12 F10000 = 1.0009,8.sen45.12 + 1 = 7.703.167,29 N sen45 2 3


36

Mecnica de fluidos

El momento respecto a la base del rea semicircular es:

dM = dFadM = ag ( Yt - a )sen2 R 2 - a 2 da M = gsen2Yt a R 2 - a 2 da - gsen2a 2 R 2 - a 2 da0 0 R R

3 R 1 M = g sen 2 Yt - ( R 2 - a 2 ) 2 3 0

a (2a 2 - R 2 ) R4 a - R2 - a2 + arcsen 8 8 R 0

R

M = g sen 2 Yt

4 1 3 R 3 R - 8 arcsen1

Recordando que Yt = ha +R , sen45

el momento para los diferentes valores de ha ser:h a = 10 m 10 1 1 M10 = 1.0009,8sen45 2 +1 13 - = 67.231,83 Nm sen 45 3 8 2 100 1 1 M10 = 1.000 9,8sen45 2 +1 13 - = 655.231,83 Nm sen 45 3 8 2 500 1 1 M10 = 1.000 9,8sen45 2 +1 13 - = 3.268.565,16 Nm sen 45 3 8 2

h a = 100 m

h a = 500 m

Vase que los valores de la fuerza y los momentos coinciden con los obtenidos en la resolucin anterior.


Problema 11

37

Problema 11

11.1 EnunciadoSea un recipiente cilndrico parcialmente lleno de agua y abierto a la atmsfera. Dicho recipiente gira a rad y est montado en un ascensor. una velocidad angular de 10 s En condiciones de reposo, la altura del nivel del lquido es de 30 cm. Quedando un espacio libre entre el nivel del lquido y la superficie del vaso de 10 cm, el radio del cilindro es de 6 cm. Sabiendo que cuando el ascensor se pone en marcha, tanto en sentido ascendente como descendente, la m m aceleracin del mismo es de 1 2 y su deceleracin para cualquier sentido de la marcha es de 0,7 2 s s determine: 1. La ecuacin que rige la posicin del nivel del lquido en funcin del radio. 2. La presin a la que est sometida una partcula de fluido situada en el fondo del depsito y a un radio de 0,02 m, para cualquier sentido de la marcha del ascensor y cuando el fluido est en reposo. 3. La velocidad de giro del cilindro para que, en el borde exterior, el lquido se site en el extremo del vaso. Considere el ascensor parado.


38

Mecnica de fluidos

6cm

arad seg

w = 10

-a

Fig. 11.1 Esquema del recipiente cilndrico que gira

11.2 Resolucin1.- La ecuacin diferencial que rige el movimiento de un fluido sometido a las aceleraciones: centrpeta, angular, y en direccin vertical se define como:dP = r 2 dr a 1 a d - g 1+ z dz r g

Puesto que la aceleracin angular no existe para el caso que nos ocupa, queda: a dP = r 2 dr - g 1+ z g dz

Los valores de la aceleracin a z dependern de si el ascensor est subiendo o bajando y de si est en fase de aceleracin o deceleracin, con lo cual: Ascensor en sentido ascendente:

v

Aceleracin Deceleracin

az = 1

m s2

a z = -0,7

m s2

tAscensor en sentido descendente:m s2

v

Deceleracin a z = +0,7

t

Aceleracin

az = - 1

m s2

Las superficies de presin constante tendrn por ecuacin diferencial:


Problema 11

39

a 0 = r 2 dr - g 1+ z dz g

de donde: a r 2 dr = g 1+ z g dz

z 0 ser la altura del lquido para r = 0;

r

r=0

r 2 dr =

z

z0

(g + a z ) dz

2

r2 = (g + a z ) [ z - z 0 ] 2r2 1 + z0 2 (g + az )

con lo cual:z = 2

Se observa que la posicin del nivel del lquido depende no slo de la velocidad de giro, sino tambin de la aceleracin del ascensor. Esta ecuacin quedar completamente definida una vez se determine z 0 . Para determinar z 0 debern igualarse los volmenes del lquido en reposo y en movimiento. R 2 zinicial =

R

0

2 r z dr

Del enunciado se conoce que z inicial = 30 cm. R 2 zinicial =

R

0

2 r 2 1 2r + z 0 dr 2 (g + a z ) R

R zinicial

2

2 r4 r2 = 2 + z0 2 0 2 ( g + a z ) 4

2 R4 R2 R 2 z inicial = 2 + z0 2 2 (g + az ) 4 Zinicial = 2 R 2 + Z0 4 (g + az )

Zo = Zinicial -

2 R 2 4 (g + a z )

Vase que el nivel del lquido cuando el cilindro gira; se desplaza, para radio igual a cero, y depende de las aceleraciones que se tengan en cada caso particular.


40

Mecnica de fluidos

La ecuacin que da la posicin del nivel del lquido teniendo en cuenta todos los parmetros estipulados es: Z = Zinicial 2 R 2 2 r 2 1 + 4 (g + a z ) 2 (g + a z )

2. La presin en el punto considerado saldr de la ecuacin:dP = - g dz

Para el caso en estudio, se tendr:

p

p=0

dp =

-z

z=0

- g dz

P = gz

2 R 2 2 r 2 1 P = g Zinicial + 4 (g + a z ) 2 (g + a z )

Para:

= 1.000

Kg ; m3 Zinicial = 0,3 m;

m ; s2 R = 0,06 m;

g = 9,8

r = 0,02 m; a z = (posee cuatro valores, definidos en el primer apartado): Ascensor subiendo, perodo de aceleracin: a z =1m s2

102 0, 062 102 0, 022 1 P = 1.000 9,8 0,3 + 4 ( 9,8 +1) 2 (9,8 +1)

P =2.876,48 Pa Ascensor subiendo, perodo de deceleracin: a z = -0, 7 m ; s2

102 0, 062 102 0, 022 1 P = 1.000 9,8 0,3 + 4 ( 9,8 - 0, 7 ) 2 (9,8 - 0, 7)

P =2.864,61 Pa Ascensor bajando, perodo de aceleracin: a z = -1m ; s2

P =2.862,04 Pa


Problema 11

41

Ascensor bajando, perodo de deceleracin: a z = +0, 7

m ; s2

P =2.874,6 Pa Para el fluido en reposo: P = 1.000 9,8 0,3 = 2940 Pa ;

3. Puesto que el nivel del lquido est dado por la ecuacin: Z = Zinicial Para: Z = 0,40 m az = 0 r=RZinicial = 0,3 m R = 0,06 m

2 R 2 2 r 2 1 + 4 (g + a z ) 2 g + az

se tiene:0, 4 = 0,3 2 0, 062 2 0, 062 1 + 49,8 2 9,8 rad seg

= 32,99


Problema 12

43

Problema 12

12.1 EnunciadoHalle la expresin que caracteriza el tiempo de vaciado del depsito troncocnico de la figura. Sd = Superficie del agujero de salida

r2

r1 h Sd

H

Fig.12.1

12.2 Resolucin0= d d + SC vndS dt VC

0=

d + ms dt

d = ri2 dh


44

Mecnica de fluidos

d = (r1 + htg()) 2 dh tg = r2 - r1 H r2 - r1 2 ) dh H

d = (r1 + h

(r1 + h

r2 - r1 2 ) dh = - ms dt H

ms = Sd v = Sd 2gh Sd Sd 2g Sdhf t r -r 1 r1 + h 2 1 dh = -dt H 2g H h 0 hf 2

H

2 (r1 + 2r1h

r2 - r1 (r - r ) 2 1 + h 2 2 21 ) dh = -t H H hhf

r - r 3 2 (r - r ) 2 5 2 r12 h + 2r1 2 1 h + 2 21 h = -t H 3 5 2 H 2g 1 2 2 H

El tiempo de vaciado del depsito ser: 2 H r - r H 3 2 (r2 - r1 ) 2 H 5 2 + 2r1 2 1 + r1 H 32 H2 5 2 2g 1 2

t=

Sd


Problema 13

45

Problema 13

13.1 EnunciadoHalle el tiempo que tardar en vaciarse el depsito troncocnico de la figura 13.1, tomando como fluido de trabajo el agua. Rd = 0,1 m; h = 1 m; = 15; Ss = 0,1 m2

rd

dhi hi

h

seccin Ss

r

Fig. 13.1

13.2 ResolucinEl vaciado del depsito se rige por la ecuacin de continuidad:0= d d + Sc V n dS dt c

de donde, considerando el fluido como incompresible, se tiene:0= d + V Ss dt

(A)


46

Mecnica de fluidos

De la figura 13.1 se desprende la relacin entre el diferencial de volumen y el diferencial de altura:

d = r 2 dh i Por otro lado, la ecuacin que rige la velocidad de salida del fluido por la seccin SS vendr dada por:V= 2 g hi

Sustituyendo en (A):0= r 2 dh i + dt 2 g h i Ss

de la figura 1 se desprende la relacin entre el radio r y la altura hir = rd + tg ( h - h i ) ,

con lo cual se obtiene: ( rd + tg ( h - h i ) ) dt2

dh i = - 2 g h i Ss

cuyas variables son hi y t. Agrupando variables e integrando hi entre los lmites 0 y h, y el tiempo entre 0 y t, se obtiene: ( rd + tg ( h - h i ) ) dh i = - 2 g h i Ss dt2

rd 2 + tg 2 ( h - h i )2 + 2 rd tg ( h - h i ) dh i =

2g

1 Ss h i 2 dt

rd 2 + tg 2 ( h 2 - 2 h h i + h i 2 ) + 2 rd tg h - 2 rd tg h i dh i = r 2 2 d h 12 + tg h i 02 h1 rd 2 1i + tg 2 2

2g

1 Ss h i 2 dt

(h

2

- 2 h hi + hi2 ) hi1

1 2

+ 2 rd tg

h hi1 2

- 2 rd tg

t S hi dh i = - 2 g s dt 1 2 hi 0 0

h2 h2 h2 h 2 1i - 2 h 3i + 5i 2 2 2 3 5

3 1 t S h2 h2 + 2 rd tg h 1i - 2 rd tg 3i = - 2 g s t 0 2 2 h

2 2 h1 - rd 1 + tg 2 2

h2 h2 h2 1 -2 3 + 5 2 2 25 5 5

3 3 h2 h2 + 2 rd tg 1 - 2 rd tg 3 = 2 2

2g

Ss t

Podemos aislar el valor de t en funcin de todas las dems variables que son conocidas.2 2 h1 t = rd 1 + tg 2 2

h2 h2 h2 1 -2 3 + 5 2 2 2 5 5 5

3 3 h2 h2 + 2 rd tg 1 - 2 rd tg 3 2 2

1 2g Ss


Problema 13

47

Y, sustituyendo los valores, se obtiene:1 1 12 m 2 t = 0,12 m 2 1 + 0, 2682 2 1 0,1m 2 29,81 m s2 5 5 5 5 5 5 3 3 3 12 m 2 12 m 2 12 m 2 12 m 2 12 - 2 0,1m 0, 268 3 1 - 2 3 + 5 + 2 0,1m 0, 268 1 2 2 2 2 2

t =1,19s


Problema 14

49

Problema 14

14.1 EnunciadoSea un fluido no viscoso de densidad constante que fluye a travs de un difusor bidimensional cuya profundidad es b, se sabe que la velocidad tiene nicamente componente radial V=N/r; y que N=cte. Halle el caudal volumtrico para una de las superficies siguientes: r=r1=cte. ; x=x1=cte.

y A2 A1 r r1 dA1 x1 x1 r dA2 Vr y

Fig. 14.1

14.2 ResolucinEl caudal volumtrico viene dado por:Q = Vn dAS

Para la superficie r = r1= cte. V es perpendicular al elemento diferencial de rea dA;d A = b r1 d

Sustituyendo:


50

Mecnica de fluidos

mx

Q=

- mn

N b r1d = [ N b ]-mx mn r1

Q= N b ( mx + mn )=2 N b mx , puesto que el difusor es simtrico respecto al eje X.

El caudal msico ser m = Q = 2 N b mx Para hallar el caudal en la superficie x=x1, se debern utilizar las relaciones: (v. figura 14.1):2 Vn = Vcos ; dA = bdy; r = x1 + y 2

Integrando nicamente en la mitad superior:ymx

Q=2

0

Vcos (b dy)

ymx

Q = 2b

0

Ncos2 x1 + y 2

dy

cos =

x1 = rymax

x1 x + y2ymx 2 1

Q = 2b

0

1 y Nx1 dy = 2b N x1 arctg 2 2 x x1 + y x1 0 1tg mx =

y Q = 2b N arctg mx ; x1 Q = 2b N arctg(tg( mx ))

ym x x1

Q = 2b N mx que es la misma respuesta que en el caso anterior, lo cual es lgico, pues para una seccin de paso que abarque todo el campo de fluido y siempre que la densidad sea constante el caudal volumtrico ser constante.


Problema 15

51

Problema 15

15.1 EnunciadoHalle la ecuacin diferencial que determina el tiempo de vaciado del depsito de la figura, donde se han realizado varios agujeros para la salida del fluido: Punto 1. Dimetro D1; altura del centro del agujero respecto a la base del depsito H1. Punto 2. Dimetro D2; agujero en la base. Punto 3. Dimetro D3; altura del centro del agujero respecto a la base del depsito H3. H=Nivel del lquido en el depsito para t=0.

Salida 1 Salida 3

Salida 2Fig. 15. 1

15.2 Resolucin Para hallar la ecuacin diferencial que determina el tiempo de vaciado del depsito de la figura, se aplicar la ecuacin de continuidad en forma integral:


52

Mecnica de fluidos

d + v ds = 0 ; sc t vc

d = s D dh

SD = Superficie del depsito cilndrico Aplicando la ecuacin de continuidad al depsito de la figura 15.1, se tiene: sD h + 2g (h - H1 ) ds1 + 2 g h ds 2 + 2g (h - H 3 ) ds3 = 0 s2 s3 t s1

(

)

(

)

(

)

Resolviendo las integrales, se obtiene la ecuacin siguiente: sD dh + dt

(

2 g (h - H1 ) s1 + 2 g h s 2 + 2 g (h - H 3 ) s3 = 0

)

(

)

(

)

Con lo cual, la ecuacin diferencial requerida tendr la forma: dt = sD

(

2 g (h - H1 ) s1 +

)

(

dh

2 g h s2 +

)

(

2 g (h - H 3 ) s3

)

Integrndose entre los lmites:dt = sD dh

t

0

(H

0

2 g (h - H1 ) s1 +

)

(

2 g h s2 +

)

(

2 g (h - H 3 ) s3

)


Problema 16

53

Problema 16

16.1 EnunciadoLa densidad del gas que fluye a travs de un conducto de seccin constante S y longitud X vara de acuerdo con la ley:v1 t x = 1 1 sen X 2X

X >t0 v1 2 0xX

Donde V1 y 1 son la velocidad y la densidad de referencia; por ejemplo, la velocidad y la densidad del fluido a la entrada del conducto.

S

Ve

dx dV

Vs

x XFig. 16.1

Halle la diferencia de flujo msico que entra y sale del conducto en funcin del tiempo.

16.2 ResolucinLa ecuacin de continuidad se expresa:


54

Mecnica de fluidos

0=

d d + ss vds + se vds ; dt c

d d = -ss vds - se vds = se vcosds - ss vcosds ; dt c

d d = me - ms ; dt c

La variacin de flujo msico se obtendr de resolver esta ecuacin, de donde:X vt v t X d d x d x d = 1 1sen 1 S dx = 1 sen 1 S 1 dx = dt c dt 0 2X X dt X 0 2X

=

v t x2 v1 t 3 d d 1 sen 1 S x = 1 sen S X = dt X 4X 0 dt X 4 v1 ; simplificando X

X

vt 3 = = S X 1 cos 1 4 X

me ms =

v1 t d 3 d = S1 4 v1 cos X dt c

Por otro lado, si en lugar de realizar el proceso de integracin inicialmente y luego el de derivacin se realiza a la inversa, se obtiene:X X

v1 t v1 t d d x x d d = dt 1 1- 2X sen X S dx = S 1 1 2X dx dt sen X = dt c 0 0

d x d = S 1 1 2X dx dt c 0

X

v1 t v1 cos X X =

Integrando:

d x d = S 1 1 4X 0 dt c

X

v1 t v1 v1 t 3 cos X X = S 1 4 V1 cos X

Obsrvese que en ambos casos se obtiene el mismo resultado.


Problema 17

55

Problema 17

17.1 EnunciadoEn el esquema de la figura 17.1, halle la ecuacin diferencial que determina la variacin temporal de presin en la cmara del cilindro, conocidas las ecuaciones de los caudales de fuga, QL1; QL2.

QL1

Pout

Pd Q Ao Pn V Q L2

Q L1

Fig.17. 1

17.2 ResolucinLa ecuacin de continuidad en modo integral y rgimen transitorio se enuncia:

d d + sc Vr ds = 0 dt vc


56

Mecnica de fluidos

d d + s0 Vr ds + s1 Vr ds + s2 Vr ds = 0 dt vc

puesto que la densidad y el volumen de control dependen del tiempo. d d vc d + vc d + s0 Vr ds + s1 Vr ds + s2 Vr ds = 0 dt dt d d inicial + +m +m +m =0 salida 0 salida1 salida 2 dt dt = - dp =d m dp dp 1 dp dp = -v == ; dv 1 d d d m d dp = ; dt dt

d dp = ;

dp d inicial + + Qsalida 0 + Q L1 + Q L2 = 0 dt dt

Despejando la densidad: dp d + + Qoutlet0 + Q L1 + Q L2 = 0 dt dt

d dx =S = S Vvelocidad ; dt dtdp d = -Qsalida 0 - Q L1 - Q L2 dt dt

dp = ( -Qsalida 0 - Q L1 - Q L2 - S Vvelocidad ) dt

(A)

La variacin temporal de presin en la cmara cilndrica puede ser determinada si se conocen las ecuaciones de los caudales de fuga en funcin de la presin Pn necesitndose tambin el valor temporal de la velocidad del pistn. A modo de ejemplo, y para el pistn de la figura 17.2, estas ecuaciones se podran dar de la siguiente manera: Suponiendo que en t = 0 el pistn se halla en el PMI (punto muerto inferior), la velocidad del pistn se puede dar como: Vvelocidad = -r tan ( ) sen ( n ) ; n = posicin angular = t r = radio del plato inclinado = ngulo de inclinacin del plato inclinado El caudal de salida del fluido hacia el exterior de la bomba se da por:Qsalida 0 = signo de ( Pn - Pd ) Cd A 0 2

( Pn - Pd ) ;

Cd = coeficiente de descarga A0= rea de salida.


Problema 17

57

L1

L3 L2

L5 L4

L7 L6

L9 L8

L11 L10

r0

Pinletr1 r2 r3 r4

Poutlet

Figura 17.2. Conjunto pistn y patn deslizante

Para el pistn de la figura 17.2, el caudal de fugas temporal viene dado por la ecuacin: h1 R p tan ( sen ( t ) ) Q L1 = D 2

h h PTank Pn 6R p tan ( sen ( t ) ) 10 3 1 ( l2 + l4 + l6 + l8 + l10 ) D h10 12 l1 + l2 + l3 + ..... + l11 0,0195 R p tan cos ( t ) + 1 1 ( l2 + l4 + l6 + l8 + l10 ) 3 3 3 h11 2 h 2 h1

Obsrvese que el caudal depende de la velocidad temporal del pistn y de la longitud del pistn en el interior del cilindro. Para el patn deslizante de la figura 17.2, y considerando que el patn se desliza paralelo al plato inclinado, el caudal de fugas vendr dado por:Q L2 = p n pout 6 1 r2 1 r3 1 r4 ln + ln + ln 3 h1 r1 h 3 r2 h 3 r3 2 3

La integracin de la ecuacin diferencial (A) con las correspondientes ecuaciones asociadas da lugar a la variacin de presin en la cmara del pistn, en funcin del tiempo.


Problema 18

59

Problema 18

18.1 EnunciadoEl chorro de agua que sale por una tobera es de 10 mm de dimetro y choca contra una superficie semiesfrica. Halle la fuerza que hay que realizar para que la superficie semiesfrica no sufra desplazamiento alguno. Aplquelo para el caso de que el caudal volumtrico entrante sea de 0,001 m3/s. Comente las hiptesis realizadas.

+j -i -j +i

QFig. 18. 1

18.2 ResolucinEl empuje que el chorro de fluido ejerce sobre la superficie semiesfrica tiene la misma magnitud y sentido contrario a la fuerza que hay que ejercer para que la semiesfera no se desplace. La figura 18.2 muestra un esquema de las fuerzas actuantes sobre la semiesfera. La ecuacin de cantidad de movimiento establece:


60

Mecnica de fluidos

PL

Ve

Ps

Pe

Ps

Vs

Vs

Fig. 18.2 Fuerzas que actan sobre la semiesfera

Fy = - P dSj- P dSj + dSj - P dSj =Se Ss Sl Sl

d vdV + Sc vvndS dt VC

FLytrabajando en presiones relativas y rgimen permanente. FLy = v ( vn ) dS + v ( vn ) dS = - m ( ve + vs )Se Ss

suponiendo que la velocidad de entrada y salida del agua en el volumen de control es la misma.FLy = -2 m ve = -2 Q v e

Siendo esta la expresin de la fuerza de reaccin en funcin del caudal de entrada. Para agua y un caudal entrante de 0,001 m3/s, la fuerza tendr un valor de: FLY = - 25,46 N


Problema 19

61

Problema 19

19.1 EnunciadoDado el esquema de la figura, que representa el flujo de un fluido, que se puede considerar incompresible, a travs de una vlvula de asiento cnico, y sabiendo que la relacin de presiones entrada-salida es Pe-Ps; determine la fuerza debida a la cantidad de movimiento que se ejerce sobre la corredera cnica. Denomnese el flujo volumtrico circulante Q; la densidad del fluido ; el dimetro del conducto del flujo entrante, De, y la distancia perpendicular entre la superficie lateral del cono y el asiento cnico e. Supngase que el ngulo del cono es .

ds Ps

Ps

oe

Pe dsFig. 19.2

Pe D2Fig. 19.1

19.2 ResolucinSon conocidos los siguientes datos: Q, , Pe, Ps, De y D2 La ecuacin de cantidad de movimiento en direccin y ser:

Fext

y

=

v y d + t vc

sc

v y v r ds


62

Mecnica de fluidos

Desarrollando la expresin anterior, se obtiene:

Fext

y

= v y v r ds + v y v r ds = v ye ve s e + v ys vs ssse ss

Resolviendo para el caso en estudio (v. figura 19.3):

Fext

y

2 2 = ve s e + vs ss cos

2

(1)

A continuacin, se determinan las variables necesarias para resolver la expresin anterior:ve = Q ; 2 De 4 vs = Q ss

;

r1 = r2 e cos 2

La superficie saliente tendr un valor (v. figuras 19.4, 19.5 y 19.6) de:ds = 2 r dl ;ds = 2 2 r r1 r

dr ; sen 90 2

ss =

( r22 r12 ) 2 2 sen 90 2

ss =

sen 90 2

( r22 r12 )

Vys Vs

Fig. 19.3


Problema 19

63

D1 D2Fig. 19.4

r

dh

drFig. 19.5 Fig. 19.6

Por otro lado, las fuerzas superficiales que actan sobre el volumen de control se enuncian:

Fext

y

= Pe n ds Ps n ds + P1 n ds + ds (2)se ss sl sl

Fl y

con lo cual, igualando las expresiones (1) y (2), se obtiene la ecuacin siguiente:

F

ly

2 = ss vs cos

2 s e ve + Ps ds Pe ds ss se 2


64

Mecnica de fluidos

Resolviendo las integrales, se llega a:

F

ly

2 = vs cos

2

( r 2 r 2 ) se ve2 Pe se + Ps ( r22 r12 ) cos 2 1 2 sen 90 sen 90 2 2

Agrupando trminos, se obtiene: sen 90 2 2 2 ( Ps + vs ) s e v e Pe s e 2

Fly =

( r22 r12 ) cos


Problema 20

65

Problema 20

20.1 EnunciadoEn la figura 20.1 se ha representado la seccin recta de un azud con algunas dimensiones principales. Suponiendo que en las secciones de corriente sealadas por lneas de trazos las distribuciones de velocidad son uniformes y conocidas, se pide determinar la fuerza que la corriente realiza sobre el azud. Considrese que el azud tiene una profundidad L y que la altura del nivel del lquido es de 10 m.

Fig. 20.1 Seccin transversal de un azud

20.2 Resolucin Dado que el enunciado indica que las distribuciones de velocidad son uniformes, el flujo msico circulante ser:m = Q = s v = 1L v = L v

La fuerza que la corriente ejerce sobre el azud se podr determinar aplicando el principio de conservacin de cantidad de movimiento al volumen de control englobado entre las dos superficies marcadas en lneas a trazo discontinuo.


66

Mecnica de fluidos

La ecuacin de cantidad de movimiento en rgimen permanente se establece: g d + SL ds SL p ds SE p ds SS p ds = SC v x v ds

Las fuerzas msicas no tendrn componente respecto al eje de abcisas, con lo cual:Fx = SE p ds + SS p ds + SC v x v ds

Los trminos que definen la fuerza debida a la distribucin de presiones en la entrada y la salida son: z2 10 FSE = SE p ds = 0 g z L dz = g L = g L 50 2 0 z2 L FSS = SS p ds = g z L dz = g L = g 2 2 01 0 1 10

El flujo de cantidad de movimiento entre las secciones de entrada y salida del volumen de control es:

SE

v x v ds = - v E Q v x v ds = vS Q

SS

Sustituyendo los cuatro trminos en la ecuacin de cantidad de movimiento, se tiene:Fx = g L 50 + g L v E Q + vS Q 2

Obsrvese que la fuerza que se obtiene es la fuerza de reaccin, la que ejerce el contorno sobre el fluido.


Problema 21

67

Problema 21

21.1 EnunciadoSe desea evaluar la viabilidad de creacin de helicpteros personales, con fines ldicos. Para ello, se pretende estudiar la potencia necesaria para mantener inmvil en el aire dicho equipo en funcin del dimetro D del rotor. Se estima que el peso mximo de equipo y pasajero podra ser de unos P Kg. En la figura 21.1, se esquematiza el rotor con el volumen de control alrededor del mismo y se supone que en la parte inferior del rotor todo el chorro del fluido se desplaza en sentido vertical. Determine: 1. La potencia necesaria en funcin del dimetro del rotor y del peso de equipo y pasajero. 2. Para una velocidad de giro de 400 rpm, un dimetro de rotor de 2 m y un peso del conjunto de 200 kgf, determine la potencia y el par necesarios del motor.

21.2 Resolucin

Ss

Sp Vp Si VFig. 21.1 Esquema de las hlices del rotor y el volumen de control considerado


68

Mecnica de fluidos

1. Estableciendo el volumen de control definido en la figura 21.1, para el cual se supondr que la parte superior del mismo est suficientemente alejada del rotor como para considerar que la velocidad de las partculas es nula, mientras que en su seccin inferior el fluido fluye a una velocidad genrica, Vi. De la aplicacin de la ecuacin de cantidad de movimiento se tiene:Fy =

sc

Vy V ds = Si .Vi .Vi = Si Vi2

dnde Si es la seccin del chorro cilndrico. Aplicando la ecuacin de Bernoulli entre las superficies superior e inferior del volumen de control elegido, se tiene:Ps Vs2 P V2 + + g zs + Y = i + i + g zi 2 2

Asumiendo que la presin en cualquier punto de la entrada o salida se mantiene constante, Pi = PS, y suponiendo despreciables los trminos de energa potencial, se establece:Y= Vi2 P = 2

La P se entiende entre caras del rotor. La fuerza de sustentacin producida por el rotor debera ser asimismo igual a la diferencia de presin entre ambos extremos de las palas, multiplicada por la superficie barrida, obteniendo:Fy = PSP = Vi2 SP 2

Igualando a la ecuacin de cantidad de movimiento, se obtiene:Fy = P SP = Vi2 SP = Si Vi2 2

de donde: SP = 2 Si Suponiendo un rendimiento unitario, la potencia transmitida al fluido ser la que ha de comunicar el motor. La potencia comunicada al fluido ser el producto del gradiente de presiones por el caudal circulante, o bien la energa cintica comunicada al fluido al pasar por el rotor, por el mismo caudal circulante, de donde:N a = PSP VP = Vi2 V2 Si Vi = i SP Vi 2 4

Despejando la velocidad de la ecuacin de cantidad de movimiento, se tiene:

Vi =

Fy Si

=

2 Fy SP3

3 V2 1 2 Fy 2 1 N a = i SP Vi = SP = Fy2 4 4 SP (2SP )0,5

o bien:


Problema 21

69

2 3 N a = Fy

1 2 3 = Fy 2SP D 2

Expresin que relaciona la potencia de accionamiento con la fuerza de sustentacin y el dimetro del rotor. 2. Para un peso de 200 Kgf, un dimetro de rotor de 2 m, y suponiendo la temperatura y la presin del aire atmosfrico de 20 C y 105 Pa, se obtiene una potencia de:= P 100.000 Kg = = 1,189 3 RT 287 293 m 2 2 = (200 9,8)3 2 1,189 22 D

2 3 N a = Fy

Na = 31.747,04 W Dado que el rotor se quiere que gire a 400 rpm, el par necesario deber ser de:N a = M = M 400 2 = 31.747, 04 W 60

M = 303,16 Nm


Problema 22

71

Problema 22

22.1 EnunciadoSea el turborreactor de un avin de pasajeros, el cual se desplaza a una velocidad V, (el aire atmosfrico se considera sin movimiento), el flujo msico entrante al reactor es m E , siendo el caudal msico del combustible que entra lateralmente m FUEL . Se conoce, adems, que los gases de combustin salen de la tobera a una velocidad relativa al motor Vr. Calcule la fuerza realizada por el soporte del motor. (Se puede considerar despreciable la cantidad de movimiento asociada al caudal msico de combustible, m FUEL .)

avin me V soporte P

Ae

As

Fig. 22.1 Esquema del motor de avin

22.2 ResolucinLa ecuacin de cantidad de movimiento en rgimen permanente, aplicada a la superficie que envuelve el volumen de control formado por el motor, y en direccin X, ser:se

v x v ds + v x v ds = F ext x .ss

Teniendo en cuenta que el trmino de fuerzas msicas no tiene componente en direccin X, y puesto que las fuerzas exteriores estn formadas por las fuerzas de presin y los esfuerzos cortantes, que se pueden considerar concentradas en el soporte del motor, considerando que actan en direccin positiva del eje de abcisas, se establece:


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Mecnica de fluidos

F soportex = v x v ds + v rx v r dsse ss

La velocidad en la entrada ser m E = V (velocidad de vuelo del avin). e Ae Para el caso en estudio, se establece: Vx = V; Vr = Vr . Slo existe componente de velocidad en direccin x,x

Obtenindose:F soporte x = m E V + (m E + m F)Vr

puesto que el caudal msico saliente es m E + m FUEL . La fuerza que el soporte ejercer sobre el motor se establece:F soporte x = m E (Vr V) + m FVr

La fuerza, o empuje del motor, vendr dada por:F motor x = m E (V Vr ) m F Vr


Problema 23

73

Problema 23

23.1 EnunciadoSea un cohete que se desplaza verticalmente acelerndose desde el reposo, el consumo de combustible del mismo es de m , siendo la velocidad de escape del fluido constante e igual a ve (velocidad relativa a la superficie de salida del cohete). Si se puede considerar constante la densidad del fluido, y despreciar la variacin temporal de la cantidad de movimiento del cohete, determine: 1. La ecuacin que determina la aceleracin en funcin del tiempo del cohete. 2. La ecuacin que determina la velocidad en funcin del tiempo.

x v.c.

y x VeFig. 23.1

23.2 Resolucin1. La ecuacin de cantidad de movimiento para coordenadas no inerciales cuando se desprecian los esfuerzos por rozamiento se puede expresar como:Fmsicas a d =vc

v y d + t vc

sc

v y v r ds


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Mecnica de fluidos

Fmsicas = M vc g ;

Mvc = es funcin del tiempo.

Aplicando la ecuacin de continuidad al volumen de control del cohete, se obtiene la siguiente expresin: d + v ds = 0 sc t vc dM vc = msalida dt M cohete M inicial = msalida t d = v ds = msalida ssalida t vc

;

;

;

m asa cohete M inicial

dM vc =

t 0

m salida dt

M cohete = M inicial msalida t

de donde:Fmsicas = g ( M inicial msalida t )

a d = a dM vc = a M vc = a ( M inicial msalida t ) v y d = 0 , segn el enunciado. t vc

ss

v y v r ds = v y msalidamsalida

Sustituyendo en la ecuacin general, se llega a:g ( M inicial msalida t ) a ( M inicial msalida t ) = v e msalida a= ve msalida g M inicial msalida t

2.dv a= ; dt v m v = a dt = e salida ln ( M inicial msalida t ) g t ; 0 msalida 0t t

M msaliente t V = Ve ln inicial g t. M inicial

o bien: M inicial V = Ve ln g t. M inicial msaliente t

Obsrvese que la velocidad del cohete tiende a aumentar con el tiempo.


Problema 24

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Problema 24

24.1 EnunciadoSea un avin en vuelo ascendente con una inclinacin respecto a la horizontal, = 22. Sea V la velocidad de escape de los gases de combustin, velocidad relativa a la velocidad del avin, considrese V = constante. Sea D la fuerza de arrastre debida a las fuerzas superficiales, que se opone al movimiento del avin, V 2 D = C D s avin . 2 = densidad del aire. Considere como primera aproximacin la densidad media entre las alturas de vuelo. S = superficie del avin proyectada en un plano perpendicular a la direccin del movimiento. (Es un dato del problema.) CD = coeficiente de arrastre. ( Se supone constante y conocido). En un instante considerado, el avin vuela a una velocidad Vinicial y se halla a una altura H inicial. Dicho avin est acelerando con el fin de obtener una velocidad V final y una altura H final en un tiempo t, en todo momento se mantiene la inclinacin. Determine: 1. El flujo msico que sale por los motores del avin en funcin del tiempo durante el periodo de aceleracin considerado. Considere que la masa del avin se mantiene constante. 2. El flujo msico que sale por los motores del avin en funcin del tiempo durante el perodo de aceleracin considerado. Considrese variable la masa del avin y tngase en cuenta que el caudal msico de combustible es el 5% del caudal entrante a los motores. 3. La altura final a la que se encontrar el avin despus del perodo de aceleracin t considerado. Determine la densidad media del aire atmosfrico entre las alturas de vuelo consideradas, sabiendo que la temperatura en la atmsfera en funcin de la altura h varia segn la relacin: T= T0 Bh; T0 y B son constantes conocidas. Datos: V inicial; V final; H inicial; ; V; CD; S; t; T0; B; m inicial avin; . (Considrese conocida para los apartados 1 y 2.)


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Mecnica de fluidos

24.2Resolucin1. Se eligen los sistemas de coordenadas XY; XY.

y y x g 22

x

78

Para el sistema de coordenadas no inercial situado en el avin, se tiene:

a x

y

v = cte

La ecuacin de cantidad de movimiento aplicada a un sistema no inercial se enuncia: d2R d r ) + (2 Vx ' y ' ) + ( r ) d = c Vx''y' d + sc Vx ' y ' Vx ' y ' d s + sc 2 + ( dt dt t = Fext = sc P n ds + sc ds + c g d

Puesto que las aceleraciones de Coriolis, centrpeta y la debida a la velocidad de giro variable no son relevantes para el caso de estudio, se tiene: d2R c Vx ' y ' d + sc Vx ' y ' Vx ' y ' ds + sc 2 d = sc P n ds + sc ds + c g d t dt

Las fuerzas superficiales han sido dadas en funcin del coeficiente de arrastre: D = CD s 2 Vavin 2

Estas fuerzas tienen la direccin del eje X y se dirigen hacia la parte negativa de dicho eje. d2R c Vx ' y ' d + sc Vx ' y ' Vx ' y ' ds = D + c g d c 2 d t dt


Problema 24

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Eligiendo como volumen de control el avin, se tiene que nicamente existe flujo de cantidad de movimiento entrante y saliente en los motores.sc Vx ' y ' Vx ' y ' ds = se Vavin Vavin ds + ss Vgases escape Vgases escape ds =2 2 Vavin s entrada Vgases escape ssalida = m entrante Vavin msaliente Vgases escape

En este primer apartado, se va a despreciar la aportacin del combustible al caudal msico saliente, con lo cual se tendr:m entrante = msaliente

En lo que a la variacin temporal de cantidad de movimiento se refiere, se va a suponer que la densidad del flujo en el interior del volumen de control es constante; por otro lado, la velocidad de salida del flujo por los motores del avin se ha supuesto tambin constante, segn el enunciado, con lo cual: Vx ' y ' d = 0; t c y se obtiene:msaliente ( Vgases escape Vavin ) = D + c g d c d2R d dt 2

Proyectando la gravedad en la direccin del movimiento del avinc g d = g cos(90 ) = m avin g cos(90 )

Puesto que

d2R = a ,aceleracin del avin dt 22 Vavin m avin g cos(90 ) c a d 2

msaliente ( Vgases escape Vavin ) = C D aire s msaliente ( Vgases escape Vavin ) = C D aire s Vavin = Vinicial + at

2 Vavin m avin g cos(90 ) m avin a 2

msaliente =

CD aire s

( Vinicial + at )

2

+ m avin g cos(90 ) + m avin a 2 ( Vgases escape (Vinicial + at) )

2. Si se considera que la masa del avin vara con el tiempo, se tiene, conociendo que la masa de combustible es el 5% de la masa total:m avin, = m av.inicial m entrante t 0, 05

Segn la ecuacin de continuidad:m entrante + m fuel = msaliente.


78

Mecnica de fluidos

m entrante + 0, 005 mentrante = msaliente. 1, 05 m entrante = msaliente.

con lo cual:m avin, = m av.inicial msaliente t 0, 05 1, 05

El flujo de cantidad de movimiento a travs de los motores del avin, al considerar que el flujo msico de combustible es el 5% del flujo entrante, se establece:sc Vx ' y ' Vx ' y ' ds = m entrante Vavin msaliente Vgases escape = msaliente Vavin msaliente Vgases escape = 1, 05

+ at V V msaliente avin Vgases escape = msaliente inicial Vgases escape 1, 05 1, 05

La ecuacin de cantidad de movimiento quedar:V + at msaliente Vgases escape inicial = 1,05 CD aire s

( Vinicial + at )2

2

0,05 0,05 + mav.inicial msaliente t gcos(90 ) + mav.inicial msaliente t a 1,05 1,05

+ at V 0, 05 = msaliente Vgases escape inicial + msaliente ( g t cos(90 ) + t a ) 1, 05 1, 05 CD aire s

( Vinicial + at )2

2

+ m av.inicial ( g cos(90 ) + a )2

msaliente =

CD aire s

( Vinicial + at )2

+ mav.inicial ( g cos(90 ) + a )

Vinicial + at 0, 05 Vgases escape 1, 05 + ( g t cos(90 ) + t a ) 1, 05

;

La aceleracin que experimenta el avin se halla:a= d 2 R Vfinal Vinicial = t dt 2;

3. Si a la velocidad inicial le corresponde una altura inicial, hi, al final del perodo de aceleracin considerado, t, la altura del avin ser:

Vf hf e hi 22 Vi

1 e = at 2 ; 2 h hi sen22 = f ; e h f = esen22 + h i = 1 2 at sen22 + h i ; 2


Problema 24

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La densidad media del aire atmosfrico entre las dos alturas de vuelo consideradas se determinar hallando la densidad del aire a cada una de estas alturas, y posteriormente obteniendo la media de dichas densidades:hf + hi ; 2 P hf = hf ; RThf aire = hi = Phi ; RThi

Puesto que la temperatura del aire en la atmsfera terrestre viene dada por:T = To Bh; To = 15 C i B = 0, 0065 dp = gdh = P = PatmP = Phf

K ; m

P Pg gdh = dh; RT R(To Bh)

dP gdh h = hf = h = 0 ; P R(T0 Bh) ;

P T Bh f g ln hf = ln 0 Patm RB T0 T Bh f RB Phf = 0 ; T0 g

expresin que da la presin del aire a una altura h genrica; sustituyendo h por hf y hi se obtienen las presiones a las dos alturas consideradas. Dado que la temperatura tambin es conocida, se puede determinar la densidad del aire para estas dos alturas y, consecuentemente, la densidad media.


Problema 25

81

Problema 25

25.1 EnunciadoSe desea realizar un experimento en la estacin especial internacional. El experimento consiste en determinar la fuerza de reaccin del contorno sobre el fluido, cuando este fluye a lo largo de un tramo de tubera recta de 1 m de longitud y 1 cm de dimetro. El satlite donde ir montada la instalacin tiene, en el momento de realizar el experimento, una aceleracin respecto a un sistema de referencia inercial de: a=10j +10k (m/s 2 ) , siendo su velocidad angular = 0,2i + 0,2j - 0,01k (rad/s) . El tramo de tubera respecto al centro de gravedad del satlite est situado en un plano XZ, y el conducto est alineado con el eje Z. El centro de gravedad del conducto est situado en X=0,5 m; Y=0,5 m; Z=1 m. Se conoce, adems, que el flujo es en sentido positivo del eje de las Z, y la presin a la entrada del tramo recto es de 2 105 Pa (presin absoluta). Debido a que el flujo es laminar, para determinar la presin en el extremo opuesto del conducto se 8 Lv P = Y ; utilizar la ecuacin: P = 2 rc L = longitud del conducto v = velocidad del fluido en el conducto, (considrese 1 m/s.) = densidad del fluido = 850 Kg/m3 = viscosidad cinemtica del fluido = 30 10-6 m2/s Considrese despreciable el efecto de la gravedad terrestre sobre el satlite.Tramo del conducto a estudiar z' z x' y'

y

xFigura 25.1. Esquema de la instalacin, con los dos ejes coordenados utilizados


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Mecnica de fluidos

25.2 ResolucinLa ecuacin de cantidad de movimiento para un sistema no inercial de coordenadas se establece (v. figura 25.2):

TuberadS

z

z'

vdS

y'

R

x' y

x

Figura 25.2 Esquema de los dos ejes coordenados con el vector R que los une

d 2 R d Vd + VVdS + VVdS + 2 + dt r + 2 V + r t c se

mecánica de fluidos. problemas resueltos. josep m. bergadà graño

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