matrieks - grey college, bloemfontein · 2020. 4. 15. · graad 11 finansiële wiskunde grey...

Graad 11 Dag 15 Finansiële Wiskunde _________________________________________________________________________________________________

Matrieks: Doen asb. die hersiening van Gr11 Finansies. Dit is deel van die Junie eksamen. (± 10 punte in vraestel 1) Werk deur die voorbeelde en doen die oefeninge vanaf bl. 17. Gebruik asb. die tyd om solank jou gr11 werk te leer, ons weet nie hoeveel tyd gaan jy hê om the leer vir die eksamen nie. Onthou die eksamen werk en vorige vraestelle is beskikbaar op Moodle. http://e-learn.gc.co.za/moodle/course/view.php?id=214

http://e-learn.gc.co.za/moodle/course/view.php?id=214

Graad 11 Finansiële Wiskunde

Grey Kollege 2

Enkelvoudige rente

In die geval word rente bereken slegs op die totale bedrag wat geleen of belê word.

Rente op ŉ bedrag geld wat geleen of belê is, sonder dat die rente by die oorspronklike bedrag getel

word, noem ons enkelvoudige rente, d.w.s. korttermynlening.

Die formule vir enkelvoudige rente

A = P(1 + i.n)

P = die hoofsom d.w.s. oorspronklike bedrag wat geleen of belê word.

A = die eindbedrag d.w.s die hoofsom P plus die rente.

i = rentekoers per jaar.

n = aantal jare

Voorbeeld 1

Frans belê R120 000 in ŉ bank. Aan die einde van elke jaar word die rente onttrek om vir sy jaarlikse

vakansie te betaal.

Aan die einde van 12 jaar onttrek hy die laaste jaar se rente sowel as die oorspronklike deposito.

Bereken:

a) die totale bedrag wat oor 12 jaar uit sy rekening getrek is as die bank 9% p.j. rente betaal.

b) die totale bedrag rente wat verdien is.

Oplossing

a) Probleem: enkelvoudige rente omdat die rente onttrek word en nie by die oorspronklike

bedrag getel word nie.

i = 9% = 9

0,09100

P = 120 000

n = 12

A = ?

A = P(1 + i.n)

= 120 000(1 + (0,09)(12))

= R249 600

b) Rente verdien = A – P

= 249 600 – 120 000

= R 129 600


Grey Kollege 3

Saamgestelde rente Rente word op rente verdien.

Die formule vir saamgestelde rente

A = nP(1 + i)

P = hoofsom of kapitaal of oorspronklike bedrag belê of geleen is.

A = die geakkumuleerde kapitaal d.w.s. oorspronklike bedrag plus rente

n = die aantal jare

i = rentekoers per jaar

Voorbeeld

Om ŉ klein besigheid te begin, word R70 000 geleen. Na vyf jaar word die lening in een bedrag afbetaal.

Bereken in elk van die volgende gevalle hoeveel geld benodig word om die betrokke lening af te betaal.

a) Rente word bereken teen 12% p.j. enkelvoudige rente

b) Die rente word teen 12% p.j. jaarliks saamgestel, bereken

Oplossing

a) P = 70 000

n = 5

i = 12% = 0,12

A = ?

A = P(1 + i.n)

= 70 000[1 + (0,12)(5)]

= R 112 000

b) A = nP(1 + i)

= 70 000 5

1 0,12

= R 123 363, 92

Jy sal opmerk dat R11 363, 92 meer rente in (b) betaal is as in (a)

Voorbeeld

Tobie belê R30 000 in ŉ pensioenfonds vir ŉ tydperk van 8 jaar. Die belegging groei tot ŉ totale bedrag van

R65 000 na 8 jaar.

a) Bereken die rentekoers per jaar, jaarliks saamgestel, wat dieselfde opbrengs sal lewer.

b) Bereken die rentekoers per jaar wat teen enkelvoudige rente dieselfde opbrengs sal gee.


Grey Kollege 4

Oplossing

A = 65 000

P = 30 000

n = 8

i = ?

a) A = nP(1 + i)

n

n

n

8

A(1 + i)

P

A 1 + i =

P

A i = 1

P

65000 = 1

30000

= 1,10147 1

= 0,10147

i = 10,15 % p.j. jaarliks saamgestel. (Rond af in die laaste stap)

b) A = P(1 + i.n)

A1 + i.n =

P

A i.n = 1

P

A1

P i = n

650001

30000 = 8

= 0,14583

i = 14,58 % p.j.

Verskillende samestellings periodes

Saamgestelde rente word gegee as ŉ jaarlikse koers, maar rente kan oor korter tydperke gedurende ŉ jaar

bereken word.

Jaarliks - een keer per jaar (1 jaar → n = 1)

Halfjaarliks - twee keer per jaar (1 jaar → n = 2)

Kwartaalliks - vier keer per jaar (1 jaar → n = 4)

Maandeliks - 12 keer per jaar (1 jaar → n = 12)

Daagliks - 365 keer per jaar (1 jaar → n = 365)


Grey Kollege 5

Voorbeeld

R45 000 word in ŉ spaarrekening gedeponeer. Bereken in elk van die volgende gevalle wat die waarde van

die deposito na 7 jaar sal wees as die rentekoerse soos volg is:

a) 14% p.j. jaarliks saamgestel

b) 14% p.j. kwartaalliks saamgestel

c) 14% p.j. maandeliks saamgestel

d) 14% p.j. daagliks saamgestel

Oplossing

a) P = 45 000; i = 14% = 14

0,14100

; n = 7; A = ?

A n=P(1 + i)

7

7

45000(1 + 0,14)

45000(1,14)

R112 602,10

b) P = 45 000; im = 14

0,14100

; m = 4; n = 7; A = ?

m nmi

A P 1m

7 40,14

45000 1 + 4

R117 907,74

c) P = 45 000; im = 14

0,14100

; m = 12; n = 7; A = ?

m nmi

A P 1m

7 120,14

45000 1 + 12

R119 222,31


Grey Kollege 6

d) P = 45 000; im = 14

0,14100

; m = 365; n = 7; A = ?

m nmi

A P 1m

7 3650,14

45000 1 + 365

R119 878,00

LET OP: Hoe meer dikwels die rente bygevoeg word, hoe groter is die effektiewe rentekoers. Bv 14% p.j.

daagliks saamgestel sal ŉ groter opbrengs lewer as 14% p.j. maandeliks saamgestel.

Nominale en effektiewe rentekoerse

Nominale rentekoerse die rentekoers neem nie verskillende saamgesteldeperiodes wat korter is as die

jaarlikse tydperk, in ag nie. Bv 11% per jaar, kwartaalliks saamgestel, 11% is nominale rentekoers.

Effektiewe rentekoerse – Die ekwivalente jaarlikse rentekoers noem ons die effektiewe rentekoers.

Bv 11,462% per jaar, jaarliks saamgestel gaan dieselfde wees as die 11% per jaar, kwartaallikse saamgestel.

Die simbool i = effektiewe rentekoers

im = nominale rentekoers saamgestel (m) keer per jaar.

Voorbeelde van nominale rentekoerse

1) 8% p.j. kwartaalliks saamgestel

Nominale rentekoers 4i = 0,08

Kwartaallikse rentekoers 0,08

0,024

n = 1 4 4

2) 14% p.j. maandeliks saamgestel kan geskryf word as 12i 0,14

Nominale rentekoers 12i 0,14

Maandelikse rentekoers 0,14

0,011612

n = 1 12 12

3) 7% p.j. daagliks saamgestel

Nominale rentekoers 365i 0,07

Daaglikse rentekoers 0,07

0,00019365

n = 1 365 365


Grey Kollege 7

Voorbeeld

R8 000 is in ŉ spaarrekening gedeponeer vir een jaar teen ŉ rentekoers van 13,5% p.j. kwartaalliks

saamgestel.

a) Wat is die nominale rentekoers?

b) Wat is die kwartaallikse rentekoers?

c) Bereken die totale bedrag geld in die rekening opgehoop aan die einde van een jaar.

d) Bereken die effektiewe jaarlikse rentekoers.

Oplossing

a) Nominale rentekoers = 4i = 13,5% p.j.

b) Kwartaallikse rentekoers = 0,135

0,033754

c) P = 8 000

i = 0,135

0,033754

n = 4

A = nP(1 + i)

4

4

8000(1 0,03375)

8000(1,03375)

R9135,92

d) A = 9 135,92

P = 8 000

n = 1

A = nP(1 + i)

n

n

1

A1 i =

P

A i = 1

P

9135,92 i = 1

8000

i = 0,14199

i = 14,2% p.j.


Grey Kollege 8

Die formule om nominale rentekoerse na effektiewe rentekoerse en effektiewe rentekoerse na nominale

rentekoerse te herlei.

mmi

1 i 1m

i = effektiewe rentekoers

m = die kere per jaar wat die nominale rentekoerse saamgestel is

im = nominale rentekoers

Voorbeelde

1) Herlei 11% p.j. kwartaalliks saamgestel, na die effektiewe jaarlikse rentekoers

2) Herlei ŉ effektiewe jaarlikse rentekoers van 14,2% p.j. na ŉ nominale jaarlikse rentekoers

wat maandeliks saamgestel word.

Oplossing

1) 4i = 11% = 11

0,11100

m = 4

mm

4

i1 i 1

m

0,111 i 1

4

1 i 1,11462

i 0,11462

Effektiewe rentekoers = 11,46% p.j. korrek tot twee desimale plekke.


Grey Kollege 9

2) i = 14,2% = 14,2

0,142100

m = 12

mm

1212

12

12

12

12

12

i1 i 1

m

i1 0,142 1

12

i1 1,142

12

i1 1,01112....

12

i 0,01112....

12

i 0,1335....

13,35% nominale rentekoers per jaar

Voorbeeld

R15 000 word in ŉ spaarrekening gedeponeer. Die rentekoers is 11% p.j. maandeliks saamgestel.

a) Bereken die effektiewe rentekoers per jaar.

b) Bereken die waarde van die spaarrekening aan die einde van 8 jaar deur die effektiewe jaarlikse

rentekoers, jaarliks saamgestel te gebruik.

Oplossing

a)

mmi

1 i 1m

1212

12

i1 i 1

12

0,111 i 1

12

i 0,115719

i 11,57%

b) A = nP(1 + i)

= 15 000(1 + 0,115718...)8

= R 36 018,81 (afgerond tot die naaste sent)

Alternatief kan (a) en (b) in een berekening gekombineer word.

A = Bedrag aan die einde


Grey Kollege 10

P = Hoofsom wat belê is

m = aantal periodes (maandeliks, kwartaalliks, daagliks, ens.)

n = aantal jare

A = nP(1 + i)

mm

m nm

12 8

96

i1 i 1

m

iA P 1

m

0,11A 15000 1

12

0,11 15000 1

12

R36018,81 (korrek tot die naaste sent)

Hierdie formule kan gebruik word as ŉ hoofsom P belê word vir n jaar teen ŉ nominale

koers im % p.j., m keer per jaar saamgestel

m nmi

A P 1m


Grey Kollege 11

Veranderende rentekoerse

Voorbeeld

R 5700 word in ŉ spaarrekening gedeponeer en 2 jaar later word ŉ verdere R1900 in die rekening belê. Na 5

jaar word ŉ finale deposito van R4100 bygevoeg. Vir die eerste 3 jaar is die rentekoers 13% p.j. kwartaalliks

saamgestel. Daarna vermeerder dit tot 11,2% p.j. maandeliks saamgestel. Bereken hoeveel geld in totaal in

die rekening is aan die einde van 8 jaar.

1) Beskou die eerste deposito van R5700

Aan die einde van 3 jaar is die geakkumuleerde bedrag:

m nmi

A P 1m

4 30,13

5700 1 + 4

Na 3 jaar verander die rentekoers en vir die volgende 5 jaar is die rentekoers 11,2% p.j. maandeliks

saamgestel.

Aan die einde van die 8 jaar is die geakkumuleerde bedrag:

4 3 12 5

0,13 0,1125700 1 + 1 +

4 12

2. Beskou die tweede deposito van R1900

Aan die einde van die derde jaar het dit geakkumuleer tot:

m nmi

A P 1m

4 10,13

1900 1 + 4

Vir die volgende 5 jaar is die rentekoers 11,2% p.j. maandeliks saamgestel. Aan die einde van die 8 jaar is

die geakkumuleerde bedrag: 4 1 12 5

0,13 0,1121900 1 + 1 +

4 12

T0 T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10

R5700 R1900 R4100

13% p.j.

kwartaaliks

11,2% p.j. maandeliks


Grey Kollege 12

3. Beskou die laaste deposito van R4100

Dis belê vir 3 jaar teen 11,2 % p.j. maandeliks saamgestel.

Aan die einde van die 8 jaar is die geakkumuleerde bedrag:

T8:

m nmi

A P 1m

12 30,112

4100 1 + 4

Dus, die totale bedrag aan die einde van 8 jaar:

4 3 12 5

0,13 0,1125700 1 + 1 +

4 12

+

4 1 12 50,13 0,112

1900 1 + 1 + 4 12

+

12 30,112

4100 1 + 4

= R24 108,19

Voorbeeld 2

R120 000 word vir 5 jaar in die effektemark belê. Vir die eerste 3 jaar was die vasgestelde rentekoers

11,25% p.j. kwartaalliks saamgestel. Daarna is dit verander na 9,75% p.j. maandeliks saamgestel. Een

onttrekking van R40 000 is na 18 maande gemaak. Bereken die bedrag geld wat na 5 jaar beskikbaar sou

wees.

Oplossing:

In die geval word die tydlyn kwartaalliks (d.i. elke 3 maande ) ingedeel:

Net soos in die vorige voorbeeld sal ons afsonderlik met die waarde van die deposito en die onttrekking by

T5 werk. Dan sal ons die onttrekking aftrek van die deposito.

1. Beskou die deposito van R120 000

Ie rentekoers was 11,2 % p.j. kwartaalliks saamgestel vir 3 jaar.

By T3:

m nmi

A P 1m

4 30,1125

120000 1 + 4

11,25% p.j.

kwartaaliks

9,75% p.j. maandeliks

T2

R40000

T0 T1 T3 T4 T5

R120000 R4100

18 maande


Grey Kollege 13

By T5:

m nmi

A P 1m

4 3 12 20,1125 0,0975

120000 1 + 1 + 4 12

2. Beskou die onttrekking van R40 000

By T3 is die bedrag onttrek, tesame met rente:

m nmi

A P 1m

4 1.5

6

0,112540000 1 +

4

0,112540000 1 +

4

By T5 sal die bedrag tesame met die rente geakkumuleer die volgende wees:

m nmi

A P 1m

6 12 20,1125 0,0975

40000 1 + 1 + 4 12

Die finale geakkumuleerde bedrag by T5 is 4 3 12 2

0,1125 0,0975120000 1 + 1 +

4 12

6 12 20,1125 0,0975

40000 1 + 1 + 4 12

= R 145 902,52

Waardevermindering (Depresiasie)

Waardevermindering is die daling in waarde van ŉ bate as gevolg van ouderdom. Byvoorbeeld voertuie,

masjinerie en toerusting se waarde daal oor ŉ tydperk.

Boekwaarde: is die waarde van ŉ bate op ŉ spesifieke tydperk nadat waardevermindering plaasgevind het.

Skrapwaarde: is die boekwaarde van die bate aan die einde van sy bruikbare lewe.

Reglynige waardevermindering (Depresiasie)

In hierdie geval in die depresiasie jaarliks dieselfde. Dis ŉ persentasie van die oorspronklike waarde van die

bate. As dit reglynige depresiasie is word die waarde van die bate oor ŉ tydperk tot nul verminder.


Grey Kollege 14

Voorbeeld

ŉ Maatskappy koop rekenaars vir R250 000. Die rekenaars se waarde verminder teen 20% p.j. op ŉ

reglynige grondslag. Bereken die waarde van die rekenaars aan die einde van die 1ste, 2de, 3de, 4de en 5de jaar

onderskeidelik.

Oplossing:

Let wel: 20% = 20

0,2100

Einde van die 1ste jaar:R250 000 – 0,2(250 000)

= R 200 000

Einde van die 2de jaar: R200 000 – 0,2(250 000)

= R 150 000


= R 100 000


= R 50 000


= 0

Die grafiek wys die depresiasie oor die 5 jaar:

Reguitlyn waardevermindering formule: A = P(1 – in )

A - boek / skrapwaarde

P - huidige waarde

i - verminderingskoers

n - tydperk


Grey Kollege 15

Waardevermindering volgens verminderde saldo

In hierdie geval word die waardevermindering gebaseer op die vorige jaar se waarde. Elke jaar is die

waardevermindering ŉ persentasie van die verminderde waarde van die bate. Die daling in die waarde sal

jaarliks minder word soos wat die bate se waarde ook minder word. In waardevermindering volgens die

metode van verminderde saldo sal die bate altyd iets werd wees aan die einde van die tydperk.

Voorbeeld

ŉ Maatskappy koop ŉ trok vir R250 000. Waardevermindering word bereken teen 20 % p.j. op die

verminderde saldo. Bereken die trok se waarde aan die einde van die 1ste, 2de, 3de, 4de en 5de jaar

onderskeidelik.

Oplossing:

Let wel: 20% = 20

0,2100

Einde van die 1ste jaar:R250 000 – 0,2(250 000)

= R 200 000


= R 160 000


= R 128 000

Einde van die 4de jaar:R128 000 – 0,2(128 000)

= R 102 400


= R81 920

Die grafiek wys die depresiasie oor die 5 jaar:

In waardevermindering volgends verminderde saldo

a. Die waardevermindering is elke jaar 20% van die vorige jaar se waarde.

b. Die waardevermindering is elke jaar minder as die van die vorige jaar.

c. Die trok sal altyd ŉ waarde hê wat nooit na nul verminder nie.

Waardevermindering volgens verminderde saldo formule: A = P 1n

i

A - boek / skrapwaarde

P - huidige waarde

i - verminderingskoers

n - tydperk


Grey Kollege 16

Voorbeeld

ŉ Maatskappy koop kantoormeubels ter waarde van R860 000. Bereken die waarde van die meubels na 6

jaar as waardevermindering bereken word teen 14% p.j. volgens:

a) Reglynige grondslag

b) Waardevermindering op die verminderde balans

Oplossing

a) A = P(1 – i .n )

860000(1 0,16(6))

137600R

b) A = P 1n

i

6860000(1 0,14)

347927,82R

Let op:

i. Boekwaarde is die waarde van die bate nadat waardevermindering vir ŉ gegewe aantal jaar in

berekening gebring is.

ii. Skrootwaarde is die boekwaarde van ŉ bate aan die einde van sy bruikbare leeftyd.

iii. ŉ Delgingsfonds is die fonds wat ingestel is om die bate te vervang aan die einde van sy

bruikbare tyd.


Grey Kollege 17

Doen die volgende oefeninge


Grey Kollege 18

matrieks - grey college, bloemfontein · 2020. 4. 15. · graad 11 finansiële wiskunde grey...

Documents