modeli stalne rente u serijama

8/17/2019 Modeli Stalne Rente u Serijama

1/16

U N I V E R Z I T E T U K R A G U J E V C UU N I V E R Z I T E T U K R A G U J E V C UE K O N O M S K I F A K U L T E TE K O N O M S K I F A K U L T E T

S E M I N A R S K I R A DS E M I N A R S K I R A D

PREDMET: FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKAPREDMET: FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA

TEMA: MODELI SERIJSKIH RENTI I RENTE KOJE SEMENJAJU PO ARITMETIČKOJ I GEOMETRIJSKOJ

PROGRESIJI

K K R A G U J E V A CR A G U J E V A C , 2 0 1 0 ., 2 0 1 0 .

MMENTOR ENTOR ::PPROFROF.. DR DR MMIROSLAVIROSLAV DDRENOVAK RENOVAK

SSTUDENTTUDENT:: IIVANAVANA N NEDELJKOVIĆEDELJKOVIĆ 2007/4942007/494


2/16

S e m i n a r s k i r a d S e m i n a r s k i r a d

SADRŽAJ

MODELI ANTICIPATIVNE RENTE SA DEKURZIVNOM KAMATNOM STOPOM

.....................................................................................................................................................3

MODELI STALNE RENTE U SERIJAMA........................................................................................3

MODELI PROMENLJIVE RENTE..................................................................................................

R ENTE SUKCESIVNO RASTU (ILI OPADAJU) PO ARITMETIČKOJ PRORESIJI..................................!

R ENTE SUKCESIVNO RASTU (ILI OPADAJU) PO EOMETRIJSKOJ PRORESIJI................................"

MODELI DEKURZIVNE RENTE SA DEKURZIVNOM KAMATNOM STOPOM

.....................................................................................................................................................!

MODEL PROMENLJIVE RENTE...................................................................................................!

R ENTE SUKCESIVNO RASTU (ILI OPADAJU) PO ARITMETIČKOJ PRORESIJI..................................9

R ENTE

SUKCESIVNO

RASTU

(ILI OPADAJU

)PO EOMETRIJSKOJ

PRORESIJI

..............................##

LITERATURA........................................................................................................................13

2


3/16


MODELI ANTICIPATIVNE RENTE SA DEKURZIVNOM

KAMATNOM STOPOM

MODELI STALNE RENTE U SERIJAMA

Stalna renta se prima u serijama ako se:

Renta veličine R1 prima t 1 godina sa m1 termina isplate(gde je t 1· m1=n1 ceo broj renti) i kamatna stopa p1

Renta veličine R2 prima t 2 godina sa m2 termina isplate(gde je t 2· m2=n2 ceo broj renti) i kamatna stopa p2

I tako dalje

Renta veličine Ri prima t i godina sa mi termina isplate (gde je t i· mi=ni ceo broj renti) i kamatna stopa pi

I tako dalje

Renta veličine Rk prima t k godina sa mk termina isplate (gde je t k· mk=nk ceo broj renti) i kamatna stopa pk

!retpostavimo dalje da se sve rente primaju na početkutermina" koji se poklapaju sa obračunskim periodima u kojimase mi#a M koja slu$i #a obe#be%enje svi& isplata" kapitali'e o

#nači da se u t 1 godina kapitali'e sa m2 obračunski& perioda itako dalje" dok se u #adnji& t k godina godina neamorti#ovanideo mi#e kapitali'e sa mk obračunski& perioda godi'nje

!rema i#vedenom modelu #a mi#u M #aključujem da jeobe#be%enje:


4/16


n1= t 1· m1 renti vrednosti R1 potrebno ulo$iti

#a n2= t 2 · m2 treba ulo$iti na kraju t 1 godina kada se

#avr'ava prva serija obe#be%enja od " no ovu

vrednost treba diskontovati na dan polaganja ukupne mi#e pre

početka primanja renti u serijama" 'to #nači da je

pa je diskontovana mi#a #a drugu seriju

*a primanje n= t · m renti tre+e serije potrebno je t 1 , t 2

godina kada počinje ova serija ulo$iti -ada seova suma diskontuje na početak druge serije a #atim na

početak prve serije ima+emo da je

diskontovana vrednost je

odnosno ·

!rema napred i#lo$enom" #aključujemo da je diskontovanavrednost #bira svi& renti i.te serije" na dan početka /nansijsketransakcije

0


5/16


-ako je ukupna mi#a M=M1+M2+...+Mk to je

ko je

m1=m2==mk∧ p1= p2== pk= p ⇒ r i=r =pa dobijamo

kupna kamata koja se ostvaruje ovom /nansijskomtransakcijom je

MODELI PROMENLJIVE RENTE

R"#$" %&'("%)*#+ -%$& )/) +--& + -)$4"$)5'+ +6"%))

ko se renta prima t godima m puta godi'nje i ako je ni#renti R"R,d"R,2d""R,(n.1)d gde je d 3 ra#lika aritmetičkogni#a (pri čemu je #a d40 ni# rastu+i" a #a d50 ni# opadaju+i)tada do mi#e dola#imo na slede+i način:

log #a prvu rentu koja se prima na dan polaganja mi#e je

jer se i#nos prve rente ne diskontuje s ob#irom da

se podi$e na dan polaganja mi#e

6


6/16


7ruga renta diskontovana vrednost je

re+a renta diskontovana vrednost

je i tako dalje

-ako se ulog potreban #a podi#anje i.te rente

(koja se podi$e početkom i.tog obračunskog

perioda) ukama+uje u i.1 obračunski& perioda" to je

diskontovana

vrednost i.te rente (tj ulog ptreban #a isplatu ove rente) je

-ako je ukupno ulaganje #a sve rente

8


7/16


je #bir n članova geometrijskog ni#a

čiji je prvi član a1=1 i količnik pa je

mno$enjem sa r dobijamo

odu#imanjem i dobijamo

odnosno

*amenom i dobijamo

9de je R vrednost prve rente

Re'avanjem po R dobijamo


8/16


kupna kamata koja se dobija je

" gde je " pa kako

rente čine aritmetički ni# " gde je

log potreban #a primanje i.te rente donosi

kamate"

'to daje

lo#i #a primanje prvi& k renti donose ukupnu kamatu

" gde je #bir prvi& k renti

=

" gde je mi#a koju treba

ulo$iti #a primanje prvi& k renti i nju i#računavamo premapret&odnom obrascu (;) *ato je


9/16


a osnovu pret&odnog obrasca i#računavamo #bir kamatakoju donose ulo#i #a primanje renti počev od j.te #aključno sa k .tom rentom:

>


10/16


R"#$" %&'("%)*#+ -%$& )/) +--& + 6"+4"$)%'+ +6"%))

ko rente čine geometrijski ni# tada je " "

"" gde je i q količnik

geometrijskog ni#a i# je rastu+i #a i opadaju+i #a

?vde nema smisla ra#matrati alternativni ni# gde je

i kod koga se u sukcesiji smenjuju po#itivni i negativni

članovi ni#a jer je

S ob#irom da je renta anticipativna to #a i.tu rentu

treba ulo$iti tako da je

jer se renta ukama+uje u obračunskom periodu pa je

diskontovana vrednost i.te rente

-ako je mi#a

Re'avanjem jednačine po R dobijamo

1@


11/16


kupna kamata je -ako je

log #a iA.tu rentu donosi kamate" tj

lo#i #a primanje k renti donose ukupno kamate

" gde je Bbir prvi& k

ranti i mi#a koju treba ulo$iti da se primi prvi& k renti 7alje

je

-ako je gde se i

računaju po pret&odnom obrascu dobijamo #bir kamata kojedonose ulo#i #a primanje renti počev od j.te #aključno sa k .tomrentom

11


12/16


MODELI DEKURZIVNE RENTE SA DEKURZIVNOMKAMATNOM STOPOM

MODEL PROMENLJIVE RENTE

R"#$" %&'("%)*#+ -%$& )/) +--& + -)$4"$)5'+ +6"%))

!o analogiji sa ranijim ra#matranjima i.ta dekur#ivna renta

čija je vrednost " (gde je prva renta)

diskontuje se #a i obračunski& perioda jer se ista podi$e nakraju i.tog obračunskog perioda" pa je njena vrednost

" gde je njena početna vrednost" odnosno ulog

koji slu$i #a obe#be%enje isplate 7alje je

"

kupna mi#a je

12


13/16


mno$enjem sa r dobijamo

odu#imanjem dve relacije

Cto #amenom daje

Re'avanjem pretposlednje jednačine dobijamo

kupna kamata koja se dobija je

1


14/16


R"#$" %&'("%)*#+ -%$& )/) +--& + 6"+4"$)%'+ +6"%))

-ako rente čine geometrijski ni# to je i.ta renta

" gde je

i količnik geometrijskog ni#a

S ob#irom da je renta dekur#ivna" i.ta renta se podi$e na

kraju i.tog obračunskog perioda" pa je " gde je

ulog koji treba na početku ulo$iti #a dobijanje i.te rente 7aklediskontovana vrednost i.te rente je

Sledi da je

kupna kamata je

10


15/16


*bir renti počev od j.te #aključno sa k-tom rentom je

16


16/16


LITERATURA

D1E 7renovak ;iroslav" Privredna I nansijska matematika !mode"i I a"goritmi# -omino trade" -raljevo" 2@@

18

modeli stalne rente u serijama

Documents