Matematyka 1

dr inż. Rajmund Stasiewicz

2015/2016, semestr I (zimowy)

ELEKTROTECHNIKA

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 1 / 24

Kontakt i wyniki

Wyniki i materiały:katmat.pb.bialystok.pl/∼raj/mat

Login: imie.nazwiskoHasło: dowolne (podawane przy rejestracji)

E-mail:r.stasiewicz@pb.edu.pl

Gabinet:WI, pok. 019 (niski parter)

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 2 / 24

Kontakt i wyniki

Wyniki i materiały:katmat.pb.bialystok.pl/∼raj/mat

Login: imie.nazwiskoHasło: dowolne (podawane przy rejestracji)

E-mail:r.stasiewicz@pb.edu.pl

Gabinet:WI, pok. 019 (niski parter)

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 2 / 24

Kontakt i wyniki

Wyniki i materiały:katmat.pb.bialystok.pl/∼raj/mat

Login: imie.nazwiskoHasło: dowolne (podawane przy rejestracji)

E-mail:r.stasiewicz@pb.edu.pl

Gabinet:WI, pok. 019 (niski parter)

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 2 / 24

Matematyka 1Liczby zespolone

dr inż. Rajmund Stasiewicz

2015/2016, semestr I (zimowy)

ELEKTROTECHNIKA

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 3 / 24

Literatura

M.Jurlewicz, Z.Skoczylas; Algebra liniowa 1; Definicje, twierdzenia iwzory; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2006

M.Jurlewicz, Z.Skoczylas; Algebra liniowa 1; Przykłady i zadania;Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2006

T.Trajdos; Matematyka cz III; WNT, Warszawa, 1981

W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka dla studiówesperymentalnych; WNT, Warszawa, 1981

P.Kajetanowicz, J.Wierzejewski; Algebra z geometrią analityczną;PWN, Warszawa, 2008

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 4 / 24

Literatura

M.Jurlewicz, Z.Skoczylas; Algebra liniowa 1; Definicje, twierdzenia iwzory; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2006

M.Jurlewicz, Z.Skoczylas; Algebra liniowa 1; Przykłady i zadania;Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2006

T.Trajdos; Matematyka cz III; WNT, Warszawa, 1981

W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka dla studiówesperymentalnych; WNT, Warszawa, 1981

P.Kajetanowicz, J.Wierzejewski; Algebra z geometrią analityczną;PWN, Warszawa, 2008

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 4 / 24

Literatura

M.Jurlewicz, Z.Skoczylas; Algebra liniowa 1; Definicje, twierdzenia iwzory; Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2006

M.Jurlewicz, Z.Skoczylas; Algebra liniowa 1; Przykłady i zadania;Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, 2006

T.Trajdos; Matematyka cz III; WNT, Warszawa, 1981

W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski; Matematyka dla studiówesperymentalnych; WNT, Warszawa, 1981

P.Kajetanowicz, J.Wierzejewski; Algebra z geometrią analityczną;PWN, Warszawa, 2008

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 4 / 24

Wprowadzenie

Przykład 1:Rozwiąż równanie:

x2 − 2x + 5 = 0

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 5 / 24

Wprowadzenie

Przykład 2:Rozwiąż równania:

x + 8 = 3 – w zbiorze liczb naturalnych

3x = 1 – w zbiorze liczb całkowitych

x2 = 5 – w zbiorze liczb wymiernych

x2 − 2x + 5 = 0 – w zbiorze liczb rzeczywistych

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 6 / 24

Wprowadzenie

Przykład 2:Rozwiąż równania:

x + 8 = 3

– w zbiorze liczb naturalnych

3x = 1 – w zbiorze liczb całkowitych

x2 = 5 – w zbiorze liczb wymiernych

x2 − 2x + 5 = 0 – w zbiorze liczb rzeczywistych

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 6 / 24

Wprowadzenie

Przykład 2:Rozwiąż równania:

x + 8 = 3 – w zbiorze liczb naturalnych

3x = 1 – w zbiorze liczb całkowitych

x2 = 5 – w zbiorze liczb wymiernych

x2 − 2x + 5 = 0 – w zbiorze liczb rzeczywistych

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 6 / 24

Wprowadzenie

Przykład 2:Rozwiąż równania:

x + 8 = 3 – w zbiorze liczb naturalnych

3x = 1

– w zbiorze liczb całkowitych

x2 = 5 – w zbiorze liczb wymiernych

x2 − 2x + 5 = 0 – w zbiorze liczb rzeczywistych

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 6 / 24

Wprowadzenie

Przykład 2:Rozwiąż równania:

x + 8 = 3 – w zbiorze liczb naturalnych

3x = 1 – w zbiorze liczb całkowitych

x2 = 5 – w zbiorze liczb wymiernych

x2 − 2x + 5 = 0 – w zbiorze liczb rzeczywistych

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 6 / 24

Wprowadzenie

Przykład 2:Rozwiąż równania:

x + 8 = 3 – w zbiorze liczb naturalnych

3x = 1 – w zbiorze liczb całkowitych

x2 = 5

– w zbiorze liczb wymiernych

x2 − 2x + 5 = 0 – w zbiorze liczb rzeczywistych

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 6 / 24

Wprowadzenie

Przykład 2:Rozwiąż równania:

x + 8 = 3 – w zbiorze liczb naturalnych

3x = 1 – w zbiorze liczb całkowitych

x2 = 5 – w zbiorze liczb wymiernych

x2 − 2x + 5 = 0 – w zbiorze liczb rzeczywistych

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 6 / 24

Wprowadzenie

Przykład 2:Rozwiąż równania:

x + 8 = 3 – w zbiorze liczb naturalnych

3x = 1 – w zbiorze liczb całkowitych

x2 = 5 – w zbiorze liczb wymiernych

x2 − 2x + 5 = 0

– w zbiorze liczb rzeczywistych

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 6 / 24

Wprowadzenie

Przykład 2:Rozwiąż równania:

x + 8 = 3 – w zbiorze liczb naturalnych

3x = 1 – w zbiorze liczb całkowitych

x2 = 5 – w zbiorze liczb wymiernych

x2 − 2x + 5 = 0 – w zbiorze liczb rzeczywistych

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 6 / 24

Definicja liczby zespolonej

Definicja 1:Liczbą zespoloną nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistychz=(x,y).

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 7 / 24

Definicja liczby zespolonej

UWAGI:

Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez C zatemC = {z = (x , y); x , y ∈ R.}Liczby zespolone oznaczamy krótko przez z , w itp.

W elektrotechnice czesto elementy, których wartości są liczbamizespolonymi oznaczamy używając podkreślenia.

Każdą liczbę zespoloną (x , y) możemy utożsamiać z punktem układuwspółrzędnych XOY .Płaszczyznę w układzie współrzędnych XOY przy takim utożsamieniunazywamy płaszczyzną zespoloną.

Liczbę zepoloną (x , y) można traktować jako wektor, któregopoczątek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, a koniecznajduje się w punkcie (x , y).

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 8 / 24

Definicja liczby zespolonej

UWAGI:

Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez C zatemC = {z = (x , y); x , y ∈ R.}Liczby zespolone oznaczamy krótko przez z , w itp.

W elektrotechnice czesto elementy, których wartości są liczbamizespolonymi oznaczamy używając podkreślenia.

Każdą liczbę zespoloną (x , y) możemy utożsamiać z punktem układuwspółrzędnych XOY .Płaszczyznę w układzie współrzędnych XOY przy takim utożsamieniunazywamy płaszczyzną zespoloną.

Liczbę zepoloną (x , y) można traktować jako wektor, któregopoczątek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, a koniecznajduje się w punkcie (x , y).

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 8 / 24

Definicja liczby zespolonej

UWAGI:

Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez C zatemC = {z = (x , y); x , y ∈ R.}Liczby zespolone oznaczamy krótko przez z , w itp.

W elektrotechnice czesto elementy, których wartości są liczbamizespolonymi oznaczamy używając podkreślenia.

Każdą liczbę zespoloną (x , y) możemy utożsamiać z punktem układuwspółrzędnych XOY .Płaszczyznę w układzie współrzędnych XOY przy takim utożsamieniunazywamy płaszczyzną zespoloną.

Liczbę zepoloną (x , y) można traktować jako wektor, któregopoczątek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, a koniecznajduje się w punkcie (x , y).

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 8 / 24

Definicja liczby zespolonej

UWAGI:

Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez C zatemC = {z = (x , y); x , y ∈ R.}Liczby zespolone oznaczamy krótko przez z , w itp.

W elektrotechnice czesto elementy, których wartości są liczbamizespolonymi oznaczamy używając podkreślenia.

Każdą liczbę zespoloną (x , y) możemy utożsamiać z punktem układuwspółrzędnych XOY .Płaszczyznę w układzie współrzędnych XOY przy takim utożsamieniunazywamy płaszczyzną zespoloną.

Liczbę zepoloną (x , y) można traktować jako wektor, któregopoczątek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, a koniecznajduje się w punkcie (x , y).

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 8 / 24

Definicja liczby zespolonej

UWAGI:

Zbiór wszystkich liczb zespolonych oznaczamy przez C zatemC = {z = (x , y); x , y ∈ R.}Liczby zespolone oznaczamy krótko przez z , w itp.

W elektrotechnice czesto elementy, których wartości są liczbamizespolonymi oznaczamy używając podkreślenia.

Każdą liczbę zespoloną (x , y) możemy utożsamiać z punktem układuwspółrzędnych XOY .Płaszczyznę w układzie współrzędnych XOY przy takim utożsamieniunazywamy płaszczyzną zespoloną.

Liczbę zepoloną (x , y) można traktować jako wektor, któregopoczątek pokrywa się z początkiem układu współrzędnych, a koniecznajduje się w punkcie (x , y).

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 8 / 24

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Definicja 2:Liczbą zespoloną (0, 1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamysymbolem j lub i .

j = (0, 1)

Każdą liczbę zepoloną można jednoznacznie zapisać w postacialgebraicznej: z = x + jy gdzie x , y ∈ R.

Liczbę x oznaczamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z cozapisujemy Re z = x .

Liczbę y oznaczamy częścią urojoną liczby zespolonej z co zapisujemyIm z = y .

Osie OX i OY nazywamy odpowiednio osią rzeczywistą i osiąurojoną.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 9 / 24

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Definicja 2:Liczbą zespoloną (0, 1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamysymbolem j lub i .

j = (0, 1)

Każdą liczbę zepoloną można jednoznacznie zapisać w postacialgebraicznej: z = x + jy gdzie x , y ∈ R.

Liczbę x oznaczamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z cozapisujemy Re z = x .

Liczbę y oznaczamy częścią urojoną liczby zespolonej z co zapisujemyIm z = y .

Osie OX i OY nazywamy odpowiednio osią rzeczywistą i osiąurojoną.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 9 / 24

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Definicja 2:Liczbą zespoloną (0, 1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamysymbolem j lub i .

j = (0, 1)

Każdą liczbę zepoloną można jednoznacznie zapisać w postacialgebraicznej: z = x + jy gdzie x , y ∈ R.

Liczbę x oznaczamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z cozapisujemy Re z = x .

Liczbę y oznaczamy częścią urojoną liczby zespolonej z co zapisujemyIm z = y .

Osie OX i OY nazywamy odpowiednio osią rzeczywistą i osiąurojoną.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 9 / 24

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Definicja 2:Liczbą zespoloną (0, 1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamysymbolem j lub i .

j = (0, 1)

Każdą liczbę zepoloną można jednoznacznie zapisać w postacialgebraicznej: z = x + jy gdzie x , y ∈ R.

Liczbę x oznaczamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z cozapisujemy Re z = x .

Liczbę y oznaczamy częścią urojoną liczby zespolonej z co zapisujemyIm z = y .

Osie OX i OY nazywamy odpowiednio osią rzeczywistą i osiąurojoną.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 9 / 24

Postać algebraiczna liczby zespolonej

Definicja 2:Liczbą zespoloną (0, 1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamysymbolem j lub i .

j = (0, 1)

Każdą liczbę zepoloną można jednoznacznie zapisać w postacialgebraicznej: z = x + jy gdzie x , y ∈ R.

Liczbę x oznaczamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z cozapisujemy Re z = x .

Liczbę y oznaczamy częścią urojoną liczby zespolonej z co zapisujemyIm z = y .

Osie OX i OY nazywamy odpowiednio osią rzeczywistą i osiąurojoną.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 9 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Równość liczb zespolonych

Dwie liczby zespolone z1 = x1 + jy1 i z2 = x2 + jy2 są równe jeśliodpowiednio ich części rzeczywiste są równe i części urojone są równe tj.x1 = x2 oraz y1 = y2.

Przykład 3:Czy równe są liczby (2;−3) i (−3; 2)?

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 10 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Równość liczb zespolonych

Dwie liczby zespolone z1 = x1 + jy1 i z2 = x2 + jy2 są równe jeśliodpowiednio ich części rzeczywiste są równe i części urojone są równe tj.x1 = x2 oraz y1 = y2.

Przykład 3:Czy równe są liczby (2;−3) i (−3; 2)?

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 10 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Definicja 3:Liczbami zepolonymi sprzężonymi nazywamy dwie liczby zespolone

z = x + jy oraz z̄ = x − jy

gdzie x , y ∈ R.

Przykład 4:Podaj liczbę sprzężoną do z = 2− 3j

Interpretacja geometryczna.

Suma i iloczyn liczb zespolonych sprzężonych są liczbamirzeczywistymi. Mianowicie dla z = x + jy otrzymujemy:

z + z̄ = 2x z · z̄ = x2 + y2.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 11 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Definicja 3:Liczbami zepolonymi sprzężonymi nazywamy dwie liczby zespolone

z = x + jy oraz z̄ = x − jy

gdzie x , y ∈ R.

Przykład 4:Podaj liczbę sprzężoną do z = 2− 3j

Interpretacja geometryczna.

Suma i iloczyn liczb zespolonych sprzężonych są liczbamirzeczywistymi. Mianowicie dla z = x + jy otrzymujemy:

z + z̄ = 2x z · z̄ = x2 + y2.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 11 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Definicja 3:Liczbami zepolonymi sprzężonymi nazywamy dwie liczby zespolone

z = x + jy oraz z̄ = x − jy

gdzie x , y ∈ R.

Przykład 4:Podaj liczbę sprzężoną do z = 2− 3j

Interpretacja geometryczna.

Suma i iloczyn liczb zespolonych sprzężonych są liczbamirzeczywistymi. Mianowicie dla z = x + jy otrzymujemy:

z + z̄ = 2x z · z̄ = x2 + y2.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 11 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Definicja 3:Liczbami zepolonymi sprzężonymi nazywamy dwie liczby zespolone

z = x + jy oraz z̄ = x − jy

gdzie x , y ∈ R.

Przykład 4:Podaj liczbę sprzężoną do z = 2− 3j

Interpretacja geometryczna.

Suma i iloczyn liczb zespolonych sprzężonych są liczbamirzeczywistymi. Mianowicie dla z = x + jy otrzymujemy:

z + z̄ = 2x z · z̄ = x2 + y2.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 11 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Dodawanie liczb zespolonych

Sumę liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy dodając do siebie osobno częścirzeczywiste i urojone.

Jeżeli z1 = x1 + jy1 oraz z2 = x2 + jy2 wówczas

z1 + z2 = (x1 + x2) + j(y1 + y2)

Przykład 5:Oblicz

(2− 3j) + (4 + j).

Interpretacja geometryczna.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 12 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Dodawanie liczb zespolonych

Sumę liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy dodając do siebie osobno częścirzeczywiste i urojone.

Jeżeli z1 = x1 + jy1 oraz z2 = x2 + jy2 wówczas

z1 + z2 = (x1 + x2) + j(y1 + y2)

Przykład 5:Oblicz

(2− 3j) + (4 + j).

Interpretacja geometryczna.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 12 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Dodawanie liczb zespolonych

Sumę liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy dodając do siebie osobno częścirzeczywiste i urojone.

Jeżeli z1 = x1 + jy1 oraz z2 = x2 + jy2 wówczas

z1 + z2 = (x1 + x2) + j(y1 + y2)

Przykład 5:Oblicz

(2− 3j) + (4 + j).

Interpretacja geometryczna.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 12 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Odejmowanie liczb zespolonych

Różnicę liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy odejmując od siebie osobnoczęści rzeczywiste i urojone.

Jeżeli z1 = x1 + jy1 oraz z2 = x2 + jy2 wówczas

z1 − z2 = (x1 − x2) + j(y1 − y2)

Przykład 6:Oblicz

(2− 3j)− (4 + j).

Interpretacja geometryczna.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 13 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Odejmowanie liczb zespolonych

Różnicę liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy odejmując od siebie osobnoczęści rzeczywiste i urojone.

Jeżeli z1 = x1 + jy1 oraz z2 = x2 + jy2 wówczas

z1 − z2 = (x1 − x2) + j(y1 − y2)

Przykład 6:Oblicz

(2− 3j)− (4 + j).

Interpretacja geometryczna.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 13 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Odejmowanie liczb zespolonych

Różnicę liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy odejmując od siebie osobnoczęści rzeczywiste i urojone.

Jeżeli z1 = x1 + jy1 oraz z2 = x2 + jy2 wówczas

z1 − z2 = (x1 − x2) + j(y1 − y2)

Przykład 6:Oblicz

(2− 3j)− (4 + j).

Interpretacja geometryczna.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 13 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Mnożenie liczb zespolonych

Iloczyn liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy mnożąc przez wszystkie wyrazy,a następnie zastępując j2 przez −1.

Jeżeli z1 = x1 + jy1 oraz z2 = x2 + jy2 wówczas

z1 · z2 = (x1x2 − y1y2) + j(x1y2 + x2y1)

Dodawanie, odejmowanie i mnmożenie liczb zespolonych w postacialgebraicznej wykonujemy tak jak dodawanie, odejmowanie imnożenie wielomianów zmiennej j przy warunku j2 = −1.

Przykład 7:Oblicz

(2− 3j) · (4 + j).

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 14 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Mnożenie liczb zespolonych

Iloczyn liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy mnożąc przez wszystkie wyrazy,a następnie zastępując j2 przez −1.

Jeżeli z1 = x1 + jy1 oraz z2 = x2 + jy2 wówczas

z1 · z2 = (x1x2 − y1y2) + j(x1y2 + x2y1)

Dodawanie, odejmowanie i mnmożenie liczb zespolonych w postacialgebraicznej wykonujemy tak jak dodawanie, odejmowanie imnożenie wielomianów zmiennej j przy warunku j2 = −1.

Przykład 7:Oblicz

(2− 3j) · (4 + j).

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 14 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Dzielenie liczb zespolonych

Iloraz liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy obliczamy mnożąc licznik imianownik tego ułamka przez liczbę zespoloną sprzężoną z mianownikiem,a następnie rozdzielając część rzeczywistą i urojoną.

Jeżeli z1 = x1 + jy1 oraz z2 = x2 + jy2 wówczas

z1z2

=(x1x2 + y1y2)x22 + y22

+(x2y1 − x1y2)x22 + y22

Przykład 8:Oblicz

2− 3j4 + j

.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 15 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Dzielenie liczb zespolonych

Iloraz liczb zespolonych z1 i z2 obliczamy obliczamy mnożąc licznik imianownik tego ułamka przez liczbę zespoloną sprzężoną z mianownikiem,a następnie rozdzielając część rzeczywistą i urojoną.

Jeżeli z1 = x1 + jy1 oraz z2 = x2 + jy2 wówczas

z1z2

=(x1x2 + y1y2)x22 + y22

+(x2y1 − x1y2)x22 + y22

Przykład 8:Oblicz

2− 3j4 + j

.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 15 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Liczby rzeczywiste są szczególnym przypadkiem liczb zespolonych(są podzbiorem zbioru liczb zespolonych)

R ⊂ C

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)

(x1, 0)− (x2, 0) = (x1 − x2, 0)

(x1, 0) · (x2, 0) = (x1 · x2, 0)

(x1, 0)/(x2, 0) = (x1/x2, 0)

W zbiorze liczb zespolonych obowiązują wszystkie reguły czterechpodstawowych działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożeniei dzielenie) znane dla liczb rzeczywistych. W szczególności prawdziwe sąwzory skróconego mnożenia itp.R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 16 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Liczby rzeczywiste są szczególnym przypadkiem liczb zespolonych(są podzbiorem zbioru liczb zespolonych)

R ⊂ C

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)

(x1, 0)− (x2, 0) = (x1 − x2, 0)

(x1, 0) · (x2, 0) = (x1 · x2, 0)

(x1, 0)/(x2, 0) = (x1/x2, 0)

W zbiorze liczb zespolonych obowiązują wszystkie reguły czterechpodstawowych działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożeniei dzielenie) znane dla liczb rzeczywistych. W szczególności prawdziwe sąwzory skróconego mnożenia itp.R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 16 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Liczby rzeczywiste są szczególnym przypadkiem liczb zespolonych(są podzbiorem zbioru liczb zespolonych)

R ⊂ C

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)

(x1, 0)− (x2, 0) = (x1 − x2, 0)

(x1, 0) · (x2, 0) = (x1 · x2, 0)

(x1, 0)/(x2, 0) = (x1/x2, 0)

W zbiorze liczb zespolonych obowiązują wszystkie reguły czterechpodstawowych działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożeniei dzielenie) znane dla liczb rzeczywistych. W szczególności prawdziwe sąwzory skróconego mnożenia itp.R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 16 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Liczby rzeczywiste są szczególnym przypadkiem liczb zespolonych(są podzbiorem zbioru liczb zespolonych)

R ⊂ C

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)

(x1, 0)− (x2, 0) = (x1 − x2, 0)

(x1, 0) · (x2, 0) = (x1 · x2, 0)

(x1, 0)/(x2, 0) = (x1/x2, 0)

W zbiorze liczb zespolonych obowiązują wszystkie reguły czterechpodstawowych działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożeniei dzielenie) znane dla liczb rzeczywistych. W szczególności prawdziwe sąwzory skróconego mnożenia itp.R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 16 / 24

Działania na liczbach zespolonych

Liczby rzeczywiste są szczególnym przypadkiem liczb zespolonych(są podzbiorem zbioru liczb zespolonych)

R ⊂ C

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0)

(x1, 0)− (x2, 0) = (x1 − x2, 0)

(x1, 0) · (x2, 0) = (x1 · x2, 0)

(x1, 0)/(x2, 0) = (x1/x2, 0)

W zbiorze liczb zespolonych obowiązują wszystkie reguły czterechpodstawowych działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożeniei dzielenie) znane dla liczb rzeczywistych. W szczególności prawdziwe sąwzory skróconego mnożenia itp.R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 16 / 24

Wprowadzenie

Przykład 9:Rozwiąż równanie:

x2 − 2x + 5 = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 17 / 24

Wprowadzenie

Przykład 10:Rozwiąż równanie:

x2 − 2x + 5 = 0

w zbiorze liczb zespolonych.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 18 / 24

Moduł i argument liczby zespolonej

Definicja 4:Modułem liczby zespolonej z = x + jy , gdzie x , y ∈ R, nazywamyliczbę rzeczywistą |z | określoną wzorem

|z | =√x2 + y2.

Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej.

Interpretacja geometryczna modułu różnicy liczb zespolonych.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 19 / 24

Moduł i argument liczby zespolonej

Definicja 4:Modułem liczby zespolonej z = x + jy , gdzie x , y ∈ R, nazywamyliczbę rzeczywistą |z | określoną wzorem

|z | =√x2 + y2.

Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej.

Interpretacja geometryczna modułu różnicy liczb zespolonych.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 19 / 24

Moduł i argument liczby zespolonej

Definicja 4:Modułem liczby zespolonej z = x + jy , gdzie x , y ∈ R, nazywamyliczbę rzeczywistą |z | określoną wzorem

|z | =√x2 + y2.

Interpretacja geometryczna modułu liczby zespolonej.

Interpretacja geometryczna modułu różnicy liczb zespolonych.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 19 / 24

Moduł i argument liczby zespolonej

Definicja 5:Argumenetem liczby zespolonej z = x + jy , gdzie x , y ∈ R,nazywamy każdą liczbę ϕ ∈ R spełniającą układ równań:{

cosϕ = x|z|

sinϕ = y|z|

.

Argumentem liczby zespolonej z = 0 jest każda liczba ϕ ∈ R.Argumentem głównym liczby zespolonej z 6= 0 nazywamy argumentϕ tej liczby spełniający nierówność 0 ¬ ϕ < 2π lub −π < ϕ ¬ π.Argumentem głównym liczby z = 0 jest 0.Argument główny liczby zespolonej z oznaczamy przez arg z . Każdyargument ϕ liczby zespolonej z 6= 0 ma postać ϕ = arg z + 2kπ, gdziek ∈ Z.Interpretacja geometryczna argumentu liczby zespolonej.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 20 / 24

Moduł i argument liczby zespolonej

Definicja 5:Argumenetem liczby zespolonej z = x + jy , gdzie x , y ∈ R,nazywamy każdą liczbę ϕ ∈ R spełniającą układ równań:{

cosϕ = x|z|

sinϕ = y|z|

.

Argumentem liczby zespolonej z = 0 jest każda liczba ϕ ∈ R.Argumentem głównym liczby zespolonej z 6= 0 nazywamy argumentϕ tej liczby spełniający nierówność 0 ¬ ϕ < 2π lub −π < ϕ ¬ π.Argumentem głównym liczby z = 0 jest 0.Argument główny liczby zespolonej z oznaczamy przez arg z . Każdyargument ϕ liczby zespolonej z 6= 0 ma postać ϕ = arg z + 2kπ, gdziek ∈ Z.Interpretacja geometryczna argumentu liczby zespolonej.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 20 / 24

Moduł i argument liczby zespolonej

Definicja 5:Argumenetem liczby zespolonej z = x + jy , gdzie x , y ∈ R,nazywamy każdą liczbę ϕ ∈ R spełniającą układ równań:{

cosϕ = x|z|

sinϕ = y|z|

.

Argumentem liczby zespolonej z = 0 jest każda liczba ϕ ∈ R.Argumentem głównym liczby zespolonej z 6= 0 nazywamy argumentϕ tej liczby spełniający nierówność 0 ¬ ϕ < 2π lub −π < ϕ ¬ π.Argumentem głównym liczby z = 0 jest 0.Argument główny liczby zespolonej z oznaczamy przez arg z . Każdyargument ϕ liczby zespolonej z 6= 0 ma postać ϕ = arg z + 2kπ, gdziek ∈ Z.Interpretacja geometryczna argumentu liczby zespolonej.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 20 / 24

Moduł i argument liczby zespolonej

Definicja 5:Argumenetem liczby zespolonej z = x + jy , gdzie x , y ∈ R,nazywamy każdą liczbę ϕ ∈ R spełniającą układ równań:{

cosϕ = x|z|

sinϕ = y|z|

.

Argumentem liczby zespolonej z = 0 jest każda liczba ϕ ∈ R.Argumentem głównym liczby zespolonej z 6= 0 nazywamy argumentϕ tej liczby spełniający nierówność 0 ¬ ϕ < 2π lub −π < ϕ ¬ π.Argumentem głównym liczby z = 0 jest 0.Argument główny liczby zespolonej z oznaczamy przez arg z . Każdyargument ϕ liczby zespolonej z 6= 0 ma postać ϕ = arg z + 2kπ, gdziek ∈ Z.Interpretacja geometryczna argumentu liczby zespolonej.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 20 / 24

Moduł i argument liczby zespolonej

Definicja 5:Argumenetem liczby zespolonej z = x + jy , gdzie x , y ∈ R,nazywamy każdą liczbę ϕ ∈ R spełniającą układ równań:{

cosϕ = x|z|

sinϕ = y|z|

.

Argumentem liczby zespolonej z = 0 jest każda liczba ϕ ∈ R.Argumentem głównym liczby zespolonej z 6= 0 nazywamy argumentϕ tej liczby spełniający nierówność 0 ¬ ϕ < 2π lub −π < ϕ ¬ π.Argumentem głównym liczby z = 0 jest 0.Argument główny liczby zespolonej z oznaczamy przez arg z . Każdyargument ϕ liczby zespolonej z 6= 0 ma postać ϕ = arg z + 2kπ, gdziek ∈ Z.Interpretacja geometryczna argumentu liczby zespolonej.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 20 / 24

Moduł i argument liczby zespolonej

Definicja 5:Argumenetem liczby zespolonej z = x + jy , gdzie x , y ∈ R,nazywamy każdą liczbę ϕ ∈ R spełniającą układ równań:{

cosϕ = x|z|

sinϕ = y|z|

.

Argumentem liczby zespolonej z = 0 jest każda liczba ϕ ∈ R.Argumentem głównym liczby zespolonej z 6= 0 nazywamy argumentϕ tej liczby spełniający nierówność 0 ¬ ϕ < 2π lub −π < ϕ ¬ π.Argumentem głównym liczby z = 0 jest 0.Argument główny liczby zespolonej z oznaczamy przez arg z . Każdyargument ϕ liczby zespolonej z 6= 0 ma postać ϕ = arg z + 2kπ, gdziek ∈ Z.Interpretacja geometryczna argumentu liczby zespolonej.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 20 / 24

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Niech ϕ ∈ R będzie argumentem liczby zespolonej z a r = |z | ­ 0 jejmodułem. Wtedy

Fakt:Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postacitrygonometrycznej

z = r(cosϕ+ j sinϕ).

Interpretacja geometryczna postaci trygonometrycznej liczbyzespolonej.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 21 / 24

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Niech ϕ ∈ R będzie argumentem liczby zespolonej z a r = |z | ­ 0 jejmodułem. Wtedy

Fakt:Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postacitrygonometrycznej

z = r(cosϕ+ j sinϕ).

Interpretacja geometryczna postaci trygonometrycznej liczbyzespolonej.

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 21 / 24

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Niech dane będą dwie liczby zespolone z1 = r1(cosϕ1 + j sinϕ1) iz1 = r2(cosϕ2 + j sinϕ2). Wtedy

Liczby zespolone z1 i z2 są równe wtedy i tylko wtedy, gdy r1 = r2 = 0albo r1 = r2 > 0 oraz ϕ1 = ϕ2 + 2kπ dla pewnego k ∈ Z.

Iloczyn liczb zespolonych:

z1 · z2 = r1 · r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)]

Potęgowanie (wzór de Moivre’a):

zn = rn(cos nϕ+ j sin nϕ)

Iloraz liczb zespolonych:z1z2

=r1r2

[cos(ϕ1 − ϕ2) + j sin(ϕ1 − ϕ2)]

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 22 / 24

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Niech dane będą dwie liczby zespolone z1 = r1(cosϕ1 + j sinϕ1) iz1 = r2(cosϕ2 + j sinϕ2). Wtedy

Liczby zespolone z1 i z2 są równe wtedy i tylko wtedy, gdy r1 = r2 = 0albo r1 = r2 > 0 oraz ϕ1 = ϕ2 + 2kπ dla pewnego k ∈ Z.

Iloczyn liczb zespolonych:

z1 · z2 = r1 · r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)]

Potęgowanie (wzór de Moivre’a):

zn = rn(cos nϕ+ j sin nϕ)

Iloraz liczb zespolonych:z1z2

=r1r2

[cos(ϕ1 − ϕ2) + j sin(ϕ1 − ϕ2)]

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 22 / 24

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Niech dane będą dwie liczby zespolone z1 = r1(cosϕ1 + j sinϕ1) iz1 = r2(cosϕ2 + j sinϕ2). Wtedy

Liczby zespolone z1 i z2 są równe wtedy i tylko wtedy, gdy r1 = r2 = 0albo r1 = r2 > 0 oraz ϕ1 = ϕ2 + 2kπ dla pewnego k ∈ Z.

Iloczyn liczb zespolonych:

z1 · z2 = r1 · r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)]

Potęgowanie (wzór de Moivre’a):

zn = rn(cos nϕ+ j sin nϕ)

Iloraz liczb zespolonych:z1z2

=r1r2

[cos(ϕ1 − ϕ2) + j sin(ϕ1 − ϕ2)]

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 22 / 24

Postać trygonometryczna liczby zespolonej

Niech dane będą dwie liczby zespolone z1 = r1(cosϕ1 + j sinϕ1) iz1 = r2(cosϕ2 + j sinϕ2). Wtedy

Liczby zespolone z1 i z2 są równe wtedy i tylko wtedy, gdy r1 = r2 = 0albo r1 = r2 > 0 oraz ϕ1 = ϕ2 + 2kπ dla pewnego k ∈ Z.

Iloczyn liczb zespolonych:

z1 · z2 = r1 · r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + j sin(ϕ1 + ϕ2)]

Potęgowanie (wzór de Moivre’a):

zn = rn(cos nϕ+ j sin nϕ)

Iloraz liczb zespolonych:z1z2

=r1r2

[cos(ϕ1 − ϕ2) + j sin(ϕ1 − ϕ2)]

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 22 / 24

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Definicja 6:

Dla ϕ ∈ R liczbę zespoloną cosϕ+ j sinϕ oznaczamy krótko przez e jϕ.

e jϕ = cosϕ+ j sinϕ

Fakt:Niech ϕ ∈ R. Wówczas zachodzą wzory Eulera:

cosϕ =e jϕ + e−jϕ

2; sinϕ =

e jϕ − e−jϕ

2j

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 23 / 24

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Definicja 6:

Dla ϕ ∈ R liczbę zespoloną cosϕ+ j sinϕ oznaczamy krótko przez e jϕ.

e jϕ = cosϕ+ j sinϕ

Fakt:Niech ϕ ∈ R. Wówczas zachodzą wzory Eulera:

cosϕ =e jϕ + e−jϕ

2; sinϕ =

e jϕ − e−jϕ

2j

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 23 / 24

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Fakt:Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci wykładniczej

z = re jϕ,

gdzie r ­ 0 oraz ϕ ∈ R.

Niech dane będą liczby zespolone z1 = r1e jϕ1 i z1 = r2e jϕ2 oraz z = re jϕ.Wtedy

Fakt:

z1 · z2 = r1r2e j(ϕ1+ϕ2)

zn = rne jnϕ

z1z2

=r1r2e j(ϕ1−ϕ2)

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 24 / 24

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Fakt:Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci wykładniczej

z = re jϕ,

gdzie r ­ 0 oraz ϕ ∈ R.

Niech dane będą liczby zespolone z1 = r1e jϕ1 i z1 = r2e jϕ2 oraz z = re jϕ.Wtedy

Fakt:

z1 · z2 = r1r2e j(ϕ1+ϕ2)

zn = rne jnϕ

z1z2

=r1r2e j(ϕ1−ϕ2)

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 24 / 24

Postać wykładnicza liczby zespolonej

Fakt:Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci wykładniczej

z = re jϕ,

gdzie r ­ 0 oraz ϕ ∈ R.

Niech dane będą liczby zespolone z1 = r1e jϕ1 i z1 = r2e jϕ2 oraz z = re jϕ.Wtedy

Fakt:

z1 · z2 = r1r2e j(ϕ1+ϕ2)

zn = rne jnϕ

z1z2

=r1r2e j(ϕ1−ϕ2)

R.Stasiewicz (rok ak. 2015/16) Matematyka 1 ELEKTROTECHNIKA 24 / 24