1

Matematika - učebnica 9- výsledky

riešiteľ: Lenka Kopfová

Pokiaľ nie je povedané inak a výsledky zaokrúhľujeme, tak sú zaokrúhlené na dve desatinné

miesta.

1. Mocniny a odmocniny Zopakuj si

1. jednotky, tisíce, desiatky, desiatky, stotisíce, milióny

2. 6,5,7,3,2

3. 4,3,4

4. a) 45; 21; 24; b) 3,2; 7,2; 66

5. 9,4,5

6. 36, 25, 9, 16, 81, 49

7. 2,3,3,5,5

8. Zapísané po riadkoch: 12,96; 33,64; 17,7241; 0,49; 1062,76; 36; 107; 2 500; 2 070; 110.

9. 4,2,7,4,3

10.

11. a) 22,8; 207;záporné číslo; b) 21; 18; 15; 32; kladné číslo

12. a) 25cm²; b) 17,64dm²; c) 9

25m²

13. a) 216mm³ b) 0,729km³ c) 1

343cm³

Mocnina a odmocnina

1. 5 ⋅ 9; 95; 6 ⋅ 0,2; 0,26; 9 ⋅1

2;

1

2

9

2. 37; 45; 1710; 0,83; (5

7)

12; 7370; 1414

3. 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2, kladný; 34 ⋅ 34 ⋅ 34 ⋅ 34 ⋅ 34 ⋅ 34 ⋅ 34 ⋅ 34 ⋅ 34, kladný; (−6) ⋅ (−6),

kladný; (−10) ⋅ (−10) ⋅ (−10), záporný; 0,4 ⋅ 0,4 ⋅ 0,4 ⋅ 0,4 ⋅ 0,4, kladný; 2,18 ⋅ 2.18 ⋅ 2.18 ⋅

2.18 ⋅ 2.18 ⋅ 2.18, kladný; (−0,28) ⋅ (−0,28) ⋅ (−0,28) ⋅ (−0,28) ⋅ (−0,28) ⋅ (−0,28) ⋅

(−0,28) ⋅ (−0,28), kladný; (−5,13) ⋅ (−5,13) ⋅ (−5,13) ⋅ (−5,13) ⋅ (−5,13) ⋅ (−5,13) ⋅

(−5,13), záporný; 3

4⋅

3

4⋅

3

4⋅

3

4⋅

3

4⋅

3

4, kladný;

9

8⋅

9

8⋅

9

8⋅

9

8⋅

9

8, kladný; (−

3

8) ⋅ (−

3

8⋅) ⋅ (−

3

8) ⋅

(−3

8), kladný;(−

2

5) ⋅ (−

2

5) ⋅ (−

2

5) ⋅ (−

2

5) ⋅ (−

2

5) ⋅ (−

2

5) ⋅ (−

2

5) ⋅ (−

2

5) ⋅ (−

2

5) ⋅ (−

2

5) ⋅

(−2

5), kladný

4. S = 6 ⋅ 𝑎2,povrch kocky; V = 𝑎2 ⋅ 𝑣,objem kvádra s štvorcovou podstavou;

S = 2 ⋅ 𝑎2 + 4 ⋅ 𝑎 ⋅ 𝑣,povrch kvádra s štvorcovou podstavou; S = 𝑢2

2, obsah rovnoramenného

trojuholníka

5. 12; 28; 32; 77; 105; 6; 2; 10; 12; 25

6. 633,60 €; 5m, zmestí sa

7. 𝑎 = √𝑆

2

8. 𝑎 = √𝑉3

Druhá a tretia mocnina a odmocnina

1. Zapísané po stĺpcoch: a) (+7) ⋅ (+7), kladný; 7 ⋅ 7, kladný; (+3) ⋅ (+3), kladný; 3 ⋅ 3, kladný;

(−9) ⋅ (−9), kladný; −(9 ⋅ 9), záporný; (−12) ⋅ (−12), kladný; −(12 ⋅ 12), záporný; (−18) ⋅

(−18), kladný; −(18 ⋅ 18), záporný; (−5) ⋅ (−5), kladný; −(5 ⋅ 5), záporný; (−15) ⋅ (−15),

kladný; −(15 ⋅ 15), záporný; (−4) ⋅ (−4), kladný; −(4 ⋅ 4), záporný; (−13) ⋅ (−13), kladný;

−(13 ⋅ 13), záporný; b)

49; 9; 9; 81; −81; 144; −144; 324; −324; 25; −25; 225; −225; 16; −16; 169; −169

2. a) kladné; b) kladné

3. a) keď dané číslo je 0; b)−𝑎2 ≤ 0

4. a) (+5) ⋅ (+5) ⋅ (+5), kladný; 5 ⋅ 5 ⋅ 5, kladný; (+2) ⋅ (+2) ⋅ (+2), kladný; 2 ⋅ 2 ⋅ 2, kladný;

(−7) ⋅ (−7) ⋅ (−7), záporný; −(7 ⋅ 7 ⋅ 7), záporný; (−6) ⋅ (−6) ⋅ (−6), záporný;

−(6 ⋅ 6 ⋅ 6), záporný; (−8) ⋅ (−8) ⋅ (−8), záporný; −(8 ⋅ 8 ⋅ 8), záporný; (−3) ⋅ (−3) ⋅

(−3), záporný; −(3 ⋅ 3 ⋅ 3), záporný; (−9) ⋅ (−9) ⋅ (−9), záporný; −(9 ⋅ 9 ⋅ 9), záporný;

(−4) ⋅ (−4) ⋅ (−4), záporný; −(4 ⋅ 4 ⋅ 4), záporný; (−10) ⋅ (−10) ⋅ (−10), záporný;

−(10 ⋅ 10 ⋅ 10), záporný

b) 125; 125; 8; 8; −343; −343; −216; −216; −512; −512; −27; −27; −729; −729; −64;

−64; −1 000; −1 000

5. kladná, 64; záporná, −64; záporná, −512; kladná, 64; kladná, 512; záporná, −512; záporná,

−27; kladná, 27; záporná, −9; kladná, 9; kladná, 9; záporná, −27; záporná, −16; kladná, 64;

záporná, −64; záporná, −16; kladná, 16; kladná, 16; kladná, 343; záporná, −49; záporná,

−343; záporná, −343; kladná, 49; kladná, 49; kladná,1; záporná, −1; kladná, 1; záporná,

−1; záporná, −1; kladná, 1

6. a) áno; b) nie, pre 𝑥 = 0; c) Výsledné číslo je v oboch príkladoch rovnaké, rozdiel je iba v

znamienku. Ak násobíme párny počet zápornych čísel, tak je výsledok kladný (napríklad dve -

(−𝑎)2 = (−𝑎) ⋅ (−𝑎)). A ak násobíme nepárny počet zápornych čísel, tak je výsledok

záporný (napríklad tri - (−𝑎)3 = (−𝑎) ⋅ (−𝑎) ⋅ (−𝑎)).

7. 𝑎 = 0

8. Zapísané po riadkoch: 11; 5; 30; 3;26; 6; 30; 2,5.

9. a) 36; b) 10; c) 54; d) 11

10. a) √42 = (√4)2; √43 = (√4)3;b) √2723= (√27

3)2; √2733

= (√273

)3

11. 4, 9, 8, 3, 0

12. 3, 6, 6, 9, 3

13. a) 52 = 25, 5 < 25; 172 = 289, 17 < 289; 32 = 9, 3 < 9; 82 = 64; 8 < 64; 192 = 361,

19 < 361; 62 = 36; 6 < 36

b) (−4)2 = 16, −4 < 16; (−16)2 = 256; −16 < 256; (−300)2 = 90 000; −300 <

90 000; (−1)2 = 1; −1 < 1

c) 0,42 = 0,16; 0,4 > 0,16; 0,162 = 0,0256, 0,16 > 0,0256; 0,022 = 0,000 4, 0,02 >

0,000 4; 0,0032 = 0,000 009, 0,003 > 0,000 009; 0,122 = 0,0144, 0,12 > 0,0144

d)02 = 0, 0 = 0; 12 = 1, 1 = 1

e) (−0,05)2 = 0,0025, −0.05 < 0,0025; (−0,19)2 = 0,0361, −0,19 < 0,0361; (−0,6)2 =

0,36, −0,6 < 0,36; (−0,001)2 = 0,000001, −0,001 < 0,000001; (−0,20)2 = 0,04 ,

−0,20 < 0,04

3

14. a) väčšia; b) rovnaká; c) menšia; d) rovnaká; e) väčšia; f) väčšia; g) väčšia

15.

16. Tretia mocnina je kladné číslo práve vtedy, ak jej základ je kladné číslo. Tretia mocnina je

väčšia ako základ, keď základ je väčší ako−1a a menší ako0alebo základ je väčší ako1. Pokiaľ

je základ rovný −1,0alebo1,tretia mocnina je rovnaká ako základ. A ak je základ menší

ako−1, alebo je väčší ako0, ale menší ako1, tretia mocnina je menšia ako základ.

17. A: √0,81, √0,36, √(−343)3

; B: √25, √2163

, √1 0003

; C: √1, √(−1)3

, √0, √03

Mocniny čísla 10

1. a) V Amerike nemajú miliardy, biliardy, triliardy atď., ale tieto názvy ‘preskakujú’. U nás sú

názvy postupne milión, miliarda, trilión, triliarda, kvadrilión, kvadriliarda... V Amerike majú

postupne pre rovnaké čísla názvy million, billion, trillion, quadrillion, quintillion, sextillion...

b) Ako Evropan: dvestopedesiatšesť miliárd osemstotri miliónov osemstodvadsaťdva tisíc

sedemstoštyricaťdva. Ako Američan dvestopedesiatšesť biliónov osemstotri miliónov

osemstodvadsaťdva tisíc sedemstoštyricaťdva.

2. a) 74 215 000 000 308; b) 2 000 006 000 000 005 000 000 003;

c)1 000 635 000 000 390 000 000; d) 7 000 105 000 872 134 000;

e) 1 001 001 001 001 001 001 001 001

Zápis čísel v tvare 𝑎 ⋅ 10𝑛

1. 28; 360; 7 200; 49 000; 1 500 000

2. 2,7 ⋅ 1 000; 3,5 ⋅ 100 000 000; 7,1 ⋅ 10 000; 3,8 ⋅ 100 000; 9 ⋅ 1 000 000 000

3. 104, 102, 106, 103, 1012, 101

4. 4,5 ⋅ 104, 3,2 ⋅ 108, 2 ⋅ 103, 5 ⋅ 102, 4,8 ⋅ 103, 3,2 ⋅ 1016

5. 5 ⋅ 106, 7 ⋅ 1012, 3 ⋅ 109, 6 ⋅ 1015, 2 ⋅ 1021, 8 ⋅ 1024

6.

7. a) 6,9 ⋅ 109; 6,1 ⋅ 109; 4,4 ⋅ 109; 4,1 ⋅ 109; 3,75 ⋅ 109b)

8. 5,3 ⋅ 103; 5,7 ⋅ 104; 8 ⋅ 105; 9,1 ⋅ 106; 2.5 ⋅ 109; 3,1 ⋅ 1011

Predpony a ich súvis s mocninami

1. 9 000; 5 000 000; 7 000 000 000; 8 000 000 000 000

2. 6; 8 000; 4 000 000; 2 000 000 000

3. 7; 4; 5 000; 9 000 000

4. a) 1 000; b) 1 000;c) 1 000 000;d) 100; e)1 000; f) 1 000 000 000;

5. Pás je dlhý1km. Asi 149 597 871pásov.

6. Keď Albert Einstein zomrel mal asi 98 610 350 000neurónov. Na to, aby sa mu všetky neuróny

“minuli”, by musel žiť približne 5 480 dní.

7. Veľkosť neurónu je niečo okolo 0,01 − 0,1 𝑐𝑚. Neurón je väčší ako červená krvinka.

Veľkosti buniek meriame v 𝜇m (mikrometer), 1 𝜇m= 0,001mm.

Krížom - Krážom

1. Číslo končiace na 5 ide zapísať ako 10 ⋅ 𝑎 + 5, takže (10 ⋅ 𝑎 + 5)2 = 100 ⋅ 𝑎2 + 100 ⋅ 𝑎 +

25 = 100 ⋅ 𝑎 ⋅ (𝑎 + 1) + 25, druhá mocnina čísla končiaceho na 5 (teda v tvare 10 ⋅ 𝑎 + 5)

4

sa dá vypočítať tak, že najprv napíšeme číslo 𝑎 ⋅ (𝑎 + 1) a potom dopíšeme 25. Napríklad

452je potom 4 ⋅ 5 = 20, takže 2025.

2. Ak sme zaokrúhľovali, tak na dve desatinné miesta.

𝑎 7cm 11mm 36dm 0,5m 4,2m 0,15km 2,17dm 0,95km 3,2 mm

𝑆 = 𝑎2 49cm² 121mm² 1296dm² 0,25m² 17,64m² 0,0225km² 4,7dm² 0,9km² 10,24mm²

𝑎 2cm 2,6m 0,7m 0,3km 0,3dm 0,05dm 10mm 52cm 80cm 213mm

𝑉= 𝑎3

8cm³

17,576m³

0,343m³

0,027km³

0,027dm³

0,000 125dm³

1 000mm³

140 608cm³

64 000cm³

9 663 597mm³

3. 7; 60; 2,4; 17; 13; 13; −7; −17;5

12; 13;

12

5; −7

4. 12,465 136 36; 0,000 000 000 064; 20 546 910,44; 2 066 192 395 000;

Okrem druhého výsledku sú výsledky “nepresné” - väčšina kalkulačiek vie zapísať presne iba

čísla s desiatimi ciframi, inak zaokrúhľuje . Druhý výsledok je presný, lebo ho kalkulačka

zvládne zapísať v tvare 6,4 ⋅ 10−11, ktorý má menej ako 10 cifier.

5.

6. 7 630 003 400 210; 8 439 253

7.

8.

9. a) 10 m; 100 m; b) 1 000 000 km

10. Lebo predpona hekto znamená 100krát viac.

11. 100 l;10 l;1 000 l

2. Pytagorova veta Zopakuj si

2. 180°

3. 47°; 90°; 95°

4. 3cm,4cm,7cm; 3cm,4cm,8cm; 3cm,5cm,8cm

5. 25; 729; 94 864; 5,76; 0,49;9

16

6. 9; 16; 1,2; 3,16; 1,9;5

8

7. 74; 7,57;13

16; 50,44; 72; 48;

161

144; 34,56

8. a) 𝑥 = 6 b) 𝑦 = √𝑘 c) 𝑧2 = 𝑎2 − 𝑏2 d) 𝑣2 = 𝑜2 − 𝑢2

9. a) 𝑎 =2𝑆

𝑣𝑎b) 𝑎 =

𝑢

√2 c) 𝑎 =

2𝑆

𝑏 d) 𝑎 =

2𝑣

√5

10. Štvorec, obdĺžnik.

11. Štvorec, kosoštvorec.

12. Sú na seba kolmé.

13. Výška trojuholníka je kolmica zostrojená z vrcholu trojuholníka na priamku, na ktorej leží

protiľahlá strana k tomuto vrcholu. Výška rovnobežníka je vzdialenosť rovnobežných

5

priamok, na ktorých ležia jeho protiľahlé strany. Výška lichobežníka je vzdialenosť

rovnobežných priamok, na ktorých ležia jeho základne.

14. Kocka, kváder, hranol.

15. Kocka.

Pravouhlý trojuholník

2. Áno.

3. 𝑙, 𝑚sú odvesny a 𝑘je prepona; 𝑒, 𝑔sú odvesny a 𝑓 je prepona; 𝑝, 𝑟sú odvesny a 𝑞je prepona.

4. Súčet je 90° a platí to vždy.

Pytagorova veta

1.

4. a) je pravouhlý; b) nie je pravouhlý; c) je pravouhlý; d) nie je pravouhlý

5. a) 𝑐 = 8,6cm; b) 𝑎 = 2,7dm; c) 𝑏 = 3dm

6. 40krokov.

7. Prepona má dĺžku25cm.

8. 𝑙2 + 𝑘2 = 𝑚2; 𝑒2 + 𝑔2 = 𝑓2; 𝑣2 + 𝑢2 = 𝑥2

9. 𝑎2 = 𝑐2 − 𝑏2; 𝑎 = √𝑐2 − 𝑏2; 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2; 𝑏 = √𝑐2 − 𝑎2; 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2; 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2

10. 8,65; 9,83; 10

11. 𝑜 = 16,24cm;𝑆 = 11,55cm²

12. druhá strana meria 5,49cm²; 𝑜 = 19,98cm;𝑆 = 24,71cm²

13. 𝑜 = 29,74cm

14. 𝑜 = 17,89cm

15. 𝑆 = 88,36cm²

16. 1,35cm

17. 𝑆 =3(𝑎+𝑏+𝑐)

2

18. 𝑟 = 4,62cm

19. 7,07cm

20. 12,12cm

21. stenová uhlopriečka : telesová uhlopriečka = √2: √3

22. 11,18cm;15,81cm;18,03cm

23. 10,72cm

24. Nie.

Pytagorova veta okolo nás

1. Áno.

2. O 190,98m.

3. 10,31m

4. Ušetria asi 1minútu a 21sekúnd. Vetracie šachty majú dĺžku 2 475m.

Krížom-Krážom

1. Platí.

2.

6

3. Asi16,98palcov.

4. a) 𝑜 = 441,42cm; 𝑆 = 4375cm²; b) pomery obvodov 2: 1,41: 1; pomery obsahov 4: 2: 1

5. 𝑜 = 40cm; 14,14cm

3. Lineárne rovnice a nerovnice Zopakuj si

1.

2. Zapísané po riadkoch: 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 8 = 2 ⋅ (5 + 8); (81 − 36): 4 = 81: 4 − 36: 4; 1,4 ⋅ (2,8 +

0,25) > 1,4 ⋅ 2,8 + 0,25; 1

2⋅

2

3−

1

2:

2

3<

1

2⋅ (

2

3:

2

3)

3. Zapísané po riadkoch: neplatná, neplatná, neplatná, platná, neplatná, platná

4.

5. a) Áno. Sú to všetky záporné čísla a nula. b) Nie. c) Nie. Diskutujte o desatinných číslach s

ukončeným desatinným rozvojom, periodické a neperiodické desatinné čísla.

6. a)−9; b)−7; c)−9; d)−11

7.

8. Ac, Ba, Cd, Db

9. a) 𝑥 − 3; b)3𝑚 + 5; c)7𝑧; d)𝑘

5; e)𝑦 + 13; f)

4𝑛

3; g)

𝑢

2; h)

13𝑝

7

10. a)2𝑘; 𝑘 ∈ 𝑁; b)2𝑘 + 1; 𝑘 ∈ 𝑁; c)2𝑘 ⋅ 2𝑚, 𝑘; 𝑚 ∈ 𝑁; d)2𝑘 − (2𝑚 + 1); 𝑘, 𝑚 ∈ 𝑁

11. a)−3,7𝑥𝑦; 6𝑥a −2,1𝑦 sú členy s premennou a8je člen bez premennej. Výraz sa skladá zo

štyroch členov.

b)1

2𝑚𝑛; 𝑚2a −

3

4𝑛 sú členy s premennou a26je člen bez premennej. Výraz sa skladá zo

štyroch členov.

c)14𝑎𝑏𝑐; 7𝑎; −2𝑏a −𝑐 sú členy s premennou a28je člen bez premennej. Výraz sa skladá z

piatich členov.

d)−3𝑘 je člen s premennou a7,6 je člen bez premennej. Výraz sa skladá z dvoch členov.

12. Na konci konferencie bolo 𝑘 − 17 − 𝑚 hostí.

13. Prešiel 7𝑘 kilometrov.

14. a)−7; −4; 1; −5,2; −0,2; −13

4; −

33

7

b)−9; 0; 15; −3,6; 11,4;9

4; −

15

7

c)−3

5; 0; 1; −0,24; 0,76;

3

15; −

1

7

d)−0,2; 2,8; 7,8; 1,6; 6,6;71

20;

73

35

e)−16; −4; 16; −8,8; 11,2; −1; −8

7

15. 2𝑥, 2𝑥 + 1, −3𝑥, −3𝑥 + 3

16. a)9𝑥 + 8; −𝑥 − 4;b)−3,5𝑥 − 9,8; −1,5𝑥 + 1,6;c)10𝑥 − 4; 4𝑥 − 12;

d)−13,1𝑥 + 9,7; −3,3𝑥 − 2,7;e)−2𝑥 + 14; −4𝑥 − 4;f)0; −3,6𝑥 + 5;

g)−12𝑥 + 6; −2𝑥 − 2;h)−7𝑥 − 0,6; −1,8𝑥 − 8,2

17. Ak označíme x dĺžku štvrtej strany, tak 𝑥 = 𝑥 + 1 + 𝑥 − 2 + 𝑥 − 5 + 𝑥 = 4𝑥 − 6.

18. a)5𝑎 − 4𝑏; b)10𝑏; c)−2𝑎 − 6𝑏; d)−5𝑎 + 𝑏 − 3𝑐

19. a)5𝑥 − 3𝑦; b)−3𝑥 − 2; c)−2 + 9𝑦; d)2𝑥 + 3

20. a)12 ⋅ (3𝑥 + 2𝑦); b)3 ⋅ (−4𝑥 − 3𝑦); c)6 ⋅ (−6𝑥 + 7); d)4 ⋅ (10𝑥 − 11𝑦)

21. Zaplatíš 6𝑡 eur.

7

22. Zapísané po riadkoch: obvod trojuholníka, objem kvádra, obvod štvorca alebo kosoštvorca,

obsah pravouhlého trojuholníka s odvesnami a, b, obsah kosoštvroca, obsah štvorca, objem

kocky, výpočet dráhy rovnomerného pohybu.

23. 𝑚 =𝑄

𝑐⋅(𝑡2−𝑡1). Neznáma𝑚je fyzikálna značka pre hmotnosť.

24. 𝑇predstavuje obežnú dobu, 𝑟je polomer planéty okolo ktorej družica obieha, ℎje výška, v

ktorej obieha družica od povrchu planéty a 𝑣je rýchlosť obiehania družice. 𝑣 =2𝜋 ⋅ (𝑟 + ℎ)

𝑇

Rovnice

1. 0,027: (0,15 – 0,2 ⋅ 0,3) =– 0,12: 0,6 + 0,5; 0,3 ⋅ (– 0,5 – 0,9): 7 =

(0,2 – 0,14): (– 1); 0,2 – 1,7 = 50 ⋅ (0,12 – 0,15)

2. Rovnosť je výsledok porovnania dvoch čísel alebo číselných výrazov. Rovnica obsahuje členy s

premennými a nás zaujíma, ktoré hodnoty premenných sú riešením danej rovnice. Po

dosadení týchto hodnôt za premenné sa z rovnice stane rovnosť.

3.

4.

5.

6. Rovnica, v ktorej je aspoň jedna neznáma umocnená na tretiu, sa volá kubická. Rovnica, v

ktorej je aspoň jedna neznáma umocnená na štvrtú, sa volá kvartická.

7. a) platná; b) neplatná; c) neplatná; d) neplatná; e) neplatná; f) platná; g) platná

8. a)5; b)1; c)1,7; d)−6; e) riešenie je 11

4; f) riešenie je −

5

9; g) 0; h) riešenie je−10

Ekvivalentné úpravy rovníc

1. 4𝑥 + 11 = 2𝑥 + 8,8 + 5𝑥 = 9,2𝑥 + 16 = 9𝑥 + 9,4𝑥 + 8 = 3𝑥 + 13,5𝑥 + 10 = 3𝑥 +

16,13 − 3𝑥 = 4𝑥 − 11,9𝑥 + 12 = 6𝑥 + 9,7𝑥 + 9 = 23 + 5𝑥, 20 − 3𝑥 = 4𝑥 − 1,5𝑥 + 6 =

18 − 𝑥, 17 + 2𝑥 = 4𝑥 − 1

2. 11𝑥 + 8 = 9𝑥 + 5,6 + 9𝑥 = 7 + 4𝑥, 4𝑥 + 9 = 11𝑥 + 2,5𝑥 + 6 = 4𝑥 + 11,6𝑥 − 3 = 4𝑥 +

3,11 − 𝑥 = 6𝑥 − 13,6𝑥 + 12 = 3𝑥 + 9,12𝑥 = 14 + 10𝑥, 15 − 𝑥 = 6𝑥 − 6,3 = 15 −

6𝑥, 1 + 5𝑥 = 7𝑥 − 17

3. 4𝑥 + 5 = 2𝑥 + 2,5 + 5𝑥 = 6,2𝑥 + 7 = 9𝑥, 4𝑥 − 5 = 3𝑥, 5𝑥 − 9 = 3𝑥 − 3,2 − 3𝑥 = 4𝑥 −

22,9𝑥 = 6𝑥 − 3,7𝑥 − 16 = −2 + 5𝑥, 14 − 3𝑥 = 4𝑥 − 7,5𝑥 − 4 = 8 − 𝑥, −1 + 2𝑥 = 4𝑥 −

19

4. 8 = 5 − 2𝑥, 6 − 2𝑥 = 7 − 7𝑥, 9 = 7𝑥 + 2,3𝑥 = 2𝑥 + 5,4𝑥 − 1 = 2𝑥 + 5,5 − 5𝑥 = 2𝑥 −

19,12𝑥 + 4 = 9𝑥 + 1,2𝑥 − 8 = 6,27 − 𝑥 = 6𝑥 + 6,2𝑥 − 9 = 3 − 4𝑥, 6 + 7𝑥 = 9𝑥 − 12

5. Rovnováha sa nezmení.

6. a)12𝑥 + 24 = 6𝑥 + 15,12 + 10𝑥 = 14,14𝑥 + 63 = 63𝑥 + 14,32𝑥 = 24𝑥 + 40,60𝑥 − 24 =

36𝑥 + 48,40 − 15𝑥 = 20𝑥 − 80

b)−8𝑥 − 16 = −4𝑥 − 10, −30 − 25𝑥 = −35, −6𝑥 − 27 = −27𝑥 − 6, −16𝑥 = −12𝑥 −

20, −35𝑥 + 14 = −21𝑥 − 28, −16 + 6𝑥 = −8𝑥 + 32

7. Dostaneme rovnosť 0 = 0,ktorá platí, ale pribudlo nám plno riešení. Napríklad 𝑥 = 1je

riešením tejto rovnice, ale nie pôvodnej. Takže násobenie číslom 0 nie je ekvivalentná úprava.

8. Všetky znamienka sa zmenia na opačné. Teda všetky znamienka+sa zmenia na−a naopak.

9. a)2𝑥 + 4 = 𝑥 + 5; 2 + 3𝑥 = 5; 2𝑥 + 4 = 4𝑥 + 9; −3𝑥 = −6𝑥 − 1; −4𝑥 + 1 = −3𝑥 − 2;

−8 + 𝑥 = −11𝑥 + 3

8

b)2𝑥 + 4 = 𝑥 +5

2;

6

5+ 𝑥 =

7

5;

2𝑥

9+ 1 = 𝑥 +

2

9; −

4𝑥

3= −𝑥 −

5

3; −

5𝑥

4+

1

2= −

3𝑥

4− 1; −

4

3+

𝑥

2= −

2𝑥

3+

8

3

10. Skúsme číslo1vydeliť postupne číslami 16,8,4,2,1,1

2,

1

4,

1

8,

1

16 a sledujme, ako sa mení výsledok.

Platí, že čím viac zmenšujeme číslo, ktorým delíme, tým väčší je výsledok. Takže by sa dalo

povedať, že keď nejaké číslo vydelíme nulou, výsledok by mal byť nekonečno (toto je veľmi

jednoduchá, ale postačujúca predstava). Takže, ak by sme obidve strany rovnice vydelili

nulou, výsledok by vyzeral “nekonečno = nekonečno”. Dostávame sa do tej istej situácie ako

pri násobení nulou - nebola by to ekvivalentná úprava, lebo riešením by bolo ktorékoľvek

číslo. Pre deviatakov stačí pamätať si, že nulou nedelíme.

11. prvý riadok: 4 . 2 – 2 = 1 + 2,5 . 2 (po vypočítaní: 6 = 6)

druhý riadok: 8 . 2 – 4 = 2 + 5 . 2 (po vypočítaní: 12 = 12)

tretí riadok: 8 . 2 = 6 + 5 . 2 (po vypočítaní: 16 = 16)

štvrtý riadok: 3 . 2 = 6 (po vypočítaní: 6 = 6)

12. a) delenie tromi, 𝑥 = 3; b) napríklad pripočítanie2𝑥 − 9,2𝑥 = −2; c) delenie štyrmi, 𝑥 =

4; d) odčítanie čísla2,2𝑥 = 12; e) odčítanie4𝑥, 𝑥 = −6; f) pripočítanie 6𝑥, 10𝑥 = 8; g)

pripočítanie 1

3𝑥,

7

6𝑥 =

2

3; h)napríklad pripočítanie 𝑥 −

3

2,

3

2𝑥 = −

3

4

13. Do skupín ich rozdelíme podla počtu riešení:

1) Rovnice, ktoré nemajú riešenie: 3𝑥 + 1 = 3𝑥 + 6 a 4 − 2𝑥 = 5 − 2𝑥.

2) Rovnice, ktoré majú práve jedno riešenie: 3𝑥 = 6(riešenie𝑥 = 2),−5𝑥 = 11

(riešenie 𝑥 = −5

11) a 6 − 3𝑥 = 12 − 6𝑥(riešenie𝑥 = 2).

3) Rovnice, ktoré majú nekonečne veľa riešení: 2𝑥 = 2𝑥.

14. žiadne, jedno, nekonečno

15. Rovnicou c).

Riešenie rovníc

1. a)𝑥 = 2;b)𝑥 = 27;c)𝑥 = −3;d)𝑥 = −21

8;e)𝑥 = 45;f)𝑥 = 103;g)𝑥 = 2,5;h)𝑥 = 23;i)𝑥 = 14

2.

3. a)3(𝑥+15)

13= 6; 𝑥 = 11;

b)𝑥+12

2= 6; 𝑥 = 0;

c)4𝑥 + 4 = 𝑥 + 10; 𝑥 = 2;

d)𝑥

2+ 3 + 6 = 𝑥; 𝑥 = 18

9

4. a) Myslím si číslo… ak jeho dvojnásobok zväčším o3,dostanem číslo7.

b) Myslím si číslo... keď k nemu pripočítam3,potom súčet vynásobím2,dostanem číslo7.

c) Myslím si číslo... keď k nemu pripočítam dvojnásobok čísla3,dostanem číslo7.

d) Myslím si číslo... keď k nemu pripočítam3,dostanem dvojnásobok čísla7.

5. Označme myslené číslo 𝑥.Potom operácie, ktoré diktovala pani učiteľka, sa dajú zapísať

ako3𝑥+3

3− 3 = 𝑥 − 2.Takže pani učiteľke stačilo vždy povedať číslo o dva väčšie ako číslo,

ktoré povedali deti.

6. a)8; b)6; c)2; d)11

Vyjadrenie premennej zo vzorca

1. Vzorec na výpočet obsahu kruhu je𝑆 = 𝜋𝑟2.Priemer kruhu s presnosťou na dve desatinné

miesta je 11,28cm.

2. Vzorec na výpočet obvodu rovnoramenného trojuholníka so základňou dĺžky𝑎a ramenami

dĺžky𝑏je𝑜 = 𝑎 + 2𝑏. 𝑎 = 𝑜 − 2𝑏.Dĺžka základne daného trojuholníka je16cm.

3. Vzorec na výpočet obsahu lichobežníka so základňami dĺžok𝑎, 𝑐a výškou dĺžky 𝑣 je 𝑆 =𝑎+𝑐

2⋅

𝑣. Potom 𝑣 =2𝑆

𝑎+𝑐. Dĺžka výšky daného lichobežníka je 6 𝑐𝑚.

4. a)𝑏 = 𝑜 − 𝑎 − 𝑐. Je to vzorec na výpočet obvodu trojuholníka.

b)𝑐 =𝑆

2−𝑎𝑏

𝑎+𝑏. Je to vzorec na výpočet povrchu kvádra.

c)𝑎 =𝑉

𝑏𝑐. Je to vzorec na výpočet objemu kvádra.

d)𝑣𝑎 =2𝑆

𝑎. Je to vzorec na výpočet obsahu trojuholníka.

5. Vzorec na výpočet hustoty:𝜌 =𝑚

𝑉. 𝑚 = 𝜌 ⋅ 𝑉. 𝑉 =

𝑚

𝜌.

Vzorec na výpočet rýchlosti telesa pri rovnomernom priamočiarom pohybe:𝑣 =𝑠

𝑡. 𝑠 = 𝑣 ⋅

𝑡. 𝑡 =𝑠

𝑣.

Kalorimetrická rovnica: 𝑄 = 𝑐 ⋅ 𝑚 ⋅ (𝑡2 − 𝑡1). 𝑐 =𝑄

𝑚⋅(𝑡2−𝑡1). 𝑚 =

𝑄

𝑐⋅(𝑡2−𝑡1). 𝑡1 = 𝑡2 −

𝑄

𝑐⋅𝑚. 𝑡2 =

𝑄

𝑐⋅𝑚+ 𝑡1.

Slovné úlohy, ktoré vedú k lineárnej rovnici

1. Sú to čísla 50a51.

2. Sú to čísla20, 22a24.

3. Je to číslo5

4.

4. Je to číslo 6.

5. Je to číslo 12.

6. Také číslo neexistuje. Rovnica nemá riešenie.

7. Kubo má 15rokov a jeho otec má 45rokov.

8. O 9rokov.

9. Teta Klára má 40rokov a ujo Karol má 60rokov.

10. Musím pridať 9eur.

11. Jarka nakupovala darčeky 1 hodinu 42 minút.

12. Máme nádrž, do ktorej sa vojde12,5litra.

13. Veľkosti uhlov daného lichobežníka sú |∢BCD|=|∢𝐶𝐷𝐴| = 120°a|∢𝐴𝐵𝐶| = |∢𝐷𝐴𝐵| = 60°.

10

14. Áno.

15. Musí ísť rýchlosťou 60km/h. Áno, je to možné, vrcholoví športovci v cyklistike jazdia občas aj

rýchlosťou vyššou ako100km/h.

16. Kružnica𝑘1má polomer 3cm. Kružnica𝑘2má polomer 5cm a kružnica𝑘3má polomer 7cm.

17. Za jednu hodinu 15minút.

18. List ležal 240m ďaleko.

19. Za 3hodiny 36minút.

20. a) Tak, aby odtekalo rovnako vody ako priteká. b) Tak, aby odtekalo0,75množstva vody, ktoré

priteká. c) Tak, aby odtekalo1,25množstva vody, ktoré priteká.

21. Na 8týždňov.

Riešenie lineárnych nerovníc

1.

2. Nerovnosť porovnáva dve čísla alebo dva číselné výrazy. Nerovnica obsahuje premennú a nás

zaujíma, ktoré čísla sú jej riešením.

3. a) Výška Erika< 185cm; b) Hmotnosť ľubovolného slona≤ 8ton.

4. a) 𝑥 ∈ ℕ b) 𝑥 ∈ ℝ c) 𝑥 ∈ ℝ

5. a) 𝑥 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∈ ℝ

b) 𝑥 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∈ ℝ

c) 𝑥 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∈ ℝ

d) 𝑥 ∈ ℕ 𝑥 ∈ ℤ 𝑥 ∈ ℝ

6. a) patrí, nepatrí, patrí, nepatrí; b) nepatrí, patrí, patrí, patrí; c) patrí, patrí, patrí, nepatrí

7. a) 𝑥 < 12; 7𝑥 > −5; 𝑥 ≤ 3; 2𝑥 ≥ −10; b)1,2𝑥 ≥ 11, 8; −5𝑥 ≤ 4𝑥 − 13; 𝑥 < 5; 𝑥 > −16

8. a) Pani Opatrná má dnes v peňaženke≤ 100eur. b) Dostal≥ 6pohladení.

9. zľava otvorený, sprava uzavretý otvorený uzavretý

11

10. a)−3 < 𝑥 < 15;

b)4 ≤ 𝑥 < 7;

c)−4 ≤ 𝑥 ≤ 3;

d)−10 < 𝑥 ≤ −2;

11. 𝑥 = 1,2 alebo3; nemá riešenie; riešením sú všetky prirodzené čísla; nemá riešenie;

riešením sú všetky prirodzené čísla okrem1.

12. riešením sú všetky celé čísla≤ 3; riešením sú všetky celé čísla< −1; riešením sú všetky

nezáporné celé čísla; riešením sú všetky záporné celé čísla okrem−1; riešením sú všetky

prirodzené čísla okrem1

13. 𝑥 ≤10

3; 𝑥 < −1; 𝑥 > −0,5; 𝑥 ≤ −1; 𝑥 ≥ 1

14.

Slovné úlohy, ktoré vedú k lineárnej nerovnici

1. Pre dĺžku strany c platí: 3 < 𝑐 < 15.

2. Môže mať dvojeurovú mincu. Áno môže mať bankovku - buď päťeurovú alebo desaťeurovú.

3. Niektorý brat môže mať počet hierℎ: 1 ≤ ℎ ≤ 5.

Lomený výraz

1. a) 𝑥 ≠ 0; 𝑎 ≠ 0; 𝑏 ≠ 0; 𝑐 ≠ 0

b) 𝑥 ≠ −2; 𝑥 ≠ 3; 𝑦 ≠ −5,1; 𝑧 ≠ 0,6

c) 𝑦 ≠ 0; 𝑎 ≠ 0; 𝑐 ≠ 0; 𝑚 ≠ 0

d) 𝑥 ≠1

3; 𝑦 ≠ −8; 𝑐 ≠ −5; 𝑑 ≠ 4

2. a) 𝑥 = 0; 𝑦 = 0; 𝑑 = 0; 𝑑 = 0

b) 𝑥 = 3; 𝑦 = 1; 𝑠 = 0,1; 𝑥 = 1,5

c) 𝑦 = 0; 𝑎 = 0; 𝑣 = 0; 𝑡 = 1,5

d) 𝑎 + 𝑏 = 0; 𝑡 = 2; 𝑥 = 1nebo𝑥 = −1; 𝑑 = 0,5

3. 1

6; 2; nemá zmysel

Lineárna rovnica s neznámou v menovateli

1. a) 𝑥 = 6; b) 𝑥 =13

6; c) 𝑥 =

1

6; d) 𝑥 = −

1

2; e) 𝑥 = 1; f) 𝑥 =

3

4

12

2. a) 𝑥 = –7

3; b)𝑥 = 2;c)𝑥 =

1

6;d)𝑥 =

8

3;e)𝑥 =

9

5;f)𝑥 = 1

3. a) Také m neexistuje. b) 𝑚 = 1

Krížom-Krážom

1. Za dva roky.

2. a) nemá riešenie; b) jedno riešenie; c) nekonečno riešení; d) jedno riešenie

3. a) 𝑥 = 9;b) 𝑥 = 2;c) 𝑥 = 9

4. a) 9 > 𝑥; b) 𝑥 ≤ 2;c) 𝑥 ≥ 9

Riešením lineárnej rovnice s jednou neznámou je jedno číslo (pokiaľ má riešenie), riešením

lineárnej nerovnice je väčšinou množina čísel.

5. Obvod obdĺžnika je38 𝑗a jeho obsah je84 𝑗2.

6. a) 𝑥 = 1; 𝑥 = −9; b) 𝑥 = 6; 𝑥 = −6; c) 𝑥 =12

7; 𝑥 = 12

7. Ľuďom, ktorí si požičiavajú menej ako 24filmov za mesiac, sa vyplatí viac ponuka Crazy.

Ľuďom, ktorí si požičiavajú viac ako 24filmov za mesiac, sa vyplatí viac ponuka Fanatik.

Ľuďom, ktorí si požičiavajú práve 24filmov za mesiac, sa obe ponúky vyplatia rovnako.

8. V rodine je sedem detí.

9. Janke trvala cesta hodinu a Danke trvala cesta hodinu 18minút.

4. Povrch a objem telies Zopakuj si

1. a)7 000 m,0,6 dm,40 mm,37 dm; b) 55 cm, 600 cm, 500 km, 2 500 dm; c) 30 cm,

0,2 km, 50 cm, 20 000 km; d) 80 mm; 7,8 km; 0,4 m; 570 mm

2. Jeden meter štvorcový je obsah štvorca s rozmermi meter krát meter.

Jeden meter = 10 dm. Obsah daného štvorca je teda1m⋅ 1m= 1m².

A zároveň10dm⋅ 10dm = 100dm². A preto1m²= 100 dm².

3. Potrebujeme 10 000m².

4. Zapísané po stĺpcoch: 600 a; 6 cm²; 3 a; 700 000 km²; 40 m²; 2 000 a; 0,6 cm²;

50 000 cm²; 700 m²; 2 ha; 900 m²; 6 km²; 400 ha; 90 dm²; 300 dm²; 0,011 dm²

5. Potrebujeme tisíc kociek.

6. a) 3 000 m³= 3 000 000 dm³, 3 000 000 𝑙 = 30 000 ℎ𝑙 = 3 000 000 000 cm³

b) 8 000 𝑙 = 8 000 dm³= 80 ℎ𝑙 = 80 000 𝑑𝑙 = 8 000 000 cm³

c) 5 000 𝑚𝑙 = 50 𝑑𝑙 = 5 000 cm³= 500 𝑐𝑙 = 5 𝑙

7. a) 𝑜 = 24 cm; 𝑆 = 36 cm²; b) 𝑜 = 28,28 cm; 𝑆 = 50 cm²

8. a) 𝑜 = 26cm; 𝑆 = 40 cm²; b) 𝑜 = 31,1 cm; 𝑆 = 60,4 cm².

9. a) 𝑜 = 19,8 cm; 𝑆 = 12,6 cm²; b) 𝑜 = 24 cm; 𝑆 = 27,71 cm²; c) 𝑜 = 20 dm;

𝑆 = 17,89 dm².

d) 𝑜 = 15,4 m; 𝑆 = 10 m².

10. a) 𝑜 = 16 cm; 𝑆 = 12 cm²; b) 𝑜 = 25,61 dm; 𝑆 = 40 dm²

11. 𝑜 = 22 cm, 𝑆 = 24 cm²; 𝑜 = 24,94 cm, 𝑆 = 32 cm²

12. a) 𝑜 = 37,7 cm; 𝑆 = 113,1 cm²; b) 𝑜 = 31,42 cm; 𝑆 = 78,54 cm²

13.

14. a) B; b) C; c) E

15. 𝑆 = 6𝑎2; 𝑉 = 𝑎3; Kocka má povrch75cm² a objem44,19cm².

16. Zmestí sa sem350kociek. Tento kváder má povrch310m².

13

17. 𝑆 = 83,14 cm²; 𝑉 = 36,37 cm³.

Rotačný valec

1.

2.

3. Áno. B je sieť valca.

4.

Povrch a objem valca

1.

2. a) 𝑆 = 301,59 cm²; b) 𝑆 = 235,62 cm²

3. Sú dve možnosti ako papier zvinúť. Podľa toho bude mať valec povrch buď 693,89 cm²

alebo764,09 cm².

4. a) 𝑉 = 402,12 cm³; b)𝑉 = 4 712,39 dm³

5. Polomer podstavy valca je3,15 cm.

6. Výška valca je74,58 dm.

7. Valec má objem79,58 cm³ a povrch103,18 cm².

Ihlan

1.

2. Dĺžka bočných hrán je12,25cm.

3.

4.

5. Podstavou ihlana môže byť ľubovoľný n-uholník. Potom má n+1 vrcholov, n bočných stien, 1

podstavu a bočné steny sú trojuholníky.

Povrch a objem ihlana

1.

2. Všetky siete sú sieťou pravidelného štvorbokého ihlana.

3. Ihlan má povrch 99,33 cm².

4. Ihlan má povrch 161,54 cm².

5. Povrch pravidelného štvorstena sa dá vypočítať ako 𝑆 = √3 ⋅ 𝑎2,kde 𝑎 je dĺžka hrany

štvorstena.

6.

7. a) 𝑉 =𝑎2⋅𝑣

3; b) 𝑉 =

𝑎⋅𝑏⋅𝑣

3; c)

𝑎⋅𝑣𝑎⋅𝑣

3; d)

𝑎⋅𝑏⋅𝑣

6

8. 𝑉 = 86 cm³

9. 𝑉 = 80 dm³

10. 𝑉 = 117,85 cm³

11. 𝑆 = 66,6cm²

12. Plastelína bude stačiť.

Rotačný kužeľ

1.

14

2.

3. Nedá sa, výška kužeľa je odvesna pravouhlého trojuholníka, ktorého preponou je strana

kužeľa.

4. 𝐿 = 36,65 cm. Polomer podstavy je 5,83 cm.

5.

Povrch a objem kužeľa

1. 𝑆 = 162,66 cm²; 𝑉 = 134,04 cm³

2. 𝑆 = 301,59 m²; 𝑉 = 301,59 m³

3. 𝑆 = 188,5 dm²; 𝑉 = 128,25 dm³

4. Povrch kužeľa je 356,44 cm².

5. Objem kužeľa je 56,52 cm³.

Guľa

1.

2. Kruh okolo jeho priemeru.

3. Rovník.

4. Sú to kružnice na povrchu glóbusu určené rovinou, ktorá je rovnobežná s rovinou rovníka.

5. Sú to polkružnice na povrchu glóbusa. Je to priesečník polroviny, určenej zemskou osou a

povrchom glóbusa.

6. Zem nie je guľa. Okrem toho, že nemá rovný povrch je aj mierne sploštená na póloch.

7.

Povrch a objem gule

1. 𝑆 = 314,16 cm²; 𝑉 = 523,6 cm³

2. 𝑆 = 615,75 dm²; 𝑉 = 1 436,76 dm³

3. Objem gule je 1435,66 cm³.

4. Povrch gule je 113,06 cm².

5. Loptička tvorí 52,36 % objemu škatule.

6. Pomer objemov telies od najväčšieho po najmenšie je 2,83: 1,48: 1.

Krížom-Krážom

1. Prepravili6 011 716,67 ton kameňa.

2. Zlatokop minul viac stanovej látky.

15

3. Zlatokop mal vo svojom stanu viac vzduchu.

4. Priemer nádrže meria4metre.

5. Je potreba kúpiť4,05 kg farby.

6. Náčrt, ktorý priniesol zástupca firmy, je zlý. Stan s takýmito rozmermi sa nedá zhotoviť.

Hľadajte so žiakmi chybu a skúste zmeniť údaje tak, aby bol stan reálny a potom počítajte.

7. Puškár vie odliať20 941 brokov z 1 kg olova.

5. Funkcie Zopakuj si

1.

2. a) Nie. b) Áno (napr. –3,26). c) Áno (napr. –7

3).

3. Napríklad číslo 𝜋.

4. Správne nakreslená číselná os je v c) v e). a) Čísla nie sú v správnom poradí. b) Vzdialenosti

medzi za sebou idúcimi číslami nie sú rovnaké a chýba číslo 0. d) Vzdialenosti medzi za sebou

idúcimi číslami nie sú rovnaké.

5. a) b) c)

6. a) b) c)

7. Obe situácie sú priamou úmernosťou.

8.

9. Zadanie b) sa dá zmeniť tak, aby to bola nepriama úmernosť. Diskutujte so žiakmi a hľadajte

správnu formuláciu.

10.

Pravouhlá (karteziánská) sústava súradníc

1.

2. a) b) c)

3.

4.

16

Funkčná závislosť medzi veličinami

1. Napríklad: Počet zjedených buchiet závisí od času jedenia. Počet vyrobených dielov závisí od

času práce výrobnej linky. ...

2. a) Čím viac pomarančov kúpime, tým viac za ne zaplatíme.

b) Nezávisí.

c) Nezávisí.

d) Pravdepodobne čím zamilovanejší, tým viac sms, ale nemusí to tak byť :).

3. a) 𝑦 = 𝑥 + 5; b) 𝑦 = 2𝑥; c) 𝑦 = 6 − 𝑥

4. c) Nie je funkcia, pretože písmenu A bolo priradených viac čísel ako jedno.

5. Neexistuje. Keďže obyvateľ môže byť na viacerých miestach súčasne, je jeho poloha

nejednoznačná a teda sa nedá popísať funkciou. Buď by sme každému obyvateľovi priradili

miesta, kde sa nachádza, ale pretože sa môže nachádzať na viacerých miestach súčasne,

nejednalo by sa o funkciu. Alebo by sme mohli každému miestu priradiť človeka, ktorý sa tu

nachádza, ale to by tiež nebola funkcia, pretože na jednom mieste môže byť viacej

obyvateľov.

6. a)

𝑥 1kg 2kg 3kg 4kg 5kg 6kg 7kg 8kg 9kg

𝑦 0,50 € 1 € 1,50 € 2 € 2,50 € 3 € 3,50 € 4 € 4,50 €

b)

𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 9

𝑦 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

c)

𝑥 −3 −2 −1 0 1 2 3

𝑦 −10 −7 −4

−1 2 5 8

7. a) 𝑦 = 5𝑥; b) 𝑦 = −2𝑥; c) 𝑦 = 𝑥

8. a) b) c)

17

Graf funkcie

1. Turista sa môže doszvedieť, aké sú priemerné mesačné teploty na Kréte počas roka. Kúpať sa

dá od júna do septembra, kedy teploty v priemere neklesnú pod 24 °C. Na prehliadku sú

vhodné všetky mesiace okrem júla a augusta, lebo vtedy nie je horúco. Teplota stúpa od

januára do júla. Teplta klesá od augusta do decembra.

2. Priemerná bodová hodnota študenta bola6,4 boda. Najviac bodov získal z úloh číslo1,9,19 a

najmenej bodov získal z úlohy číslo10.

3. a) Rýchlejšie išlo auto. b) Nie. c) Auto išlo rýchlosťou100 m/s. Cyklista išiel rýchlosťou25m/s.

4. a) Mal tri prestávky - polhodinovú, hodinovú a jeden a pol hodinovú. b) Cesta tam aj

s prestávkou mu trvala 3 hodiny, potom hodinu oddychoval a cesta späť aj s prestávkou mu

trvala tiež tri hodiny. c)Prešiel 12 km.

5. V prvom stĺpci druhý obrázok a v druhom stĺpci prvý obrázok nie sú grafy funkcií.

Lineárna funkcia

1. a)

𝑥 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

𝑦 −17 −14 −11 −8 −5 −2 1 4 7

b)

c) Pre 𝑥 = 4.

2. a)

𝑥 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

𝑦 2 0 −2 −4 −6 −8 −10 −12 −14

b)

c) Pre 𝑥 = −4; 𝑥 = 5; 𝑥 = −3.

18

3. Grafom lineárnej rovnice je priamka.

4. Grafy𝑙, 𝑜sú rastúce funkcie a grafy𝑘, 𝑚 sú klesajúce funkcie.

5. Ak je k kladné, funkcia je rastúca. Ak je k záporné, funkcia je klesajúca.

6. Táto funkcia je vždy rastúca.

7. a) Bude konštantná. b) Tak isto bude konštantná.

8.

9. Nie je to graf funkcie.

10. 𝑘: 𝑦 =−3

5𝑥; 𝑙: 𝑦 =

8

3𝑥 +

4

3;𝑚: 𝑦 = 𝑥; 𝑛: 𝑦 =

−4

3𝑥;

11. a) Px [4; 0], Py [0; –4]

b) Px [0; 0], Py [0; 0]

c) Px [–1; 0], Py [0; 1]

d) Px [0; 0], Py [0; 0]

e) Px [2,25; 0], Py [0; –4,5]

f) Px [0; 0], Py [0; 0]

g) Px [–3; 0], Py [0; 15]

h) Px neexistuje, Py [0; –4]

i) Px [1

3; 0], Py [0; –1]

j) Px neexistuje, Py [0; 3,7]

k) Px [2; 0], Py [0; 2,8]

l) Px [0; 0], Py [0; 0]

12. a)

𝑥(SMS) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

𝑦(cent) 7 14 21 28 35 42 49 56 63

𝑦 = 7𝑥

b)

𝑥(SMS) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

𝑦 (€) 5,06 5,12 5,18 5,24 5,30 5,36 5,42 5,48 5,54

19

𝑦 = 0,06𝑥 + 5

13.

𝑥 (𝑘𝑚) 100 200 300 400 500 600 700 800 900

𝑦 (𝑙) 6,5 13 19,5 26 32,5 39 45,5 52 58,5

Diskutujte o vhodnej mierke.

𝑦 = 0,065𝑥

14.

𝑥 (𝑐𝑚) 100 200 300 400 500 600 700 800 900

𝑦 (𝑐𝑚) 60 120 180 240 300 360 420 480 540

𝑦 = 0,6𝑥

Krížom-Krážom

1.

2.

20

3.

4.

6. Podobnosť trojuholníkov Zopakuj si

1. Strany𝐵𝐶a 𝐵𝐸.Diskutujte so žiakmi o tom, či riešenie úlohy závisí od toho, pri ktorom vrchole

trojuholníka je pravý uhol.

2. Na štyri trojuholníky.

3.

4. Z prvého obrázku sú zhodné trojuholníky𝐴𝐵𝐶a𝐶𝐷𝐴.Z druhého obrázku sú zhodné

trojuholníky 𝑀𝑆𝑙𝑆𝑘, 𝑆𝑙𝐾𝑆𝑚, 𝑆𝑘𝑆𝑚𝐿a𝑆𝑚𝑆𝑘𝑆𝑙 .

5. a) Je potrebné, aby to bola v obidvoch trojuholníkoch výška na základňu. b) Je správne. c) Je

správne.

6. Ležia, pretože body𝐵a𝐷splývajú. Diskutujte so žiakmi, či bude odpoveď iná, ak sa zmenia

polomery kružníc k, l.

7.

8. a) 6: 9;b)140: 60;c)7: 14: 28;d)2 500: 1 500: 1 000

9. Záhrada 300 m², bazén 200 m², výsadba 20 m², trávnik 80 m². Bazén : trávniku = 5 : 2.

10. Elektrická lokomotíva ako model H0 má dĺžku 201 mm - skutočná dĺžka 17 487 mm. Parná

lokomotíva vyrobená ako model TT má dĺžku 131 mm - skutočná dĺžka 15 720 mm.

11.

Podobnosť geometrických útvarov

1. Pre všetky dvojice platí, že dĺžka úsečky na väčšom obrázku je dvakrát dlhšia ako dĺžka úsečky

na menšom obrázku. Odpovedajúce si úhly sú na oboch obrázkoch rovnako veľké.

Pomer podobnosti

1. Najprv sme ho zmenšili a potom zväčšili.

2. Nezmeníme ho. Zostane rovnako veľký.

3. a) Sú podobné. b) Sú podobné. c) Nie sú podobné. d) Nie sú podobné.

4. Pomer podobnosti je a)1: 3;b)1: 4;c)6: 1;d)5: 1

5. Dĺžka úsečky𝐴′𝐵′je12cm. Úsečku𝐴𝐵sme tak zväčšili v pomere1: 3.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14. Áno. Tieto body ležia na priamkách.

15. Na oplotenie záhrady treba140m plotu, ktorý bude bez DPH stáť 3 104,11 € a s DPH bude

stáť 3 755,97 €.

16. Nie, pretože uhlopriečka štvorca je vždy√2-krát dlhšia ako jeho strana.

21

Podobnosť trojuholníkov

1. a) zodpovedajúcich si; b) Dva podobné trojuholníky majú veľkosti zodpovedajúcich si uhlov

zhodné.

2. a) Najmenej tri údaje. Zodpovedajúce si dĺžky všetkých strán alebo zdopovedajúce si dĺžky

dvoch strán a veľksti uhlov, ktoré tieto strany zvierajú alebo zodpovedajúce sa dĺžky jednej

strany a veľkosti uhlo, ktoré sú k tejto strane priľahlé.

b) Veľkosti zodpovedajúcich si dĺžok všetkých troch strán alebo veľkosti zodpovedajúcich si

dĺžok dvoch strán a veľkosti uhlov, ktoré tieto strany zvierajú alebo veľkosti zodpovedajúcich

si dvoch uhlov.

3. Áno sú podobné a pomer podobnosti je2: 3.

4. 𝑔 = 2,5cm; 𝑒′ = 7cm.

5. Áno sú podobné.

6. Tak, že |𝐵𝑄|: |𝑄𝐶| = 2: 5.

7. Áno, sú podobné.

8. Áno, sú podobné.

9. Uhlopriečky majú dĺžku |𝐴𝐶| = 12,83 cm a |𝐵𝐷| = 11cm.

10. Áno, sú podobné.

11. Je to44,44 %.

12. V pomere |𝐴𝐸|: |𝐸𝐵| = 4: 1.

13. Áno.

14.

15.

Podobnosť v praxi

1. Dá sa to, pokiaľ osoby stoja vedľa seba.

2. Odmeriame dĺžku tyče a tieňa, ktorý vrhá. Potom odmeriame dĺžku tieňa stromu/budovy.

Dosadíme za hodnoty neznámych𝑏, 𝑥, 𝑦na obrázku. Výšku stromu/budovy𝑑potom vieme

vypočítať ako𝑑 =𝑏⋅𝑥

𝑦.

3.

Krížom-Krážom

1. Má rozlohu29 400m².

2. a) pravdivé; b) pravdivé; c) nepravdivé

3. 180 cm².

4. Sú v pomere4: 1.25 %.

7. Štatistika Zopakuj si

1. Má deväť štatistických jednotiek.

2. Rozsah štatistického súboru je12.

3. a) Štatistický súborom sú dokopy oceány Atlantický, Tichý a Indický.

b) Štatistickou jednotkou je zvlášť Atlantický oceán, Tichý oceán a Indický oceán.

c) Štatistické znaky sú povrch, objem, percentuálny pomer povrchu k povrchu všetkých

22

oceánov a percentuálny pomer objemu k objemu všetkých oceánov,

d) Rozsah štatistického súboru je3.(počet oceánov v tabuľke)

e) Myslí sa povrch resp. objem troch oceánov, ktoré sú uvedené v tabuľke.

4. 33

5. 57,075

6. Priemerná výška dievčat je165cm. Priemerná výška chlapcov je177cm. Priemerná výška

celého súboru je173,57cm. Priemerná výška priemerných výšok je171cm. Výsledky nie sú

rovnaké, lebo dievčat a chlapcov v súbore nie je rovnaký počet.

7. Nie úplne. Porovnáva štatistické znaky jednotlivých krajín, ale z popisu grafu nie je úplne

jasné, čo je štatistickým znakom.

8.

typ komédia akcia romantika dráma sci-fi

počet 4 5 6 1 4

9. a)15 − 64rokov; b) Nie.

10.

Postup pri štatistickom prieskume

1. a)

obyvateľov práca s textom práca s tabuľkami práca s e-mailom práca s internetom

áno nie nezistené áno nie nezistené áno nie nezistené áno nie nezistené

241 98 140 3 64 173 4 92 145 4 116 123 2

98

241

140

241

3

241

64

241

173

241

4

241

92

241

145

241

4

241

116

241

123

241

2

241

0,41 0,58 0,01 0,27 0,72 0,02 0,38 0,6 0,02 0,48 0,51 0,008

% 40,66 58,09 1,24 26,56 71,78 1,65 38,17 60,17 1,66 48,13 51,04 0,83

b)

c) Napríklad grafom.

2.

Interpretácia štatistických údajov

1. Napríklad kruhovým alebo stĺpcovým grafom.

2.

23

3.

Náhodný výber

1. Ďurov náhodný výber nebol úplne správny, pretože sa pýtal chlapcov, u ktorých je veľký

predpoklad obľúbenosti športu (hrajú futbal) a preto budú výsledky jeho projektu skreslené.

2.

Štatistické záludnosti

1. Z uvedeného grafu sa nedá predpokladať. Na prvý pohľad by sa mohlo zdať, že cena akcií

bude rásť, ale opak bol pravdou.

2. Matematicky v priemere každý žiak hrá na1,33hudobných nástrojov. Ale je to zmysluplná

informácia? Diskutujte.

3. Pestovateľské úspechy babičiek nemožno porovnávať, lebo každá pestuje niečo iné.

4. Nevieme povedať. Podľa percent bola úspešnejšia firma B, ale čo ak minulý rok vyrobili jeden

mobilný telefón?

24

Krížom-Krážom

1.

2.

Krížom - krážom svetom a matematikou 1.

2. V zákone je dané, že človek v práci môže niesť maximálne50𝑘𝑔nákladu. Na základe tejto

informácie by miliardu korún v tisícovkách odnieslo36chlapov, v stovkách234chlapov, v

striebre6 400chlapov a v zlate100 000chlapov.

3. Áno, je ich rovnako veľa.

4. Dá sa z neho jednoducho zostrojiť pravouhlý trojuholník, ktorý sa hodí, keď záhradkár chce

mať napríklad obdĺžnikový záhon a potrebuje presne vytýčiť pravý uhol. Pravouhlý

trojuholník s najmenším počtom potrebných uzlov je trojuholník so stranami dĺžky 3,4a5.Dá

sa použiť aj špagát s počtom 25 uzlov (trojuholník 6, 8 a 10).

5. Najviac sa vyplatí predposledný prášok.

6.

7.

8.

9. Cena výrobku klesne o 8,33 %. Ceny sme zaokrúhľovali na dve desatinné miesta.

DPH 20 % 1,80 € 0,90 € 0,70 € 2,50 €

bez DPH 1,50 € 0,75 € 0,58 € 2,08 €

DPH 10 % 1,65 € 0,83 € 0,64 € 2,29 €

10. Pre výpočet tejto úlohy je postačujúce, ak predpokladáme, že pyramída je pravidelný

štvorboký ihlan s hranou odsatvy dlshou 230 m a výškou 140 m. Potom objem vykopanej

jamy je 2 468 667 metrov kubických. Ak zohľadníme mieru nakyprenia, tak treba odviezť 3

209 267 - 3 703 000 metrov kubických zeme. Ak použijeme nákladné autá s objemom korby

18 metrov kubických, budeme ich potrebovať 178 292 - 205 722. :)

11. a) Z pletiva postavíme dve rovnako dlhé strany obdĺžnika a jednu inak dlhú. Najväčšiu plochu

bude záhradka zaberať, keď dĺžka dvoch rovnako dlhých strán bude25m a dĺžka tretej strany

bude dlhá50m.

b) Najlepšie bude postaviť rovnoramenný pravouhlý trojuholník tak, že jeho prepona bude

pri múre. Čiže ramená trojuholníka budú dlhé50m.

12. Je to tak, pretože bod A má väčšiu rýchlosť ako bod B. Zaujímavé ešte je, že bod A má ale

rovnakú obvodovú rýchlosť ako bod B. To znamená, že sa vzhľadom k stredu kolesa za

rovnaký čas otočí o rovnaký uhol.

13.

25