0 SEMINARASKI RAD IZ PREDMATAMATEMATIKA 1 Sadraj 1.MATEMATIKA LOGIKA............................................................................................................... 2 2. DIMENZIJA I BAZA ...................................................................................................................... 8 3. NEPREKIDNOST FUNKCIJE .......................................................................................................... 9 4.RAUN ZLATA I SREBRA ............................................................................................................ 11 5.KALKULACIJE U INDUSTRIJI I TRGOVINI .................................................................................... 14 5.1 Uvodni pojmovi, vrste kalkulacija ...................................................................................... 14 5.2Vrste kalkulacije. ................................................................................................................. 15 5.3. Kalkulacija u industriji ....................................................................................................... 16 5.4. Metode kalkulacije u industriji .......................................................................................... 19 2 1.MATEMATIKA LOGIKA Osnovnosredstvosporazumjevanjameduljudimajejezik,Razlikujemovievrsta jezika sporazumjevanja, kao to su npr, slikarski, muziki, obini (govorni) i knjievni jezik,Matematikijezikjenajviiobliknaunogjezika.Zarazlikuodnpr, slikarskog jezika, matematici je potreban jezik pomou koga se izraavamo i sporazumjevamobezdvosmislenostiinedorjeenosti.Zadatakmatematikelogikeje prouavanje,istraivanjeistalnadogradnjatakvogmatematikogjezika,tj.jezika simbolakaosredstvaza razvijanjemiljenja,rasuivanja,zakljuivanjai komuniciranja umatematici.Najslinijimaternatikomjezikusugovorniiknjievni(pisani)jezik. Osnovu ovih jezika ini glas, slovo, rije i reenica.Neto slino vai i za matematiki jezik u kome osnovu ine matematiki izrazi(rijei) ili termini, Najprostiji matematiki izrazisukonstanteipromjenljive.Konstantesupotpunoodreenimatematikiobjekti,tj, veliine kojima se vrijednost ne mijenja, npr, -S; 0; 2; 2/3; 5; 74 ; ; e ,,,Promjenljive susimboli(znaciislova)kojimogupredstavljatibilokojielemenatiznekogdatog skupa, Dati skup se naziva oblast definisanosti (domen) promjenljive, Konstante kojima se zamjenjuju promjenljive nazivaju se vrijednosti promjenljivih. Primjer: 1.) , , , , , ,..., , ,... x z y a b c A osu oznake za promjenljive 2,) n je oznaka za prirodan broj, Vrijednosti promjenljive n su konstante 1, 2, SloenimatematikiizrazisedobijajukadsekonstanteIpromjenljivepovsimbolima( oznakama)zaraunskeoperacije,kaotosunpr,+,-,,:,Priformiranjusloenih izraza dozvoljena je I upotreba zagrada, s tim da izraz ima smisla, Primjer : 1,) izrazi su: 8+7, 3x-4, 5x/(x+1), (x+2)y I sl, 2,) nisu izrazi: 2+, x(y+) I sl, Dakle, izrazi su rijei ili sklopovi rijei koji ne ine reenicu, Izrazi se sastoje od jedne promjenljive ili od jednog znaka konstante, ili od vie promjenljivih ili znakova konstanti povezanihznacimaoperacija,uzupotrebuzagradakaopomonihsimbola.Vrijednost matematikogizrazijekonstantakojasedobijenakontoseuizrazusvisimboli promjenljivihzamjeneodgovarajuimvrijednostima(konstantama)iizvrenaznaene operacije. Matematikeformulesureenicekojesu:ili(1)istinite,ili(2)neistinite,ili(3)takve dasezanjihnemoe,nedvosmislenoijednoznano,utvrditivrijednostistinitosti,Za 3 prve vae ovi principi:principi ukljuenja treeg, to znai da ne postoji iskaz koji ne bi bio ni istinit ni neistinit, 1) princip kontradikcije, to znai da nema iskaza koji je i istinit i neistinit, Primjer 1)Iskazi su formule: 2+3=5, 4>1+2, 45, x+y=z, x+x=3x i sl, Svaki iskaz se moe obiljeiti slovom, Ova slova se nazivaju iskazna slova, npi, p, q, r, s, a, b,,,, Akojenekiiskazptaan(istinit),ondasevrijednostnjegoveistinitosti oznaava ovako: p=T ili p=1 (itaj: tau od p jednako te ili jedan; T kao prvo slovo engleske reci true=istina), Akojepnetaan(neistinit,laan)iskaz,ondasenjegovaistinitostvrednujesa ili 0, tj, pie se ili p= ili p=0 (itaj: tau od p jednako ne te ili nula), U matematici se taan iskaz naziva stav, 4 Iskazjeprostakosadrisamojednuinformaciju.Dvailivieprostihiskazapovezanih znacima logikih operacija tvore sloeni iskaz, Osnovni medu njima su oni koji povezuju dva prosta iskaza, izuzev negacije, koja se odnosi na jedan iskaz, U nastavku dajemo definicije ovih osnovnih sloenih iskaz. Konjukcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p.q(itaj:piq),istinitondaisamoondaakosuobadataiskazaistinita.Tablica vrednostiistinitostizakonjukcijuzasvemoguevarijantevrijednostiistinitostiiskaza piq: ilikrae Disjunkcijadatihiskazapiqjeiskazuoznacipvq(itaj:piliq),istinitondaisamo onda ako je bar jedan od datih iskaza istinit, odnosno neistinit onda i samo onda ako su oba data iskaza neistinita, Ovako definisana disjunkcija javlja se pod nazivom inkluzivna (ukljuiva)disjunkcija,jerjeistinitaiondakadasuobadataiskazaistinita,Eksluzivna (iskljuiva)disjunkcijadatihiskazapiqjeiskazuoznacipvq(itaj:ilipiliq),istinit onda i samo onda ako je samo jedan od datih iskaza istinit,Tablica vrednosti istinitosti za disjunkciju:

5

Pod izrazom "disjunkcija" najee se podrazumjeva inkluzivna, pa je u sluaju upotrebe eksluzivne disjunkcije neophodno to i naglasiti, Implikacija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pq, neistinit onda i samo onda ako je p istinit a q neistinit iskaz, pq se moe itati ovako: p implicira q, -iz p slijedi q, -p je dovoljan uslov za q, -q je potreban uslov za q, -p je uzrok za q, a q je posljedica p, -p je predpostavka, a q je tvrdnja, Tabla istinitosti za implikaciju:

Ekvivalencija datih iskaza je iskaz u oznaci p q istinit onda i samo onda ako dati iskazi imaju jednake vrednosri istinitosti, pq se moe itati ovako: *p je ekvivalentno sa q, *iz p slijedi q i iz q slijedi p, *ako je p onda q i obratno, *p je dovoljan i potreban uslova za q i obratno, itd, 6 Tablica vrednosti istinitosti za ekvivalenciju: Ekvivalencija iskaza p i q se moe definisati i kao konjunkcija implikacija pq i qp, tj, vai: ( ) ( ) p q p q q p = . Negacijadatogiskazapjeiskazp(itaj:nep),kojijeneistinitkadajep istinit i obratno, Tablica vrijednosti istinitosti zanegaciju: Napomena 1.(p)=p,tj,negacijanegacijedatogiskazadajeiskazsajednakom vrijednou istinitosti kao to je ima dati iskaz, 2.(pq)=pvqi(pvq)=pq,tj,negacijaekvivalencijeje ekskluzivna disjunkcija i obratno. U Dakle, vezivanjem prostih iskaza, oznaenih iskaznim slovima p, q,,,,, pomouznakovalogikihoperacijadobilismosloeneiskaze,Vezujuiove 7 sloeneiskazepomouznakovalogikihoperacijadobijamojosloenije,Svi ovi iskazi se nazivaju iskazne formule ili logike formule. Uobiajeno je da se iskazne formule definiu ovako: 1) Iskazna slova su iskazne formule, 2) AkosuAiBiskazneformule,ondasui(A.B),(AVB),(AB),(AB), A takoe iskazne formule, 3) Iskazne formulemoguseobrazovatisamokonanimbrojemprimjena 1)i2), uz mogunost korienja konvencije o brisanju zagrada, Vrijednostistinitostiiskazneformulezavisiodvrijednostiistinitostiiskaznih promjenljivih u njoj. Iskazna formula koja je istinita za svaku moguu varijantu vrijednosti istinitosti prostih iskaza u njoj, naziva se tautologija, Ako je iskazna formulatautologijapiese:A=TiliATiliA~T.DveformuleAiBsu identikijednakeakoisamoakojeformulaABtautologija.Akose kvantitativnoeliizrazitizakojevrijednostipromjenljivihjeistinitaiskazna funkcijailipredikat,ondasemogukoristititzv,kvantifikatoriilikvantori (kolikovnici).Akoiskazpoinjekvantifikacijom"zasvako",ondaserijei"za svako"oznaavajusa(obratnoodprvogslovanjemakerijeiAlle=svi),i nazivajuuniverzalnimkvantifikator(kvantor).Formula( xeA)P(x)znai: za svako x iz skupa A predikat P(x) je taan. Ako iskaz poinje kvantifikacijom "za neko" ili "postoji bar jedan", onda se ove rijei oznaavaju sa- (obratno od prvog slova njemake rijei Es gibt=postoji), i nazivaju egzistencijalni kvantifikator (kvantor). Formula ( -xeA) P(X) znai: predikat P(x) je taan za bar jedno x iz skupa A. U vezi s kvantorima, pored ostalih, znaajne su ove formule kao zakoni predikatskog (kvantifikatorskog) rauna:

( ) ( ) ( ) ( ) x P x x P x - ;( ) ( ) ( ) ( ) x P x x P x -

Kvantori, zajedno sa rijeii, ili, ako,,,onda, nije, predstavljaju potpun spisak osnovnih rijei pomou kojih se u matematici polazei odizvjesnih reenica, grade nove sloene reenice. Na kraju ovog poglavlja dajemo objanjenje nekih znaajnijih pojmova u vezi s rasuivanjima i dokazivanjima u matematici. Definicija je reenica, ili skup reenica, kojom se odreuju sadrina nekog pojma. 8 Pojam je misaoni sadraj termina ili simbola, Razlikujemo osnovne i izvedene pojmove, Osnovnipojmovisuonikojeprihvatamojasnimsameposebibezpotrebedase objanjavaju nekim drugim pojmovima (npr, broj, skup, taka), Izvedeni pojmovi su oni koje objanjavamo pomou osnovnih i drugih izvedenih pojmova. Pretpostavke(hipoteze)sureenice(formule)odkojilisepolazi,kaotanihunekom rasuivanju. Posledice su reenice (formule) koje su, iz pretpostavki, dobijene logikim rasuivanjem i zakljuivanjem. Aksiome su polazne reenice (formule) koje se po dogovoru uzimaju kao tane i ija se istinitost ne dokazuje. Teoremesuizvedene(dokazane)reenice(formule)zasnovanenaaksiomimaili prethodno dokazanim tvrenjima. Dokazjeputlogikograsuivanjaizakljuivanjaodpretpostavkidoposljedicatj,niz koraka od kojili je svaki korak ili aksioma ili ve dokazana teorema. 2. DIMENZIJA I BAZA Najvei broj linearno nezavisnih vektora koji se moe nai u datom vektorskom prostoru V naziva se dimenzija vektorskog prostora V, u oznaci d(V). Ovaj broj je jednak broju komponentivektoraposmatranogvektorskogprostora".Meutim,akojereo vektorskom potprostoru kao skupu svih linearnih kombinacija vektora datog vektorskog sistema,ondajedimenzijatogpotprostorajednakaranguvektorskogsistemaizkogaje generisan,atajbroj,kaotojereeno,nemoebitiveiodbrojakomponentivektora posmatranog vektorskog sistema, odnosno potprostora. Akojedoznakazadimenzijunekogvektorskogprostora,ondasezabilokojiskup (sistem)oddlinearnonezavisnihvektorakaedapredstavljabazuposmatranog vektorskog prostora. Vektori koji obrazuju bazu nazivaju se bazni vektori. Ako je B={b,,b2b)bazanekogvektorskogprostoraV,ondasemakojivektor posmatranog vektorskog prostora moe izraziti linearnom kombinacijom baznih vektora, i to jednoznano. f Ovde se misli na vektore sa konanim brojem komponenti, tj. na konano imcnzionalnc rektorske prostore, jer se beskonano dimenzionalim neemo baviti. Neka je a proizvoljno odabrani vektor pasmatranog vektorskog prostora V onda vai: 9 a = a1b1 + a1b2+ + adbd

r pri emu se za skalare a1 , a2 ,..., ad kae da su koordinate vektora a u odnosu na bazu B. Dokaz jednoznanosti: Pretpostavimo da se vektor a = a1b1 + a1b2+ + adbd, moe i na drugi nain izraziti kao linearna kombinacija baznih vektora, npr.: 1 1 2 2... .d da b b b | | | = + + + Oduzimanjem ove dve jednaine, kojima je izraen a, dobije se: ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 20 ... .d db b o | o | o | = + + + Kako {b1 , b2 ,..., bn }ime linearno nezavisan sistem vektora, to mora biti: 1 1 = 2 2 ==d d, = 0, tj.1 =1 , 2 = 2 , , d = d , to je i trebalo dokazati. 3. NEPREKIDNOST FUNKCIJE

Zafunkcijuy=f(x)definisanuutakix0iunekojnjenojokolini,sekaedaje neprekidnau taki x0, ako vai: 00lim ( ) ( ).x xf x f x= Ovoj definiciji je ekvivalentna slijedea definicija: za funkciju y=f(x), definisanu u raki x0iunekojokoliniovetakesekaedajeneprekidnautakix0,akosezasvaki proizvoljno mali >0 moe nai broj >0 tako da iz x- x0 < sledi f(x) - f(x0) < . Ovo znai da e funkcija y=f(x) biti neprekidna u taki x0; a)ako je y = f(x) defmisana u taki x0; a)ako postoji granina vrijednost iste funkcije u taki x0; c) ako je granina vrijednost funkcije u taki x0 jednaka vrijednosti funkcije u toj taki, tj.00lim ( ) ( )x xf x f x= Ako funkcijay=f(x) u nekoj taki x=x0 ne ispunjava bar jedan od ova tri uslova tada za x=x0 funkcijaimaprekidix0 nazivamotakomprekidafunkcije.Funkcijaf(x)je neprekidna u intervalu [a,b] ako je neprekidna u svim takama tog intervala. 10 Primjer 1. Funkcija y = f(x) = x3 je neprekidna u celoj oblasti definisanosti, jer za svako ( , ) xe +vai: 00lim ( ) ( ).x xf x f x= 2. Funkcija y=f(x)=(x+1)/(x-1) nije neprekidna u taki x=1; jer u toj taki nije definisana, poto je 1(1) = 2/0. 3. Funkcija 1/ , 0( )0, 0x xy f xx== ==, je prekidna u taki x = 0, jer ne postoji 0lim ( )x xf xpotoje: 0 0lim 1/ ; lim1/ , 0x xx x = = + znai x tei nuli s lijeva. a0+. znai da x tei nuli s desna. Data funkcija je inae definisana u taki x = 0, jer je f(0) = 0. Bez dokaza navodimo dve teoreme o osobinama neprekidnih funkcija: Svakafunkcijakojajeneprekidnaunekomintervalu[a,b]ogranienajeunjemuina tom intervalu dostie svoju donju i gornju medu. Akojefunkcijaf(x)neprekidnauintervalu[a,b]iimasuprotneznakovenakrajevima ovog intervala, tada izmeu taaka a i b postoji bar jedna raka x=c u kojoj je f(c)=0. Nakrajunavodimooperacijesaneprekidnimfunkcijama.Akosuf(x)ig(x)neprekidne funkcije u taki x=x0. tada su u ovoj taki neprekidne i slijedee funkcije:1) l(x) g(x)2) f(x) g(x) 11 4.RAUN ZLATA I SREBRA Zlatoisrebrosutzv.dragekovine.Upotrebljavajusezaizradunakita,dragocjenih predmeta, a slue i kao novac.Kakosutekovinepremeke,oneseneupotrebljavajuuistomstanju,vesamo pomijeane s kojom drugom kovinom, najee s bakrom.Razlikujemo prema tome isto zlato, odnosno isto srebro, od smjese zlata ili srebra.Kodsmjesevanojeznatiomjeristogzlata,odnosnosrebrapremaitavojsmjesi,jer je, naravno, smjesa to vrednija to u njoj ima vie iste kovine.Omjer teine iste kovine i teine smjese zove se finoa.Finoa se moe mjeriti u promilima ili u karatima.Upromilimasefinoamjerinatajnaindaseustanovikolikoistogzlata,odnosno srebra ima u 1 000 jedinica smjese. Npr. finoa 900 znai da u 1 000 jedinica smjese ima 900 jedinica iste kovine.Usvjetskojtrgoviniveomajeuobiajenomjerenjefinoezlataukaratima.Podtomse finoomshvatakolikoimaistogzlatau24jedinice.Tejedinicemogu,naravno,biti grami, funte itdDakleakou24gramasmjeseimamo22gramaistogzlata,ondajetozlatofinoe22 karata. Analogno engleskoj mjeri za teinu dijeli se 1 karat na 4 grejna.Naanalogannainmoeseisrebroizrazitiupenivejtima.Podfinoomupenivejtima shvata se koliko ima istog srebra u 240 jedinica smjese.Analogno engleskoj mjeri za teine dijeli se 1 penivejt na 24 grejna. Finoa u promilima moe se uvijek pretvoriti u finou u karate, odnosno penivejte.Npr. ako pitamo koliko je u karatima finoa od 750/00., onda se to pitanje jednostavno rjeava pomou razmjerax karata : 24 karata = 750 : 1 000 Isto tako moe se i obrnuto pitati, kolika je u promilima finoa od 22 karata. Imamo22 : 24 = x : 1 000 24 750181000x karata= =220002916324x = =12 UVelikojBritanijizovesezlatood22karatastandard-zlato,iiznjegasekovaozlatni novac. Standard-srebro je srebro od 222 penivejta. Standard-zlato ima dakle finou a standard-srebro SoznakomB(engl.better=bolji)iW(engl.worse=loiji)oznaavasezlato odnosno srebro koje je bolje odnosno loije od standard-smjese.Naprimjer,akoimamozlatoB13,toznaidajetozlatokojejeza1karat3 grejna bolje od standard-zlata. Dakle22 karata + 1 karat 3 grejna = 23 karata 3 grejna. Finoa 23 karata 3 grejna = 23,75 karata= Zlato W 42 znai22 karata 4 karata 2 grejna = 17 karata 2 grejna, to je Srebro W 717 znai srebro koje je za 7 penivejta 17 grejna loije od standard--srebra, tj. 222 penivejta - 7 penivejta 17 grejna = 214 penivejta 7 grejna214,29 penivejta, to je Slubenacijenazlatakodnasje14,0659479dinaraza1gistogzlata.U Londonu notira zlato na berzi za 1 Tr oz istog zlata, ali se prodaje i za 1 Tr oz standard-zlata.Istotakoisrebro.Takojeuseptembru1966.notirao1Troz istog zlata u Londonu 12,, 11, a 1 Tr oz istog srebra 111 d.)The Financial Times od 30.3.1966. P r i m j e r i0 29163 00009250023, 75 10000989, 580024~17, 50 10000 17296 0024=214, 29 1000082300240~13 1. Komad zlatne smjese vae 6,451 61 grama. Finoa joj je 900. Koliko ima u toj smjesi istog zlata? Taj zadatak rjeavamo verinikom:x grama istog zlata6,451 61 grama smjese 1 000 grama smjese 900 grama istog zlata 2.Kolikovaekomadzlatasmjese,finoe9162/3,akousmjesiima7,322385 grama istog zlata? x grama smjese 7,322 385 grama istog zlata9163/3 grama istog zlata 1 000 grama smjese 3. Komad zlatne smjese vae 7,210 8 grama, a isto zlato vae 6,609 9 grama. Kolika mu je finoa?x grama istog zlata1 000 grama smjese7,210 8 grama smjese 6,609 9 grama istog zlata Isti se zadatak moe rijeiti i tako da traimo finou u karatima. Onda imamox karata istog zlata 24 karata smjese7,210 8 grama smjese 6,609 9 grama istog zlata 6, 45161 9005,806451000x grama= =7, 322385 10007, 98806916, 66..x grama= ~6, 6099 1000916, 666...7, 2108x= =24 6, 6099227, 2108x karata= =14 4.Imamo725,658TrozzlatafinoeW33;kolikoimautojsmjesikilogramaistog zlata?Zlato W 33 znai zlato koje je za 3 karata 3 grejna loije od standard-zlata, dakle2233 = 181 = 18,25 karatax kg istog zlata725 658 Tr oz smjese24 Tr oz smjese18.25 Tr oz istog zlata1 Tr oz istog zlata 31,103 5 grama istog zlata1 000 grama istog zlata 1 kg istog zlata5.KALKULACIJE U INDUSTRIJI I TRGOVINI 5.1 Uvodni pojmovi, vrste kalkulacija Pojam kalkulacije. Privredni raun i kalkulacija temelji su svakoj privrednoj djelatnosti.Uvijek je potrebno da se to bolje iskoriste vlastiti kapaciteti i radna snaga da se postigne to povoljniji finansijski rezultat, ekonominost, racionalnost i rentabilnost poslovanja.Kalkulacijajeraunskipostupakzaizraunavanjeiutvrivanjesvihelemenata proizvodne i prodajne cijene gotovih proizvoda i usluga. Drugim rijeima, kalkulacija je:1. metoda kako da se utvrdi nabavnacijena, odnosno cijena kotanja te prodajna cijena na temelju predvienih, odnosno nastalih trokova;2. raunski postupak za izraunavanje raznih vrsta cijena, pri emu se u osnovi polazi od svih trokova koji su direktno ili indirektno povezani, za odreeni proizvod ili uslugu;3.bazazarazliiteekonomskeanalize,zakontrolutrokova,ekonominostiiracio-nalnosti poslovanja.

15 5.2Vrste kalkulacije. Zapreduzeesuvanitrokoviazatritecijena.Buduidajekalkulacijaraunski postupakkojimseizraunavajucijenenatemeljutrokova(planskihiliostvarenih), kalkulacija je prema tome, i veza izmeu trokova i cijena.Preduzea raznih privrednih grana imaju i razliite privredne zadatke i razliite poslovne procese,paeitehnikakalkulacijeuraznimpojedinostimabitirazliita.Utomsmislu kalkulacija se naelno dijeli na:1. proizvodnu i2. na trgovinsku kalkulaciju.Proizvodna kalkulacija ralanjuje se na industrijsku i zanatsku kalkulaciju, a trgovinska na kalkulaciju u unutranjoj i na kalkulaciju u vanjskoj trgovini.S obzirom na vrste cijene koja se izraunava razlikujemo:kalkulaciju nabavne cijene;kalkulaciju cijene kotanja ikalkulaciju prodajne cijene.Sa stanovita obraunavanja trokova po proizvodu razlikujemo:direktne, neposredne ili pojedinane trokove.indirektne, posredne, reijske ili opte trokove. Direktni trokovi mogu se obraunati neposredno po proizvodu, a to su najee trokovi sirovine ako tono znamo koliko se neke sirovine troi za odreene proizvode. Indirektni trokovinakontoseustanovinjihovukupniiznosrasporeujusenapojedini proizvod po odreenom kljuu".Indirektnisutrokovi:trokovireijepogona(optitrokoviizrade)itrokovireije uprave i prodaje (opti trokovi uprave i prodaje).Klju podjele mogu biti direktni trokovi za pojedini proizvod ili lini dohoci izrade za pojedini proizvod ili neki drugi element koji preduzeu najbolje odgovara.O pravilnom izboru kljua za raspodjelu optih trokova zavisi tanost kalkulacije.16 S obzirom na vrijeme kad se cijena izraunava razlikujemo:prethodnu ili plansku kalkulaciju inaknadnu ili obraunsku kalkulaciju.S obzirom na vrste i karakter trokova koje iskazuje kalkulacija razlikujemo kalkulaciju po planskim i kalkulaciju po stvarnim trokovima. 5.3. Kalkulacija u industriji Vrste trokova. Trokovi su osnovni elementi kalkulacije i njihova klasifikacija zasniva se na ekonomskoj ulozi pojedinih faktora koji sudjeluju u procesu proizvodnje i u njemu se troe. Trokove moemo podijeliti prema opsegu proizvodnje na:varijabilne ili promjenljive trokoveiksne ili stalne trokove.Varijabilnitrokovirastuilipadajusporastomilismanjenjemobujmaproizvodnje. Takavjetroakmaterijalzaproizvodnju.Fiksnitrokovimogubitiapsolutnovrstiili relativnovrstitrokoviinemijenjajuseproporcionalnosporastomilismanjenjem proizvodnje.Prema elementima proizvodnje razlikujemo:trokove sredstava za radtrokove predmeta radatrokove ivog radatrokove vlastitih ili tuih usluga.Mjestainosiocitrokova.Ukupnitrokoviproizvodnjerasporeujuseporadnim mjestima gdje se pojavljuju kao i po nosiocima trokova, a to su proizvodi i usluge.Mjesta trokova ralanjuju se kako to zahtijeva organizaciona strukturapoduzea, a to sumjestatrokovaimjestatrokovaupraveiprodaje.Nosiocitrokovajesuizraeni proizvodi i proizvodne usluge.Shemastrukturecijeneindustrijskihproizvoda.Sadanjastrukturacijenaimaest elemenata, i to su: 17 Elementi strukture cijena:ifra:1.materijal za izraduMI2.amortizacija Am3.osobni dohoci izradeODI4.opi trokovi izrade OTI5. opi trokovi uprave i prodajeOUT I. Cijena kotanjaCk6. financijski rezultat (dobitak)II. Prodajna cijenaPcU proizvodnoj praksi naziva se zbroj trokova materijala za izradu i amortizacije trokoviizrade",azbrojtrokovaizradeilinihdohodakaizradetrokovi obrade". Primjer:Sastavite plansku i obraunsku kalkulaciju za 1 i 40 komada industrijskih proizvoda na temeljuplanskihnormativainatemeljuknjigovodstvenapodataka,stvarnihtrokova,za 1 proizvod.Struktura trokovaPlanski KnjigovodstveninormativipodaciMaterijal izrade700690Osobni dohoci izrade500480Amortizacija200200Opti trokovi izrade 60% od ODI295 Opti trokovi uprave i prodaje80% od ODI 410Razlika realizacije 20% od bruto-produktaSnienje cijene kotanja nastaje ako je cijena kotanja kod obraunske kalkulacije manja od planske cijene kotanja.18 Povienjecijenekotanjaimamousluaju,kadjecijenakotanjakodobraunske kalkulacije vea od planirane cijene kotanja.Razliku realizacije, izraunali smo od cijene kotanja po postotnom raunu nie 100.Redni brojStruktura trokovaPlanska Obraunska1 kom. 40 kom.1 kom.40 kom.123MIODIAm70050020028 00020 0008 00069048020027 60019 2008 00045OTI 60% od ODIOPU 80% od ODI30040012 00016 00029541011 80016 400I. Ck (cijena kotanja)Snienje cijene kotanja2 100 84 000 2 07525 830001 0006 Razlika realizacije 20% 525 21 000 525 21 000II. P C (prodajna cijena) 2 625 105 000 2 625 105 000 19 Snienje cijene kotanja nastaje ako je cijena kotanja kod obraunske kalkulacije manja od planske cijene kotanja.Povienjecijenekotanjaimamousluaju,kadjecijenakotanjakodobraunske kalkulacije vea od planirane cijene kotanja.Razliku realizacije, izraunali smo od cijene kotanja po postotnom raunu nie 100.5.4. Metode kalkulacije u industriji Premakarakterutehnolokogprocesapostojerazliitemetodekalkulacijekojesesve mogu svesti na:sumarna diviziona kalkulacijaviefazna diviziona kalukacijadivizionu kalkulaciju adicionu kalkulacijukalkulaciju pomou ekvivalentnih brojevakalkulaciju vezanih {kuplovanih) proizvoda.Svakaodovihmetodaimasvojakarakteristinaobiljeja,posebnutehnikusastavai izraunavanja.Primjerii zadaci1.Izraunajteplanskucijenukotanjazacijeluplaniranuproizvodnjuiza1 komadnatemeljunormativamaterijalazajedinicumjereicijene.Kljuza raspodjelu optih (reijskih) trokova su lini dohoci izrade. Plan proizvodnje je 8000 komada proizvoda ,,P". Za proizvodnju je potrebno za izradu materijala A 4000kgpo8d;materijalaB500kgpo18d.Ukupnaamortizacija1200;lini dohoci izrade 600 sati po 9 d; opti trokovi izrade 70% i opti trokovi uprave i prodaje 90%. Normativ CijenaIznosjedinica mjere: za jed. mjere: dkgd 20 Materijal za izradu A 4 000832 000Materijal za izradu B 500 189 000ukupni trokovi materijala41 000lini dohoci izrade 600 sati9 5 400amortizacija1 200opti trokovi izrade 70% 3 780opti trokovi uprave i prodaje 90%4 860 I.cijena kotanja 5 260 21 ElementiKlicina Tone Cijana Dinara Vrijednost u 000 dinara Vrijednost po1 toni (din.) eljezna rudaaVapnenacKoks245 000 48 000126 000651224015 925 57630 240132,714,80252,06Ukupni bruto-uloakBonifikacija za trosku 120 000 0,4= 4800 (kg) po 0,01 d=za visokopeni plin126 000 4 = 504000(m3)20%= 100 800 (m3)403 200 (m3)po 0,01 d419000 48046 741 389,5122 Ukupni neto-uloak za 120 000 tona bijelog eljeza4 032 4 512 37,5842 229 351,93 2. Zajednike pogonske trokove 1 203 000 dinara treba rasporediti po sljedeim mjestima trokova, a na tim mjestima su lini dohoci izrade:Zasipavanje216000 dVisoke pei 462000 ,,Vjetrogrijai57000,,Livna polja 111800,,Skladite95700,, Ukupno 1002500 dKljuzarasporeivanjezajednikihtrokovapogonasuukupnilinidohoci izrade (1 002 500 dinara).x d1 d ODI1002500 1203000 d Pomoudobivenogkoeficijentaizvritemoraspodjeluzajednikihpogonskih trokova na mjesta trokova:12030001, 21002500x = =23 Zasipavanje216000 1,2= 259 200Visoke pei 462000 1,2= 554 400Vjetrogrijai57000 1,2= 68 400Livna polja 111800 1,2 = 206 106Skladite95700 1,2 = 114 840Kontrola: 1 203 000 3. Zajednike trokove skladita 689 730 d treba rasporediti na nosioce trokova, atosubijelosirovoeljezoisivosirovoeljezo.Kljuzaraspodjelutrokova sladite su otpremljene koliine. Otpremljeno je:bijelog sirovog eljeza 118 500 tonasivog sirovog eljeza20 000 Ukupno:138 500 tonaIzraunavanje koeficijenta:X d trokova skladita1 tona otpremljenog sirovog eljeza138500689730 d Rasporeivanje zajednikih trokova skladita:Na bijelo sirovo eljezo otpada118 500 4,98 = 590 130 dNa sivo sirovo eljezo otpada20 000 4,98= 99 600 dKontrola: 689 730 d 4. Trokovi osnovnih sredstava, i to za:amortizaciju1 442 712 d6897304, 98138500x = =24 kamate za osnovna sredstva 757 770premiju osiguranja436 377Ukupno 2 636 859 d trebarasporeditinanosiocetrokova:nabijelosirovoeljezoinasivosirovo eljezo.Trokovi uloka i prerade za bijelo sirovo eljezo iznose55 246 230 dTrokovi uloka 1 prerade za sivo sirovo eljezo iznose 10675 250 dUkupno 65921 480 dIzrada: Klju razdiobe su ukupni trokovi uloka i prerade.x d1000 dukupnih trokova uloka i prerade659214802636859 d Prema tome, trokovi osnovnih sredstava iznose za:bijelo sirovo eljezo:

Ekonomskajedinicaupreduzeujemjestotrokovakojeimaekonomskucijenu,ato znai da takva jedinica obraunava planske trokove i formira odreenu cijenu.Ekonomskajedinicasamoondaopravdavasvojepostojanjeakotehnoloko-tehnikim postupkom stimulie smanjenje trokova i poveanje proizvodnje.2636859 10004065921480x d= =55246230 4022098491000=10675250 404270101000=25 Pretpostavit emo da preduzee ima 6 ekonomskih jedinica. Jedna od ovih ekonomskih jedinica proizvodi paru koja je neophodna ostalim ekonomskim jedinicama EKJ-2, EKJ-3, EKJ-4, EKJ-5, i EKJ-6.Planproizvodnjepredvia24414tonapareodkojekoliinetreba20022tone ekonomskajedinicaEKJ-2;352toneEKJ-3;1700tonaEKJ-4,2080tonaEKJ-5i60 tona EKJ-6.Daseproizvedeplanskakoliinapare,potrebanjematerijalzaizraduplanskekoliine pare 1 tona koje stoji 50 d.Ukupnaamortizacijaiznosi23767,20d;linidohoci10787,60d;optitrokovi ekonomskejedinice37882,56,aukalkulisanifinansijskirezultat41557,60.Kolikaje planska cijena za 1 tonu pare?Provedite kontrolu potronje korisnika pare!Kalkulacija planske cijeneMaterijal za izradu za 24 414 tona po 50 d1 220 700Amortizacija23 747,20Osobni dohoci 10 787,70Opi trokovi ekonomske jedinice37 882,55Financijski rezultat41 557,60Planska cijena1 334 675,05 Planska cijena za 1 tonu pare: 1 334 675,05:24 414=54,6Kontrola:KorisniciTonaCijenaIznosEKJ-220 222 54,671 072 696,41EKJ-335254,67 19 243,84EKJ-41 70054,67 92 939,00EKJ-52 08054,67146 515,60EKJ-66054,673 280,2026 Ukupno 1 334 675,05 Grafiki prikaz fiksnih i varijabilnih trokova. Granina taka: prag istog finansijskog rezultata.Pretpostavka.Kodukupnerealizacije500000za5000komadaproizvod1iznose varijabilnitrokovi300000dafiksni100000dinara.Prematomesuukupnitrokovi 400 000, a finansijski rezultat: 500 000-400 000=100 000 (sl. 194.)Postotak varijabilnih trokova od ukupne realizacije realizatj. na 100 d realizacije dolazi 60 dinara varijabilnih trokova. Postotak fiksnih trokova od ukup tj. na svakih 100 dinara realizacije imamo 20 dinara fiksnih trokova. Dakle, ukupni su trokovi 80% od realizacije, pa je, prema tome, finansijski rezultat 20%. Da bi se pokrili fiksni trokovi i ostvarilo 20% finansijskog rezultata, potrebna je realizacija 40% =20% (stopa fiksnih trokova) + 20% (financijski rezultat). Dobili smo graninu taku poslovanja P, tj. prag istog finansijskog rezultata.Realizacija 250 000 potrebna je da se pokriju poslovni trokovi. Tek poslije ove prelomne toke otvaraju se kare dobitka" kako se vidi iz grafa; to ujedno znai da je to tek nakon realizacije 2500 komada proizvoda za 250 000 dinara.Dakle, kod realizacije 2500 komada tek su pokriveni svi trokovi. Kod realizacije od 250 000 pokriveni su (uz pretpostavku da moemo koristiti postotke varijabilnih i fiksnih trokova kao i postotak finansijskog rezultata):100 100 30000060500000PpS = = =1100 100 10000020500000PpS = = =100 100 10000025000040PSp = = =27 a) varijabilni trokovi b) fiksni trokovi c) finansijski trokovi Tek pomou finansijskog rezultata (50000) mogu se pokriti ukupni fiksni trokovi (100000).Kod realizacije 1750 komada (vidi graf) realizacija iznosi 175000, a ukupni trokovi poslovanja (fiksni i varijabilni) 200000, dakle gubitak je 25000 ili u postotcima 12,5%.Kod realizacije 5000 komada za 500000 ukupni je finansijski rezultat u postotku 250000 60150000100P= =1250000 2050000100P= =2250000 2050000100P= =100000 10020500000p= =