Univerzitet ApeiroN - Fakultet poslovne ekonomije - Menadment javne uprave Seminarski rad iz predmeta Via MatematikaStudent: Vujinovi DraganPanevropski univerzitet ApeiroNFakultet Poslovne EkonomijeB a nj a L u k a

Seminarski rad iz V i e m a t e m a t i k e

M e n t o r :S t u d e n t:Dr. Esad Jakupovi Vujinovi Dragan

Novi Grad, januar.2012. godine.S a d r a j :

1. Matematika logika str. 3

2. Sistemi linearnih jednainastr. 82.1. Pojam i vrste sistema linearnih jednainastr. 82.2. Gausov postupak eliminacijestr. 112.3. Rjeavanje sistema linearnih jednaina pomou matricastr. 213. Nizovi i njihove granine vrijednostistr. 263.1. Pojam i vrste nizovastr. 263.2. Granine vrijednosti nizastr. 30

4. Izvodi i diferencijali funkcija sa dva i vie argumenatastr. 34

5. Pojam i osobine neodreenog integralastr. 36

Literaturastr. 38

1. Matematika logika

Osnovno sredstvo sporazumjevanja medu ljudima je jezik. Razlikujemo vie vrsta jezika sporazumjevanja, kao to su npr, slikarski, muziki, obini (govorni) i knjievni jezik. Matematiki jezik je najvii oblik naunog jezika. Za razliku od npr. slikarskog jezika, matematici je potreban jezik pomou koga se izraavamo i sporazumjevamo bez dvosmislenosti i nedorjeenosti. Zadatak matematike logike je prouavanje, istraivanje i stalna dogradnja takvog matematikog jezika, tj. jezika simbola kao sredstva za razvijanje miljenja, rasuivanja, zakljuivanja i komuniciranja u matematici. Najsliniji matematikom jeziku su govorni i knjievni (pisani) jezik. Osnovu ovih jezika ini glas, slovo, rije i reenica. Neto slino vai i za matematiki jezik u kome osnovu ine matematiki izrazi (rijei) ili termini. Najprostiji matematiki izrazi su konstante i promjenljive. Konstante su potpuno odreeni matematiki objekti, tj. veliine kojima se vrijednost ne mijenja, npr. -S; 0; 2; 2/3; 5; ; ; e ... Promjenljive su simboli (znaci i slova) koji mogu predstavljati bilo koji elemenat iz nekog datog skupa. Dati skup se naziva oblast definisanosti (domen) promjenljive. Konstante kojima se zamjenjuju promjenljive nazivaju se vrijednosti promjenljivih.

Primjer 1.) x,y,z,a,b,c,...,,A su oznake za promjenljive 2.) n je oznaka za prirodan broj. Vrijednosti promjenljive n su konstante 1, 2, Sloeni matematiki izrazi se dobijaju kad se konstante i promjenljive poveu simbolima (oznakama) za raunske operacije, kao to su npr, +, -, , : . Pri formiranju sloenih izraza dozvoljena je i upotreba zagrada, s tim da izraz ima smisla. Primjer 1.) izrazi su: 8+7, 3x-4, 5x/(x+1), (x+2)y i sl, 2.) nisu izrazi: 2+, x(y+) i sl, Dakle, izrazi su rijei ili sklopovi rijei koji ne ine reenicu. Izrazi se sastoje od jedne promjenljive ili od jednog znaka konstante, ili od vie promjenljivih ili znakova konstanti povezanih znacima operacija, uz upotrebu zagrada kao pomonih simbola. Vrijednost matematikog izraza je konstanta koja se dobije nakon to se u izrazu svi simboli promjenljivih zamjene odgovarajuim vrijednostima (konstantama) i izvre naznaene operacije. Matematike formule su reenice koje su: ili (1) istinite, ili (2) neistinite, ili (3) takve da se za njih ne moe, nedvosmisleno i jednoznano, utvrditi vrijednost istinitosti. Za prve vae ovi principi: 1. principi ukljuenja treeg, to znai da ne postoji iskaz koji ne bi bio ni istinit ni neistinit, 2. princip kontradikcije, to znai da nema iskaza koji je i istinit i neistinit.Primjer: 1. Iskazi su formule: 2+3=5, 4>1+2, 45, x+y=z, x+x=3x i sl.Primjer:Svaki iskaz se moe obiljeiti slovom. Ova slova se nazivaju iskazna slova, npi, p, q, r, s, a, b,,,,

Ako je neki iskaz p taan (istinit), onda se vrijednost njegove istinitosti oznaava ovako: p=T ili p=1 (itaj: tau od p jednako te ili jedan; T kao prvo slovo engleske reci true=istina). Ako je p netaan (neistinit, laan) iskaz, onda se njegova istinitost vrednuje sa ili 0, tj, pie se ili p= ili p=0 (itaj: tau od p jednako ne te ili nula). U matematici se taan iskaz naziva stav. Iskaz je prost ako sadri samo jednu informaciju. Dva ili vie prostih iskaza povezanih znacima logikih operacija tvore sloeni iskaz. Osnovni meu njima su oni koji povezuju dva prosta iskaza, izuzev negacije , koja se odnosi na jedan iskaz. U nastavku dajemo definicije ovih osnovnih sloenih iskaza. Konjukcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q (itaj: p i q), istinit onda i samo onda ako su oba data iskaza istinita. Tablica vrednosti istinitosti za konjukciju za sve mogue varijante vrijednosti istinitosti iskaza p i q:

ili krae

Disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pvq (itaj: p ili q), istinit onda i samo onda ako je bar jedan od datih iskaza istinit, odnosno neistinit onda i samo onda ako su oba data iskaza neistinita. Ovako definisana disjunkcija javlja se pod nazivom inkluzivna (ukljuiva) disjunkcija, jer je istinita i onda kada su oba data iskaza istinita. Eksluzivna (iskljuiva) disjunkcija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci pvq (itaj: ili p ili q), istinit onda i samo onda ako je samo jedan od datih iskaza istinit. Tablica vrijednosti istinitosti za disjunkciju:

Pod izrazom "disjunkcija" najee se podrazumjeva inkluzivna, pa je u sluaju upotrebe eksluzivne disjunkcije neophodno to i naglasiti. Implikacija datih iskaza p i q je iskaz u oznaci p q, neistinit onda i samo onda ako je p istinit a q neistinit iskaz, p q se moe itati ovako: p implicira q, iz p slijedi q, p je dovoljan uslov za q, q je potreban uslov za q, p je uzrok za q, a q je posljedica p, p je predpostavka, a q je tvrdnja, Tabela istinitosti za implikaciju:

Ekvivalencija datih iskaza je iskaz u oznaci p q istinit onda i samo onda ako dati iskazi imaju jednake vrednosti istinitosti, p q se moe itati ovako: p je ekvivalentno sa q, iz p slijedi q i iz q slijedi p, ako je p onda q i obratno, p je dovoljan i potreban uslova za q i obratno, itd,Tablica vrijednosti istinitosti za ekvivalenciju:

Ekvivalencija iskaza p i q se moe definisati i kao konjunkcija implikacija p =>q i q=> p, tj, vai:

Negacija datog iskaza p je iskaz p (itaj: ne p), koji je neistinit kada je p istinit i obratno, Tablica vrijednosti istinitosti za negaciju:

Napomena 1. ( p)=p, tj, negacija negacije datog iskaza daje iskaz sa jednakom vrijednou istinitosti kao to je ima dati iskaz.2. ( p q ) = p q i ( p q ) = p q, tj, negacija ekvivalencije je ekskluzivna disjunkcija i obratno.Dakle, vezivanjem prostih iskaza, oznaenih iskaznim slovima p, q,,,,, pomou znakova logikih operacija dobili smo sloene iskaze. Vezujui ove sloene iskaze pomou znakova logikih operacija dobijamo jo sloenije. Svi ovi iskazi se nazivaju iskazne formule ili logike formule.Uobiajeno je da se iskazne formule definiu ovako: 1. Iskazna slova su iskazne formule, 2. Ako su A i B iskazne formule, onda su i (A B), (AvB), (A =>B), (A B), a takoe iskazne formule, 3. Iskazne formule mogu se obrazovati samo konanim brojem primjena 1) i 2), uz mogunost korienja konvencije o brisanju zagrada.

Vrijednost istinitosti iskazne formule zavisi od vrijednosti istinitosti iskaznih promjenljivih u njoj. Iskazna formula koja je istinita za svaku moguu varijantu vrijednosti istinitosti prostih iskaza u njoj, naziva se tautologija. Ako je iskazna formula tautologija pie se: A=T ili A T ili A~T. Dvije formule A i B su identiki jednake ako i samo ako je formula A B tautologija.Ako se kvantitativno eli izraziti za koje vrijednosti promjenljivih je istinita iskazna funkcija ili predikat, onda se mogu koristiti tzv, kvantifikatori ili kvantori (kolikovnici).Ako iskaz poinje kvantifikacijom "za svako", onda se rijei "za svako" oznaavaju sa (obratno od prvog slova njemake rijei Alle=svi), i nazivaju univerzalnim kvantifikator (kvantor).Formula ( x A) P(x) znai: za svako x iz skupa A predikat P(x) je taan.Ako iskaz poinje kvantifikacijom "za neko" ili "postoji bar jedan", onda se ove rijei oznaavaju sa (obratno od prvog slova njemake rijei Es gibt=postoji), i nazivaju egzistencijalni kvantifikator (kvantor).Formula ( x A) P(x) znai: predikat P(x) je taan za bar jedno x iz skupa A. U vezi s kvantorima, pored ostalih, znaajne su ove formule kao zakoni predikatskog (kvantifikatorskog) rauna: ( x) P(x) ( x) P(x) ; (x) P(x) ( x) P(x)

Kvantori, zajedno sa rijei i, ili, ako,,,onda, nije, predstavljaju potpun spisak osnovnih rijei pomou kojih se u matematici polazei od izvjesnih reenica, grade nove sloene reenice.Na kraju ovoga dajemo objanjenje nekih znaajnijih pojmova u vezi s rasuivanjima i dokazivanjima u matematici. Definicija je reenica, ili skup reenica, kojom se odreuju sadrina nekog pojma. Pojam je misaoni sadraj termina ili simbola, Razlikujemo osnovne i izvedene pojmove. Osnovni pojmovi su oni koje prihvatamo jasnim same po sebi bez potrebe da se objanjavaju nekim drugim pojmovima (npr, broj, skup, taka). Izvedeni pojmovi su oni koje objanjavamo pomou osnovnih i drugih izvedenih pojmova. Pretpostavke (hipoteze) su reenice (formule) od kojili se polazi, kao tanih u nekom rasuivanju. Posljedice su reenice (formule) koje su, iz pretpostavki, dobijene logikim rasuivanjem i zakljuivanjem. Aksiome su polazne reenice (formule) koje se po dogovoru uzimaju kao tane i ija se istinitost ne dokazuje. Teoreme su izvedene (dokazane) reenice (formule) zasnovane na aksiomima ili prethodno dokazanim tvrenjima. Dokaz je put logikog rasuivanja i zakljuivanja od pretpostavki do posljedica tj, niz koraka od kojili je svaki korak ili aksioma ili ve dokazana teorema.

2. Sistemi linearnih jednaina2.1. Pojam i vrste sistema linearnih jednaina

Formulu F(xi)=G(x,). i=1,2,,n nazivamo jednakost, pri emu su xi oznake za nepoznate (promjenljive) veliine. Provjeru tanosti jednakosti vrimo tako to umjesto xi zamjenimo konstante, a zatim uporedimo brojne vrijednosti izraza F(xi) i G(xi) istinita formula za bilo koji skup vrijednosti promjenljivih xi (a to se moe konstatovati i bez neposrednog uvrtavanja konstanti na mesto promjenljivih), onda se za F(xi)=G(xi) kae da je identika ili bezuslovna jednakost, krae reeno identinost (identitet).

Ovakve jednakosti se, bez zamjene konstanti umjesto promjenljivih, mogu svesti na oblik 0=0(npr.0=0Ako je jednakost F(xi)=G(xi) istinita samo za odreene strukture vrijednosti nepoznatih (pa makar ih bilo i beskonano mnogo), dakle ne za bilo koji odnos vrijednosti nepoznatih, onda za F(xi)=G(xi) odnosno za P(xi)=F(xi)-G(xi)=0 kaemo da je uslovna jednakost ili jednama.Jednaina se moe svesti na oblik 0=0 tek nakon uvrtavanja vrijednosti nepoznatih za koje je istinita (zadovoljena).Vrijednost promjenljivih za koje je tana jednakost P(xi)=0 nazivamo rjeenje jednaine. Ako je svako rjeenje jednaine P(xi)=0 ujedno i rjeenje jednaine Q(xi)=0, onda je za ove jednaine kae da su ekvivalentne. Jednaina u kojoj se nepoznate pojavljuju samo u obliku stepena sa eksponentom 1, razdvojene znacima + i naziva se linearna jednaina. Opa oblik linearne jednaine sa n nepoznatih je:

a1x1+a2x2++anxn+b=0

a1,a2ann su oznake za koeficijente nepoznatih x1 , x2 , , xn b je oznaka za slobodni lan.Opti oblik jednaine sa jednom nepoznatom je: ax + b = 0

Rjeenje ove linearne jednaine je: Xo = -b/a S obzirom na vrijednosti a i b mogui su slijedei sluajevi; 1. Ako je a 0, jednaina ima jedno realno rjeenje i to: x0=0 ako je b=0, a x0 0 ako je b 0.2. Ako je a=0 i b=0, onda je x0=0/0, a to znai da je rjeenje jednaine bilo koji realan broj. 3. Ako je a=0 i b 0, onda je x0=-b/0, pa zbog nemogunosti djeljenja broja koji nije mila sa nulom zakljuujemo da jednaina nema rjeenje.Opti oblik linearne jednaine sa dvije nepoznate je: ax + by + c = 0Rjeenja ove jednaine moemo dobiti tako to jednu od nepoznatih izrazimo u funkciji druge, npr. Ovako: y = (-a/b)x - c/b.x je u ovom sluaju tzv. slobodna promjenljiva kojoj po volji moemo odrediti vrijednost, a vrijednost y zavisi od odabrane vrijednosti za x. dakle, jednaina ima bezbroj rjeenja pa se kae da je neodreena. Rjeenja ovakve jednaine se mogu prikazan uopteno parametarski preko nove nepoznate (parametra). Za posmatranu jednainu e biti:

to znai da se rjeenja jednaine mogu prikazati kao ureeni par: (x,y) = (t.(-a/b) t-c/b). Odredimo li, po volji, vrijednost za t odredili smo i rjeenje jednaine, a ima bezbroj mogunosti za to. Za linearnu jednainu sa tri nepoznate: ax + by + cz + d = 0 rjeenja emo dobin u vidu ureene trojke: (x,y,z) = (t1,t2,(-a/c) t1 - (b/c) t2 - d/c) pa zakljuujemo da je jednaina dvostruko neodreena, tj. da po volji odreujemo vrijednosti za dve promjenljive (nepoznate). Dalje zakljuujemo da je jedna linearna jednaina sa n nepoznatih (n-l)-struko neodreena. Osim kada se jednaine posmatraju kao funkcije, pri rjeavanju jednaina sa vie nepoznatih susreemo se sa skupom (sistemom) jednaina koje sadre iste nepoznate. Nadalje je, po pravilu, broj jednaina u sistemu jednak broju nepoznatih, ali moe biti manji ih vei. Opti oblik sistema od m linearnih jednaina sa po n nepoznatih x1 , x2 ,..., xn moe se prikazati ovako: a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2...am1x1+am2x2++amnxn=bmPri emu su: * aij oznake za koeficijente nepoznatih xj (i=1,2,,m: j=1,2,...,n); * bi oznake za takozvane slobodne lanove (konstante). Ako je bar jedan od bi razliit od nule za sistem S se kae da je nehomogen, a ako su svi bi=0 onda se za sistem S kae da je homogen. Sistemu S se moe pridruiti odgovarajui matrini oblik:

odnosno skraeno; Ax = b pri emu je A oznaka za matricu sistema (matrica koeficijenta sistema), x oznaka za vektor nepoznatih, a b vektor slobodnih lanova. Ntorka (x10,x20 , xno) se naziva rjeenje sistema ako se,zamjenom lanova ove ntorke umjesto xj (j=1,2, ,...n) da tim redom u date jednaine, svaka jednaina transformie u identinost, tj. u oblik u kome je brojna vrijednost lijeve jednaka brojnoj vrijednosti desne strane jednaine. Rjeenje sistema je, prema tome, presjek skupova rjeenja svih njegovih jednaina. Neki sistem S moe biti saglasan, tj. da ima reenja ili nesaglasan (protivrjean, kontradiktoran), tj. da nema reenje. Ako je sistem saglasan moe da ime jedno (jedinstveno) rjeenje pa se kae da je sistem odreen, a moe da ima vie rjeenja pa se kae da je sistem neodreen. Ako ima vie rjeenja onda ih ima beskonano mnogo. Postoji vie naina da se odredi da li i koliko rjeenja ima posmatrani sistem. Za pouzdano utvrivanje saglasnosti odnosno nesaglasnosti sistema linearnih jednaina moemo se posluiti poznatim Kroneker-Kapelijevim stavom koji, u slobodnoj integraciji (bez dokaza) glasi ovako:

proirenom matricom sistema, onda je sistem saglasan ako i samo ako je r(A,b)=r(A), a nesaglasan ako je r(A.b)>r(A). Inae, kada je r(A,b)>r(A) onda je r(A,b)-r(A)=1. Posljedice ovoga stava su: 1. Ako je r(A,b)=r(A)=n, onda je sistem odreen. Ovo se moe desiti u sluajevima m=n i m>n. 2. Ako je r(A,b)=r(A)r(A), onda je sistem kontradiktoran, bez obzira da li je mn, ali uz uslov da je m>1. 4. 4) Homogen sistem tj. sistem u kome je b=0, ne moe biti kontradiktoran, jer je r(A,b)=r(A). Homogeni sistem ima bar jedno rjeenja, a to rjeenje je n-torka (0,0,,0). Rije je o tzv. trivijalnom rjeenju ije postojanje uoavamo jednostavno bez rjeavanja sistema. Ako je r(A)=n, onda sistem osim trivijalnog, nema drugih rjeenja, pa je sistem odreen. Ako je r(A)