1. Matematika Ekonomi 1

2. FAUZIAH DWI UTARI120511650PSIKOLOGI PERKEMBANGAN PRODI MATEMATIKA FKIP UNA 3. Kompetensi: Mampu menyelesaikan persoalan Ekonomi dan Bisnis dengan alat analisis Matematika. Literatur Chiang A.C, 1984. Fundamental Methods ofMathematical Economics. Third Edition, Mc Graw-Hill Book Inc. New York Johannes, H dan Handoko, BS. 1994. PengantarMatematika untuk Ekonomi. Edisi ke empat belas.LP3ES. JakartaMatematika Ekonomi 3 4. Materi: Pegertian Matematika Himpunan Sistem Bilangan Fungsi Fungsi Linear Fungsi non Linear Diferensial Fungsi Sederhana Diferensial Fungsi Majemuk Aljabar MatriksMatematika Ekonomi 4 5. MATEMATIKAASAL KATAAsal kata : MATHEIN artinya mempelajari ataubelajar. Dengan mempelajari mate-matika, seseorang akan terbiasamengatur jalan pemikirannya dgnsistematis. Berpikir matematis: Seseorang yg hendak menem-puh jarak 2 mil akan MEMILIH naik mobil dari pada jalan kaki, kecuali jika waktunya banyak terluang atau sedang berolah raga. 6. Berpikir matematis:Untuk dapat mengenderai mobil, harus belajarmenyupir. Untuk dapat supir mobil yang baik,dia perlu pengetahuan matematika.Matematika, merupakan sarana = pendekatanuntuk suatu analisa.Dengan mempelajari matematika, membawasese-orang kepada kesimpulan dalam waktuyang singkat.Matematika Ekonomi 6 7. Ekonomi dan Matematika EkonomiAnalisis ekonomi tidak berbeda jika menggunakanpendekatan matematis dibanding dengan tanpapendekatan matematis. Bedanya/keuntungannya:a. Dengan pendekatan matematis, persoalan atau pokok bahasan menjadi sederhana.b. Dengan pendekatan matematis, berarti mengaktif- kan logika dengan asumsi-asumsinya.c. Dapat memakai sebanyak n variabel dalam meng- gambarkan sesuatu (hubungan antar variabel)Mis Qd = f(Pr, Inc, Pi, ), Pr = harga komoditi ybsInc = pendapatan, Pi = harga kom. substitusiMatematika Ekonomi 7 8. Kelemahannya pendekatan matematis:a.Bahasa matematis tidak selalu mudahdimengerti oleh ahli ekonomi sehingga seringmenimbulkan kesukaran. Contoh Y = f(X), dalam ilmu ekonomi bagaimanamengartikan persamaan matematis tersebut,mis dalam: permintaan, produksi, pendapatannas, dll. sehingga ahli ekonomi sulit memetikkeuntungan dari matematika.b. Seorang ahli ekonomi yang memiliki pengetahuan dasar matematika, ada kecenderungan: (1) membatasi diri dengan hanya memecahkanpersoalan secara matematis Matematika Ekonomi 8 9. (2) membuat beberapa asumsi yang kurang tepatdemi memudahkan pendekatan matematisatau statistis. Artinya, lebih banyak berbicaramatematika dan statistika dari pada prinsip/teori ekonomi.Kesimpulan dari bahasa adalah:1. Matematika merupakan pendekatan bagi ilmuekonomi.2. Pendekatan matematis merupakan mode oftransportation yaitu membawa pemikirankepada kesimpulan dengan singkat (model)Matematika Ekonomi9 10. Matematika Ekonomi dan EkonometrikaEkonometrika adalah pengetahuan yang berkaitandengan penerapan statistika untuk menganalisa dataekonomi. DataEkonometrika MatematikaEkonomi - Deduksi- Induksi - Model- Mengolah data- Mengambilkesimpulan Matematika Ekonomi 10 11. Teori EkonomiFaktadeduktif Model atau HipotesisData EkonomiSatu PersamaanTeori StatistikaMetode EkonometrikaSimultaninduktifTeoriTeoriTeori Diterima Ditolak Disempurnakan Matematika Ekonomi11 12. Bidang Matematika Ekonomi yang dibahas:Menurut Social Science Research Council, seorangahli ekonomi harus mengerti matematika : Himpunan(gugus), hubungan dan fungsi, teori matriks, kalkulus(limit fungsi, diferensial, persamaan diferensi, partialdifferentiation, integrasi multipel). Matematika Ekonomi12 13. HIMPUNAN = GUGUSSilabus: Definisi, pencatatan dan himpunan khas Himpunan Bagian Pengolahan (operasi) himpunan Hubungan Matematika Ekonomi13 14. 1. Definisi, pencatatan dan himpunan khas Himpunan adalah kumpulan dari obyek- obyek yg memiliki sifat tertentu. Sifat ini menjadi penciri yg membuat obyek/unsur itu termasuk dalam himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan dilambangkan : A, B, X, , Z (kapital) Obyek atau unsur atau elemen dilambang- kan a,b,c, atau 1, 2, 3, Perhatikan ( tiga titik) dibaca dan sete- rusnya. Matematika Ekonomi 14 15. Dua cara pencatatan suatu himpunana. Cara pendaftaran: P = { 2, 3, 4 } P = nama himpunan/gugus tanda kurawal buka dan kurawal tutup dan menyatakan himpunan 2, 3, 4 = obyek/unsur/elemen Artinya, himpunan P beranggotakan bilangan bulat positip: 2, 3, dan 4.b. Pendefinisian sifat: X = { x / x bil. genap} X = nama himpunan x = obyek/unsur/elemen tanda / dibaca dengan syarat x bil genap = sifat atau ciri Matematika Ekonomi15 16. Cara pendefinisian sifat yang lain:J = { x / 2 < x < 5 } x merupakan unsurSifat: bilangan nyata 2 < x < 5, baca himpunansemua bilangan nyata lebih besar dari 2 dan lebihkecil dari 5Himpunan khas:a. Himpunan Semesta (S) atau Universum (U) Merupakan himpunan keseluruhan obyek yang sedang dibicarakanS={ x / x bilangan ganjil }, berarti semua bil ganjilb. Himpunan kosong (emty set)E= { } himpunan kosong atau dicatat dengan Matematika Ekonomi 16 17. Perhatikan: P = { 2, 3, 4 }Untuk menyetakan keanggotaan dicatat dengan Jadi: 2 P3P4 P.Tanda baca unsur atau elemen atau didalamSebaliknya, 5, 6 tidak termasuk unsur Pdicatat5P6PTanda dibaca bukan unsur atau bukan elemenatau diluar.Matematika Ekonomi17 18. 2. Himpunan bagian Suatu himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap unsur A juga merupakan unsur himpunan B. A = { 2, 4, 6 }; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Dicatat : A B, baca A himp. bagian B atau A anak gugus dari B Sebaliknya dicatat: BA, baca B mencakup A Tandadibaca bukan himpunan bagian dan tandadibaca tidak/bukan mencakup Perhatikan: himp. bagian terjadi apabila dari suatu himp dibentuk himp lain dengan memilih unsur himp itu sebagai unsurnya. Matematika Ekonomi18 19. Contoh: X = { 1, 2, 3, 4 }Himpunan bagiannya:a.Memilih semua unsur:X4 = { 1, 2, 3, 4 }b.Memilih tiga unsurX31 = { 1, 2, 3 }X32 = { 1, 2, 4 }X33 = { 1, 3, 4 }X34 = { 2, 3, 4 }c. Memilih dua unsur X21 = { 1, 2 }; X22 = { 1, 3 } X23 = { 1, 4 }; X24 = { 2, 3 } X25 = { 2, 4 }; X26 = { 3, 4 }Matematika Ekonomi19 20. d. Memilih 1 unsur:X11 = { 1 }; X12 = { 2 } X13 = { 3 }; X14 = { 4 }e. Tanpa memilihX0 = {}Jumlah himpunan bagian dari 1 himp. = 2n1 elemen: 1 2 himp bag2 elemen: 1 2 1 4 himp bag3 elemen: 13 3 1 8 himp bag4 elemen: 1 4 6 41 16 himp bag5 elemen: 1 510 10 5 1 32 himp bagDisebut segitiga Pascal = bilanga Binom NewtonMatematika Ekonomi20 21. 3. Pengolahan (operasi) Himpunan Operasi matematis: penjumlahan, penggandaan, pembagian. Operasi himpunan: gabungan (union), potongan (irisan) dan komplemen. Operasi Gabungan ( U ) A U B = { x / x A atau x B } A U B baca: A union B; A gabung B; A atau B. Jika A = { 3, 5, 7 ); B = { 2, 3, 4, 8 } A U B = { 3, 5, 7, 2, 4, 8 } atau { 2, 3, 4, 5, 7, 8 }Matematika Ekonomi21 22. Dalam diagram Venn, A U B adalah daerah diarsirSA BSifat-sifat gabungana. A U B = B U A Hukum komutasib. A (A U B) dan B(A U B) Matematika Ekonomi 22 23. Operasi potongan (irisan) = A B = { x / x A dan x B }A B, baca A irisan B; atau A dan BMisal: A = { 0, 5, 10, 15 } dan B = { 1, 5, 8, 15, 17 } A B = { 5, 15 }Dalam diagram Venn, A B adalah daerah diarsir: sA BMatematika Ekonomi23 24. Sifat : a. A B = B A(hukum komutasi) b. (A B)A dan (A B)BOperasi selisihSelisih himpunan A dan B, dicatat dengan A BA B = { x / x A, tetapi x B }Diagram Venn A B sebagai berikut:SA B Matematika Ekonomi24 25. Misal: A = { a, b, c, d }; B = { f, b d, g } A B = { a, c } serta B A = { f, g } A B sering dibaca A bukan B.Sifat: a (A B)A; (B A)Bb (A B); dan (B A) adalah saling asing atau terputusMatematika Ekonomi 25 26. KomplemenA = { x / x S, tetapi x A } Abaca komplemen A atau bukan AMisal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } himp.bil bulat positipA = { 1, 3, 5, 7, 9, . . . } bil. bulat positip ganjilA = { 2, 4, 6, 8, 10. . . } bil. bulat positip genapDiagram Venn untuk komplemen sbb: (diarsir)S A A AMatematika Ekonomi26 27. Sifat: a. A U A = S b. A A = c. (A) = ALatihan 1Gambarkan sebuah diagram venn untukmenunjukkan himpunan universal S dan himpunan-himpunan bagian A serta B jika:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }A = {2, 3, 5, 7 }B = {1, 3, 4, 7, 8 }Kemudian selesaikan :a). A Bb). B Ac) A Bd). A U Be) A Bf) B Ag). (A U B) h) (A B) Matematika Ekonomi27 28. Latihan 2Isilah cell dibawah ini dengan tanda keanggotaanhimpunan: atau A BAB AUB (AB) (AUB) Matematika Ekonomi 28 29. HubunganHimpunan Hasil kali CartesiusApabila ada dua himpunan X dan Y masing-masingx X dan y Y, maka dari dua himpunan terserbutdapat disusun himpunan yang beranggotakanpasangan urut atau pasangan tersusun (x, y).Contoh sederhana, misalkan nilai ujian mate-matikadiberi dari angka 1 hingga 4, sedang-kan pekerjaanrumah diberi angka 1 hingga 3.Jadi : X = {1, 2, 3, 4} sedangkan Y = {1, 2, 3}Himpunan hasil kali Cartesius adalah:X x Y = {(x, y)/ x X, y Y}Matematika Ekonomi29 30. Cara mendapatkan himpunan X x Y tsb: Y X123 1(1, 1)(1, 2)(1, 3) 2(2, 1)(2, 2)(2, 3) 3(3, 1)(3, 2)(3, 3) 4(4, 1)(4, 2)(4, 3)X x Y = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Matematika Ekonomi 30 31. Himpunan hasil kali Cartesius dapat digambarkandalam sistem koordinat cartesius berikut: Y PR = {1, 2} malas PR = {3, 4} rajin 3 H1 H4 U = {1, 2} kurang mengerti U = {3} pintar 2 H2H3 Terdapat 4 himp bag 1 H1 = {malas ttp pintar} 01 2 34 XH2 = {malas dan krgmengerti} Gbr: Hubungan nilai ujianH3 = {rajin ttp krg dan nilai pekerjaan rumahngerti}H4 = {rajin dan pintar}Matematika Ekonomi31 32. Daerah dan Wilayah (Range) hubungan Perhatikan kembali Himpunan hasil kali Cartesius:H = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3),(3,1),(3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)} Himpunan unsur-unsurpertama pasangan urut, disebut dengan Daerahhubungan Dh = {1, 2, 3, 4}Himpunan unsur-unsur kedua pasangan urut, disebutdengan Wilayah hubungan: Wh = {1, 2, 3} Matematika Ekonomi 32 33. Kesimpulan: Himpunan hasil kali Cartesius adalah himpunanpasangan urut atau tersusun dari (x, y) dimana setiapunsur x X dipasangkan dengan setiap unsur y Y. X x Y = { (x, y) / x X, y Y } Daerah hubunganDh = { x / x X} Daerah hubungan:Wh = { y / y Y}Matematika Ekonomi33 34. SISTEM BILANGAN1. Pembagian bilangan Bilangan 2; -2;Nyata1,1; -1,1Khayal + dan - Akar negatipRasional Irrasional(-4) = 2Hasil bagi dua bilHasil bagi dua bil bulat,bulat, pecahanpecahan desimal takdesimal atauberulangdesimal berulang0,14925253993999 , 0,14925251; 4; 8;Bulattermasuk Pecahan; 2/7 dsb 0Matematika Ekonomi34 35. 2. Tanda pertidaksamaan Tanda < melambangkan lebih kecil dari Tanda > melambangkan lebih besar dari Tanda lebih kecil dari atau sama dengan Tanda lebih besar dari atau sama dengan3. Sifat Jika a b, maka a -b Jika a b dan x 0, maka x.a x.b Jika a b dan x 0, maka x.a x.b Jika a b dan c d, maka a + c b+ d Matematika Ekonomi 35 36. FungsiSilabus:a. Pengertianb. Macam-macam fungsic. Fungsi Lineard. Fungsi non LinearMatematika Ekonomi36 37. PengertianHimpunan hasil kali Cartesius ini dikenal dgnhubungan. Tetapi ada hubungan dimana satu unsurX dihubungkan dengan satu unsur Y. (tidak setiapunsur X dihubungkan dengan setiap unsut Y)Dengan denah Venn sbb:X Y Hubungan 1 - 1Hubungan dengan kasus diatas, bahwa untuk setiapnilai x dihubungkan (hanya terdapat satu) nilai yyang sesuai, disebut dengan bentuk hubungan ataufungsi. Jelasnya fungsi LINEAR Matematika Ekonomi37 38. Perhatikan juga contoh berikut: Yy = f(x) x1 y1y1 x2 yn xn X 0 x1x2Y XGambar di atas, nilai x1 dan x2 dalam X, dihubung-kan dengan nilai y1 dalam Y, dengan bentuk y = f(x)Fungsi disebut juga TRANSFORMASI, jadi x ditransformasikan di dalam himpunan y.Matematika Ekonomi 38 39. Transformasi mengandung pengertian yang luas:a. x menentukan besarnya nilai yb. x mempengaruhi nilai yc. Dll.Pernyataan y = f(x)dibaca: y merupakan fungsi dari xataudicatat : f : x y aturan ditransformasisimbol f diartikan sebagai aturan transformasiunsur himp. X kedalam himpunan YLebih spesifik: Fungsi: suatu bentuk hubunganmatematis yang menyatakan hubungan ketergan-tungan (hub fungsional antara satu variabeldengan variabel lainMatematika Ekonomi 39 40. Perhatikan: y = f(x)x merupakan sebab (variabel bebas)y akibat dari fungsi (variabel terikat)Himpunan semua nilai-nilai x, disebut sebagaiDomain atau Daerah fungsi (Df) dan nilai y disebutdengan Range atau Wilayah fungsi (Rf = Wf).Df = { x / x X }Wf = { y / y Y }Misal: Biaya total C dari suatu perusahaan setiap harimerupakan fungsi dari output Q tiap hari:C = 150 + 7Q. Perusahaan memiliki kapasitaslimit sebesar 100 unit per hari.Berapa Daerahdan Range dari fungsi biaya?Jawaban:Df = { Q / 0 Q 100 }Rf = { C / 150 C 850 } Dapat Anda jelaskan ? Matematika Ekonomi 40 41. Macam-macam fungsia. FungsiBentuk umumnya : Polinomialy = a + bx + cx2 + . . . + pxnyy Slope = a1 case c < 0 a0 a0x xKonstan, jika n = 0 Linear, jika n = 1Kuadratik, jika n = 2y=a y = a + bxY = c + bx + ax2Matematika Ekonomi41 42. yTitik maksimumTitik belok Fungsi kubiky = d + cx + bx2 + ax3xyTitikmaksimum Fungsi polinom derajad 4 y = e + dx + cx2 + bx3 + ax4 Titik minimumxMatematika Ekonomi42 43. b. Fungsi RasionalFungsi ini, dengan y dinyatakan sebagai rasio duapolinomial dengan variabel x atau juga berupa fungsihiperbola.yHiperbola:y = (a/x), a > 0x0c. Fungsi eksponensial dan logaritma y y LogaritmaEksponensial y = logbxy = bx , b>1 xx Matematika Ekonomi 0 43 0 44. Fungsi linear Fungsi linear merupakan bentuk yang paling dasardan sering digunakan dalam analisa ekonomi Fungsi linear merupakan hubungan sebab-akibatdalam analisa ekonomi misalnya:- antara permintaan dan harga- invests dan tingkat bunga- konsumsi dan pendapatan nasional, dll Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 1atau fungsi polinom derajad-1.Matematika Ekonomi44 45. Bentuk umum Diturunkan dari fungsi polinom:y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn Disebut fungsi linear jika n = 1 yaitu y = a + bx bentuk umum Contoh: y = 4 + 2x a = 4 b=2 Pengertian: a = 4 = penggal garis pada sumbu vertikal yb = 2, adalah koefisien arah ataulereng atau slope garis.Matematika Ekonomi45 46. y a a0 = penggal garisa y = ax + b, apada sumbu yayaitu nilai y y = axsaat x = 0bx 12 34 50a = lereng garis atau y/xpada x = 0, y/x = a; pada x = 1, y/x = aMatematika Ekonomi46 47. Perhatikan bahwa lereng fungsi linear selalukonstan. Latihan-1y = 4 + 2x Penggan garis pada sumbu y = Lereng garis :x y x yy/x = aMendapatkanpenggal garis 0 -- -pada sumbu y 1ketika x = 0 2 3 4 Matematika Ekonomi 47 48. Lengkapi tabel berikut dari garis: y = 4 + 2xxy xyy/x = a-3 Mendapatkan-2 penggal garis-1 pada sumbu x ketika y = 001234Matematika Ekonomi 48 49. Kurva (grafik) fungsi Fungsi Linear, kurvanya garis lurus karenalerengnya sama. Misalkan y = 36 4xmakaa = -4 (y/x) b = 36 Menggambarkan kurvanya cukup mencari titikpotong (penggal) dengan: sumbu xdan penggal dengan sumbu y Hubungkan kedua titik penggal tersebut Titik penggal pada sb x, y = .., x = atau titik(, ) Titikpenggal pada sb y, x = .., y = atau titik (, ) Matematika Ekonomi49 50. Grafik: y 36 (0,36) 18y = 36 4x(9,0)x 09 Grafik dengan lereng negatipMatematika Ekonomi 50 51. Gambarkan grafik fungsi: y = 2 + 4x Titik penggal dg sb x y = 0, x = -1/2, (-1/2, 0)Titik penggal dg sb y x = 0, y = 2, (0,2) Gambarkan : yy = 2 + 4x x 0 Grafik dengan lereng positip Matematika Ekonomi51 52. Fungsi non linear (kuadratik) Fungsi non linear juga merupakan bentuk yangsering digunakan dalam analisa ekonomi Sebagaimana fungsi linear, fungsi non linear jugamerupakan hubungan sebab-akibat Fungsi linear adalah fungsi polinom, tetapi n = 2atau fungsi polinom derajad-2. Bentuk umum Diturunkan dari fungsi polinom:y = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn Disebut fungsi kuadratik jika n = 2 dan a2 0, yaituy = a0 + a1x + a2x2atau sering ditulis: y = ax2 + bx + c Matematika Ekonomi 52 53. Contoh - 1: Contoh - 2: y = 8 2x x2 a= y = 2x2 + 4x + 6-1 (a < 0) a = 2 a > 0)b = -2 c b=4 =8 c=2Menggambar kurva non linear kuadratika. Cari titik penggal dengan sb x, pada nilai y = 0 0 = 8 2x x2 atau 8 2x x2 = 0 Menyelesaikan persamaan ini dapat melalui dua cara: 1. FaktorisasiMaksudnya, menguraikan ruas utama fungsitersebut menjadi bentuk perkalian ruas-ruasnya atau disebut bentuk perkalian duafungsi yang lebih kecilMatematika Ekonomi53 54. Faktorisasi persamaan di atas menghasilkan: (2 -x)(4 + x) f(x) = g(x).h(x)(2 -x)(4 + x) = 0(2 -x) = 0, berarti x = 2, di titik (2, 0) (4 +x)= 0, berarti x = -4, dititik (-4, 0)2. Memakai rumus kuadrat (bujur sangkar) -b b2 4ac x = -------------------- 2c- (-2) (-2)2 4(-1)(8)x = ------------------------------- 2(-1) Matematika Ekonomi 54 55. 2 4 + 32 2 6 x = ---------------- = ----------2 -2 x1 = (2 + 6)/(-2) = -4, titik (-4, 0)x2 = (2 6)/(-2) = 2, titik (2, 0) Hasilnya sama dengan cara faktorisasi.b. Cari titik penggal dengan sb y, pada nilai x = 0 y = 8 2x x2, untuk x = 0, y = 8, titik (0,8)c. Karena ciri fungsi kuadrat memiliki titik maksi-m atau minimum (lihat gambar terdahulu) makatitik ini harus dicari.Matematika Ekonomi 55 56. Mencari titik maks atau min Sifat fungsi kuadratika. Memiliki titik maks atau min yang disebut titik ekstrim. Titik maks jika a < 0 dan min jika a > 0 b. Titik maks atau min pada titik (x, y) dengan:-b b2 4ac x = ----, dan y = -----------2a -4a c. Kurvanya simetri pada titik xmaks/miny = 8 2x x2, a < 0 berarti maksxmaks = -(-2)/(2)(-1) = -1ymaks = [(-2)2 4(-1)(8)]/(-4)(-1) = 36/4 = 9. titik maks (-1, 9). Matematika Ekonomi 56 57. Gambarkan kurvanya:y0 x Matematika Ekonomi 57 58. Hubungan dua garis Dua buah garis dengan fungsi linier dapat: a. berimpit Berimpit: Jika dan hanya jika a1 = a2 b1= b2 b. SejajarSejajar: Jika dan hanya jikaa1 = a2b1 b2Matematika Ekonomi 58 59. c. Berpotongan Berpotongan: jika dan y hanya jika Ttk pot a1a2 b1b2 xDua garis fungsi linear dan fungsi non linear hanyadapat berpotongan. y Ttk potTtk pot a0y2 = ax2 + bx + c xMatematika Ekonomi 59 60. Mencari titik potong dua garis/persamaan Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai xdan y sama pada perpotongan tersebut Caranya:(1)Bentuk fungsi harus y = f(x)(2) samakan kedua fungsi untuk mendapat titik potong Cari titik potong fungsi x = 15 2y dan 3y = x +3x = 15 2y y = -(1/2)x + 15/23y = x +3 y = (1/3)x + 1-(1/2)x + 15/2 = (1/3)x + 1-(1/2)x (1/3)x = 1 15/2x = 78/10Matematika Ekonomi 60 61. Untuk mendapatkan y, substitusi x = 78/10 padasalah satu fungsi: y = (1/3)x + 1, untuk x = 78/10; y = (1/3)(78/10) + 1 y = 26/10 Titik potong fungsi (x, y) = (78/10, 26/10) Matematika Ekonomi61 62. Mencari titik potong dua garis/persamaan(1) 2x + 3y = 21 dan (2) x + 4y = 23Pada saat dua fungsi berpotongan, maka nilai xdan y sama pada saat perpotongan tersebut. Ubah persamaan di atas menjadi bentuk y = f(x)(1) 2x + 3y = 21 3y = 21 2xatau y = 7 (2/3)x(2) x + 4y = 23 4y = 23 x atau y = (23/4) (1/4)xTitik potong kedua garis: 7 (2/3)x = (23/4) (1/4)x 7 (23/4) = (2/3)x (1/4)x 5 = (5/12)x x = 12. y = 11/4 (12, 11/4)Matematika Ekonomi 62 63. Penggunaan Fungsi dalam ekonomiAnalisa keseimbangan pasarKeseimbangan pasar Model linearAsumsi-1: Keseimbangan pasar terjadi jika eksesdemand = 0 atau (Qd Qs = 0)Asumsi-2: Qd = jumlah permintaan adalah fungsilinear P (harga). Jika harga naik, maka Qdturun.Asumsi-3: Qs = jumlah penawaran adalah fungsilinear P. Jika harga naik, maka Qs juganaik, dengan syarat tidak ada jlh yangditawarkan sebelum harga lebih tinggidari nol.Persoalan,bagaimana menentukan nilaikeseimbangan ? 64. Dalam pernyataan matematis, keseimbangan terjadipada saat: Qd = QsQd = a - bP, slope (-) (1)Qs = -c + dP,slope (+) (2)Gambarnya sbb: Qd , Qsa Qs = -c + dPQd = a -bP keseimbanganQ0 0 P P1P0-c Matematika Ekonomi 64 65. Kasus lain, keseimbangan dapat dilihat sbb:Qs = 4 p2 dan Qd = 4P 1Jika tidak ada pembatasan misalnya, berlaku dalamekonomi, maka titik potong pada (1, 3), dan (-5, -21)tetapi karena batasan hanya pada kuadran I (daerahpositip) maka keseimbangan pada (1, 3)} 4 QS = 4p - 1 31,3 keseimbanganQD = 4 - p2 0 12-1 Matematika Ekonomi65 66. Keseimbangan pasar (lanjutan)Pada nilai Q dan p berapa terjadi keseimbang-anpermintaan dan penawaran dari suatu komodititertentu jika: Qd = 16 P2 , (Permintaan) QS = 2p2 4p(penawaran) Gambarkan grafiknya Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5 Matematika Ekonomi66 67. PenjelasanPada saat keseimbangan maka Qd = Qs 16 p2 = 2p2 4p 3p2 4p 16 = 0Ingat fungsi polinom derajad 2 atau n = 2dengan bentuk umum: ax2 + bx + cKoefisien a = 3, b = -4, dan c = -16p = (-b)(b2 4ac)1/2 = 4 (16 + 192)1/2 = 3.1 (+)2a6 Qd = 16 p2 = 16 - (3.1)2 = 6.4 Jadi keseimbangan tercapai pada Jlh komoditas 6.4 dan harga 3.1. Atau (Q, p) = (6.4 , 3.1) Matematika Ekonomi 67 68. Grafik:Fungsi Permintaan: Qd = 16 p2a. Titik potong dengan sb Q p = 0; Q = 16, (16,0)b. Titik potong dengan sb p Q = 0; 16 p2 = 0 (p 4)(p + 4). p 4 = 0, p = 4,ttk (0, 4) p + 4 = 0, p = -4, ttk (0, -4)c.Titik maks/min: (Q,p) Q = (-b/2a) = 0/-2 = 0 p = (b2 4ac)/(-4a) = 0 4(-1)(16)/(-4)(-1)) = 16 atau pada titik (0, 16) Matematika Ekonomi 68 69. Grafik:Fungsi penawaranQs = 2p2 4pa. Titik potong dengan sb Q p = 0; Q = 0, (0,0)b. Titik potong dengan sb p Q = 0; 2p2 4p = 0Atau 2p(p 2) = 0; 2p = 0; p = 0; ttk pot (0, 0)(p 2) = 0; p = 2; ttk pot ( 0, 2)c. Titik maks/min: (Q,p)Q = (-b/2a) = 4/4 = 1p = (b2 4ac)/(-4a) = (-4)2 4(2)(0)/(-4)(2) = 2atau pada titik (1, 2)Matematika Ekonomi69 70. Grafik:p Qs 43.1Qd 2Q 06.416 Apa yang terjadi jika p = 3.5 dan p = 2.5 Untuk p = 3.5, terjadi ekses supply dan p = 2.5, terjadi ekses demandMatematika Ekonomi 70 71. Penjelasan ekses suplai dan ekses demandQsQd Ekses demand mendorong harga naik, dan ekses supply mendorong harga turun. Matematika Ekonomi 71 72. DERIFATIF1.1. Pengantar KalkulusKalkulus khususnya bahasan matematika tentanga. Fungsib. Derivatif atau fungsi turunanc. Derivatif parsial dand. Integralsangat luas penggunaannya dalam ilmuekonomi.Khusus tentang derivatif (kalkulus dife-rensial) dapat diinventarisir aplikasinya dalam ilmuekonomi diantaranya:1). Elastisitas, khususnya elastisitas permintaanMatematika Ekonomi 72 73. 2) Elastisitas produksi3) Biaya total, rata-rata dan marginal4) Revenue dan marginal revenue5) Maksimisasi penerimaan dan profit.6) dll.Pendekatan matematis yang sangat pesat dewasa inimembuat seorang ahli ekonomi termasuk Agric.Economist, atau agribussines manager perlu mendalamipengetahuan kalkulus diferensial dan inte-gral.Untuk kesempatan ini, kalkulus diferensial danaplikasinya dalam ekonomi lebih diutamakan.Matematika Ekonomi 73 74. 1.2. Limit fungsiPandanglah fungsi h yang diberikan denganpersamaan: 2x2 + x - 3h(x) = -------------x-1 Persamaan ini harus disederhanakan sedemikian rupa, supaya jika disubstitusikan nilai x = 1, (per- hatikan pembagi/penyebut) maka nilainya 0/0 (bentuk tak tentu) Matematika Ekonomi 74 75. Untuk tujuan ini, fungsi tersebut diuraikan atas fak-tornya, sehingga: 2x2 + x - = (x-1)(2x +3) h(x) = ------------- 3 ------------- = 2x + 3x-1x-1x2 - 4 Demikian juga jika g(x) = ---------, nilainya akan tak x-2tentu, untuk x = 2 Karena itu g(x) disederhanakan menjadi: (x 2)(x + 2) g(x) = ------------------- = x + 2. x-2 Matematika Ekonomi75 76. Fungsi h dengan persamaan diatas grafik sebagai berikut: Fungsi h tdk terdefi- nisi di titik x = 1. Un- tuk x 1, maka h(x)y= 2x + 3. Sehingga untuk x mendekati5 1, h(x) akan mende-4 y = h(x) kati 5. Dikatakan3limit fungsi h dititik x2= 1 adalah 5.1 0 1 x Matematika Ekonomi 76 77. Keadaan di atas, dicatat sebagai: 2x2 + x - 3lim h(x) = lim ------------- = 5x1x1 x-1Baca: limit fungsi h(x) untuk x menuju 1Demikian juga dengan g(x) di atas x2 - 4lim g(x) = lim --------- = 4.x2 x2 x-2Matematika Ekonomi 77 78. 1.3. Pengertian DerivatifSuatu fungsi dengan persamaan y = f(x) mempunyai nilai(terdefinisi) pada x = x0 dan y = f(x) kontinu di titiktersebut, maka: lim f(x) = f(x0) Y x -> x0Y = f(x) diskontinupada x = x0Y = f(x)Y=f(x) y1y0 y0 Y = f(x) kontinu pada x = x0x x0x0 79. Sehingga f(x) f(x0)0------------------= --- x x00Maka lim f(x) f(x0) disebut dengan derivatif------------- x->x0 x x0 fungsi f dititik x = x0. Dengan mensubstitusi x = x x0, atau x = x0 + x, untuk x-> x0 berarti x ->0 atau:f(x0 + x) f(x0)lim-------------------merupakan derivatifxatau turunan fungsi. x-> 0 Matematika Ekonomi79 80. Simbol derivatif fungsi dilambangkan dg: f(x) atau dy/dx atauy atau Dxy.Atau dengan penjelasan lain:Ump. y = f(x) dengan kurva sbb:y = f(x)y + y = f(x + x) Y = f(x)y1 yy xBesarnya pertambahan adalah: x x1y = f(x + x) f(x).Dibagi dg x: y/x = f(x + x) f(x)------------------------------- x Matematika Ekonomi 80 81. lim y/x = f(x + x) f(x)----------------------------- x->0xadalah turunan fungsi tsb yaitu: y = f(x) = dy/dxContoh. Cari turunan y = f(x); y = x2 + 1,dititik x = 5.Jika x ditambah sebesar x, maka y akan bertambahsebesar y.y + y = (x + x)2 + 1y= x2 + 1 (-) Matematika Ekonomi 81 82. Dengan pengurangan: y = (x + x)2 + 1 x2 1 = x2 + 2xx + (x)2 + 1 x2 1 = 2xx + (x)2 y/x = 2x x + (x)2x = 2x + xlim y/x = lim 2x + lim xdy/dx = 2x +x = 2x dititik x = 5,0 ->0 berarti x ->0x ->0dy/dx untuk x = 5 adalah 10. Matematika Ekonomi 82 83. 1.4 Rules of differentiationRule 1: Derivative of a power function.Fungsi pangkat (power function) y = xn y + y = (x + x)n y = (x + x)n yy = (x + x)n xn Ingat kembali bil. Binom Newton (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = C(0, 4)a4 + C(1, 4)a3b + C(2, 4)a2b2 + C(3, 4)ab3+C(4,4)b3 Matematika Ekonomi83 84. C(i, n) baca kombinasi tingkat i dari n unsur.C(i, n) adalah teori kombinasi yang menyatakan memilih sebanyak i unsur dari suatu himpunan untuk menjadi anggota himpunan bagiannya.C(0, 4) berarti kombinasi tingkat 0 dari 4 unsur.C(i, n) = ------------ n! i ! (n i)!Matematika Ekonomi84 85. n! = n(n-1)(n-2)(n-3) 4! = 4. 3. 2. 1 = 240! = 1Sekarang: y = (x + x)n xn = C(0, n)xn + C(1, n)xn-1x + C(2, n)xn-2x2 +C(3, n)xn-3x3 + C(4, n)xn-4x4 + + C(n-1, n)xxn-1 - xnMatematika Ekonomi85 86. n! n.n-1.n-2.n-3.C(0, n) = --------- = ---------------------- = 10!(n-0)! 1.n.n-1.n-2.n-3 C(1, n) = ---------- = ---------------------- = n n!n.n-1.n-2.n-3. 1!(n-1)! 1.n-1.n-2.n-3. C(2, n) = ---------- = ---------------------- = ----- n!n.n-1.n-2.n-3. n.n-1 2!(n-2)!2.1.n-2.n-3. 2Matematika Ekonomi 86 87. y = (x + x)n xn = xn + nxn-1x + n(n-1)xn-2x2 +2 C(3, n)xn-3x3 +C(4, n)xn-4x4 + +C(n-1, n)xxn-1 - xn = nxn-1x + n(n-1)xn-2x2 +C(3, n)xn-3x3 + C(4, n)xn-4x4 + + C(n-1, n)xxn-1 Matematika Ekonomi 87 88. y = nxn-1+ n(n-1)xn-2x + x2C(3, n)xn-3x2 +C(4, n)xn-4x3 ++C(n-1, n)xxn-2yLim ---- = lim nxn-1 atau dy/dx = nxn-1x->0 xx->0Contoh: y = x5dy/dx = 5x4.Mis C = total cost, q = output C = q3derivatif C thdp q = 3q2. Matematika Ekonomi 88 89. Rule 2: Multiplication by a constant.y = f(x)= cx2, c adalah konstanta, dy/dx?y + y = c(x + x)2y = cx2 + c2xx + c(x)2 cx2 = c2xx + c(x)2---- =c2x + c(x)ylim x = lim c2x , Jadi dy/dx = c2x----yx->0 xx->0 Matematika Ekonomi 89 90. Contoh: y =f(x) = 5x2f(x) = 5(2)x2-1 = 10xRule 3: Derivative of a sumf(x) = g(x) + h(x)Dengan pembuktian yang sama spt rule (1) dan (2) diperoleh:f(x) = g(x) + h(x)Demikian juga untuk:f(x) = g(x) + h(x) + k(x)f(x) = g(x) + h(x) + k(x)Matematika Ekonomi90 91. Derivatif penjumlahan dua fungsi atau lebih samadengan pengurangan atau selisih.f(x) = g(x) h(x);f(x) = g(x) h(x).Contoh:Cari derivatif f(x) = 7x4 + 2x3 3x + 37 g(x) = 7x4; g(x) = 28x3 h(x) = 2x3; h(x) = 6x2 k(x) = -3x; k(x) = -3 l(x) = 37; l(x) = 0jadi f(x) = 28x3 + 6x2 3.Matematika Ekonomi 91 92. Rule 4: derivative of a productFungsi hasil kali berbentuky = f(x) = g(x).h(x) f(x) = g(x).h(x) + h(x).g(x)Contoh: y = f(x) = (2x + 3)(3x2) g(x) = (2x + 3); g(x) = 2 h(x) = 3x2;h(x) = 6xJadi: f(x) = (2x + 3)(6x) + (3x2)(2)= 12x2 + 18x + 6x2= 18x2 + 18x.Matematika Ekonomi 92 93. Rule 5: derivatif of a quotientBentuk umum hasil bagi dua fungsi: y = f(x) = g(x)/h(x).f(x) = g(x)h(x) g(x)h(x)[h(x)]2 Matematika Ekonomi93 94. Contoh: f(x) = (2x 3)/(X + 1).g(x) = 2x 3; g(x) = 2h(x) = x + 1; h(x) = 1f(x) = (2)(x + 1) (1)(2x 3)= 2x + 2 2x + 3 (x =+ 1)25(x + 1)2(x + 1)2Matematika Ekonomi 94 95. Rule 6: Chain ruleFungsi berantai bentuknya sbb:y = f(u)u = g(x) y = f(z) z = g(u)Dicari derivatif y ter-u = h(x)hadap x atau dy/dx.Dari u = g(x) didptDengan cara yang samadu/dx.Dari y = f(u) didpt dy dy du dz = dudy/du, Maka dxdz dxdy = dy . dudx du dx Matematika Ekonomi 95 96. Contoh: Misalkan x adalah lahan, yang dapatmenghasilkan y unit gandum dan z adalah roti ygterbuat dari gandum. Umpamakan setiap unit lahan(x) dihasilkan 2 unit gandum (y) sehingga:y = 2xUntuk setiap unit gandum (y) dapat diproduksi 15unit roti (z), yang digambarkan sebagai:z = 15yApabila ada perubahan sejumlah kecil lahan (x),maka berapa besar perubahan roti (z) akan terjadidari perubahan tersebut? Hal ini merupakan masa-lah hukum berantai dari turunan fungsi (derivatif). Matematika Ekonomi 96 97. dy/dx merupakan perubahan y apabila sejumlahkecil perubahan x yaitudy/dx = 2Perubahan z apabila ada perubahan ydz/dy = 15Oleh karena itu perubahan z apabila ada perubah-an x menjadi: dz/dx = dz/dy. dy/dx = 15(2) = 30 unit. Matematika Ekonomi97 98. Contoh: Jika y = uv, dimana u = s3 dan s = 1 x. v = t2 dan t = 1 + x2u=s 3, du/ds =3s2 v = t2, dv/dt = 2ts = 1 x ds/dx = -1 t = 1 + x2 dt/dx = 2x y = uv, adalah bentuk hasil kali berarti dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx = u(dv/dt)(dt/dx) + v(du/ds)(ds/dx) = s3(2t)(2x) + t2(3s2)(-1) = 4s3tx -3t2s2 = s2t(4sx 3t) Substitusi, dy/dx = (1-x)2(1+x2)[4(1-x)(x) 3(1+x2)]Matematika Ekonomi 98 99. Contoh: Jika y = (1 + x2)3, dapatkan dy/dx.Dengan memakai derivatif fungsi berantai:Mis u = 1 + x2, dan oleh karena itu y = u3dy/dx = (dy/du)(du/dx) = (3u2)(2x) = 6x(1 + x2)2.Matematika Ekonomi99 100. 1.5. Derivatif of higher order Jika y = f(x), maka derivatif pertama dicatatsebagai dy/dx atau f(x). Derivatif keduadilambangkan dengan: d2y/dx2 atau f(x) atau yDemikian seterusnya untuk derivatif yang lebihtinggi. Semua hukum-hukum yang sudahdibahas, berlaku untuk mencari derivatif ordeyang lebih tinggi. Contoh: Hitung derivatif y = f(x) = x3 3x2 + 4,dan hitung nilainya untuk x = 2.Matematika Ekonomi 100 101. f(x) = x3 3x2 + 4, f(2) = 8 12 + 4 = 0f(x) = 3x2 6x, f(2) = 12 12 = 0f(x) = 6x 6 f(2) = 6f(x) = 6 f(2) = 6.Matematika Ekonomi 101 102. 1.5 Derivatif parsialTeknik ini digunakan untuk suatu fungsi lebih darisatu variabel. z = f(x, y) atau z = f( u, v, x) dstBanyak kejadian terdiri dari beberapa variabel.Contoh: Qd = f(h, hkl, sK, i,)dimana h = harga komoditi itu sendirihkl = harga komoditi lainsK = selera konsumeni = incomeUmpamakan kita berhadapan dengan fungsi:z = f(x , y), bila y dianggap tetap,maka z hanya merupakan fungsi x dan derivatif z kex dapat dihitung. Matematika Ekonomi102 103. Derivatifnya disebut derivatif parsial atau turunanparsial dari z ke x dan dilambangkan dengan:z/x atau f/x atau fxDemikian juga jika x dianggap tetap, maka derivatifparsial ke y dapat dihitung, dan dilambangkan dg: z/y atau f/y atau f yDerivatif parsial z ke x didefinisikan sebagai:z/x = lim z/x = lim f(x + x, y) f(x, y)x->0x->0xDerivatif parsial z ke y didefinisikan sebagai:z/y = lim z/y = lim f(x,y + y) f(x, y)y->0y->0 yMatematika Ekonomi103 104. Contoh: Jika z = 3x2 + 2xy 5y2 ,maka: z/x = 6x + 2y z/y = 2x 10yDerivatif parsial kedua juga dapat dicari sbb:Contoh: z = (x2 + y2)3z/x = fX = 3(x2 + y2)2(2x) = 6x(x2 + y2)2z/y = f y = 3(x2 + y2)2(2y) = 6y(x2 + y2)22z/x2 = fXX = 12x(x2 + y2)(2x) = 24x2(x2 + y2)2z/y2 = f yy = 12y(x2 + y2)(2y) = 24y2(x2 + y2)2z/ yx = f yx = 12x(x2 + y2)(2y) = derivatif z/xthd y24xy(x2 + y2).2z/xy = fxy = 12y(x2 + y2)(2x) = 24xy(x2 + y2)Matematika Ekonomi104 105. Simbol derivatif parsial z/x juga dilambangkan f/x atau fx.Fungsi turunan kedua dilambangkan: 2z/x2 atau 2f atau fxxFungsi turunan fx terhadap y dilambangkan f yxFungsi turunan f y terhadap x dilambangkan fxy f yx = fxyMatematika Ekonomi 105 106. Maksimum dan minimum y = f(x)akan maksimum pada saat:dy/dx = 0dand2y/dx2 < 0akan minimum pada saat:dy/dx = 0dand2y/dx2 > 0akan mempunyai titik belok (inflection point) pada: dy/dx = 0dand2y/dx2 = 0 Matematika Ekonomi 106 107. Apabila fungsinya lebih dari dua variabel: z = f(x, y) atau f(x1, x2),Maksimum jika Minimum jikafx = 0, fy = 0fx = 0, fy = 0fxx < 0, fyy < 0fxx > 0, fyy > 0fxxfyy (fxy)2 > 0 fxxfyy (fxy)2 > 0 Matematika Ekonomi 107 108. Contoh: Periksa apakah fungsi berikut ini mempu- nyai titik maksimum, minimum atau titik belok dan hitung nilai f(x) pada titik tersebut. y = f(x) = -x2 + 4x + 7dy/dx = -2x + 4 = 0; nilai x = 2d2y/dx2 = -2 < 0; berarti mempunyai titik maks.pada x = 2.nilai ymaks atau f(x)maks = -(2)2 + 4(2) + 7 = 11 Matematika Ekonomi 108 109. Contoh: Tentukan nilai ekstrim (maks/min) dari: z = x2 + xy + y2 3x + 2Langkah-langkah:a. Derivatif pertama: fx = 2x + y 3 f y = x + 2yb. fx = 0 dan f y = 02x + y 3 = 0 x + 2y = 0 Dari 2x + y 3, didapat y = 3 2x. Substitusi y = 3 2x ke persamaan x + 2y = 0 didapat x + 2(3 2x) = 0; x + 6 4x = 0 atau 3x = 6 x = 2. Matematika Ekonomi109 110. Untuk x = 2, y = 3 2(2) = -1. Artinya titik (2, -1) merupakan titik maks atau minc. Uji dengan derivatif kedua: fxx = 2; f yy = 2; fxy = f yx = 1 fxxf yy (fxy)2 = 2.2 12 = 3 > 0 artinya fungsi z mempunyai titik minimum padatitik (2, -1).d. Nilai zmin = (2)2 + (2)(-1) + (-1)2 3(2) + 2 = 4 2 + 1 6 + 2 = -1. Matematika Ekonomi 110 111. 1.5 Aplikasi dalam ekonomi1) Elastisitas permintaanElastisitas permintaan adalah persentase per-ubahan jumlah komoditi diminta apabila terdapat perubahan harga.Jika q = komoditi yg diminta,q = perubahannyap = harga komoditi;p = perubahannyaMatematika Ekonomi111 112. q/q q/q q p dq pEd = ------ = lim ------- = lim ---- -- = ---- --p/p p->0 p/p p->0 p q dp qContoh: Umpamakan fungsi permintaan q = 18 -2p2 hitung elastisitas permintaan jika harga berku- rang 5% (bukan mendekati nol) dari p = 2, q = 10. Bandingkan hasil kedua pendekatan: defi- nisi dan derivatif.Pendekatan definisi: p = 2; p = 0.05 berartip1 = 2 2(0.05) = 1.9Untuk p1 = 1.9, q = 18-2p2 = 18 2(1.9)2 = 10.78untuk p = 2,q = 18-2p2 = 18 2(2)2 = 10.berarti q = 10.78 10 = 0.78Matematika Ekonomi 112 113. Jadi menurut pendekatan definisi Ed = 7.8%/-0.05% = - 1.56Dengan pendekatan derivatif:Ed = (dq/dp)(p/q) = (-4p)(p/q) = - 4p2/q pada harga p = 2, dan q = 10 Ed = -4(2)2/10 = - 1.60.Perhatikan dengan derivatif, p mendekati nol,sementara menurut definisi, p = 0.05%, jadihasilnya sedikit berbeda.Matematika Ekonomi 113 114. 2) Total Cost, Average cost and marginal cost TC = f(q), merupakan fungsi biaya dimana TC = total cost,dan q = produk yang dihasilkan. TC/q = f(q)/q merupakan fungsi biaya rata-rata.MC = dTC/dq merupakan derivatif dari TC, sebagai biaya mar-ginal. Biaya marginal adalah tambahan biaya ygdibutuhkan per satuan tambahan produk. Matematika Ekonomi114 115. Hubungan TC, AC dan MC, seperti kurva dibawahini.TCRpAC MC VC qMatematika Ekonomi115 116. Contoh dengan data diskritqFC VC TCACMC1 100 10110 110.00 -2 100 16116 58.00 6.03 100 21121 40.33 5.04 100 26126 31.50 5.05 100 30130 26.00 4.06 100 36136 22.67 6.07 100 45.5145.5 20.78 9.58 100 56156 19.50 10.59 100 72172 19.10 16Matematika Ekonomi116 117. Contoh dengan fungsi biaya:TC = q3 4q2 + 10q + 75.FC = Fixed Cost = 75VC = Variable cost = q3 4q2 + 10q MC = dTC/dq = 3q2 8q + 10 AC = TC/q = q2 4q + 10 + 75/q3) Revenue and Marginal revenue Apabila fungsi permintaan diketahui, maka Total Revenue (TR) adalah jumlah produk yang diminta dikali harga. Matematika Ekonomi 117 118. Jadi jika q = kuantitas diminta dan p = harga dengan q = f(p) maka:TR = qp = f(p).p Marginal Revenue (MR) = dTR/dq. Contoh: MR = dTR/dq Fungsi Permintaan; = 9/2 3q 3q + 2p = 9;TR, MR, p 2p = 9 3q atau MRp = 9/2 (3/2)q 4 TR = p.q atau p TR = (9/2)q (3/2)q2 0 3 q Matematika Ekonomi118 119. 4). Fungsi produksiSeorang produsen dalam teori ekonomi paling tidakharus mengambil dua keputusan apabila dilandasioleh suatu asumsi produsen berusa-ha memperolehprofit maksimum, adalah:a. Jumlah produk yang yang akan diproduksib.Menentukan kombinasi input-input yang digunakan dan jumlah tiap input tsb.Landasan teknis dari produsen dalam teori ekonomidisebut dengan FUNGSI PRODUKSI.Fungsi produksi = persamaan yang menunjukkanhubungan antara tingkat penggunaan input-inputdengan tingkat output. Matematika Ekonomi 119 120. Fungsi produksi, secara umum dicatat:Q = f(x1, x2, x3, , xn)Q = outputxi = input-input yang digunakan, i = 1, 2, 3, , nApabila dalam proses produksi:Q = f(x1/x2, x3, , xn)input xI ditambah terus menerus, sedangkan inputlain tetap, maka fungsi produksi itu tunduk padahukum : The law of diminishing returnsbila satu macam input, terus ditambahpenggunaannya sedang penggunaan input lain tidakberubah, maka tam-bahan output yg dihasilkan darisetiap tambahan input, mulai-mula meningkat,kemudian menurun, dan akhirnya negatip.Matematika Ekonomi120 121. Tambahan output yg didapat karena adanya tam- bahan satu unit input dinamakan Produk Fisik Marginal (Produk Marginal = PM). PM = Q/xi, i = 1, 2, 3, , nSelain produk marginal, fungsi lain yang dapat di- turunkan dari fungsi produksi adalah fungsi Produk Rata-rata (PR). PR = Q/x = f(x)/xJadi ada hubungan antara Q atau produk total (PT) dengan PM dan PR.Hubungan tersebut di- tunjukkan oleh kurva berikut ini.Matematika Ekonomi 121 122. Q X1 Q PM PR Q = PT 1 10- 10 2 24 14 12 3 39 15 13 4 52 13 13 5 61 912.2 x 6 66 511 7 66 09.4 8 64 -2 8PMPR xMatematika Ekonomi 122 123. Ciri-ciri grafik fungsi produksi dicatat sbb:a. Pada saat PT maks, maka PM = 0b. Pada saat PR maks, maka PM = PRc. PR maks pada saat grs lurus dari titik nol (origin) menyinggung kurva PT. Kurva produksi yang dijelaskan di atas, hanya jika input variabel terdiri atas satu input. UntukQ = f(x1, x2)/x3, , xN)atau dua input variabel, maka kurvanya dalam ruang spt berikut:Matematika Ekonomi123 124. zx1x2 Matematika Ekonomi124 125. MATRIKSMatriks artinya sesuatu yang membungkus, yangdibungkus adalah data kuantitatif yang disusundalam bentuk baris dan lajur.Contoh: Harga gula pasir di 3 kota selama 3 bulan(rata-rata) KotaA B CBulanJ40004500 4200F42004600 4500M42004700 4500 126. Dengan catatan matriks ditulis:A = 4000 4500 4200B= 1 0 1 44200 4600 45003 2 6 74200 4700 4509 8 4 1Bentuk umum sbb: Notasi matriksA = a11 a12 a1nmxna21 a22 a2n Untuk menyederhanakandicatat::: :A = (aij)mxnmxnam1 am2 amnm = jlh baris; n = jlh lajur Matematika Ekonomi126 127. Vektor.Kumpulan data/angka yang terdiri atas satu barisdisebut: VEKTOR BARIS, jika satu lajur diseburdengan VEKTOR LAJUR. Dengan demikian, dptdisebut bahwa matriks terdiri atas beberapa vektorbaris dan beberapa vektor lajur.Vektor baris:Vektor lajura = (4, 1, 3, 2)b= 1 u = u1x = (x1, x2, xn)2 u2 8: unMatematika Ekonomi 127 128. Beberapa macam bentuk matriksa. Matriks segi: A = (aij)m.n dengan m = nA= 2 0 2 4 4x44 1 7 71 2 3 45 1 4 1b. Matriks setangkup: B = (bij)n.n, bij = bjiB=1 0 7 74X40 5 4 37 4 2 57 3 5 1 Matematika Ekonomi 128 129. c. Matriks diagonal e. Matriks segitiga atas,D = (dij)n.n, dij = 0 utk i jjika semua unsur di- bawah diagonal uta-D= 30 0ma bernilai nol.0 5 0 G= 9 9 30070 1 3 0 0 2d. Matriks identitasI4 = 1 0 0 0I2 = 1 0 Diagonal utama Jika semua unsur di- 0 1 0 0 0 1 atas diagonal utama 0 0 1 0 bernilai 0 = matriks segitiga bawah. 0 0 0 1 Matematika Ekonomi 129 130. Penggandaan matriks Matriks A = (aij)m.n dapat digandakan dgn B = (bij)p.qjika dan hanya jika lajur matriks A = baris matriks Batau n = p Cara penggandaan adalah vektor baris x vektor lajurdimana setiap baris A digandakan dengan setiaplajur B seperti contoh berikut ini.1 1 0 8 -12 4 51 16 7 81 2 Matematika Ekonomi 130 131. 1 1 0 8 -1 = (1 1 0) 8 , (1 1 0) -1=2 4 5 1 16 7 8 1 211 12(2 4 5) 8 , ( 2 4 5) -1 11 12(6 7 8) 8 , (6 7 8) -1 11 11Matematika Ekonomi 131 132. (1)(8) + (1)(1) + (0)(1), (1)(-1) + (1)(1) + (0)(2)(2)(8) + (4)(1) + (5)(1), (2)(-1) + (4)(1) + (5)(2)(6)(8) + (7)(1) + (8)(1), (6)(-1) + (7)(1) + (8)(2) 90 Contoh-2: 3 6 0 x=25124 2 -7y6317z3x + 6y4x + 2y 7z Matematika Ekonomi132 133. Putaran matriksMatriks A = (aij)m.n, putarannya adalah A = (aij)n.m,sedangkan (aij) = (aji).Contoh: A = 3 8 -9 A = 3 1 1 0 4 8 0 -9 4D= 1 0 4 D = 1 0 4 0 3 70 3 7 4 7 24 7 2Matematika Ekonomi133 134. Determinan matriks segiDeterminan suatu matriks segi adalah hasil per-kalian unsur-unsur yang tidak sebaris dan tidakselajur, dengan tanda tertentu. Determinanmatriks A dicatat det (A) atau |A|Contoh: Hitung determinan matiks A =2 74 9det A = (2)(9) (4)(7) = - 10. - + Matematika Ekonomi 134 135. Contoh: Cari determinan matriks C= 1 4 7 Cara Sarrus, yaitu dengan8 2 5 menambahkan lajur 1 sebagai6 9 3 lajur 4 dan lajur 2 sebagailajur 5 kemudian mengganda- kan angka yang tidak sebaris dan tidak selajur.-- - det C = 1 4 7 1 4 8 2 5 8 2 6 9 3 6 9++ + = (1)(2)(3) + (4)(5)(6) + (7)(8)(9)-(7)(2)(6) - (1)(5)(9) (4)(8)(3) = 405Matematika Ekonomi135 136. Untuk matriks dengan dimensi/ukuran 4 x 4, caraSarrus tidak dapat digunakan melainkan dicari per-kalian unsur yang tidak sebaris dan tidak selajur.Pangkat suatu matriksSuatu matriks segi dengan determinan 0, makamatriks itu disebut berpangkat penuh atau matriks taksingular. Sebaliknya, disebut matriks berpangkat takpenuh atau dinamakan matriks singular.Jika suatu matriks B berukuran nxn, maka pangkatmatriks itu dicatat p(B) = n, jika matriknya berpangkatpenuh. Matematika Ekonomi136 137. Tetapi jika determinannya = 0, maka pangkat matriksB, lebih kecil dari n, yaitu dimensi salah satu anakmatriksnya yang memiliki det 0.Contoh A = 1 1 0 , karena det A = 0, maka3x32 -1 1p(A) 3, dan kemungkinan4 1 1 p(A) = 2.Untuk memeriksa, ambil salah satu anak matiksnya:A11 = 1 1 , det A11 = - 3 0. Berarti p(A) = 22 -1Matematika Ekonomi137 138. Dalam sistem persamaan linear, yang mencari nilai-nilai x dari sistem persamaan tersebut, maka matrikspenyusun persamaan linear dimaksud harus 0 atautak singular atau berpangkat penuh.Misal: 7x1 - 3x2 3x3 = 72x1 + 4x2 + x3 = 0 - 2x2 - x3 = 2Setelah diubah dg7 -3 -3 x1 = 7perkalian matiksdiperoleh 2 41x2 00 -2 -1 x3 2 Matematika Ekonomi138 139. Det. Matriks: 7 -3 -3 = -8 0, berarti nilai-nilai x24 1 dari persamaan li-0 -2 -1 near itu dpt dicari.Matematika Ekonomi 139 140. Persamaan linear dan jawabannya.Persamaan linear adalah himpunan dari persamaanlinear dengan beberapa nilai yang hendak dicari.Contoh: 5x1 + 3x2 = 307x1 x2 x3 = 0 6x1 2x2 = 8 10x1 2x2 + x3 = 8 6x1 + 3x2 2x3 = 7Dari persamaan tersebut akan dihitung x1 dan x2Matematika Ekonomi 140 141. Dengan aturan Cramer, menggunakan cara determi-nan, sistem persamaan linear di atas dapatdiselesai-kan dg cara sbb:a. Buat persamaan linear menjadi dalam bentuk perkalian matriks.5 3x1 = 306 -2 x2 8Axdb. Cari nilai det (A); det A = -28c. Dapatkan matiks A1 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-1 dengan vektor d.Matematika Ekonomi141 142. A1 = 30 3 8 -2d. Dapatkan matriks A2 yaitu matriks A dengan mengganti lajur ke-2 dengan vektor d.A2 = 5 3068e. Cari det A1 dan det A2; det A1 = -84; det A2 = -140f. Nilai x1 = det A1/det A, dan x2 = det A2/A. x1 = -84/-28 = 3;x2 = -140/-28 = 5. Matematika Ekonomi142 143. Contoh 2 7 -1 -1 x1 = 0 10 -2 1 x2 8 6 3 -2x3 7Axda. Det A = -61b. Det A1 = 0 -1 -1 = -61; det A2 = 7 0 -1 = -1838 -2 110 8 17 3 -26 7 -2 det A3 = 7 -1 0 = -244 10 -2 8 6 3 7Matematika Ekonomi 143 144. MATRIKS KEBALIKANJika A = (aij)n.n maka matriks kebalikannya dicatatsebagai A-1.Cara mencari matriks kebalikan:a. Dengan matriks adjointb. Dengan transformasi penyapuanc. Dengan metode DoolittleMatematika Ekonomi144 145. Mencari matriks kebalikan dengan matiks adjointUmpamakan dibicarakan matiks A = a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33Untuk mencari matriks kebalikannya ditempuh lang- kah-langkah sbb:a. Mencari minor setiap unsur apq atau Mpq, dimana p=q = 1, 2, 3. (baris = p, lajur = q = 1, 2, 3)Definisi: Minor unsur apq adalah determinan anakmatriks dengan menghapus baris p dan lajur q.Jadi M11 dihitung dengan cara berikiut:Matematika Ekonomi 145 146. a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33Minor unsur a11 = M11 = a22 a23 = a22a33 a23a32 a32 a33Minor unsur a12 = M12 = a21 a23 = a21a33 a23a31 a31 a33Minor unsur a13 = M13 = a21 a22 a31 a32 = a21a32 a22a31Matematika Ekonomi 146 147. Minor unsur a21 = M21 = a12 a13 = a12a33 a13a32a32 a33Minor unsur a22 = M22 = a11 a13 = a11a33 a13a31a31 a33Minor unsur a23 = M23 = a11 a12a31 a32 = a11a32 a12a31 Matematika Ekonomi 147 148. Minor unsur a31 = M31 = a12 a13 = a12a23 a13a22a21 a23Minor unsur a32 = M32 = a11 a13 = a11a23 a13a21a21 a23Minor unsur a33 = M33 = a11 a12a21 a22 = a11a22 a12a21 Matematika Ekonomi 148 149. b. Kofaktor.Kofaktor unsur apq ialah pq = (-1)p+qMpq.Kofaktor unsur a11 = 11 = (-1)1+1M11Kofaktor unsur a12 = 12 = (-1)1+2M12Kofaktor unsur a13 = 13 = (-1)1+3M13Kofaktor unsur a21 = 21 = (-1)2+1M21Kofaktor unsur a22 = 22 = (-1)2+2M22Kofaktor unsur a23 = 23 = (-1)2+3M23Kofaktor unsur a31 = 31 = (-1)3+1M31Kofaktor unsur a32 = 32 = (-1)3+2M32Kofaktor unsur a33 = 33 = (-1)3+3M33 Matematika Ekonomi149 150. Setelah dapat kofaktor dari setiap unsur, susunlahmatriks kofaktor K:K = 11 12 13 21 22 23 31 32 33Matriks kebalikan dari A = A-1 = (1/det A)(K)Perhatikan, kofaktor unsur sebenarnya hanya soaltanda dari minor saut unsur. Jika indeksnya genap,tandanya + dan jika indeksnya ganjil, tandanyanegatip.Matematika Ekonomi 150 151. Contoh: Cari matriks kebalikan dari B = 4 1 -10 3 23 0 7Matriks kofaktor K= 3 20 20 3= 21 6 -9 - 0 7 3 73 0 -7 31 3 1 -14 -1 4 15 -8 12 -- 0 7 3 73 0 1 -14 -1 4 1 - 3 2 0 20 3Matematika Ekonomi151 152. Matriks putaran K = K = 21 -7 5 6 31 -8 -9 3 12Matriks kebalikan = B-1adalah: (1/det B)K.det (B) = (4)(3)(7) +(1)(2)(3) +(0)(0)(-1) B-1 = (1/99) 21 -7 5 -(-1)(3)(3) -(2)(0)(4)6 31 -8 -(1)(0)(7) = 99 -9 3 12Matematika Ekonomi152 153. Untuk menguji, maka: BB-1 = I4 1 -121/99 -7/99 5/99= 1 0 00 3 26/99 31/99 -8/99 0 1 03 0 7-9/99 3/99 12/99 0 0 1B B-1I Matematika Ekonomi 153 154. PENGGUNAAN MATRIKS KEBALIKAN DALAM EKONOMI (INPUT OUTPUT Analysis)Dalam analisis ekonomi dikenal keterkaitan antar in-dustri (atau sektor industri). Artinya output suatusektor dipakai untuk memenuhi sektor lain, dan me-menuhi permintaan akhir rumah tangga, pemerintah,pembentukan modal maupun ekspor. SementaraInput suatu sektor dibeli dari sektor lain.Matematika Ekonomi154 155. Dalam analisis ekonomi, sering hubungan antar satusektor dgn sektor lain dinyatakan dengan himpunanpersamaan linear. Contoh analisis input-outputLeontief.Dengan notasi matriks model I-O sbb:AX + F = X atauX - AX = F atau(I A)X = Fpers matriks LeontiefX = F/(I - A) = (I A)-1. F.Matriks kebalikanLeontief Matematika Ekonomi155 156. 0.2 0.3 0.2 , x1 ,10 Mis. Sektor perekonomian0.4 0.1 0.2 x25terdiri dari 3 sekt. Pert, Ind,0.1 0.3 0.2 x3 6 dan Jasa. AxF1 0 0 - 0.20.30.2= 0.8 -0.3 -0.20 1 0 0.40.10.2 -0.4 0.9 -0.20 0 1 0.10.30.2 -0.1 -0.3 0.8IA 0.8 -0.3 -0.2 x1 = 10-0.4 0.9 -0.2x25-0.1 -0.30.8 x36I-AFx Matematika Ekonomi156 157. Matriks Kofaktor dari (I A) adalah M11 -M12 M13 = 0.66 0.34 0.21 , K = 0.66 0.30 0.24-M21 M22 -M23 0.30 0.62 0.27 0.34 0.62 0.24 M31 -M32 M330.24 0.24 0.600.21 0.27 0.60(I A)-1 = 1/(det (I-A)K= 10.66 0.30 0.24 0.384 0.34 0.62 0.240.21 0.27 0.60 = 1.72 0.78 0.63 = R0.90 1.61 0.630.55 0.70 1.56 Matematika Ekonomi 157 158. Arti dari matriks kebalikan Leontief:Mis r12 = 0.78, artinya untuk menopang setiap per-mintaan akhir akan produk Industri, harusdiproduksi sebanyak 0.78 satuan produk pertanian.R23 = 0.68, artinya untuk menopang setiap permin-taan akhir akan produk Jasa, maka harus diproduk-si sebanyak 0.68 satuan produk Industri.Matematika Ekonomi 158 159. Vektor x adalah vektor permintaan akhir yaitu: (I A)-1F X = x1 = 1/0.384 [0.66(10) + 0.30(5) + 0.24(6)] = 24.84 x2 1/0.384 [0.34(10) + 0.62(5) + 0.24(6)] = 20.68 x3 1/0.384 [0.21(10) + 0.27(5) + 0.60(6)] = 18.36 Artinya: Berdasarkan permintaan akhir yang ada, maka dira- malkan output sektor pertanian, industri dan jasa masing- masing akan menjadi 24.84 satuan, 20.68 satuan dan 18.36 satuan. Dengan analogi yang sama, jika permintaan akhir mau di- naikkan, maka ramalan output tiap sektor dapat diketahui. Matematika Ekonomi159 160. Penutup: TUHAN Maha Tahutetapi tidak pernah memberi tahu !Mengapa ?Manusia sudah diberi pikirandan manusia adalah makhluk yang berpikir.Matematika merupakan sarana berpikirMatematika Ekonomi 160