matematika (1)

1

REPUBLIKA SRBIJA Visoka poslovna škola strukovnih studija Leskovac, Durmitorska 19 Tel. 016/254–961, faks: 016/242–536

MATEMATIKA

1. Cena neke robe je povećana za 10%, a zatim snižena za 10%. Ako je posle toga cena 99

dinara, kolika je bila prvobitna cena te robe? Rešenje: 1009999,0991,11,01,1 =⇔=⇔=⋅− xxxx . Prvobitna cena knjige je bila 100 dinara.

2. Knjiga je najpre poskupela za 10% a zatim za 20%. Koliko je procenata poskupela u odnosu na početnu cenu? Rešenje: xxx 32,11,12,01,1 =⋅+ . Knjiga je poskupela za 32%.

3. Od 350kg brašna dobija se 450kg hleba. Koliko procenata iznosi težina hleba prema težini brašna? Rešenje: G = 350, i = 450, p = 100i/G = 45000/350 = 900/7 = 128,57%.

4. Sa povećanjem od 25% roba košta 2500 din. Kolika je cena robe pre povećanja? Rešenje: x + 0,25x = 2500, 1,25x = 2500, x = 2500/1,25 = 250000/125 = 2000.

5. Cipele koje su koštale 3000 din poskupele su za 20%. Za koliko procenata treba smanjiti cenu cipela da bi ponovo koštale 3000 din. Rešenje: G = 3000, p = 20%, i = G⋅p/100 = 3000⋅20/100 = 600, G1 = G + i = 3600, p1 = ?, i1 = i = 600, p1 = 100i1 /G1 = 60000/3600 = 100/6 = 16,67%.

6. Izračunaj 1

20

9135

−− ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+ .

Rešenje: 29911

9135

120 =⋅+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅+

−− .

7. Izračunaj 2

33

2332

−

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− .

Rešenje: 2

33

2332

−

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

91)3(

83

827 2

2

=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= −

−

.

8. Izračunaj 432xxx

aaa ⋅⋅ za a ≠ 0.

Rešenje: 1213

12346

432432xxxxxxxxxx

aaaaaa ===⋅⋅++

++

9. Izračunaj x5n · x -6n · xn + 1 za x ≠ 0. Rešenje: x5n · x - 6n · xn + 1 = x 5n – 6n + n + 1 = x.

10. Izračunaj 222 )(8)(5)(3 abbaba −−+−− .

Rešenje: =+−−−=−−+−− 22222 )(5)(5)(8)(5)(3 babaabbaba 222222 1010)2(5)2(5 bababababa −−=++−+−−=

2

11. Rastavi na činioce 323 483 xax − . Rešenje: ).4)(4(3)16(3483 323323 +−=−=− aaxaxxax

12. Rastavi na činioce 22 996611 ayaxyax +−

Rešenje: 22222 )3(11)96(11996611 yxayxyxaayaxyax −=+−=+−

13. Rastavi polinom na činioce ynymxnxm 2222 −+− . Rešenje:

))()(())(()()( 22222222 nmnmyxnmyxyxnyxmynymxnxm +−+=−+=+−+=−+− .

14. Rastavi polinom na činioce 3333 )2(8 yxyx +=+ . Rešenje: )42)(()2(8 223333 yxyxyxyxyx +−+=+=+ .

15. Rastavi polinom na činioce 43 125yyx − . Rešenje: )5)(5())5((125 223343 yxyxyxyyxyyyx ++−=−=− .

16. Rastavi polinom na činioce 44 16yx − .

Rešenje: )4)(2)(2())2()()2(()2(16 2222224444 yxyxyxyxyxyxyx ++−=+−=−=− .

17. Odredi najmanji zajednički sadržalac za polinome .15 ;12 ;10 ;6 22 ababba Rešenje: Najmanji zajednički sadržalac za brojeve 6, 10, 12 i 15 je 60 a za a2, b2 i ab je a2b2, pa je za ababba 15 ;12 ;10 ;6 22 , najamanji zajednički sadržalac 60a2b2.

18. Odredi najmanji zajednički sadržalac za polinome 96 ;9 ;62 22 +−−− xxxx .

Rešenje: 222 )3(96);3)(3(9);3(262 −=+−+−=−−=− xxxxxxxx , pa je najmanji zajednički

sadržalac 2)3)(3(2 −+ xx .

19. Odredi najmanji zajednički sadržalac za polinome 22 ;33 ;55 yxyxyx −−+ .

Rešenje: ))(( );(333 );(555 22 yxyxyxyxyxyxyx +−=−−=−+=+ , pa je najmanji zajednički

sadržalac )(15 22 yx − .

20. Odredi najmanji zajednički sadržalac za polinome aaaaa 20105 ;4 ;8 2323 ++−− . Rešenje: );2)(2(4 );42)(2(28 22333 +−=−++−=−=− aaaaaaaa

)42(520105 223 ++=++ aaaaaa , pa je najmanji zajednički sadržalac )4)(42(5)2)(2)(42(5 222 −++=+−++ aaaaaaaaa .

21. Skrati razlomak xyxxyx

55

2

2

+

+ .

Rešenje: yxyx

yxxyxx

xyxxyx

55

)5()5(

55

2

2

++

=++

=+

+ .

22. Skrati razlomak 22

23

9248

babaa

−

− .

Rešenje: ba

ababa

baaba

baa3

8)3)(3(

)3(89

248 22

22

23

+=

+−−

=−

− .

3


963

2

−

+−

xxx .

Rešenje: )93(

)3()93)(3(

)3(27

9622

2

3

2

++

−=

++−

−=

−

+−

xxx

xxxx

xxx .


32

)4(16ba

aab+

− .

Rešenje: ba

baaba

babaaba

baaba

aab+−−

=+

+−−=

+

−−=

+

−4

)4()4(

)4)(4()4(

)16()4(

1622

22

2

32.

25. Izračunaj ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅

yz

xy

yxxyz

4236 .

Rešenje: 2

)364(12

3646423

62222 xzyxz

xyxzyxxyz

yz

xy

yxxyz −+

=−+

⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅ .

26. Izračunaj 3 23 .

Rešenje: 3 23 = 3 2 23 ⋅ = 6 18 = 1,62. 27. Izračunaj 811/4.

Rešenje: 811/4 = 184 = 3.

28. Izračunaj 3 52 ⋅ .

Rešenje: 3 52 ⋅ = 6 32 6 25 = 6 258 ⋅ = 6 200 =2,418.

29. Izračunaj 3 52 ⋅ .

Rešenje: 3 52 ⋅ = 6 3 52 ⋅ = 6 40 =1,849.

30. Dokaži jednakost 12)725(3 +=+ .

Rešenje: ( 2 +1)3=2 2 +6+3 2 +1=5 2 +7. 31. Dokazati da je 13log2log 66 =+ .

Rešenje: 16log32log3log2log 6666 ==⋅=+ . 32. Dokazati da je 05log125log25log2 =−− .

Rešenje: 01log5125

25log5log125log25log22

==⋅

=−− .

33. Dokazati da je 0256log218log2log =−+ .

Rešenje: 01616log

25682log256log

218log2log ==

⋅=−+ .

34. Izračunaj 25logloglog526

.

Rešenje: 01log2loglog25logloglog626526

=== .

35. Izračunaj x iz jednakosti 02loglog22

=+ xx

Rešenje: .2/12202log2log2loglog 02222

=⇒=⇒==⋅=+ xxxxxxx

4

36. Rešiti po x jednačinu cbax loglog3log21log3 +=+

Rešenje: ⇔−⋅=⇔+=+ acbxcbax log21loglogloglog3log

21log3 33

333

3 logloga

cbxa

cbx =⇔=⇔ .

37. Reši po x jednačinu cbax log21log5loglog3log2 ++=− .

Rešenje: cbaxacbxcbax 332 55logloglog21log5loglog3log2 =⇔⋅=⇔++=−

38. Reši po x jednačinu xx

x 252=−

+ .

Rešenje: 004252/2520 =⇔=−⇔=−+⇔⋅=−+

⇒≠ xxxxxxx

xx što je protivrečno uslovu

0≠x pa sledi da jednačina nema rešenje.

39. Reši po x jednačinu 63

112 +

=−+ yyy .

Rešenje: 161633)2(3/63

112

2 =−⇔=−−⇔+⋅+

=−+

⇒−≠ yyyyy

yy pa jednačina nema

rešenje.

40. Reši po x jednačinu xx 210

225

3−

=−−

Rešenje: 416424206)5(2/210

225

35 =⇔=⇔=+−⇔−⋅−

=−−

⇒≠ xxxxxx

x .

41. Reši sistem jednačina 124532

=+=−

yxyx

.

Rešenje: 98

124)2(/532

−=

=+−⋅=−

y

yxyx

1613

235 ;

89

=+

=−

=⇒yxy .

42. Reši sistem jednačina yx

yx23

073+=

=++.

Rešenje: yx

yx23

073+=

=++ 1207323073 −=∧−=⇒=+++⇔=++⇒ xyyyyx .


732−=−

=−yxyx

.

Rešenje: 5

375

1373)43(2732;4334 =∧=⇔=−+−⇔=−+−=⇒−=− xyyyyxyxyx .

5


=+−=−+

yxyx

.

Rešenje: 2/1;002

012012

==⇒=

=+−=−+

yxx

yxyx

.

45. Reši sistem jednačina 2 16 22

=−=−

yxyx

.

Rešenje: 5316)22(216))((16;22 22 =∧=⇒=+⋅⇔=+−⇔=−+=⇒=− xyyyxyxyxyxyx

46. Reši kvadratnu jednačinu x2 - 5x + 6 = 0. Rešenje: x1,2 = (5 ± 2425 − )/2 = (5± 1)/2, x1 = 2, x2 = 3.

47. Reši kvadratnu jednačinu 2x2 - 5x - 3 = 0.

Rešenje: 1 ,6 ,4

75 ,4

24255212,12,1 −==

±=

+±= xxxx

48. Reši kvadratnu jednačinu 25x2 - 9x = 0. Rešenje: 25/900)925(0925 2 =∨=⇔=−⇔=− xxxxxx .

49. Reši kvadratnu jednačinu x2 + 6x + 5 = 0. Rešenje: : x1,2 = (-6 ± 2036 − )/2, x1 = (-6 + 4)/2, x2 = (-6 - 4)/2, x1 = -1, x2 = -5.

50. Reši kvadratnu jednačinu (x + 5)2 = 0. Rešenje: (x+5)2 = 0 ⇔ x + 5 = 0 ⇔ x = -5.

51. Reši jednačinu: xx =+2 . Rešenje: xx =+2 , za x ≥ -2, 2 + x = x2, x2 – x – 2 = 0, : x1,2 = (1± 81+ )/2, x1 = 2, x2 = -1.

52. Reši jednačinu 06 =+− xx . Rešenje: 06 =+− xx , za x ≥ -6, xx += 6 , x2 – x – 6 = 0, x1,2 = (1± 241+ )/2, x1=3, x2 = -2.

53. Reši jednačinu 23 =+x . Rešenje: 23 =+x , za x ≥ -3, x + 3 = 4, x = 1.

54. Reši jednačinu 031 =−−x . Rešenje: 031 =−−x , ,31 =−x za x ≥ -1, x – 1 = 9, x = 10.

55. Reši jednačinu 0726 =−−−⋅ xx . Rešenje: za x – 2 ≥ 0, x ≥ 2, 726 +=−⋅ xx , 36(x – 2) = (x + 7)2, 36x – 72 = x2 +14x + 49, x2 - 22x + 121 = 0, x1,2 = (22± 484484 − )/2, x1 = x 2 =11.

56. Reši jednačinu 02739 5 =−⋅ −x . Rešenje: 02739 5 =−⋅ −x , 2739 5 =⋅ −x , 33 5 =⋅ −x , x – 5 = 1, x = 6.

57. Reši jednačinu po x 0 ,0312 ≠=− −− aaa xx . Rešenje: 0 ,0312 ≠=− −− aaa xx , ,312 xx aa −− = 2x – 1 = 3 – x, 3x = 4, x = 4/3.

58. Reši jednačinu 34 1010 += xx .

Rešenje: 34 1010 += xx ⇒ 4/x = x + 3, x2 + 3x – 4 = 0, x1,2 = (-3± 169 + )/2, x1,2 = (-3± 5)/2, x1 = 1, x2 = -4.

6

59. Reši jednačinu 224 25 =⋅ +x . Rešenje: 224 25 =⋅ +x ⇔ 222 252 =⋅ +x , 22 225 =++x ⇒ 5x + 4 = 1, x = -3/5.

60. Reši jednačinu 113 55125 −− =⋅ x . Rešenje: 113 55125 −− =⋅ x ⇔ 1133 555 −− =⋅ x ⇔ 5 23 +x =5 1− ⇒ 3x + 2 = -1, 3x = -3, x = -1.

61. Reši nejednačinu -3(2 - 6x) < 12 - 9x. Rešenje: -3(2 - 6x) <12- 9x ⇔ -6 + 18x < 12 - 9x ⇔ 27x < 18 ⇔ x < 2/3.

62. Reši nejednačinu 12x – 1 < 2(3 – x) . Rešenje: 12x – 1 < 2(3 – x) ⇔ 12x < 7 – 2x ⇔ 14x < 7 ⇔ x < 1/2.

63. Reši nejednačinu -5(2x + 8) > 13 + 4x. Rešenje: -5(2x + 8) > 13 + 4x ⇔ -10x – 40 > 13 + 4x ⇔ -14x > 53 ⇔ x < 53/14.

64. Reši nejednačinu (2x – 7)(3 – 5x) < 0. Rešenje: (2x – 7)(3 – 5x) < 0 ⇔ (2x – 7 < 0 ∧ (3 – 5x) >0) ∨ (2x – 7 >0 ∧ 3 – 5x < 0) ⇔ ⇔ (x < 7/2 ∧ x < 3/5) ∨ (x > 7/2 ∧ x > 3/5) ⇔ x <3/5 ∨ x > 7/2 ⇔ x ∈(-∞, 3/5) � (7/2, +∞).

65. Reši nejednačinu (10 – 5x)(2x – 8) > 0. Rešenje: (10 – 5x)(2x – 8) > 0 ⇔ (10 – 5x >0 ∧ 2x – 8 > 0) ∨ (10 – 5x < 0 ∨ 2x – 8 < 0) ⇔ ⇔ (x < 2 ∧ x > 4) ∨ (x > 2 ∧ x < 4) ⇔ x ∈ (2, 4)

66. Reši nejednačinu 092 <−x . Rešenje: 092 <−x ⇔ x2< 9 ⇔ -3 < x <3.

67. Reši nejednačinu 0252 >−x . Rešeje: 0252 =−x ⇔ x1,2 = ± 5 ⇒ 0252 >−x ⇔ x < -5∨ x > 5.

68. Reši nejednačinu 032 >−x . Rešenje: 032 >−x ⇔ x < - ,3 ∨ x > .3

69. Reši nejednačinu 044

2

2

<+−

xx .

Rešenje: 044

2

2

<+−

xx

⇔ x2 – 4 < 0 ⇔ -2 < x < 2.

70. Reši nejednačinu ( ) 12 2 <+x .

Rešenje: ( ) 12 2 <+x ⇔ -1< x+2 <1 ⇔ -3 < x <-1, ili x2 + 4x + 4 < 1 ⇔ x2 +4x+3 < 0 ⇔ -3<x<-1. 71. Napiši jednačinu prave koja na y osi odseca odasečak 3, a sa pozitivnim smerom x ose

obrazuje ugao od 135o. Rešenje: y = kx+ n, n = 3, k = tg135o = -1, y = -x +3.

72. Napiši jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M(-3,2) i koordinatni početak. Rešenje: y = kx+ n, 0 = k⋅ 0 + n ∧ 2 = -3k + n ⇒ n = 0, k = -2/3, y = -2x/3.

73. Napiši jednačinu prave koja odseca na x osi odsečak 3, a na y osi odsečak 2. Rešenje: x/m + y/n = 1, x/3 + y/2 = 1.

74. Napiši jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1,0) i B(2,3). Rešenje: )/())(( 121121 xxxxyyyy −−−=− ⇒ y – 0 = (3 – 0)(x – 1)/(2 – 1), y = 3(x – 1).

75. Napiši jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M(2,5) i: a) paralelna je x osi b) paralelna je y osi. Rešenje: a) y = 5, b) x = 2.

7

76. Izračunaj zbir prvih 5 članova niza 1/2, 1/4, 1/8, ...

Rešenje: a 1 =1/2, q = 1/2, n = 5, ⇒−−

=qqaS

n

n 1)1(1

3231

3211

211

)211(

21

5

5 =−−

−=S .

77. Izračunaj zbir prvih 8 članova niza 2, 6, 18, ... Rešenje: a 1 = 2, q = 3, S 8 = 2(3 8 -1)/(3-1) = 2(3 8 -1)/2=3 8 -1=81⋅ 81-1=6560.

78. Izračunaj zbir prvih 50 prirodnih brojeva. Rešenje: S 50 = n(n+1)/2 = 50⋅51/2=25⋅51=1275.

79. Odredi 135–ti po redu neparan broj. Rešenje: : a 1 = 1, d = 2, a n = a 1 + (n – 1)d, n = 135, a 135 = 1 + 134⋅2=269.

80. Odredi 120–ti po redu paran broj. Rešenje: a 1 = 2, d = 2, a n = a 1 + (n – 1)d, n = 120 , a 120 = 2 + 119⋅2=240.

81. Izračunaj sin135o – cos120o.

Rešenje: sin135o – cos120o = sin45 0 - (-cos60 0 ) = 2

1221

22 +

=+ .

82. Izračunaj α iz uslova 0 < α < π/2, 0cos23

=− α .

Rešenje: 0<α <π /2 ∧ 6

cos23 παα =⇔= .

83. Izračunaj sin120o + cos135o.

Rešenje: sin120o + cos135o = sin60 0 - cos45 0 =2

2322

23 −

=− .

84. Izračunaj α iz uslova 0 < α < π/2, tgα = 3

Rešenje: : 0<α <π /2 ∧ 3

3 παα =⇒=tg .

85. Izračunaj sin120o + tg135o.

Rešenje: sin120o + tg135o = 23 -1 =

223 − .

86. Reši jednačinu sinα = 1/2, (0 < α < π).

Rešenje: sinα = 1/2 ∧ (0<α<π) 6

56

παπα =∨= .

87. Dokaži identičnost (sinα + cosα)2 = 1 + sin2α. Rešenje: (sinα + cosα)2 = sin 2 α +2sinα cosα + cos 2 α = 1 + 2sinα cosα = = 1 + sin2α .

88. Izračunaj 6

cos6

sin 22 ππ+

Rešenje: 143

41

23

21

6cos

6sin

2222 =+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=+

ππ

89. Izračunaj 34

22 ππ ctgtg − .

Rešenje: 2)3(134

222 −=−=−ππ ctgtg

8

90. Izračunaj 2

3sin

6cos ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ππ .

Rešenje: 323

23

3sin

6cos

22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ππ .

91. Dokaži identičnost tgα ⋅ctgα = 1.

Rešenje: 1sincos

cossin

=⋅=⋅αα

αααα ctgtg .

92. Napiši iizraz 1+cos4α u funkciji od 2α. Rešenje: 1 + cos4α = 2cos 2 2α .

93. Dokaži identičnost: αα

αα

sincos1

cos1sin +

=−

.

Rešenje:Τ⇔=+⇔

⇔−=⇔+−=⇔+

=−

1cossin

cos1sin)cos1)(cos1(sinsin

cos1cos1

sin

22

222

αα

αααααα

αα

.

94. Napiši sinx kao funkciju od x/2.

Rešenje:2

cos2

sin2sin xxx = .

95. Napiši adicionu formulu cos(α – β). Rešenje: cos(α – β) = cosα cosβ + sinα sin β .

96. Dokaži identičnost αα

αα

cossin1

sin1cos +

=−

Rešenje: αααααα

αα 22 sin1)cos1)(sin1(cos

coscos1

sin1cos

−=+−=⇔+

=−

97. Napiši adicionu formulu sin(α – β). Rešenje: sin( βα − ) = sinα cos β -cosα sinβ .

98. Pretvori u proizvod zbir sin6x – sin2x. Rešenje: sin6x – sin2x = 2cos4x⋅ sin2x.

99. Napiši u obliku zbira sin9x⋅ cos3x. Rešenje: sin9x⋅cos3x = 1/2(sin12x + sin6x).

100. Napiši u obliku zbira sin5x⋅sinx. Rešenje: sin5x⋅sinx = -1/2(cos6x – cos4x).

matematika (1)

Documents