matematika 1 (baru)
TRANSCRIPT
Matematika 1 - bangrs 1
FUNGSI
Matematika 1 - bangrs 2
Definisi Fungsi
Suatu fungsi f dari X ke Y adalah suatu aturan di mana setiap anggota dari X menentukan dengan tunggal satu anggota dari Y.
Secara matematis :
Matematika 1 - bangrs 3
Pengertian
X dibawa ke f(x), maka y = f(x) didalam Y dinamakan peta (image) dari x atau dinamakan harga fungsi f di x.
Sebaliknya himpunan x di dalam X yang petanya adalah y elemen Y dinamakan peta invers (invers image) dari y, simbol f-1(y).
Matematika 1 - bangrs 4
Catatan
Fungsi tidak lain adalah pemetaan (mapping).
Peta invers mungkin bisa lebih dari satu elemen.
Matematika 1 - bangrs 5
Hasil Ganda Kartesis
Himpunan semua pasangan-pasangan berurutan atau ordered pairs (x,y) dengan x elemen X dan y elemen Y.
Contoh :
X = {x1,x2} dan Y = {y1, y2,y3}
X x Y = {(x1,y1), (x1,y2), x1,y3)
(x2,y1), (x2,y2), (x2,y3)
(x3,y1), (x3,y2), (x3,y3)}
Matematika 1 - bangrs 6
Komposisi Fungsi
Matematika 1 - bangrs 7
Grafik Fungsi
Grafik fungsi suatu f dari X ke Y ialah himpunan pasangan-pasangan berurutan (x, f(x)) dengan x berjalan pada X (x elemen X) dan f(x) berjalan pada Y (f(x) elemen Y)
y = f(x)
0
10
20
30
40
50
0 10
XY
Matematika 1 - bangrs 8
Variabel x dalam pasangan berurutan (x,y) disebut variabel bebas (independent variable) atau argumen dari f, sedangkan y dinamakan variabel tak bebas (dependent variable).
Dalam pemakaian, domain dari variabel disajikan dengan interval ( himpunan bagian dari himpunan real).
Interval : buka, tutup-buka, buka-tutup, tutup.
Variabel Bebas dan Tak Bebas
Matematika 1 - bangrs 9
Ilustrasi Interval
Matematika 1 - bangrs 10
Contoh
Matematika 1 - bangrs 11
Contoh
Matematika 1 - bangrs 12
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs 13
LIMIT & KEKONTINUAN
Matematika 1 - bangrs 14
Pemanasan
Jika2x3x
1x2x3)x(f
2
2
Tentukan :
)x(flim)A(3x
)x(flim)B(1x
)x(flim)C(2x
Matematika 1 - bangrs 15
Definisi
f(x) dikatakan mempunyai limit L untuk
x x0, bila setiap bilangan positif h yang diberikan, dapat ditunjukkan bilangan positif d sedemikian hingga untuk semua harga x yang memenuhi 0 < |x – x0| < d berlaku
|f(x) – L| < h. Pernyataan 0 < |x – x0| < d berarti untuk
semua x yang memenuhi x0 – d < x < x0 + .d
Matematika 1 - bangrs 16
Ilustrasi
Matematika 1 - bangrs 17
Matematika 1 - bangrs 18
Contoh
Matematika 1 - bangrs 19
Kontinuitas
Matematika 1 - bangrs 20
Kontinuitas
Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x0 jika limit kiri dan limit kanan dari f(x) adalah sama.
Fungsi f(x) adalah kontinu di titik x = x0, bila untuk setiap h > 0 dapat dicari bilangan positif d sedemikian hingga |f(x) – f(x0)| < h untuk |x – x0| < d atau x0 – d < x < x0 + d.
Matematika 1 - bangrs 21
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs 22
DIFERENSIAL(Turunan)
Matematika 1 - bangrs 23
Turunan Fungsi Aljabar
Matematika 1 - bangrs 24
Secara Geometri
Matematika 1 - bangrs 25
Matematika 1 - bangrs 26
Turunan Baku
Matematika 1 - bangrs 27
Matematika 1 - bangrs 28
Fungsi dari Suatu Fungsi
Matematika 1 - bangrs 29
Matematika 1 - bangrs 30
Perkalian & Pembagian
Matematika 1 - bangrs 31
Contoh
Matematika 1 - bangrs 32
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs 33
Bagaimana jika fungsinya lebih dari dua? Contoh :
y = uvw y = uv/w y = u/vw y = tu/vw Dll.
di mana t, u, v, w adalah fungsi dalam x. Solusi : memakai turunan logaritmik (natural)
Matematika 1 - bangrs 34
Contoh
Matematika 1 - bangrs 35
Soal-soal Terapan
Matematika 1 - bangrs 36
Fungsi Implisit
Jika y terdefinisi sepenuhnya oleh x maka y disebut fungsi eksplisit dari x. Contoh :
y = x4 – 3x2 + 1 Y = 3x2 + cos x
Kadang tidak dapat/tidak perlu y dipisah sendiri, maka y disebut fungsi implisit dari x. Contoh :
y = xy + sin y – 2 x2 + 2xy + 3y2 = 4
Matematika 1 - bangrs 37
Contoh :
Matematika 1 - bangrs 38
Soal-soal Campuran
Matematika 1 - bangrs 39
Titik Balik (maks/Min)
Macam-macam : Titik maksimum Titik minimum Titik belok
Titik balik : turunan pertama = nol Turunan kedua :
Negatif titik maksimum Positif titik minimum Nol titik belok
Matematika 1 - bangrs 40
Ilustrasi
y=f(x)=x^3/3-25*x+6
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-15 -10 -5 0 5 10 15
y
d2y/dx2=2*x
-25-20-15-10-505
10152025
-15 -10 -5 0 5 10 15
x
y dy2
dy/dx=x^2-25
-40
-20
0
20
40
60
80
-15 -10 -5 0 5 10 15
x
y dy
Matematika 1 - bangrs 41
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs 42
Soal cerita
Matematika 1 - bangrs 43
Turunan Parsial Misal z = f(x,y) = x2-4xy+y3
Variabel x dan y merupakan fungsi dari variabel z Variabel z bergantung pada variabel x dan y Variabel z dipengaruhi oleh variabel x dan y
Bagaimana perubahan z terhadap x jika y konstan?
Bagaimana perubahan z terhadap y jika x konstan?
Bagaimana perubahan z thd y, kemudian thd x
yxx
z42
234 yxy
z
434 22
yxxy
z
xyx
z
Matematika 1 - bangrs 44
Soal-soal
Tentukan
Tentukan nilai a dan b berdasarkan informasi data sampel berpasangan (x,y).
3
2 )4(
z
xyxw
3
322 )4(
z
xyxw
3
32
2 )23()4
(
yz
yzxz
xyx
w
2
1
)( ii
n
i
bxayE
zyx
wd
xy
w
yx
wd
z
w
y
w
x
w
322
,,,,,
Matematika 1 - bangrs 45
INTEGRAL
Matematika 1 - bangrs 46
Apa beda sigma & integral?
Matematika 1 - bangrs 47
Integral Baku
Matematika 1 - bangrs 48
Contoh
cedxe xx 55
5
1
cxdxx 76
7
44
cxdxxdxx 2
3
2
1
3
2
cxxdx cosh2sinh2
cxdxx
ln55
cdxx
x 5ln
55
Matematika 1 - bangrs 49
Fungsi Suatu Fungsi Linier
Matematika 1 - bangrs 50
Integral dalam bentuk f’(x)/f(x) dan f(x)f’(x)
Matematika 1 - bangrs 51
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs 52
Integral Parsial
Matematika 1 - bangrs 53
Contoh
Matematika 1 - bangrs 54
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs 55
Integral Dengan Pecahan Parsial
Matematika 1 - bangrs 56
Contoh
Matematika 1 - bangrs 57
Contoh
Matematika 1 - bangrs 58
Soal-soal
Matematika 1 - bangrs 59
Integral Lipat Dua
Matematika 1 - bangrs 60
DETERMINAN
Ronny Susetyoko
Matematika 1 - bangrs 61
Definisi
Asumsikan A adalah suatu matriks bujur sangkar, fungsi determinan, det(A) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.
atau Determinan ordo n ialah suatu skalar yang
terkait dengan sebuah matriks bujur sangkar A yang berordo n.
Notasi :
det(A) atau |A| atau |aij|
Matematika 1 - bangrs 62
Contoh
Matematika 1 - bangrs 63
Minor & Kofaktor Determinan
Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka Minor elemen aij (Mij) didefinisikan sebagai determinan sub-matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan
Kofaktor elemen aij dinyatakan sebagai kij = (-1)i+j Mij
Matematika 1 - bangrs 64
Menghitung Minor dan Kofaktor
Matematika 1 - bangrs 65
Beda Kofaktor & Minor
Kofaktor dan minor suatu elemen aij hanya berbeda tanda. Jika pangkatnya genap maka kij=mij, sebaliknya jika pangkatnya ganjil maka kij = -mij. Lebih mudahnya apakah kofaktor bertanda + atau – adalah menggunakan ’papan periksa’ sebagai berikut :
Matematika 1 - bangrs 66
Nilai Determinan
a). Aturan Sarrus (n <= 3)
Matematika 1 - bangrs 67
Nilai Determinan
b). Ekspansi Laplace (n >= 3)
Nilai determinan adalah jumlah perkalian elemen-elemen dari sebarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya.
Matematika 1 - bangrs 68
Contoh : Dari soal sebelumnya,
Ekspansi Laplace baris ke – 1 :
Coba gunakan ekspansi Laplace pada baris-baris atau kolom-kolom yang lain, kemudian bandingkan hasilnya!
Tips : Pilih baris atau kolom yang banyak mengandung elemen nol.
Matematika 1 - bangrs 69
Sifat-Sifat Determinan
1. det(A) = 0 jika dalam suatu baris/kolom semua elemennya nol
2. det(A) = det(AT)
Matematika 1 - bangrs 70
Sifat-Sifat Determinan
3). Nilai determinan menjadi k kali bila dalam satu baris/kolom dikalikan dengan k (suatu skalar).
Dari soal sifat 2), baris 1 dikalikan dengan 5 menjadi :
Matematika 1 - bangrs 71
Sifat-Sifat Determinan
4. det(A) = 0 jika 2 baris/kolom sebanding.
5. Nilai determinan berubah tanda jika dua baris/kolom ditukar tempatnya
Matematika 1 - bangrs 72
Sifat-Sifat Determinan
6). Nilai determinan tidak berubah jika baris/kolom ke – i ditambah k kali baris/kolom ke – j.
Dari soal sifat 6), baris 1 ditambah 3 kali baris 2 :
7). Elemen sebuah baris/kolom memuat 2 buah suku maka determinan tersebut dapat ditulis sebagai jumlah determinan.
Matematika 1 - bangrs 73
Teorema
Jika A adalah matriks segitiga n x n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka det(A) adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya, yaitu det(A) = a11a22...ann .
Catatan Untuk mempermudah perhitungan nilai determinan, dapat menggunakan sifat-sifat tersebut.
Matematika 1 - bangrs 74
Contoh
Matematika 1 - bangrs 75
Sifat-Sifat Lain
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ukuran yang sama, maka det(AB) = det(A) det(B).
Suatu matriks bujur sangkar ada inversnya jika det(A) 0.
Jika A dapat diinverskan, maka :
Matematika 1 - bangrs 76
Manfaat
penyelesaian sistem persamaan linier menghitung matriks invers menentukan karakteristik suatu sistem
linier
Matematika 1 - bangrs 77
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Matematika 1 - bangrs 78
Sistem Persamaan Linier Berbentuk Ax = lx
Banyak aplikasi aljabar linier yang membahas masalah sistem n persamaan linier dalam n peubah yang dinyatakan dalam bentuk :
Ax = lx{A matriks bujur sangkar, x vektor, dan l suatu skalar}
Sistem ini merupakan sistem linier homogen tersamar, karena dapat ditulis ulang sebagai :Ax = lx Ax – lx = 0 atau dengan menyelipkan matriks identitas dan memfaktor-kannya :
(A - lI )x = 0 *)
Matematika 1 - bangrs 79
Contoh
Matematika 1 - bangrs 80
Yang Menarik?
Masalah utama yang menarik dalam sistem linier *) adalah menentukan nilai-nilai l di mana sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian tak-trivial. Nilai l disebut suatu nilai karakteristik atau nilai eigen dari A. Maka penyelesaian tak trivial dari *) disebut vektor eigen dari A yang berpadanan dengan l.
Sistem (A - lI )x = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika :
disebut persamaan karakteristik
Catatan : eigen value, campuran bahasa Jerman & Inggris, yang berarti nilai yang tepat atau akar laten atau akar ciri.
Matematika 1 - bangrs 81
Soal Latihan
Matematika 1 - bangrs 82
Soal Latihan
Matematika 1 - bangrs 83
Soal Latihan
Matematika 1 - bangrs 84
MATRIKS
Matematika 1 - bangrs 85
Definisi
Himpunan skalar dari bilangan real/ kompleks yang disusun dalam empat persegi panjang menurut baris/kolom.
Matematika 1 - bangrs 86
Operasi Matriks
Penjumlahan (syarat : ordo sama) Perkalian skalar dengan matriks Perkalian matriks
(syarat : jumlah kolom matriks-1 = jumlah baris matriks-2)
Matematika 1 - bangrs 87
Hukum-Hukum
1. A(B + C) = AB + AC H. Distributif I
2. (A + B)C = AC + AB H. Distributif II
3. A(BC) = (AB)C H. Asosiatif
4. AB BA general
5. AB = 0 tidak harus A = 0 atau
B = 0 atau A & B nol.
6. Jika AB = AC belum tentu AB = AC atau B = C
Matematika 1 - bangrs 88
Jenis-Jenis Matriks
1. Matriks Bujur sangkar (jumlah baris = jumlah kolom)
2. Matriks Diagonal
Matematika 1 - bangrs 89
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs 90
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs 91
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs 92
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs 93
Jenis-Jenis Matriks
Matematika 1 - bangrs 94
Jenis-Jenis Matriks Yang Lain
Matriks Bidiagonal Atas Matriks Bidiagonal Bawah Matriks Tridiagonal Matriks Hermitian Matriks Singular dll.
Matematika 1 - bangrs 95
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Metode grafis ( maksimum 3 variabel) Eliminasi Subtitusi Determinan Eliminasi Gauss Gauss-Jordan Gauss-Seidel Dll.
Matematika 1 - bangrs 96
Operasi Dasar
Operasi Dasar Persamaan Pertukaran tempat dua persamaan Perkalian persamaan dengan konstanta bukan nol Penjumlahan kelipatan persamaan yang satu ke
persamaan lain Operasi Dasar Baris
Pertukaran tempat dua baris Perkalian baris dengan konstanta bukan nol Penjumlahan kelipatan baris yang satu dengan yang lain.
Juga disebut Operasi Baris Elementer (OBE)
Matematika 1 - bangrs 97
Rank (Pangkat) Matriks
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks
Banyaknya maksimum vektor-vektor kolom yang bebas linier dalam suatu matriks
Jika matriks bujur sangkar : ordo minor terbesar suatu matriks yang determinannya tidak nol.
Matematika 1 - bangrs 98
Kebebasan dan ketidakbebasan linier
Bebas linier jika p baris mempunyai rank p. Tidak bebas linier jika rank < p.
Matematika 1 - bangrs 99
Solusi Sistem Persamaan Linier
Tidak mempunyai solusi jika matriks A dan matriks augmented A mempunyai rank yang sama.
Solusi tunggal, jika rank-nya sama dengan jumlah variabel ( r = n).
Jika r < n maka sistem mempunyai solusi tak berhingga.
Jika solusi ada maka dapat diselesaikan dengan Eliminasi Gauss.
Matematika 1 - bangrs 100
Penerapan Soal-soal terapan H. Kirrchoff I dan II ( T.
Elektronika) Transformasi Linier Curve Fititing (Interpolasi & Regresi Linier) Markov Chains Programa Linier Assignment (Penugasan) Database Analisis Komponen Utama (termasuk Trans.Linier) Catt. Lebih detail akan dijelaskan di mata kuliah
Aljabar Matriks.
Matematika 1 - bangrs 101
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan pengembangan dari dari cara eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Cara eliminasi ini sudah banyak dikenal. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik .
Matematika 1 - bangrs 102
Augmented Matrix
Matematika 1 - bangrs 103
Matematika 1 - bangrs 104
Matematika 1 - bangrs 105
Matematika 1 - bangrs 106
VEKTOR
Matematika 1 - bangrs 107
Matematika 1 - bangrs 108
Matematika 1 - bangrs 109
Matematika 1 - bangrs 110
Matematika 1 - bangrs 111
Matematika 1 - bangrs 112
Matematika 1 - bangrs 113
Matematika 1 - bangrs 114
BILANGAN KOMPLEKS
Matematika 1 - bangrs 115
Matematika 1 - bangrs 116
Matematika 1 - bangrs 117
Matematika 1 - bangrs 118
Matematika 1 - bangrs 119
Matematika 1 - bangrs 120
Matematika 1 - bangrs 121
Matematika 1 - bangrs 122
Matematika 1 - bangrs 123
Matematika 1 - bangrs 124
Matematika 1 - bangrs 125