1. logika matematika
TRANSCRIPT
![Page 1: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/1.jpg)
@fajardelli
LOGIKA MATEMATIKA
![Page 2: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/2.jpg)
I. PROPOSISI & OPERASINYA
![Page 3: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/3.jpg)
Definisi 1.1 Proposisi
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya. Kebenaran atau kesalahan dari nilai kebenaran disebut dengan nilai kebenaran (truth value).
![Page 4: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/4.jpg)
Contoh 1.1
No Kalimat Deklaratif Proposisi Nilai
Ya Bukan Benar (T)
Salah (F)
1 3 + 3 = 6
2 Bandung merupakan Ibukota Provinsi Jambi
3 Kemarin hari hujan
4 Kehidupan hanya ada di bumi
5 Jam berapa sekarang?
6 x + 3 = 6
7 x + y = y + x untuk setiap x & y bilangan Real.
![Page 5: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/5.jpg)
Contoh 1.1
No Kalimat Deklaratif Proposisi Nilai
Ya Bukan Benar (T)
Salah (F)
1 3 + 3 = 6 √ - √ -
2 Bandung merupakan Ibukota Provinsi Jambi
√ - - √
3 Kemarin hari hujan √ - ? ?
4 Kehidupan hanya ada di bumi √ - ? ?
5 Jam berapa sekarang? - √ - -
6 x + 3 = 6 - √ - -
7 x + y = y + x untuk setiap x & y bilangan Real.
√ - √ -
![Page 6: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/6.jpg)
Latihan 1.1
No Kalimat Deklaratif Proposisi Nilai
Ya Bukan Benar (T)
Salah (F)
1 Bumi itu datar
2 f(x) = 2x + 4
3 Untuk sembarang bilangan bulat positif n, maka 2n adalah bilangan genap
4 Suhu ruangan 27° C
5 Buanglah sampah di tempatnya!
6 4 + 4 = 16
7 Pemuda itu tampan
![Page 7: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/7.jpg)
Latihan 1.1
No Kalimat Deklaratif Proposisi Nilai
Ya Bukan Benar (T)
Salah (F)
1 Bumi itu datar √ - - V
2 f(x) = 2x + 4 - √ - -
3 Untuk sembarang bilangan bulat positif n, maka 2n adalah bilangan genap
√ √
4 Suhu ruangan 27° C √
5 Buanglah sampah di tempatnya!
√
6 4 + 4 = 16 √ √
7 Pemuda itu tampan √ ? ?
![Page 8: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/8.jpg)
Mengkombinasikan Proposisi
Operator Logika
Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan preposisi.
Preposisi Majemuk
Proposisi baru yang diperolah dari pengkombinasian.
Proposisi Atomik
Proposisi yang bukan merupakan kombinasi proposisi lain.
→ Proposisi Majemuk disusun dari proposisi-preposisi atomik
![Page 9: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/9.jpg)
Definisi 1.2 Konjungsi, Disjungsi & Negasi
Misalkan p dan q adalah proposisi.Konjungsi (konjunction) p dan q, dinotasikan
, adalah proposisi p dan q Disjungsi (Disjunction) p dan q, dinotasikan
, adalah proposisi p atau q Ingkaran/Negasi (Negation) p, dinotasikan ~p
adalah proposisi tidak p
(Notasi Lain : )
![Page 10: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh 1.2
p : Orang itu baik
q : Orang itu wangi
Maka
: Orang itu baik dan wangi
: Orang itu baik atau wangi
~q : Orang itu bau
![Page 11: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/11.jpg)
Latihan 1.2
p : Orang itu cantik
q : Orang itu tinggi
Maka
:
:
:
:
:
:
:
:
![Page 12: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/12.jpg)
Latihan 1.2
p : Orang itu cantik
q : Orang itu tinggi
Maka
: Orang itu cantik dan tinggi
: Orang itu cantik atau tinggi
: Orang itu pendek
: Orang itu tidak cantik atau tidak tinggi
: Orang itu tidak pendek
: Orang itu cantik, atau orang itu jelek atau pendek
: Orang itu cantik tapi tidak tinggi
: Tidak benar bahwa orang itu jelek dan pendek
![Page 13: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/13.jpg)
Definisi 1.3 Nilai Kebenaran (dan, atau, not)
Misalkan p dan q adalah proposisi. Konjungsi , bernilai benar jika p dan
q keduanya benar, selain itu nilainya salah. Disjungsi , bernilai salah jika p dan
q keduanya salah, selain itu nilainya benar. Negasi –p, bernilai benar jika p salah,
sebaliknya bernilai salah jika p benar.
![Page 14: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/14.jpg)
Tabel Kebenaran
Ctt:• T = True/Benar• F = False/Salah
Ctt:• T = True/Benar → T, B, 1• F = False/Salah → F, S, 0
![Page 15: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh 1.3
Jika p dan q adalah proposisi, buatlah tabel kebenaran dari ekspresi logika berikut:
![Page 16: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/16.jpg)
Latihan 1.3
Jika p,q dan r adalah proposisi, buatlah tabel kebenaran dari ekspresi logika berikut:
![Page 17: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/17.jpg)
Definisi 1.4 Tautologi & Kontradiksi
Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus (Notasi T), sebaliknya disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus (Notasi F),.
Definisi 1.5 Ekivalen
Dua buah proposisi majemuk P(p,q,…) dan Q(p,q,…) disebut ekivalen secara logika bila keduanya memiliki tabel kebenaran yang identik.
Notasi : P(p,q,…) ≡ Q(p,q,…)
![Page 18: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/18.jpg)
Latihan 1.4
Periksa kebenaran proposisi majemuk berikut kemudian tentukan apakah proposi majemuk tersebut merupakan tautologi, kontradiksi atau ekivalensi dengan proposisi majemuk yang lain.
![Page 19: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/19.jpg)
T, TAUTOLOGI F, KONTRADIKSI
Q≡S
![Page 20: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/20.jpg)
Definisi 1.6 (Disjungsi Ekslusif)
Misalkan p dan q adalah proposisi.Ekslusif or p dan q (notasi : p q) bernilai benar bila hanya salah satu dari p dan q benar. Selain itu nilainya salah
![Page 21: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/21.jpg)
HUKUM-HUKUM LOGIKA PROPOSISI
![Page 22: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/22.jpg)
Latihan 1.5
1. Buktikan Hukum-hukum Logika Proposisi tersebut Ekivalen.
2. Dengan menggunakan hukum-hukum logika proposisi, tunjukan bahwa pv-(pvq) dan p v-q keduanya ekivalen secara logika
![Page 23: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/23.jpg)
(aljabar OR numerik) AND matematika
![Page 24: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/24.jpg)
![Page 25: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/25.jpg)
Tugas Kuliah 1
Kerjakan Latihan Hal 42 – 43 No. 1 - 8
![Page 26: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/26.jpg)
Definisi 1.7 Proposisi Bersyarat
Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk “jika p, maka q” disebut proposisi bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan:
p → qProposisi p disebut Hipotesis (antesenden/ premis/ kondisi)
Proposisi q disebut Konklusi (konsekuen)
![Page 27: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh 1.7
p : pukul 8.00
q : bel sekolah berbunyi
p → q : Jika pukul 8.00 maka bel
sekolah berbunyi
![Page 28: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/28.jpg)
p → q• Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi
• Jika pukul 8.00, bel sekolah berbunyi
• Pukul 8.00 mengakibatkan bel sekolah berbunyi
• Pukul 8.00 syarat cukup agar bel sekolah berbunyi
• bel sekolah berbunyi syarat perlu bagi pukul 8.00
• bel sekolah berbunyi bilamana pukul 8.00
• Bel sekolah berbunyi jika pukul 8.00
![Page 29: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/29.jpg)
p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi Kasus 1
Saat ini pukul 8.00 dan bel sekolah berbunyi.
Pernyataan guru benar
Kasus 2
Saat ini pukul 8.00 dan bel sekolah tidak berbunyi
Pernyataan guru salah
Kasus 3
Saat ini bukan pukul 8.00 (pukul 12.00) dan bel sekolah berbunyi
Pernyataan guru benar karena agar bel berbunyi tidak hanya
ketika jam 8.00 tetapi saat istirahat dan pulang sekolah.
Kasus 4
Saat ini bukan pukul 8.00 (pukul 7.00) dan bel sekolah tidak berbunyi
pernyataan guru benar
Nilai Kebenaran Operasi “→”
![Page 30: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/30.jpg)
p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi Kasus 1
Saat ini pukul 8.00 dan bel sekolah berbunyi.
Pernyataan guru benar
Kasus 2
Saat ini pukul 8.00 dan bel sekolah tidak berbunyi
Pernyataan guru salah
Kasus 3
Saat ini bukan pukul 8.00 (pukul 12.00) dan bel sekolah berbunyi
Pernyataan guru benar karena agar bel berbunyi tidak hanya
ketika jam 8.00 tetapi saat istirahat dan pulang sekolah.
Kasus 4
Saat ini bukan pukul 8.00 (pukul 7.00) dan bel sekolah tidak berbunyi
pernyataan guru benar
Nilai Kebenaran Operasi “→”
![Page 31: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/31.jpg)
Contoh Program
“”””Program Pangkat”””” Input : #include <stdio.h> int pangkat (int a,int b) {int i, bil = a;
if(b==1)return a; else{ for (i=2;i<=b;i++)a = a * bil;return a;}} void main() { int x,y,hasil;printf("Masukan Sebuah Bilangan:"); scanf("%i",&x); printf("Masukan Nilai Pangkat:") ;scanf("%i",&y); hasil = pangkat (x,y);printf("Hasil Pangkatnya adalah : %i",hasil);}
![Page 32: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/32.jpg)
LATIHAN 1.7
Kerjakan Soal No 9, 10, 13 (Hal 44-45)
![Page 33: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/33.jpg)
Def. 1.8 Varian Proposisi Bersyarat
![Page 34: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/34.jpg)
Def. 1.8 Varian Proposisi Bersyarat
![Page 35: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/35.jpg)
Implikasi ≡ kontraposisi
p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi
-q → -p : Jika bel sekolah tidak berbunyi maka bukan pukul 8.00
![Page 36: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/36.jpg)
Def. 1.9 Biimplikasi (bikondisional)
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Proposisi Majemuk “p jika dan hanya jika
q” disebut sebagai Biimplikasi/
Bikondisional dengan notasi : p↔q.
Pernyataan p↔q benar bila memiliki nilai
kebenaran yang sama.
![Page 37: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/37.jpg)
Def. 1.9 Biimplikasi (bikondisional)
![Page 38: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/38.jpg)
Contoh 1.9 Biimplikasi
PERNYATAAN IMPLIKASI p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi p → q : Bel sekolah berbunyi, Jika pukul 8.00
PERNYATAAN BIIMPLIKASI p↔ q : pukul 8.00 Jika dan Hanya Jika bel sekolah
berbunyi q ↔p : Bel sekolah berbunyi Jika dan Hanya Jika pukul 8.00
ARTINYA
p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi
dan
q → p : Jika bel sekolah berbunyi maka pukul 8.00
![Page 39: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/39.jpg)
Contoh 1.9 Biimplikasi
PERNYATAAN IMPLIKASI p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi p → q : Bel sekolah berbunyi, Jika pukul 8.00
PERNYATAAN BIIMPLIKASI p↔ q : pukul 8.00 Jika dan Hanya Jika bel sekolah
berbunyi q ↔p : Bel sekolah berbunyi Jika dan Hanya Jika pukul 8.00
ARTINYA p → q : Jika pukul 8.00 maka bel sekolah berbunyi
dan q → p : Jika bel sekolah berbunyi maka pukul 8.00
![Page 40: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/40.jpg)
Perbandingan
![Page 41: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/41.jpg)
Contoh 1.9 Biimplikasi
![Page 42: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/42.jpg)
Tugas Kuliah 2
Kerjakan Latihan Hal 44 – 45
No. 14, 16, 17, 18, 19
![Page 43: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/43.jpg)
1.10 Inferensi
Proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi
1.Modus Ponen
2.Modus Tollen
3.Silogisme Hipotesis
4.Silogisme disjungtif
5.Simplifikasi
6.Penjumlahan
7.Konjungsi
![Page 44: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/44.jpg)
1.10.1 Modus Ponen
Dasar : Tautologi
ContohJika nilai ujian di atas 80 maka nilai Mutu = A
Nilai ujian = 84 .
Nilai Mutu = A
![Page 45: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/45.jpg)
1.10.2 Modus Tollen
Dasar : Tautologi
ContohJika nilai ujian di atas 80 maka nilai Mutu = A
Nilai Mutu ≠ A .
Nilai Ujian di bawah (atau sama dengan) 80
![Page 46: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/46.jpg)
1.10.3 Silogisme Hipotesis
Dasar : Tautologi
ContohJika saya belajar giat maka cepat lulus kuliah
Jika saya cepat lulus kuliah maka saya cepat menikah
Jika saya belajar giat maka saya cepat menikah
![Page 47: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/47.jpg)
1.10.4 Silogisme Disjungtif
Dasar : Tautologi
ContohSaya Belajar giat atau saya kerja tahun depan
Saya malas belajar .
Saya kerja tahun depan
![Page 48: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/48.jpg)
1.10.5 Simplifikasi
Dasar : Tautologi
ContohBudi Mahasiswa IPB dan Unpak
Budi Mahasiawa IPB
Budi Mahasiswa IPB dan Unpak
Budi Mahasiawa Unpak
![Page 49: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/49.jpg)
1.10.6 Penjumlahan
Dasar : Tautologi
Contoh Saya mahasiswa Unpak
Saya mahasiswa Unpak atau Artis hollywood
![Page 50: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/50.jpg)
1.10.7 Konjungsi
Dasar : Tautologi
ContohDeni mengambil kuliah logika matematika
Deni mengambil kuliah matematika komputasi
Deni mengambil kuliah logika matematika dan matematika komputasi
![Page 51: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/51.jpg)
1.11. Argumen (Defenisi)
Argumen adalah suatu deret proposisi yang dituliskan sebagai :
Hipotesis(Premis)
Atau
KonklusiSebuah argumen dikatakan sahih jika konklusi benar bila mana hipotesis benar (atau Tautologi pada implikasi argumen); sebaliknya argumen dikatakan palsu atau invalid
![Page 52: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/52.jpg)
Memeriksa Kebenaran Argumen
1. Cek kesesuaiannya dengan modus/kaidah yang ada
2. Gunakan Defenisi Argumen
3. Periksa implikasi argumen
![Page 53: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/53.jpg)
Periksa Kesahihan Argumen Berikut
Jika Gelas Pecah Maka Ibu Marah
Ibu Marah . Gelas Pecah
![Page 54: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/54.jpg)
Contoh 1.11.1
Jika air laut surut setelah gempa di laut maka tsunami datang
Air laut surut setelah gempa dilaut ,
karena itu tsunami datang.
![Page 55: 1. LOGIKA MATEMATIKA](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061523/557202404979599169a33682/html5/thumbnails/55.jpg)
Contoh 1.11.2
Jika air laut surut setelah gempa di laut maka tsunami datang
Tsunami datang ,
air laut surut setelah gempa di laut.