matematičko određivanje fraktalne dimenzije:

Download Matematičko određivanje fraktalne dimenzije:

Post on 11-Jan-2016

35 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

- PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

  • SVEUILITE U ZAGREBUFAKULTET KEMIJSKOG INENJERSTVAI TEHNOLOGIJE

    ZAVOD ZA MATEMATIKUUvod u matematike metode u inenjerstvu

    SEMINARSKI RADFraktali

    VODITELJI: STUDENTI: Dr. sc. Ivica Gusi Igor BokinacDr. sc. Miroslav Jerkovi Mak Avdi

    Zagreb, lipanj 2011.

  • UVOD:

    Fraktali su skupovi toaka kojima je fraktalna dimenzija vea od topoloke dimenzije. Konane su povrine i beskonanog opsega. Naziv je skovao Benoit Mandelbrot 1975. godine od latinskog pridjeva fractus to znai razlomljen.

    Fraktali imaju tri vana svojstva: - slinost samome sebi - fraktalnu dimenziju - oblikovanje iteracijom

  • Matematiko odreivanje fraktalne dimenzije:Fraktalnu dimenziju sebi slinog skupa definiramo s: d = log(P) / log(s) (1)gdje se objekt (skup) sastoji od P kopija samog sebe za faktor s. Ova definicija vrijedi samo za sebi sline skupove.Skup S ima topoloku dimenziju d, ako svaka toka u S ima po volji malu okolinu ije granice dodiruju S u skupu dimenzije d-1, a d je najvei pozitivni cijeli broj za kojeg ovo vrijedi.

  • Fraktale je mogue klasificirati prema nainu nastajanja i to na iterativne, rekurzivne i sluajne (random).Iterativni fraktali(Kochova krivulja) posjeduju najvei stupanj samoslinosti tzv. potpunu samoslinost. Bez obzira na to koji dio smo uveali uvijek emo dobiti sliku koja je identina poetnoj.Rekurzivni fraktali(Mandelbrotov skup, slika 2.) su fraktali koje dobivamo iz rekurzivnih relacija. Oni posjeduju svojstvo kvazisamoslinosti, to znai da je fraktal priblino ali ne potpuno jednak na razliitim razinama.Sluajni (random) fraktali(cvjetaa)posjeduju najmanji stupanj samoslinosti tzv. statistiku samoslinost. Nalazimo ih svugdje u prirodi. Slika 1. Brokula kao primjer sluajnog fraktala

  • Slika 2. Fraktal je objekt koji pokazuje slinost samome sebi uveanjem jednog dijela fraktala dobivamo strukturu koja je,u stvari, umanjena verzija poetnog dijela fraktala.

  • PRIMJER ITERATIVNOG FRAKTALA: IGRA KAOSA

    Zadan je trokut ABC te na sluajan (random) nain biramo poetnu (inicijalnu) toku p0 iz unutrnjosti trokuta. Na dalje izabiremo na sluajan nain jednu od toaka ABC s oznakom r(ABC)=random{A,B,C}, te na sluajan nain unutar trokuta jo jednu toku koja je na pola puta izmeu p0 i r(ABC), i tako dalje:

    pn+1 = (pn+ r(ABC))/2. (2)

    Svi primjeri iterativnih fraktala su izraeni u programskom paketu Matlab R2009b.

  • Slika 3. Prvo pokretanje programaJEDNAKOSTRANIAN TROKUT:

  • Slika 4. Drugo pokretanje programaJEDNAKOSTRANIAN TROKUT:

  • Slika 5. Tree pokretanje programaJEDNAKOSTRANIAN TROKUT:

  • Slika 6. etvrto pokretanje programaJEDNAKOSTRANIAN TROKUT:

  • Slika 7. Ponaanje rjeenja s 50001 tokom, za razliite poetne toke p0JEDNAKOSTRANIAN TROKUT:

  • Slika 8. Prvo pokretanje programa PRAVOKUTNI TROKUT:

  • Slika 9. Drugo pokretanje programa PRAVOKUTNI TROKUT:

  • Slika 10. Tree pokretanje programa PRAVOKUTNI TROKUT:

  • Slika 11. etvrto pokretanje programa PRAVOKUTNI TROKUT:

  • Slika 12. Ponaanje rjeenja s 50001 tokom, za razliite poetne toke p0PRAVOKUTNI TROKUT:

  • Slika 13. Prvo pokretanje programa PRAVOKUTNIK:

  • Slika 14. Drugo pokretanje programa PRAVOKUTNIK:

  • Slika 15. Prvo pokretanje programa PRAVOKUTNIK:

  • Slika 16. Drugo pokretanje programa PRAVOKUTNIK:

  • ZAKLJUAK:

    Na primjeru Igre kaosa dobiveni su fraktali iz poetnih likova jednakostraninog i pravokutnog trokuta za sva ponaanja rjeenja u limesu. Naime, svakim novim pokretanjem petlje u programu (uz uvjete da poetna toka ostaje ista, a generiranje toaka trokuta ABC je sluajan odabir i razliit je prilikom svakog novog pokretanja) dokazali smo da za neku sluajnu poetnu toku unutar zadanog lika sva ponaanja rjeenja u limesu stvaraju uvijek isti fraktal. Kada bi se napravilo uveanje tih slika, kako bi se provjerila slinost objekta samome sebi, osnovno svojstvo fraktala (samoslinost), bilo bi zadovoljeno.Kako je za formiranje fraktala koriten iteracijski postupak, te postoji poetni objekt (geometrijski lik) u koji se iterativno ugrauju svojstva generatora, i drugo svojstvo fraktala je zadovoljeno. Kod odabira pravokutnika za poetni objekt nije postignuto oblikovanje iteracijom, te dobivene forme u limesu ne pokazuju svojstvo samoslinosti.

  • LITERATURA:

    M. Pai, Uvod u matematiku teoriju kaosa za inenjere, Skripta FER, Zagreb, 2005. (5. poglavlje)

    http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal

    http://www.fractovia.org/art/what/what_ing1.shtml

    http://fractalfoundation.org