matematiČko objaŠnjenje kartaŠkih trikova

8/2/2019 MATEMATIKO OBJANJENJE KARTAKIH TRIKOVA

1/22

GIMNAZIJA IVANA ZAKMARDIJA DIJANKOVEKOGA KRIEVCI

MATURALNI RADNA MATURI U LJETNOM ROKU KOLSKE GODINE 2003./2004.

MATEMATIKO OBJANJENJE

KARTAKIH TRIKOVA

Mentor MaturantRatko Viak , prof. Danijela Vukovi

Krievci, svibanj 2004.


2/22

SADRAJ:

Uvod..............................................................................................................................1 Trik s 21 kartom ............................................................................................................ 2

Matematiko objanjenje prvog kartakoga trika............................................................3

Memori trik ................................................................................................................... 6Matematiko objanjenje drugog kartakoga trika..........................................................8

4 asa.............................................................................................................................10Matematiko objanjenje treeg kartakoga trika ......................................................... 11

Pogaanje karte s dna pila ......................................................................................... 12Matemati

ko objanjenje

etvrtog kartakoga trika....................................................13

Zanimljivost zbrajanja i oduzimanja...........................................................................14Matematiko objanjenje petog kartakoga trika..........................................................15

MFL trik ..................................................................................................................... 16Matematiko objanjenje estog kartakoga trika.........................................................17

Zakljuak.....................................................................................................................19 Literatura ..................................................................................................................... 20


3/22

1

Uvod

Sigurna sam da oekujete dobro obrazloenje zato sam uzela ovu temu za maturalnu radnju.

Mnogi bi mogli prigovoriti kako odabrana tema nije tema za kolu, a kamoli za maturalni rad iz

matematike. Koliko god se nekima inilo neozbiljno obraivati kartake trikove u koli gdje su

karte strogo zabranjene, toliko je meni ta tema bila izazovna i egzotina.

Trikove koje sam obradila u ovoj radnji svo svoje objanjenje imaju u matematici, to e rei da

pri izvoenju bilo kojeg od ovih trikova ne koristim tuu nepanju, prijevaru, magiju ili aroliju

osim aroliju matematike. Ovi trikovi su isti odnosno dokazivi, te ih svatko moe izvesti, a

da i ne zna zato i kako oni funkcioniraju. Jo od malena znam trik s 21 kartom, (str. 2) i koliko

god puta ga izvodila on je uspio, a da nisam znala zato. Jednom sam ga odlu ila pokazati svom

profesoru iz matematike i upitala ga zna li on zato trik uvijek radi. Profesor je rekao da u mu

to objasniti na maturi. Upravo je to razlog zato piem radnju iz matematike na tu temu.

Poela sam sakupljati trikove koje je mogue matematiki objasniti, te je iz jedne ale to

preraslo u radnju koja obuhvaa opis est kartakih trikova i njihovo matematiko objanjenje.

Vei dio trikova da se objasniti jednostavnim funkcijama zbrajanja i oduzimanja, dok drugi

trikovi zahtijevaju znanje iz permutacija i kombinatorike, kao i poznavanje matematikih

nizova.


4/22

2

Trik s 21 kartom

Za izvo

enje ovoga kartakoga trika, potrebna vam je 21 karta, iz standardnog pila karata*.Karte poloite na stol i kaete promatrau da odabere i zapamti jednu od 21 karte. Bitno je

napomenuti da onaj koji izvodi trik, ne smije znati koju je kartu promatra izabrao.

Kada je promatra odabrao kartu, podignete sve karte sa stola. Promatrau kaete da ete dijeliti

karte u tri stupca, te da pozorno prati kako bi vam, na kraju mogao rei u kojem je stupcu njegova

karta.

Karte dijelite okomito, jednu za drugom, u tri stupca. Kada podijelite sve karte, pitate promatraa

u kojem je stupcu njegova karta (prvom, drugom ili treem). Stupac u kojem se nalazi

promatraeva karta, stavljate u sredinu, izmeu preostala dva stupca karata. Isti postupak ponovite

jo dva puta. Bitno je da promatra dobro motri svoju kartu, da vam tono kae u kojem je stupcu

njegova karta, i da svaki put taj stupac stavite izmeu preostala dva.

Nakon to ste isti postupak ponovili tri puta, odbrojite 10 karata sa vrha pila i okrenite 11. kartu.

Na iznenaenje vaeg promatraa, upravo je to karta koju je on izabrao izmeu 21 karte. Ako va

promatra pomisli da je rije o sluajnosti, izvedite trik jo jednom. A, ako ni tada nee vjerovati,

neka sam pokua izvesti ovaj jednostavan trik i uvjeri se da i on moe biti maioniar.

Ovaj pomalo aroban trik, ne skriva magiju ve zanimljiv matematiki niz.

*standardni pil karata sadri 52 karte. Vrijednosti se kreu od 2,3,4,5,6,7,8,9,10, deka(B), dame(D),

kralja(K) i asa(A), kroz etiri boje, odnosno oblika: karo, ir, pik i srce.


5/22

3

Matematiko objanjenje prvog kartakoga trika

Kako karte niemo po stupcima, tako svakoj karti pridruimo njenu poziciju. Tako e 1. karta u

prvom stupcu imati poziciju 1, prva karta u drugom stupcu poziciju 2, prva karta u 3. stupcu

poziciju 3, druga karta u prvom stupcu poziciju 4, i tako sve do zadnje 21. pozicije, a to je sedma

(zadnja) karta u treem stupcu.

Dakle u 1. stupcu nalaze se karte sljedeih pozicija: 1, 4,....,19 odnosno sve karte za koje vrijedi

3n + 1 za n=0,1,2,....6

U 2. stupcu nalaze se karte pozicija 2,5,....,20 odnosno 3n + 2 za n=0,1,2,...,6

U 3. stupcu nalaze se karte pozicija 3,6,....,21 odnosno 3n + 3 za n=0,1,2,...,6

( ) ( )( ) ( ) ( )1.stup. 2.stup. 3.stup. f fof fofof

1 2 3 8 10 11

4 5 6 9 10 11

7

l l l

8 9 10 11 11

10 11 12 11 11 11

13 14 15 12 11 11

16 17 18

13 12 11

19 20 21 14 12 11

Stupac u kojem se nalazi odabrana karta (kao to je opisano u postupku izvo

enja trika)stavljamo u sredinu (izmeu preostala dva stupca). Uoimo da u opisanom preslikavanju nakon

svaka tri broja karta povea vrijednost za 1, dakle za l =1,2,3 je ( )f l =8, za l =4,5,6 je ( )f l =9,

itd.


6/22

4

Ovo preslikavanje moemo zapisati funkcijom:

( )1 -1 -1

8 , =1,2,3.......,21; gdje je nejvee cijelo od .

3 3 3

l l l f l l

= +

Iz naeg primjera vidimo da ova funkcija realnom broju, XR, pridruuje najvei cijeli broj koji

je manji od njega, tj. zapiemo X=A+ , gdje je A Z i 0,1 , tada je = A+X A = .

U naem primjeru za l =1 je1 1 2-1 1

0 0 0, za =2 je 0 03 3 3 3

l ll

= = + = = + =

3-1 1=3 je 0 0

3 3za l

= + =

, za l =4 je

4 11 0 1

3

= + =

, za l =5 je

5 1 1 21-1 21 1,...., za =21 je 6 6

3 3 3 3l

= + = = + =

.

U ovom triku funkcija f predstavlja stavljanje stupca, u kojem je odabrana karta, u sredinu.

Odabrana karta moe biti za bilo koji broj l =1,2,3,...,21. Prvim korakom dobivamo

f( l )=1

8.3

l +

Ponovnim stavljanjem stupca s odabranom kartom u sredinu vrimo kompoziciju funkcije, tj.

odabrana karta sada ima vrijednost1

83

l +

i funkcija f djeluje na taj

broj ovako ( )( ) ( ) ( )1

83

l f f f l fof l

+ = =

Sada dobiveni broj pripada odabranoj karti te ponovnim stavljanjem u sredinu tj.

djelovanjem funkcije f na taj broj1

109

l +

dobivamo i treu kompoziciju.


7/22

5

Sada je (fofof)(l)

( )( )( )1

10

9

-110 1

9= 8

3

1 1= 3 8

3 9

-1= 3 8

27

-1= 11

27

l f f f l f

l

l

l

l

= +

+ +

+ +

+ +

+

Dakle ( )( )( ) 1 1127l f f f l = +

, za sve l =1,2,3...,21 je ( )( ) -111 jer je 027l fofof l = =


8/22

6

Memori trik

Za izvoenje ovog kartakog trika potrebno vam je bilo kojih 20 karata iz pila. Karte podijelite

u 10 parova (svaki par sadri dvije karte). Promatrau kaete da dobro zapamti jedan par karata, od

ponuenih deset. (Kao i u prethodnom triku izvoa trika ne zna koji je par promatra odabrao).

Nakon to je promatra zapamtio jedan par, paljivo sakupite sve parove sa stola, pazei da

pritom ne izmijeate parove. Dvije karte koje su bile zajedno na stolu, moraju i nakon to ih

pokupite i stavite u ruku ostati par (i tako svih deset parova). Nakon to ste pokupili svih deset

parova (20karata) sa stola, i drite ih u ruci, polaete svaku kartu na njoj tono odreenu poziciju

unutar etiri retka i pet stupaca. Slaganje odabranih 20 karata, odnosno 10 parova, slaemo prema

tono odreenom redu, tako da svaka karta ima svoju poziciju unutar spomenutih redaka i stupaca,

kao u igri memori. Radi lakeg izvoenja trika dobro se posluiti ovim rijeima: MARIA,

VIVET, PROPE, MUTUO.

U ponuenim rijeima svako se slovo pojavljuje samo dva puta, (dakle ono predstavlja jedan par

karata) na tono odreenom mjestu. Kada karte (koje ne moraju biti par ni u znaku, ni u

M A R AI

V I V

M

P R O P E

TE

OUTU


9/22

7

vrijednosti, ve ih vee samo isto slovo) razvrstate prema danoj shemi, na promatraev odgovor u

kojem se redu/redovima nalazi njegov par, tono ete znati o kojim je dvjema kartama rije,

odnosno koje su njegove karte koje je odabrao na samom poetku trika.


10/22

8

Matematiko objanjenje drugog kartakoga trika

Bijekcija parova karti sa slovima matematika je osnova ovoga trika. No da bi spomenuta

bijekcija funkcionirala vano je rasporediti slova (karte) u 4(retka) x 5(stupaca) prema odreenim

pravilima.

U svaki redak moemo smjestiti najvie jedan par, u suprotnom ne bismo znali o kojem se paru

karata radi. Ako u svakom retku imamo po jedan par (kao to je prikazano u ponuenoj shemi u

opisu samog trika) locirali smo 4 para, te nam je ostalo jo est parova koje valja smjestiti na

preostala prazna mjesta, ali tako da lanove dvaju razliitih parova ne smjestimo u zajedniki

redak. Nain na koji smo to uinili moe se potkrijepiti sljedeim raunom. Broj redaka je 4,

dakle broj naina na koliko je mogue od 4 redaka odabrati dva u koja emo smjestiti par je

46

2

=

tono onoliko razliitih naina koliko nam je jo parova preostalo.

1. redak tri razliita slova*

2. redak dva razliita slova + jedno kao iz prvog retka

3. redak jedno razliito slovo + jedno kao iz prvog retka + jedno kao iz drugog retka

4. redak jedno kao iz prvog retka + jedno kao iz drugog retka + jedno kao iz tre eg retka

*slovo- jedno mjesto unutar retka, koje sa istim slovom ini par

U ovom triku preostalih est parova razmjestili smo tako da smo u prvom retku preostala tri

mjesta od pet (u svakom retku dva mjesta zauzima par) popunili s tri nova slova (slovo oznaava

dio para, koji s istim takvim ini par). U drugom retku stavili smo jedno slovo koje sa slovom iz


11/22

9

prvog retka ini par, i dva nova slova. U treem retku od tri nova slova jedan je u paru s prvim

redom, a drugi svoj par ima u drugom retku, dok tree jo nema svoga para. U etvrtom retku od

tri nova slova, jedan je u paru sa slovom iz treeg retka, drugi u paru sa slovom iz prvoga retka i

trei je u paru sa slovom iz drugoga retka. Radi lakeg razumijevanja pogledajte shematski prikaz

u opisu trika.


12/22

10

4 asa

Za izvoenje ovog kartakog trika potreban je cijeli pil karata. No prije samog poetka trika

potrebno je od pila odvojiti sve aeve (njih etiri) i sve karte od 2-9 samo jedne boje. Nakon to

ste to uinili na vrh pila prvo poloite sve aeve, a potom karte od devet do dva, tako da je devetka

na zadnjem asu a dvojka na samom vrhu pila.

Promatrau kaete da vam kae jedan broj od 11 do 19. Uzmimo za primjer da je va promatra

rekao broj 15. Vi tih 15 karata odbrojite, sa prethodno pripremljenog pila, i poloite na stol. Zatim

zbroj znamenaka (promatraevog) odabranog broja, u ovom sluaju (zbroj znamenaka 1 i 5) to je

broj 6, odbrojite natrag na vrh preostalog pila, a sljedeu kartu (u ovom sluaju) 7. kartu otvorite

na stol. Karta koja e se pojaviti na stolu je jedna od aeva. Ostatak karata koje drite u ruci vratite

na vrh pila.

Ovaj algoritam ponovite jo dva puta, tako ete dobiti sljedea dva asa. Na stolu su tri asa, a u

pilu se krije jo jedan, do kojeg ete doi na sljedei nain. Svom promatrau kaete da sada

izabere jedan broj od 1 do 9. Pretpostavimo da je promatra rekao broj 6. est karata ete odbrojiti

sa vrha pila, polaui ih zatvorene na stol, dok ete estu kartu otvoriti.

Na toj karti e vam pisati koliko je jo karata preostalo do zadnjeg asa. Brojite od jedan do tog

broja kojeg pokazuje ta karta, ali tako da brojite i tu kartu. Primjerice ako ta karta pokazuje broj 4,

brojite tu kartu 1 i tako sve do 4. Tu etvrtu kartu otvarate jer upravo je to posljednji as u pilu.

Zvui nevjerojatno, no ipak je mogue!

Vrlo jednostavno, to emo dokazati i matematiki.


13/22

11

Matematiko objanjenje treeg kartakoga trika

Nain na koji smo pronali prva tri asa jednak je opisanom postupku pa tako i matemati kom

dokazu iz petog trika (str. 14-15).

Kako smo doli do posljednjeg (etvrtog) asa u pilu, koji se nalazi ispod redom poredanih 8

karata, tako da se na asu nalazi dvojka a na vrhu pila devetka, matematiki u objasniti na

sljedei nain.

Izabrani broj k { }2,3,...,9 odbrojili smo do k-te karte koju smo potom okrenuli. Na njoj je

broj 9-k+1 jer brojevi na kartama ine padajui niz 9,8,7,...,2.

Budui da je to broj karata do asa, ta k-ta karta pokazuje nam koliko je karata preostalo do

posljednjeg asa u pilu.


14/22

12

Pogaanje karte s dna pila

Za izvoenje ovog trika takoer je potreban cijeli pil karata. Promatrau pruite karte i kaete

mu neka ih izmijea i neka zapamti kartu koja je na dnu pila. Kada je to uinio vraa vam karte ali

tako da vi ne moete vidjeti donju kartu.

Uzimate pil i sa vrha pila stavljate jednu po jednu kartu na stol (ne otvarajui ih) sve do 12.

karte. Nakon toga zamolite promatraa da otvori bilo koje etiri karte sa stola. Kada je to uinio,

ostatak karata (njih 8) skupite i vraate na dno pila.

Uzmimo za primjer da su promatraeve karte, koje je otvorio, bile: 3, 5, 7 i kralja (K). Sljedee

to vam je initi jest nadopuniti vrijednosti ovih karata do 10. Na kartu vrijednosti 3 stavit ete

sedam karata; na kartu 5, pet karata; na kartu 7, tri karte, a na kralja neete staviti nita jer on ve

vrijedi deset (kao i desetka, deko(B), dama(D), i as(AS)) .

Kada ste nadopunili vrijednost karata do deset sljedee to vam je initi je zbrojiti vrijednosti tih

etiriju karata (onih etiriju koje je promatra otvorio). U naem sluaju to izgleda ovako:

3+5+7+10=25.

Drite pil karata u ruci i kaete promatrau da broji do 25. Vi ih zatvorene polaete na stol, a

25. kartu otvarate. Upravo je to karta s dna pila, koju je promatra vidio i

zapamtio, na samom poetku izvoenja trika


15/22

13

Matematiko objanjenje etvrtog kartakoga trika

U opisu trika vidimo da se traena karta nalazi na 40. mjestu, brojei odozgo. Takoer zbroj

opisanih etiriju hrpa daje 40. Budui da je iz pila izvuena razlika zbroja do 40 zbroj odabranih

karata odgovara upravo broju karata do traene karte. Tu tvrdnju moemo zapisati pomou

jednadbi.

A1+K1=10

A2+K2=10

A3+K3=10

A4+K4=10

K1, K2, K3, K4 vrijednosti su etiriju otvorenih karata

Sada je A1+A2+A3+A4 ukupan broj karata koje smo odstranili iz pila pa je broj preostalih

karata iznad traene karte 40- (A1+A2+A3+A4) = K1+K2+K3+K4


16/22

14

Zanimljivost zbrajanja i oduzimanja

U izvoenju ovog kartakog trika takoer su ukljuene sve karte iz pila. Karte pruite promatrau

i kaete mu neka ih dobro izmijea. Dok mijea karte neka zamisli jedan broj izmeu 10 i 19. Kada

je to uinio neka zamiljen broj karata odbroji sa vrha pila u novu skupinu karata i odloi na stol.

Neka to ini vrlo tiho, kako vi ne bi znali koliko je karata on odbrojio, a ni vidjeli (jer ste mu cijelo

vrijeme okrenuti leima).

Zamolite promatraa da uzme u ruku manji dio pila, (taj kojeg je odbrojio) recimo da je u

njemu 16 karata i neka zbroj tih znamenaka, dakle u ovom sluaju 7, odbroji natrag na vei dio

pila. Nakon to je i to uinio kaete mu neka dobro zapamti donju kartu s manjeg pila i poloi taj

pil na ovaj vei.

Karta koju je promatra vidio i upamtio nalazi se negdje u pilu i ini se kako nema naina da ju

vi otkrijete. No, situacija ne moe biti jednostavnija. Odbrojite devet karata s vrha pila i tu devetu

otvorite. Ta karta je naravno, promatraeva karta!


17/22

15

Matematiko objanjenje petog kartakoga trika

Ako izabranom broju od 10 do 19 oduzmemo zbroj njegovih znamenaka, uvijek emo dobiti

broj 9. Zvui nevjerojatno, no matematiki se ta zanimljivost razlike zbroja moe vrlo

jednostavno objasniti.

Uobiajeno je brojeve u pozicijskom sustavu zapisati na sljedei nain

{ }

( )

1 10

0,1,2...,9

1 1 10 1

=9

a a

a

a a a a

= +

+ = +


18/22

16

MFL trik

Ime MFL trik, dala sam zato to sam ga pronala u Matematiko-fizikom listu. Ovaj trik je

drugaijeg karaktera od prethodnih pet trikova, te sam ga zbog toga uvrstila kao posljednjeg u

svoju radnju. Ono to je kod njega drugaije u odnosu na sve ostale trikove, jest to da onaj kojem

se trik izvodi mora biti vie ukljuen u sam trik, odnosno zahtijeva veu pozornost. Da bi se trik

uope mogao izvesti potrebno je minimalno znanje iz permutacija, koje mora imati izvoa trika,

kao i promatra, koji u ovom sluaju nije samo promatra ve je vana karika u samom triku. O

emu se zapravo radi?

Izmeu petero nasumce izvuenih karata iz pila, uvijek e barem dvije biti jednake boje (znaka),

zato jer u pilu postoje samo etiri razliite boja (srce, karo, pik i ir). Jednu kartu otvoreno

poloite na stol, dok drugu, koja je iste boje, poloite na stol zatvorenu. Onaj kojem se trik izvodi

mora pogoditi vau kartu, a vi ete mu pomoi da doe do traene karte pomou preostalih triju

karata koje drite u ruci. Od tih triju karata napravit ete permutaciju tako da zbroj s otvorenom

kartom dade vrijednost traene karte (kao to je reeno boja je jednaka kao na zadanoj karti). Od tri

karte mogue je uiniti est permutacija. Ako je razlika izmeu zadane i traene karte vea od est

onda se ona karta ija je vea vrijednost daje kao zadana, a ija je manja vrijednost kao karta koju

treba pogoditi. Pritom je vano napomenuti da iza vrijednosti asa ponovno dolazi dvojka, dakle

2,3,4,5,6,7,8,9,10,deko, dama, kralj, as, dva, tri, etiri,..., itd. Budui da se trik ne moe izvesti bez

matematikog znanja, tako se ne moe ni opisati bez matematikog objanjenja.


19/22

17

Matematiko objanjenje estoga kartakoga trika

Kao to je spomenuto, meu 5 karata prema Dirichletovom principu postoje barem dvije karte

jednakih boja. Boju traene karte znamo prema zadanoj karti, a vrijednost traene karte saznat

emo pomou preostalih 3. S te tri karte moemo odrediti brojeve od 1 do 6, primjenjujui

permutacije.

Dogovorimo se da permutacije idu po jaini karata npr.:

5, 8, K 1. permutacija

5, K, 8 2. permutacija

8, 5, K 3. permutacija

8, K, 5 4. permutacija

K, 5, 8 - 5. permutacija

K, 8, 5 6. permutacija

Ako imamo jednake vrijednosti npr. 5, 8, 8 onda osmice razlikujemo prema boji. Najjaa boje je

herc, pa pik, pa karo, a najslabija je ir.

5, 8, 8 1. permutacija

5, 8, 8 - 2. permutacija...

8, 8, 5 -6. permutacija

Na skupu od 5 nasumce izabrane karte mogu demonstrirati cijeli postupak. Recimo da su to

sljedee karte: 8, deko(B), 5, 8, 10. Otvorimo 8 kao zadanu kartu, a deka poloimo

zatvorenu na stol (karta koju valja pogoditi).


20/22

18

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, B, D, K, AS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Od karata 5, 8, 10 (ija boja u ovom sluaju nije vana, budui da su vrijednosti svih triju karti

razliite) nainimo onu permutaciju kolika je razlika izmeu traene i zadane karte.

U ovom primjeru razlika izmeu deka i osmice je tri, pa emo stoga napraviti treu permutaciju

koja izgleda ovako: 8, 5, 10.

Problem nastaje ako je razlika izmeu karata istih boja (zadane i traene) vea od est npr. kao u

sluaju 3, deko(B), 5, 8, 10. Razlika izmeu deka i trojke je 11, a tu je permutaciju pomou

tri karte nemogue izvesti. U tom sluaju uzimamo veu kartu kao zadanu, dakle deka, a trojku

(manju kartu) stavljamo na mjesto traene karte. Tako e razlika izmeu njih biti 5, te emo

uiniti 5. permutaciju (10, 5, 8).

Tu je sadran matematiki pojam kongruencije. Kada prelazimo preko asa tj. broja 13 dobivamo

brojeve 14, 15, 16, 17, ...., no mi ga moramo vratiti u poetni skup od 1 do 13, a to postiemo

pomou kongruencije. Tako je ( )15 2 mod13 tj. 2 i 15 su u kartama 3.

Openito je ( )moda b n ako je a b djeljivo s n tj. n | a-b.


21/22

19

Zakljuak

Nadam se da sam uspjela dobro opisati i objasniti ovih est kartakih trikova, te da e svatko

kad proita ponueni opis i sam moi izvesti trik i razumjeti kako on radi.

Prilikom sakupljanja materijala za radnju, odnosno pri pronalaenju kartakih trikova imala sam

znatnih problema jer ne postoji adekvatna literatura. Veina trikova koje ljudi znaju i izvode ne

nalaze oslonac u matematici, te su kao takvi meni bili nekorisni i nezanimljivi. To me nije

obeshrabrilo da ne dovrim radnju, te se pokazalo da je mogue i bez literature kao to su

udbenici, knjige, enciklopedije i razni drugi prirunici (koji su uobiajeni izvor informacija

svake maturalne radnje) napraviti jedan ovakav rad.

Pri sakupljanju trikova od velike pomoi bili su mi prijatelji kojima ovim putem zahvaljujem.

Osim prijateljima elim zahvaliti svom profesoru i mentoru Ratku Viaku, koji je nadgledao cijeli

rad i pomagao kad je trebalo.

Nadam se da ovi trikovi nee posluiti samo za obranu moje maturalne radnje. Primjenom ovih

kartakih trikova na nastavi matematike satovi bi mogli biti zanimljiviji, a gradivo prihvaenije

od ireg kruga uenika.


22/22

20

Literatura

Daki, B., Mladini P., Pavkovi B. 1994. Elementarna teorija brojeva. Element. Zagreb Daki, B., Hanj ., Mladini P., Pavkovi B. 1994. Male teme iz matematike. Element,

Zagreb.

Elezovi N. 2000. Matematika 2: udbenik za 2. razred gimnazije. Element. Zagreb. Elezovi N. 2000. Matematika 4: udbenik za 4. razred gimnazije. Element. Zagreb. Hrvatsko matematiko drutvo i Hrvatsko fizikalno drutvo. 2002.-2003. Matematiko-

fiziki list. 1/209 Element. Zagreb.

www.cut-the-knot.org/arithmetic/rapid/baffle.shtml www.math.ualberta.ca

matematiČko objaŠnjenje kartaŠkih trikova

Documents