matematiČko modeliranje razvoj dinamiČkih ......matematiČko modeliranje razvoj dinamiČkih modela...
TRANSCRIPT
MATEMATIČKO MODELIRANJE
RAZVOJ DINAMIČKIH MODELA PROCESA
Nenad Bolf
SVEUČILIŠTE U ZAGREBUFAKULTET KEMIJSKOG INŽENJERSTVA I TEHNOLOGIJE
ZAVOD ZA MJERENJA I AUTOMATSKO VOĐENJE PROCESA
Kolegij: MODELIRANJE PROCESA
MATEMATIČKO MODELIRANJE PROCESA
SADRŽAJ PREDAVANJA
• Uvodno o modelima i modeliranju
• Zašto je potreban model procesa?
• Modeli procesa u kemijskom inženjerstvu
• Sustavski pristup pri razvoju modela procesa
• Koraci u razvoju matematičkog modela procesa
MODELIRANJE PROCESA
UVODNI DIO• Što je model?• Matematički model procesa• Vrste modela• Modeliranje i simuliranje
POSTUPAK MODELIRANJA• Definiranje zadatka• Pretpostavke o procesu• Matematička formulacija• Rješavanje jednadžbi• Interpretacija rješenja• Provjera modela• Objašnjenje i predviđanje
MODELIRANJE PROCESA
MODELIRANJE U KEMIJSKOM INŽENJERSTVU
• Pojam procesnog prostora• Procesni prostor i matematički model• Bilančne jednadžbe• Numeričko rješavanje običnih i parcijalnih
diferencijalnih jednadžbi• Procjena parametara• Razvoj empirijskih modela• Primjena metoda umjetne inteligencije
PRIMJERI MODELA U KEMIJSKOM INŽENJERSTVU
PREDAVANJA i RAČUNALNE VJEŽBE
Latinska riječ MODUS – MJERA
ŠTO JE MODEL?
MATEMATIČKI MODELNiz jednadžbi i ulaznih podataka potrebnih za njihovo rješavanje koji omogućuju predviđanje vladanja kemijskog procesnog sustava.(B.W. Bequette)
Kratka definicija:MATEMATIČKI MODELMatematička predodžba fizičkog i/ili kemijskog sustava.
A mathematical model is a description of a system using mathematical concepts and language.
MODELIRANJE I SIMULIRANJE
Do odgovarajućeg modela dolazi se postupkom MODELIRANJA;
Modeliranje uključuje procjenu parametara i izbor bitnih karakteristika realnog fizičkog sustava:
MATEMATIČKI OPIS, ANALIZA I PROCJENA ZNAČAJKI SUSTAVA I
MODELA, TOČNOST I OGRANIČENJA MODELA, PRIMJENA MODELA, NADOGRADNJA MODELA.
SIMULIRANJE
SIMULACIJAPostupak izvedbe modela realnog sustava uz provedbu niza eksperimenata u svrhu:- razumijevanja vladanja sustava,- provjere vladanja sustava unutar zadanih granica. (A.Shanon)
Simulaciji uvijek prethodi izrada modela!
Prema tome:
MODELIRANJEM SE IZVODI MATEMATIČKA FORMULACIJA.
SIMULACIJOM SE ISPITIVA VLADANJE PROCESA PRI RAZLIČITIM UVJETIMA I NA PROMJENU ULAZNIH VELIČINA.
ZAŠTO JE POTREBAN MODEL?• Dotok u spremnik je periodičan, a u sljedećem stupnju procesa nakon
spremnika potreban je stalni dotok. Koliki treba biti volumen spremnika?
Za analizu dinamičkog vladanja procesa potreban je dinamički matematički model!
Poznavanje dinamike procesa važno je radi sigurnosti!
Pumpa rashladnog sustava prestala je raditi. Za koliko vremena će proces doći u opasno stanje?
MODELI PROCESA
Vrsta modela Prednosti Nedostaci
Teorijski modeli
na temelju kemijskih, fizikalnih i bioloških načela
- fizikalni uvid u vladanje procesa
- primjenjivi na širokom području radnih uvjeta
- skup razvoj- dulje vrijeme potrebno za razvoj- problemi kod procjene
parametara kompleksnih procesa (koeficijenti brzine reakcije, koeficijenti prijenosa topline, fizikalna svojstva, itd.)
Empirijski modeli
iz eksperimentalnih podataka
- jednostavniji za razvoj od teorijskih modela
- informacije iz realnog procesa
- problemi kod ekstrapolacije (područje eksperimentalnog iskustva
može biti malo s obzirom na cijeloradnopodručje)
Poluempirijski modeli
vrijednosti parametara teorijskog modela određuju se izeksperimentalnihpodataka
- uključuju teorijsko znanje- ekstrapoliranje na šire
područje radnih uvjeta- lakši za razvoj od teorijskih modela
- Neki od nedostataka teorijskih iempirijskih modela
SUSTAVSKI PRISTUP RAZVOJU DINAMIČKOGMATEMATIČKOG MODELA PROCESA
Odrediti mjesta akumulacije tvari i/ili energije u procesnom prostoru; Za svako mjesto akumulacije:- Odrediti ulazne i izlazne veličine i parametre- Primijeniti jednadžbe dinamičke bilance tvari i/ili energije,
bilancu momenta, jednadžbu ravnoteže sila:
odvdov mmdtdm
. .. odvdov EEdtdE OF
Napraviti strukturni prikaz (međudjelovanja!);Definirati jednadžbe ograničenja;Ugraditi u model konstitutivne jednadžbe.(jednadžba stanja, ravnoteže, brzine kemijske reakcije i dr.)
KARAKTERISTIČNE VELIČINE PROCESA
Ulazne veličine (inputs)karakteriziraju stanje tokova tvari i/ili energije koji su mogući uzrok promjene stanje akumulacije tvari poremećaji (disturbances) i upravljane (manipulated) veličine
Izlazne veličine (outputs)karakteriziraju vladanje procesa / sustava koje se manifestira kao promjena stanja akumulacije tvari i/ili energije
Parametri (parametars)definiraju strukturu procesa / sustavaβ1 – parametri svojstveni motrenoj tvari (fizikalno-kemijska svojstva)β2 – parametri svojstveni procesnom uređaju (npr. dimenzije i sl.)β3 – parametri procesa (koef. brzine reakcije, koef.prijenosa topline itd.)
PARAMETRI PROCESA
Parametri
procesi s konstantnim parametrima- parametri su vremenski nepromjenjivi
procesi s promjenjivim parametrima- parametri se mijenjaju s vremenom:
determinirana promjena (predvidljiva)stohastička promjena (nepredvidljiva)
- fizičko ili kemijsko djelovanje tvari na procesni uređaj(npr. promjena svojstava tvari pod utjecajem
elektromagnetskog i radioaktivnog zračenja ili temperature, koksiranje, umor materijala i dr.)
.konst)t(
.konst)t(
OSNOVNA PODJELA PROCESA
Procesi s usredotočenim ili koncentriranim veličinama stanja (lumped process) Veličine imaju istu vrijednost u čitavom procesnom
prostoru što znači da nisu funkcija položaja Pretpostavka idealnog miješanja!
Modele procesa opisuju obične diferencijalne jednadžbe
• Procesi s raspodijeljenim ili distribuiranim veličinamastanja (distributed process) Veličine su funkcija položajaModele procesa opisuju parcijalne diferencijalne jednadžbe
MATEMATIČKI MODEL PROCESA
Ulazna promjena, npr. skokomična promjena ulazne veličine PROCES Posljedica na
izlaz
Odgovor na ovo pitanje daje nam matematički modela procesa !
Kakav je i o čemu ovisi dinamički odziv procesa?
KORACI PRI RAZVOJU MODELA
1. Definiranje cilja (svrhe)
2. Priprema informacija
3. Formuliranje modela
4. Rješavanje5. Analiza
rezultata6. Provjera
valjanosti modela
Postupkom modeliranja razvijaju se:
ukupna materijalna bilanca
materijalna bilanca komponenata
bilanca energije
RAZVOJ MODELA PROCESA
1. Definiranje cilja (svrhe)
2. Priprema informacija
3. Formuliranje modela
4. Rješavanje5. Analiza
rezultata6. Provjera
modela
Primjeri odabira izlaznih veličina:
akumulacija kapljevine razina kapljevineakumulacija plina tlakakumulacija topline temperaturaakumulacija komponente koncentracija
Koja veličina?Na kojem mjestu?
RAZVOJ MODELA PROCESA
1. Definiranje cilja (svrhe)
2. Priprema informacija
3. Formuliranje modela
4. Rješavanje5. Analiza rezultata6. Provjera modela
Sustavski prikaz procesa(uzročno-posljedični prikaz, međudjelovanja)
Prikupljanje informacija o procesu
Pretpostavke
RAZVOJ MODELA PROCESA
JEDNADŽBE BILANCI TVARI I ENERGIJEUkupna bilanca tvari:
Bilanca komponenata:
Bilanca energije (najčešće topline):
odvedenodovedeno mmdtmd
1. Definiranje cilja (svrhe)
2. Priprema informacija
3. Formuliranje modela
4. Rješavanje5. Analiza
rezultata6. Provjera
modela
odvedenodovedeno QQdtQd
rnndtnd
odvedenojdovedenojj ,,
RAZVOJ MODELA PROCESA
Koje jednadžbe izvodimo?Bilance za ključne komponenteKoliko je jednadžbi potrebno?Ovisno o broju mjesta akumulacije tvari i/ili energijeŠto nakon bilanci očuvanja?Konstitutivne jednadžbe
Osnovne fizikalne zakonitosti, empirijske relacije! Npr.
1. Definiranje cilja (svrhe)
2. Priprema informacija
3. Formuliranje modela
4. Rješavanje5. Analiza
rezultata6. Provjera
modela
iii
V
ARTE
A
xKynRTpV
pCF
cekrThAQ
/
0
)(
RAZVOJ MODELA PROCESA
.,., odvAdovAA nn
dtdn
1. Definiranje cilja (svrhe)
2. Priprema informacija
3. Formuliranje modela
4. Rješavanje5. Analiza
rezultata6. Provjera
modela
PRIMJERProtočni kotlasti reaktor (PKR), reakcija 1.redaPretpostavka: idealno miješanje usredotočene veličine
Dinamički model diferencijalna jednadžba AKUMULACIJA tvari A u reaktoru:
AAAA
izlazulaz
ckVcFcFdtcdV
FFFkonstV
0
.Ulazne veličine: F, cA0Izlazna veličina: cAParametri: V,k
RAZVOJ MODELA PROCESA
0tzacA
)(0 tfcA
uz početne uvjete:
Pobudna funkcija (forcing function):
1. Definiranje cilja (svrhe)
2. Priprema informacija
3. Formuliranje modela
4. Rješavanje5. Analiza
rezultata6. Provjera
modela
0AAA c
VkFFc
dtcd
VkFV
promjena ulazne koncentracije dotoka reaktanta
RAZVOJ MODELA PROCESA
1. Definiranje cilja (svrhe)
2. Priprema informacija
3. Formuliranje modela
4. Rješavanje5. Analiza
rezultata6. Provjera
modela
Za jednostavni modeleuvid u dinamički odziv procesa daje
analitičko rješenje:
Sve procese prvog reda karakterizira ovakav odziv!
Razmotrimo oblik ovog odziva jer ćemo ga vrlo često susretati!
ODZIV PROCESA I.REDA
∆cA0 - skokomična promjena ulazne veličine
∆cA = k ∆cA0promjena izlazne veličine
Maksimalninagib 63% konačnog odziva
odzivna krivulja
cA0
cA
vrijeme
vrijeme
ODZIV PROCESA I. REDA
f(t) – ulazna ili pobudna funkcija
0AAA c
VkFFc
dtcd
VkFV
)(tfky
dtdy
– vremenska konstanta (time constant)
K – statička osjetljivost procesa (steady-state gain)
OPĆI OBLIK MATEMATIČKOG MODELA
xyayayayayaya nn
nn
0123)1(
1)( ...
dtydy
dtyd
dtydy
dtdyy
2
2
– red jednadžbe definiran je najvišom derivacijom izlazne veličine:
Opće rješenje:
C1,C2,… – konstanter1,r2,… – korijeni karakteristične jednadžbeη(t) – zavisi o vrsti promjene ulazne veličine
)(...)( 321321 teCeCeCty trtrtr
0... 012
23
31
1 ararararara n
nn
n
a0,a1,a2,…- konstantni koeficijenti
Diferencijalna jednadžba s konstantnim koeficijentima
ANALIZA PROCESA PRVOG REDA
)()()( tuktyty
ukyy u - ulazna veličinay - izlazna veličina
Opće rješenje jednadžbe prvog reda:
treCy 1
/1
teCy Odzivna funkcija (monotono smirivanje!)
101 rr karakteristična jednadžba
ODZIV PROCESA 1. REDA (First Order Lag)
ukydtdy
y – izlazna varijablau – ulazna varijablak – statička osjetljivostτ – vremenska konstanta
Model procesa 1. reda:
PROCES PRVOG REDA
Odziv karakterizira akumulacija tvari i/ili energije;Dinamički odziv definira se vremenskom konstantom; Vremenska konstanta predstavlja vrijeme potrebno da se ostvari 63,2 % konačne promjene izlazne veličine;Brzina odziva na poremećaj neprestano opada, a maksimalna je u trenutku pojave poremećaja – presjecište tangente u toj točki s konačnom vrijednosti izlazne veličine definira vremensku konstantu;odziv se asimptotski približava konačnoj vrijednosti.
Proteklo vrijeme Postotak od ukupnog odziva [%] Preostali odziv [%] 63,2 % preostalog odziva
1 τ 63,2 36,8 23,22 τ 86,4 13,6 8,63 τ 95,0 5,0 3,164 τ 98,16 1,84 1,165 τ 99,32 0,68 0,429
Na slici je prikazano šest odzivnih krivulja, svaka s drugom vrijednosti vremenske konstante;Vremenska konstanta je mjera brzine odziva;Što je veća vremenska konstanta odziv je sporiji i obratno.
VREMENSKA KONSTANTA (Time Constant)
ODZIV PROCESA PRVOG REDA
k – statička osjetljivost procesa
• predznak govori o smjeru promjene • iznos govori o statičkoj ovisnosti izlaza o ulazu• ovisi o parametrima procesa i radnim karakteristika
(npr. protok)
– vremenska konstanta
• iznos govori o dinamičkoj karakteristici procesa• ovisi o procesu i radnim uvjetima (npr. volumen i protok)
ANALIZA PROCESA PRVOG REDA
Statička analiza (steady-state analysis) zavisnost izlaznih od ulaznih veličine nezavisno od vremena
statička karakteristika
Dinamička analiza (dynamic analysis) vremenska promjena izlaznih veličina kao odziv na
promjene ulaznih veličina
dinamičko vladanje ili dinamička karakteristika
111
kkk
aky
0)( dtdykonstatu
SIMULIRANJE
1. Simulacijski program
2. Simuliranje
Obične diferencijalne jednadžbe rješavaju se numeričkim metodama (npr. Eulerova metoda, Runge-Kutta, Adams, itd.).
1. Definiranje cilja (svrhe)
2. Priprema informacija
3. Formuliranje modela
4. Rješavanje 5. Analiza
rezultata6. Provjera
modela
Analiza sustava pomoću računala na osnovi matematičkog opisa naziva se simuliranje ili oponašanje.
RAZVOJ MODELA PROCESA
1. Definiranje cilja (svrhe)
2. Priprema informacija
3. Formuliranje modela
4. Rješavanje5. Analiza
rezultata6. Provjera
modela
Analiza rezultata
Smjer i oblik odzivne krivulje Pretpostavke uzete pri modeliranju Grafički prikaz rezultata Analiza pogreške numeričke metode
Usporedba s eksperimentalnim rezultatima(iz realnog procesa!)