matematičko klatno
DESCRIPTION
Matematičko klatno. Maturski rad Nikola filpović. Uvod. Oscilatorno kretanje Matematičko klatno – osnovni pojmovi. Oscilatorno kretanje. Jedno od fundamentalnih vrsta kretanja u fizici Sila koja deluje na telo proporcionalna je otklonu od ravnotežnog položaja (restituciona sila) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
MATURSKI RADNIKOLA FILPOVIĆ
Matematičko klatno
OSCILATORNO KRETANJEMATEMATIČKO KLATNO – OSNOVNI POJMOVI
Uvod
Oscilatorno kretanje
Jedno od fundamentalnih vrsta kretanja u fizici
Sila koja deluje na telo proporcionalna je otklonu od ravnotežnog položaja (restituciona sila)
Karakteristična funkcija položaja tela od vremena je sinusna funkcija
U realnosti, uvek postoji gubitak energije koji se manifestuje kao prigušenje oscilatornog kretanja
Matematičko klatno – osnovni pojmovi
Sistem sačinjen od tanke neistegljive niti zanemarljive mase, okačene o oslonac, i tela zanemarljivih dimenzija okačenog o tu nit
Oscilovanje pod dejstvom tangencijalne komponente težine tela
ANALITIČKO REŠENJENUMERIČKO REŠENJE (OJLEROV I OJLER – KROMEROV
METOD)LINEARNO I NELINEARNO REŠENJE
Prosto harmonijsko kretanje
Analitičko rešenje jednačine kretanja
Na osnovu II Njutnovog zakona dinamike rotacije
Aproksimativna jednačina je linearna i važi za male uglove
Analitičko rešenje jednačine kretanja
Rešenje diferencijalne jednačine kretanja ima oblik
Početni ugao otklona i početna faza oscilovanja zavise od početnih uslova
Kretanje ne zavisi od mase kuglice, i periodično će se ponavljati zauvek, jer nema trenja u posmatranom modelu
Numeričko rešenje jednačine kretanja
Za numeričko rešavanje diferencijalnih jednačina obično se koristi Ojler – Kromerov metod
Zavisnost ugla otklona od vremena se lako može isprogramirati, pri čemu se dobija određeni grafik
Funkcija ugla otklona od vremena za linearno matematičko klatno – Ojler – Kromerov metod
Ovakvo rešenje dobilo bi se i analitičkim rešavanjem jednačine kretanja
Međutim, osnovni cilj uvođenja numeričkog metoda za rešavanje diferencijalnih jednačina je rešavanje nelinearnih jednačina
0 5 10 15 20
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
vreme t [s]
ugao
[r
ad]
l=1m t=0.04s
Numeričko rešenje jednačine kretanja
Ponovo Ojler – Kromerov metod, ovoga puta za nelinearno klatno
Nema aproksimacije za male uglove
Razlika između rezultata dobijenih za linearno i nelinearno klatno
Rešenje nelinearne jednačine kretanja (isprekidana linija) ne poklapa se sa linearnim
Rezultat ovog odudaranja je povećanje perioda oscilovanja sa povećanjem ugla otklona od ravnotežnog položaja
0 2 4 6 8 10
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0l=1m t=0.04s
vreme t [s]
ugao
[r
ad]
LinearnoLinearno NelinearnoNelinearno
Upoređivanje rešenja
0 2 4 6 8 10-3
-2
-1
0
1
2
3
0=/4
0=/2
0=3/4
vreme t [s]
ugao
[r
ad]
l=1m t=0.04s
0 2 4 6 8 10-3
-2
-1
0
1
2
3
ugao
[r
ad]
vreme t [s]
l=1m t=0.04s 0=/4
0=/2
0=3/4
Grafik zavisnosti perioda oscilovanja klatna od početnog ugla otklona
Utvrđeno je da se period oscilovanja klatna može zapisati u obliku beskonačnog reda
U slučajevima kada su uglovi manji od 10˚, izraz za period se svodi na
0.1 0.2 0.3 0.4 0.51.95
2.00
2.05
2.10
2.15
2.20
2.25
2.30
2.35
2.40l=1m t=0.04s
T0=2s
perio
d T
[s]
ugao 0[rad]
ANALITIČKO REŠENJENUMERIČKO REŠENJE (OJLER – KROMEROV METOD)
LINEARNO I NELINEARNO REŠENJE
Prigušeno oscilovanje
Analitičko rešenje jednačine kretanja
Pojava sile trenja, koju klatno savladava, i na taj način gubi deo svoje energije (prigušenje)
Jednačina kretanja je
Aproksimativna jednačina je
Analitičko rešenje jednačine kretanja
Više različitih slučajeva (rešenja), u zavisnosti od karakteristika prigušenja
Karakteristična jednačina
Natkritično rešenje (aperiodično) – sopstvene učestanosti realne i različite
Analitičko rešenje jednačine kretanja
Kritično rešenje (aperiodično) – sopstvene učestanosti realne i jednake
Podkritično rešenje (kvaziperiodično) – sopstvene učestanosti su konjugovano-kompleksne
Periodično rešenje – sopstvene učestanosti imaginarne (prosto harmonijsko oscilovanje)
Nelinearan sistemNelinearan sistem Linearan sistemLinearan sistem
Numeričko rešenje (Ojler – Kromerov metod)
Funkcija ugla otklona od vremena za nelinearno matematičko klatno koje se kreće u sredini sa prigušenjem
Za q=10, sistem je natkritično prigušen
Za q=5, sistem je blizu kritičnog prigušenja
Za q=1, sistem se kreće kvaziperiodično i reč je o podkritičnom rešenju diferencijalne jednačine
0 2 4 6 8 10-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8l=1m t=0.04s
ugao
ra
d]
vreme t[s]
q=1 q=3 q=5 q=10
Razlika između rezultata dobijenih za linearno i nelinearno klatno u sredini sa prigušenjem
Kao i u sredini bez prigušenja, rešenje nelinearne jednačine kretanja (isprekidana linija) ne poklapa se sa linearnim
Razlog je isti, promena perioda oscilovanja sa promenom ugla otklona
0 2 4 6 8 10
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
l=1m t=0.04s
vreme t[s]
ugao
ra
d]
Grafik zavisnosti perioda oscilovanja klatna od početnog ugla otklona
Suštinski, period se menja na isti način kao i u slučaju kad nema prigušenja
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
2.004
2.008
2.012
2.016
2.020
2.024
ugao 0[rad]
pe
rio
d T
[s]
l=1m t=0.04s
T0=2.004s
Upoređivanje rešenja
Činjenica da period klatna nije konstantan u zavisnosti od amplitudnog ugla dokazuje nepouzdanost aproksimativnog rešenja
Mogućnosti približnog rešenja jednačine kretanja klatna su na neki način ograničene
Matematičko klatno je u realnosti nelinearan sistem, i upravo je ta činjenica presudna u određivanju njegovog ponašanja
PRINUDNO OSCILOVANJE KOD LINEARNOG KLATNAPRINUDNO OSCILOVANJE KOD NELINEARNOG KLATNA
Prinudno oscilovanje
Analitičko rešenje jednačine kretanja
Gubitak energije oscilatora, izazvan oscilovanjem u sredini koja prigušuje kretanje, se može nadoknaditi primenom spoljašnje sile koja bi vršila pozitivan rad na sistemu (prinudna sila)
Prinudna sila može biti različite prirode (mehanička, električna, magnetna)
Jednačina kretanja za linearno klatno
Analitičko rešenje jednačine kretanja
Nakon dovoljno dugo vremena, energija, koju prilikom jedne pune oscilacije u sistem ubaci prinudna sila, postane jednaka energiji koja se izgubi usled prigušenja, te je rešenje jednačine kretanja
Amplituda oscilovanja je data izrazom
Funkcija ugla otklona od vremena za linearno klatno koje se kreće u sredini sa prigušenjem i pod dejstvom prinudne sile
Prigušeno kretanje se posle određenog vremena „stabilizuje“ prinudnom silom, i kretanje se odvija po funkciji koja je analitičko rešenje jednačine kretanja
Ovakav vid kretanja je karakterističan za linearno klatno, bez obzira na to kakva je amplituda ili frekvencija prinudne sile
0 5 10 15 20-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
l=1m t=0.04s
vreme t[s]
ugao
ra
d]
q=1 D=2 f=0.2
Numeričko rešenje jednačine kretanja
Kretanje nelinearnog klatna je i dalje periodično, ali se ne može opisati sinusnom ili kosinusnom funkcijom
Najsloženiji oblik diferencijalne jednačine koji opisuje kretanje klatna dat je kao
Ojler – Kromerov metod
Numeričko rešenje jednačine kretanja
0 10 20 30 40 50 60
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
q=1 D=2
l=1m t=0.04s
vreme t[s]
ugao
ra
d]
f=0 f=1 f=7.5
0 10 20 30 40 50 60-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
q=1 D=2
l=1m t=0.04s
vreme t[s]
ugao
ra
d]
f=7.5 f=10
Funkcija ugla otklona od vremena za nelinearno matematičko klatno koje prinudno osciluje
Za slabe prinudne sile, periodično kretanje klatna će se zauvek ponavljati
Pri jačoj prinudnoj sili, kretanje postaje haotično, i predstavljeno je veoma komplikovanom funkcijom vremena
Pri takvim uslovima, jedno ponašanje sistema se nikad ne ponavlja, tj. klatno gubi karakteristiku da se kreće isključivo periodično
0 10 20 30 40 50 60-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
q=0.5 D=2/3
l=9.81m t=0.04s
vreme t[s]
ugao
ra
d]
f=0 f=0.5 f=1.2
Funkcija ugla otklona nelinearnog matematičkog klatna od vremena
Na grafiku je prikazano jedno isto kretanje, pri čijem je modelovanju korišćeno “resetovanje” ugla (puna linija), i ono gde to nije slučaj (isprekidana linija)
0 10 20 30 40 50 60-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
q=0.5 D=2/3 f=1.2
l=9.81m t=0.04s
vreme t[s]
ugao
ra
d]
RAZLIKE IZMEĐU LINEARNIH I NELINEARNIH SISTEMA
OSNOVNI POJMOVI U TEORIJI HAOSA
Zaključak
Linearni i nelinearni sistemi
Modelovanje kretanja klatna bilo bi prilično neinteresantno kada bi se posmatralo u svom najjednostavnijem obliku
Podela na linearne i nelinearne sistemeRazlike
Period oscilovanja Haotično kretanje pod dejstvom prinudne sile
Osnovni pojmovi teorije haosa
U matematici, teorija haosa opisuje ponašanje određenih dinamičkih sistema, tj. onih čije stanje sistema evoluira u toku vremena
Ponašanje haotičnih sistema izgleda slučajno, čak i ako su sistemi deterministički, što znači da im je dinamika potpuno određena početnim uslovima, bez slučajnih faktora (deterministički haos, haos)
Posledica nelinearnosti sistemaPonašanje vremena i klime, rast populacije u
ekologiji, mehanički i magnetno-mehanički procesi itd.
HVALA NA PAŽNJI!!!