matemática - exponencial

7/23/2019 Matemtica - Exponencial

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CAPTULO 6FUNO EXPONENCIAL

1. REVISO DE POTENCIAO

A) POTNCIA DE EXPOENTE NATURAL

Sendo dados um nmero real a e um nmero naturaln, com , chama-se potncia de base a e

expoente n o nmero que o produto de nfatores iguais a a.

2nna

fatoresn

n aaaaa

Observao: e, sendoaa1 1a,0a 0

B) POTNCIA DE EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO

Dados um nmero real a, no nulo, e um nmeronatural n, chama-se potncia de base a e expoente

n o nmero , que o inverso de .na na

nn

a

1a

B) POTNCIA DE EXPOENTE RACIONAL

Dados um nmero real a (positivo), um nmerointeiro p e um nmero natural q , chama-se

potncia de base a e expoente a raiz q-sima

de .

)1q(

"q/p"pa

q pq

p

aa

Observao: Sendo , define-se 00qp

.0q

p

1.1. PROPRIEDADES DAS POTNCIAS

nmnm1 aaaP

nmn

m

2 aa

aP

nmnm3 a)a(P

)0b(ba

baP

nnn

4

nnn5 ba)ba(P

1.2. PROPRIEDADES DOS RADICAIS

pn pmn m1 aaP

nnn2 babaP

)0b(b

a

b

aP

n

nn

3

n mmn4 a)a(P

npp n5 aaP

EXERCCIOS RESOLVIDOS

1. (UF-MA) Qual o valor numrico da expresso

255142

100510403513

211

Resoluo:

Vamos efetuar nossos clculos com potncias demesma base; para tal, vamos arrumar algumas basespresentes na expresso dada:

213

22131

55)27(2

)25(5)25()52()57(

Agora vamos eliminar os parnteses...

2113

22221311

55272

255255257

Assim podemos agrupar as potncias de mesma base

1213

12211223

7)55()22(

7)55555()222(

Agora ficou bem mais simples, concorda?

2

12

7)5()2(

7)5()2(

7)5()2(

7)5()2( 1132

131

12113

121211223

2. (Americano 2010) Simplifiquex

2x1x

2

22

Resoluo:

64222222

2

2

2 212xx1xxx

2x

x

1x

Outra opo de resoluo seria colocar o emevidncia no numerador...

x2

6422

)22(2

2

22x

21x

x

2x1x

3. (Americano 2010) Simplifique3nn

1n2n

1010

1010

Resoluo:Vamos colocar as menores potncias em evidnciatanto no numerador quanto no denominador...

)3n()1n(33n

31n

3nn

1n2n

10

)110(10

)110(10

1010

1010

100101010

1010 23nn

1n2n


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4. (UMC-SP adaptado) O tempo de circulao dosangue (em segundos) de um mamfero (o tempomdio que todo o sangue leva para circular uma vez evoltar ao corao) proporcional raiz quarta dopeso do corpo do mamfero, isto :

4

1

Mk)M(T

Para um elefante cujo peso 5184 quilos, o tempofoi estimado em 150 segundos.a) Determine o valor de k.b) Determine o tempo aproximado para um mamferode 16 quilos e para outro de 64 quilos.

Resoluo:

a) 41

Mk)M(T

32k532

32k532)32(k532

5184k1505184k)5184(T

23

2

4

4

4

624

1462

4

1

4

1

2

25

2

2525252

2

52k

2/12

122

31

2

3

2

2

225

b) 41

44

1

)2(2

225)16(T16k)16(T

22

225)16(T 225)16(T

4

164

1

)2(

2

225)64(T64

2

225)64(T

23

22

225)64(T

12

3

2225)64(T

12

3

2

11

2

3

2

1

225)64(T2225)64(T

225)64(T225)64(T 12 50)64(T

Respostas:

a)2

225 b)

segundos35.aprox

225)16(T e segundos.50)64(T

2. FUNO EXPONENCIAL (Definio)

Chama-se funo exponencial qualquer funo f de IR

em IR dada por uma lei da forma , em que

a um nmero real dado, a

xa)x(f

1ae0 .

2.1. GRFICO DA FUNO EXPONENCIAL

a > 1a funo crescente 0 < a < 1a funo decrescente

Em ambos os casos:

Domnio: IR)f(D

Conj. Imagem: [,0]}0y|IRy{IR)f(Im *

Um importante nmero irracional, que estudadoparticularmente na disciplina de Clculo presente nocurrculo do ensino superior de, por exemplo,Engenharia, Cincia da Computao, Fsica,Administrao e Economia, indicado pela letra e.Para compreend-lo, consideremos a expresso

x

1

)x1( , em que ,*IRx

e vejamos alguns valores que ela assume quando x seaproxima de zero.

x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001

x1)x1( 2,594 2,705 2,717 2,7182 2,7183

A medida que x se torna menor, a expresso x1

)x1(

fica cada vez mais prxima do nmero 7183,2e .

O grfico da funo est representado

abaixo:

xe)x(f


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EXERCCIOS

1. (Iezzi 2007 adaptado) Na figura est representado o

grfico de , sendo a uma constante real.

Determine o valor de f(3).

x2a)x(f

a) 1b) 1,5

c) 2d) 2,5e) 3

2. (Iezzi 2007) O grfico a seguir representa a funo f

cuja lei , sendo a e b constante

positivas.

x2ba)x(f

a) Determine a e b.b) Qual o conjunto imagem de f?c) Calcule f( 2).

3. (UENF-RJ modificada) A inflao anual de um pasdecresceu no perodo de sete anos. Esse fenmenopode ser representado por uma funo exponencial do

tipo , conforme o grfico abaixo.xba)x(f

A taxa de inflao desse pas no quarto ano dedeclnio foi de

a) 45%.b) 50%.c) 55%.d) 60%.e) 65%.

4. (Americano 2010) Em uma regio industrial, aemisso de poluentes aumenta taxa de 50% ao ano.Em relao taxa atual, podemos afirmar que, emquatro anos, a quantidade anual de poluentes emitidana regio, aproximadamente,

a) duplicar.b) triplicar.c) quadruplicar.d) quintuplicar.e) sextuplicar.

5. (FGV-SP) Curva de aprendizagem um conceitocriado por psiclogos que constataram a relaoexistente entre a eficincia de um indivduo e aquantidade de treinamento ou experincia possudapor esse indivduo.Um exemplo de Curva de Aprendizagem dado pela

expresso , em que:t5,0e400700Q

Q = quantidade de peas produzidas mensalmente porum funcionrio;t = meses de experincia;e = 2,7183

a) De acordo com essa expresso, quantas peas umfuncionrio com 2 meses de experincia deverproduzir mensalmente?

b) E um funcionrio sem qualquer experincia, quantaspeas dever produzir mensalmente? Compare com oresultado do item (a). H coerncia entre eles?

6. (Iezzi 2007 modificada) No dia 1 de janeiro, doisamigos criaram uma comunidade no Orkut. No diaseguinte, cada um dos fundadores convidou trsnovos amigos para se integrarem comunidade. Nodia 3 de janeiro, cada novo integrante convidou trsnovos amigos para se juntarem comunidade e assimpor diante, at o final do ms. Admita que todos osconvidados aceitem a proposta de se integrar comunidade e que ningum receba o convite de mais

de uma pessoa.

a) quantos membros ingressaro na comunidade nodia 4? E no dia 5?

b) qual o total de membros que a comunidadepossuir no dia 5?


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TEMPO MEIA VIDA OU PERODODE SEMI-DESINTEGRAO

Cada elemento radioativo, seja natural ou obtidoartificialmente, se transmuta (se desintegra ou decai) auma velocidade que lhe caracterstica. Para seacompanhar a durao (ou a vida) de um elementoradioativo foi preciso estabelecer uma forma decomparao. Por exemplo, quanto tempo leva para umelemento radioativo ter sua atividade reduzida metade da atividade inicial? Esse tempo foidenominado meia-vida do elemento.

Meia-vida, portanto, o tempo necessrio para aatividade de um elemento radioativo ser reduzida metade da atividade inicial. Isso significa que, paracada meia-vida que passa, a atividade vai sendoreduzida metade da anterior, at atingir um valorinsignificante, que no permite mais distinguir suasradiaes das do meio ambiente. Aps o primeiroperodo de meia-vida, somente a metade dos tomos

radioativos originais permanece radioativa. Nosegundo perodo, somente 1/4, e assim por diante.Alguns elementos possuem meia-vida de fraes desegundos. Outros, de bilhes de anos.

Partindo de tomos radioativos de um elemento,

possvel representar graficamente o nmero detomos radioativos, em funo da quantidade demeias-vidas transcorridas:

0n

A meia-vida a quantidade de tempo caracterstica de

um decaimento exponencial. Se a quantidade quedecai possui um valor no incio do processo, na meia-vida a quantidade ter metade deste valor.

Observao: Quando na anlise de tomos radioativos m em0 significam tais quantidades.

No caso do carbono-14 a meia-vida de 5.730 anos,ou seja, este o tempo necessrio para umadeterminada massa deste istopo instvel decair paraa metade da sua massa , transformando-se emnitrognio-14 pela emisso de uma partcula beta. Estamedida da meia-vida utilizada para a datao defsseis.

A quantidade de carbono-14 num ser vivo de 10ppb(10 partes por bilho). Esta quantidade permanececonstante at o dia da sua morte. A partir da estaquantidade vai diminuindo por conta de desintegrao.

Quando examinamos um fssil, uma mmia, ossosetc..., determina-se a quantidade de carbono-14presente. Sabendo que seu perodo de meia vida de5600 anos, determinamos a idade do material.

EXERCCIOS

7. (Americano 2010) Estudou-se a cintica datransformao

)g(O)g(0N4)g(ON2 2252

e chegou-se concluso de que o tempo de meia-vidapara essa transformao, nas condies doexperimento, era de 1,0 s.

Assinale a alternativa em que o grfico descrevecorretamente essa observao.

a) b)

c) d)

e)


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8. (FESP-SP) Uma amostra de 64 g de umasubstncia radioativa apresenta um perodo de semi-desintegrao de 20 h. O tempo necessrio para aamostra ficar reduzida a 2 g ser:

a) 64 h.b) 48 h.c) 36 h.

d) 100 h.e) 72 h.

9. (VUNESP) O acidente do reator nuclear deChernobyl, em 1986, lanou, para a atmosfera, grande

quantidade de radioativo, cuja meia-vida de 28

anos. Supondo ser esse istopo a nica contaminaoradioativa, e sabendo que o local poder ser

considerado seguro quando a quantidade de se

reduzir, por desintegrao, a da quantidadeinicialmente presente, o local poder ser habitadonovamente a partir do ano de:

Sr9038

Sr903816/1

a) 2004.b) 2098.c) 2266.d) 2986.e) 3000.

10. (FUVEST-SP) O decaimento radioativo de umaamostra de Sr-90 est representado no grfico aseguir. Partindo-se de uma amostra de 40,0g, apsquantos anos, aproximadamente, restaro apenas5,0g de Sr-90?

a) 15.b) 54.

c) 90.d) 100.e) 120.

11. (FGV-SP 2005) Um computador desvaloriza-seexponencialmente em funo do tempo, de modo que

seu valor y, daqui a x anos, ser , em que A

e k so constantes positivas.

xkAy

Se hoje o computador vale R$ 5 000,00 e valer a

metade desse valor daqui a 2 anos, seu valor daqui a6 anos ser:

a) R$ 625,00b) R$ 550,00c) R$ 575,00d) R$ 600,00e) R$ 650,00

12. (Mack-SP/2003) O grfico mostra, em funo dotempo, a evoluo do nmero de bactrias em certacultura. Dentre as alternativas abaixo, decorridos 30minutos do incio das observaes, o valor maisprximo desse nmero :

a) 18.000 b) 20.000c) 32.000 d) 14.000e) 40.000

13. (UFPE 2004) Devido desintegrao radioativa,uma massa de carbono 14 reduzida uma

massa m em t anos. As duas massas estorelacionadas pela frmula . Nessas

condies, em quanto tempo 5g de carbono 14 seroreduzidos a 1,25g ?

0m

4005/t0 2.mm

a) 10 000 anosb) 18 800 anosc) 10 800 anosd) 8 100 anose) 18 100 anos

14. (FUVEST-SP 2007) Um bilogo est analisando areproduo de uma populao de bactrias, que seiniciou com 100 indivduos. Admite-se que a taxa demortalidade das bactrias nula. Os resultadosobtidos, na primeira hora, so:

Supondo-se que as condies de reproduocontinuem vlidas nas horas que se seguem, apsquatro horas do incio do experimento, a populao debactrias ser de

a) 51 200b) 102 400c) 409 600d) 819 200e) 1 638 400

15. (UFSCAR 2007) Para estimar a rea da figuraABDO (sombreada no desenho), onde a curva AB parte da representao grfica da funo

, Joo demarcou o retngulo OCBD e,

em seguida, usou um programa de computadorque plota pontos aleatoriamente no interior desseretngulo.

x2)x(f

Sabendo que dos 1000 pontos plotados, apenas540 ficaram no interior da figura ABDO, a reaestimada dessa figura, em unidades de rea, igual a

a) 4,32.b) 4,26.c) 3,92.d) 3,84.e) 3,52.


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RESPOSTAS DOS EXERCCIOSTPICOS 1 e 2

1) E 2) (*) 3) D 4) D 5) (**)6) (***) 7) C 8) D 9) B 10) C11) A 12) D 13) C 14) C 15) A

(*) 2. a) a = 1; b = 2. b) c) 1,5.}1y|IRy{

(**) 5. a) 552 peas. b) 300 peas.(***) 6. a) 54; 162 membros b) 242

3. EQUAES EXPONENCIAIS

3.1. DEFINIO

Equao exponencial toda equao que apresentapelo menos uma incgnita no expoente.

Basicamente existem apenas dois tipos deequaes exponenciais, ou seja:

A) TIPO 1

So equaes exponenciais facilmente arrumadas emuma igualdade de potncias de mesma base,apresentando uma e somente uma potncia em cadamembro.

Exemplo: Resolva 1x41

x816

.

Resoluo:

)1x(34

1x4

22

3x31x4 22

}4{S4x3x31x4

B) TIPO 2

So equaes exponenciais que no permitem seremarrumadas apresentando uma e somente umapotncia, de mesma base, em cada membro.

Neste caso, para resolv-las, precisaremos encontrara potncia repetitiva que possua incgnita...

Exemplo 2: Resolva 22.34 xx

Resoluo:

022.34 xx

02)2.(3)2( x2x

Fazendo y2x

2you

1y02y.3y

2

12

Comoy2x

12x 22x

0x

22

1

0x

1x

22

2

1x

Resposta: S { 0 ; 1 }

EXERCCIOS SRIE AULA

1) (PUC-SP) Se , ento n igual a:n58 10x8,05x2

a) 6b) 5c) 1d) 2e) 3

2) (UFPR) Para verificar a igualdade

,2564.2 3x22

x deve valer:a) 0b) +1c) 1d) 1

e) 2

3) (UnB-DF) A soluo da equao 5.5

255

3

1y :

a) 7 / 12b) 5 / 12c) 9 / 12d) 7 / 12e) 2.

4) (MACK-SP/2003) Se 3x + 2

+ 9x + 1

= 12 . 3x + 1

,ento x 2 vale:

a) 0b) 1

c) 1d) 2e) 2

5) (MACK-SP/2003) Se 2.2x+ 4

x= 8

x, ento x

2

igual a:

a) 2b) 4c) 1d) 0e) 9

6) (MACK-SP) Se 2

18

3.2

y1yx

, ento x.y :a) 0b) 1c) 2d) 3e) 1

7) (Cesgranrio-RJ) O nmero de razes reais de

:13 5x7x22

a) 0b) 1

c) 2d) 3e) maior que 3.


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8) (FATEC-SP) O valor de x, tal que42,0x 101010 :

a) 0,05b) 0,05c) 0,5d) 0,5

e) 0,005

EXERCCIOS SRIE CASA1) (PUC-SP/2005) Se N o nmero que resulta do

clculo de , ento o total de algarismosque compem N :

1519 22

a) 17b) 19c) 25d) 27

e) maior do que 272) (MACK-SP/2005) Se os inteiros x e y satisfazem

equao , ento o valor de

:

x2yy1x 3223

x3

a) 1b) 1/3c) 1/9d) 3e) 9

3) (UFPA)

A raiz da equao 910271027 xx

um

nmero:a) irracional negativob) irracional positivoc) pard) inteiro negativoe) inteiro positivo

4) (Unimep-SP) O valor de x que torna verdadeira a

sentena :5,0)125,0( x

a) 3b) + 3c) 2 /3d) 1 /3e) + 1 /3

5) (MACK-SP) A soluo da equaox3x

9

12

16

9

um nmero racional x tal que:

a) 1 x < 0 b) 0 x < 1

c) 1 x < 2d) 3x2 e) 3 x < 4

6) (Cesgranrio-RJ) Se (x;y) soluo do

sistema: ento x + y ;

532

1132yx

yx

a) 11b) 3c) 6

d) 4e) 5

7) (FGV) A raiz da equao 7222 x1x1x :

a) um nmero primo.b) um nmero negativo.c) um nmero irracional.d) um nmero maior ou igual a 1.e) um mltiplo de 5.

8) (UFRN) No universo IR, o produto das razes da

equao 172

124

x

x

igual a:

a) 4b) 2c) 1d) 2e) 4

9) (UFBA) O conjunto verdade da equao

:)21(522 xxx

a) { 1 ; 4 }b) { 1 ; 2 }

c) { 0 ; 1 }d) { 0 ; 2 }e)

10) (FEI-SP) A equao tem duas razesreais. O produto delas :

322 x1x

a) 1b) 0c) 1d) 2e) 311) (PUC-RS) A soma das razes da equao

:02294x1x

a) 2b) 1c) 0d) 1e) 2

12) (UFSC) O valor de x que satisfaz a equao

03

13

27

89

27

1 xx :

a) 2b) 1c) 3d) 0e) 2


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GABARITO TESTES SRIE AULA13) (PUC-MG) A soma dos zeros da funo

2232)x(f 1x1x :

a) 1,5b) 2,5c) 3,0d) 4,0

e) 5,0

14) (UFMG) O produto das razes da equao

3

34

3

13

xx :

a) 3b) 1 /4c) 1 /3d) 1

e)3

34

15) (UFRS) Sabendo que , entovale:

2444 1xx 2/1x

a)5

2

b)2

5

c) 2

d)5

10

e)2

10

1 A 5 C

2 E 6 C

3 A 7 C

4 C 8 A

GABARITO TESTES SRIE CASA

1 A 6 D 11 B

2 D 7 D 12 A

3 E 8 A 13 D

4 E 9 D 14 B

5 D 10 B 15 E

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