Matemaattiset oppimisvaikeudet (EDUK213, 5 op)

- kurssi matemaattisten taitojen kehityksestä, oppimisvaikeuksista,

arvioinnista ja interventioistaOsa 1: Kehitys

Syyskuu 2018Professori Pirjo Aunio

Erityispedagogiikka

Kurssin aikataulu ja paikat (Kaikille yhteiset)

Pirjo Aunio 2

Päivä Kello Paikka Alustava aihe

Ke 5.9.2018 14.15-15.45

(2x45 min)

Päärakennus, Sali 13 Kurssin sisältö

Matemaattisten taitojen

kehitys

To 6.9.2018 14.15-15.45

(2x45 min)

Porthania, PII Matemaattisten taitojen

kehitys

Ma 1.10.2018 14.15-15.45

(2x45 min)

Porthania, PIII Matemaattiset

oppimisvaikeudet

Ti 2.10.2018 14.15-15.45

(2x45 min)

Aurora, aud 230 Matemaattiset

oppimisvaikeudet

To 4.10.2018 12.15-15.45

(4x45 min, 30 min tauko)

Aurora, aud 230 Matemaattisten taitojen

arviointi

Ti 9.10.2018 12.15-15.45

(4x45 min, 30 min tauko)

Aurora, aud 230 Matemaattisten taitojen

interventiotutkimus

Pe 9.11.2018 14.15-16.45 Aurora, aud 230 Tentti

Harjoitusryhmät

Katso oman ryhmäsi ajat WebOodista.

Minja Lahdelma: EO, ELO, VEO

Pirjo Aunio: EP pääaine

Harjoitusryhmissä jatketaan luennoilla opitun tiedon käsittelyä ja käyttämistä

Harjoitusryhmissä tutustutaan arviointi- ja interventio materiaaleihin + harjoitellaan niiden käyttöä

Harjoitusryhmiin osallistuminen on pakollista

Pirjo Aunio 3

Kurssin tavoitteet (sisältö):

Ymmärtää matemaattisten taitojen tavallista ja poikkeavaakehitystä

Oppi ymmärtämään matemaattisia oppimisvaikeuksia janiihin liittyvää arviointia sekä interventiotutkimusta

Syventää osaamistaan matematiikan oppimisvaikeuksistaja niihin liittyvistä taustatekijöistä (esim. kognitiivisettekijät, ympäristölliset tekijät)

3 4

Oppimateriaali ja kirjallisuus (3 vaihtoehtoa)

Vaihtoehto 1:

Berch, D., & Mazzocco, M.M.M (toim.) (2007). Why is math so hard for some children? The nature and origins of mathematical learning difficulties and disabilities. Baltimore, Paul H. Brookes. 441 s.

JA

Chinn, S. (toim.) (2015). The Routledge international handbook of dyscalculia and mathematical learning difficulties. London: Routledge. 419 s.

Vaihtoehto 2:

Gersten, R., & Newman-Gonchar, R. (toim.) (2011). Understanding RTI in mathematics: Proven methods and applications. Baltimore, Paul H. Brookes. 219 s.

JA

Henry, L. (2012). The development of working memory in children. Los Angeles: Sage. 384 s.

Pirjo Aunio 5

Oppimateriaali ja kirjallisuus (3 vaihtoehtoa)

Vaihtoehto 3

Price, G.R., & Ansari, D. (2013). Dyscalculia: Characteristics, causes and treatments. Numeracy, 6(1), 1-16.

Jordan, N., Glutting, J., & Ramineni, C. (2010). The importance of number sense to mathematics achievement in first and third grades. Learning and individual differences, 20(2), 82-88.

LeFevre, J-A., Berrigan, L., Vendetti, C., Kamawar, D., Bisanz, J., Skwarchuk, S-L., & Smith-Chant, B. L. (2013). The role of executive attention in acquisition of mathematical skills for children in grades 2 through 4. Journal of experimental child psychology, 114(2), 243-261.

Korhonen, J., Linnanmäki, K., & Aunio, P. (2013). Learning difficulties, academic well-being and educational dropout: A person-centered approach. Learning and individual differences, 31, 1-10.

Toll, S. W.M., & Van Luit, J.E.H. (2012). Early numeracy intervention for low-performing kindergartners. Journal of early intervention, 34(4), 243-264.

Gersten, R., Beckmann, S., Clarke, B., Foegen, A., Marsh, L., Star, J. R., & Witzel, B. (2009). Assisting students struggling with mathematics: Response to Intervention (RtI) for elementary and middle schools (NCEE 2009-4060). Washington, DC: National Center for Education Evaluation and Regional Assistance, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education. Retrieved from target=_blank>http://ies.ed.gov/ncee/wwc/publications/practiceguides/.

30.10.2009Pirjo Aunio 6

Kurssin suorittaminen

KirjallisuusHarjoitusryhmätLuennot

Pirjo Aunio 7

Tentti

9.11.2018- yksilötentti

- materiaalit saa olla mukana

Pirjo Aunio 8

Matemaattisten perustaitojen

kehitys

Ennen koulua

Alakoulussa

Kehityksentaustatekijöitä

Työmuisti(toiminnan

ohajusfunktiot)

SES

kieli

Motoriikka+ fyysinen

aktiivisuus

Matematiikan oppimisvaikeudet

Dyscalculia

Mat. Op. Vaik

Heikko osaaja

Taitojen arviointi

Kehit.psyktestit ja seulat

OPS-pohjaisetmittarit

Observointi, haastattelu,

portfolio, päiväkirja

Pedagoginen tukeminen

Interventioista

Kurssin sisältöä tarkemmin

Oppimisen/kehityksenymmärtäminen

Oppimisen/kehityksenarviointi (heikkojen

löytäminen)

Oppimiseen/kehitykseenpuuttuminen (interventio)

9

Erityispedagogisen ajattelun pilarit

Mitkä ovat matemaattiset perustaidot?

6.9.2018Pirjo Aunio

Mitä arvostetaan, mihin keskitytään, mistä ollaan huolissaan?

6.9.2018Pirjo Aunio

Keskeiset matemaattisettaitorypäätesi- ja alkuopetusikäisillä lapsillaI vaihe:

testit joiden tarkoituksena on arvioida 5-8 -vuotiaiden lasten matemaattista osaamista.

Tarkasteluun otimme testit,

joihin oli julkaistu normit (eli on tieto miten lapset suoriutuvat testistä keskimäärin + validointiprosessi)

jotka olivat opettajien käytössä useissa eri maissa

joissa mitattiin erityyppisiä matemaattisia taitoja

jotka eivät olleet opetussuunnitelma riippuvaisia

Lukukäsitetesti (Van Luit, et al. 1994), Number KnowledgeTest (Griffin 2003), Early Numearcy (Wright et al. 2006) ja TEMA-3 (Ginsburg & al. 2006)

II Vaihe: Pitkittäistutkimukset

6.9.2018Pirjo Aunio

Keskeiset matemaattiset taitoryppäät

esi-ja alkuopetusikäisillä lapsilla

(Aunio & Räsänen, 2016 kts. myös www.lukimat.fi)

lukumäärän

laskutaidot

matemaattis-loogiset

periaatteet

yhteen- ja

vähennyslaskutaidot

Aritmeettiset perustaidot

Laskemisen taidot

aritmeettiset yhdistelmät

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen

aritmeettiset

periaatteet

lukujonon luettelemisen

taidot

paikka-arvo

ja kymmenjärjestelmä

Lukumääräisyyden taju

matemaattiset

symbolit

numerosymbolien

hallinta

6.9.2018Pirjo Aunio

Laskemisen taidotLukujonon luettelemisen taidot

1. Lukujonon luetteleminen eteen- ja taaksepäin (usein: Osaatko sinä laskea?)

2. Lukujonon luetteleminen hyppäyksittäin (l. sanomalla joka toinen, joka viides tai joka kymmenes luku)

3. Lukujonon luettelemisen jatkaminen annetusta luvusta (l. jatka laskemista luvusta kahdeksan eteenpäin)

Number words sequence skills (synonyms often acousticcounting, reciting number words, counting) (VanDerHeyden et al. 2006; Clarke and Shinn 2004)

6.9.2018Pirjo Aunio

Laskemisen taidot (jatkuu)

Lukumäärien laskemisen taidot:

1. Osaa luetella lukujonon oikeassa järjestyksessä

2. Osaa luoda yksi-yhteen-suhteen sanotun sanan jalaskettavan esineen sekä osoittavan eleen välille

3. Oivaltaa, että viimeiseksi sanottu luku kertoo sen kuinkamonta esinettä kokonaisuudessa on

4. Oivaltaa, että kaikenlaisia keskenään erilaisiakin esineitä jaasioita voi laskea

5. Tietää, että esineet voi laskea missä järjestyksessä tahansa, kunhan laskee jokaisen esineen vain kerran

Enumeration (often counting the numerosity of a set, counting, cardinal meaning of number, counting objects) Child uses her/his number word sequence skills to enumerate (Aunio & Niemivirta 2010; Jordan et al. 2006)

6.9.2018Pirjo Aunio

Laskemisen taidot (jatkuu)Numerosymbolien hallinta:

1. Yhdistää sanottu lukusana -> numerosymboliin(nimeäminen ja tunnistaminen).

Lapselle sanotaan joku lukusana, jolloin lapsen tehtävänä on kirjoittaa sitä vastaavanumerosymboli

Lapselle näytetään joku numerosymboli ja lapsen tehtävä on sanoa sitä vastaavalukusana.

2. Ilmaisee numerosymboleilla lukumääriä

Pyydetään näyttämään se numerosymboli mikä on yhtä suuri kuin näytettyjenesineiden lukumäärä

Näytetään numerosymboli ja pyydetään antamaan yhtä monta esinettä

Symbol-verbal and verbal-symbol transitions = word identification and

recognition of numbers (e.g. choose number in VanDerHeyden et al. 2006)

Kehityskaari: Lukusanoista laskemiseen

2 v.

• Primäärinen ymmärrys lukumääristä

• lukusanoilla viitataan eri lukumääriin

• hyvin karkeat lukumäärät selkeitä

3 v

• Lorumainen laskeminen

• käsittelee numeroita osana lauluja ja loruja

• ei välttämättä erota lukusanoja erillisinä sanoina vaan rimpsuna ‘yksikaksikolmeneljä

4 v

• Eriaikainen laskeminen

• Ymmärtää, että lukusanoja voidaan käyttää esineiden laskemiseen

• Osaa luetella lukusanat oikeassa järjestyksessä, mutta ei kykene osoittamaan esinettä ja merkkaamaan sitä samaan aikaan.

• Jättää laskematta jonkun esineen, laskee (merkkaa) yhden esineen kaksi kertaa

6.9.2018Pirjo Aunio

Kehityskaari: Lukusanoista laskemiseen (2)

4-5 v

• Samanaikainen laskeminen

• Sanoo lukusanan, osoittaa esineitä

• Hallitsee 1-1-suhteella operoimisen

• Järjestää esineet, yhdistää niihin lukusanan (l. laskee)

5 v

• Tuloksen laskeminen

• Laskeminen alkaa luvusta yksi

• Jokainen esine lasketaan vain kerran

• Viimeinen lukusana kertoo esineiden lukumäärän

6 v.

• Lyhentynyt laskeminen

• Kykenee tunnistamaan tietystä lukujoukosta numeron, josta he jatkavat laskemista

• Ei enää tarvitse aloittaa luvusta yksi, kun heiltä kysytään esineiden lukumäärää.

6.9.2018Pirjo Aunio

6.9.2018Pirjo Aunio

Aritmeettiset perustaidot

Lukujonon luettelemisen ja lukumääränlaskemisen taitojen kehittyessä alkavat lapsetmyös harjoitella aritmeettisia perustaitoja

Pienillä luvuilla & lukujen luettelu ja sormilla esineillä laskeminen

Kun taidot kehittyvät ja kokemus lisääntyy, lapsen ei enää tarvitse laskea yksinkertaisia jausein toistuvia yhdistelmiä, vaan hän voipalauttaa vastauksen suoraan muistista (l. aritmeettisten yhdistelmien muistaminen)

Kehityksen kuluessa lapsi keksii uusiastrategioita ja voi jättää jo opittuja käyttämättä

6.9.2018Pirjo Aunio

Aritmeettiset perustaidot

Aritmeettisista perustaidoista keskeisiä esi- jaalkuopetusiässä ovat yhteen- javähennyslaskutaidot -> sujuva peruslaskutaito

2lkn keväällä ja 3:lla luokalla yhteen –ja vähennyslaskutaidon oletetaan yksinumeroisilla luvuilla olevan suhteellisen sujuvaa ja aletaan opetella kerto- ja jakolaskua

6.9.2018Pirjo Aunio

Aritmeettiset perustaidot

Laskutoimitukset eroavat siinä, missä määrin niiden harjoittelussa painottuu muistista haku tai erilaiset laskemisen strategiat

Kertolasku pohjaa ulkoaoppimiseen ja siinä muistista hakeminen on keskeinen strategia

Vähennys – ja jakolaskuissa on vähemmän ulkoaoppimista – niissä käytetään erilaisia laskustrategioita useimmiten pohjaten yhteen – ja kertolaskuun.

6.9.2018Pirjo Aunio

Aritmeettiset perustaidotSe mitä strategiaa lapsi käyttää riippuu esimerkiksi

laskun tekijöistä:

Esikoululainen voi muistaa ulkoa vastauksen osaan ”pienistä” laskuista (1+1, 2+2, 1+2)

Kun laskuissa vaaditaan 10-ylitystä (8+6, 9+5) on se jo hankalampi (laskemisen strategia käyttöön)

0 ja 1 sisältävät laskut näyttää nojaavaan sääntöjen muistamiseen (esim. kun nollan lisääminen ei muuta lukumäärää)

6.9.2018Pirjo Aunio

Aritmeettiset perustaidot

Strategiat selviää seuraamalla lapsen laskemista ja pyytämällä häntä selittämään, miten ratkaisee tehtävän

Tavallisesti lapsilla on käytössään useita strategioita

Sujuva laskija:

Pääasiassa palauttaa vastauksen nopeasti muistista

Tarvittaessa valitsee muista strategioista tehtävään sopivimman

Niillä lapsilla, joilla on matemaattisia oppimisvaikeuksia

on käytössään yleensä vain hitaita luetteluun pohjautuvia strategioita

Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen on heille vaikeaa (pysyy vaikeina – tarvitsee tukea!)

Yhteen- ja vähennyslaskutaidon kehittyminen

6.9.2018Pirjo Aunio

Asteittain:

Luetteluun pohjautuvan laskemisen kautta kohti aritmeettisten yhdistelmien muistamista

Vähennyslaskustrategiat ovat vaikeampia kuin yhteenlaskustarategiat

- Vähennyslaskuissa pitää muistaa useampia vaiheita kuin yhteenlaskussa

- Vähennyslaskustrategioiden käytössä auttaa yhteen-ja vähennyslaskun välisen suhteen ymmärtäminen

Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen yhteen- ja vähennyslaskussa

6.9.2018Pirjo Aunio

Laskutehtävien ratkominen aloitetaan lukujen luetteluun pohjatuvien strategioiden kautta

Konkretian ja visuaalisen tuen avulla (esineet, sormet, piirtäminen)

Mielessä tapahtuvaa laskemista lukujonoja luettelemalla

Eri tapoja käyttää lukujonoa laskemisessa tueksi:

Lukujen luetteluun pohjautuvat strategita yhteenlaskussa – konkretia/visuaalinen tuki

Laske kaikki, aloita alusta Esim. 3 + 2 = ? Lapsi laskee kolme esinettä

yksitellen "1,2,3". Hän lisää yksitellen

laskien kaksi esinettä "1,2", laskee sitten

alusta kaikki esineet "1,2,3,4,5" ja saa

tulokseksi viisi.

Laske toinen luvuista, aloita alusta Esim. 3 + 4 = ? Lapsi näyttää sormillaan

suoraan luvun 3 ja lisää siihen luetellen

neljä lisää "1, 2, 3, 4". Sitten hän laskee

alusta kaikki sormet tai katsoo vastauksen

suoraan sormien lukumäärästä.

Laskeminen eteenpäin Esim. 4 + 3 = ? Lapsi näyttää sormillaan

luvun 4 ja laskee eteenpäin sormien avulla

"5, 6, 7". Vastauksena on viimeiseksi

sanottu lukusana.

Laskeminen eteenpäin, aloittaen

suuremmasta luvusta

Esim. 2 + 5 = ? Lapsi aloittaa laskemisen

suuremmasta luvusta. Hän näyttää

sormillaan luvun viisi ja laskee sormien

avulla eteenpäin "6, 7". Vastaus on

viimeiseksi sanottu lukusana.

Pirjo Aunio 25

Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia yhteenlaskussa – mielessä tapahtuva laskeminen

Laskeminen eteenpäin ensimmäisestä

luvustaEsim. 3 + 4 = ? Lapsi aloittaa

luvusta 3 ja laskee mielessään

eteenpäin "4, 5, 6, 7". Vastaus on

viimeiseksi sanottu lukusana.

Laskeminen eteenpäin

suuremmasta luvusta

Esim. 2 + 5 = ? Lapsi aloittaa

laskemisen suuremmasta luvusta.

Hän sanoo luvun viisi ja laskee

mielessään eteenpäin "6, 7".

Vastaus on viimeiseksi sanottu

lukusana.

Pirjo Aunio 26

Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia vähennyslaskussa – konkretia/visuaalinen tuki

Laske kaikki, aloita alusta Esim. 5 – 3 = ? Lapsi laskee viisi

esinettä yksitellen. Sitten hän laskee

pois kolme esinettä, laskee jäljelle

jääneet ja saa tulokseksi kaksi

Laskeminen eteenpäin Esim. 7 – 4 = ? Lapsi aloittaa luvusta 4,

laskee eteenpäin sormien tuella ”5, 6,

7”. Vastaus on lueteltujen lukujen määrä

eli kolme.

Laskeminen taaksepäin annetun luvun

verran

Esim. 8 – 3 = ? Lapsi aloittaa

laskemisen luvusta 8 ja laskee sormien

avulla taaksepäin kolme lukua ”7, 6, 5”.

Vastaus on viimeiseksi sanottu luku.

Laskeminen eteen- ja taaksepäin Lapsi valitsee laskun ratkaisemisen

tavaksi edellä esitellyistä kohdista joko

kohdan 2 tai 3, riippuen siitä, kummalla

tavalla tarvitsee laskea vähemmän.

Esim. laskussa 9 – 7 = ?, lapsi valitsisi

kohdan 2.

Pirjo Aunio 27

Lukujen luetteluun pohjautuvat strategia vähennyslaskussa – mielessä tapahtuva laskeminen

Laskeminen eteenpäin Esim. 7 – 4 = ? Lapsi aloittaa luvusta 4,

laskee eteenpäin mielessään ”5, 6, 7”.

Vastaus on lueteltujen lukujen määrä eli

kolme.

Laskeminen taaksepäin annetun luvun

verran

Esim. 8 – 3 = ? Lapsi aloittaa

laskemisen luvusta 8 ja laskee

mielessään taaksepäin kolme lukua ”7,

6, 5”. Vastaus on viimeiseksi sanottu

luku.

Laskeminen taaksepäin annettuun

lukuun asti

Esim. 8 - 6 =? Lapsi aloittaa laskemisen

luvusta 8 ja laskee mielessään

taaksepäin lukuun 6 asti "7, 6". Vastaus

on lueteltujen lukujen määrä eli 2.

Laskeminen eteen- tai taaksepäin Lapsi valitsee laskun ratkaisemiseen

edellä esitellyistä kohdista joko kohdan

2, 3 tai 4, riippuen siitä millä tavalla

tarvitsee laskea vähiten. Esim. laskussa

9 - 7 = ?, lapsi valitsisi kohdan 2 tai 4.

Pirjo Aunio 28

6.9.2018Pirjo Aunio

Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen

Palauttaa muististaan suoraan laskun vastauksen (2+3=5)

Johtaa laskun vastauksen jonkin tuntemansa yhdistelmän kautta

6-3=3 joten 6-4=2, koska luku 4 on yhden suurempi kuin 3

Pilkkoo laskun osavaiheisiin ja kokoaa laskun uudelleen niin, että käyttää hyväkseen tuntemiaan yhdistelmiä ja tietojaan lukujärjestelmästä

7+5 -> 7 + (3+2) -> 10 + 2=12

Toisen laskun kautta laskun johtaminen voi auttaa aritmeettisten yhdistelmien oppimista

Tuplien kautta oppiminen + niitä lähellä olevat aritmeettiset yhdistelmät

Toisen laskun kautta johtaminen yhteenlaskussa

Tupla +1, +1 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja

lisätään siihen yksi tai kaksi.

esim. 6 + 7 = (6 + 6) + 1 = 13

Tupla -1, -2 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa ja

vähennetään siitä yksi tai kaksi.

esim. 7 + 6 = (7 + 7) - 1 = 13

10-parit Käytetään hyväksi opittuja 10-pareja.

esim. 8 + 2 = 10, joten 8 + 3 = 11

10-lasku Käytetään apuna 10-laskua, jossa

toisena tekijänä on 10.

esim. 10 + 8 = 18, joten 9 + 8 = 17

Jaettu Yhteenlasku havainnollistuu hyvin

palikoilla, kun toisesta palikkapötköstä

siirretään yksi palikka toiseen, jolloin

saadaan tupla. Myöhemmin tästä

syntynyttä mielikuvaa voidaan käyttää

hyväksi laskemisessa.

esim. 7 + 5 = 6 + 6

Toisen tunnetun yhdistelmän kautta esim. 7+5=(7+4)+1=12Pirjo Aunio 30

Toisen laskun kautta johtaminen vähennyslaskussa –lisäämisen kautta tapahtuvia johtamisia vähennyslaskuissa

Tupla +1 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa

ja lisätään siihen yksi.

esim. 13 - 6 --> 6 + __ = 13 --> 6 +

(6 + 1) = 13

Tupla -1 Käytetään hyväksi tunnettua tuplaa

ja vähennetään siitä yksi.

esim. 11 - 6 --> 6 + __ = 11 --> 6 +

(6 - 1) = 11

Jaettu Yhteenlasku havainnollistuu hyvin

palikoilla, kun toisesta

palikkapötköstä siirretään yksi

palikka toiseen, jolloin saadaan

tupla. Tätä mielikuvaa käytetään

hyväksi myös vähennyslaskussa.

esim. 12-7 --> 6+6=12, joten

7+5=12

Pirjo Aunio 31

Toisen laskun kautta johtaminen vähennyslaskussa –vähentämisen kautta tapahtuvia johtamisia vähennyslaskuissa

10-lasku Käytetään apuna 10-laskua, jossa

toisena tekijänä on 10. Esim. 16-10=6,

joten 16-9=7

Toisen tunnetun yhdistelmän kautta Esim 12-7=>12-8=4, joten 12-7=5

Pirjo Aunio 32

Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen yhteenlaskussa

Lisääminen 10 kautta Luku täydennetään ensin kymmeneen ja

katsotaan kuinka paljon tulee vielä

kymmenen yli lisää. Esim 8+5->

(8+2)+3=10+3=13

Pirjo Aunio 33

Osavaiheisiin pilkkominen ja uudelleen kokoaminen vähennyslaskussa

Lisääminen 10 kautta Luku täydennetään ensin kymmeneen ja

katsotaan kuinka paljon tulee vielä

kymmenen yli lisää. Esim 13-6->

6+4=10, 10+3=13 -> 4 + 3= 7

Vähentäminen 10 kautta Luku vähennetään ensin kymmeneen ja

otetaan vielä jäljelle jäänyt kymmenestä

pois 12-7-> 12-2=10, 10-5=5

Vähentäminen kymmenestä Otetaan kymmenen yli menevä luku

”talteen”, sen jälkeen otetaan vähentäjä

pois kymmenestä ja lisätään talteen

laitettu luku muistista 12-4= (10-4) + 2=

8

Pirjo Aunio 34

Van den Heuvel-Panhuizen (1999/2001): Children LearnMathematicsWright et al. (2012): Developing Number Knowledge

Yksittäinen laskeminen esineillä ja/tai lukujonolla

• Välineiden lapsilähtöinen käyttö

Strukturoitu laskeminen välineillä

• Piilottaminen

• Välineiden ohjattu käyttö (ryhmittely, systemaattisuus)

• Välineiden nivominen strategioihin

Mielessä tapahtuva laskeminen ilman välineitä

• Muistista palauttaminen

• Toisten laskujen hyödyntäminen

• Faktojen muistaminen

35

Yhteen- ja vähennyslaskustrategioiden oppiminen ja kehityksen tukeminen

Aritmeettiset

laskustrategiat

Lukujen luetteluun perustuvat strategiat

Välineet vapaasti lasten käytössä

Mielessä tapahtuva laskeminen

Strukturoitu laskeminen

Välineillä ohjatusti

Muistamiseen perustuvat strategiat

Toisen laskun kautta

(derived facts)

Osavaiheisiin pilkkominen ja

uudelleen kokoaminen

(decomposition)

Suora muistista palauttaminen (fact

retrieval)

Lukualue 1-20

36

Strukturoitu laskeminen – välivaihe/silta lukujen luettelusta muistista palautta

Kymppipohja/viitospohja

Helmitaulu (viiden kautta)

Numeroruudukko -> lukusuoraan

Tyhjä lukusuora

Osa-kokonaisuus –pallomalli (esim. Emerson & Babtie, 2010)

Matikka-vuori – Math-mountain (esim. Wright et al. 2012)

Osa muistista palauttamista strategioista voidaan myös ottaa opetuksen kohteeksi

Kielellistäminen

37

Strukturoidun laskemisen vaihe

Osa-kokonaisuus pallo –malli (esim. Emerson & Babtie, 2010)

Matikka-vuori (Wright et al. 2012)

38

12

210

6

Kerto – ja jakolaskutaidon kehittyminen

Pirjo Aunio 39

Oppimisprosessi on suoraviivaisempi ja harjoittelussa korostuu suuremmassa määrin ulkoaopettelu kuin yhteen-ja vähennyslaskussa

Hakeminen muistista on keskeinen ratkaisutapa heti alusta lähtien

Jakolaskun kehityksestä tiedetään vähemmän:

Alussa yhteenlaskun avulla

Kertolasku nousee nopeasti yleisemmäksi

Jakolaskujen ratkaisu hankalaa ilman kertolaskun hallintaa (kertolaskun ja jakolaskun suhteen ymmärtäminen)

Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen kertolaskussa

Pirjo Aunio 40

Alkuvaiheessa toistuva yhteenlasku ja lukujonon luetteleminen tietyn askeleen välein on yleisesti käytettjä strategioita

- Ääneen tai mielessä luettelemalla lukujonoa (ei visuaalista tukea) esim. viiden välein 5x4 -> 5, 10, 15, 20

- Sormien avulla + luettelu, auttaa muistamaan montako harppausta lukujonossa on menty (”viisi” yksi sormi, ”kymmenen” kaksi sormea)

Osalle lapsista hyppiminen lukujonossa vaikeaa

- Laskee yksitellen, piirtää viivoja, ryhmittelee, laskee ne

- => hidas, virhealtis, ei mielekäs

Lukujen luetteluun pohjautuva laskeminen jakolaskussa

Pirjo Aunio 41

Luettelupohjaiset strategiat:

- Toistuva yhteenlasku, jossa jakajaa lasketaan yhteen kunnes saavutetaan jaettava

- Toistuva vähennyslasku, jossa jaettavasta vähennetään jakajan osoittamaa määrää kunnes päädytään nollaan

- Ryhmittely, lapsi miettii, kuinka monta jakajan suuruista ryhmää jaettavasta saadaan

Aritmeettisten yhdistelmien muistaminen kerto- ja jakolaskussa

Aritmeettisten yhdistelmien hakeminen suoraan muistista nousee yleisemmäksi strategiaksi

Kansainväliset tutkimukset (lisää lähde):

- 2- luokalla yleisin ratkaisutapa: lapset käyttävät sitä yli puolessa kertolaskuissa

- 4-luokalla (9 v) suurimmaksi osaksi (noin 70-80% kertolaskuista)

Jakolaskuissa

- Muistiinpohjaavat strategiat: vastauksen hakeminen suoraan muistista, kertolaskun avulla vastauksen ratkaiseminen, sekä laskun jakaminen pienempiin helpommin ratkaistaviin osiin

- Vähiten automatisoituva

- 6-7 luokalla yhdistelmien muistamista käytettiin vähemmän kuin kertolaskua

Pirjo Aunio 42

6.9.2018Pirjo Aunio

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen

Matemaattis-loogiset periaatteet

l. säännönmukaisuuksien ymmärtäminen ja soveltaminen määrällisessäkontekstissa

1. Sarjoittaminen (Bryant 1996)

(esim. Järjestä nämä kukat pisimmästä lyhyinpään)

2. Vertailu (Sophian 1998)

(esim. Kummassa laatikossa on enemmän kuulia?)

3. Luokittelu (Smith 2002)

(esim. Laita tähän laatikkoon kaikki siniset suuret pallot?)

4. Yksi-yhteen suhde (Alibali & DiRusso 1999)

(esim. Missä laatikossa on riittävästi pipoja näille viidelle lapselle?)

6.9.2018Pirjo Aunio

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen (jatkuu)

Aritmeettiset periaatteet

(l. osa-kokonaisuus -suhteiden ymmärtäminen)

1) kokonaisuudet muodostuvat pienemmistä osista

luku kuusi voidaan muodostaa laskemalla yhteen esimerkiksi 5+1; 4+2; tai 3+2+1.

2) yhteenlaskettavat voidaan laskea yhteen missä tahansajärjestyksessä ja aina saadaan sama tulos -> a+b=b+a.

6.9.2018Pirjo Aunio

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen –aritmeettiset periaatteet (jatkuu)

3) yhteenlasku voidaan hajottaa uudelleen osiin ja laskeaosat yhteen uudella tavalla eri järjestyksessä ja saadaansama tulos

-> (a+b) + c = a + (b + c)

4) käänteisyyden periaate, millä tarkoitetaan sitä, ettäyhteen-ja vähennyslasku ovat toisilleen käänteisiä eli ne kumoavat toisensa

->3+1-1=3

often the understanding of part-whole relations in addition orsubtraction tasks (Canobi, Reeve & Pattison 2002; Robinson, Niowski & Gray, 2006, Wilkins, Baroody & Tiilikainen 2001)

6.9.2018Pirjo Aunio

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen –matemaattiset symbolit

Vertailun symbolit alkuopetuksessa

mikä on suurempi kuin (>)

pienempi kuin (<),

yhtä suuri kuin (=)

eri suuri kuin (≠)

Pirjo Aunio

Matemaattisten suhteiden ymmärtäminen –paikka-arvo ja kymmenjärjestelmä

Kun lapsi alkaa käyttää suurempia lukuja kuin yhdeksän täytyy oivaltaa, että luvun todellinen arvo riippuu siitä, millä paikalla se on luvussa, esimerkiksi onko se ykkösten, kymmenten vai satojen paikalla.

2

23

233

2333

6.9.2018Pirjo Aunio

Lukumääräisyyden taju

kykyä hahmottaa lukumääriä ilman kieleen perustuvaalaskemista

lukumääräisyyden tajua pidetäänperustavimmanlaatuisena matemaattisena kykynä, jonkapäälle kielellinen (kulttuurinen) matemaattinen taitorakentuu

(Dehaene, 1997/2011; Lipton & Spelke 2003)

6.9.2018Pirjo Aunio

Lukumääräisyyden taju (2)

Myötäsyntyinen kyky lukumäärien hahmottamiseen

Ei laskemista vaan suhteellinen, epätarkkaa, lukumäärienhahmotuskyky

Aistikanavasta riippumaton kyky

Mitä suurempi ero lukumäärien välillä on, sitä helpompaaon ne erottaa toisistaan.

Kyky näyttää paranevan kohtuullisesti ainavarhaislapsuuteen -> kehitys tasaantuuei muutu täysin tarkaksi -> ainoa keino tarkkaan määränhahmottamiseen on kieli ja laskeminen.

6.9.2018Pirjo Aunio

Mitkä taidot todettu hyviksi ennustajiksi?

Pitkittäistutkimuksista (viimeisen 10 vuoden aikana) tietoa, mitkä taidot ennustavat myöhempää matematiikan osaamista

6.9.2018Pirjo Aunio

Tavalliset lapset

1) Esiopetusikäisen lapsen lukujonotaidot ennustavat hyvin myöhempää yhteen- ja vähennyslaskun taitoa

2) Spontaani lukumäärien havaitseminen ja lukumääräisyyden taju nuorilla lapsilla ennustaa myöhempää lukumäärän laskemisen taitoa.

3) Yleinen matematiikan osaaminen ennen kouluikää ennustaa hyvin myöhempää aritmetiikan osaamista koulussa.

6.9.2018Pirjo Aunio

Lapset, joilla oppimisvaikeuksia

1) Lukumäärän laskutaito esikoulussa on hyvä ennustaja myöhemmälle matematiikan osaamiselle.

2) Lapsilla, joilla on matematiikan ja/tai lukemisen vaikeuksia

- todennäköisesti vaikeuksia kaikkien taitoryppäiden kehityksessä

- erityisesti: laskuprosessien ymmärtämisessä, aritmeettisten faktojen muistamisessa ja aritmeettisten strategioiden käyttämisessä

3) Ristiriitaiset tulokset koskevat lukumäärän laskutaidon kehitystä lapsilla, joilla on kielen oppimisen vaikeuksia.

- Osa raportoi, että vaikeuksia laskutaidoissa ei ole

- Toiset taas, että esimerkiksi lukujonon hallinta on heikkoa nuorilla dysfasia lapsilla.

Heikkous lukumääräisyyden tajussa

- Potentiaalinen selittäjä vaikeille matematiikan oppimisvaikeuksille (Mazzocco, Feigenson & Halberda2011a; Price & Ansari 2013)

- Estimointiin keskittyvä lukumäärän ymmärrys (i.e., approximate number system) ennustaa myöhempiä taitoja (Libertus, Feigenson & Halberda 2011; Mazzocco, Feigenson & Halberda, 2011b)

- Onko kyseessä mentaali mallinnus numerosymboleista vai ei-symbolinen lukumäärän representaatio? (De Smedt, Nöel, Gilmore & Ansari, 2013)

53

Pirjo Aunio

EARLY NUMERACY SKILLS PREDICTING MATH IN 1ST

GRADE

Aunio & Niemivirta 2010

54

Aunio, P., Laine, A. & Räsänen, P. (manuscript in preparation)Development of mathematical skills in 9-12 years old children

Pirjo AUnio 55

Kehityksestä 9-12 vuotiaiden ikäryhmässä

Lapset, joilla matamaattisia oppimisvaikeuksiaikäryhmässä 9-12 v:

On pulmia etenkin perusaritmeettisissa taidoissa –sujumattomuus (e.g. Geary 2014, Kucian & von Aster 2014)

Syy voi olla poikkeavasta neurologisesta toiminnastalukumäärillä operoiminen on vaikeutunut (e.g. Price & Ansari, 2013)

Pulmia sanallisissa tehtävissä (syynä heikot aritmeettisettaidot vai kielellinen pulma)

Tutkimuksen tavoite ja menetelmä

Mitkä ovat keskeiset matemaattiset taidot, jotka kehittyvätikäryhmässä 9-12?

Vaihe 1:

Systemaattinen luenta arviointivälineet, joilla mitataan lasten(9-12v) matemaattisia taitoja

Tehtävien luokittelu

Vaihe 2:

• Pitkittäistutkimuksien analyysi, mitä on tehty koskienmatemaattisten taitojen kehitystä ikäryhmässä 9-12 y.

• ennustearvot

Vaihe 1– arviointivälineet

Finnish

1 Räsänen (2005) Banuca. Lukukäsitteen ja laskutaidonhallinnan testi. 7-9 years old children.

2 Räsänen (2004) RMAT. 9-12 years old children.

3 Häyrinen, Serenius-Serve & Korkman (2013) Lukilasse-2. 7-12 years old

International

1 Butterworth (2003) Dyscalculia Screener. 6-14 years.

2 Woodcock, McGrew & Mather (2001; 2007) Woodcock-Johnson Test of Achievement. 2-90+ years

3 Von Aster, Weinhold Zulauf & Horn (2006) ZAREKI-R (n 7-16 y.) leerjaar 3-> 2 klas voortgezet onderwijs

Banuca RMAT Lukilasse

Comparison bw

numerosities (Lukumäärien

vertailu)

Numerosity-symbol-number

word (Lukumäärä-symboli-

lukusanan yhteys)

Symbol-number word

(symboli-lukusanan yhteys)

Continue the number word

sequence (Lukujonon

jatkaminen ja ymmärtäminen)

Continue the number word

sequence; natural numbers,

fractions, desimal numbers (lukujonon jatkaminen; luonnolliset luvut,

murtoluvut, desimaaliluvut)

Addition and substraction

without manipulatives(Yhteen- ja vähennyslaskut;

päässälaskut)

Addition and substraction without

manipulatives

(Yhteen- ja vähennyslaskut;

päässälaskut)

Addition and substraction without

manipulatives (Yhteen-ja

vähennyslaskut; päässälaskut)

Addition and substraction;

algorithm (Yhteen- ja vähennyslaskut;

allekkain)

Addition and substraction;

algorithm (Yhteen- ja vähennyslaskut;

allekkain)

Multiplication and division without

manipulatives (Kerto- ja jakolaskut;

päässälaskut)

Multiplication and division without

manipulatives (Kerto- ja jakolaskut;

päässälaskut)

Muiltiplication and division,

algorithm (Kerto- ja jakolaskut;

allekkain, jakokulmassa)

Multiplication and division without

manipulatives (Kerto- ja jakolaskut;

allekkain, jakokulmassa)

Dyscalculia Screener WJ test of achievement

III

Zareki-R-NL

Number size (Lukumäärien vertailu) Number comparison,

manipulation,(what is bigger?)

Number sequence skills, backwards

Number-number word –numerosity

relations (reading arabic numbers,

writing numbers from dictation)

Mental numberline

Enumeration skills

Quantitative concepts Digit span, repeating said number

Addition (no manipulatives) Calculation: addition, subtraction,

division, algorithms, natural numbers,

fractions, decimal numbers

Addition, subtraction and

multiplication without manipulatives

Multiplication (no manipulatives) Math Fluency: addition, subtraction,

multiplication without manipulatives

Applied problems (counting

numerosity, arithmetics, money,

temperature, clock, percent, area,

volume)

Verbally given problems, addition and

subtraction, digit span, repeating said

numbers

Vaihe 1 – alustavia tuloksia

Arviointivälineissä mitattaan yleensä

Yhteenlaskua ja kertolaskua

- Myös vähennyslasku ja jakolasku

Päässälaskua pienillä luvuilla (alle 100 )

Joskus myös sanallisia tehtäviä

Authors Yea

r

Name of article

Hecht, S., Torgensen, J., Wagner, R. & Rashotte, C.

2001 The relations between phonological processing abilities and emergining individual differences in mathematical computational skills: A longitudinal study from second to fifth grades. Journal of Experimental Child Psychology, 79,2,192-227.

Mazzocco & Kover 2007 A longitudinal assessment of executive function skills and their association with math performance. Child Neuropsychology 13 18-45.

Geary, D.C. 2011 Cognitive predictors of achievement growth in mathematics: 5 year longitudinal study. Developmental Psychology 47 (6) 1539-1552.

Swanson, H.L.

2011 Working memory, attention and mathematical problem solving: A longitudinal study of elementary school children. Journal of Educational Psychology, 1-17.

Zheng, G., Swanson, H.L. & Marcoulides, G.

2011 Working memory components as predictors of children's mathematical problem solving. Journal of Experimental Child Psychology, 481-498.

Alloway, T & Passolunghi, M C 2011 The relationship between working memory, IQ, and mathematical skills in children

Alloway T P. & Alloway, R. G. 2010 Investigating the predictive roles of working memory and IQ in academic attainment. Journal of Experimental Child Psychology, 20-29.

Vukovic, R.K. & Lesaux, N.K. 2013 The language of mathematics: Investigating the way language counts for children's mathematical development. Journal of Experimental Child Psychology 115, 227-244.

Vaihe 2: alustavia tuloksia

Nyt kognitiiviset komponentit ja matematiikka

Verbal problem solving and working (Lee, Swee, Fong, Ee-Lyn & Zee-Ying 2004; Swanson & Sachse-Lee 2001; Swanson 2004;Swanson et Lee 2011; Fuchs et al 2006; Lee et al. 2009; Passolunghi, Cornoldis & Deliberto 1999; Zheng2011)

Vain muutamassa tutkimuksessa ennustetaanmatematiikan taitoja toisilla matemaattisilla taidoilla(Landerl, Bevan & Butterworth 2004; Locuniak & Jordan 2008; Mazzocco & Thompson 2005)

63

YKSILÖLLISTEN EROJENSELITTÄMINEN MATEMAATTISESSAOSAAMISESSA

Katsaus suomalaiseen nykytutkimukseen

64

Katsaus (Lee & Aunio, in press)

Viimeiset 15 vuotta

Kv-julkaisut

Kehityksen (osaamisen) selittäminen

33 artikkelia

Pirjo Aunio 65

Muutama yleinen huomio

Matemaattisten taitojen kehityksen tutkimusta tehdäänuseassa ryhmässä ja yliopistossa:

Jyväskylän yliopisto (Aunola et al., Räsänen et al. Koponenet al.)

Turun yliopisto (Kyttälä et al., Hannula-Sormunen et al.)

Itä-Suomen yliopisto (Björn et al., Hakkarainen et al., )

Helsingin yliopisto (Aunio et al.)

4-9 vuotiaat ja 15-16 -vuotiaat

Pirjo Aunio 66

Tuloksia koskien 4-9-vuotiaita lapsia

Kyttälä et al. (2003) ja Kyttälä (2013) osoittivat, että 4-6 –vuotiaana erityisesti visuospatiaalista työmuistia tarvitaankun ratkaistaan lukumäärän laskemisen tehtäviä jasanallisia tehtäviä (yksinkertaisia yhteen- javähennyslaskuja)

Kyttälä et al. (2010) osoittivat, että mikäli lapsella oli 4-6 –vuotiaana heikkoutta matemaattisissa varhaistaidoissahänellä oli heikoutta laajemmin kognitiivisessaosaamisessa (työmuisti, kielen osaaminen, joustavaälykkyys)

67

Koulunaloittajien matemaattisten taitojenkehitys (1)

Aunola et al. (2004) ja Aunio & Niemivirta (2010) osoittivat, että varhaiset matemaattiset taidot, jotka on mitattuna ennen koulun alkua ennustaa hyvin osaamistaensimmäisellä ja toisella luokalla

Erot lasten välillä kasvoivat koulun alun jälkeen

Aunio et al. (2015) raportoi, että lapset, jotka aloittivatesikoulun heikoilla matemaattisilla taidoilla olivat heikkojamyös esikoulun lopussa, eivätkä tavoittaneet tavallisestiosaavien ikätoverien osaamistasoa.

Hannula-Sormunen et al. (2015) lisää, että spontaanilukumäärien havaitseminen ennen koulua ennustaa hyvinmyöhempää matemaattista osaamista

68

Koulunaloittajien matemaattisten taitojenkehitys (2)

McMullen et al. (2016) tulokset osoittavat, että lastenspontaani fokusoiminen lukumääriin on hyvä ennustajamyöhemmälle rationaalilukujen osaamiselle

McMullen et al. (2014) lisäävät, että pienten lastenspontaani kyky kiinnittää huomiota lukumäärien suhteisiinennustaa hyvin myöhempää murtolukujen osaamista.

Zhang et al (2014) tutkimus osoitti, että kirjoitettu kielitaitoon tärkeää varhaisille aritmetiikan taitojen kehitykselle

Björn et al. (2016) toteavat, että luetun ymmärtämisentaidot ovat tärkeä osa matemaattista ongelman ratkaisua

69

Matemaattisten taitojen kehitys jamotivationaaliset tendenssit (1)

Aunola et al. (2006) osoittivat, että tehtäväorientoituminenmatemaattisiin tehtäviin jo ennen koulun alkua on merkityksellinen, koska korkea matematiikan osaaminenkoulun alussa nosti tehtävä orientoitumista, joka ennustiosaamista toisen luokan alussa

Opettajien toiminta vaikuttaa lasten tehtävä orientoitumiseen

Viljaranta et al. (2009) täydentää edellistä tulostaraportoimalla, että mitä enemmän lapset raportoivattehtävä orientoitunutta motivaatiota esikoulun alussa sitäkorkeampi oli heidän artimeettinen osaaminen esikoulunlopussa

- Mitä parempi aritmeettinen osaaminen, sitäkiinnostuneempia lapset olivat matematiikasta

Pirjo Aunio 70

Matemaattisten taitojen kehitys jamotivationaaliset tendenssit (2)

Aunola et al. (2003) raportoivat, että vanhempien uskolapsen yleiseen kouluosaamiseen lisäsi lapsentehtäväorientoitunutta toimintaa ja ennusti hyväämatemaattista osaamista.

Vanhempien usko lapsen matemaattiseen osaamisenvaikutti positiivisesti lapsen matemaattiseen osaamiseen

Slilinskas et al (2010) osoittivat, että mitä alhaisempi olivanhempien sosio-ekonominen status, sitä enemmän he opettivat lapsiaan matematiikassa ja lukemisessaensimmäisellä luokalla

- Mitä heikommat taidot lapsella oli matematiikassakoulun alussa, sitä enemmän vanhemmat raportoivatopettavansa myöhemmin

Pirjo Aunio 71

Matemaattiset erot ja kognitiiviset taidotyläkoulussa

Kyttälä & Lehto (2008) osoittivat, että yläkoululaistenosaaminen matemaattisissa tehtävissä oli yhteydessäjoustavaan älykkyyteen ja passiiviseen visuospatiaaliseentyömuistiin

Kyttälä (2008) toteaa, että sellaiset yläkoululaiste, joilla on oppimisvaikeutta matematiikassa ja lukemisessa, on myösyleisesti vaikeuttaa visuospatiaalisessa työmuistissa

Ne, joilla oli vaikeuksia vain matematiikassa, heillä olivaikeuksia vain passiivisen visaalisen informaationsamanaikaisessa säilyttämisessä

Pirjo Aunio 72

Matemaattiset erot yläkoulussa

Hakkarainen et al. (2013, 2015) osoittivat, ettämatemaattiset ja lukemisen oppimisvaikeudet ennustivatvahvasti kouluosaamista 9-luokan lopussa

siirtymistä toiselle asteelle

Koulutuksellista syrjäytymistä

Hakkarainen et al. (2013) ja Korhonen et al. (2010) toteavat, että lukemisen taidot olivat yhteydessämatemaattisten taitojen osaamiseen 9-luokalla

Korhonen et al. (2014) löysi yläkoulun päättäjistä kaksioppimisprofiilia, jotka olivat erityisen herkkiä koulutuksestasyrjäytymiselle

- Heikko osaaminen ja akateeminen hyvinvointi

- Osaaminen on ok; akateeminen huonovointisuus

Pirjo Aunio 73

Matemaattiset erot yläkoulussa

Korhonen et al. (2016) havaitsi eroja tyttöjen ja poikienväillä siinä, miten matematiikka ja kiinnostus olivatyhteydessä oppimisen tavoitteisiin

Tyttöjen kohdalla kiinnostus matematiikkaan ennusti sitä mitähe tavoittelivat

Pojilla osaaminen oli parempi ennustaja

Tytöillä ja pojilla kouluun liittyvä loppuunpalaminen ennustikiinnostuksen kautta osaamista matematiikassa jalukemisessa

- Tytöillä suora postiivinen yhteys oppimiseen liittyviintavoitteisiin

Pirjo Aunio 74

Matemaattiset erot yläkoulussa

Niemivirta ja Tapola (2009)

Minäpystyvyys + kiinnostus ongelmanratkaisutehtävässä

Minäpystyvyys ja kiinnostus korreloi positiivisesti

Kun osaamisen taso kontrolloitiin, alukuperäinenminäpystyvyys ja muutos kiinnostuksessa ennusti tehtävänsuoritustasoa

Kyttälä & Björn (2010) toteavat, että matematiikkaan liittyväahdistuneisuus (anxiety) on enemmänkin opetuksellinenlopputulos kun oppimiseen vaikuttava tekijä 14-vuotiailla nuorilla

- Vaikka ahdistuneisuus ei ennusta osaamista, se on uhkahyvinvoinnille kaikissa osaamisryhmissä

75

Yksilölliset erot matemaattisissa taidoissa

Kognitiiviset tekijät

Emotionaaliset tekijät

Oppmisympäristö

Perheen merkitys

76