Máquinas que comen máquinas

To iterate is human, to recurse divine.—L. Peter Deutsch

Ivan Meza

Máquinas de TuringEs una tupla (Q, Σ, Γ, , B, A, δ)q0

conjunto finito de estados alfabeto de cadenas reconocidas alfabeto de cinta, estado inicial Símbolo de espacio en blanco pero estados finales

función de transición

QΣΓ Σ ⊂ Γq0B B ∈ Γ B ∉ ΣAδ Q × Γ → Q × Γ × {der, izq}

Jerarquía de ChomskyLenguaje Gramática Máquina Ejemplo

Tipo 0 ( )

Máquina de Turing,APDo, AC

??

Tipo 1 ( )

Autómata lineal confronteras

Tipo 2 ( )

Autómata de pila

Tipo 3 ( )

Autómata finito

/LRE LRec

α → β

LDC

αV β → αγβww, anbncn

LLC

V → αw ,wr anbn

Lreg

V → aA|ϵw, a∗

Lo que sabemos

Las máquinas que al pasar por un estado �nal terminanaceptando la cadena, otras que no tienen una transición yrechazan la cadena, pero de vez en cuando se pueden quedaren un ciclo

Si la cadena debe ser aceptada por la MT, eventualmentellegará al estado aceptor; si la cadena debe ser rechazadapuede llegué a una transición inexistente o se quede en unciclo.

Las autómatas �nitos, autómatas de pilas, autómatas confrontera lineal, son máquinas aceptoras: verdadero o falso

Entonces las MT contienen máquinas aceptoras

Codificación de una cadena δ( , ) = ( , , )qi Xj qk Xl Dm

Asignar a cada estado , a cada símbolo de y cada dirección unenteroCodificar cada entrada de la MT como Separar cada codificación con doble uno ( )

Q Γ

0i10j10k10l10m

11

Ejemplo δ( , 1) = ( , 0, R)q1 q3 0100100010100

δ( , 0) = ( , 1, R)q3 q1 0001010100100δ( , 1) = ( , 0, R)q3 q2 00010010010100δ( , B) = ( , 1, L)q3 q3 0001000100010010

Con = 1, = 2, = 3; 0 = 1, 1 = 2, B = 3; L = 1, R = 2q1 q2 q3

01001000101001100010101001001100010010010100110001000100010010

Máquina de Turing Universal

It is possible to invent a single machine which can be used tocompute any computable sequence. If this machine issupplied with a tape on the beginning of which is written theS.D ["standard description" of an action table] of somecomputing machine , then will compute the samesequence as .

U

M UM

Turing, 1936

Es posible inventar una máquina que pueda ser usada paracomputar cualquier secuencia computable. Si esta máquina se le provee con una cinta en la que al principio se le escribe ladescripción estándar de una tabla de acción de algunamáquina , entonces computará la misma secuencia que

U

M UM

MTU: Máquina de Turing quepuede simular una MT arbitrariaMu

Lenguaje aceptado= {mw|w ∈ L(M)}Lu

El lenguaje máquinas y cadenas dónde la máquina acepta a lacadena

Verdadero

FalsoW

MTUM

M

Por el momento, haremos la hipótesis que esrecursivo/decidible

Mu

Realización, una MT es una cadena

Como cadena se podía presentar a una máquina de Turinguniversal

Verdadero

Falsom

MTUm

Mi

ii

Las máquinas de Turing que se aceptan a si mismas

= {m|m ∈ L(M)}Ld̄

Las máquinas en realidad son un número, como número laspodemos ordenar

Ordenadas, cada una corresponde a un número entero

Entonces,...

T F F T F

F F F F F

T T T T T

F T F F F

T F T F F

m0 m1 m2 m3 m4 …M0 …M1 …M2 …M3 …M4 …… … … … … … …

T F F T F

F F F F F

T T T T T

F T F F F

T F T F F

m0 m1 m2 m3 m4 …M0 …M1 …M2 …M3 …M4 …… … … … … … …

Md¯ T F T F F …

F F F T F

F T F F F

T T F T T

F T F T F

T F T F T

m0 m1 m2 m3 m4 …M0 …M1 …M2 …M3 …M4 …… … … … … … …

Md F T F T T …

El lenguaje de las máquinas que no se aceptan a si mismas = {m|m ∉ L(M)}Ld

Si es RE o Rec existe una máquina de Turing, , ¿qué pasacon su descripción ?

Md

md

Si , quiere decir que no se acepta a si misma, peropara eso tendría que aceptarla, que la hace una máquinaque se acepta a si misma, contradicción

∈md Ld

Md

Si , quiere decir que se acepta a si misma, pero paraeso no tendría que aceptarla, que la hace una máquinaque no se acepta a si misma, contradicción

∉md Ld

Md

existe afuera de lasmáquinas de TuringLd

Lenguaje Gramática Máquina Ejemplo

No RE -- --

Tipo 0 ( )

Máquina de Turing,APDo, AC

??

Tipo 1 ( )

Autómata lineal confronteras

Tipo 2 ( )

Autómata de pila

Tipo 3 ( )

Autómata finito

Ld

/LRE LRec

α → β

LDC

αV β → αγβww, anbncn

LLC

V → αw ,wr anbn

Lreg

V → aA|ϵw, a∗

Lenguajes aceptados por máquinas aceptoras: recusivos odecidibles

¿Las máquinas de Turing son las máquinas aceptoras?

Sabemos que las máquinas Turing tiene un límite

MT Verdadero

FalsoW

Imaginemos

MT Verdadero

FalsoW

Verdadero

Falso

Complemento de todos los recursivos son recursivo

Lenguaje aceptado

Verdadero

FalsoW

MTUM

M

= {mw|w ∈ L(m)}Lu

¿Si pasamos nuestra numeración de ?MTi

Si es recursivo, su complemento también...Lu

Verdadero

FalsoW

MTUM

M Verdadero

Falso

¿Si pasamos nuestra numeración de ?MTi

¡Aceptaría ! ¡No es posible! por lo tanto tiene algo raroLd Lu

no es Rec pero RE

Lenguaje Gramática Máquina Ejemplo

No RE -- --

Tipo 0 ( )

Máquina de Turing,APDo, AC

/

Tipo 1 ( )

Autómata lineal confronteras

Tipo 2 ( )

Autómata de pila

Tipo 3 ( )

Autómata finito

Ld

/LRE LRec

α → βLu

LDC

αV β → αγβww, anbncn

LLC

V → αw ,wr anbn

Lreg

V → aA|ϵw, a∗

Sabemos que hay MT que son decidibles: verdadero y falso

Sabemos que hay problemas para los cuales no existe MT, Ld

Sabemos que hay MT que no son decidibles: verdadero, falsoy ciclo

Opciones de una máquina deTuring

¿Cuándo se acepta? Llega a estado aceptor¿Cuándo se rechaza? Llega a estado del que no hay transición dadoel estado de la cinta¿Otra opción? Quedarse en un ciclo infinito

MT Verdadero

FalsoW

Modelo teórico: instantáneoAceptar (T) Llega a estado aceptorRechazar (F) Se queda en estado no aceptorLoop infinito Rechazó o loopinfinito?

Modelo práctico: tiempoAceptar (T) En algún momento llega a estado aceptorRechazar (F) En algún momento llega a estado no aceptorLoop infinito No termina nunca

Ante problemas muy, muy difíciles, no sabemos si sigueprocesando o está en un loop in�nito

Ejemplo de problema muy muydifícilDe un conjunto de números enteros de tamaño ¿existe unacombinación del subconjuntos de ellos que sume ?

NC

¿Cómo se diseña la MT?

N = 1, ∗ 1 = 2 = 2ns21

N = 2, ∗ 2 = 8 = 8ns22

N = 3, ∗ 3 = 24 = 24ns23

N = 10, 0 ∗ 10 = 10, 240 = 10micros21

N = 20, 0 ∗ 20 = 20, 971, 520 = 2milis22

N = 30, 0 ∗ 30 = 32, 212, 254, 720 = 32s23

N = 40, 0 ∗ 40 = 43, 980, 465, 111, 040 = 12h24

N = 50, 0 ∗ 50 = 56, 294, 995, 342, 131, 200 = 651d25

¿Por qué mi programa tiene unloop?

Por diseño, loops son importantes desde lenguajes regulares

¿Por qué mi programa tiene unloop infinito?

Un errorPor diseño, interfaz gráfica, satélites, switches, robots

Hecho de la computación: los loops son básicos en lacomputación

Pero nos meten en problemas rápidamente

¿Qué hay de lenguajesrecursivos?

El lenguaje de las máquinas y cadenas que se aceptan en pasos

n

= {mw|w ∈ L(M) en n pasos}Ln

Enumeremos todas las codi�caciones de automatas linealescon frontera (MT) decidibles, { , , …}M1 M2

Enumeramos todas las cadenas de Σ∗

= { | ∉ L( )}Lf̄ xi xi Mi

Si fuera sensitivo al contexto, una de máquina aceptaría atodas las cadenas dentro de , que va encontra de la definición.Por lo tanto no es sensitivo al contexo.Sin embargo, si es decidible ya que la máquina lo único quetiene que hacer es simular a cada con (es decir, es universal),pero no se queda trabada porque se trata de máquinas decidibles

Lf̄ Mx

Lf̄

Mf̄

Mi xi

Lenguaje Gramática Máquina Ejemplo

No RE -- --

Tipo 0 ( )

Máquina de Turing,APDo, AC

/ ,

Tipo 1 ( )

Autómata lineal confronteras

Tipo 2 ( )

Autómata de pila

Tipo 3 ( )

Autómata finito

Ld

/LRE LRec

α → βLu Ln Lf̄

LDC

αV β → αγβww, anbncn

LLC

V → αw ,wr anbn

Lreg

V → aA|ϵw, a∗

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