mannove i ishikawine iteracije za pojedina …...univerzitet u ni²u prirodno - matemati£ki...

Univerzitet u Ni²u

Prirodno - matemati£ki fakultet

Departman za matematiku

MANNOVE I ISHIKAWINEITERACIJE ZA POJEDINA

KONTRAKTIVNAPRESLIKAVANJA

Master rad

Mentor:

Prof. dr Vladimir Rako£evi¢

Student:

Marko Ra²i¢

Ni², 2017.

Sadrºaj

Predgovor 4

1 Uvodni pojmovi 6

1.1 Metri£ki prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Banachovi i Hilbertovi prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Preslikavanja i �ksne ta£ke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Neke osnovne iteracije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Picardova iteracija 13

2.1 Banachova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Teorema Zam�rescua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 �iri¢eva kvazi kontrakcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Mannova iteracija 16

3.1 Op²ta Mannova iteracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Neespanzivna i kvazi neekspanzivna preslikavanja . . . . . . . . . . . 193.3 Strogo pesudokontraktivna preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Ishikawina iteracija 29

4.1 Lipschitzova i pseudokontraktivna preslikavanja u Hilbertovim pro-storima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.2 Strogo pseudokontraktivna preslikavanja u Banachovim prostorima . 334.3 Neekspanzivna preslikavanja u Banachovim prostorima koja zadovo-

ljavaju Opialov uslov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4 Kvazi neeskapnizna preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.5 Ekvivalentnost izme�u Mannove i Ishikawine iteracije . . . . . . . . . 39

5 Druge iterativne metode 40

5.1 Iteracije sa gre²kama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2 Modi�kovana Mannova i modi�kovana Ishikawina iteracija . . . . . . 42

6 Upore�ivanje iterativnih metoda 44

6.1 Brzina konvergencije iterativnih metoda . . . . . . . . . . . . . . . . 446.2 Upore�ivanje Picardove i Mannove itercije u klasi Zam�recsu presli-

kavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476.3 Picard-Mannov hibridni iterativni metod . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2

SADR�AJ 3

6.4 Upore�ivanje Mannove i Ishikawine iteracije u klasi Zam�rescu pre-slikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Zaklju£ak 50

Literatura 52

Biogra�ja 52

Predgovor

Neka je X neprazan skup i f : X → X. Kaºe se da funkcija f ima �ksnu(nepokretnu) ta£ku ako postoji x ∈ X tako da je

f(x) = x.

Tada element x nazivamo �ksnom ta£kom funkcije f . Skup svih �ksnih ta£akafunkcije f se obi£no ozna£ava sa Fixf, Fix(f) ili Ff .

Smatra se da izu£avanje teorije �ksne ta£ke na metri£kim prostorima po£inje od1922. godine kada je Banach uveo i izu£avao pojam kontrakcije na metri£kim pro-storima. Sa zna£ajnim prou£avanjima se po£elo tokom sedamdesetih godina pro²logveka. Me�utim, manje je poznato, ali je zanimljivo napomenuti da je astronom imatemati£ar Al-Kashani (Persija, 1380-1429) objavio 1429. godine knjigu pod na-zivom "The Calculator's Key", gde su kori²¢ene Picardove iteracije. Al-Kashani jepostavio temelj za takozvane numeri£ke tehnike, a njegov cilj je bio razvoj prakti£nihstvari, kao na primer, aproksimativna vrednost od sin(10), £ime je muslimanskimnau£nicima omogu¢io dobijanje vrlo dobre pribliºne vrednosti obima zemlje. Zapa-njuju¢e je primetiti da su mnoge Banachove ideje principa kontrakcije bile poznateAl-Kashaniju.

Ova grana matematike ima zna£ajnu primenu pri re²evanju sistema od n jed-na£ina, zatim re²avanju diferencijalnih i integralnih jedna£ina u matematici, kao imnogih problema u �zici, hemiji, biologiji itd.

Teorija �ksne ta£ke predstavlja jednu od glavnih grana nelinearne analize, uskoje povezana sa mnogim oblastima matematike, kao ²to su: klasi£na analiza, teorijaoperatora, funkcionalna analiza, topologija. Kao ²to i sam naziv kaºe, ova granamatematike bavi se problemima egzistencije, odre�ivanja i konstrukcije �ksne ta£kepreslikavanja. Teorija �ksne ta£ke je op²irna oblast, koja se i danas uveliko prou£avai razvija.

U ovom master radu predstavi¢emo Mannove i Ishikawine iterativne metode zapojedine tipove preslikavanja. Rad je tematski podeljen na ²est glava, a svaka odglava na vi²e poglavlja.

4

SADR�AJ 5

U prvoj glavi su uvedeni pojmovi koji se koriste kasnije kao ²to su: metri£ki,Banachovi i Hilbertovi prostori, zatim su date neke osnovne de�nicije i tvr�enja izteorije �ksne ta£ke koja se koriste dalje u radu i na kraju su de�nisane pojedineiterativne metode.

U drugoj glavi se bavimo Picardovom iteracijom, jednom od najosnovnijih itera-tivnih metoda. Tako�e, iznet je Banachov princip kontrakcije, teorema Zam�rescuai �iri¢eva kvazi kontrakcija.

Tre¢a glava predstavlja jedan od vaºnijih delova ovog rada. U tre¢oj glavi pred-stavljamo Mannovu iteraciju. Najpre, uvodimo op²tu Mannovu iteraciju, a zatimposmatramo Mannovu iterativnu metodu za klase odre�enih preslikavanja.

�etvrta glava se prirodno nadovezuje na tre¢u i jednako je vaºna. U ovoj glavise bavimo iteracijom Ishikawe, koja predstavalja Mannovu iteraciju u dva koraka.Prikazani su rezultati koji povezuju Ishikawinu iterativnu metodu i odre�ene klasepreslikavanja kao i ekvivalentnost izme�u Mannove iterativne metode i Ishikawineiterativne metode.

U petoj glavi se bavimo pojedinim varijacima Picardove, Mannove i Ishikawineiteracije. Ilustrujemo, ne²to sloºenije, iteracije sa gre²kama i modi�kovane iteracijeManna i Ishikawe.

U ²estoj, poslednjoj, glavi rada upore�ujemo razli£ite iterativne procese, u smislubrzine konvergencije tih procesa. Iznet je Picard-Mannov hibridni iterativni metod.Tako�e, u ovoj glavi je kroz primer ilustrovan veoma zna£ajan komentar Qinga iRhodesa za klasu Zam�rescu preslikavanja.

Rad se zavr²ava zaklju£kom i spiskom literature.

Posebnu zahvalnost dugujem svom mentoru, profesoru dr Vladimiru Rako£evi¢una predloºenoj aktuelnoj i zanimljivoj temi. Njegova pomo¢ i stru£ni saveti suzna£ajno pobolj²ali kvalitet ovog master rada. Tako�e, zahvaljujem se i profesorima,dr Vladimiru Pavlovi¢u i dr Dejanu Ili¢u na pomo¢i prilikom izrade rada.

Zahvaljujem se i svojoj porodici na podr²ci, ne samo tokom studiranja, ve¢ tokom£itavog ²kolovanja.

Glava 1

Uvodni pojmovi

1.1 Metri£ki prostori

De�nicija 1. Neka je X neprazan skup. Funkcija d : X × X → R naziva semetrika(rastojanje) na skupu X ako zadovoljava slede¢e uslove:

• d(x, y) ≥ 0 za svako x, y ∈ X;

• d(x, y) = 0 ako i samo ako je x = y;

• d(x, y) = d(y, x) za svako x, y ∈ x (simetrija);

• d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) za svako x, y, z ∈ X (nejednakost trougla);

Metri£ki prostor je par (X, d), gde je d metrika na skupu X. Preslikavanje f sametri£kog prostora (X, dX) u metri£ki prostor (Y, dY ) je izometrija ako jedY (f(x1), f(x2)) = dX(x1, x2) za svako x, y ∈ X.

Metri£ki prostori (X, dX) i (Y, dY ) su izometr£ni ako postoji izometrija f sa Xna Y .

De�nicija 2. Niz {xn}n, ta£aka metri£kog prostora (X, d) je Cauchyjev ako za svakoε > 0 postoji n0 ∈ N , tako da iz m,n ≥ n0 sledi d(xm, xn) ≤ ε. Simboli£ki niz {xn}nje Caushyjev ako:

(∀m,n ∈ N)(m,n ≥ n0 ⇒ d(xm, xn) < ε)

Svaki konvergentan niz je Caushyjev, a svaki Caushyjev niz je ograni£en. AkoCaushyjev niz {xn}n ima konvrgentan podniz, tada je {xn}n konvergentan niz.

De�nicija 3. Metri£ki prostor (X, d) je kompletan ako je u njemu svaki Caushyjevniz konvergentan.

Svaki zatvoren potprostor kompletnog metri£kog prostora je kompletan metri£kiprostor.

6

Uvodni pojmovi 7

Teorema 1. Neka je X metri£ki prostor. Slede¢a tvr�enja su ekvivalentna:

• X je kompaktan metri£ki prostor;

• Svaki niz u X ima ta£ku nagomilavanja u X;

• Svaki beskona£an podskup skupa X ima bar jednu ta£ku nagomilavanja u X.

1.2 Banachovi i Hilbertovi prostori

De�nicija 4. Neka je K polje ralnih brojeva R, ili polje kompleksnih brojeva C, aX vektroski prostor nad K. Funkcija x → ‖x‖ sa X u R naziva se norma na X akozadovoljava slede¢e uslove:

• ‖x‖ ≥ 0 za svako x ∈ X;

• ‖x‖ = 0 ako i samo ako je x = 0;

• ‖λx‖ = |λ|‖x‖ za svako λ ∈ K i svako x ∈ X;

• ‖x+ y‖ = ‖x‖+ ‖y‖ za svako x, y ∈ X.

Normiran prostor (normiran lineran prostor, normiran vektorski prostor) je par(X,‖.‖), gde je X vektorski prostor, a x→ ‖x‖ norma na X.

De�nicija 5. Neka je X normiran prostor i d funkcija sa X × X u R, de�nisanasa:

d(x,y) = ‖x− y‖ za svako x, y ∈ X.

(X, d) je metri£ki prostor, a za funkciju d se kaºe da je metrika de�nisana nor-mom ili da je prirodna metrika na normiranom prostoru X.

Kako je normiran prostor (X,‖.‖) ujedno i metr£ki prostor (X, d) to se svi poj-movi i stavovi za metri£ke prostore na prirodan na£in prenose i na normirane pro-store. Na primer, niz {xn}n u (X,‖.‖) konvergira ka x ∈ X ako niz {xn}n konvergirau (X, d).

De�nicija 6. Normiran prostor X je Banachov prostor ako je (X, d) kompletanmetri£ki prostor, pri £emu je metrika d de�nisana normom.

Svaki kona£no dimenzionalan potprostor Y normiranog prostora X je kompletan(Banachov). Specijalno, svaki kona£no-dimenzionalan normiran prostor je komple-tan (Banachov). Svaki kona£no-dimenzionalan potprostor Y normiranog prostoraX je zatvoren u X.

Uvodni pojmovi 8

De�nicija 7. Skalarni proizvod na kompleksnom vektorkosm prostoru X je funkcijas sa X ×X u C koja zadovoljava slede¢e uslove:

• s(λ1x1 + λ2x2, y) = λ1s(x1, y) + λ2s(x2, y),za svako λ1, λ2 ∈ C i svako x1, x2, y ∈ X;

• s(x, λ1y1 + λ2y2) = λ1s(x, y1) + λ2s(x, Y2),za svako λ1, λ2 ∈ C i svako x, y1, y2 ∈ X;

• s(x, y) = s(y, x), za svako x, y ∈ X;

• s(x, x) ≥ 0, za svako x ∈ X;

• s(x, x) = 0 ako i samo ako je x = 0;

Vektorski prostor X sa skalarnim proizvodom s, odnosno ure�eni par (X, s) nazivase unitarni prostor (pre-Hilbertov prostor, prostor sa skalarnim proizvodom). De�-nicijom 7. uveden je kompleksan unitaran prostor.Ukoliko je vektorski prostor X realan, funkcija s realna i ima prethodno navedeneosobine, tada se kaºe da je X realan unitaran prostor.

De�nicija 8. Neka je X unitaran prostor. Za normu ‖x‖ = (x, x)12 , za x ∈ X

kaºe se da je norma de�nisana skalarnim proizvodom. Ako se posebno ne naglasi,podrazumeva se da je unitaran prostor X normiran prostor sa pomenutom normom.Ako je unitaran prostor X Banachov prostor, tada se kaºe za X da je Hilbertovprostor.

Uvodni pojmovi 9

1.3 Preslikavanja i �ksne ta£ke

De�nicija 9. Neka je X neprazan skup i f : X → X. Kaºe se da funkcija f ima�ksnu (nepokretnu) ta£ku ako postoji x ∈ X tako da je

f(x) = x.

Tada element x nazivamo �ksnom ta£kom funkcije f. Skup svih �ksnih ta£aka funk-cije f se obi£no ozna£ava sa Fixf, Fix(f) ili Ff .

Primer 1. Neka je X = R i T (x) = x2 − x, skup svih �ksnih ta£aka preslikavanjaT je FT = {0, 2}.

Primer 2. Neka je X = R i T (x) = x2 − 2x + 2, tada T ima jedinstvenu �ksnuta£ku, odnosno FT = {2}.

Primer 3. Ako je X = R i T (x) = x, tada je FT = R.

Primer 4. Za X = R i T (x) = x+ 3, T nema �ksnih ta£aka, odnosno FT = ∅.

Prirodno se name¢e pitanje, da li postoji ²ira klasa funkcija de�nisanih u metri£-kim prostorima koje imaju �ksnku ta£ku? Traºenje odgovora na ovo pitanje vodinas do pojma kontrakcije u metr£kim prostorima, tj. do kontraktivnih preslikavanja.

De�nicija 10. Neka je (X, d) metri£ki prostor. Preslikavanje f : X → X je:

(a) Lipschitzovo (L-Lipschitzovo) ako postoji L ≥ 0 tako da je

d(fx, fy) ≤ Ld(x, y)

za svako x, y ∈ X;

(b) kontrakcija (a-kontrkacija) ako je f a-Lipschiztovo, za a ∈ [0, 1), tj.

d(fx, fy) ≤ a · d(x, y)


(c) neekspanzivno ako je f 1-Lipschitzovo tj.

d(fx, fy) ≤ d(x, y)


(d) kontraktivno ako jed(fx, fy) < d(x, y)

za svako x 6= y ∈ X;

Uvodni pojmovi 10

(e) izometrija ako jed(fx, fy) = d(x, y)


(f) kvazi neekspanzivno ako f ima bar jednu �ksnu ta£ku u X i za svaku �ksnuta£ku p imamo

d(Tx, p) ≤ d(x, p)

za svako x ∈ X.

Primer 5. Neka je T : R→ R preslikavanje de�nisano sa T (x) = x2− 4, tada je T

kontrakcija i FT = −8.

De�nicija 11. Neka je Banachov prostor, K neprazan podskup skupa E i T : K →E. Preslikavanje T je pseudo kontrakcija ako zadovoljava slede¢i uslov

‖T (x)− T (y)‖2 ≤ ‖x− y‖2 + ‖(1− T )x− (1− T )y‖2

za svako x, y ∈ K.Preslikavanje T je stroga pseudo kontrakcija, ako postoji k, 0 ≤ k < 1 , tako da

je za svako x, y ∈ K zadovoljeno:

‖T (x)− T (y)‖2 ≤ ‖x− y‖2 + k · ‖(1− T )x− (1− T )y‖2

De�nicija 12. Topolo²ki prostor X ima svojsto �ksne ta£ke ako svako neprekidnopreslikvanje f : X → X ima �ksnu ta£ku.

Teorema 2. Ako je topolo²ki prostor X homeomorfan sa topolo²kim prostorom Y iX ima svojstvo �ksne ta£ke, tada i Y ima svojstvo �ksne ta£ke.

Teorema 3. (Brouwer,1910)

• Jedini£na zatvorena lopta Kn[0,1] u n-dimenzionalnom Euclidianovom pro-storu En ima svojstvo �ksne ta£ke.

• Svaki kompaktan konveksan neprazan podskup X iz En ima svojstvo �ksneta£ke.

Teorema 4. (Schauder,1930) Svaki kompaktan konveksan neprazan podskup Y nor-miranog prostora ima svojstvo �ksne ta£ke.

Slede¢a teorema je op²tiji oblik Schauderove teoreme.

Teorema 5. (Schauderova druga teorema) Neka je M neprazan konveksan podskupnormiranog prostora X i neka je f neprekidno preslikavanje sa M u kompaktan pod-skup K ⊂M. Tada preslikavanje f ima �ksnu ta£ku.

Schauder je dokazao ovu teoremu u slu£aju da je X Banachov prostor i M zatvo-ren skup.

Uvodni pojmovi 11

De�nicija 13. Neka je f preslikavanje skupa S u topolo²ki prostor X. Ako je f(S) ⊂K, gde je K kompaktan podskup u X, tada se kaºe da je f kompaktno preslikavanje.

Teorema 6. • Svako neprekidno preslikavanje konveksnog podskupa M iz Rn uograni£en zatvoren podskup iz M ima �ksnu ta£ku.

• Svako neprekidno preslikavanje Rn u ograni£en podskup iz Rn ima �ksnu ta£ku.

Zna£ajno je napomenuti da slede¢i rezultat ne koristi kompaktnost u pretpo-stavci.

Teorema 7. (Browder, 1965) Neka je M ograni£en zatvoren konveksan podskupHilbertovog prostora X. Tada svako neekspanzivno preslikavanje f : M → M ima�ksnu ta£ku.

Brouwerova teorema se koristi u kona£no-dimenzionalnim normiranim prosto-rima, a nije primenljiva u beskona£no-dimenzionalnim Banachovim prostorima. Tadase £esto koristi Schauderova teorema.

Uvodni pojmovi 12

1.4 Neke osnovne iteracije

Nave²¢emo sada neke od najosnovnih i naj£e²¢e kor²i¢enih iteracija. Neka je Xnormiran prostor i preslikavanje f : X → X.

Picardova iteracija {xn}n, de�nisana je sa

xn+1 = f(xn),

n=0,1,2,..., gde je x0 ∈ X.

Krasnoselskiijeva iteracija {xn}n de�nisana je sa

xn+1 = (1− λ)xn + λf(xn)

, n=0,1,2,..., gde je x0 ∈ X i λ ∈ [0,1].

Mannova iteracija {xn}n de�nisana je sa

xn+1 = (1− αn)xn + αnf(xn)

, n=0,1,2,..., gde je x0 ∈ X, αn ∈ [0,1], n=0,1,2,..,

Ishikawina iteracija {xn}n de�nisana je sa

xn+1 = (1− αn)xn + αnf(yn),

yn = (1− βn)xn + βnf(xn)

n=0,1,2,..., gde je x0 ∈ X i αn, βn ∈ [0,1], n=0,1,2,..,

Halpernova iteracija {xn}n de�nisana je sa

xn+1 = (1− αn)u+ αnf(xn),

n=0,1,2,..., gde je x0, u ∈ X, αn ∈ [0,1], n=0,1,2,..,

Kirkova iteracija {xn}n deinisana je sa

xn+1 = g(xn),

n=0,1,2,..., x0 ∈ X, αi ∈ [0,1],i = 0, 1, 2, ..k α1 6= 0,∑k

i=1 αi = 1 i g =∑k

i=1 αifi.

Za mnoge klase preslikavanja, pored Pickardove iteracije, mogu da se koriste idruge iteracije za aproksimaciju �ksnih ta£aka preslikavanja. Zna£ajno je sa teorij-skog i prakti£nog aspekta da se odgovaraju¢e metode uporede i da se ustanovi kojametoda najbrºe konvergira.

Glava 2

Picardova iteracija

2.1 Banachova teorema

Slede¢a teorema je poznata kao Banachova teorema o �ksnoj ta£ki, £esto seupotrebljava i izraz Banachov princip kontrakcije.

Teorema 8. Neka ja (X, d) kompletan metri£ki prostor i T : X → X a−kontrakcija.Tada vaºi:

(a) T ima jedinstvenu �ksnu ta£ku, tj. FT = {x∗}, (FT je skup svih �ksnih ta£akapreslikavanja T);

(b) Picardova iteracija za T, odnosno niz {xn}n de�nisan sa

xn = Txn−1 = Tnx0, n = 0, 1, 2, ..,

konvergira ka x∗, za po£etno x0 ∈ X

(c) Vaºe slede¢e procene gre²ke:

d(xn, x∗) ≤ an

1− a· d(x0, x1), n = 0, 1, 2, ...,

d(xn, x∗) ≤ an

1− a· d(xn−1, xn), n = 1, 2, ...,

(d) Brzina konvergencije je data sa:

d(xn, x∗) ≤ a · d(xn−1, x∗) ≤ ... ≤ an · d(x0, x∗).

Mogu¢e je uvesti neke dodatne uslove da kontraktivno preslikavanje bude Picar-dov operator. To pokazuje slede¢a teorema.

Teorema 9. Neka je (X, d) kompaktan metri£ki prostor i f : X → X strogo kon-traktivan operator. Tada je f strogo Picardov operator.

13

Picardova iteracija 14

2.2 Teorema Zam�rescua

De�nicija 14. Za preslikavanje T : E → E kaºemo da je Zam�recsu preslikavanje,ako postoje realni brojevi α, β, γ, 0 ≤ α < 1, 0 ≤ β, γ < 1

2, tako da za proizvoljne

x, y ∈ E vaºi barem jedan od slede¢ih uslova:

(z1) ‖Tx− Ty‖ ≤ α‖x− y‖;

(z2) ‖Tx− Ty‖ ≤ β(‖x− Tx‖+ ‖y − Ty‖);

(z3) ‖Tx− Ty‖ ≤ γ(‖x− Ty‖+ ‖y − Tx‖).

Teorema 10. (Kannan, 1968.) Ako je (X, d) kompletan metri£ki prostor, 0 ≤ q ≤ 12

i f : X → X, preslikavanje tako da je

d(fx, fy) ≤ q(d(x, fx) + d(y, fy))

za svako x, y ∈ X, onda f ima jedinstvenu �ksnu ta£ku, tj. postoji samo jednou ∈ X tako da je fu = u.

Teorema 11. (Chatterje, 1972.) Ako je (X, d) kompletan metri£ki prostor, 0 ≤q ≤ 1

2i f : X → X, preslikavanje tako da je

d(fx, fy) ≤ q(d(x, fy) + d(y, fx))

za svako x, y ∈ X, onda f ima jedinstvenu �ksnu ta£ku.

Zam�rescu je 1972. godine objedinio Banachovu, Kannanovu i Chatterjeovuteoremu.

Teorema 12. (Zam�rescu, 1972.) Ako je (X, d) kompletan metri£ki prostor if : X → X preslikavanje za koje postoje realni brojevi 0 ≤ α < 1, 0 ≤ β < 1

2,

0 ≤ γ < 12, tako da je za svako x, y ∈ X bar jedan od slede¢ih uslova ispunjen:

(z1) d(x, y) ≤ αd(x, y);

(z2) d(fx, fy) ≤ β(d(x, fx) + d(y, fy));

(z3) d(fx, fy) ≤ γ(d(x, fy) + d(y, fx));

Tada preslikavanje f (Zam�rescuovo preslikavanje, Zam�rescuov operator) ima jed-nistvenu �ksnu ta£ku u ∈ X.Neka je x0 ∈ X i {xn}n de�nisan sa

xn = fnx0, n = 0, 1, 2, ...,

Picardova iteracija. Tada je niz {xn}n konvergentan i limn xn = u.

Picardova iteracija 15

2.3 �iri¢eva kvazi kontrakcija

Ljubomir¢ �iri¢ je u veoma zna£ajnom radu iz 1974. godine, uveo pojam kvazikontrakcije kao uop²tenje pojma kontrakcije.

De�nicija 15. (�iri¢, 1974.) Neka je (X, d) metri£ki prostor. Preslikavanje f :X → X, je kvazi kontrakcija ako postoji realan broj α, 0 < α < 1, tako da je

‖Tx− Ty‖ ≤ α ·M(x, y),

gde je

M := max{‖x− y‖, ‖x− Tx‖, ‖x− Ty‖, ‖y − Ty‖, ‖y − Tx‖},

za svako x, y ∈ X.

Teorema 13. (�iri¢) Neka je f : X → X kvazi kontrakcija na metri£kom prostoruX i neka je X f−orbitalno kompletan prostor. Tada

(a) f ima jednistvenu �ksnu ta£ku u ∈ X;

(b) limn→∞ fnx = u, za svako x ∈ X;

(c) d(fnx, u) ≤ αn

1−α · d(x, fx).

Glava 3

Mannova iteracija

3.1 Op²ta Mannova iteracija

De�nicija 16. (Mann, 1953.) Neka je E vektorski prostor, C konveksan podskupod E, T : C → C preslikavanje i x1 ∈ C proizvoljno. Neka je A = [anj] kona£narealna matrica tako da je:

(A1) anj ≥ 0 za sve n, j, i anj = 0 za j ≥ n;

(A2)∑n

j=1 anj = 1, za sve j ≥ 1;

(A3) limn→∞ anj = 0 za sve j ≥ 1.

Niz {xn}n de�nisan sa xn+1 = Tvn gde je:

vn =n∑j=1

anjxj

nazivamo Mannov iterativni proces, ili Mannova iteracija.

Mannov iterativni proces {xn}n ozna£avamo sa M(x1, A, T ). Postoje mnogi ra-dovi koji se bave konvegencijom Mannove iteracije za razli£ite klase preslikavanjaposmatranih na razli£itim prostorima.

Teorema 14. Neka je E lokalno konveksan Hausdorfov topolo²ki prostor, C zatvoreni konveksan podskup od E, preslikavanje T : C → C neprekidno, x1 ∈ C i A = [anj]matrica koja zadovoljava sva tri uslova prethodne de�nicije. Ako bilo koji od nizova{xn}n i {vn}n u Mannovoj iteraciji M(x1, A, T ) konvergira ka ta£ki p, onda i druginiz konvergira ka p i p je �kna ta£ka preslikavanja T.

16

Mannova iteracija 17

De�nicija 17. Mannova iteracija M(x1, A, T ) je normalna ako matrica A = [anj]ispunjava uslove:

(A1) anj ≥ 0 za sve n, j, i anj = 0 za j ≥ n;

(A2)∑n

j=1 anj = 1, za sve j ≥ 1;

(A3) limn→∞ anj = 0 za sve j ≥ 1;

(A4) an+1,j = (1− an+1,n+1)anj, j = 1, 2, ..., n;n = 1, 2, ..,;

(A5) ili ann = 1 za svako n ili ann < 1 za n > 1.

Teorema 15. Vaºe slede¢a trvrdjenja:

(a) M(x1, A, T ) je normalna ako i samo ako A = [anj] ispunjava uslove De�nicje17. i (A

′3)

∑∞n=1 ann divergira;

(b) Matrice A = [anj] (osim beskona£ne jedini£ne matrice) u svim normalnimMannovim iterativnim procesima M(x1, A, T ) su konstruisane na sle¢i na£in:Izaberemo {cn}n tako da je 0 ≤ cn < 1 za svako n i

∑∞n=1 cn divergira i

de�ni²emo A = [anj] sa:

a11 = 1; a1j = 0, j > 1;

an+1,n+1 = cn, n = 1, 2, 3, ..

an+1,j = ajj

n∏i=j

(1− ci), j = 1, 2, .., n

an+1,j = 0, j > n+ 1, n = 1, 2, ...

(c) Za niz {vn} u normalnom Mannovom itertivnom procesu M(x1, A, T ) vaºi:

vn+1 = (1− cn)vn + cnTvn, n = 1, 2, 3, ..

gde jecn = an+1,n+1

Najjednostavnija Mannova iteracija dobija se ako izaberemo cn = 1 za svakon ≥ 1 i ona odgovara Picardovoj iteraciji.Ako je λ ∈ [0, 1] i Aλ = [anj] de�nisana sa

an1 = λn−1, anj = λn−j(1− λ), j = 2, 3, .., n

ianj = 0, j > n, n = 1, 2, 3...

onda je M(x1, A, T ) normalan Mannov proces. Kako je dijagonala za Aλ data sa

cn = an+1,n+1 = 1− λ, n = 1, 2, 3..

onda ovo iteracija odgovara iteraciji Krasnoselskog.


Na dalje razmatramo samo normalne Mannove iteracije.

Teorema 16. Neka je T preslikavanje zatvorenog konveksnog podkuspa K realnogBanachovog prostora (E, ‖.‖) na samog sebe. Neka je {xn}n op²ta Mannova iteracijaM(x1, A, T ) za T sa A koja je ekvivalentan konvergenciji. Pretpostavimo da {xn}nkonvergira ka ta£ki p ∈ K. Ako postoje konstante α, β, γ, δ ≥ 0 i δ < 1 takve da

‖Txn − Tp‖ ≤ α‖xn − p‖+β‖xn − Txn‖+γ‖p− Txn‖+δ·max{‖p− Tp‖, ‖xn − Tp‖}

onda je p �ksna ta£ka preslikavanja T.

Dokaz: Na osnovu pretpostavki za A, odnosno da je A ekvivalentna konvergenciji,onda je A regularna matrica, odnosno £uva granice na prostoru c, prostoru svihkonvergentnih nizova. Ako de�ni²emo

CA = {x : Ax = (n∑j=1

anjxj) ∈ c}, x = (x1, x2, ..., xn, ..)

onda uslov da je A ekvivalntan konvergenciji zna£i da je CA = c. Prema tome

limn→∞

xn = p,

²to zna£i da je (Txn) ∈ CA pa je prema tome (Txn) ∈ c. Kako je A regularnamatrica onda mora biti

limn→∞

Txn = p

i onda jelimn→∞‖xn − Txn‖ = 0

Iz pretpostavke

‖Txn − Tp‖ ≤ α‖xn − p‖+β‖xn − Txn‖+γ‖p− Txn‖+δ·max{‖p− Tp‖, ‖xn − Tp‖}

kada n→∞ imamo‖p− Tp‖ ≤ δ‖p− Tp‖,

odakle sledi da je Tp = p. �

Primer 6. Neka je E = {x ∈ R2 : ‖x‖ ≤ 1}, gde je ‖.‖ Euclidova norma. Neka je ACesarova matrica, a fuckcija T : E → E rotacija za ugao π

4radijana oko centra. Tada

Picardova iteracija T nx1, x1 ∈ E, ne konvergira za svako x1 ∈ E, ka jedinstvenoj�ksnoj ta£ki preslikavanja T. Koriste¢i Mannov iterativni metodM(x1, A, T ), nizovi{xn}n i {vn}n (vn = 1

n

∑nk=1 xk) uvek spiralno konvergiraju ka centru, nezavisno od

izbora po£etne ta£ke x1 ∈ E.


3.2 Neespanzivna i kvazi neekspanzivna preslikava-nja

Neka je E strogo konveksan Banachov prostor. Naredna lema je posledica strogekonveksnosti.

Lema 17. Ako je E strogo konveksan Banachov prostor i u, v ∈ E tako da je

‖u‖ ≤ ‖v‖

i za 0 < t < 1 vaºi ‖(1− t)u+ tv‖ = ‖u‖, onda je u = v.

Lema 18. Neka ja C zatvoren konveksan podskup Banachovog prostora E, T : C →C, kvazi neekspanzivno preslikavanje, p �ksna ta£ka preslikavanja T i x1 ∈ C. Ako jeM(x1, A, T ) bilo koji Mannov normlan iterativni proces (sa nizovima {xn}n i {vn}n)onda vaºe slede¢a tvrdjenja:

(i) ‖vn+1 − p‖ ≤ ‖vn − p‖, za svako n=1,2,..;

(ii) Ako je p ta£ka nagomilavanja niza {vn}n, onda niz {vn}n konvergira ka p;

(iii) Ako su y i z ta£ke nagomilavanja niza {vn}n , onda je ‖y − p‖ = ‖z − p‖.

Teorema 19. Neka ja C zatvoren konveksan podskup Banachovog prostora E i T :C → C, kvazi neekspanzivno neprekdino preslikavanje takvo da T (C) ⊂ K ⊂ C, gdeje K kompaktan skup. Neka je x1 ∈ C i M(x1, A, T ) normalan Mannov iterativniproces takav da niz {cn}n de�nisan sa

cn = an+1,n+1

i neko c ∈ (0, 1) ta£ka nagomilavanja {cn}n. Onda nizovi {xn}n i {vn}n u Mannovomprocesu M(x1, A, T ) strogo konvergiraju ka �ksnoj ta£ki preslikavanja T.

Dokaz: Ozna£imo sa coD konveksno zatvorenje skupa D. Kako je coK ⊂ C bi¢eonda

T (coK) ⊂ T (C) ⊂ K ⊂ coK

pa je skup coK kompaktan skup. Kako je T neprekidno preslikavanje onda postoji�ksna ta£ka p ∈ coK tako da je Tp=p.Sa druge strane postoji podniz {cnk

}k niza {cn}n, takav da je cnk→ c kada k →∞

.


Odgovaraju¢i podniz {vk}k = {vnk}k niza {vn}n je ograni£en u co(K ∪{x1}) koji

je takodje kompaktan skup.Prema tome postoji {vk}k, ozna£en isto {vk}k koji konvergira ka nekoj y ∈ C.Naravno

ck → c

i na osnovu Teoereme 15. i iz neprekidnosti preslikavanja T imamo

vk+1 = (1− ck)vk + ckTvk → (1− c)y + cTy.

Kako {vn}n nagomilava oko y i (1 − cy) + cTy, a p je �ksna ta£ka preslikavanja Tna osnovu Leme 18. (iii) imamo

‖y − p‖ = ‖((1− c)y + cTy)− p‖

²to moºemo zapisati na slede¢i ekvivalentan na£in

‖(1− c)(y − p) + c(Ty − p)‖ = ‖y − p‖.

Kako je ‖Ty − p‖ ≤ ‖y − p‖ i 0 < c < 1, na osnovu Leme 18. sledi y − p = Ty − p,odnosno Ty = y. Dakle y je �knsa ta£ka preslikavanja T, a kako {vn}n nagamolivaoko y, na osnovu Leme 18 (ii) sledi da vn → y.Kona£no na osnovu Teoreme 14. imamo xn → y. �

Moºemo izostaviti pretpostavku da je T neprekidno preslikavanje i posmatratiravnomerno konveksne Banachove prostore (koji su tako�e strogo konveksni). Po-znato je da je svaki zatvoren, ograni£en skup u ravnomerne koveksnosti.

Lema 20. Neka je E ravnomerno konveksan Banachov prostor i {cn}n ∈ [a, b], gdeje 0 < a < b < 1. Neka su {yn}n i {wn}n nizovi u E takvi da je ‖w‖ ≤ 1 i ‖y‖ ≤ 1za svako n. De�ni²emo niz {zn}n na slede¢i na£in

zn = (1− cn)wn + cnyn

Ako je limn→∞‖zn‖ = 1 onda je limn→∞‖wn − yn‖ = 0

Za normalan Mannov iterativni proces M(x1, A, T ) sa nizom {xn}n de�nisanimsa cn = an+1,n+1 koristimo oznaku M(x1, cn, T ).

Teorema 21. Neka je C zatvoren konveksan podskup ravnomerno konveksnog Ba-nachovog prostora E, neka je T : C → C kvazi neekspanzivno preslikavanje koje imabar jednu �ksnu ta£ku p ∈ C. Ako je x1 ∈ C i M(x1, cn, T ) normalan Mannov itera-tivni proces takav da je {xn}n ograni£en sa 0 i 1 onda svaki od nizova {vn+1 − vn}n{Tvn − vn}n konvergira (strogo) ka 0 ∈ E.


Dokaz: Na osnovu Leme 17. imamo

‖vn+1 − vn‖ = cn‖Tvn − vn‖,

i prema tome, imaju¢i u vidu da je 0 < a ≤ cn ≤ b < 1, ako bi bilo koji od nizova{vn+1 − vn}n {Tvn − vn}n konvergira ka 0 onda i drugi niz konvergira ka 0.Ako je lim‖vn − p‖ = 0, onda je o£igledno i lim‖vn+1 − vn‖ = 0. U suprtonomna osnovu Leme 17. niz {‖vn − p‖} je nerastu¢i, pa imamo lim‖vn − p‖ = d > 0.De�ni²emo nizove {wn}n, {yn}n i {zn}n sa

wn =vn − p‖vn − p‖

yn =Tvn − p‖vn − p‖

zn =vn+1 − p‖vn − p‖

Iz dokaza Leme 17. imamo

vn+1 = (1− cn)(vn − p) + cn(Tvn − p),

pa nakon deljenja sa ‖vn − p‖

zn = (1− cn)wn + cnyn.

Kako je ‖wn‖ = 1, ‖yn‖ ≤ 1 i ‖zn‖ → d/d = 1, na osnovu Leme 20. imamo‖wn − yn‖ = 0, pa je lim‖Tvn − vn‖ = 0, £ime je dokazana teorema. �

Teorema 22. Neka je C zatvoren konveksan podskup ravnomerno konveksnog Ba-nachovog prostora E, neka je T : C → C kvazi neekspanzivno preslikavanje kojeima bar jednu �ksnu ta£ku p ∈ C. Ako je I - T zatvoreno i M(x1, cn, T ) normalanMannov proces sa x1 ∈ C, takav da je {cn}n ograni£en sa 0 i 1, onda za bilo kojiniz {xn}n sa nekom ta£kom nagomilavanja y ∈ C imamo Ty = y i nizovi {xn}n i{vn}n konvergiraju (strogo) ka y.

Dokaz: Postoji podniz {vnk}k niza {xn}n takav da vnk

→ y. Na osnovu Teoreme19. vaºi (I − T )vn → 0 pa prema tome i (I − T )vnk

→ 0. Kako je I-T zatvoreno,zaklju£ujemo da je

(I − T )Y = 0,

odnosno ta je Ty = y i kako je {vn}n 'clusters' (storo) ka y, onda na osnovu Leme17. sledi vn → y. Kako

vn − xn+1n = vn − Tvn → 0,

imamo kona£no xn → y.


Za bilo koje neprekidno preslikavanje T na C vaºi da je I-T neprekidno na C ipored toga zatvoreno. Dakle, za bilo koji neekspanzivni operator T, I-T je zatvoren.�

De�nicija 18. Preslikavanje S : C → E je poluzatvoreno ako za niz {un}n u C kojislabo konvergira ka u ∈ C i niz {Sun}n koji strogo konvergira ka v ∈ E sledi Su = v

Za zatvoren i konveksan skup C svako slabo neprekidno preslikavanje T : C → Cje slabo zatvoreno i svako slabo zatvoreno preslikavanje T : C → C je poluzatvoreno.Zbog toga vaºi slede¢a teorema.

Teorema 23. Neka je C zatvoren konveksan podskup ravnomerno konveksnog Ba-nachovog prostora E, neka je T : C → C neekspanzivno preslikavanje koje ima barjednu �ksnu ta£ku p ∈ C. Neka je x1 ∈ C i M(x1, cn, T ) normalan Mannov procestakav da je {cn}n ograni£en sa 0 i 1. Vaºe tada slede¢a tvrdjenja:

(i) Postoji podniz niza {vn}n koji konvergira slabo ka nekoj y ∈ C i ako je I-Tpoluzatvoreno onda svaka grani£na ta£ka podniza niza {vn}n je �ksna ta£kapreslikavanja T;

(ii) Ako je I-T poluzatvoreno i ako T ima samo jednu �ksnu ta£ku p ∈ C ondanizovi {xn}n i {vn}n slabo konvergiraju ka p;

(iii) Ako je I-T slabo zatvoreno, onda svaka ta£ka nagomilavanja niza {vn}n je �k-sna ta£ka preslikavanja T.

De�nicija 19. Neka je C konveksan podskup Banachovog prostora E i neka je T :C → C preslikavanje sa skupom �ksnih ta£aka FT . T ispunjava uslov (D) na C akopostoji nerastu¢a funkcija φ : [0,∞)→ [0,∞) data sa φ(0) = 0 i φ(r) > 0, za r > 0takva da je

‖x− Tx‖ ≥ φ(inf{‖x− z‖} : z ∈ FT )

za sve x ∈ C.

Veza izmedju polukompaktnih preslikavanja i preslikavanja koja ispunjavaju uslov(D) data je narednom lemom.

Lema 24. Neka je C zatvoren i ograni£en podskup Banachovog prostora E i T : C →C preslikavanje sa nepraznim skupom �ksnih ta£aka. Ako I-T preslikava zatvorene,ograni£ene podskupove od C na zatvorene podskupove od E, onda T ispunjava uslov(D) na E.

Neka je {xn}n normalan Mannov proces i T : C → C de�nisan sa x1 ∈ C i nizom{cn}n, odnosno iteracija M(x1, cn, T ) data sa

xn+1 = (1− cn)xn + cnTxn,

gde je cn ∈ [(a, b)] i 0 < a < b < 1.


Teorema 25. Neka je C neprazan zatvoren ograni£en i konveksan podskup ravno-merno konveksnog Banachovog prostora E i T : C → C neekspanzivno preslikavanjesa skupom �ksnih ta£aka u C, u oznaci FT . Ako T ispunjava uslov (D), onda za bilokoju x1 ∈ C Mannova iteracija konvergira ka ta£ki iz FT .

Vaºnu klasu kvazi kontraktivnih preslikavanja prestavljaju Zam�rescu preslikava-nja. Znamo, da za Zam�rescu preslikavanje T na kompletnom metri£kom prostoru,Picardova iteracija konvergira ka jedinstvenoj �ksnoj ta£ki preslikavanja T.Pokaza¢emo da u posebnim prostorima, pogodnim za konstrukciju Mannove itera-cije, ta iteracija konvergira ka �ksnoj ta£ki preslikavanja T.

Teorema 26. Neka je E ravnomerno konveksan Banachov prostor, K ograni£en ikonveksan podskup od E i T : K → K Zam�rescu preslikavanje. Tada Mannovaiteracija {xn}n de�nisana sa

xn+1 = (1− αn)xn + αnTxn, n =, 1, 2, ...

pri £emu ta niz {αn}n vaºe slede¢i uslovi:

(i) α1 = 1;

(ii) 0 ≤ αn < 1 za svako n > 1;

(iii)∑αn(1− αn) =∞;

konvergira ka jedinstvenoj �ksnoj ta£ki preslikavanja T.

Dokaz: Znamo da T ima jedinstvenu �ksnu ta£ku u K, ozna£imo je sa p. Zaproizvoljno x1 ∈ K imamo

‖xn+1 − p‖ ≤ (1− αn)‖xn − p‖+ αn‖Txn − p‖.

Kako je preslikavanje Zam�rescu ujedno ikvazikontraktivno, onda

‖Txn − p‖ ≤ ‖xn − p‖

odakle sledi da je niz {‖xn − p‖} nerastu¢i. Pored toga imamo,

‖xn − Txn‖ = ‖(xn − p)− (Txn − p)‖ ≤ 2‖xn − p‖.

Sada pretpostsavio da postoji a > 0 tako da je

‖xn − p‖ ≥ a


Pretopstavimo da {‖xn − Txn‖}n≥1 ne konvergira ka nuli. Onda postoje dvemogu¢nosti: ili postoji ε > 0 tako da je za svako n

‖xn − Txn‖ ≥ ε

ili lim inf‖xn − Txn‖ = 0

U prvom slu£aju za b = 2δ(ε/‖x0 − p‖) imamo

‖xn+1 − p‖ ≤ (1− αn(1− αn)b)‖xn − p‖ ≤ ‖xn−1 − p‖ − αn−1(1− αn−1)b‖xn − p‖

≤ ‖xn−1 − p‖ − b(αn−1(1− αn−1) + αn(1− αn)) · ‖xn − p‖.

Indukcijom dobijamo:

a ≤ ‖xn+1 − p‖ ≤ ‖x0 − p‖ − bn∑k=0

αk(1− αk)‖xn − p‖

²to je kontradikcija sa (iii).U drugom slu£aju postoji podniz {xnk

}k takav da

limk‖xnk

− Txnk‖ = 0

Imamo‖Txnk

− Txnl‖ ≤ ‖xnk

− Txnk‖+ ‖xnl

− Txnl‖,

gde jeL = max{ α

1− α, β,

γ

1− γ},

α, β, γ su konstante vezane za uslove (z1), (z2), (z3) za Zam�rescu preslikavanja.Prethodna nejednakost pokazuje da je {Txnk

}k Causshyjev niz, dakle konvergen-tan niz. Neka je u njegova grani£na ta£ka iz poslednje jednakosti imamo

limk→∞

xnk= lim

k→∞Txnk

= u

²tavi²e‖u− Tu‖ ≤ ‖u− xnk

‖+ ‖xnk− Txnk

‖+ ‖Tu− Txnk‖.

Pokaza¢emo da je u = Tu, odnosno da je u �ksna ta£ka preslikavanja T. Zaista, ako{xnk}k ispunjava uslov (z1) onda

‖Tu− Txnk‖ ≤ α‖u− xnk

‖.

Ako {xnk}k ispunjava uslov (z2) onda

‖u− Tu‖ ≤ ‖u− xnk‖+ (1− β)‖xnk

− Txnk‖

1− β


Kona£no ako je ispunjen uslov (z3) onda je

‖Tu− Txnk‖ ≤ γ(‖Tu− xnk

‖+ ‖u− Txnk‖) ≤

≤ γ(‖xnk− Txnk

‖+ ‖Tu− Txnk‖+ ‖u− Txnk

‖),

ili‖Tu− Txnk

‖ ≤ γ(1− γ)−1(‖xn−k − Txnk‖+ ‖u− Txnk

‖)

Dakle, Tu = u.Kako je p jedinstvena �ksna ta£ka preslikavanja T mora biti u = p i kako {xnk

}nkonvergira ka u = p i {‖xn − p‖} je nerastu¢i, sledi da je limk xnk

= u(= p) �

Prethodna teorema moºe se pro²iriti za proizvoljan Banachov prostor, oslablju-ju¢i uslove za niz vezan za Mannovu iteraciju, ²to pokazuje naredna teorema.

Teorema 27. Neka je E proizvoljan Banachov prostor, a K zatvoren i konveksanpodskup od E, T : K → K preslikavanje koje zadovoljava uslove (z1) − (z3) sad(x, y) = ‖x− y‖. Neka je {xn}n de�nisan kao i u prethodnoj teoremi, x0 ∈ K i niz{αn}n ⊂ (0, 1) ispunjava:

(iv)∑∞

n=0 αn =∞.

Tada niz {xn}n strogo konvergira ka jedinstvenoj �ksnoj ta£ki preslikavanja T.


3.3 Strogo pesudokontraktivna preslikavanja

Neka je E Banachov prostor, K podskup od E i T : K → K strogo pseudokon-traktivno preslikavanje takvo da postoji t > 1 za koje vaºi jednakost

‖x− y‖ ≤ ‖(1 + r)(x− y)− rt(Tx− Ty)‖

za svako x, y ∈ K i svako r > 0.Preslikavanje T je strogo pseudokontraktivno ako i samo ako je I-T akreativno,odnosno ako postoji j(x− y) ∈ J(x− y) i pozitivan broj k takav da

((I − T )x − (I − T )y, j(x− y)) ≥ k‖x− y‖2

²to je ekvivalentno sa

‖x− y‖ ≤ ‖x− y − r((I − T − kI)x − (I − T − kI)y)‖,

za svako x, y ∈ K, svako r > 0 pri £emu je k = t−1t

Na osnovu prethodne jednakosti sledi da Mannov iterativni proces strogo konver-gira ka jedinstvenoj �ksnoj ta£ki Lipschitzovog i pseudokontraktivnog preslikavanja.

Teorema 28. Neka je K neprazan zatvoren konveksan i ograni£en podskup Ba-nachovog prostora E. Ako je T : K → K Lipschitzovo, strogo pesudokontraktivnopreslikavanje, sa nepraznim skupom �ksnih ta£aka FT , onda je Mannova iteracija{xn}n de�nisana sa

xn+1 = (1− αn)xn + αnT (xn), n =, 1, 2, ...

sa x1 ∈ K i {αn}n ⊂ (0, 1) koji zadovoljava slede¢e uslove:

(i)∑∞

n=1 αn =∞;

(ii) αn → 0, n→∞

strogo konvergira ka jednistvenoj �ksnoj ta£ki preslikavanja T,

Teorema 29. Neka je K neprazan zatvoren konveksan i ograni£en podskup Ba-nachovog prostora E. Ako je T : K → K Lipschitzovo, strogo pesudokontraktivnopreslikavanje sa �ksnom ta£kom p ∈ FT . Ako je αn = k

2(3+3L+L2), gde je k = t−1

t,

onda niz {xn}n de�nisan sa

xn+1 = (1− αn)xn + αnT (xn), n =, 1, 2, ...

strogo konvergira ka jednistvenoj �ksnoj ta£ki p preslikavanja T i vaºi procena:

‖xn+1 − p‖ ≤ ρn‖x1 − p‖,

gde je

ρ =1− k2

4(3 + 3L+ L2).


Slede¢i primer pokazuje da su £esto uslovi, u ovom slu£aju uslov [(ii)] iz pret-hodne teoreme £esto ve²ta£ki u sluºbi dokazivanja i da nisu neophodni.

Primer 7. Neka je E realna prava sa uobi£ajenom normom, K = [12, 2] i T : K → K

preslikavanje de�nisano sa T (x) = 1x, za svako x ∈ K, tada vaºi

(a) T je Lipschitzovo preslikavanje sa konstantom L = 4;

(b) T je strogo pseudokontraktivno preslikavanje sa bilo kojom konstantom k ∈(0, 1);

(c) Ako uzmemo αn = λ ∈ (0, 1) uslov limn→∞ αn = 0 nije potreban;

(d) Odre�ena Mannova iteracija konvergira ka jedinstvenoj �ksnoj ta£Ki preslika-vanja T.

Zaista, za bilo koje t > 1, imamo

‖x− y‖ ≤ ‖(1 + r)(x− y)− rt(Tx− Ty)‖

²to je ekvivalentno sa

| x− y |≤| x− y || 1 + r +rt

xy|

za svako x, y ∈ [12, 2], r > 0. Koriste¢i osobine iteracije Krasnoselskog, vidimo da

Mannova iteracija (koja je u ovom slu£aju iteracija Krasnoselskog sa nizom αm =λ ∈ (0, 1)) konvergira ka jedinstvenoj �ksnoj ta£ki p = 1 preslikavanja T, za bilokoju aproksimaciju x0 ∈ [1

2, 2], λ ∈ (0, 1), iako limn→∞ αn = λ 6= 0.

Naredna teorema pokazuje da ograni£enost skupa K nije potrebna da bismodobili konvergeniciju Mannove iterarcije

Teorema 30. Neka je E Banachov prostor, K neprazan, zatvoren i konveksan pod-skup od E. Ako je T : K → K Lipschitzovo (sa konstantom L), strogo pesudokon-traktivno preslikavanje (sa konstantom k) sa nepraznim skupom �ksnih ta£aka FT ,onda Mannova iteracija {xn}n ⊂ k de�nisana

xn+1 = (1− αn)xn + αnT (xn), n =, 1, 2, ...

gde je x1 ∈ K i niz {αn}n ⊂ (0, 1), koji zadovoljava uslov (i) i

αn ≤k − η

(L+ 1)(L+ 2− k),

za neko η ∈ (0, k), strogo konvergira ka jedinstvenoj �ksnoj ta£ki preslikavanja T.�tavi²e, postoji {βn}n≥0 niz u (0, 1) gde je βn ≥ αn(

η1+k

) takav da za svako n ∈ N ,vaºi slede¢a procena:

‖xn+1 − p‖ ≤n∏j=1

(1− βj)‖x1 − p‖.


Dokaz: De�ni²emo δn = ‖xn − p‖ za svako n ∈ N . Kako je T Lipschitzovopreslikavanje vaºi

‖xn − Txn‖ ≤ (L+ 1)δn.

Ako ozna£imoAn := 1 + (1− k)αn + (2− k + L)(L+ 1)α2

n,

Bn := 1 + αn,

βn := 1− AnBn

Iz prethodnog imamo:

δn+1 ≤AnBn

δn

Sa druge strane

βn =αn

1 + αn(k − (L+ 1)(L+ 2−K)αn) ≥

αn1 + αn

η ≥ η

1 + kαn.

Kona£no imamo

δn+1 ≤AnBn

...A1

B1

=n∏j=1

(1− βj)δ1.

O£igledno∑∞

n=1 βn =∞, pa prema tome∏∞

j=1(1− βj) = 0.Dakle, δn → 0, odnosno xn → p po normi kada n→∞. �

Glava 4

Ishikawina iteracija

Kao ²to smo pomenuli u prethodnoj glavi, ako je T neprekidno preslikavanje iMannov iterativni proces konvergira, onda iterativni proces konvergira ka �ksnojta£ki preslikavanja T. Ako T nije neprekidno preslikavanje, onda i u slu£aju kadaMannov proces konvergira, ne postoje garancije da konvergira ka �ksnoj ta£ki pre-slikavanja T, ²to pokazuje slede¢i primer.

Primer 8. Neka je T : [0, 1] → [0, 1] de�nisano sa T (0) = T (1) = 0, i T (x) =1, x ∈ (0, 1). Tada je FT = 0 i Mannov iterativni proces M(x1, αn, T ), x1 ∈ (0, 1),αn = 1

n, n ≥ 1 konvergira ka 1, a 1 nije �ksna ta£ka preslikavanja T.

Ako umesto Mannove iteracije posmatramo neki drugi iterativni proces, koji jeu nekom smislu Mannov iterativni proces u dva koraka, onda je mogu¢e odrediti�ksnu ta£ku nekih klasa kontraktivnih preslikavanja T za koje nije poznato da liMannova iteracija konvergira ka �ksnoj ta£ki.Novi iterativni proces se nazivima Ishikawina iteracija i najpre se uvodi za klasuLipschitzovih pseudokontraktivnih preslikavanja.Danas je poznato da za veliku grupu kontraktivnih preslikavanja je dovoljno razma-trati jednostavnu Mannovu iteraciju, £ak i u slu£aju kada se Ishikawina iteracija,koja je op²tija, ali i komplikovanija, moºe primeniti. Za pojedine tipove preslika-vanja, moºemo koristiti i jednostavnije iterativne procese od Mannovog, kao ²to jeiteracija Krasnoselskog, koja prestavlja poseban slu£aj Mannove iteracije.

29

Ishikawina iteracija 30

4.1 Lipschitzova i pseudokontraktivna preslikavanjau Hilbertovim prostorima

Mannov iterativni proces konvergira kada se radi o posebnom slu£aju Lipschitzo-vih i strogo pseudokontraktivnih preslikavanja. Ali, ako je T samo pseudokontrak-tivno preslikavanje, onda u op²tem slu£aju Mannov iterativni proces ne konvergiraka �ksnoj ta£ki preslikavanja T.Interes za pseudokontraktivna preslikavanja je utoliko ve¢i zbog njihove jake po-vezanosti sa klasom nelinearnih akreativnih preslikavanja. Ovi rezultati su najpredobijeni u Hilbertovim prostorima, ali samo za Lipschitzova i pseudokontraktivnapreslikavanja, a zatim su pri²ireni na Banachove prostore i na op²tije klase preslika-vanja.Cilj ovog poglavlja je da pokaºe da pod pojedinim preciziranim pretpostavkama zanizove {αn}n i {βn}n Ishikawina iteracija povezana sa Lipschitzovim i pseudokon-traktivnim preslikavanjima strogo konvergira ka �ksnoj ta£ki preslikavanja.Originalan rezultat koji je dobio Ishikawa je slede¢i.

Teorema 31. (Ishikawa, 1974.) Neka je K konveksan i kompaktan podskup Hil-bertovog prostora H, T : K → K Lipschitzova pseudokontrakcija x1 ∈ K. Ondaiteracija Ishikawe {xn}n, xn = I(x1, αn, βn, T ) de�nisana sa

xn+1 = (1− αn)xn + αnT ((1− βn)xn + βnTxn),

gde su {αn}n i {βn}n nizove pozitivnih brojeva za koje vaºi:

(i) 0 ≤ αn ≤ βn ≤ 1 za n > 0;

(ii) limn→∞ βn = 0;

(iii)∑∞

n=1 αnβn = 0;

strogo konvergira ka �ksnoj ta£ki preslikavanja T.

Dokaz: Kako je T pseudokontrakcija, za proizvoljne x, y ∈ K imamo

‖Tx− Ty‖2 ≤ ‖x− y‖2 + ‖(I − T )x− (I − T )y‖2,

gde je I identi£ko preslikavanje.Na osnovu pretpostavke da je T Lipschitzovo, sledi da postoji konstanta L ve¢a od0, takva da za svako x, y ∈ K vaºi

‖Tx− Ty‖ ≤ L‖x− y‖.

Kako je K konveksan i kompaktan skup, a T neprekidno preslikavanje (jer je TLipschitzovo), onda je skup �ksnih ta£aka FT preslikavanja T neprazan. Neka je pproizvoljna ta£ka iz skupa FT . Za proizvolje x, y, z ∈ H i realan broj λ imamo

‖λx+ (1− λ)y − z‖2 = λ‖x− z‖2 + (1− λ)‖y − z‖2 − λ(1− λ)‖x− y‖2.

(4)


Koriste¢i prethodnu jednakost, dobija slede¢e tri jednakosti

‖xn+1 − p‖2 = ‖αnT (βnTxn + (1− βn)xn) + (1− αn)xn − p‖2 =

= αn‖T (βnTxn + (1− βn)xn)− p‖2 + (1− αn)‖xn − p‖2−

−αn(1− αn)‖T (βnTxn + (1− βn)xn)− xn‖2;

(5)

‖βnTxn + (1− βn)xn − p‖2 =

= βn‖Txn − p‖2 + (1− βn)‖xn − p‖2 − βn(1− βn)‖Txn − xn‖;

(6)

i‖βnTxn + (1− βn)xn − T (βnTxn + (1− βn)xn)‖2 =

= βn‖Txn − T (βnTxn + (1− βn)xn)‖2+

+(1− βn)‖xn − T (βnTxn + (1− βn)xn)‖2 − βn(1− βn)‖Txn − xn‖2;

(7)

Koriste¢i‖Tx− Ty‖2 ≤ ‖x− y‖2 + ‖(I − T )x− (I − T )y‖2,

dobijamo slede¢e dve nejednakosti:

‖T (βnTxn + (1− βn)x− n)− p‖2 = ‖T (βnTxn + (1− βn)x− n)− Tp‖2 ≤

≤ ‖βnTxn + (1− βn)xn − p‖2+

+‖βnTxn + (1− βn)xn − T (βnTxn + (1− βn)xn)‖2,

(8)

‖Txn − p‖2 = ‖Txn − Tp‖2 ≤ ‖xn − p‖2 + ‖xn − Txn‖2

(9)

Sada ra£unaju¢i(5) + αn((6) + (7) + (8) + βn(9))

dobijamo

‖xn+1 − p‖2 ≤ ‖xn − p‖2 − αnβn(1− 2βn)‖Txn − xn‖2+

+αnβn‖Txn − T (βnTxn + (1− βn)xn)‖2−αn(βn−αn)‖xnT (βnTxn + (1− βn)xn)‖2.

Uzimaju¢i u obzir uslov (i), sledi

‖xn+1 − p‖2 ≤ ‖xn − p‖2−αnβn(1−2βn)‖Txn − xn‖2+αnβn‖Txn − T (βnTxn + (1− βn)xn)‖2.

(10)


Kako je T Lipschitzovo preslikavanje, onda je

‖Txn − T (βnTxn + (1− βn)xn)‖ ≤ Lβn‖Txn − xn‖.

(11)

Prema tome na osnovu (10) i (11) zaklju£ujemo

‖xn+1 − p‖2 ≤ ‖xn − p‖2 − αnβn(1− 2βn − L2β2n)‖Txn − xn‖.

(12)

SUmiraju¢i za svako n ∈ {m,m+ 1, .., n} dobijamo

‖xn+1 − p‖2 ≤ ‖xn − p‖2 −n∑

k=m

αnβn(1− 2βk − L2β2k)‖Txk − xk‖2,

²to moºemo zapisati na slede¢i na£in

n∑k=m

αnβn(1− 2βk − L2β2k)‖Txk − xk‖2 ≤ ‖xm − p‖2 + ‖xn+1 − p‖2.

Na osnovu (ii) sledi da postoji prirodan broj N takav da za svako k ≥ N vaºi

2βk + L2β2k ≤

1

2.

Onda za m > N dobijamo

1

2

∑αkβk‖Txk − xk‖2 ≤ ‖Txn − p‖2 − ‖Txn+1 − p‖2.

(13)

Kako je K ograni£en, desna strana prethodne nejednakosti je ograni£ena. To zna£ida je niz na levoj strani konvergentan, pa na osnovu (iii), sledi

lim infn‖Txn − xn‖ = 0,

a kako je K kompaktan sledi da postoji podniz {xnk}k koji konvergira ka nekoj

q ∈ FT .Kako je q �ksna ta£ka za T, iz (12) ua n ≥ N dobijamo

‖xn+1 − q‖ ≤ ‖xn − q‖,

odnosno niz {‖xn − q‖}n je nerastu¢i.Kako podniz {‖xnk

− q‖}k konvergira ka 0, sledi da niz {xn}n konvergira ka q. �


4.2 Strogo pseudokontraktivna preslikavanja u Ba-nachovim prostorima

Prethodne rezultate u klasi Lipschitzovih pseudokontraktivnih preslikavanja uHilbertovim prostorima moºemo pro²iriti na Banchove prostore sa odredjenim geo-metrijskim osobinama.

Teorema 32. Neka je E realan ravnomerno gladak Banachov prostor i K ograni£enzatvoren konveksan i neprazan podskup od E. Pretpostavimo da je T : K → L strogopseudokontraktivno preslikavanje koje ima bar jednu �kasnu ta£ku x∗. Neka su {αn}ni {βn}n nizovi realnih brojeva koji zadovoljavaju slede¢e uslove

(i) 0 ≤ αn ≤ βn < 1 za n > 0;

(ii) limn→∞ αn = 0, limn→∞ βn = 0;

(iii)∑∞

n=0 αn =∞.

Tada, za porizvoljo x0 ∈ K iteracija Isihikawe I(x0, αn, βn, T ) odnosno niz {xn}nde�nisan sa

xn+1 = (1− αn)xn + αnTyn,

yn = (1− βn)xn + βnTxn, n ≥ 0;

strogo konvergira ka x∗, pri £emu je x∗ jedinstveno.

Ako stavimo αn = cn i βn = 0 za svako n ≥ 0 onda iz prethodne teoremedobijamo osnovnu teoremu o konvergenciji Mannove iteracije.

Teorema 33. Neka je E realan ravnomerno gladak Banachov prostor i K ograni£enzatvoren konveksan i neprazan podskup od E i neka je T : K → L strogo pseudo-kontraktivno preslikavanje koje ima bar jednu �kasnu ta£ku x∗. Neka je {cn}n nizrealnih brojeva koji zadovoljava slede¢e uslove:

(i) 0 ≤ cn < 1, za svako n ≥ 0;

(ii) limn→∞ cn = 0;

(iii)∑∞

n=0 cn =∞.

Onda za proizvoljno x1 ∈ K Mannova iteracija M(x1, cn, T ), odnosno niz {xn}nde�nisan sa

xn+1 = (1− cn)xn + cnTxn, n ≥ 0;

strogo konvergira ka jedinstvenom x∗.


4.3 Neekspanzivna preslikavanja u Banachovim pro-storima koja zadovoljavaju Opialov uslov

Cilj ovog dela je da pokaºemo da jaka svojstva Banachovih prostora povezanasa slabim svojstvima preslikavanja, jo² uvek mogu osigurati konvergenicju Ishika-wine iteracije. Pokaza¢emo da, ako je E uniformno konveksan Banachov prostor,koji zadovoljava Opialov uslov ili £ija je norma Freche diferencijabilna, K ograni£enzatvoren konveksan podskup od E i T : K → K neekspanzivno preslikavanje, ondaIsihikawina iteracija I(x0, αn, βn, T ) konvergira slabo ka �ksnoj ta£ki preslikavanjaT. Pri £emu nizovi {αn}n i {βn}n moraju ispunjavati odgovaraju¢e uslove.

De�nicija 20. Banachov prostor E, zadovoljava Opialov uslov, ako za svaki niz{xn}n ∈ E xn → x0 (slabo konvergira) implicira

lim supn‖xn − x0‖ ≤ lim sup

n‖xn − y‖,

za svako y ∈ E, y 6= x0.

De�nicija 21. E ima Frechet diferencijabilnu normu, ako za svako x ∈ S(E), ujedini£noj sveri od E grani£na vrednost

limt→0

‖x+ ty‖ − ‖x‖t

postoji i uniformno je dostignuta za y ∈ S(E).

Lema 34. Ako je T neekspanzivno preslikavanje, p ∈ FT �ksna ta£ka preslikavanjaT, onda

limn→∞‖xn − p‖

postoji.

Lema 35. Ako nizovi {αn}n, {βn}n ∈ (0, 1) zadovoljavaju uslove:

(i)∑∞

n=0 αn(1− αn) =∞;

(ii)∑∞

n=0 βn(1− αn) <∞;

(iii) lim supn βn < 1;

onda limn→∞‖Txn − xn‖ postoji i T je neekspanzivno preslikavanje.


Teorema 36. Neka je E uniformno konveksan Banachov prostor koji zadovoljavaOpialov uslov ili £ija je norma Frechet diferencijabilna, K ograni£en zatvoren i kon-veksan podskup od E i T : K → K neekspanzivno preslikavanje. Tada za x0 ∈ KIshikawin proces {xn}n de�nisan sa

xn+1 = (1− αn)xn + αnT ((1− βn)xn + βnTxn),

pri £emu nizovi {αn}n, {βn}n ∈ (0, 1) ispunjavaju slede¢e uslove:

(i)∑∞

n=0 αn(1− αn) =∞;

(ii)∑∞

n=0 βn(1− αn) <∞;

(iii) lim supn βn < 1;

konvergira slabo ka �ksnoj ta£ki preslikavanja T.

Ako je, dodatno, T(K) kompaktan skup sadrºan u E. Onda Ishikawin iteratinvniproces {xn}n konvergira strogo.

Teorema 37. Neka su ispunjeni svi uslovi prethodne teoreme. Ako je C kompaktanpodskup od E, takav da je T (K) ⊂ C onda Ishikawin iterativni proces konvergirastrogo ka �ksnoj ta£ki preslikavanja T.


4.4 Kvazi neeskapnizna preslikavanja

Jedno od najvaºniji tvr�enja za preslikavanja kontraktivnog tipa za koja Picar-dova iteracija ima jedinstvenu ta£ku je za kvazi kontraktivna preslikavanja. Ovaklasa sadºi, pored ostalih, klasu kvazi neekspanizvnih preslikavja.Picardova iteracija konvergira i za ve¢e klase od klase kvazi kontraktivnih presli-kavanja. Mannova iteracija konvergira za ovu klasu preslikavanja u Hilbertovimprostorima.U ovom delu izne¢emo teoremu o konvergenciji Ishikawine iteracije.

De�nicija 22. U normiranom prostoru E, preslikavanje T : E → E je kvazi kon-traktivno ako postoji broj α, 0 ≤ α < 1, tako da za svako x, y ∈ E vaºi:

‖Tx− Ty‖ ≤ α ·M(x, y),

gde je

M := max{‖x− y‖, ‖x− Tx‖, ‖x− Ty‖, ‖y − Ty‖, ‖y − Tx‖}.

De�nicija 23. Za preslikavanje T : E → E kaºemo da je Zam�recsu preslikavanje,ako postoje realni brojevi α, β, γ, 0 ≤ α < 1, 0 ≤ β, γ < 1

2, tako da za proizvoljne

x, y ∈ E vaºi barem jedan od slede¢ih uslova:

(z1) ‖Tx− Ty‖ ≤ α‖x− y‖;

(z2) ‖Tx− Ty‖ ≤ β(‖x− Tx‖+ ‖y − Ty‖);

(z3) ‖Tx− Ty‖ ≤ γ(‖x− Ty‖+ ‖y − Tx‖).

Teorema 38. Neka je E ravnomerno konveksan konveksan Banachov prostor, Kzatvoren i konveksan podskup od E i T : K → K Zam�rescu preslikavanje. Neka sunizovi {αn}n, {βn}n ⊂ [0, 1] i neka niz {αn}n zadovoljava slede¢i uslov:

(i)∑∞

n=0 αn(1− αn) divergira;

Onda, za proizvoljno x0 ∈ K, iterativni preoces Isihikawe {xn}n, I(x0, αn, βn, T )de�nisan sa


yn = (1− βn)xn + βnTxn;

strogo konvergira ka �ksnoj ta£ki Zam�rescu preslikavanja T.

Dokaz: Znamo da T ima jedinstvenu �ksnu ta£ku u E, neka to bude ta£ka p ∈ E.Za poizvoljno x0 ∈ K imamo

‖xn+1 − p‖ ≤ αn‖Tyn − p‖+ (1− αn)‖xn − p‖

.


Kako je svako Zam�rescu preslikavanje kvazi neekspanzivno preslikavanje, imamo

‖Tyn − p‖ = ‖Tyn − Tp‖ ≤ ‖yn − p‖.

Na osnovu de�nicije niza {yn}n sledi

‖yn − p‖ ≤ βn‖Tyn − p‖+ (1− βn))‖xn − p‖ ≤)‖xn − p‖,

pa je na osnovu prethodnog

‖xn+1 − p‖ ≤ ‖xn − p‖,

odakle sledi da je niz {xn}n nerastu¢i. Na dalje, dokaz sledi na osnovu Teoreme 25.�

Naredna teorema uop²tava Teoremu 38. tako ²to oslabljuje uslove vezane zaniz {αn}n. Tako�e, predstavlja i uop²tenje Teoreme 27. od Mannove iteracije kaiteraciji Ishikawe.

Teorema 39. Neka je E proizvoljan Banachov prostor, K zatvoren i konveksanpodskup od E i T : K → K Zam�rescu preslikavanje. {xn}n iteracija Ishikawe,de�nisana sa


yn = (1− βn)xn + βnTxn, n ≥ 0,

x0 ∈ K proizvoljno, {αn}n, {βn}n ⊂ [0, 1] nizovi realnih brojeva, gde za {αn}n vaºi

(ii)∑∞

n=0 αn =∞.

onda {xn}n strogo konvergira ka jedinstvenoj �ksnoj ta£ki preslikavanja T.

Dokaz: Ozna£imoa ≡ α, b ≡ β, c ≡ γ

i neka je

δ = max{a, b

1− b,

c

1− c}

imamo0 < δ < 1

i nejednakost‖Tx− Ty‖ ≤ δ‖x− y‖+ 2δ‖x− Tx‖.

(∗)

Za iteraciju Ishikawe {xn}n vaºe slede¢e nejednakosti

‖xn+1 − p‖ = ‖(1− αn)xn + αnTyn − (1− αn + αn)p‖ =

= ‖(1− αn)(xn − p) + αn(Tyn − p)‖ ≤ (1− αn)‖xn − p‖+ αn‖Tyn − p‖.

Za x := p i y := yn imamo na osnovu nejednakosti za (*) imamo

‖Tyn − p‖ ≤ δ‖yn − p‖,


na dalje imamo

‖yn − p‖ = ‖(1− βn)xn + βnTxn − (1− βn + βn)p‖ =

= ‖(1− βn)(xn − p) + βn(Txn − p)‖ ≤ (1− βn)‖xn − p‖+ βn‖Txn − p‖.

Ponovo na osnovu nejednakosti (*), ovog puta za x := p i y := xn imamo

‖Txn − p‖ ≤ δ‖xn − p‖,

Na osnovu prethodnih nejednakosti dobijamo

‖xn+1 − p‖ ≤ (1− (1− δ)αn(1− δβn))‖xn − p‖,

²to na osnovu o£igledne nejednakosti

(1− (1− δ)αn(1− δβn)) ≤ 1− (1− δ)2αn,

povla£i‖xn+1 − p‖ ≤ 1− (1− δ)2αn‖xn − p‖, n = 0, 1, 2, ..,

Primenom indkucije dobijamo

‖xn+1 − p‖ ≤n∏k=0

(1− (1− δ)2αk)‖x0 − p‖, n = 0, 1, 2, ..,

Koriste¢i 0 < δ < 1, αk, β∈(0, 1) i∑

n αn =∞ sledi

limn→∞

n∏k=0

(1− (1− δ)2αk) = 0,

odakle sledilimn→∞‖xn+1 − p‖ = 0.

Odnosno, niz {xn}n strogo konvergira ka p. �


4.5 Ekvivalentnost izme�uMannove i Ishikawine ite-racije

Kao ²to smo ve¢ napomenuli, da bismo aproksimirali �ksne ta£ke Lipschitzovihpseudokontraktivnih preslikavanja potrebna nam je Ishikawina iteracija. Me�utim,ova iterativna ²ema, koja zapravo predstavlja Mannovu itearaciju u dva koraka, jedaleko komplikovanija.Za neke klase preslikavanja, Mannova i Ishikawina iteracija su zapravo ekvivalentne.U takvim slu£ajevima, se preporu£uje upotreba Mannove iteracije.

Teorema 40. (Rhodes, Soltuz)Neka je X realan Banachov prostor, K neprazanzatvoren i konveksan podskup od X, T : K → K Lipschitzovo pseudokontraktivnopreslikavanje, sa nepraznim skupom �ksnih ta£aka. Neka je {xn}n iteracija Ishikawede�nisana sa


yn = (1− βn)xn + βnTxn, n ≥ 0,

x0 ∈ K, {vn}n Mannova iteracija de�nisana sa

vn+1 = (1− αn)vn + αTvn,

i x0 = v0 ∈ K, gde su {αn}n, {βn}n ⊂ [0, 1] nizovi realnih brojeva za koje vaºi

limn→∞

αn = limn→∞

βn = 0,∞∑n=0

αn =∞.

Onda T ima jedinstvenu �ksnu ta£ku x∗ i slede¢a tvr�enja su ekvivalentna:

(i) Mannova iteracija konvergira ka x∗;

(ii) Ishikawina iteracija konvergira ka x∗.

Glava 5

Druge iterativne metode

Osnovni cilj ove glave je da predstavimo jo² neke iterativne procedure, koje se nekoriste tako £esto: Mannovu iteraciju sa gre²kama, Ishikawinu iteraciju sa gre²kama,modi�kovanu Mannovu, modi�kovanu Ishikawinu iteraciju i Picard-Mannov hibridniiterativni metod.

5.1 Iteracije sa gre²kama

Ideja razmatranja iteracija sa gre²kama je potekla zbog prakti£nih numeri£kihizra£unavanja.

De�nicija 24. Neka je K podskup linearnog normiranog prostora E i neka je T :K → K preslikavanje. Niz {xn}n ∈ E de�nisan sa

x0 ∈ K;

xn+1 = (1− αn)xn + αnTyn + un;

yn = (1− βn)xn + βnTxn + vn, n ≥ 0;

gde su nizovi {αn}n, {βn}n ∈ [0, 1], a nizovi {un}n, {vn}n ∈ E takvi da je

∞∑n=0

‖un‖ <∞,∞∑n=0

‖vn‖ <∞,

naziva se Ishikawina iteracija sa gre²kama.

Napomena 1. Ako u prethodnoj de�niciji stavimo βn ≡ 0, vn ≡ 0 onda iz Ishika-wine iteracije se gre²kama dobijamo Mannovu iteraciju sa gre²kama.

Teorema 41. Neka je K neprazan zatvoren podskup uniformno glatkog Banacho-vog prostora E, T : K → K Lipschitzovo (sa konstantom L ≥ 1) i strogo pse-udokontraktivno (sa konstantom t > 1) preslikavanje i neka su nizovi su nizovi{αn}n, {βn}n ∈ [0, 1] tako da vaºi

(i) limn→∞ αn = 0;

(ii)∑∞

n=0 αn =∞;

40

Druge iterativne metode 41

(iii) lim supn→∞ βn <k

L(K+1);

gde je k = t−1t.

Ako je slika T (K) ograni£en, onda niz {xn}n ∈ K, defnisan tako da zadovoljavauslove De�nicije 24. konvergira strogo ka jedinstvenoj �ksnoj ta£ki preslikavanja T.

Drugi koncept iteracije sa gre²kama dat je slede¢om de�nicijom.

De�nicija 25. Neka je K neprazan konveksan podskup Banachovog prostora E ineka je dato preslikavanje T : K → K. Niz {xn}n odre�en sa

x0 ∈ K;

xn+1 = anxn + bnTyn + cnun;

yn = a′

nxn + b′

nTyn + c′

nun;n ≥ 0,

gde su nizovi {un}n, {vn}n ograni£eni u K, a nizovi {an}n, {bn}n, {cn}n, {a′n}n,

{b′n}n i {c′n}n ⊂ [0, 1] takvi da vaºi

an + bn + cn = a′

n + b′

n + c′

n = 1,

se naziva Ishikawina iteracija sa gre²kama.

Napomena 2. Ako u prethodnoj de�niciji stavimo b′n ≡ c

′n ≡ 0 dobijamo Mannovu

iteraciju sa gre²kama.

Teorema 42. Neka je K kompaktan konveksan podskup realnog Hilbertovog prostoraH i T : K → K neprekidno hemikontraktivno preslikavanje. Neka realni nizovi{an}n, {bn}n, {cn}n, {a

′n}n, {b

′n}n i {c′n}n ⊂ [0, 1] ispunjavaju slede¢e uslove

(i) an + bn + cn = a′n + b

′n + c

′n = 1, n ≥ 0;

(ii) limn→∞ bn = limn→∞ b′n = 0;

(iii)∑

n αnβn =∞;∑

n αnβnδn <∞, δ = ‖Txn − Tyn‖2

(iv)∑∞

n=0 cn <∞,∑∞

n=0 c′n <∞,

(v) 0 ≤ αn ≤ βn < 1, n ≥ 1, αn = bn + cn, βn = b′n + c

′n.

Tada Ishikawina iteracija sa gre²kama {xn}n, odre�ena De�nicijom 25. konvergirastrogo ka �ksnoj ta£ki preslikavanja T.


5.2 Modi�kovana Mannova i modi�kovana Ishika-wina iteracija

Cilj ovog dela je da pokaºemo, posmatraju¢i T n umesto T, u vezi sa de�nisa-njem Mannove i Ishikawine iteracije, da dobijamo nove iterativne procese koji kon-vergiraju strogo ka �ksnim ta£kama odre�enih klasa Lipschitzovih i kontraktivnihpreslikavanja.

De�nicija 26. Neka je K neprazan podskup normiranog linearnog prostora E i T :K → K preslikavanje.

(1) Za T kaºemo da je asimptotski jeftino ako postoji niz {kn}n ∈ [1,∞), lim supn→∞ kn =1, tako da vaºi

‖T nx− T ny‖ ≤ kn‖x− y‖,

za sve x, y ∈ K,n ≥ 1;

(2) Za T kaºemo uniformno L-Lipschitzovo, sa konstantnom L > 0 ako vaºi

‖T nx− T ny‖ ≤ L‖x− y‖,


(3) Za T kaºemo da je k-strogo asimptotski pseudokontraktivno, ako postoji niz{kn}n ∈ [1,∞), limn→∞ kn = 1 i konstanta k ∈ [0, 1), tako da

‖T nx− T ny‖2 ≤ k2n‖x− y‖2 + k‖(x− T nx)− (y − T ny)‖2,


(4) Za T kaºemo da je asimptotski polukontraktivno ako ima neprazan skup �ksnihta£aka i ako postoji niz {kn}n ∈ [1,∞), limn→∞ kn = 1 i konstanta k ∈ [0, 1),tako da

‖T nx− p‖2 ≤ k2n‖x− p‖2 + k‖(x− T nx)‖2,

za sve x ∈ K, k ∈ FT , n ≥ 1.

De�nicija 27. Neka je K neprazan podskup normiranog linearnog prostora E i T :K → K preslikavanje i nizovi {αn}n, {βn}n ∈ [0, 1). Niz {xn}n de�nisan sa

x0 ∈ K

xn+1 = (1− αn)xn + αnTnyn

yn = (1− βn)xn + βnTnxn, n ≥ 0;

naziva se modi�kovana Isihikawina iteracija.


Napomena 3. Ako u prethodnoj de�niciji stavimo βn ≡ 0, n ≥ 0 onda iz modi�ko-vane Ishikawine iteracije dobijamo modi�kovanu Mannovu iteraciju.

Lema 43. Neka je K neprazan konveksan podskup normiranog linearnog prostoraE i neka je T : K → K uniformno L-Lpipschitzovo preslikavanje. Ako je rn =‖xn − Txn‖, n ≥ 0, gde je {xn}n modi�kovana Ishikawina iteracija za T, onda

‖xn − Txn‖ ≤ rn + rn−1L(1 + 3L+ 2L2), n ≥ 1.

Teorema 44. Neka je K neprazan ograni£en zatvoren konveksan podskup hilbertovogprostora H i neka je T : K → K neprekidno uniformno L-Lipschitzovo i asimptotskipolukontraktivno. Neka niz {kn}n ∈ [1,∞), limn→∞ kn = 1 zadovoljava uslov

∞∑n=0

(kn − 1) < 1

, pretpostavimo da su dati nizovi {αn}n, {βn}n ∈ [0, 1) tako da vaºi

0 < a ≤ αn, n ≥ 0;

0 < b ≤ βn ≤ min{1− k − c,√

1 + 4(1− d)L2 − 1

2L2}, n ≥ 0;

αn − kβn ≤ 1− k, n ≥ 0,

gde je konstanta k, koja se javlja u De�niciji 26., a, b, c i d konstante tako da je

c+ d > 0, 0 ≤ c < 1− k, 0 ≤ d < 1.

Tada modi�kovana Isihikawina iteracija {xn}n, konvergira strogo u K ka nekoj �k-snoj ta£ki preslikavanja T.

Napomena 4. Ako je βn ≡ 0, n ≥ 0, onda se rezultat iz prethodne teoreme odnosina konvergenciju modi�kovane Mannove iteracije {xn}n.

Glava 6

Upore�ivanje iterativnih metoda

Iterativni metodi za odre�ivanje �ksnih ta£aka se koriste pri re²avanju konkretnihnelinearnih operatorskih jedna£ina, variacionih jedna£ina, variacionih nejedna£ina,itd. U ovoj glavi prikaza¢emo rezultate vezane za brzinu konvergencije Mannove iIshikawine iteracije i uporedi¢emo ove dve iteracije u pogledu brzine konvergencijeza odre�ene klase kontraktivnih preslikavanja.

6.1 Brzina konvergencije iterativnih metoda

Teorema o �ksnoj ta£ki je korisna, sa numeri£ke strane gledi²ta, ako ispunjavanekoliko zahteva me�u kojima navodimo:

(a) u stanju je da obezbedi procenu gre²ke za iterativne metode koje su kori²¢eneza aproksimaciju �ksne ta£ke;

(b) u stanju je da obezbedi konkretne rezultate za stabilnost metoda ili, alterna-tivno, podatke o zavisnosti �ksne ta£ke.

Samo nekoliko teorema o �ksnim ta£kama ispunjava oba dva navedena zahteva, doksu procena gre²ke i podaci o zavisnosti �ksnih ta£aka sistematski dati uglavnom zaPicardovu iteraciju, zajedno sa raznim kontraktivnim uslovima.

Neka je (X, d) metri£ki prostor {xn}n niz koji konvergira ka x∗, pri £emu je x∗

�ksna ta£ka preslikavanja T : X → X.Iz xn → x∗ kada n→∞, sledi da ta svako ε > 0 postoji prirodan broj N tako da je

d(xn, x∗) < ε, n ≥ N

Ako se za preslikavanje T, za po£etno x0, moºe prakti£no odrediti prirodan broj N(koji zavisi od ε), tada prethodna nejednakost sluºi kao kriterijum zaustavljanja zaiterativni metod.

44

Upore�ivanje iterativnih metoda 45

Ako je T a-kontrakcija na kompletnom metri£kom prostoru, tada vaºe slede¢eprocene

d(xn, x∗) ≤ an

1− a· d(x0, x1), n = 0, 1, 2..,

d(xn, x∗) ≤ a

1− a· d(xn−1, xn), n = 0, 1, 2..,

{xn}n je Picardova iteracija, x0 po£etna vrednost, x∗ �ksna ta£ka preslikavanja T.Dakle, kada polazimo od po£etnog x0, N-ta Picardova iteracija xN aproksimira x∗

sa gre²kom manjom od ε. Procena

d(xn, x∗) ≤ an

1− a· d(x0, x1), n = 0, 1, 2..,

nam pokazuje koliko nam je iteracija potrebno da bismo dobili ε - aproksimaciju�ksne ta¢ke x∗.Sa druge strane, procena

d(xn, x∗) ≤ a

1− a· d(xn−1, xn), n = 0, 1, 2..,

direktno omogu¢ava kriterijum zaustavljanja za iterativni metod; ako ºelimo dadobijemo x∗ sa gre²kom manjom od ε > 0; u tom slu£aju zaustavljamo iterativnipostpupak posle prvog n za koji je razlika izme�u dve uzastopne iteracije

d(xn, xn−1) =ε(1− a)

a

U cilju da uporedi dve iterativne metode {un}n i {vn}n koje konvergiraju ka �ksnojta£ki p preslikaanja T, Rhodes je uveo, odnosno koristio pojam da je metoda {un}nbolja od metode {vn}n ukoliko je, za svako n ∈ N

‖un − p‖ ≤ ‖vn − p‖.

Za upore�ivanje iterativnih medota, Berinde je predloºio drugi postupak , koji sezasniva na slede¢oj de�niciji.

De�nicija 28. Neka su {an}n i {bn}n dva niza realnih broje koja konvergiraju ka�ksnim ta£kama a i b, respektivno, i pretpostavimo da postoji

l = limn→∞

| an − a || bn − b |

.

(1) Ako je l = 0, tada niz {an}n konvergira brºe ka ta£ki a nego {bn}n ka ta£ki b;

(2) Ako je 0 < l <∞ kaºe se da {an}n i {bn}n imaju isti stepen konvergencije;

(3) Ako je l =∞ tada niz {bn}n brºe konvergira ka ta£ki b nego niz {an}n ka ta£kia.


Pojam brzine konvergencije, uveden prethodnom de�nicijom, dozvoljava nam daupore�ujemo brzine konvergencije dva niza.Pored ovog koncepta brzine konvergencije, koji je realtivan, postoje i drugi konceptiapsolutne brzine konvergencije. Me�utim ako su date procene gre²ke

d(xn, x∗) ≤ an

1− a· d(x0, x1), n = 0, 1, 2..,

d(xn, x∗) ≤ a

1− a· d(xn−1, xn), n = 0, 1, 2..,

ovaj koncept mnogo vi²e odgovara.Pretpostavimo da su za dva iterativna niza {un}n i {vn}n koje konvergiraju ka �ksnojta£ki p, odre�ene procene gre²ke

‖un − p‖ ≤ an;

‖vn − p‖ ≤ bn;

n = 0, 1, 2, .. gde su {an}n i {bn}n nizovi pozitivnih brojeva koji konvergiraju ka nuli.

De�nicija 29. Neka su {un}n i {vn}n dve iterativne procedure koje konvergiraju kaistoj �ksnoj ta£ki p i zadovoljavaju procene

‖un − p‖ ≤ an;

‖vn − p‖ ≤ bn;

n = 0, 1, 2, .. {an}n i {bn}n su nizovi pozitivnih brojeva koji konvergiraku ka nuli.Ako niz {an}n konvergira brºe od niza {bn}n tada se moºe re¢i da iterativni niz {un}nkonvergira brºe od iterativnog niza {vn}n ka ta£ki p.

Primer 9. Neka je p = 0, un = 1n+1

, vn = 1n, n ≥ 1, tada je niz {un}n bolji od niza

{vn}n, ali niz {un}n ne konvergira brºe od niza {vn}n. To sledi iz

limn→∞

unvn

= 1.

Prema tome, {un}n i {vn}n imaju isti stepen konvergencije.

Napomena 5. Berinde, smatra da ovaj primer pokazuje da De�nicija 28. uvodiprecizniji koncept stepena konvergencije od onoga koji je Rhodes posmatrao.

Napomena 6. Po mi²ljenju Qinga i Rhodesa, iz 2008. godine, De�nicija 28. jenedosledna za upore�ivanje iterativnih metoda, ²to je dovelo do pogre²nih zaklju£aka.Oni su to konkretno objasnili korste¢i Mannovu i Ishikawinu iteraciju u primeni naZam�rescuovo preslikavanje.


6.2 Upore�ivanje Picardove i Mannove itercije uklasi Zam�recsu preslikavanja

Teorema 45. Neka je E proizvoljan Banachov prostor, K zatvoren i konveksanpodskup od E, T : K → K Zam�rescuovo preslikavanje. Neka je niz {xn}n Mannovaiteracija M(x0, αn, T ) de�nisana sa

xn+1 = (1− αn)xn + αnT (xn), n =, 1, 2, ...

pri £emu za niz {αn}n ⊂ [0, 1] vaºi

(iv)∑∞

n=0 αn =∞;

za po£etno x0 ∈ K. Neka je niz {yn}n Picardova iteracija de�nisana sa

yn+1 = Tyn

za po£etno y0 ∈ K. Tada vaºi:

(1) Picardova iteracija {yn}n konvergira ka �ksnoj ta£ki preslikavanja T;

(2) Mannova iteracija {xn}n konvergira ka �ksnoj ta£ki preslikavanja T;

(3) Picardova iteracija {yn}n konvergira brºe ka �ksnoj ta£ki preslikavanja T odMannove iteracije {xn}n.


6.3 Picard-Mannov hibridni iterativni metod

Neka je C neprazan konveksan podskup normiranog prostora E, neka je datopreslikavanje T : C → C.

Picardov ili sukcesivni iterativni proces je de�nisan nizom {un}n

u1 = u ∈ C,

un+1 = Tun, n ∈ N.

Mannov iterativni proces de�nisan je nizom {vn}n

v1 = v ∈ C,

vn+1 = (1− αn)vn + αnTvn, n ∈ N.

Ishikawin iterativni proces de�nisam je nizom {zn}n

z1 = z ∈ C,

zn+1 = (1− αn)zn + αnTyn,

yn = (1− βn)zn + βnTtn, n ∈ N.

Khan je 2013. godine, izu£avao novi proces, Picard-Mannov hibridni iterativniproces. Za preslikavanje T ovaj proces je de�nisan nizom {xn}n na slede¢i na£in

x1 = x ∈ C,

xn+1 = Tyn,

yn = (1− αn)xn + αnTxn, n ∈ N,

gde je niz {αn}n ∈ (0, 1). Ovaj iterativni proces je nezavistan od svih prethodnonavedenih iteracija jer su nizovi {αn}n i {βn}n sadrºavni u (0,1). Tako�e, ovaj itera-tivni metod konvergira brºe od svih iterativnih procesa Picarda, Manna i Ishikawaza kontrakcije u Berindeovom smislu.

Teorema 46. Neka je C neprazan zatvoren konveksan podskup normiranog prostoraE, neka je preslikavanje T : C → C kontrakcija. Preptostavimo da svaki, od pret-hodno de�nisanih procesa, {un}n, {vn}n, {zn}n i {xn}n konvergira ka istoj �ksnojta£ki preslikavanja T, gde za svako n ∈ N, nizove {αn}n i {βn}n i neko λ ∈ (0, 1)vaºi

0 < λ ≤ αn, βn, < 1.

Tada, iterativni proces {xn}n konvergira najbrºe, od navedenih procesa, ka �ksnojta£ki preslikavanja T.


6.4 Upore�ivanje Mannove i Ishikawine iteracije uklasi Zam�rescu preslikavanja

U svom radu iz 2006. godine Babu i Prasad su dokazali slede¢u teoremu.

Teorema 47. (Babu, Prasad) Neka je E Banachov prostor, K zatvoren konveksanpodskup od E, T Zam�rescuov operator, {αn}n, {βn}n ⊂ [0, 1] i

∑∞n=0 αn =∞;. Tada

Mannova itercija M(x0, αn, T ) konvergira brºe od Ishikawine itercije I(y0, αn, βn, T )ka �ksnoj ta£ki x∗ preslikavanja T, pod uslovom da je x0 = y0 ∈ K.

Neka je T : [0, 1] → [0, 1] neopadaju¢e, neprekidno preslikavanje sa �ksnomta£kom p. Rhodes je pokazao da je

| yn+1 − p |≤| xn+1 − p |, n = 0, 1, 2...,

gde su {xn}n i {yn}n odgovaraju¢a Mannova i Ishikawina metoda za preslikavanjeT, respektivno. Prema tome, nije mogu¢e da je

l = limn→∞

| xn+1 − pyn+1 − p

|= 0.

za svaki Zam�rescuov operator na [0, 1]. Prema mi²ljenju Qinga i Rhodesesa, iz2008. godine, gre²ka je nastala zbog nedoslednosti u De�niciji 1.3. rada [2].

Svoj komentar, Qing i Rhodes su ilustrovali slede¢im primerom.

Primer 10. (Y.Qing, B.E.Rhodes) Neka je T : [0, 1]→ [0, 1], de�nisano sa

T (x) =1

2x,

i neka je

αn = βn = 0, n = 1, 2, 3, ..., 15;αn = βn =4√n, n ≥ 16

sledixn = yn = x0, n = 1, 2, ...16, .

pretpostavimo da je x0 6= 0. Tada je Mannova iteracija M(x0, αn, T ) data sa

xn+1 = (1− αn)xn + αnTxn = ... =n∏

i=16

(1− 2√i)x0

Ishikawina iteracija I(yo, αn, βn, T ) je data sa

yn+1 = (1− αn)yn + αnT ((1− βn)yn + βnTyn) = ... =n∏

i=16

(1− 2√i− 4

i)x0

Prema tome,

| xn+1 − pyn+1 − p

|= ... =n∏

i=16

(1− 4

i− 2√i).


Sledi

0 ≤ limn→∞

n∏i=16

(1− 4

i− 2√i) ≤ ... = lim

n→∞

15

n= 0,

i

l = limn→∞

| xn+1 − pyn+1 − p

|= limn→∞

n∏i=16

(1− 4

i− 2√i) = 0.

Dakle, Ishikawina iteracija I(yo, αn, βn, T ) konvergira brºe od Mannove iteracijeM(xo, αn, T ) ka �ksnoj ta£ki x∗ = 0 preslikavanja T, ²to je u suprotnosti sa Te-oremom 47.

Zaklju£ak

U ovom radu smo predstavili samo deli¢ onoga ²to je predmet prou£avanja teorije�ksne ta£ke. Ve¢ina teorema o �ksnim ta£kama je zasnovana, manje ili vi²e, sateorijske strane gledi²ta. utvr�uju¢i egzistenciju ili egizstenciju i jedinstvenost �ksneta£ke preslikavanja. Me�utim, sa prakti£ne strane gledi²ta, bitno je ne samo znatida li �ksna ta£ka postoji i da li je jednistvena, u slu£aju kada postoji, ve¢ je vaºnoznati kako odrediti �ksnu ta£ku preslikavanja. Konstruktivni metodi koji se koristesu naj£e²¢e iterativni metodi.

U ovom radu poku²ali smo da na ²to bolji na£in predstavimo Mannovu iterativnumetodu i Ishikawinu iterativnu metodu. Na po£etku rada smo izneli neke osnovnede�nicije i tvr�enja iz teorije �ksne ta£ke, zatim smo predstavili Picardovu itera-ciju. Akcenat rada stavljen je na procese Manna i Ishikawe, koje smo posmatrali zarazli£ite klase preslikavanja, uz razli£ite uslove i na razli£itim tipovima prostora.

Na dalje, mogli bismo se baviti drugim klasama preslikavanja, zatim posmatratiiterativne procese Manaa i Ishikawe na drugim prostorima, uz slabije ili ja£e uslove ucilju pronalaºenja ²to bolje metode za odre�ivanje egzistencije i jedinstvenosti �ksneta£ke, jer bez e�kasnih metoda za odre�ivanje, uzaludno je govoriti o �ksnoj ta£ki.

51

52

Literatura

[1] R.Agarwal, Fixed Point Theory and Applications, Cambridge University Press,2001.

[2] GVR Babu, KNVVV prasad,Mann iterationc converges faster than Ishikawaiteration for Zamfirescu operators, Fixed Point Theory Appl

[3] S.Banach, Sur les operations dans les ensembles abstraits et leur applicationsaux equations integrales, Fund. Math. 1922.

[4] V.Berinde, A convergence theorem for some mean value fixed iterationprocedures, Dem Math, 2005.

[5] V.Berinde, Iterative Approximation of F ixed Points, Springer-Verlag BerlinHeidelrberg, 2007.

[6] L.B.�iri¢, Generalized contrctions and fixed − point theorems Publ. Inst.Math. 1971.

[7] D.Ili¢, V.Rako£evo¢, Iterativne metode u teoriji fiksne ta£ke, Prirodno-matemati£ki Fakultet, Ni², 2015.

[8] D.Ili¢, V.Rako£evi¢, Kontraktivna preslikavanja na metrikim prostorima iuoptenja, Prirodno-matemati£ki Fakultet, Ni², 2014.

[9] S.Ishikawa, Fixed points by a new iteration method, Proc. Amer. Math Soc,1974.

[10] M. Khamsi, W. Kirk, An Introduction to Metric Spaces and Fixed PointTheory, John Wiley and Sons, INC., New York, 2000.

[11] W.R.Mann, Mean value methods in iteration, Proc. Amer. Math. Soc. 1953.

[12] N. Milovanovi¢, Iterativne metode za nalaenje fiksne take, Master rad,Prirodno-matemati£ki Fakultet, Ni² 2014.

[13] Y.Qing, B.Rhodes, Comments on the rate of convergence between Mann andIshikawa iterations applied on Zamfirescu operators, Fixed Point TheoryAppl, 2008..

[14] T. Zam�rescu, Fix point theorems in metric spaces, Arch. Math. 1972.

Biogra�ja

Marko Ra²i¢ ro�en je 6.9.1992. godine u Ni²u, Republika Srbija. Osnovnu ²kolu"Branislav Nu²i¢", kao i "Gimnaziju 9. maj"u Ni²u zavr²io je sa odli£nim uspehom.Tokom ²kolovanja u£estvovao je na takmi£enjima iz matematike i hemije.

Osnovne akademske studije, na odseku za matematiku, upisao je na Prirodno-matemati£kom fakultetu u Ni²u 2011. godine. Osnovne akademske studije, zavr²ioje 2015. godine. Master akademske studije, na smeru verovatno¢a, statistika i�nansijska matematika upisao je 2015. godine na istom fakultetu. Poslednji ispitpoloºio je oktobra 2017. godine. Prose£na ocena na master studijama je 8,35.

53

mannove i ishikawine iteracije za pojedina …...univerzitet u ni²u prirodno - matemati£ki...

Documents