Sveu£ili²te J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveu£ili²ni nastavni£ki studij matematike i informatike

Sanja Bimbi

Uloga de�nicije u nastavi matematike

Diplomski rad

Osijek, 2013.

Sveu£ili²te J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku

Sveu£ili²ni nastavni£ki studij matematike i informatike

Sanja Bimbi

Uloga de�nicije u nastavi matematike

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Ivan Mati¢Komentor: dr. sc. Ljerka Juki¢ Mati¢

Osijek, 2013.

Sadrºaj

1. UVOD 1

2. MATEMATI�KI POJAM 2

2.1. �to je pojam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Opseg i sadrºaj pojma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3. De�nicija pojma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4. Na£ini de�niranja matemati£kih pojmova . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5. Pravila de�niranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. SLIKA I DEFINICIJA POJMA 10

3.1. Slika pojma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. De�nicija pojma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3. Oblikovanje pojma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4. Slika i de�nicija pojma � poºeljna teorija i praksa . . . . . . . . . . . . 123.5. �etiri prikaza uobi£ajenih slika pojma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5.1. Pojam funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5.2. Neprekidnost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.5.3. Pojam tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.5.4. Pojam ograni£enosti niza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. IZ METODI�KIH RADIONICA STUDENATA MATEMATIKE 24

5. ZAKLJU�AK 26

Literatura 27

Saºetak 28

Title and summary 29

�ivotopis 30

1

1. UVOD

Maleno dijete upoznaje svijet tako ²to gleda, osje¢a i ispituje �zi£ke predmete. Zatimpo£inje prepoznavati rije£i kojima te predmete ozna£avamo, a ne²to kasnije po£injeprepoznavati i slike tih predmeta. Na kraju prepoznaje pismene znakove kojima ihprikazujemo. Sli£no se razvijaju i djetetova matemati£ka iskustva. Dijete prolazi krozniz faza u kojima usvaja mnoge pojmove na£inom karakteristi£nim za dano razdoblje.�to je intelektualna razvijenost u£enika manja, to je razina metodi£ke prerade sadrºajave¢a. Kako bi dijete moglo usvajati po£etne matemati£ke sadrºaje treba biti sposobnovr²iti neke matemati£ke aktivnosti neophodne za usvajanje matemati£kih pojmova.

Matemati£ka de�nicija jest iskaz matemati£ke teorije kojim se utvr�uje zna£enje ne-kog izraza te teorije. De�nicija stvara ozbiljan problem pri u£enju matematike. Ona,moºda vi²e no i²ta drugo, predstavlja kon�ikt izme�u strukture matematike kako jezami²ljena od profesionalnih matemati£ara i kognitivnih procesa pri konceptu usvaja-nja podataka. Nitko u matemati£koj zajednici ne proturje£i tvrdnji da je matematikadeduktivna teorija i kao takva, zapo£inje osnovnim pojmovima i aksiomima. Putemosnovnih pojmova de�nirani su svi ostali pojmovi. Svi teoremi, koji nisu aksiomi, doka-zani su aksiomima putem odre�enih pravila izvo�enja. Naravno, nije u svakoj situacijimogu¢e zapo£eti s osnovnim pojmovima i aksiomima. U pravilu, zapo£inje se s dobroznanim pojmovima i dobro znanim teoremima, a nastavlja de�niranjem novih pojmovai dokazivanjem novih teorema. Ovo moºe imati odre�ene posljedice za na£in na kojije matematika pou£avana, £ak i prije no po£nemo razmi²ljati o adekvatnoj pedagogiji.Prema tome, nastavnici matematike u svojim razredima mogu stvoriti niz de�nicija,teorema i dokaza kao osnovu za njihova predavanja. Kori²tenje ovih zna£ajki bi pe-dago²ki moglo biti pogre²no po²to bi pri pou£avanju trebalo uzeti u obzir uobi£ajenepsiholo²ke procese koncepta stjecanja znanja i logi£nog zaklju£ivanja.

Nastavnici se moraju osloniti na razli£ite tipove znanja za u£inkovitu komunikaciju smatemati£kim de�nicijama u u£ionici, stoga je potrebno objasniti ono ²to nastavnicimoraju znati o matemati£kim de�nicijama.

2

2. MATEMATI�KI POJAM

Matematika je znanost koja je izgra�ena na zakonima i principima logike. U matema-tici se polazi od osnovnih pojmova koje ne de�niramo i ne opisujemo, ve¢ ih smatramointuitivno poznatima. Iz osnovnih se pojmova dalje de�nicijama izgra�uju novi mate-mati£ki pojmovi.

2.1. �to je pojam

Objekti ili relacije razlikuju se me�usobno svojim svojstvima, osobitostima i obiljeº-jima. Od svih svojstava nekog objekta ili odnosa posebno su vaºna svojstva koja sunjegova osobnost i kojima se on izdvaja iz skupa drugih objekata.

De�nicija 2.1. Oblik mi²ljenja u kojem se odraºavaju bitna svojstva objekata koji seprou£avaju naziva se pojam.

Proces formiranja pojmova u nastavi matematike ne mora, a vrlo £esto i ne moºe bitiprecizan i strog kao isti proces u znanosti. Sve ovisi o uzrastu i predznanju u£enika.Dopu²ten je stanovit stupanj slobode i pojednostavljenja. Vaºno je da je u£enicimapoznato zna£enje svih pojmova koji ulaze u de�niciju novog pojma. Moºemo ga opi-sati ovako: Po£etni i najjednostavniji stupanj spoznavanja pojma jest promatranje iupoznavanje konkretnih objekata i njihovih konkretnih svojstava povezanih s pojmomi osjetilna spoznaja - zapaºanje. Drugi stupanj je uo£avanje ne£eg op¢eg i zajedni£kogelementima u promatranom skupu objekata - predodºba o pojmu. Tre¢i stupanj jeizdvajanje bitnog op¢eg svojstva takvih objekata - formiranje i usvajanje pojma.

Nuºan zahtjev koji trebaju zadovoljavati simbolika i rije£ pri izraºavanju danog pojmajest jednozna£nost. Ponekad imamo vi²e termina koji jednozna£no izraºavaju jedan teisti termin. To ukazuje na bogatstvo jezika, ali i dalje jasnije i to£nije odre�enje samogpojma

Primjer 2.1. Termini za najjednostavniji £etverokut: kvadrat, pravilni £etverokut,romb s pravim kutom.

3

Ponekad se odstupa od zahtjeva jednozna£nosti, pa se jedna te ista rije£ rabi za iz-raºavanje vi²e pojmova. To moºe dovesti do nejasno¢e i nerazumijevanja, a posebnoje nepoºeljno u nastavi, gdje u£enici tek usvajaju programom propisani sustav pojmova.

Primjer 2.2. Termin korijen se shva¢a na razli£ite na£ine: korijen iz broja, korijenjednadºbe, korijen biljke, korijen zuba. Dvozna£nost u nastavi matematike treba seizbje¢i dosljednom zamjenom slabog termina korijen jednadºbe primjerenim terminomrje²enje jednadºbe.Simbol AB £esto ozna£ava ove objekte: AB - pravac to£kama A i B, AB - duºina skrajevima A i B, AB - udaljenost to£aka A i B. Ova vi²ezna£nost eliminira se dosljed-nom uporabom za te objekte primjerenih razli£itih simbola AB, AB, |AB|.

Pri obradi matemati£kih pojmova imamo vi²e razina mi²ljenja. Na najniºoj razini u£e-nik razlikuje, na primjer, geometrijske likove isklju£ivo po obliku. Za njega su romb,trapez, pravokutnik tri razli£ita lika, suprostavlja ih jedan drugom, usvaja njihove na-zive, upoznaje za svaki pojedina£ni lik po neko svojstvo, raspoznaje ih, ali jo² ne vidineku uºu vezu me�u njima. Takvo mi²ljenje u£enik ima sve do sljede¢e razine, uvo-�enja de�nicija likova. De�nicijama tih pojmova zavr²ava proces njihovog formiranjai otkriva da su zapravo svi promatrani likovi trapezi. Dakle, de�niranjem pojmovarazina mi²ljenja u£enika se povisuje.

2.2. Opseg i sadrºaj pojma

Svaki pojam P ima svoj opseg i sadrºaj.

De�nicija 2.2. Skup svih pojedina£nih objekata ili relacija na koji se moºe primijenitijezi£ni izraz pojma naziva se opseg pojma. Ozna£ava se sa Op.

De�nicija 2.3. Skup svih bitnih obiljeºja koja imaju svi objekti ili relacije iz opsegapojma naziva se sadrºaj pojma. Ozna£ava se sa Sp.

Opseg pojma razotkriva se pomo¢u klasi�kacije. Sadrºaj pojma potpuno odre�uje nje-gov opseg i obrnuto, opseg pojma potpuno odre�uje njegov sadrºaj. Ako se mijenjasadrºaj, mijenja se i opseg. Tu postoji obrnuta zavisnost (²to je bogatiji sadrºaj, to jemanje objekata koji imaju sva ta svojstva i obrnuto).

4

Primjer 2.3. Pojam P, sadrºaj Sp, opseg Op

P: paralelogramSp: nasuprotne stranice su paralelne, nasuprotne stranice su sukladne, nasuprotni ku-tovi su sukladni,kutovi uz istu stranicu su suplementni, dijagonale se raspolavljaju i dr.Op: romboidi, rombi, pravokutnici, kvadrati

Primjer 2.4. Pojam P, sadrºaj Sp, opseg Op

P: povr²ina mnogokutaSp: nenegativna funkcija, aditivna funkcija, sukladnim mnogokutima pridruºuje istibroj, bar jednom kvadratu pridruºuje broj 1Op: povr²ina trokuta, povr²ina £etverokuta, povr²ina n-terokuta

Pomo¢u opsega pojma moºemo uvesti pojmove rod i vrsta, koji su vaºni prilikom de-�niranja pojma.

De�nicija 2.4. Ako je opseg Op1 pojma P1 sadrºan u opsegu Op2 pojma P2, onda sekaºe da je pojam P2 rod u odnosu na pojam P1, a pojam P1 vrsta u odnosu na pojam P2.

Primjer 2.5. Za pojam kvadrat rodovi su pravokutnik, romb, paralelogram, trapez, £e-tverokut, mnogokut i skup to£aka ravnine.

Primjer 2.6. Za pojam prirodan broj rodovi su cijeli nenegativan broj, cijeli broj, ra-cionalan broj, realan broj i kompleksan broj.

2.3. De�nicija pojma

Dvije su vrste matemati£kih pojmova:

1. jednostavni pojmovi koji se ne de�niraju i koji se nazivaju osnovni pojmovi.Takvi su pojmovi: to£ka, pravac, ravnina, prostor, skup.

2. izvedeni pojmovi, pojmovi koji se jasno i precizno de�niraju, ²to zna£i da senjihovo zna£enje opsiuje pomo¢u osnovnih pojmova ili pomo¢u nekih ranije de�-niranih pojmova.

De�nicija 2.5. Najbrajanje nuºnih i dovoljnih obiljeºja pojma povezanih logi£kom re-£enicom ili simboli£kim zapisom naziva se de�nicija.

5

U de�niciji pojma vaºnu ulogu igraju bitna obiljeºja pojma. Pri tome, svako obiljeºjekoje ulazi u de�niciju pojma mora biti nuºno, a sva zajedno dovoljna za uvo�enje togpojma. De�nicija treba otkrivati osnovni sadrºaj pojma. Ne smije biti suvi²nih rije£i.Ne smije biti nedostataka, koji bi mogli izazvati nedoumicu ili nerazmijevanje pojma.To je zahtjev minimalnosti sadrºaja. Na prvi pogled moºe se uo£iti da je zahtjev mi-nimalnosti sadrºaja u de�niciji suvi²e strog, pa £ak i onda kada ga se u nastavi moºelako ispuniti. No, zahtjev ima svoje metodi£ko opravdanje. De�nicije s puno suvi²nogoptere¢uju s jedne strane pam¢enje u£enika, a s druge strane unose zbrku pri razliko-vanju de�nicija i pou£aka.

Primjer 2.7. Pogledajmo sljede¢e dvije de�nicije paralelograma iz udºbenika:

- Paralelogram je £etverokut kojemu su nasuprotne stranice paralelne.

- Paralelogram je £etverokut kojemu su nasuprotne stranice paralelne i sukladne,nasuprotni kutovi sukladni, a kutovi uz istu stranicu suplementni.

Prva de�nicija je korektna. Kratka je, jasna i lako se pamti. Druga de�nicija nije do-bra, ima puno suvi²nih rije£i i pojmova i te²ko da ¢e je svi u£enici znati izre¢i. Ona jezapravo sastavljena od prve de�nicije i tri pou£ka, koji se dokazuju primjenom suklad-nosti trokuta, ²to je za taj uzrast u£enika (²esti razred) vrlo primjeren susret s dokazom.

Osim ovog zahtjeva postavljaju jo² tri zahtjeva koja treba zadovoljavati de�nicija: pri-rodnost, prikladnost i primjenjivost.Jo² je poºeljno da de�nicije budu pro�njene. Na primjer, neki matemati£ari vjerujuda je de�nicija prostog broja (u domeni cijelih brojeva) kao broja koji ima to£no 2razli£ita djelitelja mnogo elegantnija u odnosu na de�niciju o broju ve¢im od jedankoji se moºe dijeliti samo sa 1 i sa samim sobom.

2.4. Na£ini de�niranja matemati£kih pojmova

�esto se neki pojam moºe de�nirati na vi²e na£ina. Vaºno je odmah naglasiti da svede�nicije istog pojma moraju biti me�usobno ekvivalentne, ²to zna£i da je opseg pojmapo svakoj od tih de�nicija isti skup objekata.

Osnovni na£ini de�niranja matemati£kih pojmova su:

1. Pomo¢u najbliºeg roda i razlike vrste

Ovaj na£in de�niranja vrlo je £est u geometriji. Od svih rodova pojma izdvoji seonaj koji mu je najbliºi i njegovom sadrºaju pridoda jedno bitno obiljeºje kojepripada samo vrsti koja se de�nira, tzv. razlika vrste.

6

Primjer 2.8. Kvadrat ima dva najbliºa roda. U prvom slu£aj najbliºi rod muje �pravokutnik�, a razlika vrste bitno svojstvo �susjedne stranice imaju jednakeduljine� ili �dijagonale su okomite�. U drugom slu£aju najbliºi rod mu je �romb�,a razlika vrste bitno svojstvo �jedan unutarnji kut je pravi�. Pri tome, kvadratmoºemo de�nirati na sljede¢a tri na£ina:

- Pravokutnik kojemu susjedne stranice imaju jednake duljine naziva se kva-drat.

- Pravokutnik kojemu su dijagonale okomite zove se kvadrat.

- Kvadrat je romb s pravim kutom.

2. Pomo¢u najbrajanja bitnih obiljeºja pojma

Bitno obiljeºje svakog pojma koji se dalje de�nira lako se uo£ava.

Primjer 2.9. Dvije ravnine zovemo paralelnim ako one nemaju zajedni£kih to-£aka.

3. Induktivna de�nicijaIzgradnja pojma korak po korak.

Primjer 2.10. Niz kojemu je svaki £lan jednak zbroju prethodnog £lana i kons-tante naziva se aritmeti£ki niz (an = an−1 + d).

4. Geneti£ka de�nicijaOva de�nicija opisuje na£in postanka objekta koji se de�nira. U nastavi su ko-risne u onim slu£ajevima kada u£enici nemaju dovoljno predznanja za usvajanjematemati£kih de�nicija.

Primjer 2.11. Trag to£ke koja se giba naziva se crta.

5. Konvencionalna de�nicija�esto se u pomanjkanju boljeg na£ina ili zbog drugih razloga uvodi de�nicija ukojoj se dogovorom odre�uje zna£enje nekog pojma ili simbola.

Primjer 2.12. Skup bez ijednog elementa naziva se prazan skup.

7

2.5. Pravila de�niranja

Da bi se zna£enje nekog pojma ²to jasnije i preciznije opisalo, de�nicija pojma trebazadovoljavati odre�ene zahtjeve. Postavljamo ih u obliku pravila (Kurnik, 2001):

1. De�nicija mora biti primjerena de�niranom pojmu, niti preuska, niti pre²iroka,mora razotrkivati bit pojma.

2. De�nicija treba biti pregledna i saºeta.

3. De�nicija mora biti suvremena.

4. De�nicija ne smije biti izraºena slikovitim ili na neki drugi na£in dvosmislenimjezikom.

5. De�nicija ne smije biti cirkularna.

6. De�nicija ne smije biti negativna, ako moºe biti pozitivna.

7. Opseg pojma koji se de�nira ne smije biti prazan skup.

De�nicije s rije£icom �je� ili �su� nisu najpreciznije jer se ponekad ne vidi radi li sedoista o de�niciji, ili re£enica predstavlja tvrdnju kojom se izri£e neko svojstvo ve¢ranije de�niranog pojma. Takva je na primjer re£enica: Simetrala duºine je skup svihonih to£aka ravnine ²to su jednako udaljene od krajnjih to£aka duºine. Ova je re£enicas jezi£ne strane jasna. S matemati£ke to£ke gledi²ta ona izaziva nedoumicu. To moºebiti de�nicija simetrale duºine, no, uobi£ajena de�nicija simetrale duºine je: Pravackoji prolazi polovi²tem duºine i okomit je na tu duºinu zove se simetrala duºine. Iztoga moºemo zaklju£iti da je navedeni iskaz pou£ak koji se treba dokazati.

U£enici ponekad ne razlikuju de�nicije pojmova i pou£ke. Da je rije£ o de�niciji naz-na£uju rije£i �naziva se�, �zove se� ili �kaºemo�.

U nekim na²im udºbenicima matematike £esto se pojmovi uvode povr²no, neprecizno,stru£no i metodi£ki slabo. Neki od primjera de�nicija koje nisu u skladu s nekim odnavedenih pravila i mogu se na¢i u udºbenicima:

1. Paralelni pravciUpitate li u£enike kako bi de�nirali paralelne pravce, £esto ¢ete dobiti odgovor:

Za dva pravca kaºemo da su paralelni pravci ako se oni ne sijeku ili sepodudaraju.

De�nicija je pre²iroka, izostavljeno je bitno obiljeºje �leºe u ravnini�. Opsegupojma zato pripadaju i mimoilazni pravci.

8

2. Okomiti pravci i pravi kutPrema jednom ranijem programu u£enici tre¢eg razreda osnovne ²kole u£ili sujednu, a u£enici £etvrtog razreda drugu od ovih dviju postavki:

Pravci koji zatvaraju pravi kut nazivaju se okomiti pravci.

Kut £iji su kraci me�usobno okomiti naziva se pravi kut.

Ovo je primjer cirkulane de�nicije: okomiti pravci de�niraju se pomo¢u pravogkuta, a pravi kut pomo¢u okomitih pravaca. Na taj na£in ni jedan pojma nijede�niran, tj. zapravo se ne zna ²to je de�nirano.Okomiti pravci se zaista de�niraju na gornji na£in, ali se tada pravi kut morade�nirati pomo¢u susjednog kuta:

Kut koji je jednak svome susjednom kutu naziva se pravi kut.

3. TrapezNa pitanje koji se lik zove trapez, u£enici £esto odgovaraju:

Trapez ima jedan par paralelnih stranica.

Ova de�nicija nije ispravna, ima nedostatak. Izostavljen je rod �£etverokut�. Imamnogo likova koji imaju jedan par paralelnih stranica, a nisu trapezi.

4. Iracionalan broj

S iracionalnim brojevima u£enici se susre¢u u algebri pri va�enju drugog korijenai u geometriji pri odre�ivanju duljina duºina. Ali kako se de�niraju iracionalnibrojevi? Jedna mogu¢nost:

Realan broj koji nije racionalan naziva se iracionalan broj.

Slabosti su ove de�nicije prili£no o£igledne. To je primjer negativne de�nicije.Ona kaºe ²to iracionalni brojevi nisu, a ne ²to oni jesu. Negativne de�nicije sene isklju£uju, ali one moraju biti u skladu s pravilom 6.U na²em slu£aju de�nicija moºe biti pozitivna:

Realan broj koji se zapisuje u obliku besko£anog neperiodi£kog decimalnograzlomka naziva se iracionalan broj.

9

Brzi pregled ve¢ine srednjo²kolskih i fakultetskih udºbenika pokazat ¢e da de�nicijeimaju glavnu ulogu u predstavljanju nastavnih materijala, ²to predstavlja odre�enuzabrinutost u pedagogiji. Uzmimo za primjer poimanje apsolutne vrijednosti nekogbroja. Njegova najbolja karakterizacija jest da je to broj bez predznaka. To je pot-puno jasno u£enicima i to je ono ²to ¢e vam ve¢ina njih re¢i ukoliko ih upitate oapsolutnoj vrijednosti. No, te²ko ¢ete na¢i udºbenik koji to spominje. Druga mogu¢-nost karakterizacije apsolutne vrijednosti nekog broja jest tvrdnja da je to udaljenosttog broja od nule na brojevnom pravcu. To je tako�er sasvim jasno u£enicima, nomoºda malo manje u odnosu na prvu karakterizaciju. Mogu se prona¢i neki udºbenicii nastavnici koji ovu karakterizaciju koriste, no ve¢ina nastavnika i udºbenika ¢e juizbjegavati. Ipak, neki nastavnici su svjesni da te de�nicije nisu sasvim jasne te dazbunjuju ve¢inu u£enika. Zagovaranjem mogu¢nosti da je mogu¢e ne koristiti formalnede�nicije ne ignorira se potreba da u kasnijoj fazi svi znaju da vrijedi

|x| ={x ako je x > 0−x ako je x < 0

(1)

U£enik bi to trebao koristiti pri rje²avanju algebarskih jednadºbi i nejednakosti s ap-solutnom vrijedno²¢u. Ipak, navedena formula moºe biti dana i obja²njena u£enikuu kasnijoj fazi usvajanja gradiva kao tvrdnja o apsolutnoj vrijednosti, a ne u oblikuformalne de�nicije. Poanta koja se moºe dobiti diskusijom primjera o apsolutnoj vri-jednosti je sljede¢a: pri dono²enju odluke o pedagogiji predavanja matematike ne trebauzeti u obzir samo pitanje o na£inu na koji se o£ekuje od u£enika da usvoje odre�enematemati£ke koncepte, ve¢ poglavito kako uistinu u£enici usvajaju te pojmove.

10

3. SLIKA I DEFINICIJA POJMA

Ljudski mozak nije posve logi£na cjelina. Kompleksni na£in na koji on funkcionira je£esto u sukobu s logikom matematike. To nije uvijek £ista logika koja nam daje uvid,niti je prilika koja ¢e nas potaknuti da u£inimo pogre²ku. Kako bismo shvatili kako seti procesi pojavljuju, bilo uspje²no ili krivo, moramo formulirati razliku izme�u ma-temati£kih pojmova kao formalno de�niranih i kognitivnih procesa po kojima se onirazumiju odnosno shva¢aju.

Mnogi pojmovi koje koristimo uop¢e nisu formalno de�nirani, u£imo ih prepoznati poiskustvu i po upotrebi u odre�enim kontekstima. Kasnije se ti pojmovi mogu preraditiili promijeniti u svom zna£enju i tuma£iti s pove¢anom suptilno²¢u sa ili bez rasko²iprecizne de�nicije. Obi£no se u tom procesu odre�enom pojmu daje simbol ili nazivkoji ga osposobljava da se njime komunicira i pomaºe u njegovoj mentalno manipula-ciji. Ali, ukupna kognitivna struktura koja obja²njava zna£enje pojma je mnogo daljaod stvaranja pojedinog simbola. To je mnogo vi²e od mentalne slike, bez obzira jeli ona slikovita, simboli£na ili druga£ija. Tijekom mentalnih procesa i podsje¢anja namanipulaciju pojma, u igru se dovode mnogi povezani procesi, koji svjesno ili nesvjesnoutje£u na zna£enje i upotrebu.

3.1. Slika pojma

Ime pojma, kada ga vidimo ili £ujemo, je poticaj na²em pam¢enju. Ne²to je evociranoimenom pojma u na²em pam¢enju. Obi£no to nije de�nicija pojma, £ak ni u slu£ajuda pojam ima de�niciju. Evocira se ono ²to nazivamo �slika pojma�.

Slika pojma je ne²to neverbalno asocirano u na²em umu s imenom pojma. Uklju£ujesve ideje koje pojedinac ima o samom pojmu. To moºe biti vizualna reprezentacijapojma u slu£aju da pojam ima vizualne reprezentacije, a isto tako moºe biti zbirkaimpresija i iskustava. Vizualne reprezentacije, mentalne slike, impresije i iskustva po-vezana s imenom pojma mogu biti prevedeni u verbalne oblike. Vaºno je upamtiti da tiverbalni oblici nisu ono prvo ²to je evocirano iz pam¢enja. Nastali su tek u kasnijoj fazi.

Primjer 3.1. Pojam oduzimanja se obi£no prvi put susre¢e kao proces uklju£ivanjaprirodnih brojeva. U ovoj fazi djeca mogu uvidjeti da oduzimanje broja uvijek smanjujeodgovor. Za takvo dijete ovo promatranje je dio njegove slike pojma i moºe prouzro£itikasnije probleme kada se susretne s oduzimanjem negativnih brojeva.

11

Primjer 3.2. Kada £ujete rije£ �funkcija�, moºete se prisjetiti izraza �y = f(x)�, mo-ºete vizualizirati graf neke funkcije, sjetiti se speci�£nih funkcija kao npr. y = x2 iliy = sinx, y = lnx itd.

Iz navedenog, jasno je da je samo mogu¢e pri£ati o slici pojma povezanoj sa speci�£nimpojedincem. K tome, isti pojedinac moºe druga£ije reagirati na odre�eni pojam (imepojma) u razli£itim situacijama.

Dio slike pojma koji se aktivira u odre�eno vrijeme naziva se pobu�ena slika pojma.To nije nuºno sve ²to odre�eni pojedinac zna o odre�enom pojmu, nego dio slike pojmakoji je trenutno aktivan.

Slike pojma £esto nisu dosljedne i uskla�ene. One mogu biti u kontradikciji s de�nici-jom pojma £ega u£enici ne moraju niti biti svjesni.

3.2. De�nicija pojma

De�niciju pojma je skup rije£i koje se koriste kako bi speci�cirale taj pojam. Pojedinacih moºe nau£iti napamet ili s razumijevanjem i povezati ih u ve¢oj ili manjoj mjeri spojmom u cjelini. De�nicija moºe nastati i iz formalne de�nicije kao osobna preinakanekog u£enika. Tada je to skup rije£i koje u£enik koristi za vlastito obja²njenje svoje(pobu�ene) slike pojma. Bez obzira je li mu de�nicija pojma dana ili ju je sam na-pravio, on ju moºe mijenjati s vremena na vrijeme. Na taj na£in se osobna de�nicijapojma moºe razlikovati od formalne de�nicije pojma, koja je prihva¢ena od strane ma-temati£ke zajednice u cjelini.

Za svakog pojedinca de�nicija pojma proizvodi svoju vlastitu sliku pojma, ²to bi semoglo na neki na£in nazvati �slika de�nicije pojma�. To je, svakako, dio slike pojma.

12

3.3. Oblikovanje pojma

Pretpostavljamo da je za usvajanje pojma potrebno oblikovati sliku pojma za raz-matrani pojam. Poznavati do srºi neku de�niciju pojma ne garantira razumijevanjepojma. Razumjeti neki pojam zna£i imati koherentnu sliku pojma. Odre�eno zna£enjebi trebalo biti povezano s rije£ima.

Primjer 3.3. Znati da je partitivni skup nekog odre�enog skupa, skup svih podskupovazadanog skupa, ne zna£i ni²ta sve dok ne znamo konstruirati neke partitivne skupovedanih skupova. Stoga, slika pojma partitivnog skupa moºe uklju£iti neka sje¢anja kons-trukcije nekih partitivnih skupova.

Ve¢ina pojmova u svakodnevnom ºivotu (kao npr. ku¢a, naran£a, ma£ka itd.) suusvojena bez u£e²¢a de�nicija. U drugu ruku, neki pojmovi, pa £ak i pojmovi iz sva-kodnevnog ºivota, mogu biti usvojeni pomo¢u de�nicija. Dijete moºe biti upoznato srije£ju �²uma� opisom �puno drve¢a zajedno�. De�nicije poput ove pomaºu pri oblikova-nju slike pojma. No, u trenutku kada je slika oblikovana, de�nicija postaje neobavezna.Ostat ¢e neaktivna ili ¢e £ak biti zaboravljena kada se koriste tvrdnje o razmatranompojmu.

3.4. Slika i de�nicija pojma � poºeljna teorija i praksa

Kako bismo mogli predstaviti ideje, pretpostavimo postajanje dviju razli£itih �stanica�u na²oj kognitivnoj strukturi (kako bismo izbjegli nedoumice, ovo se ne odnosi nabiolo²ke stanice). Jedna stanica je za de�niciju/de�nicije pojma, a druga je za slikupojma. Jedna stanica (ili £ak obje) bi mogla biti prazna. Stanica slike pojma jesmatrana praznom dok god neko zna£enje nije povezano s imenom pojma. To se moºedogoditi u mnogim situacijama u kojima je de�nicija pojma zapam¢ena na bezna£ajanna£in. Postoji mogu¢nost neke interakcije izme�u tih dvaju stanica iako mogu bitinezavisno oblikovane. U£enik moºe imati sliku pojma prikaza koordinatnih sustavakao posljedicu prou£avanja mnogih grafova u razli£itim situacijama. Prema toj slicipojma, dva pravca koordinatnog sustava su okomita jedan naspram drugog. Kasnije,nastavnik matematike u£eniku moºe de�nirati koordinatni sustav kao bilo koja dvapravca koja se sijeku. Posljedi£no su mogu¢a 3 scenarija:

(I) Slika pojma se moºe promijeniti na na£in da uklju£i i koordinatne sustave £iji sepravci ne sijeku pod pravim kutom. (Ovo je zadovoljavaju¢a rekonstrukcija iliprilagodba)

13

(II) Slika pojma moºe ostati onakva kakva je bila. De�nicijska stanica ¢e sadrºavatinastavnikovu de�niciju na neko vrijeme, no de�nicija ¢e biti zaboravljena ili is-krivljena u kratkom vremenu te kada u£enik bude trebao de�nirati koordinatnisustav, on ¢e govoriti o pravcima koji se sijeku pod pravim kutom. (U ovomslu£aju formalna de�nicija nije prihva¢ena.)

(III) Obje stanice ostaju onakve kakve su bile. Kada se u£enika zamoli da de�nirakoordinatni sustav on ¢e ponoviti svoju ili nastavnikovu de�niciju, no u svimdrugim situacijama on ili ona ¢e misliti na koordinatni sustav kao kon�guracijudvaju pravaca koji se sijeku.

Sli£an postupak bi se mogao pojaviti ukoliko je neki pojam predstavljen pomo¢u de�ni-cije. U tom slu£aju, stanica slike pojma je prazna u po£etku. Nakon nekoliko primjerai obja²njenja, postupno je popunjavana. Ipak, ona nuºno ne odraºava sve aspekte de-�nicije pojma.

Veza izme�u slike i de�nicije pojma koju treba uspostaviti je prikazana na Slici 1.Ona se odnosi na dugoro£ne procese formiranja pojma. Bez obzira na to, nastavnici£esto vide ovaj proces kao jednostran proces. Oni pretpostavljaju da ¢e de�nicija pojmaformirati sliku pojma te da ¢e kontrolirati sadrºaj slike pojma ²to je prikazano na Slici 2.

Slika 1: Veza izme�u slike i de�nicije pojma koju treba uspostaviti

Slika 2: Veza izme�u slike i de�nicije pojma koju nastavnici o£ekuju da se uspostavi

Uz proces oblikovanja pojma postoje i procesi rje²avanja problema ili izvr²enja zada-taka. Kada je kognitivni zadatak zadan u£eniku, stanice slike pojma i de�nicije pojmabi se trebale aktivirati. No, £ini nam se da mnogi profesori u srednjim ²kolama i nafakultetima o£ekuju da ¢e intelektualni procesi uklju£eni u izvr²avanje danog intelek-tualnog zadatka biti shematski izraºeni jednim od 3 na£ina koji su do£arani u sljede¢e3 slike (slike predstavljaju samo odraz slike pojma i de�nicije pojma koje su uklju£eneu proces).

14

Slika 3: Uzajamno djelovanje izme�u de�nicije i slike pojma

Slika 4: �isto formalna dedukcija

Slika 5: Dedukcija koja prati intuitivnu misao

15

Zajedni£ka zna£ajka svih procesa prikazanih u Slikama 3-5 jest sljede¢a: bez obzirakako je va² sustav asocijacija reagirao kada vam je neki problem postavljen, ne bistetrebali formulirati va²e rje²enje prije no ²to ste se konzultirali s de�nicijom pojma.To je, naravno, poºeljni proces. Naºalost, praksa se pokazala druga£ijom. Te²ko jeuvjeºbati kognitivni sustav da djeluje protiv svoje prirode i prinuditi ga da se konzultiras de�nicijama, bilo pri oblikovanju slike pojma ili pri obavljanju nekog kognitivnogzadatka. Stoga, za procese koji se stvarno odvijaju u praksi, bolje odgovara model kojije prikazan na Slici 6.

Slika 6: Intuitivni odaziv

Ovdje stanica de�nicije pojma, iako nije prazna, nije konzultirana tijekom procesa rje-²avanja problema. Misaone navike iz svakodnevnog ºivota preuzimaju inicijativu, amislilac je nesvjestan potrebe za konzultacijom formalne de�nicije. Bitno je za napo-menuti da ¢e u ve¢ini slu£ajeva uputa k stanici slike pojma biti vrlo uspje²na. Ova£injenica ne ohrabruje ljude da se konzultiraju stanicom de�nicije pojma. Samo neuobi-£ajeni problemi pri kojima nepotpune slike pojma mogu biti varljive mogu ohrabritiljude da se konzultiraju s de�nicijom pojma. Takvi problemi su rijetki i kada su zadaniu£enicima smatrani su �nepo²tenima�.

3.5. �etiri prikaza uobi£ajenih slika pojma

Prirodna metoda otkrivanja de�nicije pojma nekog pojedinca jest upu¢ivanje direktnogpitanja kao ²to su na primjer: �to je funkcija?, �to je tangenta?. To je tako iz razloga²to su de�nicije verbalne i eksplicitne. U drugu ruku, kako bismo otkrili ne²to o slicipojma nekog pojedinca, u pravilu bismo trebali postavljati indirektna pitanja iz razloga²to je slika koncepta neverbalna i implicitna. Stoga je glavni zadatak istraºiva£a smislitipitanja koja ¢e potencijalno razotkriti sliku pojma ispitanika.Ovdje ¢emo iznijeti neke eksperimentalne dokaze koji dokazuju da ve¢ina u£enika nekoristi de�nicije kada rje²avaju matemati£ke zadatke.

16

3.5.1. Pojam funkcije

Kako bi se otkrila slika pojma �funkcija�, provedeno je jedno istraºivanje (Vinner, 1991)na 47 u£enika matematike s visokim prosjekom ocjena kojima je dan upitnik. U prvatri pitanja u£enici su trebali odgovoriti sa �da� ili �ne� te obrazloºiti svoje odgovore.

1. Postoji li funkcija pri kojoj se svakom broju razli£itom od 0 pridruºuje njegovakvadratna vrijednost, a nuli se pridruºuje -1?

2. Postoji li funkcija pri kojoj se svakom pozitivnom broju pridruºuje 1, a svakomnegativnom broju -1, dok se nuli pridruºuje nula?

3. Postoji li funkcija £iji je graf sljede¢eg izgleda?

Slika 7: Je li ovaj graf nastao iz neke funkcije?

4. Po va²em mi²ljenju, ²to je funkcija?

Svim u£enicima obja²njen je pojam funkcije prema modernom pristupu: Funkcija jepostupak f koji svakom elementu domene pridruºuje to£no jedan element kodomene.Unato£ tomu, samo 57% u£enika kao odgovor na 4. pitanje dalo je tu de�niciju ili ne-²to djelomi£no ekvivalentno. Broj od 57%, koji bi u drugim uvjetima smatrali odli£nimpostignu¢em, ovdje nije dobar jer se ovdje radi o dobrim u£enicima. 14% u£enika jeodgovorilo da je funkcija pravilo pridruºivanja te uklonili mogu¢nost proizvoljnog pri-druºivanja. Pravila ne mogu biti proizvoljna. Dodatnih 14% je tvrdilo da je funkcijaalgebarski pojam, formula, jednadºba. Ostali nisu dali nikakav ili su dali nezadovolja-vaju¢i odgovor.Kada je bilo govora o slikama pojma ispostavilo se da u odre�enim situacijama (1.i 2. pitanje) izme�u jedne i dvije tre¢ine u£enika misli kako bi funkcija trebala bitizadana jednim pravilom, ili ukoliko su dva pravila zadana njihove domene bi trebalebiti polupravci ili intervali. Pravilo za jednu to£ku (kao u 1. pitanju) nije dozvoljeno.Oko dvije petine u£enika vjeruje kako bi graf funkcije trebao biti regularan, postojan,razumno rastu¢i itd. (To je iskazano u odgovorima na 3. pitanje). Stoga, mnogi u£enicikoji su to£no de�nirali �funkciju� nisu koristili svoju de�niciju odgovaraju¢i na pitanja1.-3. Samo jedna tre¢ina u£enika koja je dala to£nu de�niciju funkcije tako�er je to£noodgovorila i na pitanja 1.-3. Niti jedan u£enik s neto£nom de�nicijom nije ispravnoodgovorio na pitanja 1.-3.

17

3.5.2. Neprekidnost funkcije

Intuitivna de�nicija neprekidnosti je sljede¢a: Funkcija je neprekidna ako njezin grafmoºemo nacrtati bez podizanja olovke s papira. Me�utim, ova de�nicija ponekad u£e-nike moºe navesti na krivi put.Kako bi se otkrilo koje slike pojmova neprekidnosti funkcije imaju studenti, provedenoje jedno istraºivanje (Tall, Vinner, 1981).41 student koji je imao visoke ocjene u matematici, dobio je ispit u kojem im je pos-tavljeno pitanje:

Koje od sljede¢ih funkcija su neprekidne?

a) f1(x) = x2

b) f2(x) = 1x, (x 6= 0)

c) f3(x) =

{0 ako je x 6 0x ako je x > 0

d) f4(x) ={

0 ako je x 6 01 ako je x > 0

e) f5(x) ={

0 ako je x ∈ Q1 ako je x ∈ I

18

Odgovori su bili:

1 2 3 4 5neprekidna 41 6 27 11 8nije neprekidna 0 35 12 28 26nema odgovora 0 0 2 2 7

Ovakvi odgovori su bili o£ekivani, iako �pravi� odgovor moºe biti dan iz �krivih� raz-loga. Na primjer, funkcija je neprekidna � jer je dana samo pomo¢u jedne formule�.Drugi odgovor je nagovijestio da ve¢ina studenata ima sliku pojma koja ne dopu²ta�prekid� na slici. To je potkrepljeno komentarima i me�u onima koji su mislili da je f2neprekidna, ²to je prikazano i u sljede¢im odgovorima studenata:

�Graf nije iz jednog komada.�

�Funkcija nije de�nirana u nuli.�

�Funkcija postaje beskona£na u nuli.�

Tre¢a funkcija je posebno zanimljiva. Ve¢ina studenata, koji su je smatrali neprekid-nom, dali su komentare kao ²to je na primjer:

�Sve je iz jednog dijela.�

Dvanaest studenata, koji su smatrali da nije neprekidna, dalo je nekoliko razli£itihrazloga:

�Nije dana jednom formulom.�

�Postoji iznenadna promjena u nagibu.�

�etvrta funkcija nije smatrana neprekidnom od strane ve¢ine studenata, i to iz nekolikorazloga:

�Nije iz jednog dijela.�

�Postoji skok u nuli.�

�Ne postoji samo jedna formula.�

Posljednja funkcija je izazvala dosta problema (sedam studenata nije dalo odgovor).Za nekoliko od njih ona nije neprekidna jer:

�Nemogu¢e ju je nacrtati.�

U ovim odgovorima vidimo da je kod ve¢ine studenata pobu�ena slika pojma uklju£u-ju¢i graf koji �nema prekide� i koji je �iz jednog dijela�, dok za manji broj njih postojipobu�eni pojam �jedne formule�. Sve upravo navedene slike pojmova imaju potenci-jalne faktore kon�ikta koje su u sukobu s formalnom de�nicijom pojma. Dijelovi slikepojma mogu biti vrlo jaki, osobito ideja da je cijeli graf iz jednog dijela.

19

3.5.3. Pojam tangente

Obi£no su u£enici s pojmom tangente upoznati u periodu upoznavanja s geometrijomi to u kontekstu kruºnice. De�nicija tangente kruºnice je jednostavna i njena vizualnareprezentacija je prikazana na Slici 8.

Slika 8: Tangenta kruºnice

Slika 8 moºe posluºiti kao sredstvo za konstrukciju prikaza za pojam tangente u slu£a-jevima kao ²to je na primjer prikazano na Slici 9.

Slika 9: Mentalni prikaz tangente

U£enici obi£no nau£e formalnu ili poluformalnu de�niciju tangente na graf funkcije.No, njihova slika pojma temeljena na iskustvima koja uklju£uju slike poput Slika 8, 9moºe sadrºavati ograni£avaju¢e elemente koji striktno upu¢uju da tangenta dodirujekrivulju u odre�enoj to£ki te da ju u toj to£ki ne presijeca. No, takva slika pojmamoºe navesti u£enike da nacrtaju pravac koji nije tangenta u zadanoj to£ki, ve¢ imageneri£ka svojstva slike pojma. Takav pojam nazvat ¢emo generi£ka tangenta.

Sljede¢a anketa (Vinner, 1991) napravljena za 278 studenata prve godine fakulteta namodulu numeri£ke matematike namijenjenom studentima prirodoslovnih znanosti (nesamo matematike). U£enicima je dano sljede¢e:

Prikazane su tri krivulje. Na svakoj od njih nazna£ena je to£ka P. Za svaku od njihnavedene su 3 tvrdnje. Zaokruºite tvrdnju koju smatrate istinitom te slijedite uputstvau zagradi.

A. Kroz to£ku P je mogu¢e je nacrtati to£no jednu tangentu na krivulju (nacrtajteju).

B. Kroz to£ku P je mogu¢e nacrtati vi²e od jedne tangente (odredite koliko, jedna,dvije, tri, beskona£no mnogo. Nacrtajte ih sve u slu£aju da je broj kona£an inekoliko njih ukoliko ih je beskona£no mnogo).

20

C. Nemogu¢e je kroz to£ku P nacrtati tangentu krivulje.

Slika 10: Koji grafovi imaju tangentu/tangente u to£ki P?

4. Kako glasi de�nicija tangente po va²im sje¢anjima s ovog ili prethodnih predava-nja. Ukoliko se ne sje¢ate de�nicije tangente poku²ajte ju sami de�nirati.

Krivulje 1, 2, 3 su gra�£ki prikazi y = x3, y =√|x|, y =

{x2 ako je x > 00 ako je x < 0

, no to

nije spomenuto studentima. Tangenta je u prethodnim predavanjima de�nirana ili kaogranica sekanti ili kao pravac koji dijeli zajedni£ku to£ku s grafom funkcije £iji je nagibizvod u konkretnoj to£ki.

Samo 41% studenata dalo je neku od de�nicija s predavanja kao odgovor na 4. pitanje,a 4,35% dalo je opise koji odgovaraju tangenti kruºnice. Oni su tvrdili da tangentadodiruje krivulju, no ne presijeca ju, ili da ima zajedni£ku to£ku s krivuljom, no daju dodiruje samo s jedne strane krivulje. Ostali nisu napisali de�niciju ili su napisalibezna£ajne de�nicije. Slike pojma studenata su izraºene u odgovorima na pitanja 1.,2., 3. i navedene su u tablicama koje slijede.

Slika 11: Distribucija studentskih crteºa na 1. pitanje (N=278)

21

Slika 12: Distribucija studentskih crteºa na 2. pitanje (N=278)

Slika 13: Distribucija studentskih crteºa na 3. pitanje (N=278)

Neki od crteºa su posebno zanimljivi. Na primjer, u slu£ajevima 1B, 2B i 3B studentipoku²avaju prilagoditi graf kako bi odgovarao oblikovanoj slici tangente kruºnice. 1Bi 3B djeluju kao klasi£ne �generi£ne tangente� generirane od njihove slike pojma, 2Dje generalizacija pri kojoj je �tangenta� uravnoteºena pri vrhu. U prikazima 1C, 2D(donja slika) i 3C vidljiv je drugi fenomen. �ini se kako stara slika pojma (tangentakruºnice) i nova slika pojma (konstruirana de�nicijom sa predavanja) djeluju simultanou umovima studenata. Ovo je vrlo dobro poznat fenomen u izu£avanju znanosti prikojem se vrlo £esto, stare sheme nalaze zajedno s novim shemama u razmi²ljanjimastudenata.U prikazima 2C i 3D studenti su £ak uveli slu£aj od beskona£no mnogo tangenti, ujednu ruku kako bi prilagodili staru sliku oblikovanu krugom, a u drugu, zaklju£iv²i dane postoji razlog da bi se preferirala jedna �tangenta�, crtali su po uzoru na staru slikubeskona£no mnogo �tangenti�. Nasuprot tim studentima su studenti u slu£ajevima 2D(gornji prikaz) i 3B koji moºda preferiraju neku vrstu simetrije te su stoga nacrtalijednu tangentu, ili su moºda za polazi²nu to£ku zauzeli stav da postoji samo jednatangenta i tako do²li do zaklju£ka da bi ona trebala biti simetri£na.

22

3.5.4. Pojam ograni£enosti niza

Postoji nekoliko problema nametnutih pou£avanjem pojma ograni£enosti i neprekid-nosti. Me�u njima je i problem ograni£enosti niza.Kako bi se ispitalo shva¢anje de�nicije ograni£enosti niza, provedeno je istraºivanje(Vinner, 1991) prvi dan nakon ljetnih praznika te je u£enicima dano sljede¢e:

�elim znati koliko se sje¢ate pojma grani£ne vrijednosti niza. Molim vas, napi²ite to unekoliko odlomaka kako biste pokazali £ega se sje¢ate. Predlaºem da uklju£ite:

1. Opis niza u obliku intuitivnih ili neformalnih izraza.

2. To£nu formalnu de�niciju.

Od 15 u£enika samo je jedan dao odgovor koji bi se mogao razmotriti kao naznakadubokog razumijevanja pojma, a odgovor je bio:

�Grani£na vrijednost niza je broj u odnosu na kojeg svi elementi u nizu nakonodre�ene to£ke odstupaju samo za neki mali broj ε.�

U odgovoru je izostavljen najvaºniji element formalne de�nicije, naime, uvjet da je gorenavedeno istina samo za svaki ε > 0. Stoga je ovaj odgovor shva¢en suvi²e doslovno.Da su prilikom testa postavljene stroºe mjere, posljedi£no bi do²li do rezultata da nitijedan u£enik ne pokazuje dublje razumijevanje formalne de�nicije.Kod preostalih 14 u£enika uo£ena su neka tipi£na pogre²na shva¢anja koja su utjecalana formalne de�nicije koje su u£enici trebali napisati.De�nicija pojma je rekonstruirana konzultiraju¢i se sa slikom pojma. S obzirom da jeslika pojma iskrivljena kao rezultat je proiza²la neto£na formalna de�nicija. Glavnapogre²na shva¢anja su bila sljede¢a:

1. Niz ne smije dosti¢i svoju grani£nu vrijednost, stoga niz: 1, 1, 1, ... premare£enom ne konvergira s odre�enom grani£nom vrijedno²¢u.

2. Niz bi trebao ili monotono rasti ili monotono opadati, stoga npr., niz £iji je n-tielement zadan u obliku an = 1 + (−1)n

nne teºi grani£noj vrijednosti.

3. Grani£na vrijednost jest �posljednji� £lan niza. Na granicu se pristiºe nakon ²to�pro�ete kroz� beskona£no mnogo elemenata.

23

Sli£no istraºivanje provedeno je na jednom sveu£ili²tu (Tall, Vinner, 1981). Studentematematike, koji su stigli na sveu£ili²te, pitalo ih se jesu li se susreli s pojmom ogra-ni£enosti niza s1, s2, . . . , sn , . . . u ²kolama, bilo da su u pitanju precizne de�nicije,neformalne ili se uop¢e nisu susreli s time.Nakon ²to su napisali de�niciju ograni£enosti (ako znaju), trebali su re¢i je li 0. 9 jed-nako 1 ili samo manje, navesti razloge za svoj odgovor te izra£unati granicu niza

limn→∞

(1 +9

10+

9

100+ ...+

9

10n)

14 od 36 studenata tvrdilo je da je 0. 9 < 1, ali

limn→∞

(1 +9

10+

9

100+ ...+

9

10n) = 2

Odgovori za 0. 9 < 1 su £esto bili formulirani na sljede¢i na£in:

�To je manje od jedan, jer je razlika izme�u toga i jedinice beskrajno mala.�

�Samo manje od jedan, £ak i u beskona£nosti broj vrlo blizu jedinice tehni£ki jo²uvijek nije jedan.�

Jasno je da su dva pitanja stvorila razli£ite dijelove slike pojma ograni£enog procesa.

Jedna od velikih vaºnosti je da studenti £esto prikazuju sliku pojma �sn → s� kao dasn prilazi s, ali nikada ne do�e do njega, kao ²to je to jedan student prikazao ovako:

�sn → s zna£i da sn prilazi s kako se n pove¢ava, ali zapravo nikada ne do�e dos do u beskona£nost.�

Tako 0. 9 nije jednak jedinici jer proces pribliºavanja jedinici se nastavlja zauvijek bezda se ikada zavr²i.U stvaranju slike pojma ne pomaºe ako se ve¢ina primjera procesa ograni£enosti sas-toji od nizova koji su dani uobi£ajenim formulama koje se nikada ne izjedna£uju saograni£enjem. Ako student ima sliku pojma koji ne dozvoljava sn da bude jednak s(jer se on �pribliºava� s kako se n pove¢ava) tada ra£unamo da ne¢e mo¢i apsorbiratizamr²eni primjer koji mu se prezentira.Kada je studentu ponu�ena formalna de�nicija pojma, slika de�nicije pojma koji sestvara u njegovoj kognitivnoj strukturi moºe biti vrlo slaba. Njegova slika pojma njemuje o£ita da ako se sn pribliºava s onda se 1

snpribliºava 1

s(s time da zadnji nije nula).

Slabo razumijevanje de�nicije pojma mu moºe oteºati formalni dokaz rezultata. Ovoje tipi£ni fenomen koji se pojavljuje s jakom slikom pojma i slabom slikom de�nicijepojma koji proºima cijeli sveu£ili²ni studij analize, osobito kada postoje potencijalnifaktori kon�ikta izme�u dva pojma.

24

4. IZ METODI�KIH RADIONICA STUDENATAMA-TEMATIKE

Metodi£ko obrazovanje studenata matematike nastavni£kog smjera po£inje u £etvrtojili petoj godini (ovisno u ustrojstvu studija) predmetom Metodika nastave matematikeI. Po£etak metodi£kog obrazovanja jest prva metodi£ka radionica pod nazivom Mate-mati£ki pojmovi. Ta se tema na predavanjima obra�uje ne²to kasnije, ali je izabranakao po£etak zato da se provjeri razina predznanja studenata o tako vaºnom matemati£-kom sadrºaju. Matemati£ki pojmovi koje studenti trebaju de�nirati u ovoj metodi£kojradionici (Kurnik, 2006) jesu:

Elipsa, homotetija, kompleksan broj, konveksan skup, korjenovanje, kvadratnajednadºba, logaritamska funkcija, nulto£ka polinoma, ortocentar trokuta, obrnutoproporcionalne veli£ine, polinom, postotak, pravi kut, povr²ina, relacija, sfera,sli£nost, translacija, vektor, visina pravokutnika.

Rezultati su ovakvi kakve je profesor metodike i mogao o£ekivati: vrlo slabi (ispravnede�nicije: oko 4%). Pokazuje se da je znanje studenata o matemti£kim pojmovimadosta zbrkano. U njihovim radovima rijetko se moºe pro£itati neka korektna de�nicija.Ne znaju¢i u tom trenutku na£ela de�niranja matemati£kih pojmova, studenti u de�-niciju nekog pojma unose se ²to o pojmu znaju (primjere, svojstva). Tako se umjestokratke, precizne i potpune de�nicije pojma dobiva op²iran tekst iz kojeg se na krajuipak ne moºe doznati o £emu je rije£. Ovakva zbrka, tj. neznanje, ne bi mogla bitisredstvo uspje²ne nastave. Rezultati ukazuju na potrebu ozbiljnog pristupa ovoj temi.

Kasnije, nakon detaljne obrade teme Matemati£ki pojmovi ponovno se testira pozna-vanje matemati£kih pojmova. Test obuhva¢a 20 novih matemati£kih pojmova:

Centralna simetrija, funkcija, hiperbola, izometrija, zatvoren interval, kut, kva-dar, linearna jednadºba, mimoilazni pravci, okomite ravnine, piramida, proporci-onalne veli£ine, pravokutnik, rje²enje sustava linearnih jednadºbi, simetrala du-ºine, tetiva kruºnice, teºi²te, trapez, valjak, volumen.

Rezultati su bili bolji, ali jo² uvijek ima zaostataka �starog znanja� (ispravne de�nicije:40%). Neke se praznine u znaju malo teºe popunjavaju, a da bi nastavu matemtikesami uspje²no izvodili, studenti moraju potpuno vladati materijom.

25

Nekoliko primjera �bisera� de�nicija koji se mogu prona¢i u pismenim radovima unavedenim metodi£kim radionicama su:

a) Homotetija je preslikavanje s odre�enim svojstvima.

b) Kvadar je pravokutnik kojemu su sve stranice jednake duljine.

c) Pravci u prostoru koji nemaju nijednu zajedni¢ku to£ku nazivaju se mimoilaznipravci.

d) Pravac kojemu su dvije razli£ite to£ke na kruºnici naziva se tetiva.

26

5. ZAKLJU�AK

Jedan od ciljeva predavanja matematike trebao bi biti mijenjanje u£eni£kih misaonihnavika iz svakodnevnog na£ina u tehni£ki na£in. To se ne moºe u£initi u kratkom rokui ne moºe biti uspje²no sa svakim u£enikom. Pri usvajanju matemati£kih pojmova,trebalo bi zapo£eti s razli£itim primjerima i protuprimjerima na osnovu kojih ¢e seoblikovati slika pojma. Nastavnik ili autor udºbenika bi trebao biti svjestan utjecajakojeg takav uvod ima na razmi²ljanje u£enika. Ukoliko pojam nije pretjerano kompli-ciran nastavnik moºe £ak zamoliti u£enike da oni poku²aju dati svoju de�niciju pojma.Ukoliko u£enici namjeravaju poha�ati sate napredne matematike, tada bi ih bez ikakvidvojbi trebalo uvjeºbati da koriste de�niciju kao glavni kriterij pri rje²avanju razli£itihmatemati£kih zadataka. No, kako bi taj cilj bio postignut, potrebno je u£initi vi²eod samog upoznavanja sa de�nicijom. U drugu ruku, ukoliko u£enici ne namjeravajupoha�ati sate napredne matematike, bolje je izbjegavati kon�ikte.

U£enje de�nicija je potrebno, a ne nepotrebno. Postoje razli£ita mi²ljenja o postotkuu£enika koji su sposobni usvajati de�nicije, a isto tako postoji i prakti£no pitanje otome kako odlu£iti je li odre�eni u£enik moºe ili ne moºe promijeniti misaone navike izsvakodnevnog na£ina u tehni£ki na£in. Bilo bi dobro pri u£enju de�nicije nekog pojmakrenuti od obja²njenja korijena novog pojma te tako u£enici intuitivno mogu shvatitinjegovu de�niciju. A to je lijep po£etak za kreiranje prave, matemati£ke de�nicije iopaºanja svojstava danog pojma. Postavite li u£enicima pitanje: �Umnoºak je rezultatkod koje ra£unske operacije?�, u£enici £esto dugo razmi²ljaju kako bi odgovorili na ovopitanje, a odgovor je skriven u samoj rije£i �uMNO�ak�. Nakon duljeg razmi²ljanja,ipak u£enici uglavnom kaºu krivi odgovor.

Uloga de�nicije u matemati£kom razmi²ljanju je nekako zanemarena u sluºbenom kon-tekstu (udºbenicima, planovima predavanja, i dr.). To je ili iz razloga ²to je ona uzetazdravo za gotovo ili je jednostavno previ�ena. Vaºno je za upamtiti da postoje kontek-sti u kojima je obra¢anje formalnoj de�niciji od kriti£ne vaºnosti za ispravno rje²avanjeodre�enih zadataka.

Svaki nastavnik bi razli£itim metodama trebao zainteresirati u£enike tako da usvoje (ane nau£e napamet) sve predvi�eno gradivo i tako steknu odgovaraju¢u razinu znanja ivje²tina iz matematike.

27

Literatura

[1] Z. KURNIK, Matemati£ki pojam, Matematika i ²kola, 11 (2001), 8-16.

[2] Z. KURNIK, Jezik u nastavi matematike, Matematika i ²kola, 33 (2006), 99-105.

[3] D. TALL, S. VINNER, Concept image and concept de�nition in mathematicswith particular reference to limits and continuity, Educational Studies in Mathe-matics, Vol.12 (No.7), 1981, 151-169.

[4] S. VINNER, The role of de�nitions in the teaching and learning of Mathematics.In D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking, Kluwer Academic Publischer,Dordrecht, 1991, 65-81.

28

Saºetak

De�nicije imaju klju£nu ulogu u nastavi matematike. Svako podru£je matematike imapuno de�nicija koje u£enici moraju nau£iti kako bi bili u stanju razumjeti to podru-£je. U radu su predstavljena pravila i na£ini de�niranja pojmova, koje svaki nastavniktreba poznavati kako bi u£enici pravilno usvojili de�nicije. U matemati£kom obrazo-vanju, slika i de�nicija pojma su dva na£ina shva¢anja matemati£kih pojmova. Slikapojma uklju£uje ideje koje pojedinac ima o samom pojmu, dok je de�nicija skup rije£ikoje se koriste kako bi speci�cirale odre�eni pojam. De�nicije pomaºu pri oblikovanjuslike pojma. No, kada je slika pojma oblikovana, de�nicije u£enicima £esto postajuneobavezne. Ve¢ina u£enika pri rje²avanju matemati£kih zadataka uop¢e ni ne ko-risti de�nicije, ²to ih moºe navesti i na krive zaklju£ke. Prikazane su uobi£ajene slikepojma funkcije, neprekidnosti funkcije, tangente i ograni£enosti niza. Na kraju radaje navedena metodi£ka radionica pod nazivom Matemati£ki pojmovi koja je po£etakmetodi£kog obrazovanja studenata matematike nastavni£kog smjera. Rezultati ove ra-dionice pokazuju da je znanje studenata o matemati£kim pojmovima dosta zbrkano,stoga je potrebno studente upoznati s na£inima i pravilima de�niranja pojmova te ulo-gom de�nicija u nastavi matematike.

Klju£ne rije£i: matemati£ki pojam, de�niranje pojma, slika i de�nicija pojma

29

Title and summary

The role of de�nition in teaching mathematics. De�nitions have a key rolein teaching mathematics. Every area of mathematics has a lot of de�nitions whichstudents must learn, so they would be able to understand that particular area. Thispaper presents rules and ways of de�ning concepts, which every teacher should know,so the students could properly acquire the de�nitions. In mathematical education,concept image and concept de�nition are two ways of understanding mathematicalconcepts. Concept image includes ideas which one has of the concept itself, while thede�nition is a set of words which are used to specify a particular concept. De�nitionshelp forming the concept image but, when the concept image is formed, they becomeunnecessary to the students. Most students, when solving mathematical exercises, donot use de�nitions at all, what can lead them to false conclusions. In this paper, usualimages of concept of function, continuous function, tangent and limit are shown. Atthe end of this paper is a methodical workshop called mathematical concepts whichis the start of methodical education of the students of mathematics. The results ofthis workshop show that the knowledge of students of mathematical concepts is notvery well, so the students should get acquainted with the rules and ways of de�ningconcepts and the role of de�nitions in teaching mathematics.

Key words: mathematical concept, concept image, concept de�nition

30

�ivotopis

Moje ime je Sanja Bimbi. Ro�ena sam 16. svibnja 1989. godine u Osijeku. �ivim uVladislavcima. Osnovnu ²kolu Mate Lovraka upisala sam 1996. godine te ju zavr²ilakao odli£na u£enica. Isusova£ku klasi£nu gimnaziju s pravom javnosti u Osijeku upisalasam 2004. godine. Tijekom osnovno²kolskog i srednjo²kolskog obrazovanja sudjelovalasam na op¢inskim i ºupanijskim natjecanjima iz matematike i hrvatskog jezika te name�unarodnom natjecanju u poznavanju starogr£kog jezika i kulture. Maturirala sams odli£nim uspjehom 2008. godine. Obrazovanje na Odjelu za matematiku, Sveu£ili²taJ.J. Strossmayera u Osijeku, zapo£ela sam 2008. godine, upisav²i nastavni£ki studijmatematike i informatike. U slobodno vrijeme volim putovati, upoznavati nove kul-ture i ljude. Uz fakultet, stekla sam i mnoga poslovna iskustva, uglavnom rade¢i kaoprodava£. Trenuta£no sam nezaposlena.