Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Sanja Boric

Nadareni ucenici u nastavi matematikeDiplomski rad

Osijek, 2015.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike

Sanja Boric

Nadareni ucenici u nastavi matematikeDiplomski rad

Mentor: doc.dr.sc. Ivan Matic

Osijek, 2015.

Sadrzaj

1 Uvod 1

2 Sto je nadarenost? 2

2.1 Evoluirajuce definicije nadarenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Mitovi o nadarenim ucenicima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Identifikacija nadarenih ucenika 9

3.1 Indikatori matematicke nadarenosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Metode identifikacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 Metode procjenjivanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.2 Metoda testiranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2.3 Uloga nastavnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Obrazovanje nadarenih ucenika 18

4.1 Akceleracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Obogacivanje redovnog nastavnog programa . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3 Grupiranje ucenika po sposobnostima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 Udruge u Hrvatskoj koje se bave nadarenim ucenicima 28

5.1 Centar za poticanje darovitosti djeteta ”Bistric” . . . . . . . . . . . . 28

5.2 Mladi nadareni matematicari ”Marin Getaldic” . . . . . . . . . . . . 28

Zakljucak 30

Sazetak 31

Title and summary 32

Literatura 33

Zivotopis 34

1 Uvod

Nadareni ucenici u nastavi matematike tema je kojoj bi se svaki nastavnik ili profesor

matematike trebao posvetiti. Prema pravilniku o osnovnoskolskom odgoju i obra-

zovanju nadarenih ucenika, nadarenost je sklop osobina koje uceniku omogucavaju

trajno postignuce natprosjecnih rezultata u jednom ili vise podrucja ljudske djelat-

nosti, a uvjetovano je visokim stupnjem razvijenosti pojedinih sposobnosti, osobnom

motivacijom i izvanjskim poticanjem [6]. Shodno tomu svaki nastavnik matematike

trebao bi se posebno posvetiti takvim ucenicima te im pomoci u njihovom daljnjem

rastu i razvoju, vodeci pritom racuna o njihovim osobnim interesima, sposobnos-

tima, specificnim potrebama i potencijalima, izlazeci iz okvira predvidenog nastav-

nog plana i programa. Iako nadareni ucenici posjeduju visu razinu inteligencije od

svojih vrsnjaka te svojim sposobnostima mogu djelomicno nadoknaditi vecinu ne-

dostataka u svom odgoju i obrazovanju, cesto se nalaze u vrlo nepovoljnom polozaju,

u smislu da ne mogu ili nemaju priliku iskoristiti svoj puni potencijal sto onda moze

dovesti do frustracija, gubitka samopostovanja te ozbiljnih poteskoca u njihovom

daljnjem napretku.

Zbog svega navedenog vrlo je vazno da nastavnici sto ranije uoce i identificiraju

takve ucenike te im se posvete na nacin da zajedno sa strucnim suradnicima ospo-

sobljenima za rad s takvom djecom, te roditeljima i sirom drustvenom zajednicom,

osmisle nastavni plan i program prilagoden njihovim individualiziranim potrebama.

”Najvise sto obrazovanje moze pruziti djetetu u njegovu razvoju jest pomoci mu

i usmjeriti ga prema podrucju na kojemu mu njegova nadarenost najvise odgovara,

gdje ce biti zadovoljno i strucno.” Daniel Jay Goleman

1

2 Sto je nadarenost?

Nadarenost je intelektualna sposobnost znatno visa od prosjeka. To je karakteris-

tika djece, razlicito definirana, koja potice i zahtjeva razlike u skolskom nastavnom

planu i programu. Tijekom razvoja spoznaja o prirodi nadarenosti, mijenjala su se

i shvacanja o njoj. U proslosti, koncept nadarenosti prvenstveno je bio povezan s

visokim kvocijentom inteligencije. Pretpostavljalo se da su nadareni ucenici oni s

natprosjecnom inteligencijom, a bili su prepoznatljivi po svojim visokim ocjenama

i rezultatima ispitivanja, te sposobnostima istaknuti se u svim podrucjima skole i

zivota. Te pretpostavke jos uvijek prevladavaju, iako se pocinju mijenjati. Kogni-

tivna znanost, razvojna psihologija, i nove spoznaje o tome kako se ucenje odvija

utjecu na nacin na koji se definira i koncipira nadarenost.

2.1 Evoluirajuce definicije nadarenosti

Mnogi programi i strategije za poucavanje nadarenih ucenika temelje se na tradici-

onalnoj definiciji inteligencije. Prema tom tradicionalnom shvacanju, inteligencija je

”osobna kvaliteta” koja utjece na sposobnosti u svim domenama, nasljedena osobina

koja se ne mijenja tijekom vremena. Medutim, sve vise istrazivaca pocinje ospora-

vati i mijenjati poimanje inteligencije kao i nadarene djece. Dva najutjecajnija i

cesto citirana teoreticara su Robert Sternberg i Howard Gardner.

Sternberg je razvio triarhicnu teoriju inteligencije, koja ukazuje da zapravo postoje

tri dimenzije inteligencije.

2

Slika 2.1: Sternbergova teorija inteligencije

• Komponentna - analiticka inteligencija naglasava sposobnost analize, apstrak-

tnog misljenja i logickog zakljucivanja.

• Iskustvena - kreativna inteligencija naglasava divergentno misljenje, sposob-

nost formuliranja novih ideja te kombiniranje naizgled nepovezanog materijala.

• Kontekstualna - prakticna inteligencija poznata i kao ”ulicna inteligencija”,

naglasava sposobnost prilagodavanja promjenjivim okolinskim uvjetima, stvar-

nome svijetu, odnosno sposobnost kreiranja vlastitog okruzenja u skladu s

osobnim potrebama.

Howard Gardner u svojoj teoriji visestrukih inteligencija istice kako postoje razlicite,

medusobno nezavisne vrste nadarenosti pri cemu svaki pojedinac ima njihovu je-

dinstvenu kombinaciju. Gardner je svoju teoriju razvio kombinirajuci nekoliko is-

trazivanja, a do sada je identificirano devet razlicitih vrsta inteligencije.

3

Slika 2.2: Gardnerova teorija visestrukih inteligencija

• Logicko - matematicka inteligencija odnosi se na logiku, apstraktno razmisljanje

i brojeve, jako je korelirana s tradicionalnim konceptom inteligencije, ukljucuje

sposobnost prepoznavanja predlozaka, znanstvenog razmisljanja i analize te

izvodenja slozenih izracuna. Osobe s razvijenim ovim tipom inteligencije u

stanju su predociti i razumjeti pojmove, zakonitosti i uzrocnosti unutar nu-

merickih sustava, te uzivaju rjesavati zadatke i numericke zagonetke.

• Verbalno - lingvisticka inteligencija odnosi se na rijeci, izgovorene ili zapi-

sane. Osobe s razvijenim ovim tipom inteligencije su vrlo vjesti govornici,

dobri u debatama i raspravama, razumiju sintaksu i strukturu jezika, uce is-

kljucivo pamcenjem rijeci, uzivaju u pripovijedanju, objasnjavanju i uvjerava-

nju, igrama rijeci, ali nisu skloni brojevima.

• Vizualno - prostorna inteligencija odnosi se na sposobnost vizualizacije u umu

i snalazenje u prostoru. Osobe s razvijenim ovim tipom inteligencije vole

promatrati svijet oko sebe i imaju sposobnost jasno predociti oblike i izgled

objekata, lako se orijentiraju, razumiju karte i mape, tablicne i graficke prikaze,

uzivaju u slagalicama, vole detalje, crtanje, bojanje i modeliranje.

4

• Tjelesno - kineticka inteligencija odnosi se na tjelesne aktivnosti. Osobe s ra-

zvijenim ovim tipom inteligencije koriste svoje tijelo za pamcenje, kroz pokret

ili dodir, pri ucenju vole podcrtavati tekst, pisati, govoriti nauceno naglas,

gestikulirati i hodati.

• Glazbeno - ritmicka inteligencija odnosi se na ritam, glazbu i sluh. Osobe s

razvijenim ovim tipom inteligencije pokazuju vecu osjetljivost na zvuk, imaju

dobar sluh, znaju pjevati, svirati instrumente i skladati, imaju dobro razvijene

govorne vjestine, obicno koriste zvuk, ritam i melodiju prilikom ucenja.

• Interpersonalna inteligencija odnosi se na interakciju s drugim ljudima. Osobe

s razvijenim ovim tipom inteligencije su ekstrovertirane, osjetljive na emocije

i raspolozenja drugih ljudi, vjesti su komunikatori i lako suosjecaju s drugima,

najbolje uce u radu s drugima i uzivaju u diskusijama i debatama.

• Intrapersonalna inteligencija povezana je s introspekcijom i samorefleksivnoscu.

Osobe s razvijenim ovim tipom inteligencije su obicno intuitivne i povucene,

vole raditi sami, vjesti su u opisivanju svojih osjecaja, vrlo su svjesni vlastitih

potreba i samih sebe.

• Naturalisticka inteligencija odnosi se na prirodu i povezanost s njom. Osobe

s razvijenim ovim tipom inteligencije razumiju probleme okolisa, vole raditi

u prirodi, s biljkama i zivotinjama, pokazuju zavidnu sposobnost razlikovanja

zivih bica i detalja iz prirode.

• Egzistencijalna inteligencija odnosi se na filozofska pitanja zivota. Osobe s

razvijenim ovim tipom inteligencije sklone su propitivanju i razmisljanju o

vjecnim pitanjima zivota, smrti, svemira i nedodirljive stvarnosti, vole anali-

zirati i rjesavati probleme te istrazivati misterije i paradokse.

Gardner posebno istice cinjenicu da je nadarenost drustveno odredena, odnosno da

su razlicite vrste nadarenosti pozeljnije u ovisnosti o drustvu. Pa tako skole obicno

vise cijene logicko - matematicku i verbalno - lingvisticku inteligenciju. Isto tako,

tradicionalni testovi inteligencije, kao i vecina drugih standardiziranih testova, is-

kljucivo mjere ove dvije vrste inteligencije.

David Perkins sintetizirao je dosadasnja istrazivanja i teorije i isto kao Sternberg

definirao inteligenciju kroz tri dimenzije.

• Neuronska inteligencija ukorijenjena je u bioloskom sustavu i odredena ne-

uronskom ucinkovitosscu - fizikalni procesi mozga.

• Iskustvena inteligencija odnosi se na akumulirana znanja i iskustva u razlicitim

podrucjima.

5

• Reflektirajuca inteligencija temelji se na poznavanju strategije razmisljanja -

znati kako razmisljati, kako pratiti necije misljenje, te kako ustrajati.

Perkins predlaze da se umjesto odabira samo jedne inteligencije, sve tri uzmu u obzir

jer jedino tako doprinose inteligentnom ponasanju.

”Nadareno ponasanje javlja se kod odredenih ljudi, u odredeno vrijeme, pod

odredenim okolnostima.” Joseph S.Renzulli

Slika 2.3: Renzullijeva definicija nadarenosti

Renzullijeva troprstenasta definicija nadarenosti jedna je od cesce koristenih de-

finicija koja prvenstveno definira nadareno ponasanje naspram nadarenog pojedinca

i prema kojoj se nadarenost sastoji od tri komponente.

• Natprosjecne sposobnosti Renzulli dijeli na dvije vrste:

– opce sposobnosti: obrada podataka, integracija iskustava i apstraktno

misljenje.

– specificne sposobnosti: sticanje znanja, samostalno izvodenje aktivnosti.

• Kreativnost: fluencija, fleksibilnost, originalnost misli, otvorenost prema is-

kustvima, osjetljivost na podrazaje, te spremnost na preuzimanje rizika.

• Predanost zadatku: pretvaranje motivacije u akciju, upornost, izdrzljivost,

naporan rad i samopouzdanje.

6

Prema Renzulliju osobe sposobne razviti nadareno ponasanje su one koje posjeduju

ili su u stanju razviti ovaj slozeni skup osobina i primijeniti ga u svakodnevnom

zivotu.

Kako koncept inteligencije postaje sve slozeniji, tako se razvija i koncept nadare-

nosti. Ako inteligencija nije jedinstvena kvaliteta pojedinca, onda ne moze postojati

ni samo jedna definicija nadarenosti, ako inteligencija nije staticna i moze se nauciti,

onda se i nadarenost moze razvijati. Skole moraju postati odredenije u identificira-

nju nadarenih ucenika i njihovih sposobnosti, a nastavnici moraju raditi s ucenicima,

usmjeravati ih, poticati na samostalna istrazivanja i napredovanje u podrucjima u

kojima su pokazali nadarenost.

2.2 Mitovi o nadarenim ucenicima

Iskustvo pokazuje da je zanemarivanje nadarenih ucenika cesca pojava nego pretje-

rano bavljenje njima. Razloga za to je vise, a neki od njih spadaju u kategoriju

uvrijezenih pogresnih vjerovanja. Ovo su neki od najcescih mitova koji se nerijetko

navode kao opravdanje za ne pruzanje adekvatne naobrazbe.

• Nadareni ucenici su pametni pa se mogu sami brinuti o sebi.

Kada ucenici ne dobivaju obrazovanje primjereno njihovim sposobnostima,

gube motivaciju, a ponekad i sam interes za ucenje i skolu.

• Nadareni ucenici trebaju malu podrsku nastavnika.

To je istina, ali na rutinskim zadacima. U pravilu nadarenim ucenicima je

potrebna podrska pri rjesavanju izazovnih zadataka kako bi napredovali.

• Nadareni ucenici isticu se u svim nastavnim predmetima.

Iako postoje ucenici s visokim dostignucima u svim podrucjima, vecina se

istice samo u jednom. Nadareni ucenici mogu imati problema s pojedinim

predmetima i poteskoca u ucenju.

• Nadareni ucenici su homogena skupina.

Nadareni ucenici medusobno se razlikuju svojom razinom sposobnosti i in-

teresima. Stoga ih ne smijemo ukalupljivati i tretirati na isti nacin.

• Nadareni ucenici nemaju potrebu raditi s drugim nadarenim ucenicima.

Nadareni ucenici svojim interesima i sposobnostima odskacu od svojih vrsnjaka,

7

stoga bez drustva sebi slicnih mogu biti vrlo izolirani i imati ogranicene mogucnosti

ucenja.

• Matematicki nadareni ucenici postizu mnogo, brzi su i tocni u svome radu.

Iako je to odlika nekih matematicki nadarenih ucenika, postoje i oni koji

postizu manje od ocekivanog na redovnoj nastavi matematike.

• Dodatne vjezbe ili aktivnosti za ”one koji brze rijese” idu u korist potrebama

matematicki nadarenih ucenika.

Ako su ti zadaci na istoj razini kao i rad ostatka razreda, onda je to samo

da ih se zabavi i ne daje im mogucnosti za matematicka ucenja.

• Matematicka natjecanja zadovoljavaju potrebe matematicki nadarenih ucenika.

Natjecanja povremeno omogucuju nadarenim ucenicima da pokazu svoje spo-

sobnosti, medutim njima su potrebne svakodnevne prilike za razvoj njihovih

potencijala.

• Svi su ucenici talentirani u necemu.

Ovo je daleko od istine. Da, svi ucenici mogu uciti i imaju podrucja u ko-

jima odskacu, ali nadareni ucenici uce brze od drugih i sposobni su nauciti

vise. Njima je potreban drugaciji sadrzaj i poduka kako bi ostvarili svoj puni

potencijal.

• Imamo dovoljno sredstava i vremena posvetiti se obrazovanju matematicki na-

darenih ucenika.

Ta recenica nikako ne ide u prilog sitaciji u kojoj se trenutno nalazimo, manjak

financijskih sredstava i visoko obrazovanih ljudi kako u nastavi matematike

tako i u radu s nadarenim ucenicima, posljedici proslih neuspjeha u radu s

matematicki nadarenom djecom.

8

3 Identifikacija nadarenih ucenika

Kako bismo uspjesno identificirali nadarene ucenike vazno ih je pravovremeno ot-

kriti, a da bismo to mogli moramo razlikovati pojam otkrivanja od pojma identifi-

kacije. Otkrivati znaci indicirati, naznaciti, prepoznati nadareno dijete, dok identi-

ficirati znaci utvrditi njegov identitet, tj. skup osobina koje ga cine nadarenim, te

utvrditi vrstu i stupanj njegove nadarenosti.

3.1 Indikatori matematicke nadarenosti

Navedimo pokazatelje matematicke nadarenosti:

• Neobicna znatizelja o brojevima i matematickim informacijama.

• Sposobnost brzog razumijevanja i primjenjivanja ideja.

• Visoka sposobnost uocavanja uzoraka i apstraktnog misljenja.

• Uporaba fleksibilnih i kreativnih strategija i rjesenja.

• Sposobnost povezivanja matematickih koncepata.

• Koristenje analitickog, deduktivnog i induktivnog zakljucivanja.

• Upornost pri rjesavanju teskih i slozenih problema.

Sada pogledajmo sto sve mogu biti pokazatelji znanstvene nadarenosti:

• Snazna znatizelja o objektima i okruzenjima.

• Visoki interes za istrazivanje znanstvenih pojava.

• Tendencija ka opazanju i postavljanju pitanja.

• Sposobnost uocavanja veza izmedu znanstvenih koncepata i promatranih fe-

nomena.

• Neobicna sposobnost za generiranje kreativnih i valjanih objasnjenja.

• Interes za prikupljanje, sortiranje i razvrstavanje podataka.

9

Odlicne ocjene, visok kvocijent inteligencije i dobra postignuca na testovima sigurne

su i opce priznate indikacije ucenicke nadarenosti. Medutim, postoje razni drugi

nacini, i izvan razreda, kojima ucenici pokazuju svoje sposobnosti i prednosti.

Kada skole ogranice nacin identifikacije samo na tradicionalne mjere, potrebe mno-

gih ucenika ostaju nezadovoljene. Stoga je vazno da skole i strucnjaci koriste razlicite

izvore podataka kako bi ucinkovito identificirali nadarene ucenike.

3.2 Metode identifikacije

Izvori informacija za otkrivanje i identifikaciju nadarenih ucenika dijele se u tri kate-

gorije: primjena metoda procjenjivanja, primjena metode testiranja i nastavnikova

zapazanja.

3.2.1 Metode procjenjivanja

Metode procjenjivanja dijele se na kontrolne liste i mjerne skale, a pomocu njih iz-

ravno utvrdujemo vec spomenute karakteristike nadarenih ucenika. Brojni strucnjaci

zagovaraju uporabu kontrolnih lista kako bi se utjecalo na strategije poucavanja te

kako bi se povecala ucinkovitost procjene. Naime, popunjavanje lista moze upozoriti

roditelje i nastavnike na mogucnost krive procjene te ih potaknuti da potraze talente

koje su propustili primijetiti.

Od svih ucitelja s kojima su se djeca susrela, roditelji su daleko najvazniji, jer

se mnogo napravi prije nego sto djeca krenu u skolu. Stoga s identifikacijom treba

poceti rano i u suradnji s roditeljima. Vrlo je vazno da roditelji prije upisa djece

u skolu popune kontrolne liste kako bi se dijete upoznalo i na taj nacin omogucilo

uciteljima da pocnu od onoga sto je dijete vec postiglo i nadovezu se na to, te da se

uoce najraniji znakovi nadarenosti.

KONTROLNA LISTA ZA PROVJERU MALE DJECE

Je li vase dijete rano naucilo govoriti i hodati?

Cini li vam se da je vase dijete neuobicajeno pazljivo i moze se

koncentrirati?

Je li vase dijete motoricki napredno, te je li dobro u fizickim

aktivnostima?

Pokazuje li vase dijete znatizelju za svijet te voli li istrazivati i otkrivati

njegovo znacenje?

10

Je li vase dijete doista iznadprosjecno sposobno pa cak i samouko?

Zanima li vase dijete zasto, gdje i kako?

Ima li vase dijete velik rijecnik?

Pokazuje li vase dijete posebne sposobnosti u podrucjima kao sto su

rjesavanje problema, slikanje, glazba ili matematika?

Je li vase dijete izuzetno zainteresirano za probleme i pitanja koja drugu

djecu ne zanimaju?

Uziva li vase dijete u neocekivanom?

Postoji monogo razlicitih lista, neke od njih su prilicno kratke i sazete, druge pak

vrlo dugacke i detaljne. Sljedeca tablica predstavlja opcenitu kontrolnu listu kojom

se sluze mnoge skole, a koja moze posluziti kao vodic. Niti jedno od ponasanja nave-

denih u kontrolnoj listi ne treba uzimati kao dokaz velikih sposobnosti, ali svakako

bi trebalo preispitati razloge njihova postojanja.

Ime: Marija Jones Spol: Z Dob: 9 godina, 3 mjesecaObiljezja Jako lose Slabo Prosjecno Dobro IzuzetnoUporaba jezika XSposobnost zakljucivanja XBrzina misljenja XMastovitost XPamcenje XZamjecivanje XKoncentracijaIndirektna pitanjaDavanje originalnih prijedloga XRjesavanje problema XOpseg citanja XRutinski rad X

Opcenita lista za provjeru obiljezja i ponasanja

Ukoliko je kod ucenika prisutan veci broj navedenih oblika ponasanja, kao u danom

slucaju, potrebno je nastaviti s ispitivanjem djetetovih sposobnosti.

Osim opcenitih kontrolnih lista danas postoje i liste po predmetima, a jedna od

njih je i lista za provjeru matematickih sposobnosti.

11

KONTROLNA LISTA ZA PROVJERU MATEMATICKIH

SPOSOBNOSTI

Pokazuje li dijete upornost u trazenju najboljeg i najjednostavnijeg

rjesenja problema? Djeca koja imaju dara za matematiku ne umaraju se

lako kada su zaokupljeni rjesavanjem zadataka.

Pokazuje li dijete samopouzdanje u novoj matematickoj situaciji i

inicijativu pri rjesavanju zadataka? Djeca ce izjaviti nesto poput: ’Znam,

pokusat cu ovo!’, ’Ne, to ne moze biti dobro...’ ili ’Gledaj, pokazat cu ti!’.

Otvorenost uma? Matematicki nadarena djeca odvagat ce dokaze i biti

spremna promijeniti glediste u skladu s dokazima.

Stalno sam sebi postavlja pitanja tijekom nastave i kod kuce? Primjerice:

’Koliko sekundi traje ljudski zivot?’ ili ’Koliko brzo ide avion?’ ili ’Koliku

povrsinu mogu vidjeti s vrha tornja?’...

S lakocom izrazava misli, stalno si postavlja pitanja i rado vrsi misaone

eksperimente? Ovo se u matematici moze vidjeti kao pruzanje otpora da

napise cijelo rjesenje zadatka kojeg moze rijesiti napamet, u glavi.

Pokazuje iznimno zanimanje za brojeve (npr. brojevi automobila imaju

posebne oznake, 124 je djeljiv s 2...)?

Opcenito se zanima za uzorke u obliku?

Cesto je u stanju kracim postupkom doci do rjesenja problema jer zeli

izbjeci standardne metode?

Vecina kontrolnih lista izvedena je iz istrazivanja inteligencije i kreativnosti, ali nji-

hova valjanost rijetko se provjeravala u skolama. Uglavnom ih popunjavaju nastav-

nici, koji pak kako bi potvrdili vlastite procjene sposobnosti cesto donose subjektivne

zakljucke, stoga su kotrolne liste podlozne pogreskama i ne daju rezultate zbog kojih

su prvotno i nastale.

Mjerne skale su pouzdanije od kontrolnih lista za provjeru nadarenosti jer sadrze

podskale kao sto su kreativnost, vodstvo, karakteristike motiviranosti i ucenja, koje

pak mogu imati visoku povezanost i jedna s drugom i sa znacajkama nadarene

djece. Nedostatak mjernih skala je sto znacenje odredenih procjena nije precizirano.

Naime, nastavnici procjenjuju ucenike kroz odgovore na pitanja, koristeci pritom

unaprijed odredene smjernice i nacin bodovanja. Primjerice, mjerne skale za nas-

12

tavnike i profesore osnovnih i srednjih skola koje su usmjerene na procjenu opcih, ali

i specificnih nadarenosti (poput nadarenosti za metematiku) kod ucenika izgledale

bi ovako:

MJERNA SKALA ZA PROVJERU OSOBINA NADARENE

DJECE OSNOVNOSKOLSKOG UZRASTA

IME UCENIKA ............................................................ DATUM ...............

SKOLA .............................................................

RAZRED ............

Procitajte pazljivo sljedece tvrdnje i stavite x na mjesto koje po vasem

misljenju najvise odgovara karakteristikama ucenika/ce:

1 - ako niste nikad ili ste vrlo rijetko primjetili ovu karakteristiku kod ucenika/ce

2 - ako ste ponekad primjetili karakteristiku kod ucenika/ce

3 - ako ste primjetili ovu karakteristiku kod ucenika/ce dosta cesto

4 - ako primjecujete ovu karakteristiku kod ucenika/ce gotovo stalno

1. Lako uci 1 2 3 42. Originalan, mastovit, kreativan 1 2 3 43. Ima puno znanja 1 2 3 44. Znatizeljan, skeptican 1 2 3 45. Pokazuje zdravorazumsku logiku 1 2 3 46. Ima znanja iz neobicnih podrucja 1 2 3 47. Posjeduje lakocu izrazavanja 1 2 3 48. Radi samostalno, pokazuje inicijativu 1 2 3 49. Dobro prosuduje 1 2 3 410. U misljenju je fleksibilan, otvoren za novo 1 2 3 411. Prilagodljiv je 1 2 3 412. Pokazuje veliku socijalnu osjetljivost, empatiju 1 2 3 413. Pokazuje smisao za humor 1 2 3 4

OSTALA ZAPAZANJA:

13

MJERNA SKALA ZA PROVJERU OSOBINA NADARENE

DJECE SREDNJOSKOLSKOG UZRASTA

IME UCENIKA ............................................................ DATUM ...............

SKOLA .............................................................

RAZRED ............

Procitajte pazljivo sljedece tvrdnje i stavite x na mjesto koje po vasem

misljenju najvise odgovara karakteristikama ucenika/ce:

1 - ako niste nikad ili ste vrlo rijetko primjetili ovu karakteristiku kod ucenika/ce

2 - ako ste ponekad primjetili karakteristiku kod ucenika/ce

3 - ako ste primjetili ovu karakteristiku kod ucenika/ce dosta cesto

4 - ako primjecujete ovu karakteristiku kod ucenika/ce gotovo stalno

1. Veliko opce znanje iz specificne oblasti interesa 1 2 3 42. Nezavisno ucenje iz knjiga i promatranjem 1 2 3 43. Odbojnost prema direktnom poucavanju 1 2 3 44. Velika potreba za mentorom 1 2 3 45. Sposobnost uocavanja kompleksnih odnosa 1 2 3 46. Lako pronalazenje biti problema 1 2 3 47. Metaforicko uocavanje odnosa 1 2 3 48. Pomicanje granica usvojene baze znanja 1 2 3 49. Intrinzicna motivacija 1 2 3 410. Sposobnost mijenjanja i prilagodavanja okoline 1 2 3 411. Zahtjevaju paznju 1 2 3 412. Impulsivnost 1 2 3 413. Podreduju okolinu svojim ciljevima 1 2 3 4

OSTALA ZAPAZANJA:

3.2.2 Metoda testiranja

Metoda testiranja koristi standardizirane mjerne instrumente - testove inteligencije,

testove sposobnosti i testove postignuca, s poznatim metrijskim osobinama, koje

rjesavaju ucenici, a mogu koristiti jedino osposobljeni strucnjaci, pa se usporedbom

sa standardima vecine vrednuju postignuca nadarenog ucenika. Testovima se mjere

14

znanja, vjestine i sposobnosti koje su neposredno povezane s posebnostima nadare-

nosti. Jedna od glavnih koristi primjene odgovarajuceg testa jeste da nam on moze

dati objektivne podatke. Nedostatak je sto testova ima mnogo i tesko je odabrati

odgovarajuce. Sljedeca tablica daje popis velikog broja razlicitih i iskusanih tes-

tova koji je objavila organizacija za obrazovanje u Velikoj Britaniji, GL Assessment

(NFER-Nelson).

Naziv Vrsta Raspon dobiTest kognitivnih sposobnostiCAT

Verbalno, neverbalno ikvantitativno zakljucivanje

8 - 15

Serija testova verbalnogzakljucivanja NFER-Nelson

Verbalno zakljucivanje 8 - 13

Serija testova neverbalnogzakljucivanja NFER-Nelson

Neverbalno zakljucivanje 5 - odrasla dob

Serija testova AH Neverbalne, verbalne,numericke, perceptivnesposobnosti

5 - odrasla dob

Ravenove progresivne matricei vokabularne skale

Verbalno i neverbalnozakljucivanje

5 - odrasla dob

Serija testova za primanje uposeban program

Verbalno i neverbalnozakljucivanje, engleski imatematika

11+

Banka pitanja NFER-Nelson Verbalno i neverbalnozakljucivanje, engleski imatematika

11+

Test temeljnih vjestinaRichmond (drugo izdanje)

Rjecnik, jezik, vjestine ucenja,matematika

8 - 14

Pritom je dobro imati na umu da ce testovi koji su temeljeni na kriterijima, kroz

detaljnu provjeru manjih cjelina i zadacima prilagodenim karakteristikama gradiva,

pokazati sto je ucenik naucio, dok ce normativni testovi, kroz vece cjeline (obicno

duzi testovi) i zadacima u omjeru 20 : 60 : 20 = laksi : prosjecni : tezi, pokazati koliko

je ucenik naucio. I jedni i drugi testovi, posluzimo li se informacijama na ispravan

nacin, mogu uvelike koristiti ucenicima tako sto ce osigurati laksu diferencijaciju

rada prema odgovarajucoj razini pojedinca. Kao sto smo ranije spomenuli, potreban

nam je velik broj najrazlicitijih informacija o djeci kako bismo mogli imati potpunu

sliku o tome kakvi su i sto mogu te im na taj nacin osigurali odgovarajucu poduku.

15

3.2.3 Uloga nastavnika

Zapazanja nastavnika cesto su najbolji izvori informacija pri identifikaciji ucenika

natprosjecnih sposobnosti. Ucenici nadareni za matematiku, opcenito prirodne zna-

nosti ne moraju se isticati i u drugim skolskim predmetima, te stoga ne mogu biti ni

formalno identificirani. Cak i unutar matematike te ostalih znanstvenih disciplina,

sposobnosti ucenika mogu se razlikovati ovisno o nastavnoj jedinici ili aktivnosti.

Stoga je vrlo vazno da se svi nastavnici primjereno obrazuju i redovito informiraju

o karakteristikama i ponasanjima nadarenih. Takoder, nastavnici koji uspostave

odnose sa svojim (nadarenim) ucenicima u mogucnosti su koristiti svoja saznanja u

daljnjem vodenju nastave i poucavanju, umjesto da se samo oslanjaju na misljenja i

zakljucke nazovimo ”strucnjaka” pa i same skole, sto nazalost vecina radi. Vazno je

shvatiti da ucenici natprosjecnih sposobnosti u pravilu ne odgovaraju tradicionalnoj

formi ”dobrih ucenika” te da identifikacija nadarenih ucenika zahtijeva od nastav-

nika da osvijeste svoje pretpostavke i stereotipe o tome tko moze biti nadaren jer

ponekad i oni mogu pogrijesiti.

Navedimo neke ucestale pogreske nastavnika pri identifikaciji:

• Poistovjecuju visoku skolsku uspjesnost s natprosjecnim intelektualnim spo-

sobnostima.

• Tesko prepoznaju nadarene ucenike s problemima u ponasanju, frustracijama

i emocionalnim smetnjama.

• Ne mogu prihvatiti cinjenicu da postoje nadareni ucenici koji nisu motivirani

za rad ili nemaju razvijene radne navike.

• Rijetko daju prednost ucenicima koji postavljaju dodatna pitanja, skrecu s

teme i ometaju nastavu.

• Ne shvacaju da nadareni ucenici mogu brzopleto raditi sto onda dovodi do

nepotrebnih pogresaka ili pak da rjesavaju zadatke duze od predvidenog kako

bi pokazali svoj puni potencijal.

• Imaju predrasude o nadarenim ucenicima, primjerice po podrijetlu.

Naravno da uloga nastavnika ovisi o nastavnom programu, ucenickoj dobi, razini

razreda, zahtjevima nastave, nacinu poucavanja. Ne mozemo ocekivati da ce oni

biti strucnjaci u svim podrucjima u kojima nadareni ucenici pokazu svoje interese i

sposobnosti, ali svaki nastavnik nadarenih i talentiranih ucenika mora:

• Razumjeti kvalitete, potencijale, stavove, motive i postignuca nadarenih ucenika

i uzivati u radu s njima.

• Razmisljati o svojim stavovima prema nadarenosti i imati pozitivno misljenje

prema natprosjecnim sposobnostima ucenika.

16

• Posjedovati vjestine potrebne za podijeliti svoja znanja.

• Omoguciti slobodnu razmjenu ideja i drugacija rjesenja problema.

• Poticati sposobnosti kritickog i tehnike kreativnog razmisljanja.

• Prihvacati i poticati samostalna razmisljanja i rasprave.

• Imati dobar smisao za humor.

Svaki dobar nastavnik mora posjedovati ljubav prema poucavanju i pouzdanje u

svoje mogucnosti rada s ucenicima, pogotovo s nadarenima koji mogu biti i inte-

ligentniji od njega. Prosvjetni djelatnici bi trebali biti ukljuceni u planiranje nas-

tavnog plana i programa kako bi on bio prihvacen i uspjesan, a administracija ih

u tome mora podupirati. Bez obzira na to koji se program ili strategija odabere,

nastavnik je kljuc ljubavi djeteta prema skoli.

17

4 Obrazovanje nadarenih ucenika

Postoje razliciti nacini na koje mozemo prilagoditi iskustva u ucionici potrebama

nadarenih ucenika. Medutim, da bismo to mogli vazno je znati koji se znakovi

matematickih sposobnosti pojavljuju u kojoj fazi djetetova razvoja. Tijek razvoja

logicko-matematicke sposobnosti opisao je svicarski psiholog Jean Piaget prateci

razvoj sposobnosti male djece da logicki ureduju stvarnost oko sebe, zakljucuju,

uocavaju i predvidaju odnose. Piaget je ovaj razvoj podijelio u 4 faze:

• senzomotoricka faza (od 0. do 2. godine)

• predoperacijska faza (od 2. do 6. godine)

• faza konkretnih operacija (od 6. do 11. godine)

• faza formalnih operacija (od 11. godine pa nadalje).

Prema danoj razvojnoj shemi pravo apstraktno misljenje ne mozemo ocekivati kod

djece prije njihove 11. ili 12. godine, a vise oblike ne prije adolescencije. Ipak,

naknadna strazivanja pokazala su da kod neke djece mozemo vrlo rano uociti karak-

teristike koje ukazuju na razvijeno zakljucivanje i osjetljivost za probleme, sto nam

ilustrira sljedeca anegdota:

’Trogodisnji djecak Saul dosao je majci u kuhinju s pitanjem je li Bog zaistasvuda prisutan. Kada je dobio potvrdan odgovor, zapitao je tada majku je lion usavsi u kuhinju istisnuo komadic Boga iz nje, jer je zauzeo nesto prostora.’

Istrazivanja su takoder pokazala da se kod nekih pojedinaca razvoj matematickih

sposobnosti nastavlja i nakon faze formalnih operacija, odnosno u adolescenciji, ali

i nakon nje. Nakon sto se postigne sposobnost apstraktnog misljenja, ona se dalje

moze razvijati kao sposobnost uocavanja sve kompleksnijih odnosa te mogucnost

slozenih mentalnih aktivnosti.

Ipak, za razliku od nekih drugih nadarenosti koje proizlaze iz razvijenih, vrlo spe-

cificnih sposobnosti, sposobnosti u osnovi logicko-matematicke nadarenosti nisu tako

jasno izrazene. Mogli bismo ih zamisliti kao rezultat istodobne aktivacije sljedecih

uzih sposobnosti:

1. numericka sposobnost je razumijevanje, citanje i pisanje matematickih sim-

bola, razumijevanje pojma kolicine, numerickih operacija, te numerickih od-

nosa;

18

2. sposobnost pamcenja i planiranja za rjesavanje koraka u problemu;

3. sposobnost prostornog predocavanja za razumijevanje geometrije i prostornih

odnosa;

4. sposobnost logickog zakljucivanja i uocavanja veza.

Nakon sto smo vidjeli koje su karakteristike matematicke sposobnosti te kada se

pojavljuju dosli smo do glavnog dijela ovoga rada, a to je obrazovanje nadarenih

ucenika u nastavi matematike. Obrazovanje ucenika s natprosjecnim sposobnostima

moguce je provoditi na brojne nacine, a u ovom radu cemo se posebno orijentirati

na: metodu akceleracije - ubrzanje obrazovanja, metodu obogacivanja redovnog nas-

tavnog programa i grupiranje ucenika po sposobnostima.

4.1 Akceleracija

Akceleracija je oblik nastave kojim se ucenici namjerno izlazu naprednijim standar-

dima nastavnog plana i programa od onoga koji je odreden njihovom stvarnom dobi

i u vremenu kracem od propisanog. Moze imati razne oblike i podjele: raniji polazak

u skolu, smjestanje u razred za nadarene, skupljanje bodova na testiranjima, preska-

kanje jednog ili vise razreda, zavrsavanje dva razreda u jednoj godini ili istovremeno

pohadanje osnovne i srednje skole. Mi smo se odlucili za ukljucujucu i iskljucujucu

podjelu akceleracije, cije oblike cemo kasnije u radu poblize objasniti.

Metoda akceleracije ne treba ukljucivati sve ucenike, niti ubrzavati cijeli razred samo

zbog dobrobiti nekolicine nadarenih. Naime, iako ju je lakse organizirati u okviru

postojecih struktura rasporeda te je trosak izvodenja takve nastave znatno manji,

moze dovesti do neprimjerenog ubrzavanja i teskoca u radu. Postavlja se pitanje je

li ocjena vrlo dobar jednu godinu prije bolja od ocjene odlican godinu kasnije. Ak-

celeracija je prikladna samo za ucenike natprosjecnih sposobnosti koji konstantno

imaju visoka skolska postignuca, uce brze od ostalih i imaju visoku motivaciju za

rad, a moguce ju je provoditi na jedan od sljedeca dva nacina:

Akceleracija skupine ucenika

Prednosti:

• Za razliku od akceleracije cijelog razreda, odredenoj skupini ucenika moguce

je bez posljedica ubrzati nastavni plan i program.

19

• Ucenici dobivaju priliku raditi sa sebi slicnim pojedincima koji ce im pruziti

odgovarajucu podrsku i potrebnu pomoc u daljnjem radu i napretku.

Nedostaci:

• Dugorocno je tesko organizirati ovakav nacin rada u ucionicama.

• Profesorima je nezgodno raditi paralelno s dvjema potpuno razlicitim skupi-

nama.

• Moze doci do problema upravljanja u smislu kolicine nastavnog vremena.

Individualna akceleracija

Prednosti:

• Izuzetno sposobni ucenici vrlo su motivirani i mogu samostalno raditi uz po-

vremenu pomoc nastavnika.

• Nastavnicima rad s nadarenim pojedincem ne oduzima previse vremena, stoga

se mogu posvetiti i koncentrirati na ostatak razreda.

Nedostaci:

• Neki ucenici zakazu u ubrzanom nastavnom planu i programu.

• Ostatak razreda ponekad moze izolirati nadarenog ucenika.

• Nastavnicima je potrebna dodatna priprema za rad s takvim ucenikom.

Sljedeca tablica daje sazeti prikaz podjela i oblika akceleracija, a primjeri nakon nje

prakticnu primjenu u nastavi matematike.

20

Akceleracija cijelograzreda

Cijeli razred ranije polazetestove ili ubrzano prelaziodredene nastavne teme

UkljucujucaAkceleracija skupineucenika

Akceleriramo grupu najboljihucenika po nastavnim temama,po potrebi

Individualnaakceleracija unutar iliizdvajanjem izrazreda

Ucenik samostalno radi urazredu na visoj razini nastavnogplana i programa ili se izdvaja uposebno organiziran razrednadarenih ucenika unutar sameskole

IskljucujucaAlternativnemogucnosti

Ucenicima se omogucujedodatna nastava u drugimskolama (ljetne, subotnje) ilikroz tecajeve i programespecijalizacije, ucenici sestavljaju u okruzenje sebi slicnih

Na primjer, u sedmom razredu osnovne skole ucenici se upoznaju s pojmom line-

arne funkcije i njezinim grafom, dok u osmom razredu nauce kvadrirati i korjenovati.

Tada bismo nadarenim ucenicima mogli uvesti pojam kvadratne funkcije, njezinog

grafa i nultocki. Pritom moramo paziti da ucenici mogu raditi samo s funkcijama

koje imaju realne nultocke, obzirom da se s kompleksnim brojevima susrecu tek

u drugom razredu srednje skole. Jos jedan primjer akceleracije, koji mozemo pro-

vesti u drugom razredu srednje skole, jeste poopcenje trigonometrije pravokutnog

trokuta na bilo koji trokut uvodeci pritom sinusov i kosinusov poucak. Takoder, u

cetvrtom razredu srednje skole kada se ucenici samo dotaknu pojma integrala, na-

dareni ucenici koji rade samostalno i brzim tempom bi mogli obraditi tu nastavnu

temu u potpunosti.

Akceleracija je zahtjevan i osjetljiv nacin ostvarenja potreba nadarenog ucenika,

kako za profesore, u didakticko-metodickom pristupu, tako i za ucenike. Vazno je

uzeti u obzir razinu emocionalne i socijalne zrelosti nadarenog ucenika, ali i zelju

za promjenom prije donosenja odluke o primjeni akceleracije. Ipak, istrazivanja su

pokazala da su ucenici u cijem se obrazovanju koristila metoda akceleracije zadrzali

odlican uspjeh te postigli bolja postignuca i socijalnu prilagodenost u usporedbi

s ucenicima istih sposobnosti cije skolovanje nije ubrzavano. Iz svega navedenog

mozemo pretpostaviti da je akceleracija dobra obrazovna metoda u slucaju nadare-

nih ucenika.

21

4.2 Obogacivanje redovnog nastavnog programa

Obogacivanje nastave, koje se ponekad naziva i prosirenje, prikladno je za sve ucenike

stoga se moze provoditi u cijelom razredu, ali po potrebi i s malom skupinom ucenika

ili individualno. Posebnost ove metode obrazovanja je u tome sto svi ucenici imaju

koristi od nje. Obogacivanje aktivnosti ucenja osigurava produbljenje i prosirenje

redovne nastave prema sposobnostima i potrebama ucenika. Mozemo razlikovati dva

nacina obogacivanja, horizontalno i vertikalno. Horizontalno obogacivanje istrazuje

podrucja znanja koja se rijetko doticu u zajednickom, osnovnom kurikulumu skole.

Vertikalno obogacivanje razvija sposobnost kvantitativnog misljenja, sto podrazu-

mijeva sklonost prema temi i sposobnost razumijevanja temeljnih nacela i generali-

ziranja.

Prednosti ovog oblika nastave su:

• Zbog opsega ponudenih informacija programi obogacivanja uvelike pomazu

nadarenim ucenicima s velikim podrucjem interesa.

• Izbjegava se formalna identifikacija i vidljivo etiketiranje pa samim time i

problemi koje oni nose sa sobom.

• Kada je planirano u uskoj suradnji s nastavnim planom i programom, obogacivanje

izbjegava djelomicna i nepotpuna iskustva ucenja povezujuci nadarene ucenike,

iako horizontalno, s opcim razrednim aktivnostima i nastavnim temama.

• Obogacivanje moze obuzdati probleme intelektualne dosade i frustracije.

S druge strane, nedostaci su sljedeci:

• Obogacivanje je tesko definirati i ponekad se skriva pod pojmovima kao sto su

prosirivanje, ”manje vise isto” ili ”samo da ih se zaposli”.

• Zbog uvrijezenog misljenja da je obogacivanje dobro za sve ucenike postavlja

se pitanje je li onda adekvatno rjesenje za potrebe ucenja nadarenih ucenika.

• Nastavnicima je potrebna dodatna priprema za provodenje ovog oblika nas-

tave.

• Prilikom provodenja obogacivanje moze postati homogeno rjesenje, obracajuci

pri tom malo ili nimalo pozornosti na potrebe pojedinih ucenika.

Obzirom da su iz redovnog nastavnog plana i programa izostavljeni brojni zanimljivi

sadrzaji zbog potreba vecine te je on ogranicen i prilicno monoton, posebno nadare-

nim ucenicima, obogacivanje nastave je pravo rjesenje. U nastavku cemo predstaviti

dva modela za prosirenje redovnog programa u nastavi matematike:

22

1. Trijadni model obogacivanja

Primjenjuje se u britanskom sustavu obrazovanja i zalaze se za to da nastav-

nici planiraju obradu tema sluzeci se krizaljkom ”Morati, trebati, moci”. Nas-

tavnici koji pohadaju tecajeve strucnog usavrsavanja cesto u praksi izraduju

odlicne primjere toga modela, a mi vam u nastavku donosimo jednu takvu

potpunu krizaljku.

Pitagorin poucak, 8. razred osnovne skole

MORALI BINAUCITI

TREBALI BINAUCITI

MOGLI BINAUCITI

POJMOVI Kljucne pojmove:katete, hipotenuza,iskaz Pitagorinapoucka

Obrat Pitagorinapoucka

Pitagorine trojke

ZNANJA PrimijenitiPitagorin poucakna razlicitepravokutne trokute

Na temelju danihpodataka ispitati jeli trokutpravokutan ili ne

RazlikovatiprimitivnePitagorine trojke

PROCESNEVJESTINE

Znati izreku,smisao i zornidokaz Pitagorinapoucka

Izreci obratPitagorina pouckate izracunavatiduljinu jednestranicepravokutnogtrokuta ako suzadane duljineostalih stranica

Zakljuciti da je usvakoj primitivnojPitagorinoj trojcitocno jedan odbrojeva neparan,odredivatiPitagorine trojkeuz odredene uvjete

STAVOVI Primjena na nekegeometrijske likove

2. Bloomova taksonomija

Bloomova taksonomija je niz kognitivnih razina pomocu kojih nastavnici mogu

izraditi djelotvoran kurikulum i evaluacijske aktivnosti za sva predmetna po-

drucja i za sve ucenike. Sastoji se od sest stupnjeva razmisljanja koji se

nadograduju jedan na drugog po slozenosti:

• Znanje je temelj, a obuhvaca pamcenje cinjenica i informacija.

• Razumijevanje ukljucuje pokazivanje razumijevanja naucenog i mogucnost

izrazavanja ideja vlastitim rijecima.

• Primjena je mogucnost upotrebe naucenog.

• Analiza je mogucnost analiziranja, klasificiranja ili usporedivanja dvije

ili vise stvari.

23

• Sinteza je kreativnost - stvaranje neceg novog, pokusavanje necega sto

nikada prije nije pokusano.

• Evaluacija ukljucuje prosudivanje ili odlucivanje o relevantnosti ili vri-

jednosti stvari. Ucenici donose prosudbe na temelju gornjih kriterija.

Slika 4.1: Bloomova taksonomija u nastavi matematike

24

Ocito je da su prve tri razine prikladne za sve ucenike, dok su posljednje tri kljucne za

razvoj sposobnosti misljenja viseg reda kod najsposobnijih ucenika. Radi se o tome

da se ucenicima postavljaju pitanja koja sadrze odredene razine misljenja i odredene

glagole koji ce usmjeriti njihovo razmisljanje i djelovanje. Ucenicki rezultati postaju

sve slozeniji kako napreduju kroz razine, a zadaci na najvisim razinama razvijaju

kriticko, kreativno i logicko misljenje te aktivnosti u kojima se rjesavaju problemi.

Sljedeca tablica kroz konkretan primjer prikazuju primjenu Bloomove taksonomije

u nastavi matematike.

Tetivni i tangencijalni cetverokut, 1. razred srednje skole

RAZINE PRIMJER

ZNANJE Definirati tangencijalni i tetivni cetverokut.

RAZUMIJEVANJE Iskazati karakterizaciju i svojstvatangencijalnog i tetivnog cetverokuta

PRIMJENA Rijesiti konkretan zadatak primjenom dosada naucenog gradiva.

ANALIZA Dokazati svojstva tangencijalnog i tetivnogcetverokuta.

SINTEZA Usporediti tangencijalni i tetivni cetverokutkroz slicnosti i razlike, doci do Ptolomejevogteorema.

EVALUACIJA Iskazati i dokazati Ptolomejev teorem,objasniti ga drugim ucenicima u razredu.

4.3 Grupiranje ucenika po sposobnostima

Grupiranje po sposobnostima, naziva se jos i homogeno grupiranje, je oblik diferen-

cirane nastave koja podrazumijeva samostalnu aktivnost ucenika. Radi se o tome

da nastavnik cijeli razred podijeli na grupe prema predznanju i matematickim spo-

sobnostima tako da razlike unutar grupe budu minimalne. Ucenici se rasporeduju

25

u tri grupe; slabiji, dobri i izvrsni, i tijekom nastavnog procesa rjesavaju zadatke

primjerene svojim mogucnostima. S obzirom da pri obradi tema u nastavi matema-

tike uvijek postoje i laksi i tezi dijelovi, moguce je na svakom satu primijeniti rad s

homogenim grupama.

Medutim oko ovog oblika nastave u skolstvu cesto dolazi do podjela. Naime, kriticari

tvrde da homogeno grupiranje ima veliku ulogu u raslojavanju drustva, dopunsku

nastavu uglavnom pohadaju manjine i ucenici niskih socioekonomskih statusa te

da je heterogeno grupiranje potrebno kako bi se svim ucenicima osigurale jednake

prilike. Ucenici koji zapadnu u slabije grupe liseni su mogucnosti razvijanja svojih

vjestina i sposobnosti, javlja se osjecaj manje vrijednosti, komunikacija u razredu

postaje otezana i suzava se (tijekom sata medusobno komunicira tek 20% ucenika). S

druge strane, zagovornici ovog nacina poucavanja smatraju da je homogeno grupira-

nje potrebno barem neko odredeno vrijeme kako bi se zadovoljile potrebe nadarenih

ucenika. Oni strahuju da bi sporiji ritam mogao podbaciti u izazovu ucenika te da

ce oni propustiti priliku naprednijeg rada. Takoder ovaj nacin rada i dalje ukljucuje

sve ucenike, razvija se interes za matematiku, ucenje na satu, zadrzava se paznja i

koncentracija svih ucenika i povecava se efikasnost nastave. Sljedeca tablica prika-

zuje kako odredenu nastavnu temu prilagoditi radu s homegenim grupama.

U drugom razredu srednje skole nakon sto nastavnik definira kvadratnu jednadzbu

i pojam rjesenja, ucenici bi na sljedeci nacin mogli sudjelovati, a nadareni medu

njima doci do izvodenja formule za rjesavanje kvadratne jednadzbe:

SLABIJI UCENICI DOBRI UCENICI IZVRSNI UCENICI

Rjesavaju posebanslucaj kada je c = 0,prvo primjer, a zatimjednadzbu s opcimbrojevima.

Rjesavaju slucaj kadaje b = 0 i komentirajupozitivnost brojaispod korijena.

Rjesavaju najopcenitijioblik kvadratnejednadzbe nadopunomdo potpunog kvadrata,pri cemu izvode i samuformulu.

Nakon toga nastavnik zajedno sa svim ucenicima uvjezbava formulu na konkretnim

zadacima.

Zbog jakih argumenata na obje strane pitanje grupiranja ucenika po sposobnos-

tima rezultiralo je brojnim istrazivanjima o prednostima i nedostacima heterogenih

i homogenih skupina. A vecina ih obicno tvrdi da samo grupiranje nema utjecaja

dok u kombinaciji s kvalitetnim poucavanjem i materijalima prilagodenim ucenickim

26

potrebama itekako ima pozitivan ucinak na postignuca ucenika. U konacnici nepo-

trebno je i nerealno koristiti samo jednu metodu grupiranja. Obje, i homogene i

heterogene skupine mogu biti ucinkovite ovisno o aktivnostima ucenika. Ponekad

nadareni ucenici imaju koristi i prosirene mogucnosti u radu s ucenicima slicnih spo-

sobnosti, s druge pak strane mogu puno nauciti i produbiti svoje znanje pomazuci

kolegama slabijih sposobnosti. Strucnjaci u obrazovanju nadarenih ucenika napravili

su sljedece preporuke o grupiranju:

• Heterogene grupe su prikladnije kada ucenici rjesavaju zadatke otvorenog tipa

ili kada se obraduje gradivo koje je nepoznato svima.

• Homogene grupe su prikladnije kada ucenici rade na razvoju svojih vjestina

ili ponavljaju vec nauceno.

• Strategije grupiranja trebaju biti fleksibilne, a ucenicima dopusteno bar po-

vremeno raditi samostalno prema vlastitim preferencama.

• Ucenici bi trebali imati mogucnost samostalnog odabira grupa na temelju za-

jednickih interesa.

• Svi ucenici moraju steci vjestinu grupnoga rada kako bi suradnja u zajednickom

ucenju bila moguca.

27

5 Udruge u Hrvatskoj koje se bavenadarenim ucenicima

5.1 Centar za poticanje darovitosti djeteta ”Bistric”

Slika 5.1: Logo udruge ”Bistric”

Bistric je udruga koju je 2005. godine u Zagrebu osnovala Jasna Cvetkovic-

Lay, psihologinja i specijalistica za obrazovanje nadarenih. Ova organizacija pruza

strucnu pomoc i potporu nadarenoj djeci, njihovim roditeljima i prakticarima koji se

na bilo koji nacin bave odgojem i obrazovanjem. U tu svrhu organiziraju seminare

i radionice, pruzaju individualne savjete i informacije, izdaju knjige i publikacije u

kojima se mogu naci mnogi odgovori na tipicna i netipicna pitanja o nadarenima.

Pokrenuli su i otvoreni telefon za roditelje, na kojem se mogu dobiti savjeti o nada-

renom djetetu, odabiru igara i programa za nadarenu djecu te strucnoj i popularnoj

literaturi.

5.2 Mladi nadareni matematicari ”Marin Getaldic”

Slika 5.2: Logo udruge ”Marin Getaldic”

Udruga Mladi nadareni matematicari ”Marin Getaldic” nastala je kao svojevrsno

spajanje matematickih grupa u XV. i V. gimnaziji u Zagrebu, koje su tradicionalno

organizirane vec dugi niz godina, a koje su vodili uglavnom bivsi vrhunski natjecatelji

28

iz tih skola, studenti FER-a ili PMF-a. Voditelji tih grupa su pocetkom 2008.

godine odlucili zajednickim snagama organizirati i unaprijediti rad s nadarenima te

su osnovali ovu udrugu sa sljedecim idejama:

• Primijeniti novi pogled na rad s mladim nadarenim matematicarima koji se

temelji na inovativnim idejama, mladim ljudima i prijateljstvu.

• Poticanje ucenika na rad i razvoj matematickog talenta.

• Napredno matematicko obrazovanje i priprema mladih nadarenih matematicara

za natjecanja iz matematike.

• Povezivanje mladih matematicara u Hrvatskoj.

• Promocija matematike kao znanosti u Hrvatskoj i sirenje svijesti o ulozi ma-

tematike u modernom drustvu.

• Suradnja s nadleznim institucijama radi poboljsanja i restrukturiranja obra-

zovnog sustava te sa slicnim organizacijama u inozemstvu radi promocije ma-

tematike na medunarodnoj razini.

Posebnost ove udruge lezi upravo u tome sto s ucenicima rade mentori koji ih najbolje

razumiju jer su i sami prosli isti put. Sav rad u udruzi je volonterski.

29

Zakljucak

Iako je Hrvatska mala zemlja koja nema velikih mogucnosti to nikako nije opravdanje

sto su i nastavnici i nadareni ucenici prepusteni sami sebi. Iako je nastavnim planom

i programom predviden specijaliziran rad s takvom djecom, stvarnost u nasoj drzavi

u potpunosti je suprotna.

Prilika za izazov, prosiren nastavni plan i program te odgovarajuci poticaj pravo

je svakog ucenika. Ukoliko je ucenik spreman na dodatni rad i napor kako bi se

dokazao i pokazao da je nadaren, onda mu mi u najmanju ruku moramo pruziti

priliku.

”Ne bih se nikad usudio ostaviti dijete da plovi besciljno bez broda bez kormila;

tako ce se, rekao bih, SIGURNO nasukati.” Gustav Meyrink

30

Sazetak

U ovom radu smo ukazali na potrebe i probleme nadarenih ucenika u nastavi ma-

tematike, ali i opcenito. Istaknuli smo njihove karakteristike, ali i brojne zablude o

njima. Ukratko smo opisali koje se metode mogu koristiti pri identifikaciji nadare-

nih i talentiranih ucenika. I najvaznije, kako raditi s takvom djecom kako bi se u

potpunosti ostvario njihov potencijal. Za kraj smo spomenuli udruge u Hrvatskoj

koje su posvetile svoj rad mladim nadarenim matematicarima.

Kljucne rijeci: nadareni ucenici, identifikacija, obrazovanje

31

Title and summary

In this work we pointed out the problems and needs of gifted students in mathe-

matics, and in general. We highlighted their characteristics, as well as numerous

misconceptions about them. In short, we described which methods can be used to

identify gifted and talented students. And most importantly how to work with such

children in order to fully achieve their potential. In the end we mentioned associ-

ations in Croatia that have devoted their efforts to gifted young mathematicians.

Key words: gifted students, identification, education

32

Bibliografija

[1] C.M.Diezmann and J.J.Watters, Summing up the education of mathema-

tically gifted students, 2002., In Proceedings 25.th Annual Conference of the

Mathematics Education Research Group of Australasia, pages 219-226, Auck-

land

[2] D.George OBRAZOVANJE DAROVITIH Kako identificirati i obrazovati da-

rovite i talentirane ucenike, s engleskoga prevela M.V.Supek, Zagreb, Educa,

1968.

[3] J.Stepanek, Meeting the Needs of Gifted Students: Differentiating Mathema-

tics and Science Instruction, 1999.

[4] L.McClure i J.Piggott, Meeting the Needs of Your Most Able Pupils: MAT-

HEMATICS, Routledge, London and New York, Northwest Regional Educati-

onal Laboratory, 2007.

[5] M.C.Obradovic, Nadarenost razumijevanje, prepoznavanje, razvijanje, Za-

greb, Skolska knjiga, 1990.

[6] S.Y.Walker, Darovita djeca, Zagreb, Veble commerce, 2007.

[7] Centar za poticanje darovitosti djeteta ”Bistric”

http://http://www.bistric.info

[8] Udruga Mladi nadareni matematicari ”Marin Getaldic”

http://www.mnm.hr

[9] Pravilnik o osnovnoskolskom odgoju i obrazovanju darovitih

ucenika

http://ww.narodne-novine.nn.hr/clanci/sluzbeni/19910734967.html

33

Zivotopis

Moje ime je Sanja Boric, rodena sam 14.03.1988. godine u Brckom, Bosna i Her-

cegovina. Od 1994. - 2002. godine pohadala sam Osnovnu skolu ”Antun i Stjepan

Radic” u Gunji, a od 2002. - 2006. godine Opcu gimnaziju u Zupanji. Nakon toga

sam upisala Sveucilisni nastavnicki studij matematike i informatike na Sveucilistu

Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku, Odjel za matematiku.

34