MA 2251 Kalkulus Peubah BanyakUTS - Semester II - 2006 / 2007

4 April 2007

1. Diketahui lengkungan r(t) = cosh(ωt)i + sinh(ωt)j. Tentukan persamaan Cartesiuslengkungan tersebut dan sketsalah kurvanya.

2. Hitunglah panjang lengkungan r(t) = (et sin 2t, et cos 2t) dari t = 0 sampai t = 1.

3. Gambarkan lengkungan ketinggian dari fungsi f (x, y) =1

1 + x2 − y2 untuk k = 1.

4. Diketahui fungsi bernilai real z = tan−1(xy). Tunjukkan bahwa ∂2z∂x∂y = ∂2z

∂y∂x .

5. Diketahui medan vektor F(x, y, z) = f1(x, y, z)i + f2(x, y, z)j + f3(x, y, z)k.Hitunglah div(∇× F).

6. Diketahui transformasi dari R2 ke R2 yaitu u = x, v = ex2y. Nyatakan persamaan

diferensial berikut dalam u (peubah bebas) dan v (peubah tak bebas) dalam bentukyang paling sederhana.

d2ydx2 − 4x

dydx

+ 2y(2x2 − 1) = 0.

7. Diketahui fungsi :

F(x, y, u, v) = xu + yv− uvG(x, y, u, v) = u sin(xy)

H(x, y, u, v) = x2 − y2 + u2 + v2.

Hitunglah determinan Matriks Jacobi di titik (0, 1, 1, 2) untuk

(a)∂(F, G)

∂(x, y).

(b)∂(G, F)∂(u, x)

.

(c)∂(F, G, H)

∂(x, y, u).

(d)∂(G, F, H)

∂(u, v, y).

8. Misalkan temperatur di titik (x, y, z) pada daerah D ⊆ R3 dinyatakan oleh fungsi

T(x, y, z) =√

1 + x2 + y2 + z2.

Misalkan pula lengkungan r(t) = sin ti + cos tj + tk terletak pada daerah D.

(a) Carilah turunan berarah fungsi T di r(

π2

)dalam arah vektor singgung lengkun-

gan r di titik tersebut.

(b) Hitunglah ddt T(r(t)) untuk t = π

2 .(c) Apa yang dapat Anda simpulkan dari jawaban pertanyaan (a) dan (b) di atas?

9. Apakah mungkin menyelesaikan sistem persamaan

xu2 + yzv + x2z = 3

xyv3 + 2zu− u2v2 = 2

untuk (u, v) di sekitar titik (1, 1) sebagai fungsi (x, y, z) di sekitar titik (1, 1, 1)?