fungsi dua peubah

*[MA 1124]KALKULUS II

*Sistem KoordinatOktan 1R3(Ruang) R2(Bidang)

[MA 1124]KALKULUS II


*Permukaan di Ruang (R3)Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain : Bola, mempunyai bentuk umum :Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa lingkaran , berupa lingkaranJejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa lingkaran



*Gambar Bola



*Permukaan di RuangElipsoida, mempunyai bentuk umum , a, b, c > 0 Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa EllipsJejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa EllipsJejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Ellips



*Gambar Ellipsoida



*Permukaan di R3Hiperboloida berdaun satu, mempunyai bentuk umum:, a, b, c > 0 Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa EllipsJejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa HiperbolikJejak di bidang YOZ, x = 0 , berupa Hiperbolik



*Gambar Hiperbolik Berdaun Satu



*Permukaan di R3Hiperboloida berdaun dua, mempunyai bentuk umum:, a, b, c > 0 Jejak di bidang XOY, z = 0 , berupa HiperbolikJejak di bidang XOZ, y = 0 , berupa HiperbolikJejak di bidang YOZ, x = 0 , tidak ada jejak, maka terdefinisi saat x - a atau x a Jejak di bidang, x = k (konstanta), k > a atau k < - a , berupa ellips



*Gambar Hiperbolik Berdaun Dua



*Permukaan di R3Paraboloida eliptik , mempunyai bentuk umum:, a, b, c > 0 Paraboloida hiperbolik , mempunyai bentuk umum:, a, b, c > 0 Kerucut eliptik , mempunyai bentuk umum:Bidang , mempunyai bentuk umum:



*GambarZ x yz x yZ x yParaboloida EliptikParaboloida HiperbolikKerucut EliptikBidangyxz



*Latihan: Gambarkanx2 + y2 = 4y = x22x + 2y + 4z = 8 , di oktan 19 z2 + 9x2 + 4y2 = 36z =4x2 + y2 + z2 2x 2y 4z = 3



*Fungsi Dua PeubahDefinisi: Fungsi dua peubah adalah aturan yang mengaitkan setiap pasangan terurut (x,y) dengan tepat satu z =f(x,y)Notasi : f : A R ( A C R2) (x,y) z = f(x,y)Contoh:f(x,y) = x2 + 4 y2

f(x,y) = f(x,y) =



*Daerah Asal (Df) dan Daerah Nilai (Rf)Contoh. Tentukan dan gambarkan Df dari1. f(x,y) = x2 + 4 y2



*Contoh (Jawab)1.Df ={(x,y) R2 | x2 + 4 y2 R}= {(x,y) R2}xy2.= {(x,y) R2 | 36 9x2 4y2 0}= {(x,y) R2 | 9x2 + 4y2 36}xy23



*Contoh (Jawab)3.= {(x,y) R2| x(1 y) R}xy= {(x,y) R2|x 0 dan (1y)0 atau x0 dan (1y)0}= {(x,y) R2|x 0 dan y 1 atau x0 dan y 1}



*LatihanTentukan dan Gambarkan Df dari1. f(x,y) =



*Grafik Fungsi Dua PeubahGrafiknya berupa permukaan di ruangZ=f(x,y)DfxyzKarena setiap pasangan terurut (x,y) dipasangkan dengantepat satu z = f(x,y), maka setiap garis yang sejajar sb zakan memotong grafik tepat di satu titik.



*ContohGambarkan Grafikf(x,y) = 2 x2+ 3y2 z = 2 x2+ 3y2

f(x,y) = 3 x2 y2 Paraboloida eliptikZ x yz = 3 x2 y2Z x y33



*Contoh3. f(x,y) =4. f(x,y) =9z2 = 36 9x2 4y29x2 + 4y2 + 9z2 = 36Elipsoidaz2 = 16 x2 y2x2 + y2 + z2 = 16Bola322222



*Kurva Ketinggianz = f(x,y) z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proyeksi perpotongan grafik z = f(x,y) dengan bidang z =k pada bidang XOY.Contoh:Gambarkan kurva ketinggian z = k darif(x,y) = x2+ 2y2 , k = 0, 1, 2, 4f(x,y) = 2x y2 , k = -2, 0, 2, 4



*Contoh (Jawab)f(x,y) = x2+ 2y2 , k = 0, 1, 2, 4Untuk k = 0x2 +2 y2 = 0x = 0, y = 0titik (0, 0)Untuk k = 1x2 +2 y2 = 1elipsUntuk k = 2x2 +2 y2 = 2elipsUntuk k = 4x2 +2 y2 = 4elipsk=2k=4xy



*Contoh (Jawab)Untuk k = -2x y2 = -2x = y2 2parabolaUntuk k = 0x y2 = 0parabolaUntuk k = 2x y2 = 2parabolaUntuk k = 4x2 +2 y2 = 4parabolak=0k=-2k=2k=4xyf(x,y) = 2x y2 , k = -2, 0, 2, 4x = y2 x = y2 + 2 x = y2 + 4



*Latihanf(x,y) = x2/y , k = -4, -1, 0, 1, 4f(x,y) = x2+y2 , k = 0, 1, 4, 9f(x,y) = xy , k = -4, -1, 0, 1, 4f(x,y) = y2 x2 , k = 1, 2, 3, 4

Gambarkan kurva ketinggian z = k dari



*Limit Fungsi Dua PeubahDefinisi: Fungsi f(x,y) mempunyai limit L untuk (x,y) mendekati (a,b) ditulis Jika > 0 > 0 berlakuxyz(a,b)Z =f(x,y)LL+L



*Catatanada jika kurva yang melalui (a,b). untuk sembarang Artinya: Jika terdapat paling sedikit 2 kurva di R2 yang melalui

kurva, maka dikatakanberbeda untuk masing-masing(a,b) dengan nilaitidak ada.. (a,b)



*ContohBuktikan bahwa limit

Jawabterdefinisi di Df = R2 {(0,0)} Di sepanjang garis y=0, kecuali x =0, maka nilai f adalah Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = 0 adalah berikut tidak ada



*Contoh (Lanjutan)Di sepanjang garis y=x, maka nilai f adalah Limit f(x,y) mendekati (0,0) sepanjang garis y = x adalah Karenamakatidak ada



*Latihan1.2.Buktikan bahwa limit berikut tidak ada3.



*KekontinuanDefinisi: Fungsi dua buah f(x,y) kontinu dititik (a,b) jikai. f(a,b) terdefinisiii.iii.Teorema:1. Polinom dengan m peubah kontinu di Rm2. Fungsi rasional m peubah f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) kontinu pada Df asal q(x,y)03. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f0g kontinu di (a,b) didefinisikan f0g (x,y) = f(g(x,y))



*Contoh KekontinuanSelidiki kekontinuan fungsi berikut:1. f(x,y) =2. f(x,y) =Kontinu dimana-mana (R2) kecuali di parobola y2=4xMisal g(x,y) = x2-4xy+y2 (Polinom) g kontinu dimana-mana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R.Maka f(x,y) = h(g(x,y)) kontinu di semua (x,y) di bidang



*Turunan ParsialDefinisi: Misalkan f(x,y) adalah fungsi dua peubah x dan y.1. Turunan parsial pertama dari f terhadap x (y dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut

Turunan parsial pertama dari f terhadap y (x dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut



*Contoh:1.Tentukan fx dan fyJawabfx(x,y) = 3 x2 y + 4 y2fy(x,y) = x3 + 8 xy2.3.Jawabfx(x,y) = 2xy cos(x2 + y2)fy(x,y) = cos(x2+y2) 2y2 sin(x2+y2)Jawabfx(x,y)=0. ln(siny)1. ln(sinx)fx(x,y) = ln(sinx)fy(x,y)=1. ln(siny)0. ln(sinx)fy(x,y) = ln(siny)



*Latihan1.2.Tentukan fx dan fy3.1.2.Tentukan fx, fy dan fz



*Turunan Parsial Kedua



*Contoh1. f(x,y)= x y3 + y3x2Tentukan fxx, fyy ,fxy, fyx Jawabfx(x,y)= y3 + 2xy3fy(x,y)= 3xy2 + 3x2y2fxx(x,y)= 2y3fxy(x,y)= 3y2 + 6xy2fyy(x,y)= 6xy + 6x2yfyx(x,y)= 3y2 + 6xy2



*Contoh2. f(x,y) = xy sin(x2+2xy+y3)Jawabfx(x,y)= y sin(x2+2xy+y3) + xy(2x+2y) cos(x2+2xy+y3)fy(x,y)= x sin(x2+2xy+y3)+xy(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3)fxx(x,y)=y(2x+2y)cos(x2+2xy+y3)+(4xy+2y2)cos(x2+2xy+y3)fxy(x,y)= sin(x2+2xy+y3)+y(2x+3y2) cos(x2+2xy+y3)fyy(x,y)=(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)+(2x2+9xy2)sin(x2+2xy+y3)fyx(x,y)= sin(x2+2xy+y3)+x(2x+2y)cos(x2+2xy+y3) xy(2x+2y)2 sin(x2+2xy+y3)+(2x2+4xy)cos(x2+2xy+y3)xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)xy(2x+3y2)2 sin(x2+2xy+y3) +(4xy+3y3)cos(x2+2xy+y3)xy(2x+2y)(2x+3y2)sin(x2+2xy+y3)



*LatihanTentukan fxx, fyy ,fxy, fyx 1. f(x,y) = x cos(xy) + xy ex+y2. f(x,y) = ln(x2 + 2 xy + y3)3. f(x,y) = tan-1(y2/x)4. f(x,y) =ln(x2+2xy+y2)5. f(x,y) = (2x-y)/(xy)



*Arti Geometri Turunan ParsialPerpotongan bidang y = b dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap x di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu x. (a, b) s



*Arti Geometri Turunan Pertama (2)Perpotongan bidang x = a dengan fungsi permukaan f(x,y) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadap y di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu y.z x y (a, b) s



*SoalCari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 36 z= 4x2 + 9y2 dengan x = 3 di titik (3,2,2)Jawab:Turunan parsial terhadap y adalahSehingga didapat. Bilangan ini adalahmenyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,2,2)yaitu 1/1. Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,2,2), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalahx = 3, y = 2 + t , z = 2 + t



*SoalCari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 2z =(9x2+9y2-36) dengan bidang y=1 di titik (2, 1,(3/2))Jawab:Turunan parsial terhadap x adalahSehingga didapat. Bilangan ini adalahmenyatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (2,1,(3/2))yaitu 3/1. Ini menyatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (2,1,(3/2)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalahx = 2+t, y = 1 , z = 3/2 + 3 t



*Latihan3z =(36-9x2 -4y2) dengan bidang x = 1 di titik (1, 2, (11/3))4z =5(16-x2) dengan bidang y=3 di titik (2, 3, 5(3/2))Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva perpotongan



*Vektor GradienMisalkan fungsi z = f(x,y) terdefinisi di D R2 Definisi Vektor gradien dari fungsi z = f(x,y) di (x,y) D, didefinisikan sebagaiadalah vektor satuan di arah sumbu x,y positifNotasi lain: grad f(x,y), del f(x,y) Definisi Vektor gradien dari fungsi f(x,y,z) adalahadalah vektor satuan di arah sumbu x,y,z positif



*ContohTentukandandariJawabSehingga diperoleh:



*LatihanI. Tentukandari1.2.3.4.II. Tentukandi titik yang diberikan1.2.3.di P ( 2,3) di P ( 3, 3) di P (2, 1) 5.6.



*Aturan RantaiMisalkan x=x(t) dan y = y(t) terdeferensialkan di tdan z = f(x,y) terderensialkan di (x(t), y(t))Maka z = f(x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagaiMisalkan x = x(s,t), y=y(s,t) dan z = f(x,y), maka



*Contoh1. Misalkan w = x2 y3 dengan x = t3 dan y = t2, tentukanJawab:= 2x y3 (3t2)+3 x2 y2(2t)= 2t3 (t2)3 (3t2)+3 (t3)2 (t2)2(2t)= 2t3. t6. 3t2+3 t6. t4. 2t= 6t11+6 t11 = 12 t11



*ContohMisalkan z = 3x2 y2 dengan x = 2 s+7 t dan y = 5 s t, Jawab:= 42 (2s +7t) 50 s2t= 6x. 7 + (2y) 5 stentukandan= 12 (2s +7t) 50 s t2= 6x. 2 + (2y) 5 t



*Latihan1. Tentukan(dalam t)a. w = x2 y y2x ; x = cos t, y = sin tb. w = ex siny eysin x ; x = 3t, y = 2tc. w = sin(xyz2) ; x = t3, y = t2 , z =t2. Tentukan(dalam t dan s)a. w = x2 y lnx ; x = s/t, y = s2 tb. w = ; x = s sin t, y = t sin s



*Turunan BerarahAndaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan berarah di (a, b) pada arah vektor satuan adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis :atau D f(a, b) = fx (a, b)u1 + fy (a, b)u2Perhatikan bahwaSehingga, Turunan berarah akan bernilai maksimum (=0)jikaSebaliknya akan minimum jika



*ContohTentukan turunan berarah dari f(x,y) = 4x3y pada titik P(2,1) dalam arah vektorJawab:Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor afx (x,y)= 12 x2 y fx (2, 1)= 12.22.1 =48 fy (x,y)= 4 x3fx (2, 1)= 4.23 =32 Sehingga=48 . (4/5) + 32 . (3/5)= 288/5



*ContohTentukan turunan berarah dari f(x,y,z) = xy sinz pada titik P(1,2, /2) dalam arah vektorJawab:Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor afx (x,y,z)= y sinz fx (1,2,/2)= 2 sin(/2) =2 fy (x,y,z)= x sinzfx (1,2, /2)= 1.sin(/2) =1 fz (x,y,z)= xy coszfz (1,2, /2)= 1.2 cos(/2) =0



*Contoh (Lanjutan)Sehingga=2 . (1/3) + 1 . (2/3) + 0 . (2/3)= 4/3



*LatihanTentukan turunan berarah fungsi f pada titik P yang diberikan dalam vektor aa. f(x,y) = y2 lnx , P(1, 4), a = -3 i + 3 jb. f(x,y) = xey yex , P(0, 0), a = 5 i 2 jc. f(x,y) = e xy , P(1, 1), a = i + 3 jd. f(x,y) = x/(x+y) , di P(1, 1) dalam arah ke titik Q(-1,-1)e. f(x,y) = xy+z2 , di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3)Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah inia. f(x,y) = x3 y5 , P(2, 1)b. f(x,y) = ey sin x , P(5/6,0)c. f(x,y) = 4x3y2 , P(1,1)d. f(x,y) = 1x2y2 , P(1,2)



*Latihan (lanjutan)Misal.TentukansehinggaJika,TentukansehinggaDiketahuijikajikadana. Tentukan fx(1,2) dan fy(1,2)b. Tentukan turunan berarah f di (1,2) dalam arah ke (0,0)



*Bidang SinggungDefinisi: Misalkan suatu permukaan S mempunyai persamaan F(x,y,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik Po(a,b,c) adalah sebuah bidang yang melalui Po dan tegak lurus pada Teorema:Untuk permukaan F(x, y, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah :

Fx(a,b,c) (xa) + Fy(a,b,c) (yb) + Fz(a,b,c) (zc) = 0

Jika permukaan z = f(x, y) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah :

z f(a,b) = fx(a,b) (x a) + fy(a,b) (y b)



*Contoh1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normalpermukaan x2 + y2 + 2z2 = 23 di titik (1, 2, 3)Jawab: Misalkan F(x,y,z) = x2 + y2 + 2z2Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah2(x 1) + 4(y - 2) + 12 (z 3) = 0 2x + 4y + 12 z = 46



*Contoh (Lanjutan)Jadi persamaan parameter garis normal adalahx = 1+2t, y = 2 + 4t , z = 3 + 12 tAtau bisa ditulis persamaan simetri garis normal



*Contoh2. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normalpermukaan z = f(x,y)=x2+2xy-3xy2 +2 di titik (1, 2, -5)Jawab:Jadi persamaan bidang singgung di (1, 2, 3) adalah(z + 5) = 6(x 1) 10(y 2) 6x + 10y + z = 21



*ContohJadi persamaan parameter garis normal adalahx = 1+6t, y = 2 + 10t , z = 5 + tAtau bisa ditulis persamaan simetri garis normal



*Latihan1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normalpermukaana. x2 + y2 3z = 2 di titik (-1, -4, 6)b. y = ex cos z di titik (1, e, 0)c. x1/2 + y1/2 + z1/2 = 4 di titik (4, 1, 1)d. z= 2e3y cos 2x di titik (/3, 0, -1)2. Tentukan semua titik pada permukaan z=x22xyy28x+4y dimana bidang singgungnya mendatar3. Perlihatkan bahwa permukaan x2+4y+z2=0 dan x2+y2+z2 6z+7 =0 saling menyinggung di titik (0, -1,2). yaitu perlihatkan bidang singgungnya sama4. Tentukan sebuah titik pada permukaan x2+2y2+3z2=12 di mana bidang singgungnya tegak lurus garis dengan persamaan parameter: x=1+2t, y=3+8t, z=2 6t



*Maksimum dan Minimum Fungsi Dua PeubahDefinisiMisalkan (x0,y0) Df, makaf(x0,y0) adalah nilai maksimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0) f(x,y), (x,y) Df f(x0,y0) adalah nilai minimum global dari f pada Df, jika f(x0,y0) f(x,y), (x,y) Df f(x0,y0) adalah nilai ekstrim global dari f pada Df, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global.Definisi yang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N S, dengan N suatu daerah di sekitar (x0, y0).



*Di mana nilai ekstrim muncul?Titik di mana kemungkinan terjadinya nilai ekstrim disebut titik kritis

Titik Kritis ada 3 (tiga), yaituTitik-titik batas DfTitik StasionerTitik Singular



*Uji Nilai EkstrimUntuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, yaitu:Misalkan f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua yang kontinu di sekitar (x0,y0), danmaka1. f(x0,y0) nilai maksimum lokal jika D>0 dan2. f(x0,y0) nilai minimum lokal jika D>0 dan3. f(x0,y0) titik pelana jika D


*Contoh1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya, darif(x,y) = 2x4x2+3y2Jawabfx(x,y) = 8x3 2xfy(x,y) = 6yfxx(x,y) = 24x2 2fyy(x,y) = 6fxy(x,y) = 0Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu8x3 2x=02x (4x2 1)=0x=0 , x = 6y =0y = 0Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0), (, 0) dan (-,0)



*Contoh (lanjutan)Mengenai jenis titik kritisnya, bisa dilihat pada tabel berikut:Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (,0) dan (-,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana.

fxxfyyfxyDKeterangan(0,0) 26012Titik pelana(, 0)46024Titik Minimum(-, 0)46024Titik Minimum



*Contoh2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, darif(x,y) =x2y2+1 pada S={(x,y)| x2 + y2 1}Jawabfx(x,y) = 2xfy(x,y) = 2yfxx(x,y) = 2fyy(x,y) = 2fxy(x,y) = 0Titik kritisnya diperoleh dengan menyelesaikan persamaan fx(x,y) = 0 dan fy(x,y)=0, yaitu didapat (0,0)Jadi titik-titik kritisnya adalah (0, 0)( terletak di dalam S), sedangkan jenisnya titik pelana (nilai D < 0)Untuk titik-titik batasnya, misalkan x=cos t dan y=sint(karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapatf(t)=cos2 t sin2t+1(untuk mencari maks/min dari f(x,y) pada S)



*Contoh (lanjutan)Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, yaitu:f(t)=2 cos t sint 2 sint cost = 04 cos t sint= 0sin2t= 02t= 0, , 2, 3t= 0, /2, , 3/2Untuk t = 0 x = 1, y = 0f(1, 0) = 2Untuk t = /2 x = 0, y = 1f(0, 1) = 0Untuk t = x = -1, y = 0f(-1, 0) = 2Untuk t = 3/2 x = 0, y = -1f(0, -1) = 0Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1)



*Latihan1. Tentukan titik ekstrim dan jenisnya, daria. f(x,y) = x3+y3-6xyb. f(x,y) = xy2 6 x2 6y2c. f(x,y) = x2 +4 y2 2x+8y 1d. f(x,y) = 3x3 +y2 9x + 4y2. Tentukan titik ekstrim global dan jenisnya, daria. f(x,y) =x26x+y28y+7 pada S={(x,y)| x2 + y2 1}b. f(x,y) =3x+4y pada S={(x,y)| 0 x 1, 1 y 1}



*g (x, y) = 0Metode LagrangeUntuk mencari nilai ektrim terkendalaMisalkan z =f(x,y) dengan kendala g(x,y) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala g.Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi f (x,y) = 9 x2 y2 berikut : Untuk memaksimumkan f thd kendala g(x,y) =0 sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (x, y) = k dengan fungsi kendala g (x, y) = 0 sehingga diperoleh k f (x, y) untuk setiap x, y Df sepanjang g (x, y) = 0 Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung garis tegak lurusnya sama karena kurva ketinggian dan kurva kendalamaka



*Metode LagrangeUntuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0, selesaikan dengan (x0,y0) titik kritis, pengali langrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f(x0,y0) terhadap kendala g(x0,y0)=0 dan h(x0,y0)=0, selesaikan dengan (x0,y0) titik kritis, pengali langrange , g(x0,y0)=0, h(x0,y0)=0



*ContohGunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari1. f(x,y)= x2 y2 + 1 pada lingkaran x2+y2=1Jawab:Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaanlagrange berikutdanyaitu:2x = 2x .(1) 2y = 2y .(2)x2+y2 = 1 ..(3)



*Contoh (lanjutan)Dari persamaan (3), nilai x dan y tidak mungkin sama-sama nol, sehinggaUntuk x 0, dari (1) di dapat = 1, kemudian dari (2)di dapat y = 0, dan dari (3) di dapat x2=1 x = 1 Untuk y 0, dari (2) di dapat = -1, kemudian dari (1)di dapat x = 0, dan dari (3) di dapat y2=1 y = 1 Titik-titik kritis yaitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1)f(1, 0) = 2,Untuk (1,0)f(-1, 0) = 2untuk (-1,0)f(0, 1) = 0,Untuk (0,1)f(0,-1) = 0untuk (0,-1)Jadi nilai maksimum global = 2 pada titik (1,0) dan (-1,0),Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1)



*Contoh2. f(x,y,z)= x + 2y+3z pada elips yang merupakan perpotongan x2+y2=2 dan bidang y + z = 1Jawab:Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaanlagrange berikut,yaitu:1 = 2x .(1)2 = 2y + .(2)x2+y2 = 2 ....(4)dany + z = 1 ....(4)3 = .(3)



*Contoh (lanjutan)Dari (1), x = 1/(2), dari (2) dan (3), y = -1/(2). Jadi dari (4), didapat = .Untuk = , didapatkan titik kritis (1, -1, 2).Untuk = -, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0).Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,2),Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0)



*LatihanGunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun darif(x,y) = x2 + y2 pada kendala g(x,y)= xy 3 = 0f(x,y) = xy pada lingkaran x2 + y2 = 1f(x,y) = 4x2 4xy+ y2 pada kendala x2+y2 = 1f(x,y) = x2+y2+z2 pada kendala x + 3y 2z = 12


fungsi dua peubah

Documents