peubah acak kontinu

26
Peubah Acak Kontinu

Upload: edmund

Post on 21-Jan-2016

237 views

Category:

Documents


5 download

DESCRIPTION

Peubah Acak Kontinu. Peubah Acak X dikatakan peubah acak kontinu bila terdapat fungsi nonnegatif f, yang terdefinisi pada semua bilangan nyata x  (-  ,  ), mempunyai sifat bahwa untuk setiap himpunan bilangan nyata B, P(X  B) = - PowerPoint PPT Presentation

TRANSCRIPT

Page 1: Peubah Acak Kontinu

Peubah Acak Kontinu

Page 2: Peubah Acak Kontinu

• Peubah Acak X dikatakan peubah acak kontinu bila terdapat fungsi nonnegatif f, yang terdefinisi pada semua bilangan nyata x (-,), mempunyai sifat bahwa untuk setiap himpunan bilangan nyata B,P(XB) =

• Fungsi f dikatakan fungsi kepekatan peluang peubah acak X dan f harus memenuhiP{X ( -, )} = =1

B

dxxf )(

dxxf )(

Page 3: Peubah Acak Kontinu

• Semua statemen peluang tentang X dapat dinyatakan dalam term f. Misalkan B = [a,b]maka

P{a X b}= • Jika a = b maka

P{X=a} = =0• Untuk peubah acak kontinu

P{X < a} = P {X a} =

ba dxxf )(

a

adxxf )(

adxxf )(

Page 4: Peubah Acak Kontinu

Contoh

1. Misalkan bahwa X adalah peubah acak yang kontinu dengan fungsi kepekatan peluang

a. berapa nilai C ?b. Hitung P{X > 1}

selainnya

xxxCxf

0

2024()(

2

Page 5: Peubah Acak Kontinu

2. Banyaknya waktu, dalam jam, fungsi komputer sebelum rusak adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang

a. Berapa peluang bahwa komputer akan berfungsi antara 50 sampai 150 jam sebelum rusak?

b. berapa peluang bahwa komputer akan berfungsi kurang dari 100 jam

00

0)(

100/

x

xexf

x

Page 6: Peubah Acak Kontinu

Peubah Acak Kontinu Khusus

1. Peubah Acak Seragam (Uniform)Peubah acak X dikatakan menyebar secara seragam pada interval (0,1) jika fungsi kepekatan peluangnya adalah

selainnya

xxf

0

101)(

Page 7: Peubah Acak Kontinu

Sehingga, misalkan untuk 0<a<b<1

Secara umum, kita katakan bahwa X peubah acak seragam pada interval (,) jika fungsi kepekatan peluangnya adalah

b

aabxdxfbXaP )()(}{

selainnya

xxf

0

1)(

Page 8: Peubah Acak Kontinu

Fungsi sebaran peubah acak seragam pada interval (,) adalah

a

aa

a

aF

1

0

)(

Page 9: Peubah Acak Kontinu

• Contoh • 1. Jika X menyebar secara seragam pada

(0,10), hitung peluang• a. X < 3• b. X > 6• c. 3 < X < 8

Page 10: Peubah Acak Kontinu

2. Bus - bus datang di pemberhentian bus tertentu pada interval 15 menit dimulai dari pukul 7.00 pagi. Jadi bus – bus tersebut berhenti pada pukul 7, 7:15, 7:30, 7:45 dan seterusnya. Jika penumpang datang pada pemberhentian pada suatu waktu yang menyebar seragam antara 7:00 dan 7:30, hitung peluang bahwa dia menunggu a. kurang dari 5 menit untuk sebuah bus b. lebih dari 10 menit untuk sebuah bus

Page 11: Peubah Acak Kontinu

2. Peubah Acak Normal

Peubah acak X dikatakan peubah acak Normal dengan parameter dan 2 jika fungsi kepekatan peluang X adalah

- < x < 22 2/)(

2

1)(

xexf

Page 12: Peubah Acak Kontinu

Fungsi kepekatan peluang adalah kurva berbentuk genta yang simetrik pada .

Nilai dan 2 merepresentasikan nilai rata – rata dan variasi atau keragaman yang mungkin dari X.

Beberapa contoh yang mengikuti sebaran normal antara lain tinggi manusia, kecapatan molekul pada gas, dan kesalahan yang dibuat dalam pengukuran kuantitas fisik

Page 13: Peubah Acak Kontinu

• Fakta penting dari pebah acak normal adalah jika X menyebar normal dengan parameter dan 2 maka Y = X + menyebar normal dengan parameter + dan 22.

• Implikasinya bila X menyebar normal dengan parameter dan 2 maka Z = (X - )/

menyebar normal dengan parameter 0 dan 1. • Peubah acak Z dinamakan peubah acak

normal baku

Page 14: Peubah Acak Kontinu

Fungsi sebaran kumulatif dari peubah acak normal baku dilambangkan dengan (x) dimana

(x) =

Nilai dari (x) telah ditabelkan

=

dyex

y

2/2

2

1

Page 15: Peubah Acak Kontinu

Contoh :1. Jika X adalah peubah acak normal dengan

parameter = 3 dan 2 = 9. Hitung a. P{2<X<5}b. P{X>0}

Page 16: Peubah Acak Kontinu

2. Suatu ujian dikatakan baik apabila nilai dari hasil ujian dapat didekati dengan fungsi kepekatan peluang normal. Instruktur seringkali menggunakan nilai hasil ujian untuk menduga parameter normal dan 2 kemudian memberi nilai A untuk nilai yang lebih dari +, B untuk nilai antara dan +, C untuk nilai antara - dan , D untuk nilai antara - 2 dan - , dan E untuk nilai di bawah - 2. Berapa persen yang akan mendapat nilai A, B, C, D dan E.

Page 17: Peubah Acak Kontinu

3. Peubah Acak Eksponensial

Peubah acak kontinu yang memiliki fungsi kepekatan peluang

dikatakan peubah acak eksponensial dengan parameter .

Fungsi sebaran kumulatif dari peubah acak eksponensial adalah :

00

0)(

x

xexf

x

a

xdxeaXPaF0

)(

Page 18: Peubah Acak Kontinu

Contoh :

• Misalkan bahwa lama panggilan telepon dalam menit adalah peubah acak eksponensial dengan parameter =1/10. Jika seseorang datang secara tiba – tiba pada wartel, hitung peluang bahwa dia akan menunggua. lebih dari 10 menitb. antara 10 sampai 20 menit

Page 19: Peubah Acak Kontinu

Soal -soal

1. X adalah peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang

a. berapa nilai cb. bagaimana fungsi sebaran kumulatif dari X?

selainnya

xxcxf

0

11)1()(

2

Page 20: Peubah Acak Kontinu

2. Suatu sistem dengan satu unit yang original dan satu spare partnya dapat berfungsi selama X yang acak. Jika fungsi kepekatan X diberikan (dalam bulan) oleh

berapa peluang bahwa sistem akan berfungsi paling tidak 5 bulan

00

0)(

2/

x

xcxexf

x

Page 21: Peubah Acak Kontinu

3. Fungsi kepekatan peluang dari X, waktu hidup dari alat elektronik tertentu (dalam jam) diberikan persamaan berikut

a. Hitung P{X>20}b. Cari fungsi sebaran kumulatif dari X

100

1010

)( 2

x

xxxf

Page 22: Peubah Acak Kontinu

4. Misalkan tinggi laki – laki dalam kelas tertentu adalah peubah acak normal dengan parameter = 71 inchi dan 2=6,25. Berapa persen dari laki – laki dalam kelas tersebut yang mempunyai tinggi lebih dari 6,2 inchi? Berapa persen yang lebih dari 6,5 inchi?

Page 23: Peubah Acak Kontinu

5. Waktu (dalam jam ) yang diperlukan untuk memperbaiki mesin adalah peubah acak eksponensial dengan parameter =1/2.a. Berapa peluang bahwa waktu perbaikan lebih dari 2 jam?b. Berapa peluang bersyarat bahwa perbaikan membutuhkan waktu minimal 10 jam bila diketahui bahwa durasi perbaikan melebihi 9 jam?

Page 24: Peubah Acak Kontinu

6. Misalkan X mempunyai fungsi kepekatan peluang sebagai berikut

a. Carilah cb. Carilah F(x)c. Gambarkan f(x) dan F(x)

selainnya

xcx

x

xf

0

102.0

012.0

)(

Page 25: Peubah Acak Kontinu

d. Gunakan F(x) dari (b) untuk mencari F(-1), F(0) dan F(1)e. Hitung P(0 ≤ X ≤ 0.5

7. Bila Z adalah peubah acak normal baku, hitunglaha. P(0 ≤ Z ≤ 1.2)b. P(-0.9 ≤ Z ≤ 0.1)c. P(0.35 ≤ Z ≤ 1.66)d. P(-0.3 ≤ Z ≤ 0.3)

Page 26: Peubah Acak Kontinu

8. Carilah nilai z, bila a. P(Z > z) = 0.5 c. P(Z > z) = 0.90b. P(Z > z) = 0.8643 d. P(Z > z) = 0.99