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Corso di

GEOLOGIA STRUTTURALEDocente: Antonio Funedda

Cenni di Meccanica delle rocce:

LO SFORZO

(STRESS)

CORSO DI LAUREA IN SCIENZE GEOLOGICHE

A.A. 2018-2019

STRESS = SFORZO

Motivi per studiare lo stress:•In ambito minerario e , progettazione di gallerie e scavi a cielo aperto.

•Nella costruzione di dighe, per definire gli sforzi prima durante e dopo la

costruzione.

•Nell'industria petrolifera e geotermica, incremento della produttività di un

giacimento.

•Comprensione del movimento delle Placche litosferiche.

•Perché, dove e quando avverranno dei terremoti.

Lo Stress è la causa della deformazione che viene indotta in una roccia

Geologia Strutturale Dipartimento di Scienze chimiche e geologiche - Cagliari

da Fossen, 2010

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Dipartimento di Scienze chimiche e geologiche - CagliariGeologia Strutturale LO SFORZO

Nelle rocce agiscono due tipi diversi di forze:

Forze di campo (o di volume) che agiscono all'interno del volume della roccia e dipendonoanche dalla distanza e dalla quantità di materia interessata (in pratica dalla sua massa).In geologia la forza di campo più importante è la gravità F=mg (dove m = massa e g =accelerazione di gravità). Ad esempio una colonna di roccia di area A ed altezza h, conpeso di volume r è soggetta ad una Forza di gravità Fg = A h r g.

Anche la Forza di Archimede è una forza di campo, che però in questo caso agisce versol'alto, in direzione opposta alla Forza di gravità.

Forze di superficie che agiscono sulle superfici che delimitano i volumi di roccia che consideriamo, sia reali che virtuali.

Immaginiamo che la colonna sopra detta sia un cubo con volume di 1 m3.

h = 1 m

A = 1m2

r = 2,7 kg/m3

g = 9,8 m/s2

Pa = pressione atmosferica

Pl = pressione litostatica

h=1m

Pa = 9.700 kg

Pl = 12.400 kg

Esiste una stretta relazione tra forze di campo e forze di superficie.

Dipartimento di Scienze chimiche e geologiche - CagliariGeologia Strutturale LO SFORZO

Stress (= Sforzo) è dato dal

rapporto tra una forza e la sua

superficie di applicazione,

entrambi considerati come

grandezze vettoriali.

Lo stress s va quindi considerato come una Forza di superficie, ma non va confuso con la Forza (F = ma) o con la Pressione (F/s).

s = F/ss = F/A

ss'=A/cosq

s = F/A cosq

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STRESS = SFORZO Dipartimento di Scienze chimiche e geologiche - CagliariGeologia Strutturale

A

Fs

Se la forza F non è distribuita in maniera uniformesull'area, ma cambia direzione e/o intensità da punto a

punto, anche lo sforzo s sarà variabile da punto a punto epuò essere definita come:

A

F

0lims ovv.

dA

dFs

Se la forza è uniformemente distribuita su un'area lo sforzo sulla superficie sarà:

Una vista più generalizzata di forze non uniformi che agiscono su un piano mette in evidenza che sia il modulo che la direzione del vettore forza possono variare da un punto all'altro del piano.

Vettori Forza (F) che agiscono su vari piccoli segmenti (A) del piano P disegnato attraverso un affioramento. F varia da punto a punto a causa del diverso spessore della roccia sulle diverse parti del piano P.

Da un punto di vista matematico lo stress va definito come un Tensore.

(Tensore = una grandezza matematica utilizzabile per descrivere lo stato o le proprietà fisiche di

un materiale. Esistono diversi gradi di un tensore, il grado indica quanti componenti scalari

sono necessari per descriverlo. Il numero di tali componenti (c) è uguale alle dimensioni fisiche

(d) elevato la potenza (r) => c=d r . Per esempio in uno spazio tridimensionale (d=3) uno scalare

è un tensore di grado 0 (r=0) e quindi ha solo un componente per definirlo (30=1). E' il caso

della temperatura, del volume ecc. Sono quantità invarianti al variare delle coordinate e

definite dalla loro stessa grandezza.

Un vettore è invece un tensore di 1°grado, che perciò sono definiti da 3 componenti (31=3). E' il

caso di forza, velocità, accelerazione. Il loro valore cambia al cambiare delle coordinate.

Un tensore di 2° grado in uno spazio tridimensionale ha 32=9 componenti, in geologia ad es.

stress e strain. Sono usati per descrivere quantità fisiche che sono associate con due direzioni.

Nel caso dello stress le due direzioni associate con ciascun componente sono l'orientazione

della retta normale al piano su cui agisce la componente dello stress e l'orientazione della

componente dello stress agente su quel piano.)

TENSORE

Dipartimento di Scienze chimiche e geologiche - CagliariGeologia Strutturale

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STRESS = SFORZO

L'unità di misura dello SFORZO è il Pascal


Pam

N

m

s

mkg

A

ma

22

2

s

1 N è la forza su una superfice della Terra dovuta ad una massa di 102 g.

Componenti dello sforzo

Convenzioni di rappresentazione dello sforzo

STRESS = SFORZO Dipartimento di Scienze chimiche e geologiche - CagliariGeologia Strutturale

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Analisi bidimensionale dello sforzo su un piano: sforzo uniassiale

'' ss

Fs

Lo sforzo e la sua distribuzione in un corpo è ovviamente un problema in tre dimensioni. Per

semplicità spesso questo viene affrontato analizzando solo due dimensioni, (in parti geologia,

molti problemi possono essere risolti in due dimensioni).

Quindi partendo dalle considerazioni in 3 dimensioni (ad esempio un cubo di dimensioni

infinitesime e con spigoli paralleli ai tre assi del sistema di riferimento) analizziamo la

distribuzione delle componenti dello sforzo su un piano in esso contenuto.

qcos''

Ass Ass

'ss

Ftt s

'ss

Fnn s


Analisi bidimensionale dello sforzo su un piano: stress uniassiale

Considerando le componenti dello sforzo, come indicato nei diagrammi, avremo che:

Valori della componente di taglio dello sforzo:q= 0° e 90° st = 0,q= 45° st = max

qsq

q

qs 22 coscos

cos

cos nn

A

F

A

F

qqsqq

q

qs coscos

cos

sensenA

F

A

Fsentt

qcosFFn

qFsenFt

qcos'

Ass

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Animations made by H. Fossen as a resource to Fossen 2016, Structural Geology, Cambridge Univ. Press. Free for non-commercial use


Analisi bidimensionale dello sforzo su un piano: stress uniassiale

qs 2cosn

qqs cossent

1. Non si può confondere F e σ

2. E' lo σt che provoca la fratturazione con scorrimento

3. FN e Ft variano in maniera diversa da σN e σt

4. In realtà un σt massimo a 45° è un caso teorico, in genere

avviene per angoli più vicini a 30°, in quanto non si hanno in natura

materiali ideali.


Analisi bidimensionale dello sforzo su un piano:sforzo uniassiale

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stress normale

stress di taglio

stress di taglio

Le componenti dello Sforzo in un punto

Per definire lo sforzo su un singolo punto partiamo considerando lo sforzo agente su un piano qualsiasi:"Il carico su una superficie qualunque causato da una forza applicata è funzione della forza e

dell'area e dell'inclinazione della superficie". Lo sforzo qualunque si risolve sulla superficie come due vettori con una componente normale sned una componente st che si distribuisce sul piano.

Per considerare lo sforzo su un punto immaginiamo di ridurlo a dimensione infinitesima, ad un punto, perché per un punto passano infiniti piani.


Rappresentazione geometrica dello Sforzo in un puntoDipartimento di Scienze chimiche e geologiche - CagliariGeologia Strutturale

Lo stato dello sforzo in un punto può essere rappresentato geometricamente disegnando i

vettori che rappresentano gli sforzi che agiscono su ogni piano passante per il punto dato.

Le estremità di questi vettori disegnano un ellissoide (od una ellisse nel caso di analisi

bidimensionale).

da Fossen, 2016

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Ellissoide dello sforzo, dove l'asse maggiore

dell'ellissoide corrisponde a s1, l'asse intermedio a

s2 e l'asse minore a s3.

Rappresentazione geometrica dello Sforzo in un puntoDipartimento di Scienze chimiche e geologiche - CagliariGeologia Strutturale

Lo stato dello sforzo in un punto può essere rappresentato geometricamente disegnando ivettori che rappresentano gli sforzi che agiscono su ogni piano passante per il punto dato.Le estremità di questi vettori disegnano un ellissoide (od una ellisse nel caso di analisibidimensionale).

s1 > s2 > s3

s 1 , s 2 e s 3 : sforzi principali

piani ortogonali agli sforzi principali: piani principali

In un corpo sottoposto a sforzo le sole tre superfici su cui le componenti ditaglio dello sforzo sono nulle sono le superfici rispettivamente ortogonali eparallele agli assi dell'ellisse dello sforzo, cioè i piani principali.

L’ellissoide dello sforzo e la sua orientazione indica lo stato dello sforzo in un punto nella roccia o nel volume di roccia considerato, in cui lo sforzo è omogeneo.

Consideriamo ora il punto come se fosse un cubo. Invece di infiniti piani consideriamo solo i tre principali.Per descrivere lo sforzo in 3 dimensioni abbiamo bisogno di almeno 9 vettori di cui 3 sono forze normali al piano e 6 sono forze di taglio che si dispongono parallelamente agli spigoli del cubo.

Le componenti dello Sforzo in un punto

Nella notazioni a pedice il primo termine identifica il

piano indicandone il suo normale ed il secondo termine

mostra a quale asse è parallelo il vettore. Perciò i termine

con i due pedici uguali identificano le componenti

perpendicolari alla faccia (sforzo normale) mentre le altre

indicano le componenti parallele (sforzo di taglio)

Le componenti di taglio dello sforzo con pedici opposti tendono a far ruotare il cubo attorno ad uno degli assi del sistema, ammettendo che il cubo sia in equilibrio e

quindi non stia ruotando (ad es.: s12 = s21 ecc. ) le componenti indipendenti dello sforzo sono 6 e non 9.


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In pratica ne derivano le seguenti condizioni:

•In ogni campo di sforzo esistono 3 piani su cui non si hanno sforzi di taglio

•Questi 3 piani sono i Piani principali dello sforzo

•Le loro normali e le loro intersezioni sono gli Assi principali dello sforzo

•Gli stress ad essi paralleli sono gli Sforzi principali s1, s2 e s3

•Per convenzione gli sforzi compressivi sono positivi e quelli tensili sono negativi (in

ingegneria è il contrario) e inoltre s1 > s2 > s3.

In questo modo ho definito il campo di stress con solo 3 vettori individuando 3 piani perpendicolari tra loro dove le componenti di taglio sono nulle.

Ridefinendo le coordinate cartesiane del nostro sistemaparallele agli sforzo normali in modo che le componenti ditaglio dello sforzo siano nulle posso riscrivere la matrice così:

Le componenti dello Sforzo in un puntoDipartimento di Scienze chimiche e geologiche - CagliariGeologia Strutturale

può essere considerato come un s. idrostatico e che quindi può originare solo variazioni di volume.

Pressione idrostatica uguale sia allo sforzo medio che al peso della colonna di fluidi nei pori della roccia e quando tutti gli sforzi principali sono uguali.

Pressione litostatica data dal peso della colonna di roccia sovrastante: Pl = ρ g h. ad es: 2700 kg/m3 x 9,8m/s2 x 3000 m => 2700x9,8x3000 = 79,4 106 Pa (80 MPa = 0,8 kbar)

E’ importante nella formazione delle fratture, in genere un stress differenziale molto altofavorisce la fratturazione delle rocce.

Sforzo mediosi intende la media dei tre stress principali:

Sforzo differenzialesi intende la differenza tra lo sforzo principale massimo e lo sforzo principale minimo.

3

321 ssss

31 sss d

Definizioni dello Sforzo Dipartimento di Scienze chimiche e geologiche - CagliariGeologia Strutturale

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In pratica lo sforzo deviatorico σ’ è quella parte di sforzo indotto che non si distribuisce uniformemente e che invece produce distorsioni all'interno del corpo sul quale agisce. E‘ in genere molto inferiore al carico litostatico.

Sforzo deviatoricosi intende la differenza tra stress totale e stress medio: 3

321 sssssss


Lithostatic stress


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Stress extensional regime


Stress contractional regime


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Cerchio di Mohr Dipartimento di Scienze chimiche e geologiche - CagliariGeologia Strutturale

Le componenti dello stress possono esserefacilmente rappresentate graficamente, conla costruzione del Cerchio di Mohr.Praticamente traccio un cerchio la cuidistanza dall'origine del nostro sistema diriferimento è lo sforzo medio, in cuisull'asse delle ascisse rappresento lacomponente normale dello stress e suquello delle ordinate la componete ditaglio.L'intersezione della circonferenza con l'assedelle ascisse indica il σ1 ed il σ3.Per sapere quanto sono le componentinormale e di taglio di uno stress applicatosu una superficie inclinata di un angolo θ da Fossen, 2016

sarà sufficiente tracciare a partire dal centro del nostro cerchio di Mohr una retta avente angolo a = 2θ. Le coordinate della sua intersezione con il cerchio di Mohr ci daranno il valore della componente di taglio sull'asse delle ordinate e della componente normale sull'asse delle ascisse.E’ un metodo pratico che ci permette di determinare quanta componente normale σN e di taglio σt c’è su una superficie sulla quale è applicato un dato stress.


i) Gli assi del cerchio rappresentano i valori delle componenti dello sforzo.

ii) Ogni punto sul cerchio di Mohr rappresenta lo sforzo su un piano di inclinazione θ rispetto a σ1. L’interocerchio è una rappresentazione bidimensionale dello sforzo in un punto, per qualsiasi piano che passi peresso.iii) I valori massimo e minimo dello sforzo normale sono definiti dall'intersezione del cerchio di Mohr conl'asse . Questi due punti sono gli unici valori dello sforzo sul cerchio di Mohr per i quali lo sforzo di taglio ènullo.iv) Gli angoli misurati nello spazio fisico vengono raddoppiati nel cerchio di Mohr.

v) σt è massimo per 2θ= 90°, o per σt = 45°

Caratteristiche del cerchio di Mohr:

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Gli angoli misurati nello spazio fisico vengono raddoppiati nel cerchio di Mohr. I piani rappresentati dai punti 2 e 3 sono due piani tra loro ortogonali che hanno la stessa componente normale σn ma diversa componente di taglio σt. I piani 1 e 3 hanno lo stesso σt ma diverso σn.

da Fossen, 2016

Casi particolari dello sforzo

Sforzo uniassiale s1 > 0; s3 = s3 0

Sforzo biassiale con uno degli sforzi principali = 0 (es. s1 > 0 > s3)

Sforzo triassiale s1 > s2 > s3 0


Questi possono essere graficamente rappresentati tramite il cerchio di Mohr

da Fossen, 2016

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Misura dello sforzo Dipartimento di Scienze chimiche e geologiche - CagliariGeologia Strutturale

Lo sforzo che agisce sulle rocce non può essere osservato direttamente, solo l’effetto in forma di deformazione reversibile (elastica) o permanente.Rocce diverse reagiscono diversamente allo sforzo applicato (vedi reologia).



La forma del foro può dare indicazione sull’orientazione delcampo dello stress le zone allungate indicano la direzionedella componente minore dello sforzo orizzontale.Considerazioni simili si possono fare osservando le sezionidelle gallerie.

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Viene estratto un campione dal fondo del foro,misurato e quindi lasciato espandere. Il cambio diforma dovrebbe essere funzione del dello stresscompressivo, ma dipende dalle proprietà meccanicadella roccia.Si può anche inserire una misuratore all’interno di unforo pilota ricavato a fondo foro ( a bassa profondità)prima di eralizzare un foro più largo.

Dipartimento di Scienze chimiche e geologiche - CagliariGeologia Strutturale Misura dello sforzo Dipartimento di Scienze chimiche e geologiche - CagliariGeologia Strutturale

Lo sforzo può essere misurato solo fino a circa 9 km di profondità (idrofratturazione in foro in Germania). I dati per profondità maggiori sono inaccurati.

Dalle strutture geologiche attive sipuò ricostruire il campo degli sforziattuale. Scarpate di faglie attive,pieghe, giunti di estensione,allineamento di crateri vulcanici,ecc.

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Orientazione del campo degli sforzi in un fiordo. La variazione è dovuta alla diversa orientazione della superficie topografica.

Deviazione dell'orientazione del campo degli sforzi a causa della presenza di una struttura (una faglia) che ha prodotto una zona di debolezza rispetto alle rocce circostanti. L'effetto è simile a quello di una superficie libera

Elementi che influenzano lo stato dello stress


da Fossen, 2010

da Fossen, 2010

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