1

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska

Wykład 1.

Literatura

1. Gewert M., Skoczylas Z.: Analiza matematyczna 1, Oficyna Wydawnicza „GiS”, Wrocław, 2011.

2. Jurlewicz T., Skoczylas Z.: Algebra liniowa 1, Oficyna Wydawnicza „GiS”, Wrocław, 2007.

3. Krysicki W., Włodarski L.: Analiza matematyczna z zadaniach 1 i 2, Wydawnictwo Naukowe

PWN, Warszawa, 2008.

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

1. Funkcje liniowe

Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci

y=f(x)=ax+b,

gdzie a, b - są danymi liczbami zwanymi odpowiednio: a - współczynnik kierunkowy, b - wyraz wolny.

Dziedziną funkcji jest zbiór R, wykresem - linia prosta równoległa do osi OX, gdy 0 = a, albo

przecinająca oś OX , gdy . 0 ≠ a.

Współczynnik kierunkowy a prostej jest równy tangensowi kąta α - kąta nachylenia prostej do osi

OX. Wyraz wolny b jest rzędną punktu przecięcia się wykresu z osią OY (rys.1)

Rys.1

Przykład 1. Naszkicować wykres funkcji: a) y = 2 , b) y = 2x -4.

Inne własności funkcji liniowej

2

1. Funkcja liniowa jest monotoniczna w całej swojej dziedzinie: rosnąca gdy , malejąca gdy a>0a<0 i stała

gdy . 0=a

2. Funkcja liniowa niestała przyjmuje każdą wartość rzeczywistą.

3. Funkcja liniowa niestała rozpatrywana w przedziale domkniętym osiąga wartość najmniejszą na jednym,

a wartość największą na drugim końcu przedziału.

4. Jeżeli funkcja jest liniowa, to przyrost wartości funkcji jest proporcjonalny do przyrostu jej argumentu.

Także na odwrót: Jeżeli dziedziną funkcji jest R i przyrost wartości funkcji jest proporcjonalny do

przyrostu jej argumentu, to funkcja jest liniowa. Współczynnik proporcjonalności wynosi wtedy a.

2. Funkcje kwadratowe

Funkcją kwadratową (trójmianem kwadratowym) nazywamy funkcję określoną wzorem

2 ,y ax bx c

gdzie a≠0,b, c są danymi liczbami.

Dziedziną funkcji jest zbiór R. Wykresem trójmianu kwadratowego jest parabola, której ramiona

(gałęzie) skierowane są w dół, jeżeli a>0, oraz skierowane w górę, jeżeli a<0. Osią symetrii paraboli jest

prosta równoległa do osi OY i przechodząca przez wierzchołek W , który ma współrzędne ,2

w

bx

a

( ) ,4

w wy f xa

gdzie

2 4b ac oznacza wyróżnik trójmianu . Parabola przecina oś OY w punkcie

o rzędnej c (rys.5).

Położenie paraboli względem osi OX , związane jest z liczbą rozwiązań równania 2 0ax bx c i

zależy od wyróżnika Δ :

1. Gdy Δ>0 parabola przecina oś w punktach o odciętych stanowiących pierwiastki tego równania:

1 2, .2 2

b bx x

a a

Trójmian kwadratowy można wtedy przedstawić w tzw. postaci

iloczynowej: 1 2( )( ).y a x x x x

3

2. Gdy Δ=0 parabola dotyka swoim wierzchołkiem oś w punkcie o odciętej 0 ,2

bx

a

stanowiącej tzw.

pierwiastek podwójny równania. Postacią iloczynową trójmianu jest wtedy: 2

0( ) .y a x x

3. Gdy Δ<0 parabola nie przecina osi, a równanie nie ma pierwiastków.

Przykład 2. Naszkicować wykresy funkcji:

a) 22 4 6y x x , b)

2 2 1y x x , c) 2 4 5y x x .

Przykład 3. Podać postać iloczynową trójmianów: a) 22 8 6y x x , b)

23 6 3y x x .

Przykład 4. Wyznaczyć pierwiastki równania bez obliczania wyróżnika: a) 2 4 0x x , b)

2 9 0x .

Przykład 5. Rozwiązać nierówność: a) 2 2 3 0x x ,b)

2 4 0x , c) 22 1 0x x .

3. Wielomiany

Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję określoną wzorem

1

1 1 0( ) ,n n

n ny W x a x a x a x a

gdzie n - jest daną liczbą naturalną lub zerem, 1 1 00, , , ,n na a a a - są danymi liczbami rzeczywistymi

zwanymi współczynnikami wielomianu.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór R. Każdą liczbę a, dla której W(a)=0 nazywamy pierwiastkiem

wielomianu. Wielomian stopnia n może posiadać co najwyżej n pierwiastków.

Metody wyznaczania pierwiastków wielomianu W(x) (pierwiastków równania W(x)=0)

1. Metoda sprowadzająca wielomian do postaci iloczynu czynników liniowych lub kwadratowych o Δ>0.

Wykorzystuje się w niej tzw. grupowanie wyrazów i wzory skróconego mnożenia.

2. Metoda polegająca na "odgadywaniu" pierwiastków. Powołujemy się w niej na następujące twierdzenie:

Pierwiastkami całkowitymi wielomianu o współczynnikach całkowitych mogą być jedynie dzielniki

wyrazu wolnego.

3. Metoda "kombinowana" łącząca obie powyższe i opierająca się na twierdzeniu Bezouta:

Jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to wielomian można przedstawić w postaci

W(x)=(x-a)*P(x), gdzie P(x) jest wielomianem otrzymanym przez podzielenie W(x) przez x-a.

Pozostałymi pierwiastkami wielomianu W(x) są wówczas pierwiastki wielomianu P(x).

Przykład 6. Rozwiązać równanie 3 22 2 0.x x x

Przykład 7. Rozwiązać równanie: 3 7 6 0.x x

4

Przykład 8. Znaleźć pierwiastki wielomianu 3 2( ) 3 4.W x x x

Uwaga. Jeżeli w rozkładzie wielomianu na czynniki liniowe lub kwadratowe o 0<Δ czynnik x – a występuje

dokładnie k razy, to liczbę a nazywamy pierwiastkiem k-krotnym.

Uwaga. Kolejne kroki przy szkicowaniu wykresu wielomianu niezbędnego do znalezienia rozwiązań

nierówności wielomianowych (algebraicznych):

1. Nanosimy na oś OX wszystkie pierwiastki wielomianu (zaznaczając ich krotność).

2. Przez naniesione punkty prowadzimy linię tak, aby

- przecinała ona oś w przypadku pierwiastka nieparzystej krotności,

- „dotykała” osi lecz jej nie przecinała w przypadku, gdy pierwiastek jest parzystej krotności.

- leżała w przedziale max ;x powyżej osi OX , gdy współczynnik na jest dodatni ( maxx oznacza

największy z pierwiastków) i poniżej w przeciwnym przypadku.

Przykład 9. Rozwiązać nierówność: 4 3 22 7 20 12 0x x x x .

4. Funkcje wymierne

Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci ( )

( )

P xy

Q x , gdzie P(x) i Q(x) są wielomianami.

Dziedziną funkcji jest zbiór 1 2{ , , , }kx x x , gdzie 1 2, , , kx x x są wszystkimi różnymi między

sobą pierwiastkami wielomianu Q(x).

Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest funkcja zwana funkcją homograficzną. Jest to

funkcja postaci ax b

ycx d

, gdzie a, b, c, d są danymi liczbami spełniającymi warunki: c≠0 , ad−bc≠0.

Dziedziną funkcji jest zbiór d

c

, wykresem - krzywa zwana hiperbolą, której asymptotami

są: asymptotą poziomą - prosta a

yc

(równanie to powstaje przez podzielenie współczynników stojących

przy zmiennej x), asymptotą pionową - prosta d

xc

(równanie to otrzymujemy przyrównując mianownik

do zera). Hiperbola jest symetryczna względem punktu przecięcia się asymptot (rys.6.).

5

Rys. 6.

Przykład 10. Naszkicować wykres funkcji 2 2

1

xy

x

.

5. Funkcje potęgowe

Funkcję postaci y x , gdzie 0 jest daną liczba rzeczywistą , nazywamy funkcją potęgową.

Dziedzina tej funkcji i jej własności zależą od wykładnika α. Jeżeli jest on liczbą naturalną (α=n), to

dziedziną funkcji jest zbiór R, przy tym dla n parzystych jest to funkcja parzysta, dla nieparzystych -

nieparzysta. Wykresy niektórych funkcji o wykładnikach naturalnych przedstawione zostały na rys.7.

Rys. 7.

Funkcja postaci

1

nny x x , gdzie 2n jest liczba naturalną, jest dla nieparzystych n określona w zbiorze

R, dla parzystych - tylko w przedziale 0, ) . Na rys.8. przedstawione zostały dwa wykresy funkcji tego

typu.

Rys. 8

6

6. Funkcje wykładnicze

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci xy a , gdzie a jest daną liczbą rzeczywistą spełniającą

warunek 0 1a .

Wykresy niektórych funkcji wykładniczych

przedstawione zostały na rys.9.

Rys. 9.

Dziedziną każdej funkcji wykładniczej jest zbiór R , przeciwdziedziną – przedział (0; ) . Funkcja jest

monotoniczna: rosnąca gdy a>1, malejąca gdy a<1 (jest więc funkcją różnowartościową).

Szczególnie ważną rolę w analizie matematycznej odgrywa funkcja xy e

Uwaga. Konsekwencją monotoniczności funkcji wykładniczych są następujące równoważności, które

wykorzystujemy przy rozwiązywaniu równań i nierówności wykładniczych:

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2

1,,

1.

x x x xx x dla a

a a x x a ax x dla a

Równania lub nierówności, w których niewiadoma występuje tylko w wykładniku potęgi nazywamy

wykładniczymi. Aby rozwiązać takie równanie albo nierówność należy (wystarczy):

1. Przedstawić wyrażenia po obu stronach równania lub nierówności jako potęgi o tej samej podstawie.

2. Uwolnić się od podstaw (zmieniając znak nierówności w przypadku podstawy z przedziału (0;1) .

3. Rozwiązać otrzymane równanie lub nierówność.

Przykład 11. Rozwiązać równania lub nierówności:

a) 1 23 81x , b)

3 1 33 3x , c) 4 1

22

x , d)

4 21

33

x

.

7

7. Funkcje logarytmiczne

Logarytmem liczby dodatniej b przy podstawie a, gdzie 0 1a , nazywamy wykładnik potęgi, do której

należy podnieść a, aby otrzymać b. Zatem przy powyższych założeniach

log .c

a b c a b

Przykład 12. Obliczyć wartości logarytmów: a) 2log 32 , b) 2log 2 , c) 3

1log

9, d) 1

2

log 2 2 .

Własności logarytmów

1. Każdą liczbę t można zamienić na logarytm o danej podstawie a , (0<a≠1) korzystając z zależności:

log t

at a .

2. Każdą liczbę dodatnią m można przedstawić w postaci potęgi o danej podstawie a , (0<a≠1)

loga mm a .

3. Dla dowolnych liczb dodatnich x, y i dowolnego n przy danej podstawie a, (0<a≠1) , zachodzą wzory:

) log ( ) log log , ) log log log , ) log log .b

a a a a a a a a

xa x y x y b x y c x b x

y

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci logay x , gdzie a jest daną liczbą zwaną podstawą,

spełniającą warunek 0<a≠1.

Wykresy niektórych funkcji logarytmicznych przedstawione zostały na rys.10.

Rys. 10.

Dziedziną każdej funkcji logarytmicznej jest przedział (0; ) , zbiorem wartości zbiór R. Funkcja jest

monotoniczna: rosnąca gdy a>1, malejąca gdy a<1 (w obu przypadkach jest więc różnowartościowa).

Uwaga. Konsekwencją monotoniczności funkcji logarytmicznej są następujące równoważności , zachodzące

dla dodatnich argumentów, wykorzystywane przy rozwiązywaniu równań i nierówności logarytmicznych:

1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

1,log log . log log

1.a a a a

x x dla ax x x x x x

x x dla a

8

Równania lub nierówności, w których niewiadoma występuje tylko w wyrażeniach logarytmowanych

nazywamy logarytmicznymi. Aby rozwiązać takie równanie lub nierówność należy (wystarczy):

1. Wyznaczyć dziedzinę równania lub nierówności zakładając, że wszystkie wyrażenia logarytmowane

zawierające niewiadomą są dodatnie.

2. Obie strony zapisać w postaci logarytmów o identycznych podstawach (wykorzystując własność 1.).

3. Uwolnić się od logarytmów zmieniając ewentualnie znak w przypadku nierówności i podstawy z przedziału

(0;1).

4. Rozwiązać otrzymane równanie lub nierówność, a następnie odrzucić rozwiązania nie należące do

dziedziny.

Przykład 13. Rozwiązać równania lub nierówności: a) 2log ( 2) 3x , b) 1

2

log (2 ) 2x .

Przykład 14. Wyznaczyć w postaci 1( )y f x funkcję odwrotną do ( )y f x . Naszkicować wykresy obu

funkcji: a) 2( ) 3xf x , b) 2( ) log ( 2)f x x .

8. Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne

Niech x oznacza miarę kąta skierowanego ∠TOM na płaszczyźnie TOY (rys.11.).

Rys. 11.

Funkcje trygonometryczne określamy wtedy następująco:

sin , cos , , .y t y t

x x tg x ctg xr r t y

Wykresy funkcji trygonometrycznych przedstawione zostały na rys.12.

9

Rys. 12.

Dziedziną funkcji sinus i cosinus jest zbiór R. Funkcje te są ograniczone, bowiem dla każdego x mamy:

1 sin 1x oraz 1 cos 1x .

Funkcja tangens określona jest na przedziałach 2 1 2 1

;2 2

k k

, funkcja cotangens - na przedziałach

;( 1)k k , gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą.

Funkcje trygonometryczne są okresowe. Okresem podstawowym funkcji sinus i cosinus jest liczba 2π, co

oznacza, że dla każdego x zachodzą warunki: sin( 2 ) sin , cos( 2 ) cos .x x x x

Okresem podstawowym funkcji tangens i cotangens jest liczba π. Oznacza to, że dla x pochodzących z

odpowiedniego zbioru mamy: ( ) , ( ) .tg x tg x ctg x ctg x

Funkcja cosinus jest parzysta, tzn. cos( ) cosx x dla każdego x . Pozostałe funkcje

trygonometryczne są nieparzyste, tzn. dla odpowiednich x zachodzą wzory: sin( ) sinx x ,

( )tg x tg x , ( ) .ctg x ctg x

Funkcje trygonometryczne

sin , cos( ), ( ), .y x y x y tg x y ctg x

nie są funkcjami różnowartościowymi w swoich naturalnych dziedzinach. Są jednak różnowartościowe

odpowiednio na zbiorach:

; , [0; ], ; , (0; )2 2 2 2

a ich przeciwdziedzinami są odpowiednio:

1;1 , 1;1 , , .

Dla tak zawężonych funkcji trygonometrycznych istnieją więc funkcje odwrotne. Funkcje te nazywamy

funkcjami cyklometrycznymi odpowiednio: arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens, arcus cotangens.

Mamy zatem

arcsin sin , arccos cos , , .y x x y y x x y y arctg x x tg y y arcctg x x ctg y

10

Przykład 15. Obliczyć: a) 3

arcsin2

, b) arcsin( 1) c) 1

arccos2

, d) 3arctg .

Wykresy funkcji cyklometrycznych przedstawione zostały na rys.13.

Rys. 13.

Uwaga. Funkcje, które można otrzymać z funkcji stałych, wielomianów, funkcji potęgowych, wykładniczych,

logarytmicznych , trygonometrycznych i cyklometrycznych wykonując skończoną liczbę działań typu:

dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i składnie funkcji nazywamy funkcjami elementarnymi (w

szerszym sensie).

Funkcja błędu Gaussa — funkcja nieelementarna, która występuje w rachunku

prawdopodobieństwa, statystyce oraz w teorii równań różniczkowych cząstkowych. Jest zdefiniowana jako