m gewert z skoczylas i. definicja macierzywmii.uwm.edu.pl/~germaniuk/ochrona Środowiska/macierze...
TRANSCRIPT
//wmii.uwm.edu.pl/~germaniuk adres strony internetowej
Literatura T Jurlewicz Z Skoczylas Algebra liniowa 1
M Gewert Z Skoczylas Analiza matematyczna 1 Definicje, twierdzenia, wzory.
M Gewert Z Skoczylas Analiza matematyczna 1 Przykłady i zadania.
B Wieprzkowicz H Łubowicz Matematyka Podstawowe wiadomości teoretyczne , ćwiczenia dla studentów zaocznych. W Krysicki L Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach Część I
Macierze i wyznaczniki
I. Definicja macierzy
Macierzą wymiaru m x n gdzie m , n N nazywamy układ mn liczb ustawionych w
m wierszach i n kolumnach.
Macierze będziemy oznaczać dużymi literami alfabetu np. A , B , C itd.
Element macierzy A stojący w i - tym wierszu i j - tej kolumnie oznaczać będziemy
przez ija. Macierz A w ogólnym przedstawieniu można zapisać w postaci:
ijnmij
mnmjmm
inijii
nj
nj
aa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
.... . . .
.
.... . . .
.
.... . . .
.... . . .
2 1
2 1
2222 21
1112 11
Elementy macierzy A inijii aaaa .... . . . 2 1 tworzą i – ty wiersz a elementy
mj
ij
j
j
a
a
a
a
.
.
2
1
tworzą j – tą kolumnę macierzy A.
Przykład:
sin cos
cos- sin
9 8 2 0
4 9 7 2
xx
xxBA
macierze wymiaru odpowiednio 2 x 4 i 2 x 2 .
II. Rodzaje macierzy
1o Macierz wymiaru nm w której wszystkie elementy są równe 0 nazywamy
macierzą zerową wymiaru nm i oznaczamy przez nm lub gdy wymiar jest
znany.
2o Macierz w której liczba wierszy równa się liczbie kolumn nazywamy macierzą
kwadratową. Wspólną liczbę wierszy i kolumn nazywamy stopniem macierzy
kwadratowej, Elementy macierzy które mają tą sam numer wiersza co kolumny tzn.
nnii aaaa .... . . . 22 11 tworzą przekątną główną macierzy.
ijnnij
nnnn
n
n
aa
aaa
aaa
aaa
A
... . . .
.
.... . .
... . . .
2 1
222 21
112 11
; nstA ; nnaaa ... . . . 22 11 elementy przekątnej głównej.
3o Macierz kwadratową stopnia n≥2 w której wszystkie elementy znajdujące się nad
przekątną główną są równe 0 nazywamy macierzą trójkątną dolną.
nnnn aaa
aaa
aa
a
..... . .
.
0......
0..... . 0
0... . 0.. 0
2 1
3332 31
22 21
11
4o Analogicznie macierz kwadratową stopnia n≥2 w której wszystkie elementy
znajdujące się pod przekątną główną są równe 0 nazywamy macierzą trójkątną górną.
5o Macierz kwadratową stopnia n w której elementy nie stojące na przekątnej głównej
są równe 0 nazywamy macierzą diagonalną .
nna
a
a
a
..... .. 0 0 0
.
0....... 0 0
0....... . 0 0
0..... . 0.. 0
33
22
11
6o Macierz diagonalną stopnia n w której wszystkie elementy przekątnej głównej są
równe 1 nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy przez nJ lub przez J gdy
stopień jest znany.
1....... .. 0 0 0
.
0..........1 0 0
0......... . 0 1 0
0...... . 0.. 0 1
def
nJ
III. Działania na macierzach
1o Suma i różnica macierzy
Suma i różnica macierzy istnieje wtedy i tylko wtedy gdy macierze mają ten sam
wymiar. Niech
nmijaA
nmijbB
będą macierzami wymiaru m x n. Sumą (różnicę )
macierzy A i B nazywamy macierz
nmijcC
której elementy są określone
wzorem ijij
def
ij bac dla njmi 1 1 . Piszemy wtedy
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
BAC
........
.
..........
...........
2211
2222222121
1112121111
2o Iloczyn macierzy przez liczbę
Iloczyn macierzy przez liczbę jest wykonalny zawsze i mnożymy wszystkie elementy
przez liczbę. Niech
nmijaA
i Ra . Wtedy
mnmm
n
n
def
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
AaaA
..........
.
...........
...........
21
22221
11211
3o Iloczyn macierzy
Iloczyn dwóch macierzy jest wykonalny gdy pierwsza macierz ma tyle samo kolumn
co druga macierz wierszy. Niech
pmijaA
pxnijbB
będą macierzami wymiaru
odpowiednio m x p i p x n . Wtedy iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz
nmijcC
której elementy są określone wzorem
p
k
kjikpjipjiji
def
ij babababac1
2211 .....
dla
njmi 1 1 . Wtedy piszemy ABC
Przykład:
5 2 0
3 4 1A
6 2
7 9B
AB nie jest wykonalne ponieważ macierz A ma 3
kolumny a macierz B ma 2 wiersze W mnożeniu macierzy te liczby powinny
być równe.
36 20 2
62 50 9
5632 2642 0612
5739 2749 0719
5 2 0
3 4 1
6 2
7 9BA
4o Macierz transponowana
Niech
nmijaA
będzie macierzą wymiaru m x n. Macierzą transponowaną do
macierzy A nazywamy macierz
nxmijbB wymiaru n x m której elementy są określone
wzorem ji
def
ij ab dla mjni 1 1 . Macierz transponowaną do macierzy A
oznaczamy przez TA . Transponowanie macierzy A polega na zamianie wierszy na
kolumny o tym samym numerze i kolumn na wiersze o tym samym numerze.
Przykład
5 2 3
7 3 1A
5 7
2 3
3 1TA
IV. Własności działań na macierzach
1o Dodawanie macierzy jest przemienne tzn. ABBA
2o Mnożenie macierzy nie jest przemienne tzn. zazwyczaj BAAB
3o Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania macierzy tzn.
ACABCBA )( i BCACCBA )(
4o Dodawanie i mnożenie macierzy jest łączne tzn.
)()( CBACBA )()( BCACAB
5o )()()( ABaBaAaBA dla dowolnej liczby a i macierzy BA , dla których
wykonalne jest mnożenie.
6o Dla macierzy A wymiaru m x n AAJAJ nm
7o TTT BABA )( ; AA TT )( ;
TT aAaA )( ; TTT ABAB )(
8o Suma, różnica , iloczyn, iloczyn przez liczbę macierzy trójkątnych dolnych (górnych) jest
macierzą trójkątną dolną (górną).
Definicja: Macierz kwadratowa jest symetryczna AAT
Macierz kwadratowa jest antysymetryczna AAT
V. Wyznacznik macierzy kwadratowej.
Definicja wyznacznika
Niech
nnijaA
będzie macierzą kwadratową stopnia n
1o Jeżeli macierz A jest stopnia n = 1 to
1111det aaAAdf
2o Jeżeli macierz A jest stopnia n ≥ 2 to
inin
ni
ii
i
ii
idf
nnnn
n
n
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
AA )1(.......)1()1(
.......
....................
.......
.......
det 22
2
11
1
21
22221
11211
Dla ustalonego ni 1 gdzie ijA wyznacznik stopnia n-1 powstałej z macierzy A
przez skreślenie i - tego wiersza i j - tej kolumny.
Jest to definicja wyznacznika za pomocą rozwinięcia Laplace’a, który wykazał, że uzyskujemy jednakową wartość wyznacznika niezależnie od wyboru i - tego wiersza. Rozwinięcia Laplace’a sprowadza obliczanie wyznaczników do obliczania wyznaczników stopnia mniejszego o jeden Analogiczną definicję uzyskamy stosując w punkcie 2o rozwinięcia Laplace’a względem j – tej
kolumny. Wtedy
njnj
jn
jj
j
jj
jdf
nnnn
n
n
AaAaAa
aaa
aaa
aaa
AA )1(.......)1()1(
.......
....................
.......
.......
det 22
2
11
1
21
22221
11211
Praktycznie w obliczaniu wyznaczników stopnia n = 2 stosuje się wzór:
cbaddc
ba
dc
ba
det
Przykład.
1957828 7
5 2
8 7
5 2det
Praktycznie w obliczaniu wyznaczników stopnia n = 3 stosuje się wzór Sarussa:
332112322311312213322113312312332211
333231
232221
131211
333231
232221
131211
det aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
Geometrycznie jest to sumowanie pomnożonych trzech wyrazów leżących na strzałkach
skośnych skierowanych w dół wychylonych w prawo z znakiem + a na wychylonych w lewo
z znakiem - , dopisując dwa pierwsze wiersze z dołu macierzy lub dwie pierwsze kolumny
z prawej strony macierzy.
Przykład Obliczanie wyznacznika stopnia 3 za pomocą wzoru Sarussa
1221684209022418938672415635478912
6 4
1 3
8 2
9 6 4
7 1 3
5 8 2
Obliczanie za pomocą rozwinięcia Laplace’a np. za pomocą 2 – go wiersza
12)4862(7)4592(1)6598(36 4
8 27)1(
9 4
5 21)1(
9 6
5 83)1(
9 6 4
7 1 3
5 8 2322212
Wyznaczniki stopnia n > 3 liczy się za pomocą rozwinięcia Laplace’a wykorzystując
podstawowe własności wyznaczników które są prawdziwe i dla stopni niższych.
VI. Podstawowe własności wyznaczników
1o Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę ( wiersz ) złożoną z samych zer jest
równy 0 .
0
...
.
...
...
.
0
.
0
0
. . . .
.
. . .
. . .
2
1
2 1
22 21
12 11
nn
n
n
nn a
a
a
aa
aa
aa
2o Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak jeżeli zmienimy między sobą dwie
kolumny (wiersze).
nn
n
n
ni
i
i
nj
j
j
nnnn
n
n
nj
j
j
ni
i
i
nn a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
...
.
...
...
......
..
. . . .
.
. . .
. . .
...
.
...
...
......
.
. . . .
.
. . .
. . .
2
1
2
1
2
1
2 1
22 21
12 11
2
1
2
1
2
1
2 1
22 21
12 11
3o Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie kolumny ( wiersze ) jednakowe jest
równy 0 .
0
...
........
...
...
......
.
. . . .
...............
. . .
. . .
2
1
2 1
22 21
12 11
nn
n
n
nn a
a
a
w
b
a
w
b
a
aa
aa
aa
4o Wyznacznik macierzy kwadratowej nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolumny
(wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny (innego wiersza) tej macierzy
pomnożone przez dowolną liczbę.
nn
n
n
nj
j
j
njni
i
ji
nnnn
n
n
nj
j
j
ni
i
i
nn a
a
a
a
a
a
caa
caa
caa
aa
aa
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
j
...
.
...
...
...
....
.
. . . .
.
. . .
. . .
...
.
...
...
......
.
. . . .
.
. . .
. . .
2
1
2
1
2
11
2 1
22 21
12 11
2
1
2
1
2
1
2 1
22 21
12 11
2
Ogólnie wyznacznik macierzy kwadratowej nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej
kolumny (wiersza) dodamy sumę odpowiadających im elementów innych kolumn (innych
wierszy) tej macierzy pomnożone przez dowolne liczby.
5o nn
n
n
j
j
nnnn
n
n
nj
j
j
nnnn
n
n
nj
jj
jj
nn a
a
a
bnj
b
b
aa
aa
aa
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
a
a
a
bnja
ba
ba
aa
aa
aa
...
.
...
...
.
. . . .
.
. . .
. . .
...
.
...
...
..
. . . .
.
. . .
. . .
...
.
...
...
.
. . . .
.
. . .
. . .
2
1
2
1
2 1
22 21
12 11
2
1
2
1
2 1
22 21
12 11
2
1
22
11
2 1
22 21
12 11
6o
T
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
... . . .
.
.... . .
... . . .
det
... . . .
.
.... . .
... . . .
det
2 1
222 21
112 11
2 1
222 21
112 11
7o nn
n
n
nj
j
j
nnnn
n
n
nj
j
j
nn a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
d
a
a
a
da
da
da
aa
aa
aa
...
.
...
...
.
. . . .
.
. . .
. . .
...
.
...
...
.
. . . .
.
. . .
. . .
2
1
2
1
2 1
22 21
12 11
2
1
2
1
2 1
22 21
12 11
dla dowolnej liczby d .
Przykład. Obliczyć wyznacznik
0
9 4 9 8
2 1 1 1
0 0 0 0
3 7 4 1
9 4 9 8
2 1 1 1
4 2 2 2
3 7 4 1
9 4 9 8
5 8 5 2
7 9 6 3
3 7 4 1
32'212
'2
13'3
2
wwwwww
www
Gdzie wiersz iniii aaaw ..... . 2 1
traktujemy jako macierz wymiaru 1 x n . W wyrażeniu np.
jkk dwww '
występuje odejmowanie od k – tego wiersza j – tego wiersza pomnożonego przez liczbę d wykonując te działania jak działania na macierzach. Tak obliczonym nowym
wierszem '
kw zastępujemy w macierzy po prawej stronie równości wiersz kw
po lewej stronie równości. Pozostałe wiersze nie obliczane jako nowe przepisujemy bez zmian.
VII. Macierz odwrotna
Definicja macierzy odwrotnej
Macierzą odwrotną macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy macierz oznaczaną przez
1A spełniającą warunek nJAAAA 11
gdzie nJ jest macierzą jednostkową
stopnia n.
Definicja macierzy osobliwej i nieosobliwej
Macierz kwadratową A nazywamy macierzą osobliwą, gdy 0det A . W przeciwnym
przypadku mówimy, że macierz A jest nieosobliwa.
Twierdzenie
a). Macierz kwadratowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy jest nieosobliwa.
b). Jeżeli macierz kwadratowa
nnijaA
stopnia n jest nieosobliwa, to
T
nnnn
n
n
DDD
DDD
DDD
AA
... . . .
.
.... . .
... . . .
det
1
2 1
222 21
112 11
1
gdzie kj
jk
kj AD )1( dopełnienie algebraiczne elementu
njkakj ,1 . Natomiast kjA
wyznacznik stopnia n-1 powstałej z macierzy A przez skreślenie k - tego wiersza i j - tej kolumny. Twierdzenie
Niech macierze kwadratowe BiA tego samego stopnia będą odwracalne i
0\R Wtedy macierze 1A ,
TA , AB , A są odwracalne oraz
11 )(detdet .1 AA AA 11)( .2
TT AA )()( .3 11
111)( .4 ABAB
11 1)( .5 AA
Przykład. Obliczyć
1
5 2 4
0 1 3
5 0 2
202030105302 0 24 1 52 3 54 0 05 1 2
5 2 4
0 1 3
5 0 2
A więc macierz jest odwracalna
2 4- 2
51 10- 51-
5- 10 5
20
1
2 15 5-
4- 10- 10
2 51- 5
20
1
1 3
0 2
0 3
5 2 -
0 1
5 0
2 4
0 2 -
5 4
5 2
5 2
5 0-
2 4
1 3
5 4
0 3-
5 2
0 1
20
1
5 2 4
0 1 3
5 0 21 T
T
10
1
5
1-
10
1
4
3
2
1 -
4
3-
4
1-
2
1
4
1
5 2 4
0 1 3
5 0 21
Przykład Obliczyć macierz X spełniającą równanie.
)22 8
2 3( AAX
gdzie
2 5
3 7A
)22 8
2 3()( 11 AAAXA
mnożąc równanie obustronnie z lewej strony przez 1A
AAAXAA 22 8
2 3))( 111
wykorzystując łączność mnożenia i rozdzielność mnożenia względem dodawania.
2
1
2 22 8
2 3)( JAXJ
wykorzystując fakt, że 2
1 JAA
2
1 22 8
2 3JAX
wykorzystując fakt, że XXJ 2
Własności te są przedstawione w własnościach działań na macierzach w części IV.
135272 5
3 7detdet
A
a więc 1A istnieje
7- 5
3 2-
7 5-
3- 2
7 3-
5- 2
7 3-
5 - 2
1-
1
2 5
3 71
1
TT
A
2- 41-
2 16-
2 0
0 2
4- 41-
2 18-
2 0
0 2
2)7-(25 8)7-(35
2322- 833)2(-
1 0
0 12
2 8
2 3
7- 5
3 2-X
Układy równań liniowych. Definicja. Układu równań liniowych. Układem m równań liniowych z n niewiadomymi gdzie , nazywamy układ równań postaci:
gdzie
Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy ciąg liczb rzeczywistych spełniających ten układ. Układ równań nie posiadający rozwiązania nazywamy układem równań sprzecznym. Macierze
nmij
mnmm
n
n
def
a
aaa
aaa
aaa
A
..... . .
.
.
.... . . .
.... . . .
2 1
222 21
112 11
m
def
x
x
x
X
.
.
2
1
m
def
b
b
b
B
.
.
2
1
nazywamy
A - macierz główna X - macierz niewiadomych B - macierz wyrazów wolnych
układu równań liniowych. Wtedy BAX jest zapisem układu równań liniowych w postaci macierzowej. W przypadku małej ilości niewiadomych będziemy oznaczać przez je przez
,...,,,,,, mvutzyx . Układ Cramera. Układ równań liniowym nazywamy układem Cramera jeżeli spełnione są własności:
10 Macierz główna A układu równań jest macierzą kwadratową / liczba równań równa się ilości niewiadomych /.
20 Macierz A jest macierzą nieosobliwą, tzn. 0det A .
Twierdzenie
Układ Cramera BAX ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem:
nA
A
A
AX
det
.
.
det
det
det
12
1
lub A
Ax
A
Ax
A
Ax n
ndet
det,........,
det
det,
det
det 22
11
gdzie macierz jA powstaje z macierzy A poprzez wstawienie w miejsce tejj kolumny
macierzy A kolumnę B wyrazów wolnych nj ,......,2,1 .
kolj
nnnnn
n
n
j
abaa
abaa
abaa
A
2 1
2222 21
1112 11
..... .. .
.
.
.... . . .
.... . . .
Przykład Rozwiązać układ równań liniowych
32
023
13
zyx
zx
zyx
Mamy trzy równania i trzy niewiadome a więc macierz główna A układu jest macierzą kwadratową.
1 1 2
2 0 3
1 3 1
A
02229312det A Jest również macierzą nieosobliwą a więc układ jest układem Cramera
11
8
22
218
22
1 1 3
20 0
1 3 1
x 11
5
22
3694
22
1 3 2
20 3
1 1 1
y 11
12
22
273
22
3 1 2
0 0 3
1 3 1
z
Definicja układu równoważnego
Dwa układy równań liniowych BAX i 111 BXA są równoważne, jeżeli zbiory ich rozwiązań są takie same (identyczne). Operacje przekształcania układów równań liniowych do układu równoważnego:
Macierzą rozszerzoną nazywamy macierz główną A z dostawioną kolumną wyrazów
wolnych B układu równań liniowych BAX i oznaczamy przez BA
.
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
BA
.....
.
.
......
.......
21
222221
111211
Można dokonywać następujące operacje na wierszach macierzy rozszerzonej przekształcające w układ równań równoważny
10 Zamiana wierszy między sobą ( ji ww - zamiana i-tego z j-tym wierszem ).
20 Mnożenie wiersza przez stałą różną od zera ( ii cww '
- mnożenie i-tego wiersza przez
liczbę 0c ).
30 Dodawanie do wiersza innego wiersza pomnożonego przez liczbę c (jicwww jii '
dodanie do i-tego wiersza innego j-tego wiersza pomnożonego przez liczbę c).
40 Skreślenie wiersza składającego się z samych zer ( iw - skreślenie i-tego wiersza )
50 Skreślenie jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych ( ji ww ~ - skreślenie i-tego
wiersza proporcjonalnego do innego j-tego wiersza ). 60 Zamiana kolumn z wyjątkiem ostatniej kolumny z zapamiętaniem zamiany
niewiadomych ( jiji xxkk - zamiana i-tej z j-tą kolumną ).
Dokonując powyższe dopuszczalne operacje możemy układ BAX z macierzą
rozszerzoną BA
doprowadzić do układu równoważnego 111 BXA z macierzą
rozszerzoną 11 BA
postaci (tzw. metodą eliminacji Gaussa):
. ..,.........,,...,,
1
1
2212
1111
11
121
0..........0 0....0 0
.... 1....0 0
.
.... 0....1 0
..... 0....0 1nrr xxxxx
r
rrnrr
nr
nr
z
zss
zss
zss
BA
Wtedy
a). Jeżeli 01 rz to układ równań BAX jest układem sprzecznym.
b). Jeżeli ostatni wiersz macierzy 11 BA
nie występuje i rn to układ równań BAX jest równoważny układowi Cramera (układ oznaczony ) i jego jedyne rozwiązanie
ma postać nn zxzxzx ,....,, 2211 lub nn zxzxzx ,
2
,
21
,
1 ,....,, jeżeli przy przekształcaniu macierzy nastąpiła zamiana kolumn (punkt 60 ).
c). Jeżeli ostatni wiersz macierzy 11 BA
nie występuje i rn to układ równań BAX ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony) i r niewiadomych
rxxx ,....,, 21 zależy od pozostałych nrr xxx ,....,, 21 niewiadomych i
n
r
r
rnrrrr
nrr
nrr
rr x
x
x
sss
sss
sss
z
z
z
x
x
x
.
.
......
.
.
......
.......
.
.
.
.
2
1
21
22212
12111
2
1
2
1
tzn.
Rxxxrkxsxsxszx nrrnknrkrrkrkk ,...,, dowolnych dla ,....,2,1 ).....( 212211
Niewiadome rxxx ,....,, 21 nazywamy niewiadomymi zależnymi a niewiadome
nrr xxx ,....,, 21 parametrami. Liczba r jest wyznaczona jednoznacznie niezależnie od wyrazów wolnych
mbbb ,....,, 21 i równa się rzędowi macierzy A ( rrzA ). Tak wyznaczona liczba r może
służyć za definicję rzędu macierzy A którą definiuje się inaczej - jako maksymalny stopień macierzy kwadratowej o wyznaczniku różnym od zera powstałej poprzez skreślenie pewnej
liczby wierszy i kolumn w macierzy A .
Analogicznie dokonując dopuszczalne operacje na macierzy rozszerzonej BA
układu
BAX możemy doprowadzić do układu równoważnego 111 BXA o macierzy
rozszerzonej 11 BA
postaci:
0,......,0,0
0..........0 0.......0 0
.... .......0 0
.
........ 0
..... ....
2211
. .,......... ,,,......... ,
1
1
2212222
11111211
11
121
rr
xxxxx
r
rrnrrrr
nrr
nrr
sss
z
zsss
zssss
zsssss
BA
nrr
Analiza rozwiązań i własność indeksu r jest taka sama jak poprzednio tylko inaczej otrzymuje się rozwiązania:
a). Jeżeli 01 rz to układ równań BAX jest układem sprzecznm.
b). Jeżeli ostatni wiersz macierzy 11 BA
nie występuje i rn to układ równań BAX jest równoważny układowi Cramera (układ oznaczony ) i ma tylko jedno
rozwiązanie .
c). Jeżeli ostatni wiersz macierzy 11 BA
nie występuje i rn to układ równań BAX ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony) i r niewiadomych
rxxx ,....,, 21 zależy od pozostałych nrr xxx ,....,, 21 niewiadomych. Rozwiązania w punkcie b). i c). można uzyskać w następujący sposób: Układ równań liniowych z tą macierzą rozszerzoną ma postać:
rnrnrrrrrr
nnrrrr
nnrrrr
zxsxsxs
zxsxsxsxs
zxsxsxsxsxs
. . .
.
.
.... . . .
...... . .
11
221222222
1111112121 11
Z ostatniego równania obliczamy rx
rr
nrnrrrrr
s
xsxszx
).....( 11
11
1111111
).....(
rr
nnrrrrrrrrr
s
xsxsxszx
i w miejsce rx wstawiamy rx obliczone powyżej. Itd.
1,......,3,2 )......( 1111
rrk
s
xsxsxsxszx
kk
nknrkrrkrkkkkk
I w miejsce rkk xxx ,....,, 21 wstawiamy wcześniej obliczone te wartości.
W przypadku rn mamy układ Cramera 111 BXA postaci:
nnnn
nn
nn
zxs
zxsxs
zxsxsxs
22222
112121 11
.
.
. . .
. . .
I ten układ można rozwiązać za pomocą wzorów Cramera dla którego nnsssA ...det 22111 . W wszystkich tych wzorach uwzględniamy przestawienia kolumn a związane z tym przestawieniem niewiadomych w operacjach przekształcana macierzy rozszerzonej.
Przykład Rozwiązać układ równań liniowych
036
2
822
642
tz
zyx
tzyx
tzyx
Macierz główna układu
3 6 0 0
0 1 1 1
2 1 1 2
14 2 1
A
0det A a więc układ ten nie jest układem Cramera.
Sposób I.
0 0 0 0 0
0 36 0 0
81 0 6 0
10 2 0 0 3
0 3 6 0 0
0 36 0 0
44 9 3 0
10 5 6 0 3
0 3 6 0 0
4 1 3 3 0
44 9 3 0
6 14 2 1
0 3 6 0 0
2 0 1 1 1
8 2 1 1 2
6 14 2 1
32',
2
31',
1
34'4
21',
1
23'3
12,'2
13',
3
32232 www
www
www
www
www
www
wwwBA
0 2
11 0 0
3
4
6
1 0 1 0
3
10
3
2 0 0 1
0 0 0 0 0
0 36 0 0
81 0 6 0
10 2 0 0 32
'2
1'1
4
3'3
6
13
1
6
111
ww
ww
w
ww
BA
Układ BAX jest równoważny układowi
02
1
3
4
6
1
3
10
3
2
tz
ty
tx
Stąd
22
1
6
8
6
1
3
4
3
210
3
2
3
10
ttz
tty
ttx
Rt
tz
ty
tx
2
6
8
3
210
Sposób II
0 0 0 0 0
0 36 0 0
44 9 3 0
6 14 2 1
0 3 6 0 0
0 36 0 0
44 9 3 0
6 14 2 1
0 3 6 0 0
4 1 3 3 0
44 9 3 0
6 14 2 1
0 3 6 0 0
2 0 1 1 1
8 2 1 1 2
6 14 2 1
34'423
'3
12'2
13'3
2
wwwwww
www
wwwBA
0 36 0 0
44 9 3 0
6 14 2 1
0 0 0 0 0
0 36 0 0
44 9 3 0
6 14 2 1
411
wBA
Układ BAX jest równoważny układowi
036
4493
642
tz
tzy
tzyx
Stąd
3
210
3
368182
3
86
2
14
6
826426
6
8
3
2
898
3
42
194
3
494
2
1
ttttt
ttt
ttzyx
t
tttt
tzy
tz
Rt
tz
ty
tx
2
6
8
3
210