rÓwnania rÓŻniczkowe - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=simr_wrr_01_2013.pdf · • gewert...
TRANSCRIPT
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKŁAD 1
2
Przedmiot realizowany w układzie
• wykład 2 godz. tygodniowo
• ćwiczenia 2 godz. tygodniowo
Regulamin zaliczeń
www.mini.pw.edu.pl/~figurny
3
Program zajęć
Równania różniczkowe zwyczajne
Szeregi liczbowe
Ciągi i szeregi funkcyjne
Szeregi potęgowe
Szereg trygonometryczny Fouriera
Elementy geometrii różniczkowej
4
Literatura
• Gewert M., Skoczylas Z., Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria,
przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, 2006
• Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach cz.2,
PWN, 2006
• Leksiński W., Żakowski W., Matematyka cz. IV, WNT, 2002
• Matwiejew N., Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych,
PWN, 1974
• Muszyński J., Myszkis A., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN,
1984.
• Otto E. (red.), Matematyka dla wydziałów budowlanych i
mechanicznych, Tom 2, PWN,1980
• Przeradzki B., Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych,
Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2003.
• Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni
technicznych., PWN 2006
5
Równania różniczkowe są ważnym narzędziem wykorzystywanym przy tworzeniu modeli matematycznych w wielu dziedzinach nauki i techniki.
Równania różniczkowe należą do kategorii równań funkcyjnych, czyli takich, w których niewiadomą jest funkcja. O ich specyfice decyduje to, że oprócz niewiadomej funkcji w równaniu występuje również pochodna (pochodne) tej funkcji.
Niniejszy wykład zawiera definicje podstawowych pojęć oraz prezentację metod rozwiązywania wybranych typów równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe
6
Jeżeli w równaniu różniczkowym występuje tylko pochodna rzędu pierwszego, to równanie możemy symbolicznie zapisać w postaci
F(x, y, y') = 0,
gdzie F oznacza pewną funkcję trzech zmiennych, x jest zmienną
niezależną, y poszukiwaną funkcją, zaś y' jej pochodną.
Przykłady Jeżeli F(x, y, y') = (y')
2 - y' + y - x, to równanie ma postać
(y')2 - y' + y - x = 0.
Jeżeli F(x, y, y') = tgy '- 2y' + y, to równanie ma postać tgy '-2y '+ y = 0.
Jeżeli F(x, y, y') = y'- y- x, to równanie można zapisać w równoważnej postaci y' = y + x.
W dwóch pierwszych przypadkach pochodna występuje w równaniach w sposób uwikłany, trzecie równanie jest rozwikływalne ze względu na pochodną.
Równania różniczkowe
7
Rozważmy szczegółowo przypadek równania rozwikływalnego
ze względu na pochodną, w którym niewiadoma funkcja y nie występuje
w sposób jawny. Można je wówczas zapisać w postaci
0)',( yxF
lub prościej
))((lub,)(' xfdx
dyxfy
Rozwiązanie takiego równania jest równoważne wyznaczeniu całki
nieoznaczonej funkcji f. Dowolna funkcja pierwotna funkcji f (o ile istnieje) jest rozwiązaniem równania. Zbiór rozwiązań tworzy całkę
nieoznaczoną funkcji f. Zatem każde rozwiązanie możemy zapisać w postaci
CxΦxy )()(
gdzie Φ oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f, C jest stałą
rzeczywistą.
Równania różniczkowe
8
Jeżeli zażądamy dodatkowo, by spełniony był warunek (zwany warunkiem początkowym)
y(x0) = y0,
to (jeśli jest on realizowalny) funkcja y będzie wyznaczona
w sposób jednoznaczny przez dobór stałej C z równości
y(x0) = Φ(x0) + C = y0, czyli
C0 = y0 - Φ(x0). Wykorzystując pierwsze główne twierdzenie rachunku całkowego,
funkcję y możemy zapisać w postaci
x
x
dttfyxΦyxΦCxΦxy
0
)()()()()( 0000
Jest to tzw. rozwiązanie szczególne równania, spełniające
warunek początkowy y(x0) = y0.
Równania różniczkowe
9
Przykład
Rozwiązaniem równania
y' = ex
jest każda funkcja o postaci
y = ex + C.
Dla różnych wartości stałej C, funkcje te określają całkę ogólną
równania.
Ich wykresy tworzą rodzinę krzywych różniących się przesunięciem wzdłuż osi Oy.
Zadając warunek początkowy y(0) = 3 dostajemy
e0+ C = 3, czyli C = 2.
Stąd rozwiązanie szczególne równania spełniające warunek początkowy ma postać
y = ex + 2.
Równania różniczkowe
10
Uogólnieniem wprowadzonych pojęć są następujące definicje.
Definicja
Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie
F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0,
w którym niewiadomą jest funkcja y zmiennej x i w którym występują
pochodne tej funkcji.
Przymiotnik "zwyczajne" oznacza, że funkcja niewiadoma zależy od jednej zmiennej.
Równania różniczkowe, w których występują funkcje wielu zmiennych, noszą nazwę równań różniczkowych cząstkowych.
W niniejszym wykładzie zajmować się będziemy wyłącznie równaniami zwyczajnymi.
Równania różniczkowe zwyczajne
11
Definicja
Liczbę n 1 nazywamy rzędem równania różniczkowego,
jeżeli w równaniu tym występuje pochodna rzędu n i nie występują
pochodne rzędu wyższego niż n.
Przykłady
y' = y + x - rząd = 1,
y'' + y' + y + x = 0 - rząd = 2,
y''' = y2 + x - rząd = 3.
Równania różniczkowe zwyczajne
12
Definicja Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) równania
różniczkowego na przedziale (a, b) nazywamy funkcję spełniającą
to równanie w każdym punkcie tego przedziału.
Przykłady
Funkcja y = xex jest rozwiązaniem szczególnym równania
y' - y = ex, na przedziale (-, ),
ponieważ
(xex)' - xex = ex, dla każdego x(-, ).
Równie łatwo można sprawdzić, że funkcje y1(x) = x - 1
oraz y2(x) = ex + x - 1 są rozwiązaniami szczególnymi równania
y' - y + x - 2 = 0.
Definicja Krzywą całkową nazywamy wykres rozwiązania szczególnego równania różniczkowego.
Równania różniczkowe zwyczajne
13
Definicja
Zagadnieniem Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu n nazywamy następujące zagadnienie:
Znaleźć rozwiązanie szczególne tego równania spełniające warunki początkowe
y(x0) = y0, y'(x0) = y1, ... , y(n-1)(x0) = yn-1
gdzie liczby x0 oraz y0, y1, ... , yn-1, zwane wartościami początkowymi
są dane.
W przypadku n = 1 warunek początkowy ma postać
y(x0) = y0,
dla n = 2
y(x0) = y0, y'(x0) = y1 .
Zagadnieniem Cauchy'ego bywa nazywane zagadnieniem początkowym.
Równania różniczkowe zwyczajne
14
Przykład Rozwiążemy zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu 2
y'' = 6x,
z warunkami początkowymi y(0) = 0, y'(0) = 1.
Dwukrotnie całkując otrzymujemy
Z warunków początkowych dostajemy
Stąd C1 = 1, C2 = 0 i rozwiązanie szczególne spełniające warunki
początkowe ma postać y = x3 + x.
Równania różniczkowe zwyczajne
15
Definicja
Jeżeli każdemu układowi n liczb (C1, C2, ... , Cn) wybieranych dowolnie
z pewnych przedziałów, jest przyporządkowana dokładnie jedna krzywa
całkowa równania różniczkowego rzędu n, to mówimy, że jest określona
rodzina krzywych całkowych tego równania zależna od n parametrów
(C1, C2, ... ,Cn). Definicja Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania różniczkowego rzędu n nazywamy rodzinę krzywych całkowych tego równania zależną
od n parametrów (C1, C2, ... ,Cn), których wartości można tak dobrać,
aby otrzymać krzywą całkową spełniającą warunki początkowe
y(x0) = y0, y'(x0) = y1, ... , y(n-1)(x0) = yn-1
dla każdego układu wartości początkowych x0, y0, y1, ... , yn-1, dla których
krzywa taka istnieje.
Równania różniczkowe zwyczajne
16
W przypadku gdy każda krzywa całkowa jest wykresem tylko jednej całki szczególnej (a więc funkcji), sformułowanie "rodzina krzywych całkowych" jest równoważne sformułowaniu "rodzina funkcji spełniających równanie różniczkowe".
Krzywa całkowa, może też być łącznym wykresem większej liczby całek szczególnych - nie będąc wykresem funkcji. Jak się przekonamy, rozwiązując zadania przykładowe, często otrzymujemy wyniki właśnie w postaci takich krzywych.
W dalszej części wykładu, zgodnie z powszechnie stosowaną terminologią, polecenie "rozwiązać równanie" będzie oznaczać wyznaczenie całki ogólnej tego równania.
Rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego uzyskamy wyznaczając całkę ogólną równania i dobierając występującą w nim stałą (stałe) tak, by spełniony był warunek początkowy (warunki początkowe).
Równania różniczkowe zwyczajne
17
Uwagi
Przyjęta definicja rozwiązania ogólnego nie wyklucza istnienia krzywych całkowych nie należących do niego.
Istnieją równania różniczkowe, nie posiadające rozwiązań, np. równanie
ey' = 0.
Nie zawsze istnieje rozwiązanie szczególne równania spełniające konkretne warunki początkowe.
Są natomiast równania mające wiele rozwiązań tego samego zagadnienia Cauchy'ego.
Równania różniczkowe zwyczajne
18
Przykład
Zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego
𝑦′ = 2 |𝑦|
z warunkiem początkowym y(0) = 0, ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Łatwo sprawdzić, że dla każdego 𝑐 ≥ 0 funkcja
𝑦 𝑥 = 0
(𝑥 − 𝑐)2𝑑𝑙𝑎 𝑥 ≤ 𝑐𝑑𝑙𝑎 𝑥 > 𝑐
jest jego rozwiązaniem.
Równania różniczkowe zwyczajne
19
Równania różniczkowe zwyczajne
𝑦 𝑥 = 0
(𝑥 − 𝑐)2𝑑𝑙𝑎 𝑥 ≤ 𝑐𝑑𝑙𝑎 𝑥 > 𝑐
20
Definicja
Zapis równania rzędu pierwszego
0)',,( yyxF
nazywamy postacią ogólną (uwikłaną) równania.
Jeżeli można tę postac rozwikłać, tzn. zapisać równanie w postaci
),(' yxfy
to postać tę nazywamy normalną.
W notacji Leibniza równanie ma postać
),( yxfdx
dy
Równania rzędu pierwszego
21
Warunek wystarczający istnienia rozwiązań
Twierdzenie (Peano) Jeżeli prawa strona równania różniczkowego
),(' yxfy
jest funkcją ciągłą w obszarze D R2, to przez każdy punkt tego obszaru
przechodzi co najmniej jedna krzywa całkowa tego równania.
(tzn. zagadnienie Cauchy'ego z warunkiem początkowym y(x0) = y0,
gdzie (x0, y0)D posiada rozwiązanie).
Równania rzędu pierwszego
22
Warunek wystarczający istnienia i jednoznaczności rozwiązań
Definicja
Funkcja f spełnia warunek Lipschitza w otoczeniu U punktu (x0, y0) ze względu na y
L > 0 (x,y1)U (x,y2)U | f(x,y1) f(x,y2)| < L|y1 - y2|
Twierdzenie (Picarda) Jeżeli prawa strona równania różniczkowego
),(' yxfy
jest funkcją ciągłą w otoczeniu U punktu (x0, y0) i spełnia w nim warunek Lipschitza,
to przez ten punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania
(tzn. zagadnienie Cauchy'ego z warunkiem początkowym y(x0) = y0, gdzie (x0, y0)D
posiada lokalnie jednoznaczne rozwiązanie).
Uwaga
Jeżeli pochodna cząstkowa funkcji f względem y jest ciągła w otoczeniu U, to funkcja
spełnia w U warunek Lipschitza ze względu na y.
Równania różniczkowe zwyczajne
23
Definicja
Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie, które można przedstawić w postaci
)(
)('
yg
xfy
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
24
Twierdzenie
Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale (a, b), zaś g funkcją ciągłą i różną od zera
na przedziale (c, d), to:
1. całka ogólna równania jest postaci
CxFyG )()(
gdzie G jest funkcją pierwotną funkcji g na przedziale (c, d), zaś F funkcją
pierwotną funkcji f na przedziale (a, b),
2. dla każdego x0 (a, b) i y0 (c, d) zagadnienie Cauchy'ego
00)(
)(
)('
yxy
yg
xfy
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Z punktu 1.) tezy twierdzenia wynika, że wyznaczenie rozwiązania ogólnego równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych wymaga znalezienia całek
nieoznaczonych funkcji f, oraz g.
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
25
Procedura wyznaczania rozwiązania ogólnego równania o zmiennych rozdzielonych
1. Zapisujemy równanie w postaci
)(
)(
yg
xf
dx
dy
2. Rozdzielamy zmienne (obustronnie mnożąc przez g(y)dx)
dxxfdyyg )()(
3. Obustronnie całkujemy równanie (lewą stronę po y, prawą po x)
dxxfdyyg )()(
4. Rozwiązanie ogólne równania ma postać
CxFyG )()(
5. gdzie G jest funkcją pierwotną funkcji g na przedziale (c, d), zaś F
funkcją pierwotną funkcji f na przedziale (a, b).
Ostatnia równość zazwyczaj określa funkcję y w sposób uwikłany. Często się zdarza,
że związku tego nie udaje się rozwikłać.
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
26
Przykład Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego
spełniającą warunek początkowy y(0) = 0.
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
27
Przykład Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego
spełniającą warunek początkowy y(0) = 0. Rozdzielając zmienne i całkując obustronnie wyznaczamy całkę ogólną równania
Zatem funkcję y dało się wyznaczyć w sposób jawny. Wyznaczamy całkę szczególną dla x = 0 i y = 0
Stąd C = 1 i całka szczególna spełniająca warunek początkowy y(0) = 0,
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
28
Przykład Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
29
Przykład Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Metodą rozdzielenia zmiennych całkujemy równanie różniczkowe
30
Przykład (c. d.) Otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego, w którym poszukiwana funkcja y występuje w postaci uwikłanej (i związku tego nie da się rozwikłać).
Z przytoczonego twierdzenia wynika istnienie i jednoznaczność rozwiązania zagadnienia Cauchy'ego. Zatem wstawiając x = 1 i y = 2 do rozwiązania równania dostajemy 4 + ln2 = 1 + C, czyli C = 3 + ln2. Rozwiązaniem zagadnienia Cauchy'ego jest więc funkcja spełniająca równanie
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
31
Przykład Wyznaczyć krzywą całkową równania różniczkowego
przechodzącą przez punkt (1, 1). Metodą rozdzielenia zmiennych wyznaczamy całkę ogólną równania
Rozdzielamy zmienne
Całkujemy obustronnie
Stąd
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
32
Przykład (c. d.)
Całka ogólna jest jednoparametrową rodziną okręgów (a więc krzywych!) o równaniach
(półokręgi: górne - dla y >0 i dolne - dla y <0 , są wykresami funkcji spełniających równanie różniczkowe).
Uwzględniając warunek początkowy y(1) = 1 dostajemy C = 2, zatem szukana krzywa całkowa jest opisywana równaniem
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Jak to robią inni?
33
Kurs e-learningowy- OCW Massachusetts Institute of
Technology
http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential-
equations-fall-2011/Syllabus/
Wykład video
http://videolectures.net/mit1803s06_differential_equations/
Generowanie wykresu rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego
http://www.soft82.com/download/windows/ode-toolkit/
http://www.sosmath.com/diffeq/basicdef/basicdef.html
34
Dziękuję za uwagę