lekcija 1: brojevni izrazi - skripteekof.com · kviz 1: brojevni izrazi ovo su dodatni primeri...
TRANSCRIPT
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
1 www.skripteekof.com/matematika
Lekcija 1: Brojevni izrazi
Pregled lekcije
U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
osnovni pojmovi o razlomcima – proširivanje, skraćivanje, upoređivanje;
zapis razlomka u okviru mešovitog broja i decimalnog broja;
operacije sa razlomcima – sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje;
operacije sa decimalnim brojevima – sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje;
prioritet računskih operacija – tzv. „ZEMDOS“.
Uvod
U okviru prve lekcije ponovićemo neka osnovna pravila za izračunavanje vrednosti
brojevnih izraza, od kojih ste većinu zasigurno savladali još u osnovnoj školi. Postavljaću
vam i linkove pojedinih video zapisa. Većinu ovih videa je snimila Škola Rajak na veoma
primerenom nivou i uz visoki kvalitet izrade (www.rajak.rs).
1. Uvod u razlomke
Link: http://www.rajak.rs/sr/video-lekcije/peti-razred-osnovne-skole/razlomci-ponavljanje-gradiva-1-
584.html
Ono što je potrebno da obnovite za kolokvijum i ispit je sledeće:
1) Proširivanje razlomaka
Razlomak proširujemo tako što pomnožimo i brojilac i imenilac istim brojem.
Primer.
(množimo sa 2 i gore i dole)
2) Skraćivanje razlomaka
Razlomak skraćujemo tako što podelimo i brojilac i imenilac istim brojem.
Primer.
(delimo sa 2 i gore i dole)
3) Upoređivanje razlomaka
Funkcioniše suprotno od celih brojeva. Na primeru pozitivnih brojeva, 3 < 5, međutim 1/3
> 1/5. Isto važi i za negativne brojeve: -3 > -5, međutim -1/3 < -1/5.
Možete nacrtati ove vrednosti na brojevnoj pravoj kako biste lakše videli suštinu.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi
www.skripteekof.com/matematika 2
4) Zapis u obliku mešovitog broja
Ukoliko razlomak sadrži više od „jednog celog“ (što znači da mu je brojilac veći od
imenioca. tj. „ono iznad crte“ je veće od „onoga ispod crte“), onda razlomak možemo
zapisati u obliku mešovitog broja.
Primer.
(jedan ceo je
i ostaje nam
)
(dva cela je
i ostaje nam
)
5) Zapis u obliku decimalnog broja
Razlomak možemo uvek zapisati u obliku decimalnog broja, tako što podelimo brojilac
(„ono iznad crte“) sa imeniocem („onim ispod crte“).
Primer.
2. Sabiranje i oduzimanje razlomaka
Link: https://www.youtube.com/watch?v=pXtYb8kz2hI
Razlomke sabiramo i oduzimamo tako što ih svodimo na zajednički imenilac - drugim
rečima, cilj nam je da svim razlomcima koje sabiramo ili oduzimamo "broj ispod crte" bude
jednak.
Primer.
Izračunaj vrednost izraza
.
(proširićemo prvi razlomak sa 2)
(sad možemo da saberemo brojioce)
(možemo da skratimo rezultat sa 10)
(ovo je naš konačan rezultat)
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
3 www.skripteekof.com/matematika
3. Množenje razlomaka
Link: https://www.youtube.com/watch?v=UlbLVvgF108
Razlomke množimo vrlo jednostavno - brojilac množimo sa brojiocem (ono iznad
razlomačke crte), a imenilac množimo sa imeniocem (ono ispod razlomačke crte). Naravno,
razlomke možemo da kratimo kako bismo olakšali postupak, ukoliko je to moguće.
Primer.
Izračunaj vrednost izraza
.
(množimo gore sa gore, dole sa dole)
(možemo da skratimo rezultat sa 2)
(ovo je naš konačan rezultat)
4. Deljenje razlomaka
Link: https://www.youtube.com/watch?v=NsyIDc_GsCM
Deljenje razlomaka svodi se na množenje razlomaka. Samo je potrebno da zamenimo
mesta brojioca i imenioca kod razlomka sa kojim delimo, tj. deliocem (tzv. recipročna
vrednost razlomka).
Primer.
Izračunaj vrednost izraza
.
(svedimo prvo ovo deljenje na množenje)
(sad primenjujemo množenje)
(možemo da skratimo sa 10)
(ovo je naš konačan rezultat)
BITNA NAPOMENA
Recipročna vrednost razlomka
je
. Samo smo zamenili mesta brojiocu i imeniocu.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi
www.skripteekof.com/matematika 4
5. Sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva
Link: https://www.youtube.com/watch?v=1tmYbs0nF4U
Decimalne brojeve sabiramo i oduzimamo tako što ih potpišemo pa prosto
sabiramo/oduzimamo jedinice sa jedinicama, desetice sa deseticama, stotine sa stotinama,
kao i svaku decimalu sa odgovarajućom decimalom.
Primer.
Izračunaj vrednost izraza .
5, 6 5
3, 4 4
2, 2 1
Vrednost zadatog izraza je 2,21.
6. Množenje decimalnih brojeva
Link: https://www.youtube.com/watch?v=raghCQcRrRs
Množenje decimalnih brojeva svodi se na množenje prirodnih brojeva. Samo je bitno da
pazite na zareze, prođite gore navedeni link i sve će vam biti jasno.
7. Deljenje decimalnih brojeva
Link: https://www.youtube.com/watch?v=aCme1ucBTIM
Deljenje decimalnih brojeva svodi se na deljenje prirodnih brojeva. Samo je bitno da pazite
na zareze, prođite gore navedeni link i sve će vam biti jasno.
8. Prioritet računskih operacija
Link: https://www.youtube.com/watch?v=D3M0tNNJ3-4
Bitno je da zapamtite kakav je redosled izvođenja računskih operacija u matematici, a pri
tome vam može pomoći sledeća skraćenica: ZEMDOS.
1. Z = zagrade
2. E = eksponenti (stepenovanje, korenovanje)
3. M = množenje i D = deljenje (s leva na desno)
4. O = oduzimanje i S = sabiranje (s leva na desno)
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
5 www.skripteekof.com/matematika
Primer.
Izračunaj vrednost izraza ( ) .
( ) (prvo zagrade)
(sad eksponenti)
(sad množenje i deljenje)
(sad oduzimanje i sabiranje)
(ovo je naš konačan rezultat)
Link za dodatnu vežbu
Link: https://www.youtube.com/watch?v=RUQFqRH64HU
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. Izračunati vrednost sledećeg izraza:
(
)
Rešenje sa postupkom:
Pretvaramo sve u razlomke kako bismo olakšali postupak izračunavanja vrednosti izraza.
(
)
Potom, sređujemo izraz tako što skraćujemo razlomke gde to možemo da učinimo:
(
)
Sada možemo operaciju deljenja da zamenimo operacijom množenja, koristeći recipročne
vrednosti:
(
)
Primenjujemo množenje i vršimo ponovo skraćivanje razlomaka tamo gde je to moguće:
(
)
Sada primenjujemo sabiranje i oduzimanje razlomaka. Prvo saberimo prva dva razlomka.
Ako proširimo drugi razlomak sa 6, možemo ih lako sabrati:
(
)
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi
www.skripteekof.com/matematika 6
(
)
Skratimo sad taj razlomak sa 5:
(
)
Najmanji zajednički sadržalac za 6 i 16 je 48. Prvi razlomak množimo sa 8, dok drugi
množimo sa 3:
(
)
2. Izračunati vrednost sledećeg izraza:
( )
Rešenje sa postupkom:
S obzirom da nam je sve dato u decimalnim brojevima, nema potrebe da pretvaramo
decimalne brojeve u razlomke. Odmah vršimo operacije na decimalnim brojevima. Prvo
ćemo oduzeti 7 i 6,35:
Kako ćemo podeliti 0,65 i 6,5? Ovo deljenje se svodi na isto kao i deljenje 65 sa 650
(pomeramo zarez dva mesta udesno). Stoga, dalje pišemo sledeće:
3. Izračunati vrednost sledećeg izraza:
(
)
Rešenje sa postupkom:
Imamo i decimalne brojeve i razlomke, tako da je najbolje da prvo sve prebacimo u
razlomke:
BITNA NAPOMENA: DECIMALNI ZAPIS I RAZLOMCI
Kad god imate u brojevnom izrazu mešano decimalni zapis i razlomke, savetujemo da
sve pretvorite u razlomke, kako biste lakše skratili ono što se može skratiti i smanjili
mogućnost greške. Traži se tačna vrednost izraza, tako da ukoliko pretvorite sve u
decimalni zapis možete dovesti sebe u situaciju da morate da zaokružujete brojeve, a
to ovde nije dozvoljeno. Samo kada je sve dato u decimalnom zapisu, možete
raditi bez problema sa decimalnim brojevima do kraja zadatka.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
7 www.skripteekof.com/matematika
(
)
Standardno, skratimo ono što se može skratiti:
(
)
Umesto deljenja, zapisujemo množenje, koristeći recipročne vrednosti:
(
)
(
)
(
)
Primenjujemo sabiranje i oduzimanje razlomaka, sa najmanjim zajedničkim sadržaocem 55.
Prvi razlomak množimo sa 11, drugi razlomak sa 1, a treći razlomak sa 5:
(
)
4. Izračunati vrednost sledećeg izraza:
(
)
Rešenje sa postupkom:
Imamo i decimalne brojeve i razlomke, tako da je najbolje da prvo sve prebacimo u
razlomke:
(
)
(
)
Zamenimo operaciju deljenja množenjem, koristeći recipročne vrednosti:
(
)
Primenimo operaciju sabiranja razlomaka. Najmanji zajednički sadržalac je 4, tako da prvi
razlomak množimo sa 2, a drugi razlomak ostaje isti. Potom, da bismo dobili konačni
rezultat, primenićemo operaciju množenja razlomaka:
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi
www.skripteekof.com/matematika 8
(
)
5. Izračunati vrednost sledećeg izraza:
(
)
Rešenje sa postupkom:
Imamo i decimalne brojeve i razlomke, tako da je najbolje da prvo sve prebacimo u
razlomke:
(
)
(
)
Primenjujemo operaciju sabiranja razlomaka. Najmanji zajednički sadržalac za 6 i 2 jeste 6.
Prvi razlomak ostaje isti, dok drugi razlomak množimo sa 3:
(
)
Konačno, primenjujući skraćivanje i operaciju množenja razlomaka dobijamo finalni
rezultat:
6. Izračunati vrednost sledećeg izraza:
Rešenje sa postupkom:
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
9 www.skripteekof.com/matematika
Imamo i decimalne brojeve i razlomke, tako da je najbolje da prvo sve prebacimo u
razlomke:
Potom možemo da zamenimo operaciju deljenja množenjem koristeći recipročne
vrednosti, kao i da skratimo ono što možemo:
Primenimo operaciju oduzimanja razlomaka u brojiocu velikog razlomka. Najmanji
zajednički sadržalac je 3. Prvi razlomak ostaje isti, dok drugi množimo sa 3:
Ovo možemo transformisati u dvojni razlomak, koji možemo lako rešiti:
7. Izračunati vrednost sledećeg izraza:
(
)
BITNA NAPOMENA: KAKO SE REŠAVA DVOJNI RAZLOMAK?
Spoljašnji članovi se množe i daju brojilac, a unutrašnji se množe i daju imenilac.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 1: Brojevni izrazi
www.skripteekof.com/matematika 10
Rešenje sa postupkom:
Imamo i decimalne brojeve i razlomke, tako da je najbolje da prvo sve prebacimo u
razlomke:
(
)
Potom možemo da zamenimo operaciju deljenja množenjem koristeći recipročne
vrednosti, kao i da skratimo ono što možemo:
(
)
(
)
Primenjujemo operaciju oduzimanja razlomaka i u donjem i u gornjem delu velikog
razlomka. U gornjem delu, dovoljno je da oduzmemo brojioce, jer su imenioci isti. U
donjem delu razlomka, najmanji zajednički sadržalac je 9, te prvi razlomak ostaje isti dok
drugi množimo sa 3:
Kao u prethodnom zadatku, rešavamo dvojni razlomak poznatim postupkom:
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
11 www.skripteekof.com/matematika
Kviz 1: Brojevni izrazi
Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni
rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije.
Zatim, pošaljite nam rešenja na www.facebook.com/skripte.ekof.98. Za svako tačno
rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe,
kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka.
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
1. Izračunati vrednost sledećeg izraza:
2. Izračunati vrednost sledećeg izraza:
3. Izračunati vrednost sledećeg izraza:
. /
4. Izračunati vrednost sledećeg izraza:
(
)
5. Izračunati vrednost sledećeg izraza:
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 2: Polinomi
www.skripteekof.com/matematika 12
Lekcija 2: Polinomi
Pregled lekcije
U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
osnovni pojmovi o polinomima – monom, polinom, koeficijent, stepen,
promenljiva, sabiranje i oduzimanje polinoma;
faktorizacija polinoma – osnovno pravilo, posebna pravila, faktorizacija punog
kvadratnog polinoma;
deljenje polinoma – šta predstavlja, za šta nam koristi i kako se sprovodi;
Bezuova teorema – šta predstavlja, za šta nam koristi i kako se primenjuje.
Uvod
U okviru prve lekcije ponovićemo osnovno gradivo iz polinoma, od kojih ste većinu
zasigurno savladali još u osnovnoj školi. Postavljaću vam i linkove pojedinih video zapisa.
Većinu ovih videa je snimila Škola Rajak na veoma primerenom nivou i uz visoki kvalitet
izrade. (www.rajak.rs)
1. Uvod u polinome
Link: https://profesorka.wordpress.com/2013/04/06/polinomi/
Ovo je jedan mali uvod u polinome iz osnovne škole, za one koji baš žele da zađu u same
temelje i ako treba da ih popune. Preporučujem da svi pročitate ovaj tekst i pogledate i
ukoliko je potrebno uradite navedene primere iz teksta, kako bismo bili sigurni u osnovu
znanja iz oblasti polinoma. Ovaj tekst nije naš autorski, ali preporučujemo ga jer je
kvalitetan i sadrži sve potrebne informacije.
Najbitnije šta treba da znate je sledeće:
- šta je monom, šta je polinom;
- šta je stepen, šta je koeficijent, šta je promenljiva (primer 1 i 2 na linku);
- znate da sa lakoćom sabirate i oduzimate polinome sa jednom ili više promenljivih
(primer 7 na linku).
2. Faktorizacija polinoma
1) Osnovno pravilo
Faktorizacija polinoma je drugi naziv za ono što vam je verovatno već vrlo poznato –
rastavljanje polinoma na proste činioce. Napomena: činioci su elementi koje množimo (npr.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
13 www.skripteekof.com/matematika
, ovde su 2 i 3 činioci a 6 je proizvod). Dakle, kada govorimo o činiocima govorimo o
operaciji množenja.
Rastavljanje polinoma na proste činioce radimo tako što izvučemo „zajednički element
ispred zagrade“, a u zagradu stavljamo sve ono što ostaje.
Primer.
Rastaviti na proste činioce izraz: .
(zajednički element je x)
( ) (ostatak ostavljamo u zagradi)
2) Posebna pravila
Postoje određena posebna pravila za faktorizaciju polinoma kako bi nam olakšala posao.
Pravila koja treba da zapamtite su:
- razlika kvadrata: ( )( )
- kvadrat razlike: ( )
- kvadrat zbira: ( )
Primeri.
- razlika kvadrata: ( ) ( ) ( )( )
- kvadrat razlike: ( ) ( )
- kvadrat zbira: ( ) ( )
3) Faktorizacija punog kvadratnog polinoma
U prevodu, kako rastaviti kvadratnu jednačinu na činioce? Ono što treba da znate je kako
izgleda kvadratna jednačina, kako se rešava, i šta su kod nje a, b i c. Mislim da ste ovo svi
dovoljno puta ponavljali u srednjoj, ali za svaki slučaj pročitajte o obliku kvadratne
jednačine (uvod članka) i kvadratnoj formuli (podnaslov):
https://sr.wikipedia.org/wiki/Квадратна_једначина
Nakon što ste pročitali i utvrdili ovo, ono što nam je bitno jeste kako sad faktorišemo
kvadratnu jednačinu? Nakon što smo rešili jednačinu pomoću kvadratne formule, vrlo
jednostavno to činimo prema sledećem obrascu:
( )( )
gde su i rešenja kvadratne jednačine.
Primer.
Rastaviti na proste činioce izraz: .
Rešavamo kvadratnu jednačinu .
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 2: Polinomi
www.skripteekof.com/matematika 14
√
√
√
Dakle, samo zamenimo vrednosti i , kao i koeficijenta , u obrazac za rastavljanje
kvadratne jednačine na proste činioce:
( )( )
( ( ))( ( )) (– i – daje +)
( )( )
( )( )
BITNA NAPOMENA
Obavezno pazite na minuse kod rastavljanja na činioce! Ovo je jedna od vrlo čestih grešaka
studenata.
Korisni linkovi:
- vežba za rastavljanje kvadratne na činioce (samo pogledajte primere i uradite ih):
https://www.youtube.com/watch?v=G3NhpBUbqRE
- koristan video da generalno ponovite faktorizaciju polinoma:
https://www.youtube.com/watch?v=aNsSv4nt_8Y
3. Deljenje polinoma
Link: https://www.youtube.com/watch?v=SXzJV0FxCE8
Pre nego što krenemo na nešto zastrašujuće, hajde da vidimo kako se dele polinomi. Ovo
često ostane nejasno među mnogim učenicima, naročito u srednjim školama gde nije bio
toliki fokus na matematici, a i nije se toliko to vežbalo kao kvadratna jednačina da bi se
zapamtilo.
Ovako u rečima, ne znam kako bih vam objasnio a da vam bude jasno. Zaista je potreban
video za to, preporučujem da detaljno pogledajte i provežbate primere iz videa na linku
iznad.
Ukoliko vam nešto nije jasno, obavezno nam se obratite.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
15 www.skripteekof.com/matematika
4. Bezuova teorema (Bezuov stav)
Link: https://www.youtube.com/watch?v=_g3zSKnbLJ0
E sad to zastrašujuće. Šala naravno, nije ništa strašno, ali učenici i studenti čim čuju reč
„teorema“, padaju u nesvest. Nemojte i vi to činite, jer zaista nema potrebe!
Bezuova teorema je vrlo jednostavna. Služi nam da rastavimo na činioce polinom koji je
većeg stepena od 2, tj. kada ne možemo primeniti „izvlačenje ispred zagrade“ ili rešavanje
kvadratne jednačine. Prostim jezikom, Bezu(b) nam kaže:
„Videćeš kako da rastaviš taj komplikovani polinom kad naš sa čime treba da ga podeliš. A
kako to da nađeš? Sve x-eve u polinomu zameni nekim brojem koji će dati rezultat
polinoma NULA. Onda podeli taj polinom sa .
Rečima možda ipak ne tako prosto, ali u praksi logika je jasna:
1) Imate komplikovan polinom većeg stepena od 2. Odlučujete da ne odustanete već da
date sve od sebe da rastavite polinom na proste činioce.
2) Umesto nepoznatih promenljivih u tom polinomu, pokušajte da zamenite neki mali broj,
poput 1, -1, 2, -2 (najčešće su ovi brojevi u opticaju). Tu malo nagađate koji je broj koji vam
treba. Zamenivši taj broj u polinom, dobijate određeni rezultat.
3) Kada dobijete rezultat 0, to je broj koji vam treba.
4) Podelite polinom sa (x minus taj broj) i rešenje tog deljenja je praktično rastavljeni činilac
koji vam je potreban.
Teško je razumeti ovako bez primera, zato obavezno detaljno pređite bar video na linku
iznad.
Postoje i drugi i treći deo videa na istom jutjub kanalu, može vam i to značiti ukoliko
pogledate.
Ukoliko vam nešto nije jasno, obavezno nam se obratite.
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. Rastaviti sledeći polinom na proste činioce:
Rešenje sa postupkom:
Prvo izvlačimo ono što je zajedničko za svaki monom. U ovom slučaju, to je x:
( )
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 2: Polinomi
www.skripteekof.com/matematika 16
Zatim, potrebno je da rastavimo kvadratnu jednačinu. Ovo činimo pomoću sledećeg
obrasca:
( )( )
Naša kvadratna jednačina izgleda ovako:
S obzirom da uz ne stoji ništa, to je zapravo isto kao . Dakle, . Potrebna su
nam i rešenja kvadratne jednačine i :
√
√
Dakle, zadatu kvadratnu jednačinu možemo da rastavimo na proste činioce kao:
( )( )
( )( )
Konačno, naše finalno rešenje je:
( )
( )( )
2. Faktorisati polinom:
Rešenje sa postupkom:
Prvo izvlačimo ono što je zajedničko za svaki monom. U ovom slučaju, to je x:
( )
Zatim, potrebno je da rastavimo kvadratnu jednačinu. Ovo činimo pomoću sledećeg
obrasca:
( )( )
Naša kvadratna jednačina izgleda ovako:
S obzirom da uz ne stoji ništa, to je zapravo isto kao . Dakle, . Potrebna su
nam i rešenja kvadratne jednačine i :
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
17 www.skripteekof.com/matematika
√
√ ( )
Dakle, zadatu kvadratnu jednačinu možemo da rastavimo na proste činioce kao:
( )( )
( )( )
Konačno, naše finalno rešenje je:
( )
( )( )
3. Izračunati:
( ) ( )
Rešenje sa postupkom:
( ) ( )
Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim elementom delioca. Znači, delimo
sa . Rezultat tog deljenja je , što upisujemo desno od znaka jednakosti.
Drugi korak je da ovaj rezultat pomnožimo sa svakim članom delioca. Znači:
- množimo sa , čime dobijamo
- množimo sa , čime dobijamo
Treći korak je da svakom elementu ovog rezultata promenimo znak. Znači imamo:
Ovo upisujemo ispod deljenika i podvlačimo crtu.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 2: Polinomi
www.skripteekof.com/matematika 18
Četvrti i poslednji korak jeste da saberemo ono što je iznad crte koju smo podvukli. Dakle,
sabiramo i . Rezultat je . Ovaj rezultat upisujemo ispod crte.
Ovaj postupak ponavljamo sve dok ne dođemo do situacije da dobijeni rezultat
ispod crte jeste nižeg stepena od prvog elementa delioca, zbog čega ne možemo da
nastavimo deljenje.
U ovom zadatku ćemo proći i kroz ove korake detaljno:
Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim elementom delioca. Znači, delimo
sa . Rezultat tog deljenja je , što upisujemo desno od znaka jednakosti.
Drugi korak je da ovaj rezultat pomnožimo sa svakim članom delioca. Znači:
- množimo sa , čime dobijamo
- množimo sa , čime dobijamo
Treći korak je da svakom elementu ovog rezultata promenimo znak. Znači imamo:
Ovo upisujemo ispod deljenika i podvlačimo crtu.
Četvrti i poslednji korak jeste da saberemo ono što je iznad crte koju smo podvukli. Dakle,
sabiramo i . Rezultat je . Ovaj rezultat upisujemo ispod
crte.
Ponavljamo postupak dalje. Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim
elementom delioca. Znači, delimo sa . Rezultat tog deljenja je , što upisujemo
desno od znaka jednakosti.
Drugi korak je da ovaj rezultat pomnožimo sa svakim članom delioca. Znači:
- množimo sa , čime dobijamo
- množimo sa , čime dobijamo
Treći korak je da svakom elementu ovog rezultata promenimo znak. Znači imamo:
Ovo upisujemo ispod deljenika i podvlačimo crtu.
Četvrti i poslednji korak jeste da saberemo ono što je iznad crte koju smo podvukli. Dakle,
sabiramo i . Rezultat je . Ovaj rezultat upisujemo ispod
crte.
Ponavljamo postupak dalje. Prvi korak je da delimo prvi element deljenika sa prvim
elementom delioca. Znači, delimo sa . Rezultat tog deljenja je , što upisujemo
desno od znaka jednakosti.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
19 www.skripteekof.com/matematika
Drugi korak je da ovaj rezultat pomnožimo sa svakim članom delioca. Znači:
- množimo sa , čime dobijamo
- množimo sa , čime dobijamo
Treći korak je da svakom elementu ovog rezultata promenimo znak. Znači imamo:
Ovo upisujemo ispod deljenika i podvlačimo crtu.
Četvrti i poslednji korak jeste da saberemo ono što je iznad crte koju smo podvukli. Dakle,
sabiramo i . Rezultat je . Ovaj rezultat upisujemo ispod crte.
Primećujemo da ne možemo dalje da nastavimo deljenje, jer ne možemo da podelimo 82 sa
x. Time, ostatak zadatog deljenja je 82, a ono što smo upisali sa desne strane jednakosti je rešenje našeg
deljenja. Dakle rezultat deljenja je , sa ostatkom 82.
4. Skratiti razlomak:
Rešenje sa postupkom:
Da bismo skratili razlomak, potrebno je da rastavimo i gornji i donji deo razlomka na
proste činioce, da bismo videli šta sve može da se skrati. Odvojeno ćemo ovo obaviti za
gornji i donji deo razlomka.
Gornji deo razlomka rastavićemo na činioce pomoću Bezuove teoreme, jer je u pitanju puna
funkcija sa stepenom iznad 2 (imamo i , i i slobodan član). Prvo, moramo da
vidimo koji „mali“ broj (najčešće 1, -1, 2, ili -2) se može zameniti u ovu jednačinu umesto x
pa da vrednost izraza bude 0. Probajmo da učinimo ovo za :
Odlično, sa uspeli smo da dobijemo rezultat nula! Znači, . Prema Bezuovoj
teoremi, naš polinom treba da delimo sa ( ) , tj. ( ).
Dalje, treba da izračunamo ( ) ( ). Znamo za sigurno da će
ostatak deljenja biti nula, jer smo našli pravi broj prema Bezuovoj teoremi. Rezultat deljenja
će nam koristiti kao osnovna informacija za rastavljanje polinoma na činioce.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 2: Polinomi
www.skripteekof.com/matematika 20
( ) ( )
_______
____
Ukoliko posmatramo ovo deljenje s desna na levo, vidimo da možemo da zapišemo naš
deljenik ( ) kao:
( )( )
Time smo veliki polinom rastavili na činioce. Ono što je još potrebno da uradimo je da
proverimo da li možemo i kvadratnu jednačinu rastaviti na činioce.
Ovo činimo pomoću sledećeg obrasca:
( )( )
Naša kvadratna jednačina izgleda ovako:
Uz stoji dvojka, tako da . Potrebna su nam i rešenja kvadratne jednačine i :
√
√ ( )
Dakle, zadatu kvadratnu jednačinu možemo da rastavimo na proste činioce kao:
( )(
)
( )( )
Konačno, gornji deo razlomka potpuno rastavljen na čionice izgleda ovako:
( )( )( )
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
21 www.skripteekof.com/matematika
Ne zaboravimo da rastavimo na činioce i donji deo razlomka. Imamo , što možemo
rastaviti putem razlike kvadrata, tj. ( )( ). Štaviše, primenićemo
razliku kvadrata duplo. Prvo, imaćemo da su nam elementi i :
( )
( )( )
( ) ne možemo dalje da rastavimo, ali ( ) možemo, i to pomoću ponovne
primene razlike kvadrata, gde su nam sada elemeneti i :
( )( )( )
Dakle, ovako izgleda u potpunosti rastavljen donji deo razlomka:
( )( )( )
Konačno, naš početni razlomak u potpunosti rastavljen na činioce je:
( )( )( )
( )( )( )
Očigledno, možemo skratiti ( ) sa ( ), i ( ) sa ( ):
( )( )( )
( )( )( )
Finalni rezultat našeg zadatka je:
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 2: Polinomi
www.skripteekof.com/matematika 22
Kviz 2: Polinomi
Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni
rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije.
Zatim, pošaljite nam rešenja na www.facebook.com/skripte.ekof.98. Za svako tačno
rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe,
kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka.
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
1. Izračunati:
( ) ( )
2. Rastaviti na proste činioce sledeći polinom:
3. Rastaviti na proste činioce sledeći polinom:
4. Rastaviti na proste činioce sledeći polinom:
5. Rastaviti na proste činioce sledeći polinom:
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
23 www.skripteekof.com/matematika
Lekcija 3: Funkcije
Pregled lekcije
U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
oblast definisanosti funkcije – šta predstavlja i kako ga izračunati;
preseci funkcije sa osama – šta predstavljaju i kako doći do tačaka koje ih
određuju;
eksplicitni i implicitni oblik funkcije – zašto je to bitno i kako dolazimo do njih;
skiciranje linearnih i kvadratnih funkcija – kako ih predstaviti u koordinatnom
sistemu;
minimalna i maksimalna vrednost funkcije – u okviru čega ćemo ponoviti
izvode;
funkcija funkcije – kako računamo ovu neobičnu funkciju.
1. Oblast definisanosti (domen) funkcije
Verovatno već znate šta otprilike funkcija predstavlja. Funkcija nam jednostavno opisuje
način na koji neki „input“ pretvaramo u određeni „autput“. Matematički rečeno, funkcija
( ) nam opisuje način na koji promenljivu („input“) pretvaramo u određenu vrednost
(„autput“).
Primer.
Imamo funkciju ( )
. Ukoliko , onda će vrednost funkcije biti 1. Ukoliko
, onda će vrednost funkcije biti . Ukoliko je x = 3, onda će vrednost funkcije biti
itd.
Svaka funkcija ima svoj domen, tj. oblast definisanosti. Domen funkcije predstavlja sve
vrednosti x za koje je vrednost funkcije f(x) definisana u skupu realnih brojeva. Veoma
bitno je da znate tri osnovna slučaja kada postoji ograničenje na domen funkcije.
1) Kod razlomaka, imenilac mora biti različit od nule
Drugim rečima, kada vidite razlomak u okviru funkcije, sve ono što je „ispod razlomačke
crte“ ne sme biti jednako nuli.
Primer.
Imamo funkciju ( )
. Imenilac mora biti različit od nule, dakle:
Dakle, ova funkcija je definisana u skupu realnih brojeva, osim broja 1. Matematički:
* +
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije
www.skripteekof.com/matematika 24
2) Kod logaritama, ono što se logaritmuje mora biti > 0 i
osnova logaritma mora biti > 0 i različita od 1
Pokažimo ovo odmah na primeru.
Primer.
Imamo funkciju ( ) ( ). Pod logaritmom imamo , znači:
Takođe, bitno je da je osnova logaritma (u ovom slučaju 5) veća od nule i različita od 1.
Ukoliko bi se nepoznata x javila u osnovi logaritma, i ovaj uslov bi uticao na oblast
definisanosti funkcije.
Dakle, ova funkcija je definisana samo ako je x veće od -1. Matematički:
( )
3) Kod parnih korena, ono pod korenom mora biti ≥ 0
Pokažimo ovo odmah na primeru.
Primer.
Imamo funkciju ( ) √ . U pitanju je kvadratni koren što je parni koren, tako da
postoji ograničenje za domen funkcije. Pod korenom imamo , znači:
Dakle, ova funkcija je definisana samo ako je x veće ili jednako od -2. Matematički:
, )
BITNA NAPOMENA
Gore navedeno ograničenje važi samo za parne korene. Ukoliko imamo funkciju sa
neparnim korenom, ne postoji ograničenje za domen funkcije.
Primer.
Imamo funkciju ( ) √
. U pitanju je kubni koren što je neparni koren, tako da
ne postoji ograničenje za domen funkcije.
Dakle, ova funkcija je definisana na celom skupu realnih brojeva. Matematički:
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
25 www.skripteekof.com/matematika
2. Preseci funkcije sa osama
Funkcije najčešće seku i horizontalnu osu (x-osu) i vertikalnu osu (y-osu). Za vas je bitno
da znate kako da odredite koordinate tačaka gde funkcija seče ose.
1) Presek sa y-osom
Dobijamo kada zamenimo u funkciju da je .
Primer.
Imamo funkciju ( ) . Da bismo našli presek sa y-osom, zamenjujemo u
funkciju da je vrednost :
( )
( )
( )
Dobili smo da je vrednost funkcije 1 kada je x = 0, tako da presek sa y-osom jeste u tački:
( )
2) Presek sa x-osom
Dobijamo kada zamenimo u funkciju da je .
Primer.
Imamo funkciju ( ) . Da bismo našli presek sa x-osom, zamenjujemo u
funkciju da je vrednost :
( )
(jer f(x) je isto što i y)
(jer zamenjujemo da je )
Dobili smo da je vrednost funkcije -1/2 kada je y = 0, tako da presek sa x-osom jeste u
tački:
(
)
3. Eksplicitni i implicitni oblik funkcije
Bitno je da znamo da postoje dva različita oblika funkcije. Kada budemo skicirali grafike
linearnih funkcija, biće nam lakše da utvrdimo brojne značajne informacije o funkciji iz
eksplicitnog oblika funkcije. Stoga, hajmo da naučimo šta predstavljaju ovi jednostavni
koncepti:
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije
www.skripteekof.com/matematika 26
1) Implicitni oblik funkcije
Implicitni oblik funkcije jeste onaj oblik funkcije gde su x i y na istoj strani jednakosti.
Ovaj oblik nam ne govori puno o funkciji, niti nam pomaže da skiciramo funkciju. On je
vrlo „implicitan“ – ne govori nam skoro ništa o karakteristikama naše funkcije.
Primer.
Imamo funkciju . Da li vam ovo uopšte liči na funkciju? Svakako nije oblik koji
smo navikli da viđamo, gde je sa leve strane ( ) tj. , a sa desne strane neki izraz sa
promenljivom .
2) Eksplicitni oblik funkcije
Eksplicitni oblik funkcije jeste onaj oblik funkcije gde na levoj strani jednakosti imamo
f(x) tj. y, a na desnoj strani jednakosti imamo neki izraz sa promenljivom x. Ovaj
oblik linearne funkcije je prilično „eksplicitan“, jer nam daje informacije o koeficijentu
pravca (nagibu) funkcije, direktno nam govori koji je presek funkcije sa y-osom, i time nam
puno pomaže u skiciranju grafika.
Primer.
Imamo funkciju . Rekli smo da je ovo implicitni oblik. Da bi nam život bio lakši
i da bismo rešili zadatak na kolokvijumu, hajmo da prebacimo ovu funkciju u eksplicitni
oblik.
(treba samo y da bude levo)
(x na prvo mesto da bi bilo lakše)
Sada možemo videti mnoge stvari iz naše funkcije, a to su:
a) pored x stoji -1, što je koeficijent pravca tj. nagib funkcije.
b) slobodan član u funkciji je +1, što predstavlja vrednost y gde funkcija seče y-osu tj.A(x,
y)
4. Skiciranje linearnih i kvadratnih funkcija
Za kolokvijum i ispit vrlo je bitno da znamo da skiciramo funkcije. Sad ćemo naučiti kako
da skiciramo linearne i kvadratne funkcije.
1) Linearne funkcije
Linearne funkcije su one funkcije gde je najveći stepen 1. Prosto rečeno, u okviru
funkcije ne postoje x2, x3 itd.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
27 www.skripteekof.com/matematika
Primeri linearnih funkcija.
( )
( )
( )
Kako skiciramo linearne funkcije? Primenimo znanje iz drugog dela ove lekcije, preseci
funkcije sa osama:
a) odredimo presek funkcije sa y-osom i x-osom
b) ucrtamo ove tačke u koordinatni sistem
c) spojimo ove tačke kako bismo dobili traženu linearnu funkciju
Primer.
Uzmimo primer sledeće funkcije: ( ) .
Faza a): Određujemo presek funkcije sa y-osom i x-osom.
Imamo funkciju ( ) . Da bismo našli presek sa y-osom, zamenjujemo u
funkciju da je vrednost :
( )
( )
( )
Dobili smo da je vrednost funkcije 1 kada je x = 0, tako da presek sa y-osom jeste u tački:
( )
Da bismo našli presek sa x-osom, zamenjujemo u funkciju da je vrednost :
( )
(jer f(x) je isto što i y)
(jer zamenjujemo da je )
Dobili smo da je vrednost funkcije -1/2 kada je y = 0, tako da presek sa x-osom jeste u
tački:
(
)
Faza b) : Ucrtavamo ove tačke u koordinatnom sistemu.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije
www.skripteekof.com/matematika 28
Faza c): Spajamo ove tačke kako bismo dobili traženu funkciju.
2) Kvadratne funkcije
Kvadratne funkcije su one funkcije gde je najveći stepen 2. Prosto rečeno, u okviru
funkcije ne postoje x3, x4 itd.
Primeri kvadratnih funkcija.
( )
( )
( )
Kako skiciramo kvadratne funkcije? Potrebno je da prođemo sledeće korake:
a) odredimo koliko iznosi , tj. broj koji stoji uz x2 – ovo će nam reći da li se naša
kvadratna funkcija „smeje“ ili „plače“. Drugim rečima:
A(0,1)
B(-1/2,0)
𝒇(𝒙) 𝟐𝒙 𝟏
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
29 www.skripteekof.com/matematika
ako je a > 0, funkcija se „smeje“ :) ako je a < 0, funkcija „plače“ :(
Napomena: Ukoliko je a = 0, onda se kvadratna funkcija svodi zapravo na linearnu
funkciju.
b) rešimo kvadratnu jednačinu i time odredimo njena rešenja – ova rešenja će nam reći koji
su to preseci sa x-osom:
dva realna rešenja jedno realno rešenje kompleksna rešenja
imamo dva preseka sa x-osom imamo jedan presek sa x-osom nema preseka sa x
Primer.
Uzmimo primer funkcije ( ) . Hajmo da prođemo korake kako bismo došli
do njene skice.
Faza a): Određujemo koliko iznosi a. U ovoj funkciji, uz x2 stoji koeficijent 1. Dakle, a = 1.
S obzirom da je a > 0, zaključujemo da se naša kvadratna funkcija „smeje“.
Faza b): Rešavamo kvadratnu jednačinu
√
√ ( )
√
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije
www.skripteekof.com/matematika 30
Imamo dva realna i različita rešenja, tako da imamo dva preseka sa x-osom, i to -3 i 2.
Dakle, možemo skicirati našu kvadratnu funkciju:
NAPOMENA
Ukoliko želite da budete još precizniji u skiciranju kvadratne funkcije, možete odrediti i
presek sa y-osom tako što ćete zameniti u funkciju da je x = 0, kao i ekstremnu vrednost.
5. Ekstremna vrednost funkcije
Za kolokvijum je vrlo bitno da znamo da odredimo minimalnu odnosno maksimalnu
vrednost funkcije. Ovo ćemo vrlo lako postići primenom izvoda. Izvodi su jedna vrlo
obimna tema u matematici, koje je potrebno dosta da vežbate. Ovde ću se zadržati na
onome što nam je neophodno za prvi kolokvijum, a kasnije ćemo dosta detaljnije
obrađivati ovu oblast.
Smatram da je za prvi kolokvijum nije najbitnije da naučite samu suštinu izvoda, već šablon
kako da nalazite minimalne i maksimalne vrednosti funkcije. Kasnije će već sve doći na
svoje. Da ne bismo komplikovali stvari, za kolokvijum je neophodno da naučite:
izvode elementarnih funkcija – drugim rečima, tablicu elementarnih izvoda i
kako to da primenjujete u zadacima;
izvode zbira, razlike, proizvoda i količnika
izvod pomoću smene
Ovo je vrlo elementarno gradivo iz izvoda koja je velika većina vas prešla u srednjoj školi.
Takođe, u čistoj pismenoj formi je malo komplikovano za objasniti, tako da ću vam ostaviti
da izvode naučite iz elektronskih izvora. Preporučujem:
https://youtu.be/LtYiN74Ik8k (ne morate učiti definisanje izvoda, priraštaj i
slično)
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
31 www.skripteekof.com/matematika
http://www.rajak.rs/sr/video-lekcije/cetvrti-razred-srednje-skole/funkcije-izvod-
funkcije-1-257.html
Nemojte nastavljati pre nego što naučite i dobro izvežbate ovo iznad! Kada ste sigurni da
ste to dobro savladali, spremni ste da naučite kako odrediti minimalnu odnosno
maksimalnu vrednost funkcije.
Koraci koje prelazimo kada određujemo minimalnu odnosno maksimalnu vrednost
funkcije su sledeći:
a) određujemo prvi izvod funkcije
b) izjednačavamo prvi izvod funkcije sa nulom – time dobijamo vrednost x gde postoji
ekstrem funkcije (minimum ili maksimum)
c) ubacujemo dobijenu vrednost x u početnu funkciju – time dobijamo maksimalnu
odnosno minimalnu vrednost funkcije y
Primer.
Uzmimo primer funkcije ( ) . Hajmo da prođemo korake kako bismo došli
do njene ekstremne vrednosti.
Faza a: Određujemo prvi izvod funkcije:
( )
( )
Faza b: Izjednačavamo prvi izvod funkcije sa nulom:
( )
Faza c: Da bismo dobili ekstremnu vrednost funkcije, dobijenu vrednost x zamenjujemo u
početnu funkciju (NE U PRVI IZVOD!):
( )
.
/ (
)
.
/
.
/
Ekstremna vrednost funkcije je -21/4. Tačka ekstrema je u tački E(-1/2, -21/4).
BITNA NAPOMENA
Na kolokvijumu često neće biti potrebno da odredite da li je ovo minimum ili maksimum
funkcije. Međutim, inače ponekad će to i biti potrebno, a to vrlo lako možete učiniti:
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije
www.skripteekof.com/matematika 32
a) odrediti drugi izvod funkcije
b) ukoliko je pozitivan u pitanju je minimum; ukoliko je negativan u pitanju je maksimum
Primer.
Drugi izvod dobijamo kada radimo izvod prvog izvoda funkcije. Drugi izvod gore
pomenute funkcije ( ) je 2. S obzirom da je ovaj izvod pozitivan, u
pitanju je minimum funkcije.
6. Funkcija funkcije
Za kraj, pređimo ovaj vrlo kratki koncept u vezi funkcija. Suština je da argument funkcije
postaje cela druga funkcija. Drugim rečima, umesto promenljive u funkciji ( ), imamo
npr. funkciju ( ) – matematički zapisano: ( ( )). Izgleda malo rogobatno, ali sve će
biti jasnije kada pogledamo primer.
Primer.
Uzmimo da je ( ) , dok je ( ) . Zadatak može da nam traži sledeće
varijante:
a) Odredite ( ( )).
Kako ćemo ovo uraditi? Prosto ćemo tretirati ( ) kao ceo argument za ( ):
( ( )) ( ) -zamenimo g(x)
( ) -zamenimo u f(x)
b) Odredite ( ( )).
Kako ćemo ovo uraditi? Prosto ćemo tretirati ( ) kao ceo argument za ( ):
( ( )) ( ) -zamenimo f(x)
( ) -zamenimo u g(x)
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. Koja je najmanja vrednost sledeće funkcije:
( )
Rešenje sa postupkom:
Prvo tražimo vrednost nepoznate x u kojoj će funkcija biti u ekstremnoj vrednosti. To
činimo tako što prvi izvod funkcije izjednačavamo sa nulom:
( )
( )
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
33 www.skripteekof.com/matematika
Utvrdili smo da će funkcija imati ekstrem za . Da bismo dobili ekstremnu vrednost
funkcije f(x), ubacujemo vrednost u jednačinu funkcije:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
Konačno rešenje zadatka je . Funkcija ( ) dostiže minimum za , i ta
minimalna vrednost iznosi .
Proverimo da je ovo minimalna vrednost (minimum), a ne maksimalna vrednost
(maksimum) funkcije. Ovo činimo računajući drugi izvod funkcije. Ukoliko dobijemo
pozitivnu vrednost, u pitanju je minimum; ukoliko dobijemo negativnu vrednost, u pitanju
je maksimum.
( )
( )
( )
Dobili smo pozitivnu vrednost, čime smo dokazali da naša funkcija zaista ima minimum, a
ne maksimum.
2. Funkcija ima najveću vrednost za x = ____ i ona iznosi y = _____.
Rešenje sa postupkom:
Prvo tražimo vrednost nepoznate x u kojoj će funkcija biti u ekstremnoj vrednosti. To
činimo tako što prvi izvod funkcije izjednačavamo sa nulom:
( )
( )
Utvrdili smo da će funkcija imati ekstrem za . Da bismo dobili ekstremnu vrednost
funkcije f(x), ubacujemo vrednost u jednačinu funkcije:
( )
( )
( )
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije
www.skripteekof.com/matematika 34
( )
Maksimalna vrednost funkcije je . Funkcija ( ) dostiže maksimum za , i ta
maksimalna vrednost iznosi .
Proverimo da je ovo maksimalna vrednost (maksimalna), a ne minimalna vrednost
(minimum) funkcije. Ovo činimo računajući drugi izvod funkcije. Ukoliko dobijemo
pozitivnu vrednost, u pitanju je minimum; ukoliko dobijemo negativnu vrednost, u pitanju
je maksimum.
( )
( )
( )
Dobili smo negativnu vrednost, čime smo dokazali da naša funkcija zaista ima maksimum,
a ne minimum.
3. Neka je:
( )
( ) ( )
U koordinatnom sistemu pOq skicirati grafike ovih funkcija.
Rešenje sa postupkom:
Odvojeno ćemo skicirati grafik za funkciju ( ) i grafik za funkciju ( ) ( ).
Takođe, odvojeno ćemo tražiti i potrebne informacije za skiciranje ovih funkcija.
Kada govorimo o funkciji ( ), primećujemo da je ovo jedna „obična“ linearna funkcija,
koju odmah možemo skicirati poznatim postupkom ranije prikazanim na str.27 u odeljku 4
ove lekcije. p tretiramo kao x, a q kao y, jer imamo koordinatni sistem pOq (p je
horizontalna osa, a q je vertikalna osa).
Faza a): Određujemo presek funkcije sa q-osom i p-osom.
Imamo funkciju ( ) . Da bismo našli presek sa q-osom, zamenjujemo u
funkciju da je vrednost :
( )
( )
( )
Dobili smo da je vrednost funkcije 12 kada je p = 0, tako da presek sa q-osom jeste u tački:
( )
Da bismo našli presek sa p-osom, zamenjujemo u funkciju da je vrednost :
( )
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
35 www.skripteekof.com/matematika
(jer zamenjujemo da je )
Dobili smo da je vrednost funkcije 4 kada je q = 0, tako da presek sa p-osom jeste u tački:
( )
Faza b): Ucrtavamo ove tačke u koordinatnom sistemu.
Faza c): Spajamo ove tačke kako bismo dobili traženu funkciju.
Kada govorimo o funkciji ( ), primećujemo da je ovo malo neobična funkcija. Međutim,
kada zamenimo funkciju ( ) u nju i izrazimo sve preko , dobijamo kvadratnu funkciju
koju poznatim postupkom ranije prikazanim na str.28-30 u odeljku 4 ove lekcije možemo
A(0,12)
B(4,0)
A(0,12)
B(4,0)
𝒒𝟏(𝒑) 𝟏𝟐 𝟑𝒑
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije
www.skripteekof.com/matematika 36
skicirati. Kao i kod prve funkcije, p tretiramo kao x, a q kao y, jer imamo koordinatni
sistem pOq (p je horizontalna osa, a q je vertikalna osa):
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
Faza a): Određujemo koliko iznosi a. U ovoj funkciji, uz p2 stoji koeficijent 3. Dakle, a = 3.
S obzirom da je a > 0, zaključujemo da se naša kvadratna funkcija „smeje“.
Faza b): Rešavamo kvadratnu jednačinu
√
√
Imamo dva realna i različita rešenja, tako da imamo dva preseka sa p-osom, i to 2 i 4.
Dakle, možemo skicirati našu kvadratnu funkciju:
NAPOMENA br.1: PRECIZNIJE SKICIRANJE GRAFIKA
Na kolokvijumu je dovoljno da ovako skicirate kvadratnu funkciju. Međutim, ukoliko vam
ostane vremena, ne bi bilo loše da odredite i ekstrem funkcije i presek sa y-osom (u ovom
slučaju q-osom), kako biste preciznije skicirali grafik. Ovo će vam svakako koristiti kasnije
za ispit.
NAPOMENA br.2: SPECIFIČNOSTI FUNKCIJA Q i P
Kada su u pitanju funkcije q i p, bitno je da znate osnovne uslove: q > 0 i p > 0. Ovi uslovi
postoje iz razloga što se q odnosi na količinu proizvoda, a p na cenu. Nema ekonomskog
smisla da se dobije negativna količina i cena.
NAPOMENA br.1: PRECIZNIJE SKICIRANJE GRAFIKA
Na kolokvijumu je dovoljno da ovako skicirate kvadratnu funkciju. Međutim, ukoliko
vam ostane vremena, ne bi bilo loše da odredite i ekstrem funkcije i presek sa y-osom
(u ovom slučaju q-osom), kako biste preciznije skicirali grafik. Ovo će vam svakako
koristiti kasnije za ispit.
NAPOMENA br.2: SPECIFIČNOSTI FUNKCIJA Q i P
Kada su u pitanju funkcije q i p, bitno je da znate osnovne uslove: q > 0 i p > 0. Ovi
uslovi postoje iz razloga što se q odnosi na količinu proizvoda (quantity), a p na cenu
(price). Nema ekonomskog smisla da se dobije negativna količina i cena.
NAPOMENA br.3: RAZLIČITI KOORDINATNI SISTEMI
U ovakvim zadacima često je dato kakav koordinatni sistem da crtate, u okviru zapisa
„Dekartov koordinatni sistem pOq“. Prvi element tretirate kao x-osu (ujedno i kao
nepoznatu x), a drugi element kao y-osu (ujedno kao nepoznatu y). U zadacima se
najčešće javljaju sistemi pOq, qOp, xOy i yOx.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
37 www.skripteekof.com/matematika
4. Ako je ( )
, odrediti koliko iznosi ( ( ))
Rešenje sa postupkom:
Kako ćemo ovo uraditi? Prosto ćemo tretirati ( ) kao ceo argument za ( ):
( ( )) (
)
Znamo kako se rešava dvojni razlomak, tako da ovo vrlo jednostavno rešavamo:
5. Odrediti oblast definisanosti sledećih funkcija:
a) ( )
b) ( ) ( )
c) ( ) √
d) ( ) √
Rešenje sa postupkom:
a) Imenilac razlomka mora biti različit od nule. Znači:
Kada rešimo ovu kvadratnu jednačinu pomoću formule, rešenja koja ćemo dobiti za x su -3
i 2. Dakle, oblast definisanosti funkcije je:
* +
b) Ono pod logaritmom mora biti veće od nule. Znači:
Dakle, oblast definisanosti funkcije je:
( )
c) Kada imamo neparne korene, nema ograničenja za x. Dakle, oblast definisanosti funkcije
je:
d) Kada imamo parne korene, ono pored korenom mora biti veće ili jednako od nule.
Znači:
Dakle, oblast definisanosti funkcije je:
, )
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 3: Funkcije
www.skripteekof.com/matematika 38
Kviz 3: Funkcije
Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni
rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije.
Zatim, pošaljite nam rešenja na www.facebook.com/skripte.ekof.98. Za svako tačno
rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe,
kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka.
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
1. Funkcija ima najmanju vrednost za x = ____ i ona iznosi y =
_____.
2. U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu qOp, skicirati grafike
funkcija:
3. U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu qOp, skicirati grafike
funkcija:
4. Za datu funkciju ( )
u qOp sistemu skicirati grafik funkcije ( ) i
odrediti preseke sa obe ose.
5. U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu qOp, skicirati grafike
funkcija:
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
39 www.skripteekof.com/matematika
Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
(jednačine i nejednačine)
Pregled lekcije
U okviru ovel lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
linearne jednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;
kvadratne jednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;
linearne nejednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo;
kvadratne nejednačine – šta predstavljaju i kako ih rešavamo.
Uvod
Imamo divnu vest za vas. Sigurni smo da već znate da rešavate linearne jednačine, jer ste
ovo radili još kod učiteljice, kvadratne jednačine takođe, a i većina vas verovatno je dosta
dobro izvežbana u oblasti linearnih i kvadratnih nejednačina. Svakako ćemo ponoviti kako
se to radi i preći nekoliko primera, a i pre svega uputićemo vas na ono što velika većina
studenata zaboravi da uradi.
Zlatno pravilo
Čim vidite u zadatku jednačinu ili nejednačinu, odredite ograničenja za x u pogledu
domena (ona tri pravila koja smo naučili u prethodnoj lekciji). Ovo je ključno da
zapamtite, jer čak ukoliko šablonskim postupkom i dođete do pravih rešenja jednačine ili
nejednačine, može se desiti da ta rešenja ne pripadaju domenu. Tada rešenja zapravo nisu
rešenja, i ukoliko to ne naznačite, neće vam biti priznat zadatak na kolokvijumu i ispitu!
Mala pomoć
- Linearno znači da nigde ne možete da vidite x2, x3 itd. Najveći stepen koji se javlja kod x je
jedan.
- Kvadratno znači da nigde ne možete da vidite x3, x4 itd. Najveći stepen koji se javlja kod x je
dva, tj. x2.
- Jednačina znači da tražimo određenu nepoznatu x (postoji znak jednakosti =).
- Nejednačina znači da tražimo određenu oblast rešenja za x (postoji znak nejednakosti).
Znakovi nejednakosti mogu biti:
< manje
> veće
≤ manje ili jednako
≥ veće ili jednako
≠ različito
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
www.skripteekof.com/matematika 40
1. Linearne jednačine
Ovo je najjednostavniji oblik jednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x jedan.
Postupak za rešavanje je sledeći:
1) obavezno proveravamo koji je domen za x
2) x prebacujemo na jednu stranu, dok sve ostalo prebacujemo na drugu stranu jednakosti
Primer.
Reši jednačinu – .
(prebacujemo x na levu stranu)
U jednačini nema ni razlomaka, ni logaritama ni parnih korena, tako da nema ograničenja
za domen i time
jeste rešenje ove jednačine.
Primer.
Reši jednačinu
.
(množimo sa )
U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen.
spada u domen i pored ovog ograničenja, tako da
jeste rešenje ove
jednačine.
2. Kvadratne jednačine
Ovo je vrlo jednostavan oblik jednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x dva.
Postupak za rešavanje je sledeći:
1) obavezno proveravamo koji je domen za x
2) sredimo jednakost ako je potrebno i rešimo kvadratnu jednačinu putem formule
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
41 www.skripteekof.com/matematika
Primer.
Reši jednačinu .
Kada prebacimo šesticu na levu stranu, naša jednačina svodi se na
√
√ ( )
√
U jednačini nema ni razlomaka, ni logaritama ni parnih korena, tako da nema ograničenja
za domen i time -3 i 2 zaista jesu rešenja ove kvadratne jednačine.
3. Linearne nejednačine
Ovo je najjednostavniji oblik nejednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x jedan.
Postupak za rešavanje je sledeći:
1) obavezno proveravamo koji je domen za x
2) x prebacujemo na jednu stranu, dok sve ostalo prebacujemo na drugu stranu jednakosti
*) kod razlomaka, na desnoj strani ne ostavljamo ništa tj. ostavljamo nulu (vidi drugi
primer)
3) u slučaju razlomaka, analiziramo kada funkcija zadovoljava nejednakost, putem tabele
BITNA NAPOMENA
Kod nejednačina je ključno da pazite na MINUSE. Ukoliko množite ili delite čitavu
nejednakost sa negativnim brojem, znak nejednakosti se obrće.
Primer.
Reši nejednačinu – .
(prebacujemo x na levu stranu)
U jednačini nema ni razlomaka, ni logaritama ni parnih korena, tako da nema ograničenja
za domen i time skup rešenja ove nejednačine jeste
.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
www.skripteekof.com/matematika 42
Primer.
Reši nejednačinu
.
(prebacujemo 1 na levu stranu)
(sređujemo razlomak)
-
0 +
─ ─ +
─ + +
( ) + ─ +
Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim
negativna. Svaki činilac gledamo zasebno.
je nula u . Ako je manji od , i će biti negativan. Ako je veći od nule, i
će biti pozitivan.
je nula u
. Ako je manji od
, će biti negativno. Ako je
veći od
, će biti pozitivno.
( ) predstavlja celu našu funkciju
. Minus i minus daju plus, minus i plus daju
minus, a plus i plus daju plus.
Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Iz tabele vidimo da je funkcija veća
od nule ukoliko je (
) ( )
U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen.
Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje
je sledeće:
(
) ( )
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
43 www.skripteekof.com/matematika
BITNA NAPOMENA
- Kod < i >, svakako ne uračunavamo u rešenje granične vrednosti (npr. ovde
)
- Kod ≤ i ≥ se može desiti da uračunamo u rešenje granične vrednosti, ukoliko i ona
pripadaju domenu
4. Kvadratne nejednačine
Ovo je relativno jednostavan oblik nejednačina, gde je najveći stepen koji se javlja kod x
dva. Postupak za rešavanje je sledeći:
1) obavezno proveravamo koji je domen za x
2) sve prebacujemo na jednu (levu) stranu, dok na desnoj strani ostavljamo nulu
3) analiziramo kada je nejednakost zadovoljena, preko skice i/ili tabele
Primer.
Reši nejednačinu
.
Prvo rešavamo kvadratnu jednačinu iz brojioca, jer će nam to biti potrebno da bismo
analizirali znak funkcije:
√
√( ) ( )
( )
√
√
Pravimo tabelu da bismo analizirali znak funkcije. Popunjavamo informacije za svaki činilac.
- -4 0 1 +
-x2-3x+4 ─ + + ─
x ─ ─ + +
f(x) + ─ + ─
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
www.skripteekof.com/matematika 44
Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim
negativna. Svaki činilac gledamo zasebno.
je nula u . Ako je manji od , i će biti negativan. Ako je veći od nule, i
će biti pozitivan.
je nula u i . S obzirom da je , funkcija „plače“ (vidi
skicu ispod tabele). Samo u oblasti između -4 i 1 vrednost funkcije je pozitivna.
f(x) predstavlja celu našu funkciju
. Minus i minus daju plus, plus i minus
daju minus, plus i plus daju plus, i minus i plus daju minus.
Nejednakost zahteva da naša funkcija veća ili jednaka nuli. Iz tabele vidimo da je funkcija
veća ili jednaka od nule ukoliko je ( - , -
U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen.
Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje
je sledeće:
( - ( -
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
Rešenje sa postupkom:
Čim imamo razlomak u nejednačini, pravićemo tabelu. Da bismo to učinili, potrebno je da
sve prebacimo sa leve strane, tako da na desnoj strani samo ostane nula:
Sredimo sada izraz sa leve strane. Zajednički imenilac je ( ) prvi razlomak ostaje isti,
dok drugi množimo sa ( ):
( )
-4 1 ─ ─
+ 𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝟒
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
45 www.skripteekof.com/matematika
Sada možemo da napravimo tabelu:
+
─ + +
─ ─ +
( ) + ─ +
Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim
negativna. Svaki činilac gledamo zasebno.
je nula u
. Ako je manji od
, će biti negativno. Ako je
veći od
, će biti pozitivno.
je nula u . Ako je manji od , će biti negativno. Ako je veći od
, će biti pozitivno.
( ) predstavlja celu našu funkciju
. Minus i minus daju plus, minus i plus daju
minus, a plus i plus daju plus.
Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja ili jednaka od 0. Iz tabele vidimo da je
funkcija manja ili jednaka od nule ukoliko je 0
1
U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen.
Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje
je sledeće:
[
)
2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
Rešenje sa postupkom:
Prvo ćemo srediti izraz kako bismo došli do uobičajenog oblika kvadratne nejednačine:
√
√( )
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
www.skripteekof.com/matematika 46
√
Skiciramo kvadratnu funkciju kako bismo videli gde je pozitivna, a gde negativna. U našoj
funkciji , tako da se naša funkcija smeje, i seče x-osu u 3 i 5:
Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja ili jednaka od 0. Sa skice grafika
vidimo da je funkcija manja ili jednaka od nule ukoliko je , -
U jednačini nemamo razlomak, tako da nema ograničenja za domen.
Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x ne izuzimamo nijednu vrednost i naše konačno
rešenje je sledeće:
, -
3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
Rešenje sa postupkom:
Čim imamo razlomak u nejednačini, pravićemo tabelu. Da bismo to učinili, potrebno je da
sve prebacimo sa leve strane, tako da na desnoj strani samo ostane nula:
Sredimo sada izraz sa leve strane. Zajednički imenilac je ( ) prvi razlomak ostaje isti,
dok drugi množimo sa ( ):
( )
3 5 ─
+
𝒙𝟐 𝟖𝒙 𝟏𝟓
+
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
47 www.skripteekof.com/matematika
Sada možemo da napravimo tabelu:
+
─ + +
─ ─ +
( ) + ─ +
Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim
negativna. Svaki činilac gledamo zasebno.
je nula u Ako je manji od , će biti negativno. Ako je veći
od , će biti pozitivno.
je nula u . Ako je manji od , će biti negativno. Ako je veći
od , će biti pozitivno.
( ) predstavlja celu našu funkciju
. Minus i minus daju plus, minus i plus daju
minus, a plus i plus daju plus.
Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća ili jednaka od 0. Iz tabele vidimo da je
funkcija veća ili jednaka od nule ukoliko je ( - , )
U jednačini imamo razlomak, tako da ima ograničenja za domen.
Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x izuzimamo ovu vrednost i naše konačno rešenje
je sledeće:
( - ( )
4. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
Rešenje sa postupkom:
Prvo ćemo srediti izraz kako bismo došli do uobičajenog oblika kvadratne nejednačine:
√
√( )
√
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
www.skripteekof.com/matematika 48
Skiciramo kvadratnu funkciju kako bismo videli gde je pozitivna, a gde negativna. U našoj
funkciji , tako da se naša funkcija smeje, i seče x-osu u 1 i 5:
Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Sa skice grafika vidimo da je
funkcija veća od nule ukoliko je ( ) ( )
U jednačini nemamo razlomak, tako da nema ograničenja za domen.
Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x ne izuzimamo nijednu vrednost i naše konačno
rešenje je sledeće:
( ) ( )
5. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
Rešenje sa postupkom:
Prvo ćemo srediti izraz kako bismo došli do uobičajenog oblika kvadratne nejednačine:
√
√( )
√
1 5 ─
+
𝒙𝟐 𝟔𝒙 𝟓
+
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
49 www.skripteekof.com/matematika
Skiciramo kvadratnu funkciju kako bismo videli gde je pozitivna, a gde negativna. U našoj
funkciji , tako da se naša funkcija smeje, i seče x-osu u 1 i 5:
Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja od 0. Sa skice grafika vidimo da je
funkcija manja od nule ukoliko je ( )
U jednačini nemamo razlomak, tako da nema ograničenja za domen.
Zato iz skupa rešenja koje smo našli za x ne izuzimamo nijednu vrednost i naše konačno
rešenje je sledeće:
( )
6. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
Rešenje sa postupkom:
Prvo sređujemo izraz, tako što sve prebacujemo sa leve strane, kako bi na desnoj strani
ostala samo nula:
Razlomak će da bude nula onda kada mu je brojilac nula. Tako da iz ovoga sledi:
Uslov za oblast definisanosti koji ne smemo da zaboravimo jeste da , odnosno
. Naše rešenje zaista ispunjava ovaj uslov, tako da konačno rešenje zadatka je:
1 5 ─
+
𝒙𝟐 𝟔𝒙 𝟓
+
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
www.skripteekof.com/matematika 50
Kviz 4: Racionalni algebarski izrazi
Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni
rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije.
Zatim, pošaljite nam rešenja na www.facebook.com/skripte.ekof.98. Za svako tačno
rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe,
kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka.
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
1. U skupu realnih brojeva, rešiti jednačinu:
2. U skupu realnih brojeva, rešiti nejednačinu:
3. U skupu realnih brojeva, rešiti nejednačinu:
4. U skupu realnih brojeva, rešiti nejednačinu:
5. U skupu realnih brojeva, rešiti nejednačinu:
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
51 www.skripteekof.com/matematika
Lekcija 5: Apsolutna vrednost
Pregled lekcije
U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
apsolutna vrednost broja - šta predstavlja i koja je njena suština;
skiciranje grafika funkcije sa apsolutnom vrednošću;
primena apsolutne vrednosti na jednačine i nejednačine.
Uvod
Apsolutna vrednost je jedan vrlo jednostavan koncept za razumeti, što ćemo videti kada
budemo definisali šta on predstavlja. Međutim, ono na šta bih da vam skrenemo pažnju
jeste da nikako ne preskočite primenu apsolutne vednosti na jednačine i nejednačine i
skiciranje grafika funkcije sa apsolutnom vrednošću. Ovo se često previdi jer nema tu
mnogo gradiva i dosta liči na ono što smo već naučili u lekcijama 3 i 4, ali je zapravo veoma
bitno da uradite dosta primera i dobro izvežbate baratanje sa apsolutnim vrednostima.
1. Apsolutna vrednost broja
Najjednostavnije rečeno, apsolutna vrednost broja je njegova numerička vrednost, ukoliko
ignorišemo predznak minus ili plus.
Primer.
- Apsolutna vrednost broja -3 je 3. Matematički zapisano: | | .
- Apsolutna vrednost broja 5 je 5. Matematički zapisano: | |
Koja bi bila apsolutna vrednost broja x? Imamo dva slučaja, koja je ključno da zapamtite.
| | 2
Šta znači ovaj matematički zapis?
- Apsolutna vrednost broja iznosi , ukoliko je veće ili jednako od nule (npr. ukoliko je
, to znači da je veće ili jednako od nule, tako da je apsolutna vrednost ).
- Apsolutna vrednost broja iznosi – , ukoliko je manje od nule (npr. ukoliko je
, to znači da je manje od nule, tako da je apsolutna vrednost – (– ) ).
BITNA NAPOMENA
Upravo zbog toga, jednačine i nejednačine sa apsolutnim vrednostima rešavamo na isti
način kao i one bez apsolutnih vrednosti, uz jednu razliku – raščlanjavamo ih na 2 dela.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 5: Apsolutna vrednost
www.skripteekof.com/matematika 52
2. Skiciranje grafika
U lekciji 3 smo naučili da skiciramo grafike linearnih i kvadratnih funkcija. Koja bi razlika
bila kod skiciranja funkcije sa apsolutnom vrednošću?
Zapravo, grafik se skicira identično. Prvo zanemarite da postoji apsolutna zagrada i
normalno nacrtajte funkciju, a zatim učinite nešto vrlo bitno – izbacite sve negativne
vrednosti sa vašeg grafika, preslikavajući ih na pozitivne. Pokazaćemo ovo na primeru
kako bi bilo jasno na šta se misli.
Primer.
Skiciraj grafik funkcije | |.
Prvo zanemarimo da postoje apsolutne zagrade. Skicirajmo grafik funkcije
Šta treba da promenimo na grafiku kako bismo došli do grafika funkcije | |? Levo od
nule, imamo negativne vrednosti funkcije, što kod apsolutne vrednosti nije moguće jer je
ona uvek veća ili jednaka od nule. Potrebno je samo da preslikamo ove negativne vrednosti
na pozitivne, kao da je x-osa ogledalo. To bi izgledalo ovako:
𝒚 𝒙
𝒚 |𝒙|
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
53 www.skripteekof.com/matematika
3. Primena na jednačine i nejednačine
Jednačine i nejednačine sa apsolutnim vrednostima rešavamo gotovo identično kao
jednačine i nejednačine bez apsolutnih vrednosti. Jedino što treba da uradimo zbog
apsolutnih vrednosti jeste da raščlanimo jednačinu ili nejednačinu na dva slučaja:
1) Ukoliko je izraz pod apsolutnom vrednošću veći ili jednak 0, izraz ima predznak +
2) Ukoliko je izraz pod apsolutnom vrednošću manji od 0, izraz ima predznak –
Konačno rešenje je unija rešenja koje nađemo u svakom od ovih slučajeva pojedinačno.
Primer.
Reši jednačinu | | .
Prvi slučaj: , izraz ima predznak +
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
Naše rešenje jeste veće ili jednako od
, te zadovoljava ovaj uslov i uračunavamo ga u
konačni skup rešenja.
Drugi slučaj: , izraz ima predznak –
( )
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
Naše rešenje jeste manje od -
, te zadovoljava ovaj uslov i uračunavamo ga u konačni skup
rešenja.
Dakle, konačno rešenje ove jednačine je * +.
BITNA NAPOMENA
Isti postupak bismo radili i kod nejednačina, samo za skup rešenja. Kada razdvojimo
nejednačinu na pojedinačne slučajeve, skup rešenja za svaki slučaj pojedinačno dobijamo
kao presek uslova za taj slučaj i dobijenog rešenja. Konačno rešenje je unija rešenja
svih pojedinačnih slučajeva.
Primer možete pogledati na sledećem linku: https://youtu.be/TIoxTAYTOuo
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 5: Apsolutna vrednost
www.skripteekof.com/matematika 54
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
| |
Rešenje sa postupkom:
Prvi slučaj: , izraz ima predznak +
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
Presek ova dva skupa jeste rešenje za prvi slučaj. Šta tačno obuhvata rešenje lakše
možemo da vidimo preko brojevne prave:
Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i
>), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova ≤ i
≥. Dakle, rešenje za prvi slučaj jeste:
[
)
Drugi slučaj: , izraz ima predznak
( )
Dobili smo tačan iskaz, koji važi za svako x iz realnih brojeva. Znači naše rešenje je:
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
1
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
55 www.skripteekof.com/matematika
Presek ova dva skupa jeste rešenje za drugi slučaj. Jasno je da je presek skupa svih
brojeva i prosto ceo uslov . Dakle rešenje za drugi slučaj je:
Konačno, finalno rešenje zadate nejednačine jeste UNIJA rešenja za prvi i drugi slučaj.
Možemo to prikazati i na brojevnoj pravoj:
Dakle, konačno rešenje i unija rešenja za prvi slučaj i rešenja za drugi slučaj je:
( ) [
)
(
)
2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
| |
Rešenje sa postupkom:
Prvi slučaj: , izraz ima predznak +
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
Presek ova dva skupa jeste rešenje za prvi slučaj. Šta tačno obuhvata rešenje lakše
možemo da vidimo preko brojevne prave:
Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i
>), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova ≤ i
≥. Dakle, rešenje za prvi slučaj jeste:
, )
1
1
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 5: Apsolutna vrednost
www.skripteekof.com/matematika 56
Drugi slučaj: , izraz ima predznak
( )
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
Presek ova dva skupa jeste rešenje za drugi slučaj. Šta presek obuhvata možemo lakše da
vidimo na brojevnoj pravoj:
Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i
>), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova ≤ i
≥. Dakle, rešenje za drugi slučaj jeste:
[
)
Konačno, finalno rešenje zadate nejednačine jeste UNIJA rešenja za prvi i drugi slučaj.
Možemo to prikazati i na brojevnoj pravoj:
Dakle, konačno rešenje i unija rešenja za prvi slučaj i rešenja za drugi slučaj je:
[
) , )
[
)
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
57 www.skripteekof.com/matematika
3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
| |
Rešenje sa postupkom:
Prvi slučaj: , izraz ima predznak +
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
Naše rešenje nije veće ili jednako od , te ne zadovoljava ovaj uslov i ne uračunavamo ga
u konačni skup rešenja.
Drugi slučaj: , izraz ima predznak
Ovo rešenje mora da zadovoljava postavljeni uslov:
Naše rešenje nije manje od , te ne zadovoljava ovaj uslov i ne uračunavamo ga u konačni
skup rešenja.
Konačni skup rešenja je . Alternativni zapis praznog skupa je * +.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
www.skripteekof.com/matematika 58
Kviz 5: Apsolutna vrednost
Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni
rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije.
Zatim, pošaljite nam rešenja na www.facebook.com/skripte.ekof.98. Za svako tačno
rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe,
kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka.
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
1. U skupu realnih brojeva, rešiti jednačinu:
| |
2. U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu xOy, skicirati krivu:
| |
3. Ako je , koliko je:
| | | |
4. U skupu realnih brojeva, rešiti nejednačinu:
| |
5. U skupu realnih brojeva, rešiti jednačinu:
| |
ŠTA DALJE?
DOSTUPNO SAMO U
FOTOKOPIRNICI
MINERVA
Fotokopirnica Minerva Gavrila Principa 44a, Beograd
/fotokopirnicaminerva
/fotokokopirnicaminerva
fotokopirnicaminerva.weebly.com
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 4: Racionalni algebarski izrazi
www.skripteekof.com/matematika 2
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 1
Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi
(jednačine i nejednačine)
Pregled lekcije
U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
➢ iracionalne jednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju;
➢ iracionalne nejednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju.
Uvod
Iracionalni algebarski izrazi su zapravo one jednačine i nejednačine gde imamo koren, i
pod korenom neki izraz sa nepoznatom x. Ovde ćemo se baviti samo rešavanjem prostih
slučajeva iracionalnih jednačina i nejednačina.
Obavezno detaljno pređite ovu lekciju. Zadaci iz ove oblasti se gotovo uvek javljaju na
prvom kolokvijumu, a tematika se dosta slabo obradi i izvežba. Vrlo često ostane i nejasna,
zbog čega se lako gube poeni na kolokvijumu. Ne dozvolite ovo sebi, detaljno pređite i
dobro izvežbajte ovu relativno kratku lekciju!
1. Iracionalne jednačine
Iracionalne jednačine su one jednačine gde se nepoznata x javlja pod korenom. Opšti
princip kako ćemo rešavati ove jednačine je sledeći:
1. prebacimo koren sa desne strane, a sve ostalo sa leve strane jednakosti;
2. kvadriramo jednakost dok ne dobijemo jednačinu bez korena;
3. rešimo jednačinu poznatim postupcima;
4. proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju jednačinu (obavezno!)
Primer.
Rešiti iracionalnu jednačinu √𝑥 + 7 = 𝑥 + 1.
Prvi korak: Sa desne strane već imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo, tako da nam
je ovde posao već olakšan i prvi korak urađen za nas.
Drugi korak:
Kvadriramo jednakost dok ne dobijemo izraz bez korena. Ovde je potrebno da to uradimo
samo jednom:
√𝑥 + 7 = 𝑥 + 1 /2
𝑥 + 7 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi
2 www.skripteekof.com/matematika
Treći korak:
Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija.
𝑥 + 7 = 𝑥2 + 2𝑥 + 1
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =−1 ± √12 − 4 ∗ 1 ∗ (−6)
2 ∗ 1
𝑥1,2 =−1 ± √25
2
𝑥1,2 =−1 ± 5
2
𝒙𝟏 = −𝟑
𝒙𝟐 = 𝟐
Četvrti korak:
S obzirom da nismo postavljali uslove za iracionalne jednačine (jer znaju malo da zbune),
obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju jednačinu.
√𝑥 + 7 = 𝑥 + 1
√−3 + 7 = −3 + 1
2 = −2 𝒙 = −𝟑 nije rešenje
√𝑥 + 7 = 𝑥 + 1
√2 + 7 = 2 + 1
3 = 3 𝒙 = 𝟐 jeste rešenje
2. Iracionalne nejednačine
Sa iracionalnim nejednačinama stvari su nešto komplikovanije, iz razloga što ne možemo da
„prevarimo sistem“ proveravanjem dobijenih rešenja. Drugim rečima, ovde moramo da se
pozabavimo određenim uslovima. Srećom, nije ništa toliko strašno – potrebno je da
naučite samo ovo:
Slučaj 1: √𝑃(𝑥) < 𝑄(𝑥)
uslovi:
1) 𝑄(𝑥) ≥ 0
2) 𝑃(𝑥) < 𝑄2(𝑥)
3) 𝑃(𝑥) > 0
konačno rešenje =
presek ova 3 uslova
Slučaj 2: √𝑃(𝑥) > 𝑄(𝑥)
uslovi:
1) 𝑄(𝑥) ≥ 0
2) 𝑃(𝑥) > 𝑄2(𝑥)
3) 𝑄(𝑥) < 0
4) 𝑃(𝑥) ≥ 0
presek
presek
konačno
rešenje =
unija ova
dva
preseka
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 3
Primer za slučaj 1.
Rešiti iracionalnu jednačinu √𝑥 + 6 < 𝑥 − 6.
Po gore navedenoj šemi, konačno rešenje ćemo dobiti kao presek sledeća tri uslova:
Prvi uslov:
𝑥 − 6 ≥ 0
𝒙 ≥ 𝟔
Drugi uslov:
𝑥 + 6 < (𝑥 − 6)2
𝑥 + 6 < 𝑥2 − 12𝑥 + 36
𝑥2 − 13𝑥 + 30 > 0
Rešenja kvadratne jednačine su 3 i 10. Skiciranjem grafika bismo dobili rešenje da je izraz
pozitivan za:
𝒙 ∈ (−∞, 𝟑) ∪ (𝟏𝟎, +∞)
Treći uslov:
𝑥 + 6 > 0
𝒙 > −𝟔
Možete skicirati ova tri uslova na brojevnoj pravoj kako biste lakše videli koji je presek sva
tri rešenja. To je 𝑥 ∈ (10, +∞) i to je konačno rešenje naše iracionalne nejednačine.
Primer za slučaj 2.
Rešiti iracionalnu jednačinu √𝑥 + 7 > 2𝑥 − 1.
Po gore navedenoj šemi, konačno rešenje ćemo dobiti kada nađemo uniju preseka para
uslova. Jednostavnije rečeno, tražimo presek prvog i drugog uslova, potom presek trećeg i
četvrtog uslova, a konačno rešenje je unija ova dva preseka.
Prvi uslov:
2𝑥 − 1 ≥ 0
2𝑥 ≥ 1
𝒙 ≥ 𝟏/𝟐
Drugi uslov:
𝑥 + 7 > (2𝑥 − 1)2
𝑥 + 7 > 4𝑥2 − 4𝑥 + 1
0 > 4𝑥2 − 5𝑥 − 6
4𝑥2 − 5𝑥 − 6 < 0
Rešenja kvadratne jednačine su 2 i -3/4. Skiciranjem grafika bismo dobili rešenje da je izraz
negativan za:
𝒙 ∈ (−𝟑
𝟒, 𝟐)
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi
4 www.skripteekof.com/matematika
Presek prvog i drugog uslova je sledeći. Uvek možete koristiti brojevnu pravu kako biste
lakše videli šta je presek određenih skupova rešenja.
𝒙 ∈ [ 𝟏
𝟐, 𝟐)
Pređimo na treći i četvrti uslov.
Treći uslov:
2𝑥 − 1 < 0
2𝑥 < 1
𝒙 < 𝟏/𝟐
Četvrti uslov:
𝑥 + 7 ≥ 0
𝒙 ≥ −𝟕
Presek trećeg i četvrtog uslova je sledeći. Uvek možete koristiti brojevnu pravu kako biste
lakše videli šta je presek određenih skupova rešenja.
𝒙 ∈ [−𝟕,𝟏
𝟐)
Konačno, finalno rešenje naše iracionalne nejednačine dobijamo kao uniju ova dva
preseka:
𝒙 ∈ [−𝟕, 𝟐)
BITNA NAPOMENA
Obratite pažnju da u poslednjem koraku kod slučaja 2 računamo UNIJU, a ne presek
skupova rešenja. Ovo je jedna od najčešćih grešaka na kolokvijumu.
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
√−𝑥 + 4 > −𝑥 + 2
Rešenje sa postupkom:
Ukoliko pogledamo šemu na str.2 koju je bitno da znate u pola noći, primetićemo da je ovo
slučaj 2 iracionalnih nejednačina, gde imamo četiri uslova, i naš konačni skup rešenja jeste
unija preseka prvog i drugog uslova, i preseka trećeg i četvrtog uslova. Postavka našeg
zadatka bi bila sledeća:
𝑃(𝑥) = −𝑥 + 4
𝑄(𝑥) = −𝑥 + 2
Prvi uslov:
Prvi uslov koji postavljamo jeste da je 𝑄(𝑥) ≥ 0:
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 5
−𝑥 + 2 ≥ 0
−𝑥 ≥ −2
𝒙 ≤ 𝟐
Drugi uslov:
Drugi uslov koji postavljamo jeste da je 𝑃(𝑥) > 𝑄2(𝑥)
−𝑥 + 4 > (−𝑥 + 2)2
−𝑥 + 4 > (2 − 𝑥)2
−𝑥 + 4 > 4 − 4𝑥 + 𝑥2
−𝑥2 + 3𝑥 > 0 / ∙ (−1)
𝑥2 − 3𝑥 < 0
𝑥(𝑥 − 3) < 0
Za ovo pravimo tabelu:
-∞ 0 3 +∞
𝑥 ─ + +
𝑥 − 3 ─ ─ +
𝒇(𝒙) + ─ +
Cilj ove tabele nam je da vidimo u kojim oblastima je naša funkcija pozitivna, a u kojim
negativna. Svaki činilac gledamo zasebno.
𝑥 je nula u 𝑥 = 0. Ako je 𝑥 manji od 0, i 𝑥 će biti negativan. Ako je 𝑥 veći od nule, i 𝑥
će biti pozitivan.
𝑥 − 3 je nula u 𝑥 = 3. Ako je 𝑥 manji od 3, 𝑥 − 3 će biti negativno. Ako je 𝑥 veći od 3,
𝑥 − 3 će biti pozitivno.
𝑓(𝑥) predstavlja celu našu funkciju 𝑥(𝑥 − 3). Minus i minus daju plus, minus i plus
daju minus, a plus i plus daju plus.
Nejednakost zahteva da naša funkcija bude manja od 0. Iz tabele vidimo da je funkcija
manja od nule ukoliko je 𝒙 ∈ (𝟎, 𝟑).
Presek prvog i drugog uslova je sledeći. Uvek možete koristiti brojevnu pravu kako biste
lakše videli šta je presek određenih skupova rešenja.
0 2 −∞ +∞ 3
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi
6 www.skripteekof.com/matematika
Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i
>), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova ≤ i
≥. Dakle, skup rešenja je:
𝒙 ∈ (𝟎, 𝟐]
Pređimo na treći i četvrti uslov.
Treći uslov:
Treći uslov koji postavljamo jeste da je 𝑄(𝑥) < 0:
−𝑥 + 2 < 0
−𝑥 < −2 /∙ (−1)
𝒙 > 𝟐
Četvrti uslov:
Četvrti uslov koji postavljamo jeste da je 𝑃(𝑥) ≥ 0:
−𝑥 + 4 ≥ 0
−𝑥 ≥ −4 /∙ (−1)
𝒙 ≤ 𝟒
Presek trećeg i četvrtog uslova je sledeći. Uvek možete koristiti brojevnu pravu kako biste
lakše videli šta je presek određenih skupova rešenja.
Prazan kružić znači da ne obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova < i
>), a pun kružić znači da obuhvatamo i taj konkretan broj (ovo imamo kod znakova ≤ i
≥. Dakle, skup rešenja je:
𝒙 ∈ (𝟐, 𝟒]
Konačno, finalno rešenje naše iracionalne nejednačine dobijamo kao uniju ova dva
preseka:
𝒙 ∈ (𝟎, 𝟒]
2 −∞ +∞ 4 0
2 −∞ +∞ 4
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 7
2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
√4𝑥 − 3 = −x
Rešenje sa postupkom:
Ukoliko pogledamo šemu na str.1, videćemo da je postupak za rešavanje iracionalne
jednačine uvek isti:
1. prebacimo koren sa desne strane, a sve ostalo sa leve strane jednakosti;
2. kvadriramo jednakost dok ne dobijemo jednačinu bez korena;
3. rešimo jednačinu poznatim postupcima;
4. proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju jednačinu (obavezno!)
Prođimo sad ove korake.
Prvi korak:
Sa desne strane već imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo, tako da nam je ovde
posao već olakšan i prvi korak urađen za nas.
Drugi korak:
Kvadriramo jednakost dok ne dobijemo izraz bez korena. Ovde je potrebno da to uradimo
samo jednom:
√4𝑥 − 3 = −𝑥 /2
4𝑥 − 3 = 𝑥2
Treći korak:
Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija..
−𝑥2 + 4𝑥 − 3 = 0 /∙ (−1)
𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =4 ± √(−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ 3
2 ∙ 1
𝑥1,2 =4 ± √4
2
𝑥1,2 =4 ± 2
2
𝒙𝟏 = 𝟑
𝒙𝟐 = 𝟏
Četvrti korak:
S obzirom da nismo postavljali uslove za iracionalne jednačine (jer znaju malo da zbune),
obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju početnu jednačinu.
√4𝑥 − 3 = −𝑥
√4 ∙ 3 − 3 = −3
3 = −3 𝒙 = 𝟑 nije rešenje
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi
8 www.skripteekof.com/matematika
√4𝑥 − 3 = −𝑥
√4 ∙ 1 − 3 = −1
1 = −1 𝒙 = 𝟏 nije rešenje
Dakle, finalni skup rešenja naše iracionalne jednačine jeste:
𝑥 ∈ ∅.
Alternativni zapis praznog skupa je 𝑥 ∈ { }.
3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
√𝑥 + 9 = x − 3
Rešenje sa postupkom:
Ukoliko pogledamo šemu na str.1, videćemo da je postupak za rešavanje iracionalne
jednačine uvek isti:
1. prebacimo koren sa desne strane, a sve ostalo sa leve strane jednakosti;
2. kvadriramo jednakost dok ne dobijemo jednačinu bez korena;
3. rešimo jednačinu poznatim postupcima;
4. proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju jednačinu (obavezno!)
Prođimo sad ove korake.
Prvi korak:
Sa desne strane već imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo, tako da nam je ovde
posao već olakšan i prvi korak urađen za nas.
Drugi korak:
Kvadriramo jednakost dok ne dobijemo izraz bez korena. Ovde je potrebno da to uradimo
samo jednom:
√𝑥 + 9 = 𝑥 − 3 /2
𝑥 + 9 = 𝑥2 − 6𝑥 + 9
Treći korak:
Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija.
𝑥2 − 7𝑥 = 0
𝑥(𝑥 − 7) = 0
Kada će ovaj izraz biti jednak nuli? Naravno, ukoliko je bilo koji od činilaca jednak nuli.
Znači:
𝒙𝟏 = 𝟎
𝒙𝟐 = 𝟕
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 9
Četvrti korak:
S obzirom da nismo postavljali uslove za iracionalne jednačine (jer znaju malo da zbune),
obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju početnu jednačinu.
√𝑥 + 9 = 𝑥 − 3
√0 + 9 = 0 − 3
3 = −3 𝒙 = 𝟎 nije rešenje
√𝑥 + 9 = 𝑥 − 3
√7 + 9 = 7 − 3
4 = 4 𝒙 = 𝟕 jeste rešenje
Dakle, finalni skup rešenja naše iracionalne jednačine jeste:
𝑥 ∈ {7}.
4. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
𝑥 − √𝑥 > 2
Rešenje sa postupkom:
Sredimo ovu nejednačinu kako bismo je sveli na slučaj 1 iracionalnih jednačina (šema na
str.2), da bi nam postupak bio lakši.
𝑥 − √𝑥 > 2
𝑥 − 2 > √𝑥
√𝑥 < 𝑥 − 2
Ukoliko pogledamo šemu na str.2 koju je bitno da znate u pola noći, primetićemo da je ovo
slučaj 1 iracionalnih nejednačina, gde imamo tri uslova, i naš konačni skup rešenja jeste
presek ova tri uslova. Postavka našeg zadatka bi bila sledeća:
𝑃(𝑥) = 𝑥
𝑄(𝑥) = 𝑥 − 2
Prvi uslov:
Prvi uslov koji postavljamo jeste da je 𝑄(𝑥) ≥ 0:
𝑥 − 2 ≥ 0
𝒙 ≥ 𝟐
Drugi uslov:
Drugi uslov koji postavljamo jeste da je 𝑃(𝑥) < 𝑄2(𝑥):
𝑥 < (𝑥 − 2)2
𝑥 < 𝑥2 − 4𝑥 + 4
0 < 𝑥2 − 5𝑥 + 4
𝑥2 − 5𝑥 + 4 > 0
Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu poznatim postupcima iz prethodnih lekcija.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi
10 www.skripteekof.com/matematika
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =5 ± √(−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ 4
2 ∙ 1
𝑥1,2 =5 ± √9
2
𝑥1,2 =5 ± 3
2
𝒙𝟏 = 𝟒
𝒙𝟐 = 𝟏
Skiciramo kvadratnu funkciju kako bismo videli gde je pozitivna, a gde negativna. U našoj
funkciji 𝑎 > 0, tako da se naša funkcija smeje, i seče x-osu u 1 i 4:
Nejednakost zahteva da naša funkcija bude veća od 0. Sa skice grafika vidimo da je funkcija
veća od nule ukoliko je:
𝒙 ∈ (−∞, 𝟏) ∪ (𝟒, +∞)
Treći uslov:
Treći uslov koji postavljamo jeste da je 𝑃(𝑥) > 0:
𝒙 > 𝟎
Konačno, finalno rešenje naše iracionalne nejednačine dobijamo kao presek ova tri uslova:
𝒙 ∈ (𝟒, +∞)
5. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
√6𝑥 − 8 = 𝑥
Rešenje sa postupkom:
Ukoliko pogledamo šemu na str.1, videćemo da je postupak za rešavanje iracionalne
jednačine uvek isti:
1. prebacimo koren sa desne strane, a sve ostalo sa leve strane jednakosti;
2. kvadriramo jednakost dok ne dobijemo jednačinu bez korena;
1 4 ─
+
𝑥2 − 5𝑥 + 4
+
2 −∞ +∞ 4 0 1
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 11
3. rešimo jednačinu poznatim postupcima;
4. proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju jednačinu (obavezno!)
Prođimo sad ove korake.
Prvi korak:
Sa desne strane već imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo, tako da nam je ovde
posao već olakšan i prvi korak urađen za nas.
Drugi korak:
Kvadriramo jednakost dok ne dobijemo izraz bez korena. Ovde je potrebno da to uradimo
samo jednom:
√6𝑥 − 8 = 𝑥 /2
6𝑥 − 8 = 𝑥2
Treći korak:
Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija.
−𝑥2 + 6𝑥 − 8 = 0 /∙ (−1)
𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =6 ± √(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 8
2 ∙ 1
𝑥1,2 =6 ± √4
2
𝑥1,2 =6 ± 2
2
𝒙𝟏 = 𝟒
𝒙𝟐 = 𝟐
Četvrti korak:
S obzirom da nismo postavljali uslove za iracionalne jednačine (jer znaju malo da zbune),
obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju početnu jednačinu.
√6𝑥 − 8 = 𝑥
√6 ∙ 4 − 8 = 4
4 = 4 𝒙 = 𝟒 jeste rešenje
√6𝑥 − 8 = 𝑥
√6 ∙ 2 − 8 = 2
2 = 2 𝒙 = 𝟐 jeste rešenje
Dakle, finalni skup rešenja naše iracionalne jednačine jeste:
𝑥 ∈ {2, 4}.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi
12 www.skripteekof.com/matematika
6. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
√𝑥 + 18 = 𝑥 − 2
Rešenje sa postupkom:
Ukoliko pogledamo šemu na str.1, videćemo da je postupak za rešavanje iracionalne
jednačine uvek isti:
1. prebacimo koren sa desne strane, a sve ostalo sa leve strane jednakosti;
2. kvadriramo jednakost dok ne dobijemo jednačinu bez korena;
3. rešimo jednačinu poznatim postupcima;
4. proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju jednačinu (obavezno!)
Prođimo sad ove korake.
Prvi korak:
Sa desne strane već imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo, tako da nam je ovde
posao već olakšan i prvi korak urađen za nas.
Drugi korak:
Kvadriramo jednakost dok ne dobijemo izraz bez korena. Ovde je potrebno da to uradimo
samo jednom:
√𝑥 + 18 = 𝑥 − 2 /2
𝑥 + 18 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4
Treći korak:
Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija.
−𝑥2 + 5𝑥 + 14 = 0 /∙ (−1)
𝑥2 − 5𝑥 − 14 = 0
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =5 ± √(−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ (−14)
2 ∙ 1
𝑥1,2 =5 ± √81
2
𝑥1,2 =5 ± 9
2
𝒙𝟏 = 𝟕
𝒙𝟐 = −𝟐
Četvrti korak:
S obzirom da nismo postavljali uslove za iracionalne jednačine (jer znaju malo da zbune),
obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju početnu jednačinu.
√𝑥 + 18 = 𝑥 − 2
√7 + 18 = 7 − 2
5 = 5 𝒙 = 𝟕 jeste rešenje
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 13
√𝑥 + 18 = 𝑥 − 2
√−2 + 18 = −2 − 2
4 = −4 𝒙 = −𝟐 nije rešenje
Dakle, finalni skup rešenja naše iracionalne jednačine jeste:
𝑥 ∈ {7}.
7. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
𝑥 − √𝑥 − 3 = 5
Rešenje sa postupkom:
Ukoliko pogledamo šemu na str.1, videćemo da je postupak za rešavanje iracionalne
jednačine uvek isti:
1. prebacimo koren sa desne strane, a sve ostalo sa leve strane jednakosti;
2. kvadriramo jednakost dok ne dobijemo jednačinu bez korena;
3. rešimo jednačinu poznatim postupcima;
4. proverimo da li dobijena rešenja zadovoljavaju jednačinu (obavezno!)
Prođimo sad ove korake.
Prvi korak:
Sa desne strane treba da imamo samo koren, a sa leve strane sve ostalo. Uradimo ovo tako
što ćemo prebaciti x na desnu stranu:
𝑥 − √𝑥 − 3 = 5
−√𝑥 − 3 = 5 − 𝑥
Drugi korak:
Kvadriramo jednakost dok ne dobijemo izraz bez korena. Ovde je potrebno da to uradimo
samo jednom:
−√𝑥 − 3 = 5 − 𝑥 /2
𝑥 − 3 = (5 − 𝑥)2
Treći korak:
Rešavamo ovu kvadratnu jednačinu već poznatim postupcima iz prethodnih lekcija.
𝑥 − 3 = 25 − 10𝑥 + 𝑥2
0 = 28 − 11𝑥 + 𝑥2
28 − 11𝑥 + 𝑥2 = 0
𝑥2 − 11𝑥 + 28 = 0
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 6: Iracionalni algebarski izrazi
14 www.skripteekof.com/matematika
𝑥1,2 =11 ± √(−11)2 − 4 ∙ 1 ∙ 28
2 ∙ 1
𝑥1,2 =11 ± √9
2
𝑥1,2 =11 ± 3
2
𝒙𝟏 = 𝟕
𝒙𝟐 = 𝟒
Četvrti korak:
S obzirom da nismo postavljali uslove za iracionalne jednačine (jer znaju malo da zbune),
obavezno proveravamo koja od dobijenih rešenja zadovoljavaju početnu jednačinu.
𝑥 − √𝑥 − 3 = 5
7 − √7 − 3 = 5
5 = 5 𝒙 = 𝟕 jeste rešenje
𝑥 − √𝑥 − 3 = 5
4 − √4 − 3 = 5
3 = 5 𝒙 = 𝟒 jeste rešenje
Dakle, finalni skup rešenja naše iracionalne jednačine jeste:
𝑥 ∈ {7}.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 15
Kviz 6: Iracionalni algebarski izrazi
Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni
rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije.
Zatim, pošaljite nam rešenja na www.facebook.com/skripte.ekof.98. Za svako tačno
rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe,
kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka.
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
√𝑥 + 3 > 𝑥 + 1
2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
√𝑥 + 2 < 4
3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
√2 − 𝑥 − 4 = 𝑥
4. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
√2𝑥 − 4 > 2𝑥
5. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
√𝑥 + 4 > 𝑥
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija
16 www.skripteekof.com/matematika
Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija
(jednačine i nejednačine)
Pregled lekcije
U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
➢ eksponencijalna funkcija - šta predstavlja i koje su njene osobine;
➢ eksponencijalne jednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju;
➢ eksponencijalne nejednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju.
Uvod
U ovoj lekciji bavićemo se eksponencijalnom funkcijom i rešavanjem jednačina i
nejednačina u vezi njih. Ovo je jedna od oblasti koja se gotovo uvek javlja na kolokvijumu.
Smatramo da je ovo jedna od lekcija koje se najbolje uče kroz primere i praćenje video
zapisa, nego kroz puko učenje teorije ili gledanje primera sa pisanog teksta. Stoga ćemo vas
ovde uputiti i do linkova koje treba da posetite da biste savladali lekciju. Video zapise
obavezno gledajte pažljivo i detaljno. Dok gledate video zapis, radite i primere koji
su u njemu obrađeni dok niste sigurni da ste u potpunosti savladali gradivo. Video
lekcije je izradila „Škola Rajak“ (www.rajak.rs) na vrlo kvalitetan način i na sličnom nivou
koji je potreban vama za prvi kolokvijum iz Matematike.
Linkovi
Ukoliko smatrate da je potrebno, ponovite pravila za stepenovanje i korenovanje. Biće
ključno da baratate ovim kod eksponencijalnih funkcija, kao i eksponencijalnih jednačina i
nejednačina. Ostale video lekcije (u vezi eksponencijalne funkcije, jednačina i nejednačina)
obavezno sve detaljno pređite!
- Link plejliste: https://www.youtube.com/playlist?list=PLD5454C7B019BD248
➢ Stepenovanje – video 1, 2, 3, 4
➢ Korenovanje – video 5, 6, 7, 8, 9
➢ Eksponencijalna funkcija – video 39
➢ Eksponencijalne jednačine – video 40, 41, 42, 43, 44
➢ Eksponencijalne nejednačine – video 45, 46, 47, 48, 49
1. Stepenovanje
Pogledajte video 1, 2, 3, 4 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 17
Bitno je da naučimo sledeće osnovne osobine operacija kod stepenovanja.
Kad imamo iste brojeve, a različite stepene:
1) 𝑎𝑚 ∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
Suština: Kada množimo dva ista broja sa različitim stepenima, možemo im sabrati stepene.
Primer: 23 ∙ 24 = 23+4 = 27
2) 𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
Suština: Kada delimo dva ista broja sa različitim stepenima, možemo im oduzeti stepene.
Primer: 25: 22 = 25−2 = 23
3) (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚 ∙ 𝑛
Suština: Kada stepenujemo neki broj sa stepenom, stepeni se množe.
Primer: (25)3 = 25 ∙ 3 = 215
Kad imamo različite brojeve, a iste stepene:
4) 𝑎𝑚 ∙ 𝑏𝑚 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑚
Suština: Kada množimo dva različita broja sa istim stepenima, brojeve množimo.
Primer: 23 ∙ 53 = (2 ∙ 5)3 = 103
5) (𝑎
𝑏)
𝑚
=𝑎𝑚
𝑏𝑚
Suština: Kada imamo razlomak koji se stepenuje, možemo odvojeno stepenovati njegov
brojilac i imenilac.
Primer: (2
3)
3
=23
33
Specijalne osobine:
6) 𝑎−𝑚 =1
𝑎𝑚
Primer: 3−2 =1
32
Drugim rečima, kada imate minus kod stepena, on čini to da zamenite mesto brojiocu i
imeniocu:
Primer: (5
6)
−2
= (6
5)
2
7) 𝑎0 = 1
Primer: 30 = 1
Drugim rečima, kada bilo koji broj stepenujete nulom, dobićete vrednost 1.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija
18 www.skripteekof.com/matematika
2. Korenovanje
Pogledajte video 5, 6, 7, 8, 9 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.
Bitno je da naučimo osnovno pravilo za pretvaranje korena u stepene, kao i sledeće
osnovne osobine operacija kod korenovanja.
Osnovno pravilo za pretvaranje korena u stepene:
1) √𝑎𝑚𝑛= 𝑎
𝑚
𝑛
Suština: Koren možemo da prebacimo u stepen na navedeni način, prilično je jasan.
Primer: √235= 2
3
5
Kad imamo različite brojeve, a iste stepene:
2) √𝑎𝑏𝑛
= √𝑎𝑛
∙ √𝑏𝑛
Suština: Kada množimo dva broja pod istim korenom, možemo ih odvojiti kao proizvod
korena tih brojeva.
Primer: √2 ∙ 65
= √25
∙ √65
3) √𝑎
𝑏
𝑛=
√𝑎𝑛
√𝑏𝑛
Suština: Kada korenujemo ceo razlomak, možemo to razdvojiti tako što ćemo korenovati
zasebno imenilac i brojilac razlomka.
Primer: √2
6
5=
√25
√65
4) 𝑎 ∙ √𝑏𝑛
= √𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛
Suština: Kada imamo neki broj koji množi koren, broj praktično može da „pobegne pod
koren“, jedino je bitno da mu dodamo stepen isti kao koeficijent korena.
Primer: 7 ∙ √35
= √75 ∙ 35
Kad imamo iste brojeve, a različite stepene:
5) ( √𝑎𝑛
)𝑚
= √𝑎𝑚𝑛
Suština: Kada stepenujemo neki koren, taj stepen može da „pobegne pod koren“, tako što
stepenuje ono što je pod korenom.
Primer: (√75
)2
= √725
6) √𝑎𝑛
= √𝑎𝑚𝑛𝑚
Suština: Koren možemo da proširimo tako što ćemo sa istim brojem pomnožiti stepen
korena i stepenovati ono što je pod korenom.
Primer: √83
= √823∙2
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 19
7) √ √𝑎𝑚𝑛
= √𝑎𝑛𝑚
Suština: Ukoliko imamo koren pod korenom, možemo da im pomnožimo stepene i
svedemo ih na jedan zajednički koren.
Primer: √√243
= √23∙4
Specijalne osobine:
8) ( √𝑎𝑛
)𝑛
= 𝑎
Suština: Ako n-ti koren nečega stepenujemo sa n, rezultat je samo a.
Primer: (√35
)5
= 3
9) (ako je n neparan broj) √𝑎𝑛𝑛= 𝑎
Primer: √(−3)55= −3
10) (ako je n paran broj) √𝑎𝑛𝑛= |𝑎|
Primer: √(−3)66= |−3| = 3
3. Eksponencijalna funkcija
Pogledajte video 39 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.
Eksponencijalna funkcija označava funkciju koja ima nepoznatu x kao eksponent (u
stepenu). Ukoliko je rastuća, označava da vrednost funkcije raste sve brže i brže, a ukoliko
je opadajuća, označava da vrednost funkcije pada sve sporije i sporije. Zapis
eksponencijalne funkcije je sledeći:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
Obavezni uslovi: 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1
Imamo dva slučaja, a to su:
1) 𝑎 > 1 → ovo znači da je funkcija rastuća i raste sve brže i brže;
2) 0 < 𝑎 < 1 → ovo znači da je funkcija opadajuća i opada sve sporije i sporije;
Takođe, nema preseka sa x-osom i presek sa y-osom je uvek u 𝒚 = 𝟏. Grafički:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
0 < 𝑎 < 1
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
𝑎 > 1
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija
20 www.skripteekof.com/matematika
4. Eksponencijalne jednačine
Pogledajte video 40-44 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.
Kako rešavamo eksponencijalne jednačine? U svim eksponencijalnim jednačinama, cilj nam
je da i levu i desnu stranu svedemo na zajedničku osnovu 𝑎, pa izjednačimo ono što se
nalazi u stepenu. Zatim primenjujemo poznate metode iz prethodnih lekcija kako bismo
rešili jednačinu.
𝑎𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
Primer.
Reši jednačinu 3𝑥 =1
9
Prvo, svodimo i levu i desnu jednakost na zajedničku osnovu:
3𝑥 =1
9
3𝑥 = 9−1
3𝑥 = (32)−1
3𝑥 = 3−2
Osnove su jednake, tako da možemo da izjednačimo ono što stoji kao stepen. Direktno
dobijamo da je rešenje:
𝑥 = −2
Specijalni slučaj 1: Uvođenje smene za kvadratnu jednačinu
Suština je da uvodimo određenu smenu, kako bismo učinili da naša jednačina može da se
svede na običnu kvadratnu jednačinu. Pogledajmo primer.
Primer.
Reši jednačinu 10 ∙ 2𝑥 − 4𝑥 = 16
Prvo, svedimo 4𝑥 na osnovu 2:
10 ∙ 2𝑥 − 4𝑥 = 16
10 ∙ 2𝑥 − (22)𝑥 = 16
10 ∙ 2𝑥 − (2𝑥)2 = 16
Da bismo rešili ovu jednačinu, uvedimo smenu 2𝑥 = 𝑡:
10 ∙ 𝑡 − 𝑡2 = 16
−𝑡2 + 10𝑡 − 16 = 0
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 21
Kao što možemo primetiti, ovaj izraz veoma podseća na uobičajene kvadratne jednačine,
koje znamo na koji način da rešimo. Dakle, nađimo rešenja za 𝑡:
−𝑡2 + 10𝑡 − 16 = 0
𝑡1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑡1,2 =−10 ± √102 − 4 ∙ (−1) ∙ (−16)
2 ∙ (−1)
𝑡1,2 =−10 ± √100 − 64
−2
𝑡1,2 =−10 ± √36
−2
𝑡1,2 =−10 ± 6
−2
𝒕𝟏 = 𝟐
𝒕𝟐 = 𝟖
Vratimo sada ova rešenja u našu smenu 2𝑥 = 𝑡. Prvo rešenje jeste da je 𝑡 = 2. Znači:
2𝑥 = 2
2𝑥 = 21
𝑥 = 1
Drugo rešenje jeste da je 𝑡 = 8. Znači:
2𝑥 = 8
2𝑥 = 23
𝑥 = 3
Dakle, skup rešenja za našu jednačinu jeste:
𝑥 ∈ {1, 3}
Specijalni slučaj 2: Svođenje dve različite osnove na zajednički razlomak
Suština je da nakon što sredimo jednačinu, imamo dve različite osnove. Deljenjem sa
određenim deliocem, moći ćemo svesti te dve osnove na jednu zajedničku koja je razlomak,
čime ćemo svesti jednačinu na specijalni slučaj 1.
Primer.
Reši jednačinu 9𝑥 + 6𝑥 = 2 ∙ 4𝑥
Prvo, svedimo celu jednačinu na osnovu 2 i osnovu 3:
9𝑥 + 6𝑥 = 2 ∙ 4𝑥
32𝑥 + (3 ∙ 2)𝑥 = 2 ∙ 22𝑥
32𝑥 + 3𝑥 ∙ 2𝑥 = 2 ∙ 22𝑥
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija
22 www.skripteekof.com/matematika
Sada možemo da podelimo celu jednačinu sa 22𝑥 ili 32𝑥 kako bismo sveli sve na jedan
zajednički razlomak. Učinimo ovo sa 22𝑥:
32𝑥 + 3𝑥 ∙ 2𝑥 = 2 ∙ 22𝑥 / :22𝑥
32𝑥
22𝑥+
3𝑥 ∙ 2𝑥
22𝑥=
2 ∙ 22𝑥
22𝑥
Malo sve izgleda konfuzno, pa hajde da prođemo sabirak po sabirak. Prvi sabirak možemo
svesti na:
32𝑥
22𝑥= (
3
2)
2𝑥
Drugi sabirak izgleda najkonfuznije. Šta ovde možemo učiniti? Možemo primetiti da 2𝑥
22𝑥
jeste deljenje koje možemo da uprostimo, jer su iste osnove. Koristimo osnovnu osobinu
stepenovanja, čime se deljenje svodi na oduzimanje eksponenata:
2𝑥
22𝑥= 2𝑥−2𝑥 = 2−𝑥 =
1
2𝑥
Dakle, naš drugi sabirak se svodi na:
3𝑥 ∙ 2𝑥
22𝑥=
3𝑥
2𝑥= (
3
2)
𝑥
Sa desne strane, vrlo očigledno je da treba da skratimo 22𝑥 i 22𝑥:
2 ∙ 22𝑥
22𝑥= 2
Kada sve zamenimo u naš izraz, dobijamo sledeće:
(3
2)
2𝑥
+ (3
2)
𝑥
= 2
Kada sve zamenimo u naš izraz, dobijamo sledeće:
(3
2)
2𝑥
+ (3
2)
𝑥
= 2
Očigledno je da smo sveli jednačinu na specijalni slučaj 1. Da bismo rešili ovu jednačinu,
uvedimo smenu (3
2)
𝑥
= 𝑡:
𝑡2 + 𝑡 = 2
𝑡2 + 𝑡 − 2 = 0
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 23
Kao što možemo primetiti, ovaj izraz veoma podseća na uobičajene kvadratne jednačine,
koje znamo na koji način da rešimo. Dakle, nađimo rešenja za 𝑡:
𝑡2 + 𝑡 − 2 = 0
𝑡1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑡1,2 =−1 ± √12 − 4 ∙ 1 ∙ (−2)
2 ∙ 1
𝑡1,2 =−1 ± √1 + 8
2
𝑡1,2 =−1 ± √9
2
𝑡1,2 =−1 ± 3
2
𝒕𝟏 = 𝟏
𝒕𝟐 = −𝟐
Vratimo sada ova rešenja u našu smenu (3
2)
𝑥
= 𝑡. Prvo rešenje jeste da je 𝑡 = 1. Znači:
(3
2)
𝑥
= 1
(3
2)
𝑥
= (3
2)
0
𝑥 = 0
Drugo rešenje jeste da je 𝑡 = −2. Znači:
(3
2)
𝑥
= −2
Bilo koji pozitivan broj kada se stepenuje bilo čime ne može da daje vrednost koja je
negativna, tako da ovde nemamo rešenja za x.
Dakle, skup rešenja za našu jednačinu jeste:
𝑥 ∈ {0}
Specijalni slučaj 3: Izvlačenje zajedničkog elementa ispred zagrade
Suština je da nakon što malo sredimo jednačinu, možemo da izvučimo zajednički element
ispred zagrade i time lako dođemo do rešenja početne jednačine.
Primer.
Reši jednačinu 2𝑥 + 2𝑥+1 + 2𝑥+2 + 2𝑥+3 = 60
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija
24 www.skripteekof.com/matematika
Prvo, raščlanimo ono što možemo putem osnovnih osobina stepenovanja:
2𝑥 + 2𝑥+1 + 2𝑥+2 + 2𝑥+3 = 60
2𝑥 + 2𝑥 ∙ 2 + 2𝑥 ∙ 22 + 2𝑥 ∙ 23 = 60
2𝑥 + 2𝑥 ∙ 2 + 2𝑥 ∙ 4 + 2𝑥 ∙ 8 = 60
Zajednički element koji može izvući ispred zagrade jeste 2𝑥:
2𝑥 ∙ (1 + 2 + 4 + 8) = 60
Sređivanjem izraza poznatim postupcima dolazimo do rešenja:
2𝑥 ∙ 15 = 60
2𝑥 = 4
2𝑥 = 22
𝑥 = 2
5. Eksponencijalne nejednačine
Pogledajte video 45-49 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.
Kako rešavamo eksponencijalne nejednačine? Skoro identično kao i eksponencijalne
jednačine. Cilj nam je da i levu i desnu stranu svedemo na zajedničku osnovu 𝑎, pa
izjednačimo ono što se nalazi u stepenu. Zatim primenjujemo poznate metode iz
prethodnih lekcija kako bismo rešili nejednačinu.
Jedina ključna razlika jeste što nemamo znak jednakosti, već znak veće ili manje,
pa pazite na sledeće pravilo:
- ukoliko je osnova veća od 1, znak nejednakosti se ne menja;
- ukoliko je osnova između 0 i 1, znak nejednakosti menja smer.
Primer.
Reši jednačinu 3𝑥 >1
9
Prvo, svodimo i levu i desnu jednakost na zajedničku osnovu:
3𝑥 >1
9
3𝑥 > 9−1
3𝑥 > (32)−1
3𝑥 > 3−2
Osnove su jednake, i veće su od 1, tako da znak nejednakosti ostaje isti:
𝑥 > −2
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 25
Primer.
Reši jednačinu (1
3)
𝑥
>1
9
Prvo, svodimo i levu i desnu jednakost na zajedničku osnovu:
(1
3)
𝑥
>1
9
(1
3)
𝑥
> (1
3)
2
Osnove su jednake, i manje su od 1, tako da znak nejednakosti menja smer:
𝑥 < 2
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
2−𝑥 − 2𝑥 ≥ 0
Rešenje sa postupkom:
Prvo, primenimo osnovne osobine operacija kod stepenovanja:
1
2𝑥− 2𝑥 ≥ 0
Sada možemo da pomnožimo nejednačinu sa 2𝑥: 1
2𝑥 − 2𝑥 ≥ 0 /∙ 2𝑥
1 − 2𝑥 ∙ 2𝑥 ≥ 0
1 − 2𝑥+𝑥 ≥ 0
1 − 22𝑥 ≥ 0
Na kraju, dovoljno je da sredimo izraz i primenimo osnovno pravilo za rešavanje
eksponencijalnih jednačina i nejednačina:
1 ≥ 22𝑥
22𝑥 ≤ 1
22𝑥 ≤ 20
2𝑥 ≤ 0
𝑥 ≤ 0
Dakle, konačno rešenje naše eksponencijalne nejednačine je sledeće:
𝑥 ∈ (−∞, 0]
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija
26 www.skripteekof.com/matematika
2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
4𝑥 − 4−𝑥 ≥ 0
Rešenje sa postupkom:
Prvo, primenimo osnovne osobine operacija kod stepenovanja:
4𝑥 −1
4𝑥≥ 0
Sada možemo da pomnožimo nejednačinu sa 4𝑥:
4𝑥 −1
4𝑥≥ 0 /∙ 4𝑥
4𝑥 ∙ 4𝑥 − 1 ≥ 0
4𝑥+𝑥 − 1 ≥ 0
42𝑥 − 1 ≥ 0
Na kraju, dovoljno je da sredimo izraz i primenimo osnovno pravilo za rešavanje
eksponencijalnih jednačina i nejednačina:
42𝑥 ≥ 1
42𝑥 ≥ 40
2𝑥 ≥ 0
𝑥 ≥ 0
Dakle, konačno rešenje naše eksponencijalne nejednačine je sledeće:
𝑥 ∈ [0, +∞)
3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
52𝑥+1 = 5𝑥 + 4
Rešenje sa postupkom:
Sredimo prvu ovu jednačinu koliko god možemo, koristeći osnovne osobine operacija kod
stepenovanja. Čim vidimo da imamo 2 kod stepena, 1 kod stepena i slobodan član,
pretpostavljamo da će se raditi o specijalnom slučaju 1 gde ćemo ovu eksponencijalnu
jednačinu svesti na kvadratnu jednačinu.
Prvo, sredimo izraz koliko možemo:
52𝑥+1 = 5𝑥 + 4
52𝑥 ∙ 51 = 5𝑥 + 4
52𝑥 ∙ 5 = 5𝑥 + 4
5 ∙ 52𝑥 = 5𝑥 + 4
5 ∙ 52𝑥− 5𝑥 − 4 = 0
Da bismo rešili ovu jednačinu, uvedimo smenu 5𝑥 = 𝑡:
5𝑡2 − t − 4 = 0
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 27
Kao što možemo primetiti, ovaj izraz veoma podseća na uobičajene kvadratne jednačine,
koje znamo na koji način da rešimo. Dakle, nađimo rešenja za 𝑡 :
5𝑡2 − t − 4 = 0
𝑡1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑡1,2 =1 ± √(−1)2 − 4 ∙ 5 ∙ (−4)
2 ∙ 5
𝑡1,2 =1 ± √1 + 80
10
𝑡1,2 =1 ± √81
10
𝑡1,2 =1 ± 9
10
𝒕𝟏 = 𝟏
𝒕𝟐 = −𝟒
𝟓
Vratimo sada ova rešenja u našu smenu 5𝑥 = 𝑡. Prvo rešenje jeste da je 𝑡 = 1. Znači:
5𝑥 = 1
5𝑥 = 50
𝑥 = 0
Drugo rešenje jeste da je 𝑡 = −4
5. Znači:
5𝑥 = −4
5
Bilo koji pozitivan broj stepenovan bilo kojim brojem daće pozitivan broj, tako da u ovom
slučaju nemamo rešenja za x.
Dakle, skup rešenja za našu jednačinu jeste:
𝑥 ∈ {0}
4. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
2𝑥2+5𝑥 =1
64
Rešenje sa postupkom:
Primećujemo da je jednačina relativno jednostavna i da sve možemo svesti na osnovu 2:
2𝑥2+5𝑥 =1
64
2𝑥2+5𝑥 =1
26
2𝑥2+5𝑥 = 2−6
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 7: Eksponencijalna funkcija
28 www.skripteekof.com/matematika
Osnove su iste, tako da možemo da izjednačimo eksponente leve i desne strane:
𝑥2 + 5𝑥 = −6
𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0
S obzirom da nismo uvodili nikakve smene, rešenja ove kvadratne jednačine biće upravo
rešenja naše eksponencijalne jednačine.
𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =−5 ± √52 − 4 ∙ 1 ∙ 6
2 ∙ 1
𝑥1,2 =−5 ± √25 − 24
2
𝑥1,2 =−5 ± √1
2
𝑥1,2 =−5 ± 1
2
𝒙𝟏 = −𝟐
𝒙𝟐 = −𝟑
Dakle, skup rešenja za našu jednačinu jeste:
𝑥 ∈ {−3, −2}
BITNA NAPOMENA: RAZLIČITE VRSTE ZAGRADA
Primetili ste već u prethodnih nekoliko lekcija da koristimo različite vrste zagrada kada
zapisujemo skup rešenja za nepoznatu x. Ovde ćemo napomenuti šta koje od njih
znače:
1) velika („vitičasta“) zagrada { }
Suština: skup rešenja su samo konkretne vrednosti unutar ove zagrade
Primer: 𝑥 ∈ {−3, −2} - ovo znači da x može biti ili -3 ili -2
2) srednja zagrada [ ] Suština: skup rešenja su sve vrednosti između, uključujući i granice
Primer: 𝑥 ∈ [−3, −2] - ovo znači da x može biti bilo šta između -3 i -2, a i -3 i -2
3) mala zagrada ( )
Suština: skup rešenja su sve vrednosti između, ali ne i granice
Primer: 𝑥 ∈ (−3, −2) - ovo znači da x može biti bilo šta između -3 i -2, ali ne -3 i -2
4) kombinovana zagrada ( ] 𝑖𝑙𝑖 [ )
Suština: skup rešenja su sve vrednosti između, a i vrednost kod srednje zagrade
Primer: 𝑥 ∈ [−3, −2) - ovo znači da x može biti bilo šta između -3 i -2, kao i -3, ali ne -2
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 29
Kviz 7: Eksponencijalna funkcija
Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni
rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije.
Zatim, pošaljite nam rešenja na www.facebook.com/skripte.ekof.98. Za svako tačno
rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe,
kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka.
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
23𝑥−8 = 128
2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
3𝑥+1 − 5 = 22
3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
43𝑥−1 = 32𝑥
4. U Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu xOy, skicirati krive:
𝑦 = 0,2𝑥
𝑦 = 2𝑥
5. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
(1
2)
𝑥−4
> (1
4)
−𝑥+1
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija
30 www.skripteekof.com/matematika
Lekcija 8: Logaritamska funkcija
(jednačine i nejednačine)
Pregled lekcije
U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
➢ logaritamska funkcija - šta predstavlja i koje su njene osobine;
➢ logaritamske jednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju;
➢ logaritamske nejednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju.
Uvod
U ovoj lekciji bavićemo se logaritamskom funkcijom i rešavanjem jednačina i nejednačina u
vezi njih. Ovo je jedna od oblasti koja se gotovo uvek javlja na kolokvijumu. Smatramo da
je ovo jedna od lekcija koje se najbolje uče kroz primere i praćenje video zapisa, nego kroz
puko učenje teorije ili gledanje primera sa pisanog teksta. Stoga ćemo vas ovde uputiti i do
linkova koje treba da posetite da biste savladali lekciju. Video zapise obavezno gledajte
pažljivo i detaljno. Dok gledate video zapis, radite i primere koji su u njemu
obrađeni dok niste sigurni da ste u potpunosti savladali gradivo. Video lekcije je
izradila „Škola Rajak“ (www.rajak.rs) na vrlo kvalitetan način i na sličnom nivou koji je
potreban vama za prvi kolokvijum iz Matematike.
Linkovi
Ukoliko smatrate da je potrebno, ponovite pravila logaritmovanja. Biće ključno da baratate
ovim kod logaritamskih funkcija, kao i logaritamskih jednačina i nejednačina. Ostale video
lekcije (u vezi logaritamske funkcije, jednačina i nejednačina) obavezno sve detaljno
pređite!
- Link plejliste: https://www.youtube.com/playlist?list=PLD5454C7B019BD248
➢ Logaritmi – video 50, 51, 52
➢ Logaritamska funkcija – video 53
➢ Logaritamske jednačine – video 54, 55, 56, 57, 58
➢ Logaritamske nejednačine – video 59, 60, 61, 62
1. Logaritmi
Pogledajte video 50, 51, 52 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 31
Logaritam suštinski predstavlja suprotnu operaciju od stepenovanja. Bitno je da naučimo
sledeće osnovne osobine operacija kod logaritmovanja.
Osnovna veza stepenovanja i logaritmovanja:
1) log𝑎 𝑏 = 𝑥 je identično sa 𝑎𝑥 = 𝑏
Suština: Vezu stepenovanja i logaritmovanja možemo posmatrati kao jedan krug:
log𝑎 𝑏 = 𝑥
Primer: log3 9 = 𝑥 je identično sa 3𝑥 = 9
Osnovne osobine logaritmovanja:
2) log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦 = log𝑎 𝑥𝑦
Suština: Kada sabiramo dva logaritma sa istim osnovama, možemo im pomnožiti ono pod
logaritmom (numeruse).
Primer: log5 8 + log5 4 = log5 32
3) log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦 = log𝑎𝑥
𝑦
Suština: Kada oduzimamo dva logaritma sa istim osnovama, možemo im podeliti ono pod
logaritmom (numeruse).
Primer: log5 8 − log5 4 = log5 2
4) log𝑎 𝑥𝑛 = 𝑛 ∙ log𝑎 𝑥
Suština: Kada imamo stepenovanje u numerusu, taj stepen može da „iskoči“ ispred
logaritma bez da promeni svoju vrednost.
Primer: log5 34 = 4 ∙ log5 3
5) log𝑎𝑛 𝑥 =1
𝑛∙ log𝑎 𝑥
Suština: Kada imamo stepenovanje u osnovi, taj stepen može da „iskoči“ ispred logaritma
kao recipročna vrednost.
Primer: log52 3 =1
2∙ log5 3
6) log𝑎 𝑏 =1
log𝑏 𝑎
Suština: Osnova i numerus mogu da zamene mesta, tako što ćemo onda imati recipročnu
vrednost logaritma.
Primer: log3 5 =1
log5 3
na stepen
jednako je
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija
32 www.skripteekof.com/matematika
7) log𝑎 𝑏 =log𝑐 𝑏
log𝑐 𝑎=
log(𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑜𝑠𝑛𝑜𝑣𝑎)(𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑢𝑠)
log(𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑜𝑠𝑛𝑜𝑣𝑎)(𝑠𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠𝑛𝑜𝑣𝑎)
Suština: Suština je slikovito prikazana u gornjem redu. Možemo da stavimo novu osnovu za
logaritam, tako što ćemo napraviti razlomak. Brojilac će da bude log(𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑜𝑠𝑛𝑜𝑣𝑎)(𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑢𝑠), a
imenilac će da bude log(𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑜𝑠𝑛𝑜𝑣𝑎)(𝑠𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠𝑛𝑜𝑣𝑎).
Primer: log3 5 =log8 5
log8 3
8) 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏
Suština: Znamo da su stepenovanje i logaritmovanje suprotne operacije. Ukoliko imamo
neki broj na logaritam sa osnovom koja je jednaka tom broju, oni mogu da se skrate.
Primer: 7log7 9 = 9
Specijalne osobine logaritmovanja:
9) log𝑎 1 = 0
Suština: Logaritam sa numerusom 1 je jednak nuli. Ovo direktno sledi iz osnovne veze
stepenovanja i logaritmovanja, jer 𝑎0 = 1
Primer: log25 1 = 0
10) log𝑎 𝑎 = 1
Suština: Logaritam koji ima isti numerus i osnovu jednak je 1. Ovo direktno sledi iz
osnovne veze stepenovanja i logaritmovanja, jer 𝑎1 = 𝑎
Primer: log25 25 = 1
BITNA NAPOMENA: UOBIČAJENI ZAPISI
1) log10 𝑎 = log 𝑎
Suština: Kada nije zapisana osnova logaritma, podrazumeva se da se misli na osnovu 10.
Primer: log10 3 = log 3
2) log 𝑎 = lg 𝑎
Suština: Običan logaritam može biti zapisan kao „log“ ili skraćeno kao „lg“. Preporučujemo
da za kolokvijum koristite oznaku „log“.
Primer: log 3 = lg 3
3) log𝑒 𝑥 = ln 𝑥
Suština: e je tzv. „Ojlerov broj“, koji iznosi oko 2,72. Logaritam sa osnovom e naziva se
prirodni logaritam i možemo ga označiti kao „ln“ (logarithm natural).
Primer: log𝑒 5 = ln 5
2. Logaritamska funkcija
Pogledajte video 53 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 33
Logaritamska funkcija označava funkciju koja sadrži logaritam. Zapis logaritamske funkcije
je sledeći:
𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥
Obavezni uslovi: 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0
Imamo dva slučaja, a to su:
1) 𝑎 > 1 → onda funkcija počinje iz minus beskonačno i ide na gore kao na slici;
2) 0 < 𝑎 < 1 → onda funkcija počinje iz plus beskonačno i ide na dole kao na slici.
Takođe, nema preseka sa y-osom i presek sa x-osom je uvek u 𝒙 = 𝟏. Grafički:
Sličnosti i razlike eksponencijalne i logaritamske funkcije je lako uočiti:
3. Logaritamske jednačine
Pogledajte video 54-58 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.
𝒇(𝒙) = log𝑎 𝑥
𝑎 > 1
𝒇(𝒙) = log𝑎 𝑥
0 < 𝑎 < 1
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija
34 www.skripteekof.com/matematika
Kako rešavamo logaritamske jednačine? U svim logaritamskim jednačinama, cilj nam je da i
levu i desnu stranu svedemo na zajedničku osnovu 𝑎, pa izjednačimo ono što se nalazi pod
logaritmima (njihove numeruse). Zatim primenjujemo poznate metode iz prethodnih
lekcija kako bismo rešili jednačinu.
log𝑎 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)
Primer.
Reši jednačinu log3(𝑥 − 1) = 2
Obavezno prvo postavljamo uslove.
Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako 𝑥 ∈ ℝ:
3 > 0
Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako 𝑥 ∈ ℝ:
3 ≠ 1
Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule. Dakle:
𝑥 − 1 > 0
𝑥 > 1
Sada možemo da rešavamo jednačinu.
Način 1: Treba da svedemo i levu i desnu stranu jednakosti tako da na obe strane imamo
logaritam sa istom osnovom. Upotrebićemo specijalnu osobinu logaritama koju znamo, a
to je da log𝑎 𝑎 = 1. (osobina 10) Znači, možemo kod dvojke dodati logaritam sa osnovom
3 i numerusom 3, bez da promenimo vrednost izraza:
log3(𝑥 − 1) = 2
log3(𝑥 − 1) = 2 ∙ log3 3
Dalje, znamo da slobodan član ispred logaritma može da uskoči kao stepen numerusa
(osobina 4):
log3(𝑥 − 1) = 2 ∙ log3 3
log3(𝑥 − 1) = log3 32
log3(𝑥 − 1) = log3 9
Osnove su jednake, tako da možemo da izjednačimo ono što stoji pod logaritmima
(numeruse). Direktno dobijamo da je rešenje:
𝑥 − 1 = 9
𝑥 = 9 + 1
𝑥 = 10
Rešenje koje smo dobili za x ispunjava početni uslov da je 𝑥 > 1, tako da konačno rešenje:
𝑥 ∈ {10}
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 35
Način 2: U ovom zadatku možemo doći do rešenja i jednostavnijim putem. Koristeći
osnovnu vezu logaritmovanja i stepenovanja (osobina 1) možemo da zapišemo sledeće:
log3(𝑥 − 1) = 2
32 = 𝑥 − 1
Direktno možemo rešiti ovu jednostavnu linearnu jednačinu po x:
𝑥 − 1 = 9
𝑥 = 9 + 1
𝑥 = 10
Rešenje koje smo dobili za x ispunjava početni uslov da je 𝑥 > 1, tako da konačno rešenje:
𝑥 ∈ {10}
Specijalni slučaj 1: Uvođenje smene za kvadratnu jednačinu
Suština je da uvodimo određenu smenu, kako bismo učinili da naša jednačina može da se
svede na običnu kvadratnu jednačinu. Pogledajmo primer.
Primer.
Reši jednačinu log𝑥 2 − log4 𝑥 +10
6= 0.5
Obavezno prvo postavljamo uslove za svaki logaritam.
Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. 4 je svakako veće od nule, a imamo i:
𝑥 > 0
Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. 4 je svakako različito od 1, a imamo i:
𝑥 ≠ 1
Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule. 2 je svakako veće od nule,
a imamo i:
𝑥 > 0
Sada možemo da rešavamo jednačinu.
Prvo, prebacimo sve sa leve strane, ostavljajući na desnoj strani jednakosti nulu:
log𝑥 2 − log4 𝑥 +10
6= 0.5
log𝑥 2 − log4 𝑥 +10
6=
1
2
log𝑥 2 − log4 𝑥 +10
6=
3
6
log𝑥 2 − log4 𝑥 +7
6= 0
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija
36 www.skripteekof.com/matematika
Sredimo prvi logaritam. Ovo možemo učiniti tako što ćemo zameniti mesta osnovi i
numerusu (osobina 6):
log𝑥 2 − log4 𝑥 +7
6= 0
1
log2 𝑥− log4 𝑥 +
7
6= 0
Drugi logaritam možemo da sredimo tako što ćemo izbaciti stepen iz osnove ispred
logaritma kao recipročnu vrednost, da bismo sveli i drugi logaritam na osnovu 2 (osobina
5):
1
log2 𝑥− log4 𝑥 +
7
6= 0
1
log2 𝑥− log22 𝑥 +
7
6= 0
1
log2 𝑥−
1
2∙ log2 𝑥 +
7
6= 0
Da bismo rešili ovu jednačinu, uvedimo smenu log2 𝑥 = 𝑡:
1
log2 𝑥−
1
2∙ log2 𝑥 +
7
6= 0
1
𝑡−
1
2∙ 𝑡 +
7
6= 0
Pomnožimo sve sa 𝑡 :
1
𝑡−
1
2∙ 𝑡 +
7
6= 0 /∙ 𝑡
1 −1
2∙ 𝑡2 +
7
6𝑡 = 0
Pomnožimo izraz sa 6, čisto da ne bismo morali da radimo sa razlomcima:
1 −1
2∙ 𝑡2 +
7
6𝑡 = 0 /∙ 6
6 − 3𝑡2 + 7 𝑡 = 0
− 3𝑡2 + 7 𝑡 + 6 = 0
Kao što možemo primetiti, ovaj izraz veoma podseća na uobičajene kvadratne jednačine,
koje znamo na koji način da rešimo. Dakle, nađimo rešenja za 𝑡:
− 3𝑡2 + 7 𝑡 + 6 = 0
𝑡1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 37
𝑡1,2 =−7 ± √72 − 4 ∙ (−3) ∙ 6
2 ∙ (−3)
𝑡1,2 =−7 ± √49 + 72
−6
𝑡1,2 =−7 ± √121
−6
𝑡1,2 =−7 ± 11
−6
𝒕𝟏 = −𝟐
𝟑
𝒕𝟐 = 𝟑
Vratimo sada ova rešenja u našu smenu log2 𝑥 = 𝑡. Prvo rešenje jeste da je 𝑡 = −2
3. Znači:
log2 𝑥 = −2
3
2−23 = 𝑥
𝑥 =1
223
𝑥 =1
√43
Ovo rešenje ispunjava početne uslove, tako da ga svrstavamo u konačni skup rešenja.
Drugo rešenje jeste da je 𝑡 = 3. Znači:
log2 𝑥 = 3
23 = 𝑥
𝑥 = 8
Ovo rešenje ispunjava početne uslove, tako da ga svrstavamo u konačni skup rešenja.
Dakle, konačni skup rešenja za našu jednačinu jeste:
𝑥 ∈ {1
√43 , 8}
BITNA NAPOMENA
Za složenije primere pogledajte video zapise 56, 57 i 58 sa linka u odeljku Linkovi. Nećemo
ih obraditi ovde u skripti, jer uglavnom ne dolaze na kolokvijumu. Međutim, svakako je
poželjno da pogledate ove video zapise i provežbate primere bar jednom.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija
38 www.skripteekof.com/matematika
4. Logaritamske nejednačine
Pogledajte video 59-62 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.
Kako rešavamo logaritamske nejednačine? Skoro identično kao i logaritamske jednačine.
Cilj nam je da i levu i desnu stranu svedemo na zajedničku osnovu 𝑎, pa izjednačimo ono
što se nalazi u numerusima. Zatim primenjujemo poznate metode iz prethodnih lekcija
kako bismo rešili nejednačinu.
Ključna razlika jeste što nemamo znak jednakosti, već znak veće ili manje, pa
pazite na sledeće pravilo:
- ukoliko je osnova veća od 1, znak nejednakosti se ne menja;
- ukoliko je osnova između 0 i 1, znak nejednakosti menja smer.
Još jedna ključna razlika (a veoma je logična) jeste da konačni skup rešenja
nejednačine jeste presek uslova i rešenja koje dobijemo postupkom rešavanja
nejednačine.
Primer.
Reši jednačinu log3 𝑥 > 0
Obavezno prvo postavljamo uslove za svaki logaritam.
Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. 3 je svakako veće od nule:
3 > 0
Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. 3 je svakako različito od 1:
3 ≠ 1
Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule:
𝑥 > 0
Sada možemo da rešavamo jednačinu.
Svodimo i levu i desnu jednakost na zajedničku osnovu:
log3 𝑥 > 0
log3 𝑥 > log3 1
Osnove su jednake, i veće su od 1, tako da znak nejednakosti ostaje isti:
𝑥 > 1
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 39
Presek našeg rešenja i početnih uslova je sledeći:
Odnosno, finalno rešenje zadate nejednačine je:
𝑥 ∈ (1, +∞)
Primer.
Reši jednačinu log1
3
𝑥 > 0
Obavezno prvo postavljamo uslove za svaki logaritam.
Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. 1
3 je svakako veća od nule:
1
3> 0
Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. 1
3 je svakako različita od 1:
1
3≠ 1
Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule:
𝑥 > 0
Sada možemo da rešavamo jednačinu.
Svodimo i levu i desnu jednakost na zajedničku osnovu:
log13
𝑥 > 0
log13
𝑥 > log13
1
Osnove su jednake, i između 0 i 1 su, tako da znak nejednakosti menja smer:
𝑥 < 1
Presek našeg rešenja i početnih uslova je sledeći:
0
1 −∞ +∞
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija
40 www.skripteekof.com/matematika
Odnosno, finalno rešenje zadate nejednačine je:
𝑥 ∈ (0, 1)
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
log2 𝑥 = −2
Rešenje sa postupkom:
Obavezno prvo postavljamo uslove.
Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako 𝑥 ∈ ℝ:
2 > 0
Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako 𝑥 ∈ ℝ:
2 ≠ 1
Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule. Dakle:
𝑥 > 0
Sada možemo da rešavamo jednačinu.
Treba da svedemo i levu i desnu stranu jednakosti tako da na obe strane imamo logaritam
sa istom osnovom. Upotrebićemo specijalnu osobinu logaritama koju znamo, a to je da
log𝑎 𝑎 = 1. (osobina 10) Znači, možemo kod -2 dodati logaritam sa osnovom 2 i
numerusom 2, bez da promenimo vrednost izraza:
log2 𝑥 = −2
log2 𝑥 = −2 ∙ log2 2
Dalje, znamo da slobodan član ispred logaritma može da uskoči kao stepen numerusa
(osobina 4):
log2 𝑥 = −2 ∙ log2 2
log2 𝑥 = log2 2−2
log2 𝑥 = log2
1
22
log2 𝑥 = log2
1
4
0
1 −∞ +∞
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 41
Osnove su jednake, tako da možemo da izjednačimo ono što stoji pod logaritmima
(numeruse). Direktno dobijamo da je rešenje:
𝑥 =1
4
Rešenje koje smo dobili za x ispunjava početni uslov da je 𝑥 > 0, tako da konačno rešenje:
𝑥 ∈ {1
4}
2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
log3 𝑥 < 2
Rešenje sa postupkom:
Obavezno prvo postavljamo uslove.
Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako 𝑥 ∈ ℝ:
3 > 0
Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako 𝑥 ∈ ℝ:
3 ≠ 1
Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule. Dakle:
𝑥 > 0
Sada možemo da rešavamo jednačinu.
Treba da svedemo i levu i desnu stranu nejednakosti tako da na obe strane imamo
logaritam sa istom osnovom. Upotrebićemo specijalnu osobinu logaritama koju znamo, a
to je da log𝑎 𝑎 = 1. (osobina 10) Znači, možemo kod 2 dodati logaritam sa osnovom 3 i
numerusom 3, bez da promenimo vrednost izraza:
log3 𝑥 < 2
log3 𝑥 < 2 ∙ log3 3
Dalje, znamo da slobodan član ispred logaritma može da uskoči kao stepen numerusa
(osobina 4):
log3 𝑥 < 2 ∙ log3 3
log3 𝑥 < log3 32
log3 𝑥 < log3 9
Osnove su jednake, i veće su od 1, tako da znak nejednakosti ostaje isti:
𝑥 < 9
Presek našeg rešenja i početnih uslova je sledeći:
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija
42 www.skripteekof.com/matematika
Odnosno, finalno rešenje zadate nejednačine je:
𝑥 ∈ (0, 9)
3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
log3(𝑥 + 4) > log3(2𝑥 + 12)
Rešenje sa postupkom:
Obavezno prvo postavljamo uslove.
Uslov 1: osnova mora biti veća od nule. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako 𝑥 ∈ ℝ:
3 > 0
Uslov 2: osnova mora biti različita od jedinice. Ovo zaista jeste tačan iskaz za svako 𝑥 ∈ ℝ:
3 ≠ 1
Uslov 3: numerus (ono pod logaritmom) mora biti veće od nule. Dakle:
𝑥 + 4 > 0
𝑥 > −4
2𝑥 + 12 > 0
2𝑥 > −12
𝑥 > −6
Sada možemo da rešavamo jednačinu.
Već sa obe strane nejednakosti imamo iste osnove. Osnove su veće od 1, tako da se smer
nejednakosti ne menja:
log3(𝑥 + 4) > log3(2𝑥 + 12)
𝑥 + 4 > 2𝑥 + 12
−8 > 𝑥
𝑥 < −8
Presek našeg rešenja i početnih uslova je sledeći:
−6
−8 −∞ +∞ −4
0
9 −∞ +∞
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 43
Odnosno, finalno rešenje zadate nejednačine je prazan skup:
𝑥 ∈ ∅
4. Izračunaj vrednost sledećeg izraza:
log10
√0.25
5=
Rešenje sa postupkom:
Sredimo prvo koren u brojiocu:
= log10
√ 25100
5
= log10
√14
5
= log10
125
Sada možemo da sredimo dvojni razlomak poznatim postupcima, koje smo naučili u
prethodnim lekcijama:
= log10
1251
= log10
1 ∙ 1
5 ∙ 2
= log10
1
10
Konačno, izraz možemo ovako da sredimo:
= log10 10−1
= −1 ∙ log10 10
= −1 ∙ 1 = −𝟏
Dakle, konačna vrednost zadatog izraza iznosi −1.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 8: Logaritamska funkcija
44 www.skripteekof.com/matematika
Kviz 8: Logaritamska funkcija
Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni
rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije.
Zatim, pošaljite nam rešenja na www.facebook.com/skripte.ekof.98. Za svako tačno
rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe,
kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka.
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
1. Izračunati vrednost sledećeg izraza:
log10 0,01 − log2 8 =
2. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
log10(𝑥 + 5) = 0
3. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
log2 𝑥 + log2 3 = −3
4. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
log2(𝑥 − 3) < 3
5. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
log3(2 − 𝑥) > 2
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 45
Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije
(svojstva, jednačine i nejednačine)
Pregled lekcije
U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
➢ merenje uglova - pretvaranje stepena u radijane i obrnuto;
➢ merenje uglova - šta je pozitivan, a šta negativan ugao i kako ih crtamo;
➢ trigonometrijske funkcije - sinus (sin), kosinus (cos), tangens (tg) i kotangens
(ctg) – šta predstavljaju, koja je tablica osnovnih vrednosti i znakovi ovih funkcija u
svakom kvadratnu koordinatnog sistema;
➢ osnovne relacije trigonometrijskih funkcija;
➢ svođenje trigonometrijskih funkcija na prvi kvadrant;
➢ adicione formule, trigonometrijske funkcije dvostrukog ugla i poluugla;
➢ trigonometrijske jednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju;
➢ trigonometrijske nejednačine - šta predstavljaju i kako se rešavaju.
Uvod
U ovoj lekciji bavićemo se mnogim stvarima u vezi trigonometrijskih funkcija i rešavanjem
jednačina i nejednačina u vezi njih. Ovo je jedna od oblasti koja se gotovo uvek javlja na
kolokvijumu. Smatramo da je ovo jedna od lekcija koje se najbolje uče kroz primere i
praćenje video zapisa, nego kroz puko učenje teorije ili gledanje primera sa pisanog teksta.
Stoga ćemo vas ovde uputiti i do linkova koje treba da posetite da biste savladali lekciju,
kao i kratke preglede gradiva uz to. Video zapise obavezno gledajte pažljivo i detaljno.
Dok gledate video zapis, radite i primere koji su u njemu obrađeni dok niste sigurni
da ste u potpunosti savladali gradivo. Video lekcije je izradila „Škola Rajak“
(www.rajak.rs) na vrlo kvalitetan način i na sličnom nivou koji je potreban vama za prvi
kolokvijum iz Matematike. Postoje i drugi video zapisi iz ove oblasti koje možete preći a
nisu navedeni ovde, ali smatram da je ovo minimum minimuma koji je potreban za prvi
kolokvijum, a ukoliko bude potrebno, lako ćemo naučiti i malo dodatnog gradiva.
Linkovi
- Link plejliste: https://www.youtube.com/playlist?list=PLD5454C7B019BD248
➢ Radijani, pozitivni i negativni uglovi – video 63
➢ Funkcije sin, cos, tg, ctg, trigonometrijski krug i znakovi funkcija – video 64
➢ Osnovne relacije trigonometrijskih funkcija – video 66
➢ Svođenje trigonometrijskih funkcija na prvi kvadrant – video 66 i video 67
➢ Trigonometrijske jednačine – video 78, 79, 80
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije
46 www.skripteekof.com/matematika
1. Radijani, pozitivni i negativni uglovi
Pogledajte video 63 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.
1) Kako pretvaramo stepene u radijane? Tako što podelimo stepene sa 180 i dodamo „pi“.
Primer.
Koliko iznosi ugao od 240° u radijanima?
240° =240
180𝜋 =
𝟒
𝟑𝝅
2) A kako pretvaramo radijane u stepene? Samo umesto „pi“ zamenimo 180°.
Primer.
Koliko iznosi ugao od 4
3𝜋 u stepenima?
4
3𝜋 =
4
3× 180° = 𝟐𝟒𝟎°
3) Šta znači pozitivan ugao? To znači da merimo ugao u smeru suprotnom od kazaljke na
satu.
Primer.
4) Šta znači negativan ugao? To znači da merimo ugao u smeru kazaljke na satu.
Primer.
0
𝜋
2𝜋
𝜋
2
3𝜋
2
45°
0
𝜋
2𝜋 −45°
𝜋
2
3𝜋
2
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 47
Primeri.
Dodatne primere pogledajte u videu 63 navedene plejliste (od 04:05 pa na dalje).
BITNA NAPOMENA
U zadacima na kolokvijumu preporučujemo da sve radite preko pozitivnog uglova, manje
su šanse da dođe do zabune kada imate više rešenja, npr. u trigonometrijskim jednačinama.
2. Trigonometrijske funkcije
Pogledajte video 64 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.
Da biste imali dobar temelj znanja iz trigonometrijskih funkcija, obavezno pogledajte
navedeni video 00:00-03:05, koji definiše funkcije sinusa (sin), kosinusa (cos), tangensa (tg) i
kotagensa (ctg).
Ono što je za vas najbitnije u praktičnoj primeni za kolokvijum, a i posle, jeste sledeće:
1) Gde se crta koja funkcija u trigonometrijskom krugu? (03:35-10:00).
Najbolje ćete ovo naučiti prateći ovaj deo navedenog video zapisa. Ključno je da zapamtite
da se sinus crta na vertikalnoj osi, a kosinus na horizontalnoj osi!
2) Znakovi osnovnih trigonometrijskih funkcija u različitim kvadrantima
koordinatnog sistema (10:00-11:14).
U ovom delu video zapisa imate pregled za ovo, kao i oblasti definisanosti za svaku
trigonometrijsku funkciju, što može da bude korisno kasnije za ispit, kada se budemo bavili
trigonometrijskim funkcijama. Ključno je da vidite logiku – kada nacrtate sinus ili kosinus
(što smo naučili u stavci pod 1), koji je znak vrednosti tu? To vrlo lako možete videti sa
punog koordinatnog sistema.
3) Tablica osnovnih vrednosti trigonometrijskih funkcija (03:05-03:35).
Kako zapamtiti ovo? Tangens i kotangens nije potrebno da pamtite napamet, jer ih lako
možete izvesti iz vrednosti sinusa i kosinusa. Za sinus i kosinus je ključno da zapamtite tri
vrednosti: 1
2,
√3
2.
√2
2. A raspoređujete ih preko ove šeme:
Prvi kvadrant: (sinus pozitivan, kosinus pozitivan)
- 𝑠𝑖𝑛60° =√3
2 ista vrednost je i za ... 𝑐𝑜𝑠30° =
√3
2
- 𝑐𝑜𝑠60° =1
2 ista vrednost je i za ... 𝑠𝑖𝑛30° =
1
2
- 𝑠𝑖𝑛45° =√2
2 ista vrednost je i za ... 𝑐𝑜𝑠45° =
√2
2
Drugim rečima, zapamtite koliko je sin60, pa znate već cela prva dva reda. A kada je u
pitanju ugao od 45 stepeni, uvek je vrednost koren iz dva kroz dva. Ovo isto možete da
primenite i na druge kvadrante, što bude očigledno sa trigonometrijskog kruga. Videćete
primenu ovog u trigonometrijskim jednačinama.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije
48 www.skripteekof.com/matematika
3. Osnovne relacije trigonometrijskih funkcija
Pogledajte video 66 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“ (00:00-01:55)
U suštini, osnovne relacije koje je neophodno da znate u pola noći kada vas probude jesu
sledeće:
1) sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1
2) 𝑡𝑔𝑥 =𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
3) 𝑐𝑡𝑔𝑥 =𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
4. Svođenje trigonom. funkcija na I kvadrant
Pogledajte video 66 (01:55 pa do kraja) i video 67 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.
Ovde je u praksi najbitnije da zapamtite sledeće tri vrlo bitne stavke:
1) Kada imate izraz oblika 𝑓(𝛼), onda pratite sledeću šemu:
sin(−𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝛼
cos(−𝛼) = +𝑐𝑜𝑠𝛼
tg(−𝛼) = −𝑡𝑔𝛼
ctg(−α) = −𝑐𝑡𝑔𝛼
Formalno rečeno, samo kosinus funkcija je parna, a ostale su neparne.
Primer.
sin (−𝜋
2) = −𝑠𝑖𝑛
𝜋
2= −1
2) Kada imate izraz oblika 𝑓(𝑘𝜋 ∓ 𝛼), gde je 𝛼 oštar ugao i 𝑘 ∈ ℤ, onda radimo sledeće:
1. proveravamo kom kvadrantu pripada izraz 𝑘𝜋 ∓ 𝛼, čime vidimo znak rezultata
2. rezultat izražavamo kao funkciju 𝒇(𝜶)
Primer.
sin(𝜋 + 𝛼) = ?
1. 𝜋 + 𝛼 pripada trećem kvadrantu, gde je funkcija sinus negativna
2. rezultat je funkcija 𝒔𝒊𝒏𝜶
Konačno rešenje:
sin(𝜋 + 𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝛼
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 49
3) Kada imate izraz oblika 𝑓 (𝑘𝜋
2∓ 𝛼), gde je 𝛼 oštar ugao i 𝑘 ∈ ℤ, onda radimo sledeće:
1. proveravamo kom kvadrantu pripada izraz 𝑘𝜋
2∓ 𝛼, čime vidimo znak rezultata
2. rezultat izražavamo kao kofunkciju 𝒇(𝜶)
Primer.
sin (𝜋
2+ 𝛼) = ?
1. 𝜋
2+ 𝛼 pripada drugom kvadrantu, gde je funkcija sinus pozitivna
2. rezultat je kofunkcija 𝒔𝒊𝒏𝜶, dakle 𝒄𝒐𝒔𝜶
Konačno rešenje:
sin (𝜋
2+ 𝛼) = +𝑐𝑜𝑠𝛼
5. Adicione formule i trigonometrijske funkcije
dvostrukog ugla i poluugla
Pogledajte video 69-74 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“
Ovo su, prosto, neke formule koje treba da naučite napamet kako biste mogli da ih
primenjujete u zadacima da biste došli do rešenja. Međutim, primena ovih formula vrlo je
retko potrebna za kolokvijum, a takođe nisu obuhvaćene ni gradivom za ispit. Stoga,
ukoliko vam baš ostane vremena nakon što ste sve drugo lepo provežbali (uključujući
sledeći odeljak u vezi trigonometrijskih jednačina i nejednačina, koji i jeste najbitniji deo
ove lekcije) savetujemo vam da tek onda pređete na ovaj deo u vezi adicionih formula i
trigonometrijskih funkcija dvostrukog ugla i poluugla, jer nije prevelika korist od
poznavanja ovih formula, bar na Ekofu. Naravno ukoliko imate vremena i volje, slobodno
naučite formule i provežbajte primere iz navedenih videa.
6. Trigonometrijske jednačine i nejednačine
Pogledajte video 78, 79, 80 i 81 plejliste navedene u odeljku „Linkovi“.
Ukoliko ste sve prethodno iz ove lekcije do sada savladali, trigonometrijske jednačine i
nejednačine biće vam vrlo jednostavne. A ovo je najvažniji deo lekcije, za koji su profesori i
napomenuli da će gotovo sigurno doći na kolokvijumu iz oblasti trigonometrije.
Postupak sređivanja jednačine je isti kao kod „normalnih“ jednačina i nejednačina, poput
linearnih i kvadratnih. Ono što je ključna razlika ovde jeste kako dolazite do vrednosti x
(putem trigonometrijskog kruga) i u samoj prirodi rešenja (trigonometrijske funkcije su
periodične, odnosno rešenja se ponavljaju na pola kruga 𝑘𝜋 ili na ceo krug 2𝑘𝜋). Ovo je
nekako previše komplikovano da bi vam ovako „napamet“ to napisao u vidu pregleda
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije
50 www.skripteekof.com/matematika
ovde, ali verujte mi, sve će vam biti prilično jasno kada detaljno pređete navedene video
zapise. Obavezno to učinite, odmah! Ovde ću vam staviti samo jedan primer pre
kolokvijumskih zadataka, kako biste shvatili logiku (nejednačine vrlo retko dolaze, to
možete samo preći putem video zapisa).
Primer.
Rešavamo jednačinu 2 cos 𝑥 − √3 = 0.
Prvo što treba da uradimo jeste da sa jedne strane ostavimo samo cos 𝑥, a sa druge sve
prebacimo sve ostalo:
2 cos 𝑥 − √3 = 0
2 cos 𝑥 = √3
cos 𝑥 =√3
2
Crtamo trigonometrijski krug kako bismo otkrili koja su to rešenja za 𝑥:
Znamo osnovne vrednosti trigonometrijskih funkcija. Već znamo da je cos 30° =√3
2 tako
da je 30° svakako jedno rešenje. Odnosno to možemo zapisati preko 𝜋:
𝑥 = 30°
𝑥 =30𝜋
180
𝑥 =𝜋
6
Međutim, ovo nije kompletno rešenje, zbog periodičnosti funkcije. Funkcije sinusa i
kosinusa su periodične na ceo krug. U prevodu, ukoliko naš ugao koji je rešenje
povećamo za ceo krug (koji iznosi 2𝜋) dobićemo praktično isti ugao – znači da je i takav
ugao rešenje našeg zadatka. I tako možemo koliko god puta hoćemo da dodajemo ceo krug
0
𝜋
2𝜋
3𝜋
2
𝜋
2
30°
𝒄𝒐𝒔𝒙
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 51
na naše rešenje. To ćemo matematički zapisati na sledeći način, i to će ujedno biti
kompletno prvo rešenje naše trigonometrijske jednačine:
𝑥 =𝜋
6+ 2kπ, k ∈ ℤ
A sada drugi deo – da li imamo još mogućih rešenja za x? Odnosno, da li još neki ugao da
iz trigonometrijskog kruga daje istu vrednost kosinusa kao i ugao od 30 stepeni? Svakako, i
to možemo lako videti sa trigonometrijskog kruga:
Ugao 330° se identično preslikava u isti kosinus. Stoga, i ovaj ugao predstavlja rešenje.
Možemo ga zapisati preko 𝜋:
𝑥 = 330°
𝑥 =330𝜋
180
𝑥 =11𝜋
6
Međutim, ovo nije kompletno rešenje, zbog periodičnosti funkcije. Funkcije sinusa i
kosinusa su periodične na ceo krug. U prevodu, ukoliko naš ugao koji je rešenje
povećamo za ceo krug (koji iznosi 2𝜋) dobićemo praktično isti ugao – znači da je i takav
ugao rešenje našeg zadatka. I tako možemo koliko god puta hoćemo da dodajemo ceo krug
na naše rešenje. To ćemo matematički zapisati na sledeći način, i to će ujedno biti
kompletno drugo rešenje naše trigonometrijske jednačine:
𝑥 =11𝜋
6+ 2kπ, k ∈ ℤ
Dakle, konačni skup rešenja zadate jednačine jeste:
𝑥 ∈ {𝜋
6+ 2kπ,
11𝜋
6+ 2kπ} , k ∈ ℤ
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću jednačinu:
2 sin(2𝑥) = √3
𝜋
2
0
𝜋
2𝜋
3𝜋
2
30°
𝒄𝒐𝒔𝒙 330°
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije
52 www.skripteekof.com/matematika
Rešenje sa postupkom:
Prvo što treba da uradimo jeste da sa jedne strane ostavimo samo sin 2𝑥, a sa druge sve
prebacimo sve ostalo:
2 sin(2𝑥) = √3
sin(2𝑥) =√3
2
Crtamo trigonometrijski krug kako bismo otkrili koja su to rešenja za 2𝑥:
Znamo osnovne vrednosti trigonometrijskih funkcija. Već znamo da je sin 60° =√3
2 tako
da je 60° svakako jedno rešenje. Odnosno to možemo zapisati preko 𝜋:
2𝑥 = 60°
2𝑥 =60𝜋
180
2𝑥 =𝜋
3
𝑥 =𝜋
6
Međutim, ovo nije kompletno rešenje, zbog periodičnosti funkcije. Funkcije sinusa i
kosinusa su periodične na ceo krug. U prevodu, ukoliko naš ugao koji je rešenje
povećamo za ceo krug (koji iznosi 2𝜋) dobićemo praktično isti ugao – znači da je i takav
ugao rešenje našeg zadatka. I tako možemo koliko god puta hoćemo da dodajemo ceo krug
na naše rešenje. To ćemo matematički zapisati na sledeći način, i to će ujedno biti
kompletno prvo rešenje naše trigonometrijske jednačine:
𝑥 =𝜋
6+ 2kπ, k ∈ ℤ
A sada drugi deo – da li imamo još mogućih rešenja za 2𝑥? Odnosno, da li još neki ugao da
iz trigonometrijskog kruga daje istu vrednost sinusa kao i ugao od 60 stepeni? Svakako, i to
možemo lako videti sa trigonometrijskog kruga:
0
3𝜋
2
𝜋
2
60°
𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝜋
2𝜋
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 53
Ugao 120° se identično preslikava u isti sinus. Stoga, i ovaj ugao predstavlja rešenje.
Možemo ga zapisati preko 𝜋:
2𝑥 = 120°
2𝑥 =120𝜋
180
2𝑥 =2𝜋
3
𝑥 =𝜋
3
Međutim, ovo nije kompletno rešenje, zbog periodičnosti funkcije. Funkcije sinusa i
kosinusa su periodične na ceo krug. U prevodu, ukoliko naš ugao koji je rešenje
povećamo za ceo krug (koji iznosi 2𝜋) dobićemo praktično isti ugao – znači da je i takav
ugao rešenje našeg zadatka. I tako možemo koliko god puta hoćemo da dodajemo ceo krug
na naše rešenje. To ćemo matematički zapisati na sledeći način, i to će ujedno biti
kompletno drugo rešenje naše trigonometrijske jednačine:
𝑥 =𝜋
3+ 2kπ, k ∈ ℤ
Dakle, konačni skup rešenja zadate jednačine jeste:
𝑥 ∈ {𝜋
6+ 2kπ,
𝜋
3+ 2kπ} , k ∈ ℤ
2. U intervalu (𝟎, 𝟐𝝅), rešiti sledeću jednačinu:
(cos 𝑥)2 =3
4
Rešenje sa postupkom:
Prvo što treba da uradimo jeste da vidimo koliko 𝑐𝑜𝑠𝑥 možemo da iznosi:
(cos 𝑥)2 =3
4
(cos 𝑥)2 = (√3
2)
2
𝜋
2
60°
𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
120°
0
𝜋
2𝜋
3𝜋
2
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije
54 www.skripteekof.com/matematika
𝑐𝑜𝑥 = ±√3
2
Prvi slučaj ( 𝑐𝑜𝑥 =√3
2)
Crtamo trigonometrijski krug kako bismo otkrili koja su to rešenja za 𝑥:
Znamo osnovne vrednosti trigonometrijskih funkcija. Već znamo da je cos 30° =√3
2 tako
da je 30° svakako jedno rešenje. Odnosno to možemo zapisati preko 𝜋:
𝑥 = 30°
𝑥 =30𝜋
180
𝑥 =𝜋
6
Ovde ne možemo da dodajemo krug (tj. 2𝜋) u rešenje, jer smo ograničeni na interval
(𝟎, 𝟐𝝅) u pogledu rešenja koja se traže od nas.
Da li imamo još mogućih rešenja za x? Odnosno, da li još neki ugao da iz
trigonometrijskog kruga daje istu vrednost kosinusa kao i ugao od 30 stepeni? Svakako, i to
možemo lako videti sa trigonometrijskog kruga:
0
𝜋
2𝜋
3𝜋
2
𝜋
2
𝜋
2
30°
𝒄𝒐𝒔𝒙
0 𝜋
2𝜋
3𝜋
2
30°
𝒄𝒐𝒔𝒙 330°
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 55
Ugao 330° se identično preslikava u isti kosinus. Stoga, i ovaj ugao predstavlja rešenje.
Možemo ga zapisati preko 𝜋:
𝑥 = 330°
𝑥 =330𝜋
180
𝑥 =11𝜋
6
Ovde ne možemo da dodajemo krug (tj. 2𝜋) u rešenje, jer smo ograničeni na interval
(𝟎, 𝟐𝝅) u pogledu rešenja koja se traže od nas.
Drugi slučaj ( 𝑐𝑜𝑥 = −√3
2)
Crtamo trigonometrijski krug kako bismo otkrili koja su to rešenja za 𝑥:
Znamo osnovne vrednosti trigonometrijskih funkcija. Već znamo da je cos 150° = −√3
2
tako da je 150° svakako jedno rešenje. Odnosno to možemo zapisati preko 𝜋:
𝑥 = 150°
𝑥 =150𝜋
180
𝑥 =5𝜋
6
Ovde ne možemo da dodajemo krug (tj. 2𝜋) u rešenje, jer smo ograničeni na interval
(𝟎, 𝟐𝝅) u pogledu rešenja koja se traže od nas.
Da li imamo još mogućih rešenja za x? Odnosno, da li još neki ugao da iz
trigonometrijskog kruga daje istu vrednost kosinusa kao i ugao od 150 stepeni? Svakako, i
to možemo lako videti sa trigonometrijskog kruga:
0 150°
𝒄𝒐𝒔𝒙 𝜋
2𝜋
3𝜋
2
𝜋
2
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije
56 www.skripteekof.com/matematika
Ugao 210° se identično preslikava u isti kosinus. Stoga, i ovaj ugao predstavlja rešenje.
Možemo ga zapisati preko 𝜋:
𝑥 = 210°
𝑥 =210𝜋
180
𝑥 =7𝜋
6
Ovde ne možemo da dodajemo krug (tj. 2𝜋) u rešenje, jer smo ograničeni na interval
(𝟎, 𝟐𝝅) u pogledu rešenja koja se traže od nas.
Dakle, konačni skup rešenja zadate jednačine jeste:
𝑥 ∈ {𝜋
6,5𝜋
6,7𝜋
6,11𝜋
6 }
3. Izračunati vrednost sledećeg izraza:
sin(𝜋
2+
𝜋
3) − sin (𝜋 +
𝜋
6) =
Rešenje sa postupkom:
U ovom zadatku je potrebno da koristimo svođenje na prvi kvadrant koje smo naučili u
ovoj lekciji. Idemo sabirak po sabirak.
Prvi sinus prati slučaj 3 iz odeljka o svođenju na prvi kvadrant (odeljak 4 ove lekcije).
Kada imate izraz oblika 𝑓 (𝑘𝜋
2∓ 𝛼), gde je 𝛼 oštar ugao i 𝑘 ∈ ℤ, onda radimo sledeće:
1. proveravamo kom kvadrantu pripada izraz 𝑘𝜋
2∓ 𝛼, čime vidimo znak rezultata
2. rezultat izražavamo kao kofunkciju 𝒇(𝜶)
U našem slučaju:
3𝜋
2
𝜋
2
0 𝜋
2𝜋
150°
𝒄𝒐𝒔𝒙 210°
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 57
sin(𝜋
2+
𝜋
3) = ?
1. 𝜋
2+
𝜋
3 pripada drugom kvadrantu, gde je funkcija sinus pozitivna
2. rezultat je kofunkcija 𝒔𝒊𝒏𝜋
3, dakle 𝒄𝒐𝒔
𝜋
3
Konačno rešenje za prvi sabirak:
sin (𝜋
2+
𝜋
3) = +𝑐𝑜𝑠
𝜋
3
Drugi sinus prati slučaj 2 iz odeljka o svođenju na prvi kvadrant (odeljak 4 ove lekcije).
Kada imate izraz oblika 𝑓(𝑘𝜋 ∓ 𝛼), gde je 𝛼 oštar ugao i 𝑘 ∈ ℤ, onda radimo sledeće:
1. proveravamo kom kvadrantu pripada izraz 𝑘𝜋 ∓ 𝛼, čime vidimo znak rezultata
2. rezultat izražavamo kao funkciju 𝒇(𝜶)
U našem slučaju:
sin (𝜋 +𝜋
6) = ?
1. 𝜋 +𝜋
6 pripada trećem kvadrantu, gde je funkcija sinus negativna
2. rezultat je funkcija 𝒔𝒊𝒏𝜋
6
Konačno rešenje za drugi sabirak:
sin(𝜋 + 𝛼) = −𝑠𝑖𝑛𝜋
6
Dakle, kada ovo zamenimo u naš početni izraz, dobijamo:
sin(𝜋
2+
𝜋
3) − sin (𝜋 +
𝜋
6) =
= 𝑐𝑜𝑠𝜋
3− (−𝑠𝑖𝑛
𝜋
6)
= 𝑐𝑜𝑠𝜋
3+ 𝑠𝑖𝑛
𝜋
6
=1
2+
1
2
= 1
BITNA NAPOMENA: SINUS I KOSINUS OD 0°, 90°, 180°, 270°
Osim vrednosti za 30, 45 i 60 stepeni, bitno nam je da znamo i vrednosti sinusa i
kosinusa za sledeće uglove:
sin 0° = 0 cos0° = 1
sin 90° = 1 cos 90° = 0
sin 180° = 0 cos 180° = −1
sin 270° = −1 cos 270° = 0
Ukoliko nacrtate trigonometrijski krug, lako ćete uočiti zašto su to baš ove vrednosti.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije
58 www.skripteekof.com/matematika
Kviz 9: Trigonometrijske funkcije
Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni
rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije.
Zatim, pošaljite nam rešenja na www.facebook.com/skripte.ekof.98. Za svako tačno
rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe,
kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka.
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
1. U intervalu (𝟎,𝝅
𝟐), rešiti sledeću jednačinu:
2 sin(4𝑥) = √3
2. Izračunati ugao 𝜶 ∈ [𝟎, 𝟐𝝅] za koji važe obe tvrdnje:
sin 𝛼 =1
2
cos 𝛼 = −√3
2
3. U intervalu (𝟎,𝝅
𝟐), rešiti sledeću jednačinu:
cos(2𝑥) = 1
4. U skupu realnih brojeva, rešiti sledeću nejednačinu:
cos𝜋
2+ sin
9𝜋
4=
5. U intervalu (𝟎,𝟑𝝅
𝟐), rešiti sledeću jednačinu:
2 cos(4𝑥) = 1
ŠTA DALJE?
DOSTUPNO SAMO U
FOTOKOPIRNICI
MINERVA
Fotokopirnica Minerva Gavrila Principa 44a, Beograd
/fotokopirnicaminerva
/fotokokopirnicaminerva
fotokopirnicaminerva.weebly.com
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 9: Trigonometrijske funkcije
2 www.skripteekof.com/matematika
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 1
Lekcija 10: Nizovi (progresije)
Pregled lekcije
U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
➢ aritmetički nizovi – oznake, razlika aritmetičkog niza i zbir članova;
➢ geometrijski nizovi – oznake, količnik geometrijskog niza i zbir članova.
Uvod
U ovoj lekciji bavimo se nizovima, tj. progresijama (ovi pojmovi su sinonimi). Lekcija je
relativno jednostavna, ali nemojte je zapostaviti – dobro provežbajte zadatke iz ove oblasti.
Oblast se javlja ređe od raznih jednačina i nejednačina na kolokvijumu, ali je šteta da je
dobro ne naučite kada ne predstavlja toliki izazov, a može da vam donese određene poene
na kolokvijumu.
Šta su nizovi?
Da vas ne bih davio sa formalnim definicijama i sličnim, recimo da je brojevni niz lista
nekih brojeva koji prate određeno pravilo. Primeri su sledeći:
- Primer 1: niz 3, 5, 7, 9, 11...
- Primer 2: niz 5, 10, 20, 40, 80...
Razmotrimo sad osnovne karakteristike ovih nizova koje ćemo dalje izučavati.
1) Prvi član niza (𝒂𝟏)
- Kao što mu samo ime kaže, prvi član niza jeste početni član datog niza. Označavamo ga
kao 𝑎1. Za primer 1, 𝑎1 = 3. Za primer 2, 𝑎1 = 5.
2) Opšti (n-ti) član niza (𝒂𝒏)
- Opštim članom niza izražavamo pravilo koje prati svaki član niza. Označavamo ga kao
𝑎𝑛. Za primer 1, vidimo da je svaki sledeći član niza za 2 veći od prethodnog. To možemo
izraziti putem opšteg člana niza:
𝑎𝑛 = 2 + 𝑎𝑛−1
Stoga, imamo da je npr. 𝑎2 = 5, 𝑎3 = 7, 𝑎4 = 9 itd.
Za primer 2, vidimo da je svaki sledeći član niza dupliran prethodni član. To možemo
izraziti kao:
𝑎𝑛 = 2 × 𝑎𝑛−1
Stoga, imamo da je npr. 𝑎2 = 10, 𝑎3 = 20, 𝑎4 = 40 itd.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi
2 www.skripteekof.com/matematika
3) Zbir n-tih članova niza (𝑺𝒏)
- Ovo je zbir određenog broja članova niza. Za primer 1, uzmimo zbir prvih 5 članova niza
– to je 3+5+7+9+11=35. Za primer 2, zbir prva tri člana je 5+10+20=35.
1. Aritmetički nizovi
Aritmetički niz je onaj gde je razlika između svaka dva susedna člana konstanta. Drugim
rečima, postoji konzistentno pravilo da svaki sledeći član niza jeste veći ili manji od
prethodnog člana niza za određenu istu vrednost.
Primer aritmetičkog niza jeste upravo primer 1 iz uvodnog odeljka:
3, 5, 7, 9, 11...
Razmotrimo sad osnovne karakteristike aritmetičkih nizova.
1) Prvi član niza (𝒂𝟏)
- Prvi član aritmetičkog niza označavamo sa 𝑎1, kao i za svaki drugi niz. Konkretno za ovaj
primer, 𝑎1 = 3.
2) Razlika (𝒅)
- Osnovna karakteristika koja je specifična za aritmetičke nizove jeste da je svaki sledeći
član niza veći ili manji za određenu vrednost od prethodnog, i ova vrednost je ista kroz celi
niz. Drugim rečima, ova vrednost predstavlja razliku između susednih članova niza, i
označavamo je sa 𝑑. Konkretno za ovaj primer, uzmimo drugi i prvi član niza:
𝑎1 = 3
𝑎2 = 5
Razlika između ova dva člana je 𝑑 = 5 − 3 = 2.
3) Opšti (n-ti) član niza (𝒂𝒏)
Za aritmetičke progresije imamo sledeću formulu za opšti član niza:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
Na primer, peti član niza (𝑛 = 5) u primeru bio bi:
𝑎5 = 3 + (5 − 1) × 2
𝑎5 = 11
Vidimo da formula zaista funkcioniše, jer peti član jeste 3+2+2+2+2=11.
4) Zbir n-tih članova niza (𝑺𝒏)
Za aritmetičke progresije imamo sledeću formulu za zbir n-tih članova niza:
𝑆𝑛 =𝑛
2(𝑎1 + 𝑎𝑛)
Na primer, zbir prvih pet članova niza (𝑛 = 5) u primeru bio bi (koristimo i formulu za
opšti član spomenutu iznad):
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 3
𝑆5 =5
2(3 + 11)
𝑆5 = 35
Vidimo da formula zaista funkcioniše, jer zbir prvih pet članova jeste 3+5+7+9+11=35.
2. Geometrijski nizovi
Geometrijski niz je onaj gde je količnik između svaka dva susedna člana konstantan.
Drugim rečima, postoji konzistentno pravilo da svaki sledeći član niza jeste veći ili
manji od prethodnog člana niza određeni broj puta.
Primer geometrijskog niza jeste upravo primer 2 iz uvodnog odeljka:
5, 10, 20, 40, 80...
Razmotrimo sad osnovne karakteristike geometrijskih nizova.
1) Prvi član niza (𝒂𝟏)
- Prvi član geometrijskog niza označavamo sa 𝑎1, kao i za svaki drugi niz. Konkretno za
ovaj primer, 𝑎1 = 5.
2) Količnik (𝒒)
- Osnovna karakteristika koja je specifična za geometrijske nizove jeste da je svaki sledeći
član niza veći ili manji određeni broj puta od prethodnog, i ovo pravilo je konzistentno
kroz celi niz. Drugim rečima, ova vrednost predstavlja količnik između susednih članova niza, i
označavamo je sa 𝑞. Konkretno za ovaj primer, uzmimo drugi i prvi član niza:
𝑎1 = 5
𝑎2 = 10
Količnik ova dva člana je 𝑞 =10
5= 2. Svaki sledeći član niza je 2 puta veći od prethodnog.
3) Opšti (n-ti) član niza (𝒂𝒏)
Za geometrijske progresije imamo sledeću formulu za opšti član niza:
𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1
Na primer, peti član niza (𝑛 = 5) u primeru bio bi:
𝑎5 = 5 × 24
𝑎5 = 80
Vidimo da formula zaista funkcioniše, jer peti član jeste 5 × 2 × 2 × 2 × 2 = 80.
4) Zbir n-tih članova niza (𝑺𝒏)
Za geometrijske progresije imamo sledeću formulu za zbir n-tih članova niza:
𝑆𝑛 = 𝑎1 ×𝑞𝑛−1
𝑞−1
Na primer, zbir prvih pet članova niza (𝑛 = 5) u primeru bio bi:
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi
4 www.skripteekof.com/matematika
𝑆5 = 5 ×25−1
2−1
𝑆5 = 155
Vidimo da formula funkcioniše, jer zbir prvih pet članova jeste 5+10+20+40+80=155.
Korisni linkovi
- https://www.mathos.unios.hr/matefos/Files/zadaci/zad3_r.pdf
- http://www.matf.bg.ac.rs/p/files/1397051238-55-Prijemni_Zlatko.pdf
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. Izračunati 2017. član niza:
−3, −1, 1, 3, …
Rešenje sa postupkom:
Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste veći od prethodnog
za 2, iz čega možemo zaključiti da je ovo aritmetički niz.
Formula za izračunavanje n-tog člana niza je:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
Znači, potrebno je da nađemo podatke za 𝑎1, 𝑛, 𝑑.
Prvi član ovog niza jeste -3, odnosno imamo da je:
𝑎1 = −3
𝑛 jeste redni broj člana kojeg tražimo. Znači imamo da je:
𝑛 = 2017
𝑑 jeste razlika između susednih članova aritmetičkog niza. Znači imamo da je:
𝑑 = 2
Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
𝑎2017 = −3 + (2017 − 1) ∙ 2
𝑎2017 = −3 + 2016 ∙ 2
𝑎2017 = −3 + 4032
𝑎2017 = 4029
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 5
2. Izračunati zbir prvih 2017 članova niza:
−2, 0, 2, 4, …
Rešenje sa postupkom:
Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste veći od prethodnog
za 2, iz čega možemo zaključiti da je ovo aritmetički niz.
Formula za izračunavanje zbira prvih n člana niza je:
𝑆𝑛 =𝑛
2(𝑎1 + 𝑎𝑛)
Formula za opšti član niza je:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
Dakle, imamo:
𝑆𝑛 =𝑛
2(𝑎1 + 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)
𝑆𝑛 =𝑛
2(2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)
Znači, potrebno je da nađemo podatke za 𝑎1, 𝑛, 𝑑.
Prvi član ovog niza jeste -2, odnosno imamo da je:
𝑎1 = −2
𝑛 jeste broj članova. Znači imamo da je:
𝑛 = 2017
𝑑 jeste razlika između susednih članova aritmetičkog niza. Znači imamo da je:
𝑑 = 2
Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu:
𝑆𝑛 =𝑛
2(2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)
𝑆2017 =2017
2(2 ∙ (−2) + (2017 − 1) ∙ 2)
𝑆2017 =2017
2(−4 + 2016 ∙ 2)
𝑆2017 =2017
2(−4 + 4032)
𝑆2017 =2017
2∙ 4028
𝑆2017 = 2017 ∙ 2014
𝑆2017 = 2017 ∙ 2014
𝑆2017 = 4 062 238
NAPOMENA br.2: SPECIFIČNOSTI FUNKCIJA Q i P
NAPOMENA: VELIKI BROJEVI
Na kolokvijumu nije potrebno da računate tačnu vrednost ovoliko velikih brojeva.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi
6 www.skripteekof.com/matematika
3. Izračunati opšti član niza:
−2, 4, −8, 16, −32, …
Rešenje sa postupkom:
Primetimo da razlika između susednih članova ovoga niza nije identična. Stoga,
zaključujemo da se ne radi o aritmetičkom nizu, već o geometrijskom nizu.
Formula za opšti član niza je:
𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1
Znači, potrebno je da nađemo podatke za 𝑎1 i 𝑞. Podatak za n nam nije potreban, jer
jednostavno tražimo formulu za opšti član ovog konkretnog niza, a ne neki konkretni član na
određenom rednom mestu.
Prvi član ovog niza jeste -2, odnosno imamo da je:
𝑎1 = −2
𝑞 jeste količnik geometrijskog niza, odnosno količnik svakog člana niza i njegovog
prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste duplo veći od prethodnog, a pritom
menja znak. To znači da:
𝑞 = −2
Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu:
𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1
𝑎𝑛 = −2 × (−2)𝑛−1
Ovo čak možemo dalje i srediti, korišćenjem pravila za stepenovanje:
𝑎𝑛 = −2 × (−2)𝑛−1
𝑎𝑛 = (−2)1+𝑛−1
𝑎𝑛 = (−2)𝑛
4. Naći zbir prvih sedam članova aritmetičke progresije, čiji je prvi član jednak 1, a
međusobna razlika susednih članova je 5.
Rešenje sa postupkom:
U zadatku nam je dato da je reč o aritmetičkoj progresiji.
Formula za izračunavanje zbira prvih n člana niza je:
𝑆𝑛 =𝑛
2(𝑎1 + 𝑎𝑛)
Formula za opšti član niza je:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 7
Dakle, imamo:
𝑆𝑛 =𝑛
2(𝑎1 + 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)
𝑆𝑛 =𝑛
2(2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)
Znači, potrebno je da nađemo podatke za 𝑎1, 𝑛, 𝑑.
Prvi član ovog niza jeste 1, odnosno imamo da je:
𝑎1 = 1
𝑛 jeste broj članova. Znači imamo da je:
𝑛 = 7
𝑑 jeste razlika između susednih članova aritmetičkog niza. Znači imamo da je:
𝑑 = 5
Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu:
𝑆𝑛 =𝑛
2(2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)
𝑆7 =7
2(2 ∙ 1 + (7 − 1) ∙ 5)
𝑆7 =7
2(2 + 6 ∙ 5)
𝑆7 =7
2(2 + 30)
𝑆7 =7
2∙ 32
𝑆7 = 7 ∙ 16
𝑆7 = 112
5. Za dati niz odrediti proizvod 19. i 21. člana:
−1
2,1
4, −
1
8,
1
16, −
1
32, …
Rešenje sa postupkom:
Primetimo da razlika između susednih članova ovoga niza nije identična. Stoga,
zaključujemo da se ne radi o aritmetičkom nizu, već o geometrijskom nizu.
Šta se nama zapravo traži u zadatku? Proizvod 19. i 21. člana, što možemo zapisati na
sledeći način:
𝑎19 ∙ 𝑎21 = ?
Formula za opšti član niza je:
𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1
Znači, potrebni su nam podaci za 𝑎1, 𝑞, i 𝑛.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi
8 www.skripteekof.com/matematika
Tražimo devetnaesti član niza. To znači da je:
𝑛 = 19
Prvi član ovog niza jeste -1/2, odnosno imamo da je:
𝑎1 = −1
2
𝑞 jeste količnik geometrijskog niza, odnosno količnik svakog člana niza i njegovog
prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste duplo manji od prethodnog, a pritom
menja znak. To znači da:
𝑞 = −1
2
Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu:
𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1
𝑎19 = −1
2× (−
1
2)19−1
𝑎19 = −1
2× (−
1
2)18
𝑎19 = −1
2×
1
218
𝑎19 = −1
219
Zatim, tražimo dvadesetprvi član niza. To znači da je:
𝑛 = 21
Prvi član ovog niza jeste -1/2, odnosno imamo da je:
𝑎1 = −1
2
𝑞 jeste količnik geometrijskog niza, odnosno količnik svakog člana niza i njegovog
prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste duplo manji od prethodnog, a pritom
menja znak. To znači da:
𝑞 = −1
2
Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu:
𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1
𝑎21 = −1
2× (−
1
2)21−1
𝑎21 = −1
2× (−
1
2)20
𝑎21 = −1
2×
1
220
𝑎21 = −1
221
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 9
Naš finalni rezultat jeste proizvod ovih članova. Dakle:
𝑎19 ∙ 𝑎21 =
= −1
219∙ (−
1
221)
= 1
219∙
1
221
= 1
240
6. Izračunati 2016. član niza:
2, 5, 8, 11, …
Rešenje sa postupkom:
Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste veći od prethodnog
za 3, iz čega možemo zaključiti da je ovo aritmetički niz.
Formula za izračunavanje n-tog člana niza je:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
Znači, potrebno je da nađemo podatke za 𝑎1, 𝑛, 𝑑.
Prvi član ovog niza jeste 2, odnosno imamo da je:
𝑎1 = 2
𝑛 jeste redni broj člana kojeg tražimo. Znači imamo da je:
𝑛 = 2016
𝑑 jeste razlika između susednih članova aritmetičkog niza. Znači imamo da je:
𝑑 = 3
Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
𝑎2016 = 2 + (2016 − 1) ∙ 3
𝑎2016 = 2 + 2015 ∙ 3
𝑎2016 = 2 + 6045
𝑎2016 = 6047
7. Izračunati 100. član niza:
−4, 1, −1
4 ,
1
16…
Rešenje sa postupkom:
Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste 4 puta manji od
prethodnog po apsolutnoj vrednosti, a takođe menja i znak. Time, zaključujemo da je ovo
geometrijski niz tj. geometrijska progresija.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi
10 www.skripteekof.com/matematika
Formula za opšti član niza je:
𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1
Znači, potrebni su nam podaci za 𝑎1, 𝑞, i 𝑛.
Tražimo 100. član niza. To znači da je:
𝑛 = 100
Prvi član ovog niza jeste -4, odnosno imamo da je:
𝑎1 = −4
𝑞 jeste količnik geometrijskog niza, odnosno količnik svakog člana niza i njegovog
prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste 4 puta manji od prethodnog, a pritom
menja znak. To znači da:
𝑞 = −1
4
Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu:
𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1
𝑎100 = −4 × (−1
4)100−1
𝑎100 = −4 × (−1
4)99
𝑎100 = −4 × (−1
499)
𝑎100 = 4 ×1
499
𝑎100 =1
498
NAPOMENA: PARNO I NEPARNO STEPENOVANJE NEGATIVNOG
BROJA
Veoma je bitno da ovo razlikujete:
1) Ukoliko negativni broj stepenujemo parnim koeficijentom, minus se gubi.
Primer iz 5. zadatka:
(−1
2)
20
=1
220
2) Ukoliko negativni broj stepenujemo neparnim koeficijentom, minus ostaje.
Primer iz 7. zadatka:
(−1
4)
99
= −1
499
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 11
8. Izračunati 201. član niza:
−5, −2, 1, 4, …
Rešenje sa postupkom:
Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste veći od prethodnog
za 3, iz čega možemo zaključiti da je ovo aritmetički niz.
Formula za izračunavanje n-tog člana niza je:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
Znači, potrebno je da nađemo podatke za 𝑎1, 𝑛, 𝑑.
Prvi član ovog niza jeste -5, odnosno imamo da je:
𝑎1 = −5
𝑛 jeste redni broj člana kojeg tražimo. Znači imamo da je:
𝑛 = 201
𝑑 jeste razlika između susednih članova aritmetičkog niza. Znači imamo da je:
𝑑 = 3
Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
𝑎201 = −5 + (201 − 1) ∙ 3
𝑎201 = −5 + 200 ∙ 3
𝑎201 = −5 + 600
𝑎201 = 595
9. Izračunati zbir prvih 200 članova niza:
−5, −2,1, 4, …
Rešenje sa postupkom:
Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste veći od prethodnog
za 3, iz čega možemo zaključiti da je ovo aritmetički niz.
Formula za izračunavanje zbira prvih n člana niza je:
𝑆𝑛 =𝑛
2(𝑎1 + 𝑎𝑛)
Formula za opšti član niza je:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
Dakle, imamo:
𝑆𝑛 =𝑛
2(𝑎1 + 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi
12 www.skripteekof.com/matematika
𝑆𝑛 =𝑛
2(2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)
Znači, potrebno je da nađemo podatke za 𝑎1, 𝑛, 𝑑.
Prvi član ovog niza jeste -5, odnosno imamo da je:
𝑎1 = −5
𝑛 jeste broj članova. Znači imamo da je:
𝑛 = 200
𝑑 jeste razlika između susednih članova aritmetičkog niza. Znači imamo da je:
𝑑 = 3
Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu:
𝑆𝑛 =𝑛
2(2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑)
𝑆200 =200
2(2 ∙ (−5) + (200 − 1) ∙ 3)
𝑆200 =200
2(−10 + 199 ∙ 3)
𝑆200 =200
2(−10 + 597)
𝑆200 =200
2∙ 587
𝑆200 = 100 ∙ 587
𝑆200 = 58 700
10. Izračunati 25. član niza:
2, 1,1
2 ,
1
4…
Rešenje sa postupkom:
Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član jeste 2 puta manji od
prethodnog po apsolutnoj vrednosti, i da ne menja znak. Time, zaključujemo da je ovo
geometrijski niz tj. geometrijska progresija.
Formula za opšti član niza je:
𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1
Znači, potrebni su nam podaci za 𝑎1, 𝑞, i 𝑛.
Tražimo 25. član niza. To znači da je:
𝑛 = 25
Prvi član ovog niza jeste 2, odnosno imamo da je:
𝑎1 = 2
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 13
𝑞 jeste količnik geometrijskog niza, odnosno količnik svakog člana niza i njegovog
prethodnika. Lako je uočiti da svaki sledeći član jeste 2 puta manji od prethodnog, a pritom
ne menja znak. To znači da:
𝑞 =1
2
Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu:
𝑎𝑛 = 𝑎1 × 𝑞𝑛−1
𝑎25 = 2 × (1
2)25−1
𝑎25 = 2 × (1
2)24
𝑎25 = 2 ×1
224
𝑎25 =1
223
11. Izračunati zbir prvih 25 članova niza:
2, 1,1
2,1
4, …
Rešenje sa postupkom:
Prepoznajmo prvo kakav je ovo niz. Vidimo da svaki sledeći član manji od prethodnog dva
puta, iz čega možemo zaključiti da je ovo geometrijski niz.
Formula za izračunavanje zbira prvih n člana niza je:
𝑆𝑛 = 𝑎1 ×𝑞𝑛−1
𝑞−1
Znači, potrebno je da nađemo podatke za 𝑎1, 𝑛, 𝑞.
Prvi član ovog niza jeste 2, odnosno imamo da je:
𝑎1 = 2
𝑛 jeste broj članova. Znači imamo da je:
𝑛 = 25
𝑞 jeste količnik između susednih članova geometrijskog niza. Svaki sledeći član dobijamo
tako što prethodni umanjimo za pola. Znači imamo da je:
𝑞 =1
2
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 10: Nizovi
14 www.skripteekof.com/matematika
Konačno, zamenjujemo ove vrednosti u formulu:
𝑆𝑛 = 𝑎1 ×𝑞𝑛 − 1
𝑞 − 1
𝑆25 = 2 ×(
12)
25
− 1
12 − 1
𝑆25 = 2 ×
1225 − 1
12 − 1
𝑆25 = 2 ×
1225 − 1
12 − 1
𝑆25 = 2 ×
1225 − 1
−12
𝑆25 = −4 ×
1225 − 1
1
𝑆25 = −4 × (1
225− 1)
𝑆25 = −4
225+ 4
𝑆25 = −22
225+ 4
𝑆25 = −1
223+ 4
𝑆25 = −1 + 4 ∙ 223
223
𝑆25 = −1 + 225
223
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 15
Kviz 10: Nizovi
Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni
rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije.
Zatim, pošaljite nam rešenja na www.facebook.com/skripte.ekof.98. Za svako tačno
rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe,
kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka.
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
1. Naći 15. član sledećeg niza:
0, 5, 10, 15, 20, …
2. Naći zbir prvih 300 članova sledećeg niza:
−5, −1, 3, 7, …
3. Naći 20. član sledećeg niza:
1, −2, 4, −8, 16, −32, …
4. Naći zbir prvih 25 članova sledećeg niza:
1, −2, 4, −8, 16, −32, …
5. Odrediti zbir devedesetdevetog i stotog člana sledećeg niza:
−3 ,0, 3, 6, 9, 12, …
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 11: Analitička geometrija
16 www.skripteekof.com/matematika
Lekcija 11: Analitička geometrija
Pregled lekcije
U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
➢ koeficijent pravca (nagib funkcije) – kako ga određujemo i šta predstavlja, kao i
kako preko njega izražavamo paralelne i normalne prave;
➢ odsečak funkcije na y-osi – kako ga određujemo i šta predstavlja;
➢ jednačina prave koja prolazi kroz tačke – kako je određujemo;
➢ tačke preseka funkcija – kako ih određujemo;
➢ kružnica – oblik funkcije, šta je centar a šta poluprečnik i kako ih određujemo.
➢ elipsa, hiperbola i parabola
Uvod
U ovoj lekciji bavimo se analitičkom geometrijom, odnosno raznim stvarima u vezi funkcija
u pogledu njihovog skiciranja, određivanja osobina itd. Postoje još neki delovi ove oblasti
koje nismo ovde obradili, a koji se dosta ređe javljaju na kolokvijumu (elipsa, hiperbola i
parabola). Naznačili smo vam linkove na kojima možete efikasno naučiti i ovaj deo gradiva.
1. Koeficijent pravca (nagib) funkcije i odsečak
Koeficijent pravca, tj. nagib funkcije govori nam, najjednostavnije rečeno, koliko se
vrednost Y promeni kada se vrednost X poveća za 1. Označavamo ga sa slovom 𝑘, i
možemo lako da ga dobijemo iz eksplicitnog oblika linearne funkcije.
Odsečak na y-osi govori nam kolika je vrednost funkcije kada je X = 0. Oznčaavamo ga
sa slovom 𝑛, i možemo lako da ga dobijemo iz eksplicitnog oblika linearne funkcije.
Dakle, eksplicitni oblik funkcije opšte možemo prikazati sledećim iskazom:
𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑛
BITNA NAPOMENA
Eksplicitni oblik funkcije smo objasnili u lekciji 3, odeljak 3. Obavezno ponovite.
Više o koeficijentu pravca i odsečku na y-osi obavezno pročitajte u dodatku na vebsajtu koji
smo postavili uz lekciju. Mnogo će vam značiti! (link: skripteekof.com/matematika)
Primer. Imamo funkciju 𝑦 = 3𝑥 − 2
Koeficijent pravca iznosi 𝑘 = 3, dok je odsečak na y-osi jednak 𝑛 = −2.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 17
2. Paralelne i normalne prave
Na osnovu koeficijent pravca jedne prave (odnosno linearne funkcije), možemo odrediti i:
a) koliki je koeficijent pravca prave koja je njoj paralelna
b) koliki je koeficijent pravca prave koja je normalna na nju
Pravilo glasi:
1) Paralelne prave imaju isti koeficijent pravca.
𝑘1 = 𝑘2
2) Normalne prave imaju koeficijent pravca suprotnog znaka i recipročne vrednosti.
𝑘1 = −1
𝑘2
Pogledajmo ovo na primerima.
Primer 1.
Imamo funkciju 𝑦 = 3𝑥 − 2. Koliko iznosi koeficijent pravca paralelne prave na ovu
funkciju?
- Koeficijent pravca funkcije 𝑦 = 3𝑥 − 2 je 𝑘1 = 3. Paralelne prave imaju isti koeficijent
nagiba, tako da će i koeficijent pravca paralelne prave biti 𝑘2 = 3.
Primer 2.
Imamo funkciju 𝑦 = 3𝑥 − 2. Koliko iznosi koeficijent pravca normalne prave na ovu
funkciju?
- Koeficijent pravca funkcije 𝑦 = 3𝑥 − 2 je 𝑘1 = 3. Normalne prave imaju koeficijent
nagiba suprotnog znaka i recipročne vrednosti, tako da će koeficijent pravca normalne
prave biti 𝑘2 = −1
3.
3. Jednačina prave koja prolazi kroz tačke
VARIJANTA 1: JEDNAČINA KOJA PROLAZI KROZ DVE TAČKE
Ovo je jedna šablonska stvar, koju je vrlo jednostavno savladati. Potrebno je da zapamtimo
formulu:
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1(𝑥 − 𝑥1)
𝑥1 = x koordinata prve tačke
𝑦1 = y koordinata prve tačke
𝑥2 = x koordinata druge tačke
𝑦2 = y koordinata druge tačke
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 11: Analitička geometrija
18 www.skripteekof.com/matematika
Primer.
Kako glasi jednačina prave koja prolazi kroz tačke A(2,3) i B(1,5)? Ono što je potrebno da
uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo o koordinatama ovih tačaka i
zamenimo ih u formulu.
𝑥1 = 2
𝑦1 = 3
𝑥2 = 1
𝑦2 = 5
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 3 =5−3
1−2(𝑥 − 2)
Zatim samo malo sređujemo izraz i prebacujemo ga u eksplicitni oblik:
𝑦 − 3 = −2(𝑥 − 2)
𝑦 − 3 = −2𝑥 + 4
𝑦 = −2𝑥 + 7
VARIJANTA 2: JEDNAČINA KOJA PROLAZI KROZ TAČKU I IMA DATI
KOEFICIJENT PRAVCA
Ovo je takođe jedna šablonska stvar, koju je vrlo jednostavno savladati. Potrebno je da
zapamtimo formulu:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑘(𝑥 − 𝑥1)
𝑥1 = x koordinata prve tačke
𝑦1 = y koordinata prve tačke
𝑘 = dati koeficijent pravca
Primer.
Kako glasi jednačina prave koja prolazi kroz tačke A(1,1) i ima koeficijent pravca 3? Ono
što je potrebno da uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo i
zamenimo ih u formulu.
𝑥1 = 1
𝑦1 = 1
𝑘 = 3
𝑦 − 𝑦1 = 𝑘(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 1 = 3(𝑥 − 1)
Zatim samo malo sređujemo izraz i prebacujemo ga u eksplicitni oblik:
𝑦 − 3 = 3𝑥 − 3
𝑦 = 3𝑥
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 19
4. Tačke preseka funkcija
Ovo je takođe jedna šablonska stvar, koju je vrlo jednostavno savladati. Koordinate tačke
(ili tačaka) preseka funkcija dobijamo kao rešenja sistema jednačina.
Primer.
Imamo sledeće linearne funkcije:
𝑥 + 3𝑦 = 25
2𝑥 − 5𝑦 = −27
Koje su koordinate tačke preseka ovih funkcija?
Ovo dobijamo rešavanjem datog sistema jednačina, putem metode zamene ili metodom
suprotnih koeficijenata. Dobićete rešenje:
𝑥 = 4
𝑦 = 7
odnosno, tačka preseka datih funkcija je P(4,7).
BITNA NAPOMENA
Više i mnogo detaljnije o odeljku 1-4, kao i brojne primere za vežbu, možete pronaći na
sledećem linku:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLFcvPzGOoOADCnxqIj_UwhtL8KLY7OM9e
(video 75-87)
5. Kružnica
Određivanje centra i poluprečnika kružnice je jedan od najčešćih zadataka na kolokvijumu
iz oblasti analitičke geometrije. Postoji odličan niz videa koje je snimila Škola Rajak u vezi
ovoga, i najbolje ćete ih naučiti putem njih.
Link:
https://www.youtube.com/playlist?list=PLFcvPzGOoOADCnxqIj_UwhtL8KLY7OM9e
(video 88 i video 89)
6. Elipsa, hiperbola i parabola
Ove oblasti se mnogo retko javljaju na kolokvijumu, tako da nećemo obraditi u ovoj skripti.
Međutim, pružamo vam korisne linkove na kojima možete preći i izvežbati ovo.
- Elipsa, hiperbola i parabola: http://alas.matf.bg.ac.rs/~ml09185/strana3.html#3.4
- Elipsa video: https://youtu.be/JySfTIgWcFo
- Hiperbola video: https://youtu.be/QPAIgB2izj4
- Parabola video: https://youtu.be/7NCVtv7JYW4
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 11: Analitička geometrija
20 www.skripteekof.com/matematika
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. Napiši jednačinu prave koja sadrži tačku A(-3,1) i paralelna je sa sledećom
pravom:
𝑞: 2𝑥 + 3𝑦 = 5
Rešenje sa postupkom:
Konkretno, zadatak nam je da nađemo jednačinu prave koja prolazi kroz neku tačku i ima
koeficijent pravca isti kao i prava q (jer to znači da su ove prave paralelne).
Prebacimo jednačinu prave q u eksplicitni oblik kako bismo lakše utvrdili šta je koeficijent
pravca ove funkcije:
2𝑥 + 3𝑦 = 5
3𝑦 = 5 − 2𝑥
𝑦 =5
3−
2
3𝑥
𝑦 = −2
3𝑥 +
5
3
Odavde su očigledni podaci za koeficijent pravca i odsečak na y-osi ove funkcije:
𝑘 = −2
3
𝑛 =5
3
Naša tražena jednačina prave treba da bude paralelna sa ovom pravom, što znači da ima isti
koeficijent pravca. Znači, naš zadatak je da utvrdimo jednačinu prave koja prolazi kroz
tačku A(-3,1) i ima koeficijent pravca 𝑘 = −2
3. Za to primenjujemo sledeću formulu:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑘(𝑥 − 𝑥1)
𝑥1 = x koordinata prve tačke
𝑦1 = y koordinata prve tačke
𝑘 = dati koeficijent pravca
Ono što je potrebno da uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo i
zamenimo ih u formulu.
𝑥1 = −3
𝑦1 = 1
𝑘 = −2
3
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 21
𝑦 − 𝑦1 = 𝑘(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 1 = −2
3∙ (𝑥 + 3)
Zatim samo malo sređujemo izraz i prebacujemo ga u eksplicitni oblik:
𝑦 − 1 = −2
3𝑥 − 2
𝑦 = −2
3𝑥 − 1
2. Napiši jednačinu prave koja sadrži tačku A(1,3) i normalna je sa sledećom
pravom:
𝑞: 2𝑥 + 3𝑦 = 5
Rešenje sa postupkom:
Konkretno, zadatak nam je da nađemo jednačinu prave koja prolazi kroz neku tačku i ima
koeficijent pravca recipročne vrednosti i suprotnog znaka u odnosu na pravu q (jer to
znači da su ove prave normalne).
Prebacimo jednačinu prave q u eksplicitni oblik kako bismo lakše utvrdili šta je koeficijent
pravca ove funkcije:
2𝑥 + 3𝑦 = 5
3𝑦 = 5 − 2𝑥
𝑦 =5
3−
2
3𝑥
𝑦 = −2
3𝑥 +
5
3
Odavde su očigledni podaci za koeficijent pravca i odsečak na y-osi ove funkcije:
𝑘 = −2
3
𝑛 =5
3
Naša tražena jednačina prave treba da bude normalna na ovu pravu, što znači da ima
koeficijent pravca recipročne vrednosti i suprotnog znaka. Znači, naš zadatak je da
utvrdimo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1,3) i ima koeficijent pravca 𝑘 =3
2. Za
to primenjujemo sledeću formulu:
𝑦 − 𝑦1 = 𝑘(𝑥 − 𝑥1)
𝑥1 = x koordinata prve tačke
𝑦1 = y koordinata prve tačke
𝑘 = dati koeficijent pravca
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 11: Analitička geometrija
22 www.skripteekof.com/matematika
Ono što je potrebno da uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo i
zamenimo ih u formulu.
𝑥1 = 1
𝑦1 = 3
𝑘 =3
2
𝑦 − 𝑦1 = 𝑘(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 3 =3
2∙ (𝑥 − 1)
Zatim samo malo sređujemo izraz i prebacujemo ga u eksplicitni oblik:
𝑦 − 3 =3
2𝑥 −
3
2
𝑦 =3
2𝑥 +
3
2
3. Odrediti centar i poluprečnik sledeće kružnice:
𝑥2 + 𝑦2 = −14y + 15
Rešenje sa postupkom:
U ovakvim zadacima, ono što uvek treba da uradimo jeste da svedemo datu jednačinu
kružnice na standardni oblik. Standardni oblik kružnice izgleda ovako:
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2
𝑟 = poluprečnik kružnice
𝑎 = x-koordinata tačke centra kružnice
𝑏 = y-koordinata tačke centra kružnice
Dakle, dođimo do ovog oblika u našem primeru. Prvo prebacimo sve osim slobodnog
člana na levu stranu:
𝑥2 + 𝑦2 = −14y + 15
𝑥2 + 𝑦2 + 14y = 15
(𝑥 − 0)2 + 𝑦2 + 14y = 15
Nemamo zagradu koja nam je potrebna kod y. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo dopuniti naš
izraz do „punog kvadrata“, kako bismo mogli upotrebiti formulu za kvadrat zbira ili razlike.
Znači, imamo 𝑦2 + 14y. Ako bismo ovde dodali +49, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko
ovo učinimo, moramo i da dodamo −49, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači:
(𝑥 − 0)2 + 𝑦2 + 14y + 49 − 49 = 15
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 + 7)2 − 49 = 15
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 + 7)2 = 15 + 49
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 + 7)2 = 64
Odnosno:
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 + 7)2 = 64
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − (−7))2 = 64
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 23
Iz ovakvog izraza su rešenja očigledna:
𝑟 = 8
𝑎 = 0
𝑏 = −7
Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 8, a centar je u tački 𝐶(0, −7).
NAPOMENA br.2: SPECIFIČNOSTI FUNKCIJA Q i P
4. Odrediti centar i poluprečnik sledeće kružnice:
𝑥2 + 𝑦2 = −4𝑥
a potom odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz centar ove kružnice i tačku A(1,3).
Rešenje sa postupkom:
U ovakvim zadacima, ono što uvek treba da uradimo jeste da svedemo datu jednačinu
kružnice na standardni oblik. Standardni oblik kružnice izgleda ovako:
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2
𝑟 = poluprečnik kružnice
𝑎 = x-koordinata tačke centra kružnice
𝑏 = y-koordinata tačke centra kružnice
Dakle, dođimo do ovog oblika u našem primeru. Prvo prebacimo sve osim slobodnog
člana na levu stranu:
𝑥2 + 𝑦2 = −4𝑥
𝑥2 + 4𝑥 + 𝑦2 = 0
𝑥2 + 4𝑥 + (𝑦 − 0)2 = 0
Nemamo zagradu koja nam je potrebna kod x. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo dopuniti naš
izraz do „punog kvadrata“, kako bismo mogli upotrebiti formulu za kvadrat zbira ili razlike.
Znači, imamo 𝑥2 + 4𝑥. Ako bismo ovde dodali +4, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko ovo
učinimo, moramo i da dodamo −4, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači:
𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 4 + (𝑦 − 0)2 = 0
(𝑥 + 2)2 − 4 + (𝑦 − 0)2 = 0
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 0)2 = 4
NAPOMENA: KANONSKI OBLIK FUNKCIJE
Kada u ovakvim zadacima sa kružnicom dopunjavamo izraz do „punog kvadrata“,
kako bismo imali elemente za kvadrat zbira ili razlike, mi zapravo deo funkcije
prebacujemo u tzv. kanonski oblik.
Primeri:
1) Eksplicitni oblik funkcije: 𝑦 = 𝑥2 + 14𝑥
2) Implicitni oblik fukcije: 𝑦 − 𝑥2 − 14𝑥 = 0
3) Kanonski oblik fukcije: 𝑦 = 𝑥2 + 14𝑥 + 49 − 49, tj. 𝑦 = (𝑥 + 7)2 − 49
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 11: Analitička geometrija
24 www.skripteekof.com/matematika
Odnosno:
(𝑥 + 2)2 + (𝑦 − 0)2 = 4
(𝑥 − (−2))2 + (𝑦 − 0)2 = 4
Iz ovakvog izraza su rešenja očigledna:
𝑟 = 2
𝑎 = −2
𝑏 = 0
Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 2, a centar je u tački 𝐶(−2,0).
Sada, treba da nađemo jednačinu prave koja prolazi kroz ovaj centar 𝐶(−2,0) i tačku
𝐴(1,3).
Potrebno je da primenimo formulu:
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1(𝑥 − 𝑥1)
𝑥1 = x koordinata prve tačke
𝑦1 = y koordinata prve tačke
𝑥2 = x koordinata druge tačke
𝑦2 = y koordinata druge tačke
Ono što je potrebno da uradimo jeste da jednostavno zapišemo podatke koje imamo o
koordinatama ovih tačaka i zamenimo ih u formulu.
𝑥1 = −2
𝑦1 = 0
𝑥2 = 1
𝑦2 = 3
𝑦 − 𝑦1 =𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1(𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 0 =3−0
1−(−2)(𝑥 − (−2))
Zatim samo malo sređujemo izraz i prebacujemo ga u eksplicitni oblik:
𝑦 =3
1+2(𝑥 + 2)
𝑦 =3
3(𝑥 + 2)
𝑦 = 𝑥 + 2
5. Odrediti tačke preseka sledećih funkcija:
𝑦 = 2 − 𝑥
𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10
Rešenje sa postupkom:
Znamo da koordinate tačke (ili tačaka) preseka funkcija dobijamo kao rešenja sistema
jednačina. Potrebno je da rešimo sledeći sistem jednačina.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 25
𝑦 = 2 − 𝑥
𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10
Upotrebimo metod zamene, zamenivši prvu jednačinu u drugu:
𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10
2 − 𝑥 = 𝑥2 − 7𝑥 + 10
2 = 𝑥2 − 6𝑥 + 10
0 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8
𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0
Poznatim postupcima iz prethodnih lekcija, rešimo ovu kvadratnu jednačinu:
𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =6 ± √(−6)2 − 4 ∙ 1 ∙ 8
2 ∙ 1
𝑥1,2 =6 ± √4
2
𝑥1,2 =6 ± 2
2
𝒙𝟏 = 𝟒
𝒙𝟐 = 𝟐
Time smo dobila dva rešenja za x koordinatu naše tačke preseka – znači imamo dve tačke
preseka.
Prva tačka preseka
Ako uzmemo da je 𝑥 = 4, računamo sledećim postupkom vrednost koordinate 𝑦:
𝑦 = 2 − 𝑥
𝑦 = 2 − 4
𝑦 = −2
Dakle, prva tačka preseka jeste tačka:
𝐴1(4, −2)
Druga tačka preseka
Ako uzmemo da je 𝑥 = 2, računamo sledećim postupkom vrednost koordinate 𝑦:
𝑦 = 2 − 𝑥
𝑦 = 2 − 2
𝑦 = 0
Dakle, druga tačka preseka jeste tačka:
𝐴2(2, 0)
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 11: Analitička geometrija
26 www.skripteekof.com/matematika
6. Odrediti centar i poluprečnik sledeće kružnice:
𝑥2 + 𝑦2 = 24 + 2𝑥
U ovakvim zadacima, ono što uvek treba da uradimo jeste da svedemo datu jednačinu
kružnice na standardni oblik. Standardni oblik kružnice izgleda ovako:
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2
𝑟 = poluprečnik kružnice
𝑎 = x-koordinata tačke centra kružnice
𝑏 = y-koordinata tačke centra kružnice
Dakle, dođimo do ovog oblika u našem primeru. Prvo prebacimo sve osim slobodnog
člana na levu stranu:
𝑥2 − 2𝑥 + 𝑦2 = 24
𝑥2 − 2𝑥 + (𝑦 − 0)2 = 24
Nemamo zagradu koja nam je potrebna kod x. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo dopuniti naš
izraz do „punog kvadrata“, kako bismo mogli upotrebiti formulu za kvadrat zbira ili razlike.
Znači, imamo 𝑥2 − 2𝑥. Ako bismo ovde dodali +1, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko ovo
učinimo, moramo i da dodamo −1, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači:
𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1 + (𝑦 − 0)2 = 24
(𝑥 − 1)2 − 1 + (𝑦 − 0)2 = 24
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 0)2 = 25
Iz ovakvog izraza su rešenja očigledna:
𝑟 = 5
𝑎 = 1
𝑏 = 0
Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 5, a centar je u tački 𝐶(1 ,0).
7. Odrediti centar i poluprečnik sledeće kružnice:
𝑥2 + 𝑦2 = 8𝑦 − 12
Rešenje sa postupkom:
U ovakvim zadacima, ono što uvek treba da uradimo jeste da svedemo datu jednačinu
kružnice na standardni oblik. Standardni oblik kružnice izgleda ovako:
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2
𝑟 = poluprečnik kružnice
𝑎 = x-koordinata tačke centra kružnice
𝑏 = y-koordinata tačke centra kružnice
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 27
Dakle, dođimo do ovog oblika u našem primeru. Prvo prebacimo sve osim slobodnog
člana na levu stranu:
𝑥2 + 𝑦2 = 8𝑦 − 12
𝑥2 + 𝑦2 − 8𝑦 = −12
(𝑥 − 0)2 + 𝑦2 − 8𝑦 = −12
Nemamo zagradu koja nam je potrebna kod y. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo dopuniti naš
izraz do „punog kvadrata“, kako bismo mogli upotrebiti formulu za kvadrat zbira ili razlike.
Znači, imamo 𝑦2 − 8𝑦. Ako bismo ovde dodali +16, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko
ovo učinimo, moramo i da dodamo −16, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači:
(𝑥 − 0)2 + 𝑦2 − 8𝑦 + 16 − 16 = −12
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 4)2 − 16 = −12
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 4)2 = −12 + 16
(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 4)2 = 4
Iz ovakvog izraza su rešenja očigledna:
𝑟 = 2
𝑎 = 0
𝑏 = 4
Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 2, a centar je u tački 𝐶(0, 4).
8. Odrediti centar i poluprečnik sledeće kružnice:
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0
Rešenje sa postupkom:
U ovakvim zadacima, ono što uvek treba da uradimo jeste da svedemo datu jednačinu
kružnice na standardni oblik. Standardni oblik kružnice izgleda ovako:
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2
𝑟 = poluprečnik kružnice
𝑎 = x-koordinata tačke centra kružnice
𝑏 = y-koordinata tačke centra kružnice
Dakle, dođimo do ovog oblika u našem primeru. Prvo treba da imamo na levoj strani sve
nepoznate, a na desnoj strani da imamo samo slobodan član:
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0
𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 = −4
𝑥2 − 4𝑥 + 𝑦2 + 2𝑦 = −4
Nemamo zagradu koja nam je potrebna i kod x i kod y. Ovo ćemo rešiti tako što ćemo
dopuniti naš izraz do „punog kvadrata“, kako bismo mogli upotrebiti formulu za kvadrat
zbira ili razlike.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 11: Analitička geometrija
28 www.skripteekof.com/matematika
Za nepoznatu x:
Imamo 𝑦2 + 2𝑦. Ako bismo ovde dodali +4, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko ovo
učinimo, moramo i da dodamo −4, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači:
𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 4 + 𝑦2 + 2𝑦 = −4
(𝑥 − 2)2 − 4 + 𝑦2 + 2𝑦 = −4
(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 + 2𝑦 = −4 + 4
(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 + 2𝑦 = 0
Za nepoznatu y:
Imamo 𝑥2 − 4𝑥. Ako bismo ovde dodali +1, imali bismo pun kvadrat. Ukoliko ovo
učinimo, moramo i da dodamo −1, kako ne bismo promenili vrednost izraza. Znači:
(𝑥 − 2)2 + 𝑦2 + 2𝑦 + 1 − 1 = 0
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 − 1 = 0
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 0 + 1
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 − 1)2 = 1
Iz ovakvog izraza su rešenja očigledna:
𝑟 = 1
𝑎 = 2
𝑏 = 1
Dakle, naša kružnica ima poluprečnik od 1, a centar je u tački 𝐶(2, 1).
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 29
Kviz 11: Analitička geometrija
Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni
rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije.
Zatim, pošaljite nam rešenja na www.facebook.com/skripte.ekof.98. Za svako tačno
rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe,
kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka.
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
1. Naći centar i poluprečnik sledeće kružnice:
𝑥2 + 𝑦2 = −8𝑦 + 6𝑥
2. Odrediti jednačinu prave p koja prolazi kroz tačku A(-1,-1) i koja je paralelna sa
sledećom pravom:
𝑞: 2𝑥 − 3𝑦 = 5
3. Odrediti jednačinu prave p koja prolazi kroz tačku A(-2,-2) i koja je normalna na
sledeću pravu:
𝑞: 2𝑥 − 3𝑦 = 5
4. Odrediti jednačinu prave p koja prolazi kroz sledeće tačke:
𝐴(2, −1)
𝐵(−1, 2)
5. Odrediti tačku u kojoj grafik sledeće funkcije seče x-osu:
𝑦 = 2𝑥 − 3
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti
30 www.skripteekof.com/matematika
Lekcija 12: Proporcionanost i procentni
račun
Pregled lekcije
U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
➢ direktna i obrnuta proporcionalnost – šta predstavlja i kako se rešavaju zadaci;
➢ proporcionalnost sa koeficijentom 𝒌 – kako se rešavaju ovakvi zadaci;
➢ procentni račun – šta predstavlja procenat i kako rešavamo zadatke.
Uvod
Ovo je jedna vrlo kratka i jednostavna lekcija. Uglavnom ponavljamo sve što ste zasigurno
već radili u srednjoj školi – direktnu i obrnutu proporcionalnost, kao i procente.
Zadržaćemo se na vrlo jednostavnim zadacima, jer takvi dolaze i na kolokvijumu. Ona što
će za vas možda biti novo jeste proporcionalnost sa koeficijentom k, mada je dosta vas i
ovo verovatno obradilo u srednjoj školi.
1. Direktna i obrnuta proporcionalnost
Proporcionalnost iskazuje između dve veličine, i ukazuje nam na to da je ta veza
proporcionalna – drugim rečima, kada promenimo jednu veličinu za određeni iznos, za
proporcionalno isti iznos će se promeniti druga veličina. Na primer, uzmimo da su
promenljive sati učenja i ocena na ispitu. Ukoliko učite više sati, biće vam proporcionalno veća
i ocena na ispitu.
Postoje dve osnovne vrste proporcionalnosti:
1) direktna – kad se jedna promenljiva poveća, druga promenljiva se povećava (oznaka: )
2) obrnuta – kad se jedna promenljiva poveća, druga promenljiva se smanjuje (oznaka: )
Primeri.
Kada učite više sati, veća će vam biti ocena na ispitu – direktna proporcionalnost
Kada učite više sati, manje ćete gledati televizor – obrnuta proporcionalnost
Pokažimo sad opšti postupak rešavanja zadataka iz direktne i obrnute proporcionalnosti.
Primer 1.
Marko za tačno 500 dinara može da kupi 2 kg jabuka. Koliko jabuka može da kupi za 800
dinara?
Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. X je ono što tražimo.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 31
kg jabuka količina novca
2 500
x 800
Zatim određujemo vezu između ove dve promenljive – kg jabuka i količina novca. Da li je
u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Logično je da što više novca imamo, to
ćemo moći više kilograma jabuka da kupimo – stoga, u pitanju je direktna
proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru.
kg jabuka količina novca
2 500
x 800
Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju:
𝑥 ∶ 2 = 800 ∶ 500
Proporciju rešavamo tako što množimo međusobno spoljašnje članove i međusobno
unutrašnje članove. Mala slika kao pomoć:
𝑥 ∶ 2 = 800 ∶ 500
Dakle:
500𝑥 = 2 × 800
500𝑥 = 1600
𝒙 = 𝟑. 𝟐 𝒌𝒈
Interpretacija: Marko za 800 dinara može da kupi 3.2 kg jabuka.
Primer 2.
Pet radnika će izraditi proizvod za 3 sata. Koliko radnika je potrebno da se proizvod izradi
za 1 sat?
Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. X je ono što tražimo.
broj radnika potrebno vreme u satima
5 3
x 1
Zatim određujemo vezu između ove dve promenljive – broja radnika i potrebnog vremena
za izradu proizvoda. Da li je u pitanju direktna ili obrnuta proporcionalnost? Logično je da
što je više radnika tu i radi na izradi proizvoda, to će biti potrebno manje vremena da se
proizvod izradi – stoga, u pitanju je obrnuta proporcionalnost, i crtamo strelice u
suprotnom smeru.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti
32 www.skripteekof.com/matematika
broj radnika potrebno vreme u satima
5 3
x 1
Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju:
𝑥 ∶ 5 = 3 ∶ 1
Proporciju rešavamo tako što množimo međusobno spoljašnje članove i međusobno
unutrašnje članove. Mala slika kao pomoć:
𝑥 ∶ 5 = 3 ∶ 1
Dakle:
1𝑥 = 5 × 3
𝒙 = 𝟏𝟓 radnika
Interpretacija: 15 radnika je potrebno da radi kako bi se proizvod izradio za 1 sat.
2. Proporcionalnost sa koeficijentom 𝒌
U suštini, ovde ćemo vam samo pokazati kako se rešavaju ovakvi zadaci. Znaćete da ih
prepoznate jer će biti zadato da su delovi nečega u određenom odnosu, i najčešće biće
data vrednost celine. Sad ćemo odmah ovo da vidimo na primeru.
Primer.
Broj 2420 podeljen je na četiri broja koji stoje u odnosu 1:2:3:5, koji je tada najveći broj od
tih četiri?
Ovde je celina broj 2420. Celina je podeljena na četiri dela. Delovi su u odnosu 1:2:3:5.
Koristićemo koeficijent k kako bismo odredili koliko iznose ovi delovi.
1𝑘
2𝑘
3𝑘
5𝑘
11𝑘 = 2420 𝒌 = 𝟐𝟐𝟎
Ovim smo odredili koeficijent k. Sada samo zamenimo vrednost k da bismo dobili iznos
svakog dela:
1𝑘 = 1 × 220 = 𝟐𝟐𝟎
2𝑘 = 2 × 220 = 𝟒𝟒𝟎
3𝑘 = 3 × 220 = 𝟔𝟔𝟎
5𝑘 = 5 × 220 = 𝟏𝟏𝟎𝟎
U zadatku se tražio najveći broj. To je 1100, tako da je to naše konačno rešenje.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 33
3. Procentni račun
Ono što treba da znate jeste da procenat predstavlja stoti deo celine. Oznaka za procenat
je %. Na primer, 50% od 400 iznosi 200. Pogledajmo kako rešavamo zadatke koji
kombinuju proporcije i procentni račun, a koji su nam bitni za kolokvijum.
Primer.
Posle smanjenja od 10%, cena neke robe je 5400. Koliko je iznosila cena pre smanjenja
cene?
Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički
razmišljate. X je ono što tražimo.
cena robe %
5400 90
x 100
Malo objašnjenje: Cena posle sniženja je 5400. Znači od pune cene od 100%, oduzeto je
10% popusta, tako da 5400 dinara predstavlja 90% cene. Tražimo prvobitnu cenu, odnosno
100% cene.
Određujemo vezu između ove dve promenljive – cene robe i %. Da li je u pitanju direktna
ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna
proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru.
cena robe %
5400 90
x 100
Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju:
𝑥 ∶ 5400 = 100 ∶ 90
90𝑥 = 5400 × 100
90𝑥 = 540000
𝒙 = 𝟔𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒊𝒏
Interpretacija: Prvobitna cena robe, pre sniženja robe, iznosi 6000 dinara.
Korisni linkovi
- Proporcionalnost (video 14, 15, 16):
https://www.youtube.com/playlist?list=PL7BA284215603BE32
- Procentni račun: https://www.youtube.com/watch?v=uQjMfpLTNgg
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti
34 www.skripteekof.com/matematika
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. Ako je broj 1210 podeljen na četiri broja koji stoje u odnosu 1 : 2 : 3 : 5, koji je tada
najveći od ovih brojeva?
Rešenje sa postupkom:
Ovde je celina broj 1210. Celina je podeljena na četiri dela. Delovi su u odnosu 1:2:3:5.
Koristićemo koeficijent k kako bismo odredili koliko iznose ovi delovi.
1𝑘
2𝑘
3𝑘
5𝑘
11𝑘 = 1210 𝒌 = 𝟏𝟏𝟎
Ovim smo odredili koeficijent k. Sada samo zamenimo vrednost k da bismo dobili iznos
svakog dela:
1𝑘 = 1 × 110 = 𝟏𝟏𝟎
2𝑘 = 2 × 110 = 𝟐𝟐𝟎
3𝑘 = 3 × 110 = 𝟑𝟑𝟎
5𝑘 = 5 × 110 = 𝟓𝟓𝟎
U zadatku se tražio najveći broj. To je 550, tako da je to naše konačno rešenje.
2. Posle povećanja od 10% cena neke robe je 5500 dinara. Koliko je iznosila cena pre
povećanja cene?
Rešenje sa postupkom:
Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički
razmišljate. X je ono što tražimo.
cena robe %
5500 110
x 100
Malo objašnjenje: Cena posle povećanja je 5500. Znači od pune cene od 100%, dodato je
10% poskupljenja, tako da 5500 dinara predstavlja 110% cene. Tražimo prvobitnu cenu,
odnosno 100% cene.
Određujemo vezu između ove dve promenljive – cene robe i %. Da li je u pitanju direktna
ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna
proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 35
cena robe %
5500 110
x 100
Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju:
𝑥 ∶ 5500 = 100 ∶ 110
110𝑥 = 5500 × 100
110𝑥 = 550 000
𝒙 = 𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒊𝒏
Interpretacija: Prvobitna cena robe, pre poskupljenja robe, iznosi 5000 dinara.
3. Odrediti 15% od broja 0,5.
Rešenje sa postupkom:
Ono što treba da znate jeste da procenat predstavlja stoti deo celine. Dakle, ovo možemo
zapisati i ovako:
15% ∙ 0,5 =
=15
100∙ 0,5
Daljim postupkom, koji nam je već poznat iz prve lekcije Brojevni izrazi, rešavamo zadatak:
=15
100∙
1
2
=3
20∙
1
2
=3
40
4. U obliku decimalnog broja zapisati 15% od broja 𝟐
𝟕𝟓.
Rešenje sa postupkom:
Ono što treba da znate jeste da procenat predstavlja stoti deo celine. Dakle, ovo možemo
zapisati i ovako:
15% ∙2
75=
15
100 ∙
2
75
Daljim postupkom, koji nam je već poznat iz prve lekcije Brojevni izrazi, rešavamo zadatak:
=3
20∙
2
75
=1
20∙
2
25
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti
36 www.skripteekof.com/matematika
=1
10∙
1
25
=1
250
= 1 ∶ 250
= 0,004
5. Ako je na račun uloženo 10.000 dinara i ako je godišnja kamatna stopa 4%,
izračunati koliko će novca biti na računu posle 7 godina (napomena: kamata se
računa na kamatu, na kraju svake godine).
Rešenje sa postupkom:
Ovo je malo specifičan tip zadatka, ali je samo potrebno da malo razmislite. Ako imamo na
računu 10.000 dinara, ova suma se svake godine uvećava za kamatnu stopu od 4%. Ono
što je ključno – kamata se ne obračunava svake godine na 10.000 dinara, već na ukupni
iznos iz prethodne godine. Evo primera za prvu, drugu i treću godinu, da biste videli na šta
konkretno mislimo:
𝑛𝑎 𝑘𝑟𝑎𝑗𝑢 𝑝𝑟𝑣𝑒 𝑔𝑜𝑑𝑖𝑛𝑒 ∶ 10.000 + 10.000 ∙ 4% = 10.400
𝑛𝑎 𝑘𝑟𝑎𝑗𝑢 𝑑𝑟𝑢𝑔𝑒 𝑔𝑜𝑑𝑖𝑛𝑒 ∶ 10.400 + 𝟏𝟎. 𝟒𝟎𝟎 ∙ 4% = 10.816
𝑛𝑎 𝑘𝑟𝑎𝑗𝑢 𝑡𝑟𝑒ć𝑒 𝑔𝑜𝑑𝑖𝑛𝑒 ∶ 10.816 + 𝟏𝟎. 𝟖𝟏𝟔 ∙ 4% = 11.248,64
itd.
Drugim rečima, uvek prethodni iznos uvećavamo za 4%. Trećim rečima, na kraju svake
godine imamo 104% od iznosa od iznosa u prošloj godini. Ovo možemo zapisati kao:
𝑝𝑟𝑒𝑡ℎ𝑜𝑑𝑛𝑖 𝑖𝑧𝑛𝑜𝑠 ∙ 1,04
Znači, kada nešto pomnožimo sa 1,04 – zapravo ga uvećavamo za 4% (drugačije zapisano
kao: 4/100 ili 0,04).
U našem zadatku, treba uvek prethodni iznos da uvećavamo za 4%, 7 puta, na kraju
svake godine. Počinjemo svakako sa početnom sumom od 10.000 dinara. To zapisujemo
ovako:
10.000 ∙ 1,04 ∙ 1,04 ∙ 1,04 ∙ 1,04 ∙ 1,04 ∙ 1,04 ∙ 1,04
Naravno, ovo možemo zapisati u skraćenom obliku:
10.000 ∙ 1,047
Iznos koji ćemo imati u banci na kraju 7 godine jeste upravo ovaj iznos, te je ovo konačno
rešenje zadatka.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 37
6. Posle poskupljenja od 20% cena neke robe je 9600 dinara. Koliko je iznosila cena
pre poskupljenja?
Rešenje sa postupkom:
Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički
razmišljate. X je ono što tražimo.
cena robe %
9600 120
x 100
Malo objašnjenje: Cena posle povećanja je 9600. Znači od pune cene od 100%, dodato je
20% poskupljenja, tako da 9600 dinara predstavlja 120% cene. Tražimo prvobitnu cenu,
odnosno 100% cene.
Određujemo vezu između ove dve promenljive – cene robe i %. Da li je u pitanju direktna
ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna
proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru.
cena robe %
9600 120
x 100
Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju:
𝑥 ∶ 9600 = 100 ∶ 120
120𝑥 = 9600 × 100
120𝑥 = 960 000
𝒙 = 𝟖𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒊𝒏
Interpretacija: Prvobitna cena robe, pre poskupljenja robe, iznosi 8000 dinara.
7. Ako je broj 7500 podeljen na pet brojeva koji stoje u odnosu 5 : 4 : 3 : 2 : 1, koji je
tada najveći od ovih brojeva?
Rešenje sa postupkom:
Ovde je celina broj 7500. Celina je podeljena na pet delova. Delovi su u odnosu 5:4:3:2:1.
Koristićemo koeficijent k kako bismo odredili koliko iznose ovi delovi.
5𝑘
4𝑘
3𝑘
2𝑘
1𝑘
15𝑘 = 7500 𝒌 = 𝟓𝟎𝟎
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti
38 www.skripteekof.com/matematika
Ovim smo odredili koeficijent k. Sada samo zamenimo vrednost k da bismo dobili iznos
svakog dela:
5𝑘 = 5 × 500 = 𝟐𝟓𝟎𝟎
4𝑘 = 4 × 500 = 𝟐𝟎𝟎𝟎
3𝑘 = 3 × 500 = 𝟏𝟓𝟎𝟎
2𝑘 = 2 × 500 = 𝟏𝟎𝟎𝟎
1𝑘 = 1 × 500 = 𝟓𝟎𝟎
U zadatku se tražio najveći broj. To je 2500, tako da je to naše konačno rešenje.
8. Posle poskupljenja od 25% cena neke robe je 625 dinara. Koliko je iznosila cena
pre poskupljenja?
Rešenje sa postupkom:
Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički
razmišljate. X je ono što tražimo.
cena robe %
625 125
x 100
Malo objašnjenje: Cena posle povećanja je 625. Znači od pune cene od 100%, dodato je
25% poskupljenja, tako da 625 dinara predstavlja 125% cene. Tražimo prvobitnu cenu,
odnosno 100% cene.
Određujemo vezu između ove dve promenljive – cene robe i %. Da li je u pitanju direktna
ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna
proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru.
cena robe %
625 125
x 100
Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju:
𝑥 ∶ 625 = 100 ∶ 125
125𝑥 = 625 × 100
125𝑥 = 62 500
𝒙 = 𝟓𝟎𝟎 𝒅𝒊𝒏
Interpretacija: Prvobitna cena robe, pre poskupljenja robe, iznosi 500 dinara.
9. Posle sniženja od 10% cena neke robe je 1080 dinara. Koliko je iznosila cena pre
sniženja?
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 39
Rešenje sa postupkom:
Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički
razmišljate. X je ono što tražimo.
cena robe %
1080 90
x 100
Malo objašnjenje: Cena posle sniženja je 1080. Znači od pune cene od 100%, oduzeto je
10% popusta, tako da 1080 dinara predstavlja 90% cene. Tražimo prvobitnu cenu, odnosno
100% cene.
Određujemo vezu između ove dve promenljive – cene robe i %. Da li je u pitanju direktna
ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna
proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru.
cena robe %
1080 90
x 100
Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju:
𝑥 ∶ 1080 = 100 ∶ 90
90𝑥 = 1080 × 100
90𝑥 = 108 000
𝒙 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝒅𝒊𝒏
Interpretacija: Prvobitna cena robe, pre sniženja robe, iznosi 1200 dinara.
10. Ako je cena proizvoda sa 72 dinara snižena za 25%, koliko cena iznosi sada?
Rešenje sa postupkom:
Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički
razmišljate. X je ono što tražimo.
cena robe %
72 100
x 75
Malo objašnjenje: Prvobitna cena je 72 dinara, odnosno početnih 100%. Od ove cene,
oduzeto je 25% popusta. Tražimo novu cenu, odnosno 75% prvobitne cene.
Određujemo vezu između ove dve promenljive – cene robe i %. Da li je u pitanju direktna
ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna
proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti
40 www.skripteekof.com/matematika
cena robe %
72 100
x 75
Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju:
𝑥 ∶ 72 = 75 ∶ 100
100𝑥 = 72 × 75
100𝑥 = 5400
𝒙 = 𝟓𝟒 𝒅𝒊𝒏
Interpretacija: Nova cena robe, posle sniženja, iznosi 54 dinara.
11. Ako je cena proizvoda sa 200 dinara snižena za 35%, koliko cena iznosi sada?
Rešenje sa postupkom:
Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički
razmišljate. X je ono što tražimo.
cena robe %
200 100
x 65
Malo objašnjenje: Prvobitna cena je 200 dinara, odnosno početnih 100%. Od ove cene,
oduzeto je 35% popusta. Tražimo novu cenu, odnosno 65% prvobitne cene.
Određujemo vezu između ove dve promenljive – cene robe i %. Da li je u pitanju direktna
ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna
proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru.
cena robe %
200 100
x 65
Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju:
𝑥 ∶ 200 = 65 ∶ 100
100𝑥 = 200 × 65
100𝑥 = 13 000
𝒙 = 𝟏𝟑𝟎 𝒅𝒊𝒏
Interpretacija: Nova cena robe, posle sniženja, iznosi 130 dinara.
12. Ako je cena proizvoda sa 60 dinara uvećana na 135 dinara, za koliko se to
procenata promenila?
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 41
Rešenje sa postupkom:
Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički
razmišljate. X je ono što tražimo.
cena robe %
60 100
135 x
Malo objašnjenje: Prvobitna cena je 60 dinara, odnosno početnih 100%. Ova cena je
poskupila na 135 dinara. Nepoznata x nam ovde predstavlja kolika je nova cena procenat
od prvobitne cene.
Određujemo vezu između ove dve promenljive – cene robe i %. Da li je u pitanju direktna
ili obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna
proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru.
cena robe %
60 100
135 x
Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju:
𝑥 ∶ 100 = 135 ∶ 60
60𝑥 = 100 × 135
60𝑥 = 13 500
𝒙 = 𝟐𝟐𝟓 %
Interpretacija: Ova veličina predstavlja kolika je nova cena procenat od prvobitne cene, a
ne promenu! Nova cena robe je 225% od prvobitne cene, a to znači povećanje cene od
125%, što je naše konačno rešenje.
13. Odrediti broj čiji 18% iznosi 0,324.
Rešenje sa postupkom:
Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički
razmišljate. X je ono što tražimo.
naš broj %
0,324 18
x 100
Malo objašnjenje: 18% našeg traženog broja iznosi 0,324. Zadatak nam je da utvrdimo
koliko iznosi ovaj broj, odnosno 100% tog broja.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti
42 www.skripteekof.com/matematika
Određujemo vezu između ove dve promenljive – broja i %. Da li je u pitanju direktna ili
obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna
proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru.
naš broj %
0,324 18
x 100
Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju:
𝑥 ∶ 0,324 = 100 ∶ 18
18𝑥 = 0,324 × 100
18𝑥 = 32,4
𝒙 = 𝟏, 𝟖
Interpretacija: Naš traženi broj jeste broj 1,8.
14. Odrediti broj čiji 14% iznosi 1,96.
Rešenje sa postupkom:
Prvo, pravimo mini-tabelu sa informacijama kojima raspolažemo. Bitno je da logički
razmišljate. X je ono što tražimo.
naš broj %
1,96 14
x 100
Malo objašnjenje: 14% našeg traženog broja iznosi 1,96. Zadatak nam je da utvrdimo
koliko iznosi ovaj broj, odnosno 100% tog broja.
Određujemo vezu između ove dve promenljive – broja i %. Da li je u pitanju direktna ili
obrnuta proporcionalnost? Kod procenata, uvek je u pitanju direktna
proporcionalnost, i crtamo strelice u istom smeru.
naš broj %
1,96 14
x 100
Potom samo pratimo strelice i postavljamo proporciju:
𝑥 ∶ 1,96 = 100 ∶ 14
14𝑥 = 1,96 × 100
14𝑥 = 196
𝒙 = 𝟏𝟒
Interpretacija: Naš traženi broj jeste broj 14.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 43
15. Odrediti C, ukoliko je poznato da je 𝑩 = 𝟑𝟔 i da:
𝐴 ∶ 𝐵 ∶ 𝐶 = 2 ∶ 1
3∶
13
4
Rešenje sa postupkom:
Ovde imamo neku nepoznatu celinu. Celina je podeljena na tri dela – A, B, C. Delovi su u
odnosu 2 ∶ 1
3∶
13
4. Koristićemo koeficijent k kako bismo rešili zadatak. Naši delovi jesu:
𝐴 = 2𝑘
𝐵 =1
3𝑘
𝐶 =13
4𝑘
Dat nam je podatak u zadatku da je 𝐵 = 36, te odatle možemo da odredimo koliko iznosi
koeficijent k.
𝐵 =1
3𝑘
36 =1
3𝑘
𝑘 = 108
U zadatku nam se traži da odredimo koliko iznosi deo C. Zamenivši vrednost k, to
možemo direktno izračunati:
𝐶 =13
4𝑘
𝐶 =13
4∙ 108
𝐶 = 13 ∙ 27
𝐶 = 351
16. U obliku decimalnog broja zapisati 15% od broja 𝟏
𝟑.
Rešenje sa postupkom:
Ono što treba da znate jeste da procenat predstavlja stoti deo celine. Dakle, ovo možemo
zapisati i ovako:
15% ∙1
3=
15
100 ∙
1
3
Daljim postupkom, koji nam je već poznat iz prve lekcije Brojevni izrazi, rešavamo zadatak:
=15
100 ∙
1
3
=3
20 ∙
1
3
=1
20
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 12: Proporcionalnost i procenti
44 www.skripteekof.com/matematika
Kviz 12: Proporcionalnost i procentni račun
Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni
rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije.
Zatim, pošaljite nam rešenja na www.facebook.com/skripte.ekof.98. Za svako tačno
rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe,
kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka.
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
1. U obliku decimalnog broja zapisati 14 % od vrednosti izraza:
16
14− 1
2. Odrediti C ako imamo date sledeće podatke:
𝐴 ∶ 𝐵 ∶ 𝐶 = 6 ∶ 1
2∶
1
6
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 360
3. Ako je broj 5400 podeljen na tri dela koji stoje u sledećem odnosu, koliko iznosi
najveći od tih brojeva?
1 ∶ 3 ∶ 2
4. Izračunati 34% od 20.
5. Izračunati 18% od 18.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 45
Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije
Pregled lekcije
U okviru ove lekcije imaćete priliku da naučite sledeće:
➢ potreban i dovoljan uslov – šta predstavljaju i kako u principu rešavamo zadatke
takvog tipa.
Uvod
Verovatno najkraća lekcija koju ćete raditi za prvi kolokvijum jeste ova, a i svesni smo da
ste verovatno umorni od brojnih lekcija koje smo već prešli. I dalje, ovo je veoma bitna
lekcija, jer se zadaci ovakvog tipa vrlo često javljaju na kolokvijumu. Potrebno je da naučite
šta je dovoljan i šta je potreban uslov (što mnogi nisu prešli u srednjoj školi) i kako
rešavamo relativno jednostavne zadatke iz ove oblasti. Potrebno je i da uvek malo
razmislite logički, tako da budite koncentrisani dok radite ovu oblast!
Dovoljan i potreban uslov
1. Kažemo da je USLOV 1 dovoljan uslov za USLOV 2 ukoliko važi sledeće:
𝑼𝑺𝑳𝑶𝑽 𝟏 ⇒ 𝑼𝑺𝑳𝑶𝑽 𝟐 𝒋𝒆 𝒕𝒂č𝒂𝒏 𝒊𝒔𝒌𝒂𝒛
Jednostavnije rečeno: Da li uslov 2 mora uvek da važi ukoliko važi uslov 1?
Na primer, ukoliko je uslov 1: x > 2, a uslov 2: x ≠ 1, imamo da:
𝑥 > 2 ⇒ 𝑥 ≠ 1
Ovo jeste tačan iskaz. Ukoliko razmislimo malo o tome: ako je x veće od 2, svakako sledi
da x mora biti različito od 1 (jer je to manje od 2). Time, zaključujemo da 𝑥 > 2 jeste
dovoljan uslov za 𝑥 ≠ 1.
2. Kažemo da je USLOV 1 potreban uslov za USLOV 2 ukoliko važi sledeće:
𝑼𝑺𝑳𝑶𝑽 𝟐 ⇒ 𝑼𝑺𝑳𝑶𝑽 𝟏 𝒋𝒆 𝒕𝒂č𝒂𝒏 𝒊𝒔𝒌𝒂𝒛
Jednostavnije rečeno: Da li uslov 1 mora uvek da važi ukoliko važi uslov 2?
Na primer, ukoliko je uslov 1: x > 2, a uslov 2: x ≠ 1, imamo da:
𝑥 ≠ 1 ⇒ 𝑥 > 2
Ovo nije tačan iskaz. Ukoliko razmislimo malo o tome: ako je x različito od 1, da li to
znači da x mora biti veće od 2? Naravno da ne. Time, zaključujemo da 𝑥 > 2 nije
potreban uslov za 𝑥 ≠ 1.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije
46 www.skripteekof.com/matematika
Primer zadatka sa kolokvijuma.
Ako su 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁 onda je uslov 𝑥 = 2𝑦 za uslov 𝑥2 = 4𝑦2 :
a) samo dovoljan b) samo potreban
c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan
Postupak:
1) Prvo, proverimo da li je 𝑥 = 2𝑦 dovoljan uslov za 𝑥2 = 4𝑦2. Ovo činimo tako što
proveravamo da li važi 𝑥 = 2𝑦 ⇒ 𝑥2 = 4𝑦2. Treba da odgovorimo na pitanje da li važi
drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen? Ovo ćemo proveriti tako što ćemo zameniti
prvi uslov u drugi:
𝑥2 = 4𝑦2
(2𝑦)2 = 4𝑦2
4𝑦2 = 4𝑦2
Dobijamo tačan iskaz, tako da 𝑥 = 2𝑦 jeste dovoljan uslov za 𝑥2 = 4𝑦2.
2) Drugi korak je da proverimo da li je 𝑥 = 2𝑦 potreban uslov za 𝑥2 = 4𝑦2. Ovo činimo
tako što ćemo proveriti da li važi 𝑥2 = 4𝑦2 ⇒ 𝑥 = 2𝑦. Treba da odgovorimo na pitanje da
li važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen? Ovo ćemo proveriti tako što ćemo
korenovati drugi uslov:
𝑥2 = 4𝑦2 /√
±𝑥 = ±2𝑦
S obzirom da je dato da 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑁, zanemarićemo negativne brojeve i dobijamo izraz:
𝑥 = 2𝑦
Ovo je upravo naš prvi uslov, tako da 𝑥 = 2𝑦 jeste i potreban uslov za 𝑥2 = 4𝑦2.
BITNA NAPOMENA
Kod ovakvih zadataka, bitno je da:
1) sredite uslove koliko god to možete
2) dobro znate šta predstavlja dovoljan a šta potreban uslov
3) obratite pažnju u kojem skupu su definisane promenljive x, y (ili druge). Rešenje se
najčešće razlikuje ukoliko je tu skup prirodnih brojeva (𝑥 ∈ 𝑁), celih brojeva (𝑥 ∈ 𝑍) ili
drugi.
SAVET
Iz ove oblasti je najbitnije da razmišljate logički i da pređete što više zadataka, jer iako se
svaki rešava po istom principu, svaki donosi i nešto novo u načinu razmišljanja. Stoga,
obavezno pređite sve rešene kolokvijumske primere koji slede, kao i kviz za ovu lekciju.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 47
Rešeni kolokvijumski zadaci
1. Ako su 𝒙, 𝒚 ∈ 𝒁 onda je uslov 𝒙 < 𝒚 + 𝟏 za uslov 𝒙 < 𝒚 :
a) samo dovoljan b) samo potreban
c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan
Rešenje sa postupkom:
1) Prvo, proverimo da li je 𝑥 < 𝑦 + 1 dovoljan uslov za 𝑥 < 𝑦 . Ovo činimo tako što
proveravamo da li uvek važi 𝑥 < 𝑦 + 1 ⇒ 𝑥 < 𝑦 . Treba da odgovorimo na pitanje da li
uvek važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen?
x i y su neki celi brojevi (mogu biti negativni i pozitivni, ali ne mogu biti razlomci, nerešivi
koreni i slično). Sada proveravamo da li uvek važi 𝑥 < 𝑦 + 1 ⇒ 𝑥 < 𝑦. Dovoljno je da
nađemo jedan primer brojeva x i y kada ovaj iskaz ne važi, da bismo zaključili da nije
dovoljan uslov.
Uzmimo na primer, x = 3 i y = 3. Ukoliko to zamenimo u naše iskaze:
𝑥 < 𝑦 + 1 ⇒ 𝑥 < 𝑦
3 < 3 + 1 ⇒ 3 < 3
3 < 4 ⇒ 3 < 3
Prvi uslov je tačan, a drugi nije tačan, jer tri nije manje od tri. Stoga, zaključujemo da 𝑥 <
𝑦 + 1 nije dovoljan uslov za 𝑥 < 𝑦.
2) Drugi korak je da proverimo da li je 𝑥 < 𝑦 + 1 potreban uslov za 𝑥 < 𝑦. Ovo činimo
tako što ćemo proveriti da li važi 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑥 < 𝑦 + 1. Treba da odgovorimo na pitanje da
li uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen?
x i y su neki celi brojevi (mogu biti negativni i pozitivni, ali ne mogu biti razlomci, nerešivi
koreni i slično). Sada proveravamo da li uvek važi 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑥 < 𝑦 + 1. Dovoljno je da
nađemo jedan primer brojeva x i y kada ovaj iskaz ne važi, da bismo zaključili da nije
potreban uslov.
Uzmimo na primer, x = 3 i y = 4. Ukoliko to zamenimo u naše iskaze:
𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑥 < 𝑦 + 1
3 < 4 ⇒ 3 < 4 + 1
3 < 4 ⇒ 3 < 5
Dobili smo tačan iskaz. Ukoliko malo razmislimo, naš iskaz 𝑥 < 𝑦 ⇒ 𝑥 < 𝑦 + 1 nam
govori:
„ Ako je neki broj manji od nekog drugog broja, taj broj će svakako biti manji od tog
drugog broja uvećanog za 1.“
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije
48 www.skripteekof.com/matematika
Ako pažljivo pročitate ovu rečenicu, shvatićete da je uvek tačna. Stoga, zaključujemo da
𝑥 < 𝑦 + 1 jeste potreban uslov za 𝑥 < 𝑦.
Dakle, konačni odgovor je b) samo potreban.
2. Ako su 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑹 onda je uslov 𝒙𝒚 > 𝟏 za uslov 𝒙 > 𝟎 :
a) samo dovoljan b) samo potreban
c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan
Rešenje sa postupkom:
1) Prvo, proverimo da li je 𝑥𝑦 > 1 dovoljan uslov za 𝑥 > 0 . Ovo činimo tako što
proveravamo da li uvek važi 𝑥𝑦 > 1 ⇒ 𝑥 > 0 . Treba da odgovorimo na pitanje da li
uvek važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen?
x i y su neki realni brojevi (mogu biti pozitivni i negativni, mogu biti i razlomci pa i
nerešivi koreni – ne mogu biti samo kompleksni brojevi). Sada proveravamo da li uvek važi
𝑥𝑦 > 1 ⇒ 𝑥 > 0. Dovoljno je da nađemo jedan primer brojeva x i y kada ovaj iskaz ne
važi, da bismo zaključili da nije dovoljan uslov.
Sredimo prvo malo prvi uslov, da bi nam bilo lakše da uočimo pravilnost.
𝑥𝑦 > 1
𝑦 >1
𝑥
Naše pitanje je sada – ukoliko važi ovaj uslov, da li će x uvek biti pozitivno?
Uzmemo primer nekog x koje nije pozitivno. Na primer: x = -3, a neka y = 3. Ukoliko to
zamenimo u naše iskaze:
3 > −1
3
Iskaz je tačan, a za x nismo uzeli da je pozitivan broj.
Stoga, zaključujemo da 𝑥𝑦 > 1 nije dovoljan uslov za 𝑥 > 0.
2) Drugi korak je da proverimo da li je 𝑥𝑦 > 1 potreban uslov za 𝑥 > 0. Ovo činimo
tako što ćemo proveriti da li važi 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥𝑦 > 1. Treba da odgovorimo na pitanje da li
uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen?
x i y su neki celi brojevi (mogu biti negativni i pozitivni, ali ne mogu biti razlomci, nerešivi
koreni i slično). Sada proveravamo da li uvek važi 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥𝑦 > 1. Dovoljno je da
nađemo jedan primer brojeva x i y kada ovaj iskaz ne važi, da bismo zaključili da nije
potreban uslov.
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 49
Koristimo opet sređeni vid našeg uslova:
𝑥𝑦 > 1
𝑦 >1
𝑥
Iskaz 𝑥 > 0 ⇒ 𝑦 >1
𝑥 nam praktično govori:
„ Ukoliko je X pozitivan broj, da li Y mora biti veće od njegove recipročne vrednosti?“
Uzmimo na primer, x = 3 i y = 4. Ukoliko to zamenimo u naše iskaze:
𝑦 >1
𝑥
4 >1
3
Dobili smo tačan iskaz. Međutim, budimo oprezni. Možemo uzeti bilo koju vrednost Y iz
skupa realnih brojeva. Umesto ovoga, uzmimo na primer x = 3 i y = -4.
𝑦 >1
𝑥
−4 >1
3
Dobili smo netačan iskaz. Stoga, zaključujemo da 𝑥𝑦 > 1 nije potreban uslov za 𝑥 > 0.
Dakle, konačni odgovor je d) ni potreban ni dovoljan.
3. Uslov 𝒙 = 𝟑 je za uslov 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎 :
a) samo dovoljan b) samo potreban
c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan
Rešenje sa postupkom:
1) Prvo, proverimo da li je 𝑥 = 3 dovoljan uslov za 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0. Ovo činimo tako
što proveravamo da li važi 𝑥 = 3 ⇒ 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0. Treba da odgovorimo na pitanje
da li uvek važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen?
Ovo ćemo proveriti nakon što sredimo drugi uslov, gde imamo kvadratnu jednačinu.
𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0
𝑥1,2 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1,2 =4 ± √(−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ 3
2 ∙ 1
𝑥1,2 =4 ± √4
2
𝑥1,2 =4 ± 2
2
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije
50 www.skripteekof.com/matematika
𝒙𝟏 = 𝟑
𝒙𝟐 = 𝟏
Drugim rečima, rešenje naše kvadratne jednačine je 𝑥 = 3 ILI 𝑥 = 1.
Zašto nam je ovo bitno? Pogledajmo sada naš iskaz:
𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = 3 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = 1
Iskaz nam praktično govori:
„ Ako je 𝑥 = 3, da li je tačno da je 𝑥 = 3 ILI 𝑥 = 1 ?“
Svakako je tačno. Ovo možemo da proverimo i putem osnovnih operacija u logici.
Pretpostavljamo da je 𝑥 = 3 tačno, što svakako znači da x nije 1, odnosno 𝑥 = 1 je
netačno. Da li će drugi iskaz biti tačan?
𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = 3 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = 1
𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜 𝑖𝑙𝑖 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜
𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜
𝑇𝑎č𝑛𝑜
Tačno ILI netačno (operacija disjunkcije) u logici daje tačan iskaz. Iz tačnog sledi tačno
(operacija implikacije) u logici daje tačan iskaz. Naša tvrdnja jeste tačna.
Stoga, zaključujemo da 𝑥 = 3 jeste dovoljan uslov za 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0.
2) Drugi korak je da proverimo da li je 𝑥 = 3 potreban uslov za 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0. Ovo
činimo tako što ćemo proveriti da li važi 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 ⇒ 𝑥 = 3. Treba da
odgovorimo na pitanje da li uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen?
Već smo utvrdili da drugi iskaz možemo da zapišemo ovako:
𝑥 = 3 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = 1
Znači, sad se pitamo da li je ovo uvek tačna tvrdnja:
𝑥 = 3 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 3
Tvrdnja nam praktično govori:
„Ukoliko je 𝑥 = 3 ili je 𝑥 = 1, da li x mora biti baš 𝑥 = 3?“
Logika nam naravno govori da ne mora. Ako je 𝑥 = 1, svakako neće biti tačno da je 𝑥 = 3.
To možemo proveriti i putem operacija u logici:
𝑥 = 3 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = 1 ⇒ 𝑥 = 3
𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜 𝑖𝑙𝑖 𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜
𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜
𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 51
Netačno ILI tačno (operacija disjunkcije) u logici daje tačan iskaz. Iz tačnog sledi netačno
(operacija implikacije) u logici daje netačan iskaz. Naša tvrdnja nije tačna.
Stoga, zaključujemo da 𝑥 = 3 nije potreban uslov za 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0.
Dakle, konačni odgovor je a) samo dovoljan
4. Uslov 𝒙𝟐 > 𝟎 je za uslov 𝒙 > 𝟎 :
a) samo dovoljan b) samo potreban
c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan
Rešenje sa postupkom:
1) Prvo, proverimo da li je 𝑥2 > 0 dovoljan uslov za 𝑥 > 0. Ovo činimo tako što
proveravamo da li važi 𝑥2 > 0 ⇒ 𝑥 > 0. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi
drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen?
Ovo je relativno lak zadatak. Prvi uslov će biti zadovoljen ako uzmemo pozitivan broj za x,
ali biće zadovoljen i ako uzmemo negativan broj. Kada kvadriramo negativan broj,
dobijamo i dalje pozitivno rešenje. Stoga, ako važi prvi uslov, ne mora da važi i drugi uslov.
Time, zaključujemo da 𝑥2 > 0 nije dovoljan uslov za 𝑥 > 0.
2) Drugi korak je da proverimo da li je 𝑥2 > 0 potreban uslov za 𝑥 > 0. Ovo činimo tako
što proveravamo da li važi 𝑥 > 0 ⇒ 𝑥2 > 0. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek
važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen?
Ako je x pozitivno, svakako će biti pozitivan i kvadrat pozitivnog broja. Kada kvadriramo
neki pozitivan broj, dobijamo uvek pozitivno rešenje. Stoga, ako važi prvi uslov, uvek mora
da važi i drugi uslov.
Time, zaključujemo da 𝑥2 > 0 jeste potreban uslov za 𝑥 > 0.
Dakle, konačni odgovor je b) samo potreban
5. Uslov 𝒙 = 𝟐 je za uslov 𝒙𝟐 = 𝟒 :
a) samo dovoljan b) samo potreban
c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan
Rešenje sa postupkom:
1) Prvo, proverimo da li je 𝑥 = 2 dovoljan uslov za 𝑥2 = 4. Ovo činimo tako što
proveravamo da li važi 𝑥 = 2 ⇒ 𝑥2 = 4. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi
drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen?
Ovo ćemo proveriti nakon što sredimo drugi uslov, gde imamo kvadratnu jednačinu.
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije
52 www.skripteekof.com/matematika
𝑥2 = 4
𝑥2 − 4 = 0
(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 0
Drugim rečima, rešenje naše kvadratne jednačine je 𝑥 = 2 ILI 𝑥 = −2.
Zašto nam je ovo bitno? Pogledajmo sada naš iskaz:
𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 2 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = −2
Iskaz nam praktično govori:
„ Ako je 𝑥 = 2, da li je tačno da je 𝑥 = 2 ILI 𝑥 = −2 ?“
Svakako je tačno. Ovo možemo da proverimo i putem osnovnih operacija u logici.
Pretpostavljamo da je 𝑥 = 2 tačno, što svakako znači da x nije -2, odnosno 𝑥 = −2 je
netačno. Da li će drugi iskaz biti tačan?
𝑥 = 2 ⇒ 𝑥 = 2 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = −2
𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜 𝑖𝑙𝑖 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜
𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜
𝑇𝑎č𝑛𝑜
Tačno ILI netačno (operacija disjunkcije) u logici daje tačan iskaz. Iz tačnog sledi tačno
(operacija implikacije) u logici daje tačan iskaz. Naša tvrdnja jeste tačna.
Stoga, zaključujemo da 𝑥 = 2 jeste dovoljan uslov za 𝑥2 = 4.
2) Drugi korak je da proverimo da li je 𝑥 = 2 potreban uslov za 𝑥2 = 4. Ovo činimo
tako što ćemo proveriti da li važi 𝑥2 = 4 ⇒ 𝑥 = 2. Treba da odgovorimo na pitanje da li
uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen?
Već smo utvrdili da drugi iskaz možemo da zapišemo ovako:
𝑥 = 2 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = −2
Znači, sad se pitamo da li je ovo uvek tačna tvrdnja:
𝑥 = 2 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = −2 ⇒ 𝑥 = 2
Tvrdnja nam praktično govori:
„Ukoliko je 𝑥 = 2 ili je 𝑥 = −2, da li x mora biti baš 𝑥 = 2?“
Logika nam naravno govori da ne mora. Ako je 𝑥 = −2, svakako neće biti tačno da je 𝑥 =
2. To možemo proveriti i putem operacija u logici:
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 53
𝑥 = 2 𝑖𝑙𝑖 𝑥 = −2 ⇒ 𝑥 = 2
𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜 𝑖𝑙𝑖 𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜
𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜
𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜
Netačno ILI tačno (operacija disjunkcije) u logici daje tačan iskaz. Iz tačnog sledi netačno
(operacija implikacije) u logici daje netačan iskaz. Naša tvrdnja nije tačna.
Stoga, zaključujemo da 𝑥 = 2 nije potreban uslov za 𝑥2 = 4.
Dakle, konačni odgovor je a) samo dovoljan
6. Ako su A i B proizvoljni skupovi, onda je uslov 𝒙 ∈ 𝑨 ∩ 𝑩 je za uslov 𝒙 ∈ 𝑨 :
a) samo dovoljan b) samo potreban
c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan
Rešenje sa postupkom:
1) Prvo, proverimo da li je 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 dovoljan uslov za 𝑥 ∈ 𝐴. Ovo činimo tako što
proveravamo da li važi 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek
važi drugi uslov ukoliko je prvi uslov zadovoljen?
Ovo ćemo proveriti nakon što detaljnije pogledamo prvi uslov 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵. Presek znači da
x pripada i skupu A i skupu B. Da li to znači da x mora pripadati skupu A? Svakako važi.
Ovo možemo lakše uočiti i preko Venovog dijagrama – svaki element iz osenčenog dela
mora pripadati skupu A:
Stoga, zaključujemo da 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 jeste dovoljan uslov za 𝑥 ∈ 𝐴.
2) Drugi korak je da proverimo da li je 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 potreban uslov za 𝑥 ∈ 𝐴. Ovo činimo
tako što ćemo proveriti da li važi 𝑥 ∈ 𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 Treba da odgovorimo na pitanje da
li uvek važi prvi uslov ukoliko je drugi uslov zadovoljen?
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije
54 www.skripteekof.com/matematika
Ovo ćemo proveriti nakon što detaljnije pogledamo uslov 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵. Presek znači da x
pripada i skupu A i skupu B. Ako x pripada skupu A, da li to znači da će zasigurno
pripadati i preseku? Svakako ne važi. Ovo možemo lakše uočiti i preko Venovog dijagrama
– x jednostavno može da bude u delu skupa A koji nije uključen u presek.
Stoga, zaključujemo da 𝑥 ∈ 𝐴 ∩ 𝐵 nije potreban uslov za 𝑥 ∈ 𝐴
Dakle, konačni odgovor je a) samo dovoljan
7. Ako su p i q proizvoljni iskazi, onda uslov 𝒑 ⇒ 𝒒 je za uslov 𝒒 :
a) samo dovoljan b) samo potreban
c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan
Rešenje sa postupkom:
1) Prvo, proverimo da li je 𝑝 ⇒ 𝑞 dovoljan uslov za 𝑞. Ovo činimo tako što proveravamo
da li važi ( 𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ 𝑞. Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi drugi uslov
ukoliko je prvi uslov zadovoljen?
Kada u zadacima imamo iskaze i operacije sa iskazima kao ovde, najbolje je da do zaključka
dođemo čistom primenom operacija u logici.
Prvi iskaz nije tačan samo ukoliko je p tačno i q netačno (jer tačno sledi netačno daje
netačno, kao operacija implikacije u logici).
Uzmimo slučaj da je p tačno i q tačno. Onda imamo:
( 𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ 𝑞
( 𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜) ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜
𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜
𝑇𝑎č𝑛𝑜
Uzmimo slučaj da je p netačno i q tačno. Onda imamo:
( 𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ 𝑞
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
www.skripteekof.com/matematika 55
( 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜) ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜
𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜
𝑇𝑎č𝑛𝑜
Uzmimo slučaj da je p netačno i q netačno. Onda imamo:
( 𝑝 ⇒ 𝑞) ⇒ 𝑞
( 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜) ⇒ 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜
𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜
𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜
Ups, u poslednjem slučaju smo dobili da tvrdnja ne važi. Prvi uslov je zadovoljen, a ukupna
tvrdnja nije.
Stoga, zaključujemo da ( 𝑝 ⇒ 𝑞) nije dovoljan uslov za q.
2) Sada proverimo da li je 𝑝 ⇒ 𝑞 potreban uslov za 𝑞. Ovo činimo tako što proveravamo
da li važi 𝑞 ⇒ ( 𝑝 ⇒ 𝑞) . Treba da odgovorimo na pitanje da li uvek važi drugi uslov
ukoliko je prvi uslov zadovoljen?
Kada u zadacima imamo iskaze i operacije sa iskazima kao ovde, najbolje je da do zaključka
dođemo čistom primenom operacija u logici.
Uzimamo samo slučajeve kada je q tačno. Znači:
Uzmimo slučaj da je p tačno i q tačno. Onda imamo:
𝑞 ⇒ ( 𝑝 ⇒ 𝑞)
𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ ( 𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜)
𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜
𝑇𝑎č𝑛𝑜
Uzmimo slučaj da je p netačno i q tačno. Onda imamo:
𝑞 ⇒ ( 𝑝 ⇒ 𝑞)
𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ ( 𝑁𝑒𝑡𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜)
𝑇𝑎č𝑛𝑜 ⇒ 𝑇𝑎č𝑛𝑜
𝑇𝑎č𝑛𝑜
Odlično, u oba slučaja smo dobili da tvrdnja važi. Prvi uslov je zadovoljen, a i ukupna
tvrdnja je, u oba slučaja.
Stoga, zaključujemo da ( 𝑝 ⇒ 𝑞) jeste potreban uslov za q.
Dakle, konačni odgovor je b) samo potreban
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije
56 www.skripteekof.com/matematika
Kviz 13: Logika, skupovi i relacije
Ovo su dodatni primeri kolokvijumskih zadataka, koji su namenjeni za vežbu i samostalni
rad. Prvo ih pokušajte sami rešiti na osnovu onoga što ste do sada naučili u okviru lekcije.
Zatim, pošaljite nam rešenja na www.facebook.com/skripte.ekof.98. Za svako tačno
rešenje osvajate poene na osnovu kojih možete osvojiti vredne nagrade! Takođe,
kada se desi da pogrešite, rado ćemo vam poslati ispravan postupak rešavanja zadatka.
Detaljnije na: www.skripteekof.com/matematika
1. Ako su A i B proizvoljni skupovi, onda je uslov 𝒙 ∈ 𝑨 ∩ 𝑩 je za uslov 𝒙 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 :
a) samo dovoljan b) samo potreban
c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan
2. Ako su p i q proizvoljni iskazi, onda uslov 𝒑 ⇒ 𝒒 je za uslov 𝒑 :
a) samo dovoljan b) samo potreban
c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan
3. Ako su p i q proizvoljni iskazi, onda uslov 𝒑 ∨ 𝒒 je za uslov 𝒑 :
a) samo dovoljan b) samo potreban
c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan
4. Ako su 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑹, onda je uslov 𝒙 = 𝟐𝒚 za uslov 𝟑 − 𝟒𝒙 = −𝟖𝒚 + 𝟑:
a) samo dovoljan b) samo potreban
c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan
5. Ako su A i B proizvoljni skupovi, onda je uslov 𝒙 ∈ 𝑨 ∪ 𝑩 je za uslov 𝒙 ∈ 𝑨 ∩ 𝑩 :
a) samo dovoljan b) samo potreban
c) potreban i dovoljan d) ni potreban ni dovoljan
SREĆNO NA
KOLOKVIJUMU!
POKIDAJTE!
Fotokopirnica Minerva Gavrila Principa 44a, Beograd
/fotokopirnicaminerva
/fotokokopirnicaminerva
fotokopirnicaminerva.weebly.com
SKRIPTE EKOF 2018/19 Lekcija 13: Logika, skupovi i relacije
2 www.skripteekof.com/matematika
Matematika SKRIPTE EKOF 2018/19
- 3 -
Poglavlje 10: Nizovi
4
Matematika
1
Poglavlje 14: Kombinatorika
Pregled poglavlja
U okviru ovog poglavlja imaćete priliku da naučite sledeće:
permutacije – bez i sa ponavljanjem;
varijacije – bez i sa ponavljanjem;
kombinacije – bez i sa ponavljanjem.
Uvod
Kombinatorika je jedna oblast koja se vrlo retko javlja na kolokvijumu. Upravo zbog toga
prepustiću vam da naučite ovu oblast putem jednog pregleda koji je napisao Bojan
Bogdanović iz Brestovca, profesor matematike koji je završio Prirodno-matematički
fakultet u Nišu. Ispod vam postavljam link njegovog bloga na kojem možete pronaći ovaj
pregled.
Link bloga
Link bloga: https://matematikon.wordpress.com/2012/02/18/kombinatorika-na-laksi-
nacin/
1
KOMBINATORIKA NA LAKŠI NAČIN -
Šta biste uradili sa novcem koji dobijete na loto premiji? Hmm, lepa tema za
razmišljanje. Međutim, koje su šanse da dobijete premiju na lotou, odnosno, da
od svih mogudih kombinacija izvuku baš vašu. Treba pogoditi jednu kombinaciju
od ... hmmm... mnogo . Dakle, treba da izračunamo koliko ima svih mogudih
loto kombinacija. E, tu na scenu stupa kombinatorika.
Kombinatorika u srednjoj školi može biti pravi bauk. Silne permitacije,
kombinacije, varijacije i još ko zna šta. Baš kad pomislite da ste nešto razumeli
dobijete zadatak koji nemate pojma kako da rešite. Kako najlakše razumeti
elemente kombinatorike? Kako shvatiti kombinacije, permutacije i varijacije? I,
na kraju, kako sve to primeniti u konkretnim zadacima?
Na sva ova pitanja pokušadu da odgovorim što jednostavnije i što
razumljivije. Uvedimo najpre neke osnovne oznake i formule.
FAKTORIJEL
Faktorijel nekog prirodno broja je proizvod svih prirodnih brojeva koji su
manji ili jednaki njemu. Faktorijel označavamo uzvičnikom (n!) i računamo ga na
slededi način:
! ( 1) ( 2) .. 2 1n n n n
Dakle, kada treba da izračunamo faktorijel neko broja samo pomnožimo sve
prirodne brojeve od 1 do tog broja. To znači da je faktorijel broja 5 jednak
5! 5 4 3 2 1 120
Zadatak 1: Koliko je 8!
Rešenje: 8! 8 7 6 5 4 3 2 1 40320
Primetimo da važi:
! ( 1) ( 2) .. 2 1 ( 1)!n n n n n n
odnosno:
5! 5 4 3 2 1 5 4!
Ovo možemo i dalje da nastavimo:
! ( 1)! ( 1) ( 2)! ..n n n n n n
2
To znači da je:
10! 10 9! 10 9 8! 10 9 8 7! 10 9 8 7 6! ...
Radi lakšeg računanja uzima se da je 0!=1.
BINOMNI KOEFICIJENT
Još jedan važan pojam je binomni koeficijent. Naziv “binomni koeficijent”
potiče iz formule za razvijanje pirodnog stepena binoma, ali to nama ovde ne
treba pa nedemu gubiti vreme na to ;) .
Binomni koeficijent označavamo n
k
(čita se n nad k) i računamo po
formuli
!
! ( )!
n n
k k n k
Dakle, za računanje binomnog koeficijenta potrebna su nam dva prirodna
broja.
Zadatak 2: Koliko je 7
4
?
Rešenje: 7 7! 7! 7 6 5 4! 7 6 5 4!
4 4! (7 4)! 4! 3! 4! 3 2 1
4!
21035
63 2 1
.
Vratimo se sada na kombinatoriku. Kombinatorika nam računa na koliko
načina možemo da izaberemo elemente nekog skupa. Dakle, imamo neki skup, iz
njega izdvajamo podskupove i brojimo ih. Tri osnovna elementa kombinatorike
su: permutacija, varijacija i kombinacija. Da bismo ih prepoznali potrebno je da
odgovorimo na dva pitanja:
1. Da li su izabrani svi elementi početnog skupa?
2. Da li je poredak izabranih elemenata bitan?
Kada odgovorimo na ova dva pitanja znademo da li je u pitanju permutacija,
varijacija ili kombinacija.
3
PERMUTACIJE
Zamislite da tri knjige treba da stavimo na policu. Na koliko načina možemo
da ih poređamo?
Ako označimo knjige brojevima 1, 2 i 3 dobidemo šest mogudih rasporeda
(1-2-3, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, 3-1-2 i 3-2-1). Dakle, tri knjige možemo rasporediti na
ukupno 6 načina. Ovo i nije bilo teško.
Međutim, stvar nam se znatno komplikuje ako imamo više knjiga, na primer
15. Posmatrajmo zato ovaj primer kao permutaciju. Naime, od 15 knjiga iz
početnog skupa svih 15 moraju da budu postavljene na policu i bitan nam je
njihov raspored na polici.
Odavde vidimo da de permutacija kao odgovor na gore spomenuta pitanja
dati sledede:
1. Svi elementi početnog skupa JESU izabrani.
2. Poredak izabranih elemenata JESTE bitan.
Dakle, ako u zadatku na oba pitanja dobijemo potvrdan odgovor, u pitanju
su permutacije.
Permutacije mogu da budu bez ponavljanja i sa ponavljanjem. Bez
ponavljanja znači da su svi elementi u početnom skupu različiti (svih 15 knjiga
koje treba da stavimo na polici su različite), dok permutacija sa ponavljanjem
znači da neki elementi mogu da se javljaju više puta (na primer, u reči TATA slova
T i A se javljaju po dva puta).
Broj permutacija od n elemenata bez ponavljanja (u oznaci P(n))računamo
po formuli:
( ) !P n n
Pretpostavimo da da imamo 3 knjige među kojima su dve iste. Dve iste
knjige možemo označiti brojem 1, a tredu brojem 2. Sada ih na polici možemo
rasporediti na samo 3 načina (1-1-2, 1-2-1 i 2-1-1). Dakle, dozvolimo li
ponavljanje smanjide nam se broj mogudih rasporeda.
Ako imamo n elemenata u početnom skupu u kome su m1, m2, m3,.. i mk
brojevi istih elemenata elemenata, to jest koliko imamo istih elemenata koje
vrste (pri čemu je m1+m2+m3+.. +mk=n), ukupan broj permutacija računamo
prema formuli:
4
1 2 3
1 2 3
!( , , , ,.. )
! ! ! !k
k
nP n m m m m
m m m m
Dakle, ako imamo 15 knjiga na policu ih možemo rasporediti na
(15) 15! 1307674368000P
Kad vidim ovako veliki broj, moram da priznam da mi je drago da nisam
morao da pišem sve mogude kombinacije.
Zadatak 3: Na koliko se načina 3 ista udžbenika matematike, 2 iste zbirke iz
matematike i 1 radna sveska mogu poređati na polici.
Rešenje: Odgovorimo najpre na dva važna pitanja. Vidimo da sve knjige idu na
policu pa svi elementi početnog skupa jesu izabrani. Osim toga, poredak knjiga
na polici jeste važan, pa zaključujemo da se radi o permutacijama.
Takođe vidimo da se neke knjige ponavljaju pa su u pitanju permutacije sa
ponavljanjem.
Od ukupno 3 2 1 6n knjiga imamo 3 ista udžbenika pa se prva knjiga
ponavlja 3 puta, odnosno m1=3, dve iste zbirke te je m2=2 i samo jedna radna
sveska pa je m3=1. Prema formuli za računanje broja permutacija sa
ponavljanjem imamo:
1 2 3
! 6! 6 5 4 3!( )
! ! ! 3! 2!1!
nP n
m m m
3!
12060
22!1!
VARIJACIJE
Pretpostavimo sada da u jednom odeljenju od 25 učenika treba da
izaberemo predsednika, sekretara i blagajnika. Dakle, od 25 učenika treba da
odaberemo 3 i pritom je važno ko je predsednik, ko sekretar a ko blagajnik u
odeljenju. Na koliko načina možemo napraviti ovaj izbor.
Ovde su u pitanju varijacije. Od 25 učenika u odeljenju mi biramo samo 3, pa
nisu svi učenici izabrani. Takođe, važno je koga demo izabrati za predsednika,
koga za sekretara a koga za blagajnike, obnosno, bitan je poredak našeg izbora.
Odavde zaključujemo da de na dva važna pitanja varijacije dati sledede odgovore:
5
1. NISU svi elementi početnog skupa izabrani.
2. Poredak izabranih elemenata JESTE bitan.
Varijacije takođe mogu da budu sa i bez ponavljanja. Ako od n početnih
elemenata biramo njih k, dobijamo varijacije od n elemenata k-te klase njihov
broj označavamo kao k
nV ako su varijacije bez ponavljanja, i k
nV ako su u pitanju
varijacije sa ponavljanjem. Da ne dođe do zabune, u nekim udžbenicima se
koriste i oznake n
kV i n
kV .
Broj varijacija k-te klase od n elemenata bez ponavljanja računamo po
formuli:
!
( )!
k
n
nV
n k
U slučaju varijacija sa ponavljanjem imamo formulu:
k k
nV n
U našem primeru pretpostavimo da isti učenik ne može da dobije dve
funkcije (niko ne može da bude, na primer, i predsednik i blagajnik). Dakle, od 25
učenika biramo 3 bez ponavljanja učenika. To su varijacije od 25 elemenata trede
klase bez ponavljanja pa imamo da je 25n i 3k :
3
25
25! 25! 25 24 23 22!
(25 3)! 22!V
22!13800
Zadatak 4: Koliko se trocifrenih brojeva može napisati pomodu cifara 1, 2, 3, 4, 5
i 6 ako se cifre
a) ne ponavljaju;
b) ponavljaju;
Rešenje:
a) Dakle, od ponuđenih 6 cifara mi pravimo trocifrene brojeve (odnosno biramo
po tri cifre) pri čemu se cifre ne ponavljaju. Dakle, sve cifre NISU izabrane i
poredak izabranih JESTE bitan pa su u pitanju varijacije bez ponavljanja trede
klase od 6 elemenata, odnosno 6n i 3k :
6
3
6
6! 6! 6 5 4 3!
(6 3)! 3!V
3!120
odnosno, ukupno 120 brojeva.
b) Ovde imamo isti slučaj ali ifre smeju da se ponavljaju pa je broj mogudih
varijacija vedi:
3 3
6 6 216V
KOMBINACIJE
Pretpostavimo sada da o jednom odeljenju od 25 učenika treba odabrati
dva predstavnika za Učenički parlament. U ovom slučaju opet ne mogu svi
učenici da budu izabrani (jer od njih 25 biramo samo 2), ali poredak nije bitan (jer
oba člana parlamenta imaju jednake funkcije). Dakle, kombinacija nam na dva
važna pitanja daje sledede odgovore:
1. NISU svi elementi početnog skupa izabrani.
2. Poredak izabranih elemenata NIJE bitan.
I kombinacije mogu biti sa ponavljanjem i bez ponavljanja. Kombinacije bez
ponavljanja od n elemenata k-te klase obeležavamo sa k
nC i računamo po
formuli:
k
n
nC
k
Kombinacije sa ponavljanjem od n elemenata k-te klase (u oznaci k
nC )
računamo formulom:
1k
n
n kC
k
Dakle, u našem slučaju od 25 učenika biramo 2 pa su u pitanju kombinacije
druge klase od 25 elemenata, a njih ima ukupno:
2
25
25 25! 25! 25 24 23!
2 2! (25 2)! 2! 23!C
2! 23!
600300
2
7
Zadatak 5: Na koliko se načina iz špila od 32 karte mogu izvudi 4 karte?
Rešenje: Od ukupno 32 karte mi biramo 4. Kako ne mogu biti izabrane sve karte i
poredak nije bitan, zaključujemo da su u pitanju kombinacije od 32 elementa
četvrte klase bez ponavljanja, pa je 32n i 4k odakle imamo da je:
4
32
32 32! 32! 32 31 30 29 28!
4 4! (32 4)! 2! 28!C
4! 28!
32 31 30 29 86304035960
4 3 2 1 24
ZAKLJUČCI
Sve gore navedeno možemo smestiti u jednu tabelu:
Da li su
izabrani svi
elementi
početnog
skupa?
Da li je bitan
poredak
među
izabranim
elementima?
Formule za računanje
DA DA PERMUTACIJE
Bez ponavljanja
( ) !P n n
Sa ponavljanjem
1 2 3
1 2 3
!( , , , ,.. )
! ! ! !k
k
nP n m m m m
m m m m
NE DA VARIJACIJE
Bez ponavljanja
!
( )!
k
n
nV
n k
Sa ponavljanjem
k k
nV n
NE NE KOMBINACIJE
Bez ponavljanja
k
n
nC
k
Sa ponavljanjem
1k
n
n kC
k
8
Vratimo se sada na naš problem sa početka ovog teksta, dakle, koliko ima
mogudih kombinacija u lotou. Podsetimo se da se u lotou od 39 brojeva bira 7 i
nije važno kojim redom su brojevi izabrani. Posmatramo gornju tabelu i
odgovaramo na pitanja: svi elementi NISU izabrani i poredak NIJE bitan. Dakle,
zaključujemo da su u pitanju kombinacije. Osim toga, znamo da se brojevi ne
vradaju u bubanj pa se ne može desiti da se isti broj izvuče više puta, te su u
pitanju kombinacije bez ponavljanja sedme klase o 39 elemenata. Dalje pratimo
tablicu i nalazimo formulu po kojoj demo izračunati ukupan broj kombinacija:
k
n
nC
k
U našem slučaju imamo:
7
39
39 39! 39! 39 38 37 36 35 34 33 32!
7 7! (39 7)! 7! 32!C
7 6 5 4 3 2 1 32!
7751992248015380937
5040
Dakle, šanse da na lotou dobijemo premiju su 1 u 15380937, ili 1 u preko 15
miliona. Hmmm, može li kombinatorika i teorija verovatnode bar malo da
povedaju te šanse? ;)
Bojan Bogdanovid