Miloš Marinković

Matematika 2011/12 HiT Vrnjačka Banja

N = {1,2,3, . . .}

m, n, k N (m,n i k su elementi skupa prirodnih brojeva) m + n e N

m · n e N

(m+n)+k = m+(n+k) (asocijativnost sabiranja)

m+n = n+m (komutativnost sabiranja)

(m·n)·k = m·(n·k) (asocijativnost množenja)

m·n = n·m (komutativnost množenja)

n·1 = 1·n = n (postoji neutralni element za množenje)

k·(m+n) = k·m+k·n (distributivnost množenja u odnosu na sabiranje)

N0 = {0,1,2,3, . . .}

k + 0 = 0 + k = k (postoji neutralni element za sabiranje)

N0

N

Z

Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, . . .}

k Z (k je element skupa celih brojeva)

k + (-k) = 0 ( -k je inverzni element za sabiranje u odnosu na element k)

k i (-k) su suprotni brojevi

N0

N N = {n| n Z n>0}

skup celih brojeva većih od 0

N0 = {n| n Z n 0}

skup celih brojeva većih od 0 ili jednakih 0

a,b,c Z

oduzimanje se svodi na sabiranje◦ a – b = a + (-b)

◦ a – b – c = a + (-b) + (-c)

prioritet operacijaviši prioritet • množenje ( * )

• deljenje ( : )niži prioritet • sabiranje (+)

• oduzimanje (-)

• a · b + c = (a · b) + c• a – b · c = a – (b · c)• a + b : c = a + (b : c)• a : b – c = (a : b) - c

• a · b : c =• a : b : c = • a : b · c = ? • nepravilan zapis

• neophodne zagrade

• a – (b + c) = a – b – c• minus (-) ispred zagrade menja

znak svih brojeva unutar zagrada

1. Izračunati vrednost izraza:a) 1233 – 999 +767 – 601=

b) 1400 + 863 – 1368 – 495=

c) 124 + (336 – (270 – 58)) – (211 + 36) =

d) 16 · 240 + 16 · 173 – 16 · 113 =

e) 150 + 17 · 3 – 105 =

f) 232 · 11 + 60 - 81 : 3 + 3 · 5 =

g) (-3) · (-2) – ( -12 + (5 · (-2) + 2 · (-7 – 2 · (-3)) – 3 · (-2))) + (-7) · (-3) =

h) 4 · (7 − 6) − 315 − 3[7 · (3 − 1) − 2 · (2 + 3)] − (−1) + 2 =

2. U izrazu 7 · 6 + 12 : 3 – 1 postaviti zagrade tako davrednost izraza bude:

a) 17

b) 69

c) 45

d) 35

1233 – 999 + 767 – 601

= 234 + 767 – 601

= 1001 – 601

= 400

1233 – 999 + 767 – 601

= 234 + 166

= 400ILI

1.a)

(-3) · (-2) – ( -12 + (5 · (-2) + 2 · (-7 – 2 · (-3)) – 3 · (-2)))+ (-7) · (-3)= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 · (-7 – (-6)) - (-6))) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 · (-7 + 6 ) + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 · (-1) + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 -2 + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -6 )) + 21= 6 - ( -18) + 21= 6 +18 + 21= 45

1.g)

7 · (6 + 12 : 3) – 1 = 7 · (6 + 4) – 1 = 7 · 10 -1= 70 – 1=692.b)

Broj je deljiv sa 2 ako se završava sa 0,2,4,6,8

Broj je deljiv sa 3 ako mu je zbir cifara deljiv sa 3

Broj je deljiv sa 5 ako mu je poslednja cifra 0 ili 5

Broj je deljiv sa 4 ako je njegov dvocifreni završetak deljiv sa 4

Broj je deljiv sa 6 ako je deljiv sa 2 i sa 3

Broj je deljiv sa 8 ako mu je trocifreni završetak deljiv sa 8

Broj je deljiv sa 9 ako mu je zbir cifara deljiv sa 9

Broj je deljiv sa 10 ako se završava sa 0, sa 100 ako se završava sa 00 , itd.

Prosti brojevi su deljivi samo sa jedinicom i sa samim sobom◦ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…

Složeni brojevi su deljivi sa još nekim brojem osim sa jedinicom i sa samimsobom◦ 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14…

Jedinica po dogovoru nije ni prost ni složen broj.

Najmanji zajednički sadržalac (NZS) je najmanji broj koji je deljiv sa datimbrojevima.

Najveći zajednički delilac (NZD) je najveći broj sa kojim možemo podelitidate brojeve.

NZS(3,4) = 12

3,4 23,2 23,1 31,1

NZD(8,24,6) = 2

8,24,6 24,12,3

primer

primer

- -

Q

Q = { | p Z, q N }

◦ celi brojevi : k Z => Q

◦ razlomci : { | p Z, q N, NZD(p,q)=1}, decimalni brojevi

◦ mešoviti brojevi: { | k Z ,p Z, q N, NZD(p,q)=1, = }

Z

N0

N

p

q

p

q

1

k

pk

q

pk

q

k · q + p

q

1 3 10 2 3, , , , 2 ,

2 7 17 25 4

73

81,2, 2,

k · = 1 ( je inverzni element za

množenje u odnosu na element k)

1

k

1

k

sabiranje

+ = p

q

m

n

NZS (q, n) NZS (q, n) · p +   · m

q n

NZS (q, n)

oduzimanje

- = p

q

m

n

NZS (q, n) NZS (q, n) · p -  · m

q n

NZS (q, n)

2 3 17+ =

3 4 12

primer

2 3 1 - = -

3 4 12

primer

množenje

· = p

q

m

n

p · m

q · n

deljenje

: = · =

2 3 6 ·  =

3 4 12

primer

2 3 8 : =

3 4 9

primer

p

q

m

n

p · n

q · m

p

q

n

m

1. Izračunati vrednost izraza:

1 5 5 2 120 1 6 3 :5

3 7 12 3 2

2 3 1

5 43 2

1 4 5

2 1 11 : 7 0,23

9 3 6

12 1,2

8

a)

d) c)

b)

1 23 1 4,2 2,25 4

2 3

3 1 3 2 74 2 5 :3

4 2 4 3 9

(:13

(:13

2 3 7 3 28 15 13 1

13 15 4 5 4 20 203 2 1 6 20 6 26 26 2

1 4 5 1 20 20 20

1.b)

skraćivanje razlomaka

ako je NZD(a,b)=c tada važi (:c

(:c

a

a a cbb b

c

oni koji nisu racionalni◦ algebarski rešenja (koreni) jednačina sa racionalnim koeficijentima:

-

◦ transcedentni

p = O/(2 r), e, …

Q I = ø

Q

Z

N0

N

I

33

2, 10, ,9

3

R = Q I

|

Q

Z

N0

N

I

R

C – skupkompleksnih

brojeva

-1 0 1 21

2

R

apsolutna vrednost broja x

|x|

n-ti stepen broja x

x = x·x·… ·x x = x·x

n-ti koren broja x

x , ako je x ≥ 0

-x , ako je x < 0

n

n puta

2

x = y <=> y = xn n

16 = 4 jer je 4 =162

primeri

primeri

primeri

|5| = 5

|-5| = 5

3 = 9

3 = 243

2

5

144 = 12

5 243= 3

( 3 + 4) = 9 + 24 + 16 = 492

razlika kavadrata:

x - y = (x – y) (x + y)

kvadrat binoma:

(x + y) = x + 2xy + y

2 2

22 2

primeri

( a - b) = a - 2ab + b2 2 2

primeri

49 – 25 = (7 – 5) (7 + 5) = 2 · 12= 24

= 5 – 3 = 2 ( 5 - 3)( 5+ 3)

1. Uprostiti izraze:

2 2

a b a + b+ - =

ab - b a - ab ab 2

a + 1 6a 2a - 1+ - =

a + 2 a - 4 a - 2

2 2

2

a - a a + 2a + 1 ·  =

a - 1 a + a

2 2 2

2 2 2

a + b - c + 2ab=

a + c - b + 2ac

a)

d)

b)

c)

2

2 2

2

a + 1 6a 2a - 1+ - =

a + 2 a - 4 a - 2

a + 1 6a 2a - 1+ - =

a + 2 (a + 2)(a - 2) a - 2

(a + 1)(a - 2) + 6a - (2a - 1)(a + 2)=

(a + 2)(a - 2)

a - 2a + a - 2 + 6a - (2a + 4a - a - 2)=

(a + 2)(a - 2)

a - 2a + a - 2 + 2

2

6a - 2a - 4a + a + 2=

(a + 2)(a - 2)

- a + 2a - a(a - 2) - a = =

(a + 2)(a - 2) (a + 2)(a - 2) a + 2

1.b)

ax + b = c (opšti oblik)

x = (rešenje) c - b

a

primer:5x + 3 = 23

5x = 23 – 3

x =

x =

x = 4

20

5

23 - 3

5primer: 5x - 3 = 22

5x = 22 + 3 x =

x = x = 522 + 3

5

25

5

duga menja pol osobe, = menja znak broja

1. Rešiti jednačine:a) 9 – 2x = 5x + 2

b) 3(2 – 3x) + 4(6x - 11) = 10 – x

f) |5x - 1| + x = 2

g) |x – 4| - |2x + 3| = 2

h) |x + 2| - |x – 2| = 4

y - 5 2y - 3 6y + 5 + 2  = -

7 2 14c)

2 2(x + 3) – (x – 4) = 2x – 13d)

2 - x 1 - x 2x  = 1 + -

2 3 3e)

2 1 =

x - 2 x + 3

x + 5 1 2x - 3 = +

3x - 6 2 2x - 4

2

2x - 1 8 2x + 1 + = 2x + 1 4x - 1 2x - 1

2. Rešiti jednačine:

a)

c)

b)

3. Otac ima 43 godine a sin 18, kroz koliko godinaće otac biti dva puta stariji od sina?

4. Turistički aranžman se plaća u tri rate. Prva rata

iznosi cene aranžmana, druga ostatka, a

treća 40 eura. Kolika je cena aranžmana?

1

4

2

3

9 – 2x = 5x + 2

– 2x – 5x = 2 – 9

– 7 x = – 7

x = – 1

y - 5 2y - 3 6y + 5 + 2  = - /·14

7 2 14

2(y - 5) + 28 = 7(2y - 3) - (6y + 5)

2y - 10 + 28 = 14y - 21 - 6y - 5

2y - 14y + 6y = - 21- 5 + 10 - 28

- 6y = - 44 /·(- 1)

6y = 44

44y =

6

22y =

3

1.a) 1.c)

2 1 =

x - 2 x + 3

2(x + 3) = x - 2

x = - 8

uslovi:x 2, x -3

ispunjava uslove

2.a)

3

23

2

uslovi I i III:(x-4)-(2x+3)=2-x = 9x=-9, ne ispunjava

uslove I i III

|x-4|

|2x+3|

x – 4; x-4≥0, x ≥4

-(x – 4); x-4<0, x <4

2x + 3; 2x+3≥0, x ≥-

-(2x + 3); 2x+3<0, x <-

I

II

III

IV

|x – 4| - |2x + 3| = 2

uslovi I i IV:nema rešenjakoje bi ispunilo ove uslove

uslovi II i III:-(x-4)-(2x+3)=2-3x = 1

x=- , ispunjava uslove II i III

1

3

uslovi II i IV:-(x-4)+(2x+3)=2

x=- 5 , ispunjava uslove II i IV

1.f)

ax + b > c

◦ a > 0 => x >

◦ a < 0 => x <

ax + b < c

◦ a > 0 => x >

◦ a < 0 => x >

c - b

a

b - c

a

c - b

a

b - c

a

primer: 5x - 3 > 22

5x > 22 + 3 x >

x > x > 5

x ,

22 + 3

5

25

5

primer: -5x - 3 22

-5x 22 + 3 x -

-5x 25 /*(-1)

5x -25 x - 5

x -,

25

5

1. Rešiti nejednačine:a) 3(x – 2) + 9x < 2(x + 3) + 8

b) (x – 2) + 3x < 2(x + 3) + 6

c) (x – 2) + 3x < 5(x + 3) + 6

d) 2x - 9 ≤ 8x – 4(3,75 – 3x)

e) ≥ - 1

f) (x – 1) (x – 4) > 0

g) (x + 3) (x - 5) ≤ 0

h) ≤ -2

2y + 1 3y - 2 -

3 2

6 - x

3 - x

3(x – 2) + 9x < 2(x + 3) + 8

3x – 6 + 9x < 2x + 6 + 8

3x + 9x – 2x < 6 + 8 + 6

10x < 20

x < 2

x (-,2)

1.a)

(x – 1) (x – 4) > 0

I slučaj:

x – 1 > 0 x – 4 > 0x > 1 x > 4

x (4,+)

II slučaj:

x – 1 < 0 x – 4 < 0x < 1 x < 4

x (-,1)

2

1 4

41

Rešenje je: x (-,1) U (4,+)

1.f)

A B

f : A -> B ili y = f(x)

x1x2...

y1y2...

f

y = xk = 1n = 0

y = kx + n

n :presek sa y-osom

presek sa x-osom: y=0kx + n = 0

x= - (nula funkcije)n

k

y = 2x + 4

x 0 -2 2

y 0 -2 2

domen kodomen

y = -3k = 0n = -3

x = 2k = 0n = 2

k : koeficijent pravca

ako je grafici funkcija su paralelni ako je grafici funkcija su normalni

1 1 1 2 2 2y = k + n   , y = k + n

1 2k = k

1 2k k = -1

y = -2x + 4k = -2 < 0n= 4

y = 2x + 4k = 2 > 0n= 4

monotonost funkcije

k<0 k>0

funkcija jeopadajuća

funkcija je rastuća

znak funkcije

y<0 y>0

funkcija jenegativna,ispod x-ose

funkcija je pozitivna,iznad x-ose

y > 0 zax(-,2)

y > 0 zax(-2,+)

y < 0 zax(2,+)

y < 0 zax(-,-2)

1. Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije:

2. Dat je skup funkcija y = 4mx – (3m - 2)a) Odrediti m tako da nula funkcije bude x=2

b) Za dobijeno m ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije

1y = x - 1

2y = 2x - 6 y = - x + 1

y = - 3x + 2 2y = 3x + 2 2x = 3y + 2

a)

d)

b) c)

f)e)

1) domen (oblast definisanosti): x R2) nule funkcije:

3) znak funkcije:

4) monotonost:k = -1 => f-ja je opadajuća

y = 0-x+1=0-x = -1x = 1

y > 0-x+1>0-x > -1/(-1)x < 1

za x(-,1)f-ja je pozitivna

y < 0-x+1<0-x < -1/(-1)x > 1

za x(1,+)f-ja je negativna

1. c)

Racionalni i iracionalni brojevi

Aritmetičke operacije sa racionalnimbrojevima

Linearne jednačine